İ RE ÇEMBERVE DA ÜN İ TE 4.

ÜNİTE 4.

ÇEMBER VE DAİRE

Çember ve Çemberde Açı Çemberde Çevre Uzunluğu Daire ve Daire Diliminin Alanı +

+ +

Maç başlarken topun konulduğu noktayı ve sadece

oyunu başlatan futbolcuların bulunabildiği alanı

geometrik kavramlarla ilişkilendiriniz.

ÇEMBER VE ÇEMBERDE AÇI

1.Resim 2.Resim 3. Resim

Yukarıdaki resimleri inceleyiniz. Üç resimde ortak olan yanları belirleyiniz.

Birinci resimdeki basketbol potasında fi lenin bağlandığı demir halka, ikinci resimdeki alyanslar sizlere hangi geometrik şekli hatırlatmaktadır?

Üçüncü resimdeki bir otomobilin hız göstergesindeki ibrenin uzunluğu ve ibrenin bağlantı noktası için ne söylenebilir?

1

Yandaki resimde bir bisiklet tekerleğinin jantı ve bu jantla tekerlek göbeğini birbirine bağlayan jant telleri görülmektedir.

Jant tellerinin uzunluklarını karşılaştırınız.

Buradan yola çıkarak jant üzerindeki her noktanın tekerleğin göbeğine olan uzaklıkları için ne söylenebilir?

Tekerlek hangi geometrik şekle modeldir?

K

O

D C

B A

F E

G H L

Şimdi de yandaki şekilde verilen O merkezli çemberi inceleyiniz.

Verilen ADH, BOL, EOG ve KCF açılarını, köşelerinin konumuna göre sınıfl andırınız.

Bu sınıfl andırmaya göre çemberdeki açıları isimlen- dirmeye çalışınız.

Düzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yerine çember, sabit olan noktaya çem- berin merkezi ve eşit olan uzaklığa da bu çemberin yarıçapı adı verilir. r ∈ R olmak üzere r birim yarıçaplı O merkezli çem- ber yandaki gibi gösterilir.

O r

Köşesi çemberin merkezinde olan ve ışınları çemberde yay ayıran açılara merkez açı, köşesi çemberin üzerinde olan ve ışınları çemberden yay ayıran açılara çevre açı denir.

2

O

O O O

r

B

A C

B

A C

B

D

A A

1. Şekil 2. Şekil 3. Şekil 4. Şekil

C

D D

Yukarıdaki şekillerde O merkezli |OA| = r yarıçaplı çemberler görülmektedir.

1. şekildeki [OA], O noktası etrafında O sabit tutularak bir tam tur attığında A noktasının çizdiği yay ile oluşan merkez açıyı ilişkilendiriniz.

2, 3 ve 4. şekillerde görüldüğü gibi bu çemberi O noktasında kesişen [AC] ve [BD] ile dört eş parçaya ayıralım.

2. şekildeki AB, tam çember yayının kaçta kaçıdır? Bunu gören m(AOB) merkez açısının ölçüsü kaçtır?

Benzer yaklaşımla 3 ve 4. şekillerde renklendirilmiş AOC ve AOD merkez açılarının ölçülerini bulunuz.

Çemberde merkez açının ölçüsü ile bu açının gördüğü yayın ölçüsü arasında bir bağıntı yazmaya çalışınız.

Yandaki şekilde olduğu gibi O merkezli çemberde AXB yayına AOB merkez açısının gördüğü yay denir ve AOB merkez açısının ölçüsü ile AXB nın ölçüsü birbirine eşittir.

Bu durum,

m(AOB) = m(AXB) biçiminde ifade edilir.

O A

B X

O A

B

X Yandaki şekilde O merkezli çemberde verilen AXB, tüm çember yayının 1

3 üne eşit ise m(AOB) nün kaç derece olduğunu bulalım.

ÇÖZÜM:

Çember yayının ölçüsü 360⁰ olduğundan;

m(AXB) = 360 . 1

3 = 120⁰ dir. Dolayısıyla, m(AXB) = m(AOB) = 120⁰ bulunur.

A B C

D

E F H G

K L M N

P R

O

Yandaki resimde görülen teker üzerinde eşit aralıklarla A, B, ..., R noktaları işaretlenmiştir.

m(AOE) nü bulalım.

ÇÖZÜM:

m(AB)= m(BC)=....= m(RA) = 360⁰ 14 =180⁰

7 m(AOB)= m(AB)=180⁰

7 m(AOE)=4. m(AOB) = 720⁰

7 bulunur.

3

O D A

B

C

Yandaki O merkezli çemberde verilen BAC çevre açısı ile BOC merkez açısını inceleyiniz.

m(BOC) ile m(BDC) nı karşılaştırınız.

m(BAC) ile m(BDC) nı karşılaştırınız.

O D A

B

C

m(BAC) ile m(BOC) arasındaki bağıntıyı, BAO ve AOC nin açı bağıntılarını kullanarak bulmaya çalışınız.

Aynı yayı gören BOC ile BAC çevre açısı arasındaki ilişkiyi söy- leyiniz.

O merkezli çemberde de görüldüğü gibi bir çevre açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir. Dolayısı ile bu çevre açının ölçüsü aynı yayı gören merkez açının ölçüsünün de yarısına eşit olur.

Bu durum,

O D A

B

C

α 2α

m(BAC) = 1

2.m(BDC) ve m(BAC) = 1

2.m(BOC) biçiminde verilir.

O A

B

C

C X

O A

B X

Yandaki O merkezli çemberde m(AXB) = 56⁰ verilmektedir. m(AOB) ile m(ACB) nü bulalım.

ÇÖZÜM:

m(AOB) = m(AXB) ve m(ACB) = 1

2. m(AXB) olduğundan m(AOB) = 56⁰ ve

m(ACB) = 1

2.56⁰ = 28⁰ bulunur.

A 40⁰

B

C D

Y X

Yandaki O merkezli [AC] çaplı çemberde m(DAC)=40⁰ dir.

Buna göre m(ADC), m(ABC) ve m(ABD) değerlerini hesaplayalım.

ÇÖZÜM:

m(ABC)=180⁰ (Yarım çember yayının ölçüsü) m(ADC)=1

2.m(ABC)=1

2.180⁰=90⁰ (Çevre açı)

m(ADC)=180⁰ (Yarım çember yayının ölçüsü) m(ABC)=1

2.m(ADC)=1

2.180⁰=90⁰ (Çevre açı)

m(DAC)=1

2.m(DXC) ⇒ 40⁰=1

2.m(DXC) ⇒ m(DXC) =80⁰ (Çevre açı) m(ADC)= m(AYD)+m(DXC) ⇒ 180⁰= m(AYD)+80⁰ ⇒ m(AYD)=1000

m(ABD)=1

2.m(AYD)=1

2.100⁰=50⁰ (Çevre açı)

Şekildeki ABC nde [DE] ⊥ [AC], [DB] ⊥ [BC] ve

|DE|=|EC| ise m(DBE) nü bulalım.

ÇÖZÜM:

m(DEC)=90⁰ dir. (A, E, C doğrusal) m(DEC)= m(DBC)=90⁰ olduğundan D, E, C ve B köşelerinden bir çember geçer ve [DC] da çap olur.

m(ECD)=45⁰ (DEC ikizkenar dik üçgen) m(DE)=90⁰ (m(ECD)=45⁰)

m(DBE)=45⁰ bulunur. (m(DE)=90⁰)

A

B

C E

A D

B

C E

D

A

B

C

Yandaki resimde lokomotifi n çember biçi- mindeki tekeri üzerinde gösterilen çevre açının ölçüsünü hesaplayalım.

ÇÖZÜM:

Çember 8 eşit yaydan oluşmuştur. Her bir yayın ölçüsü 360⁰

8 = 45⁰ dir. ABC nın gördüğü yayın ölçüsü 5.45⁰=225⁰ ise m(ABC)= 225

0

2 = 112,5⁰ bulunur.

4

O B

X

r = 30m

A

120⁰

Şekildeki gibi yarıçap uzunluğu 30m olan çembersel pist üzerinde A ve B noktaları 120⁰ lik merkez açı ile belirlenmektedir.

A noktasında bulunan Gülcenaz saat yönünde koşacaktır.

Gülcenaz, çembersel pist üzerinde tam tur koşarsa ne kadar yol alır?

Gülcenaz 120⁰ lik merkez açının gördüğü AB yolunu koşarsa ne kadar yol alır?

Gülcenaz’ın aldığı yolun uzunluğunu, bu yolu gören merkez açının ölçüsü ve yarıçap uzunluğu ile ilişkilendiriniz.

AXB nı gören merkez açının ölçüsünü, koşulan yol uzunluğunu ve yarıçap uzunluğunu kullanarak hesaplamaya çalışınız.

Bir çemberde yay uzunluğunu, bu yayı gören merkez açı ve yarıçap uzunluğu ile ilişkilendirerek genel bir bağıntı bulmaya çalışınız.

Yandaki gibi O merkezli r br yarıçaplı bir çemberin çevre uzunluğu 2πr br dir.

Ayrıca bu çember üzerindeki AXB nı gören merkez açının ölçüsü α ise AXB nın uzunluğu

| AXB | = α

360⁰.2πr br olur.

Yukarıdaki bağıntıda 360⁰= 2π radyan olarak alınırsa merkez açının ölçüsü,

α = | AXB |

r radyandır.

O A

B X α

O A

B X α

Yandaki O merkezli çemberde |AXB| =3π

4 cm ve α =45⁰ ise çem- berin yarıçap uzunluğunun kaç cm olduğunu bulalım.

ÇÖZÜM:

α = 45^{0 =} π

4 radyan ise,

| AXB | r = π

4 ⇒ 3π

4 r =π

4 ⇒ r = 3 cm olur.

1. Aşağıda O merkezli çemberdeki verilenlere göre α , a, b, c, d açılarının ölçülerini bulunuz.

O C

A

A

D

B

C

C

B

A A

C

B A

B C

D

E F G

B

O O

45⁰ α

55⁰

α

60⁰

α O

23⁰

α

17⁰

a) b) c) ç)

46⁰

a

d)

b c

d

2.

A B

Şekildeki tekerlek 24π br uzunluğundaki AB yolunu 3 tur atarak aldığına göre tekerleğin yarıçapı kaç br dir?

3. O merkez olmak üzere aşağıdaki çemberlerde x değerlerini bulunuz.

O A

B C

A B

C

D

A

B C

O (4x+5)⁰

a) b) c)

O (2x−20)⁰

(3x+10)⁰

(2x-7)⁰

(3x-25)

0

(9x+5)⁰

4.

y

80⁰ A

D

C

B 125⁰

x

Yandaki şekilde A, B, C, D noktaları çember üzerindedir. x ve y değerlerini bulunuz.

5. Aşağıda köşeleri bir çember üzerinde verilen yıldızılların, her birinin köşelerindeki iç açıların ölçüleri birbirine eşittir. Bu köşelerdeki iç açıların ölçüleri toplamını bulunuz.

6.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

M

B A

O

O noktasında bulunan ve yarıçap uzunluğu 2br olan tekerleğin merkezinde oluşan açıların ölçüleri eşittir. Tekerleği saat yönüne doğru çevirerek ilerlettiğimizde B noktasının cetvel üzerinde değdiği yer hangi iki tam sayı arasındadır? (Cetvelde iki tam sayı arası 1br dir.) 7. Saat 08:00 e en yakın hangi zamanda akrep ile yelkovan doğru açı oluşturur?

8.

30m 30m

100m

O₁

A B

O₂

Yandaki şekilde atletizm sahasının krokisi görülmektedir.

|AB|=100m, O₁ ve O₂ yarıçap uzunluğu 30m olan çemberlerin merkezleri olduğuna göre pistin çevresinin uzunluğunu hesaplayınız.

9.

A B

D C

4

2

O

Yandaki şekilde 2br ve 6br yarıçaplı ve O merkezli iki çemberin bir bölümü verilmiştir. m(AOB)=30⁰ olduğuna göre ABCD kapalı bölgesinin çevre uzunluğu kaç br dir? AB yayı uzunluğunun DC yayı uzunluğuna oranını, yarıçapların oranı ile karşılaştırınız.

10. Akrebinin uzunluğu 0,6cm olan bir saatte, yelkovanının uzunluğu akrebin uzunluğunun 1,5 katıdır. Saat tam 13:00 ü gösteriyorken 45 dakika sonra yelkovanın uç noktasının çizdiği yay uzunluğu kaç cm dir?

12.

C

A

B

Şekildeki A, B ve C merkezli dişlilerin attıkları tur sayıları sırasıyla 1, 3 ve 4 sayıları ile orantılıdır. A dişlisinin yarıçap uzunluğu 12cm ise B ve C dişlilerinin yarıçap uzunluklarını bulunuz.

13.

Yiğit ve Pe- lin masada- ki çember biçimindeki pizzayı L şeklindeki araçla eşit iki parçaya nasıl ayı- rabilir?

Yanlarına iki arkadaş daha gelirse dört eşit parçaya ayırmak için nasıl bir araca ihtiyaç vardır?

14. Aşağıdaki şeklin çevresi kaç br dir?

15. yüzyıl Türk-İslam dünyası ünlü matematik ve astronomi bilgini Gıyaseddin Cemşid, Pi sayısının değerini, 16 ondalığa kadar doğru hesaplayan ilk kişidir. Cemşid’in Pi sayısı için verdiği değer 3,1415926535898732 dir. Bu değer bugün kabul edilen değere göre doğrudur. Pi sayısının değeri hesaplanmaya devam etmektedir. π sem- bolünü ilk kez kullanan Euler (Öyler)’dir.

Matematik Tarihi ve Türk İslâm Matematikçilerinin Yeri Göker, L. MEB, İstanbul 1997.

Pi sayısı için, ilk gerçek değer Archimedes (Arşimet) tarafından kulla- nılmıştır. Bugünkü değerine çok yakın bir değerdir. Babilliler çok eski zaman- lardan beri Pi sayısı için 3 değerini kullanıyorlardı. Mezopotamyalılar ise daha iyi yaklaşık sonuçlar elde etmek istedikleri zaman Pi=3,125 değerini uygularlardı.

DAİRE VE DAİRE DİLİMİ

1. Resim 2. Resim 3. Resim

Yukarıda 1. resimde verilen havuç dilimli baklavayı inceleyiniz.

Baklava dilimleri ile tepsi yüzeyinin tamamen kaplandığı görülmektedir.

Baklavalar ile kaplanan yüzeyin hangi geometrik şekli oluşturduğunu söyleyiniz.

Bu kez 2. resimdeki kasnağı inceleyiniz.

Kasnağın iç kısmında kalan yüzeyin kumaş ile tamamen örtüldüğünü gözlemleyiniz.

2 ve 3. resimlerdeki düzlemsel yüzeylerin çember ile sınırlı, kapalı bir düzlem bölgesi olduğu söylenebilir. Öyleyse her iki bölgenin bir alanı vardır.

Çember ile sınırlı daire adı verilen bu kapalı bölgelerin alanlarını hesaplamaya çalışalım.

5

Börek yapmak için açılmış daire biçimindeki bir yufkayı aşağıdaki gibi eş parçalara ayıralım:

D E

K F

A L B

C

Yarım yufkadan kesilen şeklindeki parçalar sıralandıkça şekli daha çok paralelkenarsal bölgeye dönüşmektedir.

D

A B

C

r h

H

DE, EF, ..., AK, KL, ... yaylarının uzunlukları toplamını bulmaya çalışınız.

|AB| ve |CD| taban uzunluklarının yaklaşık değerlerini dairenin çevresi ile karşılaş- tırınız.

Dilimlerin sayısı arttıkça h yüksekliği şekildeki hangi uzunluğa yaklaşır?

Paralelkenarsal bölgenin alanını bularak dairenin alanını veren bağıntıyı oluşturmaya çalışınız.

Bir dairenin alanını veren genel bağıntıyı bulmaya çalışınız.

Yandaki şekilde verildiği gibi yarıçapı r br olan dairenin alanı,

πr² br² olur.

O r

Şekildeki radar göstergesinin yarıçap uzunluğu 4cm ise göstergenin alanını hesaplayalım.

ÇÖZÜM:

Dairenin alanı = πr² = π .4² = 16 π cm² bulunur.

O 12br

A B

D C

Yandaki şekilde verilen ABCD karesinin bir kenar uzunluğu 12br dir. Bu karenin içine, kenarlarına teğet olacak biçimde O merkezli bir daire çiziliyor. Taralı alanın kaç br² olduğunu bulalım.

ÇÖZÜM :

Taralı Alan = Karenin Alanı − Dairenin Alanı = 12² − π 6²

= 144 − 36 π br² bulunur.

6

A B

C E D

F ^r=12 O

Yarıçap uzunluğu r=12cm olan bir metal levha yandaki şekildeki gibi altı eş daire dilimine ayrılarak farklı renklerde boyana- caktır.

Her bir dilimin alanının kaç cm² olduğunu bulmaya çalışınız.

Bunun için aşağıdaki daire dilimini ele alınız.

A B

O r=12 r=12

m(AOB) nü bulunuz.

Dairenin alanının πr² olduğunu biliyorsunuz. Bununla bera- ber m(AOB) ile 360⁰ arasındaki oranı kullanarak dilimin alanının nasıl bulunacağını tartışınız.

Daire dilimlerinin, merkez açılarının ölçüleri 60⁰ yerine 30⁰, 45⁰ ve 120⁰ olarak alınırsa her bir dilimin alanını bulmaya çalışınız.

Daire diliminin alanını veren bir genelleme yapmaya çalışınız.

Şekilde verildiği gibi O merkezli r yarıçaplı daireden kesilen ve m(AOB) = α olan daire diliminin alanı,

dir.

O α r r

A B

A(A O^∇B) = α 360⁰.πr²

O r=27

A B

40⁰

O merkezli r=27cm yarıçaplı daireden elde edilen daire diliminde m(AOB) = 40⁰ ise A(A O

∇

B) nın kaç cm² olduğunu bulalım.

ÇÖZÜM:

A(A O^∇ B) = 40⁰

360⁰.π27² = 1

9.π.27.27 = 81π cm² bulunur.

O r=6

A

B

α

Yandaki şekilde O merkezli ve yarıçap uzunluğu r=6m olan dairedeki taralı bölgenin alanı A(A O^∇B) =15π m² ise m(AOB)= α nın kaç derece olduğunu bulalım.

ÇÖZÜM:

A(A O

∇

B) = α

360⁰.π.r² ⇒ 15π = α

360⁰.π.6² ⇒ 15π = α 10.π ⇒ α = 150⁰ bulunur.

A D B E

2cm

3cm C

O

O merkezli çeyrek daire ile OABC dikdörtgeni şekildeki gibi verilmiştir.

|EC|=2cm ve |CO|=3cm olduğuna göre taralı bölgelerin alanları toplamını bulalım.

ÇÖZÜM:

A D B E

2cm

3cm C

O

|EO|=|OB|=5cm (Yarıçap)

|CE|=4cm (OCE dik üçgeninde Pisagor bağıntısı) Taralı alan = Çeyrek daire alanı − Dikdörtgensel bölgenin alanı = 90⁰

360⁰ . π 5² - 3.4 = 25π

4 −12 cm² bulunur.

O

Yanda verilen resimdeki arabanın arka cam sileceğinin uzunluğu 40cm dir. Sileceğin silebileceği en büyük alanı bulalım. (Camın alt kenarı doğrusaldır.)

ÇÖZÜM:

Silecek merkezi O noktasında ve yarıçap uzunluğu r=40cm olan yarım daire biçiminde bir alan siler.

Yarım dairenin alanı = πr² 2 =π40²

2 = 800π cm² dir.

1. Çevre uzunluğu 50 π olan bir dairenin alanı kaç cm² dir?

2. Çevre uzunlukları oranı 1

3 olan dairelerin alanları oranı kaçtır?

3. Aşağıda taralı olan daire dilimi alanlarını bulunuz.

O r=6br O

r=9br

320⁰ r=5br

108⁰ O O

r=8br

a) b) c) ç)

4. Aşağıdaki şekillerde taralı alanları bulunuz.

a) b) c) ç)

A B

C D

6br

6br

6br 6br

6br

6br 6br

6br

C A

B

O₁ O₂ O₃

ABC eşkenar üçgen 2br 2br

2br

A O

120⁰ C

r=6br B

A, K, O, L ve B doğrusal, K, O, L merkez A 3 3

3 3 O B K

L

5.

K

O₁ O₂ O₃ A

B

A+B

L M

KLM nin her bir kenarına yarım daireler çizilmiştir. O₁, O₂ ve O₃ yarım dairelerin içinde yazılanlar alanları gösterdiğine göre LKM nın ölçüsü için ne söylenebilir?

6.

A B

C 8

3

D

Yanda |AB|=3m, |AD|=|BC|=8m olmak üzere sabit bir noktaya 5m lik iple bağlı olan Sarıkız’ın otlama alanını bulunuz.

7. Aşağıda belirtilen taralı alanları bulunuz.

a) b) c) ç)

O B

A

r=4br O B A

O₁ O₂

B C E D

F O

A

r=8br r₁=r₂=12br

r=6br

8.

a) Aşağıdaki şekilde verilenlere göre oluşan halkanın alanı kaç br² dir?

OO2br

{

b) Aynı merkezli iki dairenin yarıçap uzunlukları farkı 7br ise oluşan halkanın alanı kaç br² dir?

9. Aşağıdaki şekilde verilenlere göre taralı alanı bulunuz.

O

4br

2πbr πbr

10. Kenar uzunluğu 4br olan düzgün altıgenin kenarları üzerine eş yarım daireler çizilmiştir.

Buna göre taralı alan kaç br² dir?

12. Bir kare içine karenin kenarlarına teğet olacak biçimde 16br yarıçap uzunluğunda bir daire çiziliyor. İkinci adımda bu kare 4 eşit kareye ayrılıyor. Her bir karenin içine kenarlara teğet olacak biçimde eş daireler çi- ziliyor. Üçüncü adımda bu kare 16 eş kareye ayrılarak aynı işleme devam ediliyor.

a) Her bir adımdaki dairelerin alanları toplamı için ne söylenebilir? Nedenini açıklayınız.

b) İlk dört adımdaki daire sayısı kaç tanedir ve dairelerin yarıçap uzunlukları kaç br dir?

c) Yirminci adımdaki dairenin yarıçap uzunlu- ğunu ve dairelerin sayısını bulunuz.

ÜNİTE SONU ÖLÇME SORULARI

1. Düzlemde aynı yayı gören kaç tane çevre açı çizilebilir?

2. Düzlemde aynı yayı gören aynı yarıçaplı ... tane merkez açı çizilebilir.

3. ABCD paralelkenarının köşeleri O merkezli bir çember üzerindedir. Buna göre B açısının ölçüsünü bulunuz.

4. Aşağıdaki dörtgenlerden hangilerinin köşeleri her zaman bir çember üzerindedir?

I) Kare II) Paralelkenar III) Yamuk

IV) İkizkenar Yamuk V) Eşkenar Dörtgen

A) Yalnız I B) II ve V C) III ve IV D) I ve IV E) Yalnız IV 5. Aşağıda verilenlere göre taralı alanları bulunuz.

a) b) c) ç)

A B

D C 4

4

8

A ABCD Kare ABCD Kare

ABCD Dikdörtgen

20

O Merkez B

C 1br

O D

A O D

B C

20⁰

12 8

6.

A B

C E D

F O

Yukarıda bir daire içine düzgün altıgen çizilmiştir. Alınacak bir noktanın taralı bölgeden olma olasılığı kaçtır?

7.

O A

C

D B

O merkezli çemberde |AB|=|CD| ise |AB| ve

|CD| için ne söylenebilir?

8.

A H B

O

O merkezli çemberde [OH] ⊥ [AB] ise | AH|

| HB | oranı kaçtır?

9.

A

C D

B

Yukarıdaki çemberde [AB]//[CD] ise |AB| ve

|CD| için ne söylenebilir?

ÜNİTE 5.

DİK DAİRESEL SİLİNDİR KONİ VE KÜRE

Dik Dairesel Silindir, Yüzey Alanı ve Hacmi Dik Dairesel Koni, Yüzey Alanı ve Hacmi Küre, Yüzey Alanı ve Hacmi

+ + +

Dünyamızın ve diğer gezegenlerin hangi