1. Trigonometrik Fonksiyonların Periyotları
f: A → B fonksiyonunda ∀x ∈ A için f(x + P) = f(x) eşitliğini sağlayan sıfırdan farklı bir P reel sayısı varsa, f fonksiyonuna periyodik fonksiyon ve sıfırdan farklı P reel sayısına da fonksiyonun periyodu denir.
• ∀x ∈ R ve k ∈ Z olmak üzere, sin(x + 2πk) = sinx ve
cos(x + 2πk) = cosx olduğundan
sinüs ve kosinüs fonksiyonları periyodiktir ve periyotları 2π’dir.
• ∀x ∈ R – + 2
π π
k ve k ∈ Z olmak üzere, tan(x + πk) = tanx ve
∀x ∈ R – {πk} ve k ∈ Z olmak üzere, cot(x + πk) = cotx olduğundan
tanjant ve kotanjant fonksiyonları periyodiktir ve periyotları π’dir.
2. Trigonometrik Fonksiyonların Periyot Özellikleri
Uygun tanım kümelerinde verilmiş trigonometrik fonksiyonlar için, n ∈ Z – {0} ve , , , ∈
a b c d R olmak üzere;
I. f(x) = a + b · sinn(cx + d) ve g(x) = a + b · cosn(cx + d) fonksiyonlarının periyotları
• n tek tam sayı ise
• n çift tam sayı ise olur.
I. f(x) = 3sin(5x + 3) + 2 II. g(x) = 4cos4(–6x + 3) III. h(x) = tan3(2x – 1)
I. 3sin(5x + 3) + 2 fonksiyonunda x’li terimin katsayısı 5 olduğundan, f(x) fonksiyonunun periyodu 2 2
= ' tir.
5 5
π π
II. 4cos4(–6x + 3) fonksiyonunda x’li terimin katsayısı (–6) olduğundan, g(x) fonksiyonunun periyodu = ' dır.
– 6 6
π π
III. h(x) = tan3(2x – 1) fonksiyonunda x‘li terimin katsayısı 2 olduğundan, h(x) fonksiyonunun periyodu = ' dir.
2 2
π π
3. Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonlarının Grafikleri
Sinüs Fonksiyonunun Grafiği
f(x) = sinx fonksiyonunun grafiği, ∈x R olmak üzere (x, sinx) noktalarının analitik düzlemdeki geometrik yeridir.
f(x) = sinx fonksiyonun periyodu 2π olduğundan x ∈ [0, 2π] seçilir ve oluşan grafik periyodik aralıklarla tekrarlanarak fonksiyonun genel grafiği çizilir.
sinx fonksiyonunun periyodu 2π olduğundan, y eksenine göre simetriktir.
f(x) = cosx fonksiyonunun grafiği, ∈x R olmak üzere (x, cosx) noktalarının analitik düzlemdeki geometrik yeridir.
f(x) = cosx fonksiyonunun periyodu 2π olduğundan x ∈ [0, 2π] seçilir ve oluşan grafik periyodik aralıklarla tekrarlanarak fonksiyonun genel grafiği çizilir.
cosx fonksiyonunun periyodu 2π olduğundan, orijine göre simetriktir.
Örnek: f : [0,2 ]π → R olmak üzere, y = f(x) = 2sinx – 1 fonksiyonunun grafiği çiziniz.
y = f(x) = 2sinx – 1 fonksiyonunun grafiğini çizerken, değerleri için y değerleri bulunur.
Bu verilere göre, y = f(x) = 2sinx – 1 fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir:
e Kotanjant Fonksiyonlarının Grafikleri
Tanjant Fonksiyonunun Grafiği
f(x) = tanx fonksiyonunun grafiği ∈k Z ve – + 2
π
∈ π
x R k olmak üzere, (x, tanx) noktalarının analitik düzlemdeki geometrik yeridir.
f(x) = tanx fonksiyonunun periyodu π olduğundan, seçilir ve oluşan grafik periyodik aralıklarla tekrarlanarak fonksiyonun genel grafiği çizilir.
Kotanjant Fonksiyonunun Grafiği
f(x) = cotx fonksiyonunun grafiği, k∈Z ve x∈R –
{ }
kπ olmak üzere (x, cotx) noktalarının analitik düzlemdeki geometrik yeridir.f(x) = cotx fonksiyonunun periyodu π olduğundan, x ∈ (0, π) seçilir ve oluşan grafik periyodik aralıklarla tekrarlanarak fonksiyonun genel grafiği çizilir.
5. Ters Trigonometrik Fonksiyonlar
Arksinüs Fonksiyonu
olmak üzere, f(x) = sinx fonksiyonu birebir ve örtendir.
Bu durumda olmak üzere, f(x) = sinx fonksiyonunun ters
fonksiyonu f–1(x) = arcsinx şeklinde tanımlanır.
Arkkosinüs Fonksiyonu
f: [0, π] → [–1, 1] olmak üzere, f(x) = cosx fonksiyonu birebir ve örtendir.
Bu durumda f–1: [–1, 1] → [0, π] olmak üzere, f(x) = cosx fonksiyonunun ters fonksiyonu f–1(x) = arccosx şeklinde tanımlanır.
Arktanjant Fonksiyonu
π π →
Arkkotanjant Fonksiyonu
( )
f : 0,π → R olmak üzere, f(x) = cotx fonksiyonu birebir ve örtendir.
Bu durumda f–1:R →
( )
0,π olmak üzere, f(x) = cotx fonksiyonunun ters fonksiyonu f–1(x) = arccotx şeklinde tanımlanır.Örnek : 1
arccos arcsin1
2 + toplamının değerini bulunuz.
arccos 1 = ise 2
cos = 1 ' dir.
2 x x
π π
arccos , [0, ] aralığında değer aldığından = olur.
x x 3
= arcsin1 ise
sin = 1' dir.
y
y
π π π
,
arcsin , – aralığında değer aldığından = olur.
2 2 2
y y
O hâlde,
π π
π arccos 1 + arccos1 = +
2
= +
3 2
= 5 olarak bulunur.
6
x y
6. T ers Trigonometrik Fonksiyonların Özellikleri
I. Uygun tanım ve değer kümelerinde birebir ve örten olan tüm trigonometrik fonksiyonların grafikleri ile bunların ters trigonometrik fonksiyonlarının grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir.
II. Uygun tanım ve değer kümelerinde verilen ters trigonometrik fonksiyonlarda;
arcsin(–x) = – arcsinx, arccos(–x) = π – arccosx, arctan(–x) = – arctanx ve
arccot(–x) = π – arccotx olur.
Örnek: 3
tan – arccos π 5
ifadesinin değerini bulunuz.
3 3
arccos = ise cos = ' tir.
5 a a 5
cos = 3
a 5 koşulunu sağlayan dik üçgen aşağıdaki gibi çizilir:
Bu durumda,
( )
π π
tan( – arccos 3 ) = tan – 5
= – tan
= – AB BC
= – 4 olarak bulunur.
3
a
a
a
