in moment üreten fonksiyonu denir.

(1)

Tanım

X

bir rasgele değişken olmak üzere (var olması halinde),

( ) ( ^tX) ( 0)

MX t E e    h t h h

fonksiyonuna

X

in moment üreten fonksiyonu denir.

Örnek

X

rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu, ( ) 0

0 e

x

f x d y





 

      olsun.

( 1)

0 0

tx x t x

e e dx e dx

 







 

integrali t  1 için yakınsak olduğundan,

X

in moment üreten (moment çıkaran) fonksiyonu vardır ve

( 1)

0 0

( 1)

1 0

( )

1 (1 ) , 1

1 1

tx x t x

X

t x

x

M t e e dx e dx

e t t

t t

 

 

 





 

    

 

 

dır.

Örnek

X

rasgele değişkenin olasılık fonksiyonu,

( ) 0 1 2 ( 0)

e

x

f x x …

x



 





     

 olsun.



t  R için

0

!

tx

x

e e x











serisi yakınsak olduğundan,

X

in moment üreten (moment çıkaran) fonksiyonu vardır ve

0 0 0

( 1)

( ) ( )

( ) ! ! !

t

x t x t x

tx X

x x x

e

et

e e e e

M t e e e e

x x x

e t

 



  



 

  

 

  



   

  

  

dır. Bir

X

rasgele değişkenin moment üreten fonksiyonu,

0

( 1)

( )

tx

X

x

et

e

M t e

x









  ise

X

in olasılık fonksiyonu

1

( ) e 0 1 2

f x x …

x





    



dır.

(2)

Teorem Bir

X

rasgele değişkenin moment üreten fonksiyonu varsa,

0

( ) ( ) 1 2

n

n n X

t

d M t E X n …

dt

_

   

dır.

İspat: E ile t ye göre türev alma işlemlerinin yer değiştirebileceği varsayımı altında,

 

2 2 2

2

2 2 2

3 3 3

3

3 3 3

( ) ( )

tX tX tX

X

tX tX tX

X

tX tX tX

X

d d d

M t E e E e E Xe

dt dt dt

d d d

M t E e E e E X e

dt dt dt

d d d

M t E e E e E X e

dt dt dt

 

    

 

 

    

 

 

    

 

ve genel olarak,

 

( ) ( )

k k k

tX tX k tX

k X k k

d d d

M t E e E e E X e

dt dt dt

 

    

  , k=1,2,3,...

olmak üzere,

 

₀

0

( ) ( )

k

k tX k

k X t

t

d M t E X e E X

dt

_



^

 , k=1,2,3,...

dır.

Örnek M

_X

( ) t  e

^⁽^e^t^¹⁾

 t  olmak üzere

( 1)

0 0

( ) dM

^X

( ) t

_t ^t ^t _t

E X e e

dt



 ^



 

    

2 2

2 0

( 1) 2 ( 1)

0

2

( ) ( )

[

^t

( )

^t

]

X t

e e

t t

t

d M t

E X dt

e e

^

e e

^

 



 



 

  

 

elde edilir.

Not: Bir rasgele değişkenin beklenen değeri (ortalaması) dağılımın merkezi, varyansı ya da

standart sapması beklenen değer etrafında yayılımın büyüklüğü hakkında fikir vermektedir.