5.5 Ani Dönme Ekseni

5.5 Ani Dönme Ekseni

Bu bölümde problemleri ani olarak sıfır hıza sahip bir noktayı kullanarak çözeceğiz. Rijit cismin düzlemsel hareketi sadece, bu noktadan geçen bir eksen etrafında dönüyormuş gibi düşünülebilir. Bu eksene ani dönme ekseni veya ani sıfır hız merkezi denir.

NOT: Ani dönme merkezi cisim

üzerinde veya hareket düzleminde sabit

değildir.

A B

v = v ise C sonsuzdadır

Katı cisim konum değiştirdikçe ani dönme merkezi C de konum değiştirir. C nin değişimi cisim üzerinde veya uzayda olabilir. Ani dönme merkezinin uzaydaki geometrik yeri, UZAYDA İZ EĞRİSİ adı verilen, levha üzerinde ise YUVARLANMA eğrisi denilen bir eğri çizer.

Herhangi bir t anında bu iki eğri teğettirler. Levha hareket ettikçe yuvarlanma eğrisi iz eğrisinin üzerinde yuvarlanıyormuş gibi görünür.

NOT: Yuvarlanma eğrisine Rulet ve İZ Eğrisine BAZ adı da verilir.

y u v a r l a n m a e ğ r i s i

i z e ğ r i s i

Bir rijit cismin düzlemsel hareketinde onun üzerindeki A ve B noktalarını seçelim ve bu noktaların hızları birbirine paralel olmasın. Hız vektörlerine (^{v ,A vB}) bu noktalardan çizdiğimiz dik doğrular ani sıfır hız merkezinde kesişir.

NOT: Şekil (a) dan vA skaler hızı ve rA yarıçapı biliniyor ise katı cismin ω açısal hızı

A A

ω v

 r şeklinde elde edilir.

Benzer biçimde ^{B A} B ^B A A B B A

B A A

v v r

ω v v r v r v

r r r

     

Problem 5/12: Eğer OB kolunun açısal hızı  =45^o olduğu anda saat yönünde 10 rad/s ise;

A ve B noktalarının hızlarını ve AB kolunun açısal hızını şekilde gösterildiği anda çözünüz.

Çözüm 5/12:

0 0

0 ( 10 ) 150 2( cos 45 sin 45 )

        

B O OB

v vω OB k i j

1500 1500

 

vB j i

O A O A

O A AB

AB

O A AB

O A

AB O A AO AB

A A

0ω 150

150ω

1500 1500 150ω ω 350

1500 350ω 1500 1500 150ω 350ω

1500 150ω ω 4,28 ω 10 ω =ω

v 150( 10) 1500 v 1,5 m/s

  











      

 

   

    

 

       

   

      



A O O A

A

B A AB

D A

v vω O A k j

v i

v vω AB

j i i k i

j i i j

i i

v v

2 2

D D

1500 ( 4,28 ) (150 )

v 1500i 642 , vj (1,5) ( 0,642) 1,63 m/s

     

     

ωAD AD i k i

Problem 5/11: Şekildeki disk kaymadan sağa doğru V0 (O merkezinin hızı) = 3 m/s ile yuvarlanıyor. Ani dönme merkezini belirleyiniz. Ani dönme merkezini kullanarak disk üzerindeki A noktasının verilen konumundaki hızını bulunuz.

Çözüm 5/11: Diskin kenarının düzleme temas noktasının hızı daima sıfırdır (kayma yok).

VC = 0

V

3 m/s

0ω r rω ω 10 rad/s

r 0,3 m

  

       

0 C

0

V Vω CO

V k j i

0 0

0 10 (0,3 0,2 sin 30 0,2cos30 ) 10 [(0,3 0,1) 0,1732 ] 4 1,732

     

      

A C

A

V Vω CA = - k j j i

V k j i i j

5.6 Bağıl İvme

Dönmeyen referans siteminde bağıl hız denkleminin (vA  vB vA B/ ) zamana göre türevini alırsak; A’nın B’ye göre hareketinde

A B A/B

a = a + a veya a_B





elde ederiz. Bağıl ivmenin normal ve teğet bileşenlerini göz önüne alırsak;

   

A B A/B n A/B t

a = a + a + a

yazabiliriz. Burada

a

 a

 rω

e

 rα e

Bağıl ivmenin normal ve teğet bileşenlerini vektörel çarpım olarak yazarsak (Bolum 5.2 de bir nokta etrafında dönme bahsinde görülen bağıntıdır)

A/B n A/B t

( )ω (ω r) ( )α×r

  

 a

a

( )

       

A B A/B B

a a a aα r ω ω r

Burada bağıl ivmenin mutlak açısal hız

 

 

2 2 2

A/B

A/B A/B

V rω

V rω V rω α



     r

( )

       

A B A/B B BA BA BA

a a a aα BA ω ω BA

Problem 5/13: r yarıçapındaki bir teker sola doğru kaymadan yuvarlanıyor. Şekilde gösterildiği anda daire merkezi O, v0 hızı ve a0 ivmesine sahipse A ve C noktalarının ivmelerini bulunuz.

Çözüm 5.13:

0 0

0 0

A O A/O O A/O n A/O t

V rω ω V yazılır.

r a rω α a

r

( ) ( )

  

  

    

a a a a a a



( a _{A / O} ) _n

( a _{A / O} ) _t

a _O t

A

 O

r ₀

2

2 0 0

A/O n 0 0 A/O t 0 0

V a

(a ) rω r ; (a ) r α r

r r

   

           

Teğet ve normal doğrultuları kullanarak

2

0 0

0 0

rω r α a cosθ a sin θ

  

 

A 0 n t

0 n t

a a e e

a e e

2

0 0 0 0

2 2 2

A 0 0 0 0

(a cosθ r ω ) (a sin θ r α)

a [a cosθ r ω ] [a sin θ r α] cevap

   

    

A n t

A

a e e

a

C ani dönem merkezinin ivmesi a = a + a_{C O C/O}

2

C/O n C/O t

(a )  rω ; (a )  rα

Problem 5/14: Problem 5/8 için AB ve OA kollarının açısal ivmelerini vektör cebrini kullanarak çözünüz.

Çözüm 5/14:

Problem 5/8’den AB  ^{6 / 7}rad s^/ ve OA  ^{3/ 7}rad s^/ biliniyor.

OA

2

2

( )

3 3

0 100 100

7 7

100 100 3 mm/sn bulunur.

OA 7





  

     

    

        

   

      

A B A/B n A/B t

A O OA A OA OA A

A

a a (a ) (a )

a aα r ω ω× r

k j k k j

a i j

_{C B} = 0

 

2

2

/ t AB AB AB

n

2

2 n

( ) 0 2 [2 ( 75 )]

300 mm/s bulunur.

α ( 175 50 ) ( 50α 175α ) mm/s

6 6

( ) ( ) [( ) ( 175 50 )]

7 7

( ) 6 (175 50 ) mm/s bulunu 7

          



        

         

    

B C CB B CB CB B

B

A B AB AB

A/B AB AB AB

A/B

a aα r ω ω r k k i

a i

aα r k i j i j

aω ω r k k i j

a i j r.

Bu üç büyüklük yerlerine yazılır ve i’li ve j’li bileşenleri eşitlersek

n t

(a_A a_B (a_A/B) (a_A/B) de)

AB 2

OA AB

AB

2

0.105

: 100 429 50

: -18,37 36,7 175

OA 4,34

rad s rad

s

  

 

     



    

i

j =

Sonucu elde edilir. Her iki çubuk da saat yönünde dönüyor.

Problem 5/15: Şekildeki krank sisteminde; OB Kolunun saat yönündeki açısal hızı 1500 dev/dak,

 = 60^o olduğu anda A noktasının ivmesini ve AB kolunun açısal ivmesini hesaplayınız.

Çözüm 5/15: a_A



 (

)

 (

)





B noktası O etrafında sabit açısal hızı ile dairesel hareket yapmakta olduğundan teğetsel

ivmesi sıfır olup normal ivmesi

2 2

n B

1500(2 )

a rω a 0.125

60

  

    

Örnek Problem 5/9 dan ω 29,5 rad/s idi. a _B 3080 m/s bulunur.²

2 2 2

A/B n

A/B t AB A A

Problem 5/9 dan

(a ) rω 0,35(29,5) 305 m/s (a ) rα , a a , β 18,02ˆ

  

  i  ^



ω 1500 dev/dak

= s b t



.

A / B)_n



n

.

 _{A B} = 2 9 , 5

 _{A B} u = e_t

t

( a _{A / B}) A

A/B t A/B t A/B n

3080 (cos60 sin 60 ) 1540 2667,35

305(cos18,02 sin18,02 )

290 , , (a ) (a ) sin18,02 (a ) cos18,02

 

 

 

   



B B

A/B n A/B t

a i j

a i j

(a ) i j

(a ) i 94 35j i

j

 

 





A/B t A/B t

: 1540 290 (a ) sin18,02 : 0 2667,35 94,35 (a ) cos18,02

aA   

  

i j





2 /

2

/ 2

2667,35 94,35 2573

(a ) 2663,1 m/s

cos18,02 0,9509

a 1830 (2623,1)(0,30934) 1830 811,4

2623,1 a 1018,6 m/s , (a ) 2623,1

0,35 7494,57 / saat yönünde

A B t

A

A A B t AB AB

AB

r rad s

 



 

    

   

    





5.7 Dönen Eksen Takımlarına Göre Hareket

Kinematikte bir çok problem, sistemin kendisiyle birlikte dönen bir gözlemciye (dönen bir eksen takımına) göre formüle edilirse, çözümleri kolaylaşır.

Şimdi iki noktasal cismin (A ve B) genel hareketini inceleyelim. Şimdilik genelleştirme yapabilmek için

A ve B noktasal cisimlerini bağımsız kabul edelim. X-Y sabit koordinat sistemini ve orijini B noktasında olan  açısal hızı ile dönen x-y koordinat sistemini ele alalım.

A noktasının konum vektörünü,

r_A r_B rr_B xiyj

D Ü Z L E M S E L H A L ( x , y )

( X , Y ) ( X , Y )

Q P

B A

( X , Y ) s a b it ( x , y ) h a r e k e t li

şeklinde yazabiliriz. i ve j vektörleri x-y koordinat sisteminin birim vektörleridir ve onunla birlikte dönmektedir.

Bu vektörlerin zamana göre türevleri;

 ω

i i ve j ω j

formülleri ile veriliyor.

d dθ

dθ ω

dt dt dωi

Şekilden:ω olmaküzere;ω ω ve ω ω bulunur. O halde

d d

ω ve ω bulunur.

dt dt

d dt

   

    

    

    

   

di i j j

j i dj

ω k ω i k i j

ω j k j i

i j

jω× i iω× j

(a) Bağıl hız:

rA konum vektörünün zamana göre türevini alırsak;

 ω

i i ^ve j ω j eşitlikleri kullanılırsa; ^{(x +y )}

x y x y



    



r

A B

ω i j

bağ A/B

r rω i ω j + i + j

V V

    

sonuçta;

A  B    bağ

υ υ ω r υ ifadesini iki maddesel noktanın öteleme hareketindeki bağıl harekette elde ettiğimiz υA  υB υbağ ile kıyaslarsak ω r = ω r^{ } A/B terimi fazladır. Bu, eksenlerin dönmesinden ortaya çıkmaktadır.

ω×r ve υbağ terimlerini açalım.

Şekildeki A noktasının katı cisimle dönen x, y eksenlerine göre bağıl hareketi bir eğrisel yatak içerisinde olsun. Eğrisel yatak katı cisim levhasının yani x, y nin sabit bir parçasıdır.

υA/B: x,y eksenlerine göre A nın B ye göre hızı olup ^υ ile gösterilir. Eğrisel yatağa teğettir.

Büyüklüğü ise _A/B ds

 dt 

υ s dir.

Bu υbağ hızı ile aynı zamanda υA/P şeklinde ifade edilebilir. Buradaki P noktasını göz önüne alınan anda düzlemin ve doğal olarak eğrisel yatağın SABİT bir noktası olup o anda A ile çakışıktır.

terimi:ω r _rθωr _θrθ

ω× r k e e e olup, büyüklüğü _rθ ve doğrultusu r = e^r r vektörüne diktir. Ve, B’ye yerleştirilen, dönmeyen x, y eksenlerinde P nin B’ye göre hızıdır. Bu hareket A noktasının B etrafında  açısal hızıyla dönme hareketidir. Sonuç olarak:

NOT : İkinci denklemdeki υP/B

terimi dönmenin olmadığı

konumdan ölçülmüştür, aksi halde sıfır olurdu.

υA/P terimi υbağ ile aynıdır. A nın (x, y) deki hızıdır. ^υ_P hızı P nin mutlak hızıdır. Dönme ve öteleme

şeklinde elde edilir.

(b) Zamana göre türevin dönüşümü:

A  B    _rel

v vω r v eşitliği konum vektörünün zamana göre türevinin dönen ve dönmeyen eksen takımlarına göre dönüşümünü gösterir. Bunu genel olarak herhangi bir

x y

V V

 

V i j vektörüne uygulayabiliriz.

NOT: Dördüncü denklemdeki

A/B  P/B  A/P  bağ dir.

υ υ υ ω× r +υ

V



V =V

i j

   

XY

x y x y

d V V V V

dt

     

 

 V    

i j i j

burada eşitliğin sağındaki birinci ifade

xy

d dt

 

 

 

V ve ikinci ifade ise

x y x y

V (ω i )+V (ω j = ω ) (V i V )j = ω V dir.

ω

XY xy

d d

dt dt

     

   

   

V V

V

yazabiliriz.

(c) Bağıl ivme:

Bağıl ivme eşitlikleri, υA υB  ω r + υbağ bağıl hız eşitliklerinden türev alarak elde edilebilir.

ω ω

A



       

a a r r v

konum vektörünün türevi;

x y

r= d (x +y )=(x +y )+(x +y )=x( )+y( ) dt

+ = ×(x +y )+

=ω×r+

 _xy  

bağ bağ

bağ

r r i j

i j i j i jω× iω× j

υ ω i j υ

rυ

    



buradan ivme ifadesindeki üçüncü terim;

bağ bağ

ω×rω×(ω×r v )ω×(ω×r)ω×v = + = + ve son terim;

bağ

bağ bağ

v d ( ) ( ) ( )

dt

ω (x +y )+( )

=ω v a

x y x y x y

x y

     

  

 

i j i j i j

i j i j

 

      

   

Tüm ifadeyi tekrar yazarsak;

A B bağ bağ

a  aω r ω (ω r)+2ω v    +    a 

Özet olarak, eğer referans sistemimizi dönen referans sistemi seçmişsek formüllerde;

vB : dönen eksen takımının orjini B’nin mutlak hızı

aB : dönen eksen takımının orjini B’nin mutlak ivmesi

r : ilgili noktanın B’den itibaren konum vektörü

ω : dönen eksen takımının açısal hızı

α : dönen eksen takımının açısal ivmesi vbağ : A’nın dönen eksenlere göre bağıl hızı abağ: A’nın dönen eksenlere göre bağıl ivmesi

( )+2

      

A B bağ bağ

a aω r + ω ω r ω υ a A’nın mutlak ivmesidir.

2ω×υ _bağ

( a _{b a ğ})_t

( a _{b a ğ})_n a_B

Problem 5/16

ω r:  P nin B ye gore hareketinde teğetsel ivme ω r   ^r ^r

:

ω× (ω× r) P nin B’ye gore hareketinde normal ivme

)ω r 2

ω× (ω×r

bağ :

a A nın B’ye gore hareketinde ivme, n ve t bileşenleri görülüyor.

 

 

2ω υ _bağ : Coriolis ivmesi

Şekilde gösterilen anda radyal yatağı olan bir disk, saatin tersi yönünde 4 rad/s açısal hız ve saat yönünde 10 rad/s² lik bir açısal ivme ile dönüyor. A kayıcı mesneti bağımsız olarak kontrol edilmektedir.

Gösterildiği anda r = 150 mm ^{r 125 mm/s} ^ ve r 2025 mm/s ² ise; A’nın mutlak hızını ve ivmesini hesaplayınız.

ÇÖZÜM İÇİN NOT: Dönen bir yörüngeye göre bağıl hareket var. Orijin O da olan ve diske bağlı hareket eden hareketli (x, y) seçilmeli.

Çözüm 5/16: ^B

y

A

ω=4 rad/s

ω=10 rad/s 2 

r=150 mm r=125 mm/s



r=2025 mm/s2

x 

Y O r

bağ

Hız: idi. (X,Y) ile (x,y) yi

verilen anda O da seçersek 0 olur.

0 ; 4

4 (0,150 ) 0,125 (0,6 0,125 ) m/s

  



   

   

A B bağ

B A

A

υ = υ ω r υ

υ

υ ω r + υ ω k

υ k i i j + i

2 2

(0,6) (0,125) 0,613 m/s cevap

A   

OA OA

ivme :ωa_A a₀  ω OA +(ω  ) 2OAω _OAυ  _bağa  _bağ Yandaki değerler yerlerine yazılırsa toplam ivme

2

2 2 2

(2,025 2,4) (1,0 1,5) ( 0,375 0,5 ) m/s

( 0,375) ( 0,5) 0,625 m/s Cevap

Cevap

   

  

    

A A A

a i j

a i j

a

2

2

2

2

2 2

10 (0,15 ) 1,5 m/s ( )=4k (4 0,15i)

=4 0,6 ( 2,4 ) m/s

2 2(4 ) (0,125 )

2 (1,0 ) m/s

d r (2,025 ) m/s dt

k i



     

   

 

  

 

 

0

bağ bağ

bağ

a 0

ω r k i j

ω ω r k

k j = i

ω υ

ω υ j

a i i



Problem 5/17: AC kolunun A pimi, OD kolunun içindeki bir yatakta hareket etmektedir. OD kolunun açısal hızı sabit ve saat yönünde 2 rad/s ve şekilde gösterildiği =45^o anında AC kolu yatay ise; A piminin hızını ve OD koluna göre bağıl hızını bulunuz.

ÇÖZÜM İÇİN NOT: A piminin dönen yatağa göre hareketi (x,y) eksen takımını OD koluna bağlamamızı öneriyor. X,Y ile x,y nin orijinleri O olur.

OB+ formülündeki 0 olur

   

A B bağ B

υ υ ω υ υ

Çözüm 5/17:

CA

CA

CA

CA CA CA CA

CA (katı cisim)

0ω 225( )

2 225ω ( )

2

0 2 225 2 x , 'ları eşitlersek 225ω ( ) 450 x

2

225 225 450 2

ω x ve ω 450 ω ω 4 rad/s

2 2 225

x=225( 4) 450 2 m 2

  

    

 

   

   

 

      

  

A C CA

A

A

A B OA bağ

A A

υ υ ω

υ k i j

υ i j

υ υ ω OA υ

υ k i i υ

i - j j i

i : j:







 m/s Cevap

| | 225(4) 2 900 mm/s Cevap

A 2

  υ_A  

2 2

(450 225) (225) 225 2 mm

x

OP r

r





  



bağ 

OP = OA i

OP = r i

i i

υ i

Problem 5/18: Problem 5/17 nin verilerine göre AC kolunun açısal ivmesini ve OD kolunun içerisindeki dönen yatağa göre A nın ivmesini belirleyiniz.

Çözüm 5/18:

CA

CA

CA

( )

225 225

0ω ( ) 4 ( 4 ( ))

2 2

225 900

ω ( ) 4 ( ( ))

2 2

225 3600

ω ( ) ( ))

2 2

( ) 2 ;

2 2(2 ) ( 450 2 )

     

      

   

  

       

 

    

A C CA CA CA CA CA

A

A

A

A B OA OA OA OA OA bağ bağ

bağ

a aω r ω ω r

a k -i - j k k -i - j

a -j + i k -j + i

a i j i + j

a aω r ω ω r ω×υ a

ω×υ k i











1800 2 mm/s2

d x bulunur. Yerlerine yazılıp koordinatlarını eşitlersek dt



 ^bağ 

bağ

j

a υ i

CA CA

CA 2

CA

2 CA

1 1

(225ω 3600 ) ( 225ω 3600 )

2 2

900 2 1800 2

: 225ω 3600 900 2

ω 32 rad/s 2

8910 mm/s

225ω 3600

: 1800 2

2

bağ

x

x

x a

   

   

       

    



i j

i j i

i j





 



 

istendiği zaman A nın mutlak ivmesi

225 3600 2

(32)( ) ( ) (7637 2550 ) mm/s

2 2

yazılır.

   

aA i - j i + j i j

2 2

| | (7637) ( 2550) 58323769 5062500 7961,6 mm/s

A A

A

a a

a

     

