1. Yönlü Açılar. 2. Trigonometrik Fonksiyonlar

Muharrem Şahin

1. Yönlü Açılar

1.

Aşağıda verilen açıların başlangıç kenarlarını, bitim kenarlarını ve yönlerini belirtiniz. Açıları sembollerle gösteriniz.

a. b.

c. d.

2.

Aşağıda verilen çember yaylarının başlangıç noktala- rını, bitim noktalarını ve yönlerini belirtiniz. Yayları sem- bollerle gösteriniz.

a. b.

c. d.

3.

Derece ve radyanın tanımını yapınız.

Bir açının derece cinsinden ölçüsü D, radyan cinsinden ölçüsü R olmak üzere; orantı yardımıyla

π R 180

D 



bağıntısını bulunuz.

4.

Aşağıda derece cinsinden verilen ölçüleri radyana;

radyan cinsinden verilenleri de dereceye çeviriniz.

a. 40° b.

5

 c. 75° d.

3 2

e. 2 f. 90° g. 12° h.

8 3

i. 3

2 j. 150° k.

12

7 l. 225°

5.

Aşağıda ölçüleri verilen açıların esas ölçülerini aynı birimde bulunuz.

a. 750° b. 3420° c. 70° d. 570°

e. 1570° f. 12 g.

5

23 h.

4 47

i. 4 j.

4

3 k.

5

43 l.

6

71

2. Trigonometrik Fonksiyonlar

1.

ABC dik üçgeninde AB  AC,

AB c, AC b, BCa ve 



) B ( s

olduğuna göre; ’nın trigonometrik oranlarını yazınız.

Bunlardan yararlanarak, aşağıdaki bağıntıları bulunuz.

a. sin²  cos²  1 b. tan



  cos

sin

c. cot



  sin

cos

d.

 

 tan

cot 1

e.

  

cos

sec 1 f

.

 

 sin

csc 1

g.

1  tan

²

  sec

²



h.

1  cot

²

  csc

²



A C

B F

D

E

M K L

X Z

Y

A c

C

B a

b O 

B

A

O

C D

O F

E O

M

N

Muharrem Şahin

2.

Aşağıda kenarlarının ölçüleri verilen dik üçgenlerde, ölçüleri  ve  olan açıların trigonometrik oranlarını bu- lunuz.

a. b.

c. d.

3.

Aşağıdaki dik üçgenlerde x ve y ile gösterilen uzun- lukları, verilen ölçüler cinsinden yazınız.

a. b.

4.

Dik üçgen yardımıyla, aşağıdaki şekillerde verilenlere göre istenenleri bulunuz.

a. b.

tan   ? cos   ?

c. d.

sin  5

 3 ise tan   3 ise

tan   ? sin   ?

e. f.

tan   ? AB // CD ise

tan   ?

g. h.

sin   ? AB // CD ise

cos   ?

i. j.

AB  AC ve AH  BC AB  AC ve AB  AC ise sin   ? ise tan   ?

k. l.

AB  AC ve AD DC AC  BC ise ise tan   ? tan   ? A

 C

B

4 cm

2 cm





 7 cm 5 cm D

F

E

K

M L

43 cm

62 cm

  



93 cm 153 cm

T S

R

4 cm D 36°

F

E y

x A

C B

6 cm

x y

A

C B

6 cm

26 cm 6 cm



A

C B

9 cm

6 cm 9 cm



A

C B



 

A

C B



 

A

5 cm

D C

B 6 cm

8 cm



6 cm 6 cm

B A

D 4 cm C

8 cm



A

C B



7 cm 5 cm

8 cm

6 cm 8 cm

B A

D 4 cm C

14 cm



A

B H C

4 cm

 2 cm



4 cm 6 cm C

B D

A

 B C

D A

45°

A

C B

5 cm

 3 cm

D

4 cm

Muharrem Şahin

m. n.

m(A^)< 90° ve tan 3

B ^ 4 AC  BC ise

ise tanA  ? ^ tan   ?

5.

Şekilde; O merkezli birim çember xOy dik koordinat sis- teminin eksenlerini A, A, B ve B noktalarında kesmek- tedir. Esas ölçüsü  olan AOP açısının bitim kenarının, çemberin A ve B’deki teğetleri ile kesim noktaları T ve K; çemberin P’deki teğeti ile eksenlerin kesim noktaları D ve E’dir.

a. P, T, K, D ve E noktalarının koordinatlarını  açısı cinsinden yazınız.

b. 1. etkinlikte bulduğunuz bağıntıları, bu şekildeki eş ya da benzer üçgenlerden ve pisagor bağıntısından yararlanarak yeniden bulunuz.

6.

Aşağıdaki şekillerde, O merkezli birim çemberler xOy dik koordinat sisteminin eksenlerini A, A, B ve B nokta- larında kesmektedir.

Esas ölçüsü  olan AOP açılarının bitim kenarlarının çemberlerin A ve B’deki teğetleri ile kesim noktaları T ve K; çemberlerin P deki teğetleri ile eksenlerin kesim noktaları D ve E’dir.

Buna göre; P, T, K, D ve E noktalarının koordinatlarını

 açısı cinsinden yazınız. Yazdığınız koordinatların işa- retlerini belirtiniz.

a.

b.

c.

A

C B

2 cm



2 cm D

3 cm A

B 15 cm C 20 cm

A A

B

B E

D K T

S P

C O

1

 x

y

A A

B

B E

D K

T P S

C O 1

 x

y

A A

B

B

E D

K T

S P C

O



x y

A A

B

B

E

D K

T S

P C O

 x

y

Muharrem Şahin

7.

Trigonometrik fonksiyonların tanım ve görüntü küme- lerini belirtiniz.

8.

Aşağıdaki ifadeleri sadeleştiriniz.

a.

x tan

1 x sin

1

2

2  b.

) x sin 1 ( x tan

x cos 1

2 2





c. sin cos 1

cos sin 2

2

2 





 d.

x cot x tan

x cot x tan





e. sinx cosx x cos x sin 2 1





 f.





 







2 2 2 2

cot 1 cot tan 1

tan

g. sin⁴xcos⁴xcos²x h.

x sin

x cos 1 x cos 1

x

sin 

 

i. cscx sinx x cos x sec



 j.







 









csc 1

sec 1 cos 1

sin 1

k.  





 tan sin 1

cos l.





 







2

2 1 cot

cot tan

1 tan

9.

Aşağıdaki özdeşliklerin doğruluğunu gösteriniz.

a. cosx

x sin 1 x sin 1

x

cos 

 

b. tan²sin²tan²sin² c. cot²cos²cot²cos² d. tanxcotxsecxcscx

e. tanx coty

x cot y tan

y cot x

tan  





f.  





 





 2csc

sin cos 1 cos 1

sin

g. (1cot)²(1cot)²2csc² h. cossintansec

i. (tanxcotx)(1cosx)(1cosx)tanx

j. tan x tan x tanx 1

x cos

x cos x

sin _{3 2}

3    



10.

Şekildeki dik üçgenden yararlanarak 

2 nın trigonometrik oranlarını

’nın trigonometrik oranları cinsinden yazınız.

Örneğin;









 





























 





2 csc sec b

csc a

b a sec 2

11.

Şekildeki dik üçgenlerden yararlanarak 30°, 45° ve 60° lik açıların trigonometrik oranlarını bulunuz.

12.

Şekildeki dik üçgenlerden yararlanarak 15°, 75°, 22,5° ve 67,5° lik açıların trigonometrik oranlarını bulu- nuz.

(Açıortay teoremini kullanarak AD uzunluklarını bulunuz.)

13.

Şekildeki ikizkenar üçgenden yararlanarak 36°, 54°, 18° ve 72° lik açıların trigonometrik oranlarını bulunuz.

(ABC



~BCD



benzerliğini kullanarak DC yi bulunuz.)



B a C

A

c b

   2

C

B 2 br

A

30° 60°

B C

1 br A

45°

1 br

C

B 2 br

A

15° 60°

15°

D

C B

D A

22,5°

1 br

22,5° 45°

A

D

C B

36°

36°

36° 72°

Muharrem Şahin

14.

Birim çemberden yararlanarak 0°, 90°, 180° ve 270° lik açıların trigonometrik oranlarını bulunuz.

15.

Aşağıda trigonometrik oranlarından biri verilen dar açıların diğer trigonometrik oranlarını bulunuz.

a. 5

x 3

sin  b.

3

cos 1 c. tan   3

d. 2

y 1

cot  e. sec  4 f. cscw  5

16.

0 < x <

2

 olmak üzere, x’in trigonometrik oranla- rını;

a. sinx cinsinden yazınız.

b. cosx cinsinden yazınız.

c. tanx cinsinden yazınız.

d. cotx cinsinden yazınız.

e. cesx cinsinden yazınız.

f. cscx cinsinden yazınız.

17.

Birim çemberde, aşağıda verilen ve başlangıç noktaları A olan yayların bitim noktalarının koordinatlarını bulunuz.

a. 3

 b.

3

2 c.

6

5 d.

4 5

e. 240° f.

2

3 g. 315° h.

4 15

i. 1500° j.

6

 k.

6 35

 l.

4 43



18.

Şekilde, toplamı 180° olan  ve  açıları birim çembere yerleştirilmiştir.

Şekildeki eş üçgenleri kullanarak nın trigonometrik oranlarını

’nın trigonometrik oranları cinsinden yazınız.

19.

Şekilde, farkı 180°

olan  ve  açıları birim çembere yerleştirilmiştir.

Şekildeki eş üçgenleri kullanarak nın trigonometrik oranlarını

’nın trigonometrik oranları cinsinden yazınız.

20.

Şekilde, toplamı 360° olan  ve 2 açıları birim çembere yerleştirilmiştir.

Şekildeki eş üçgenleri kullanarak 2nın trigonometrik oranlarını

’nın trigonometrik oranları cinsinden yazınız.

21.

k  Z olmak üzere, birim çemberde başlangıç ke- narları aynı olan k 2 ve  açılarının bitim kenarla- rının da aynı olacağını düşünerek; k 2 açılarının trigonometrik oranlarını  açısının trigonometrik oranları cinsinden yazınız.

22.

() açısının trigonometrik oranlarını  açısının tri- gonometrik oranları cinsinden yazınız.

B

x A A

B

1 O

y

A

T

P

B

  

H K

T

H

K

O

  P

A

P

B

  

H T H

K

O

 P

A

P T

B

2   H K

T y

K

O

 P

x

Muharrem Şahin

23.

Şekilde, farkı 90°

olan  ve  2

açıları birim çembere yerleştirilmiştir.

Şekildeki eş üçgenleri kullanarak 

2 nın

trigonometrik oranlarını

’nın trigonometrik oranları cinsinden yazınız.

24.

Şekilde, toplamı 270°

olan  ve  2

3 açıları

birim çembere yerleştirilmiştir.

Şekildeki eş üçgenleri kullanarak



 2

3 nın

trigonometrik oranlarını

’nın trigonometrik oranları cinsinden yazınız.

25.

Şekilde, farkı 270°

olan  ve  2

3 açıları

birim çembere yerleştirilmiştir.

Şekildeki eş üçgenleri kullanarak



 2

3 nın

trigonometrik oranlarını

’nın trigonometrik oranları cinsinden yazınız.

26.

Aşağıdaki trigonometrik oranları ’nın trigonometrik oranları türünden yazınız.

a. cos() b. tan() c. sin()

d. cot() e. sin 



 





2 f. cot 



 



 2

g. cos 



 



  2

3 h. tan 



 



  2

3 i. sin 



 



  2 3

j. cot 



 



  2

3 k. cos(2) l. tan(2)

m. sin(9) n. cos 



 



 





 2

11 o. tan 



 



 



 2

7

27.

Aşağıda ölçüleri verilen açıların trigonometrik oran- larını bulunuz.

a. 120° b.

4

3 c.

6

5 d. 210°

e. 225° f.

3

4 g.

3

5 h. 315°

i. 6

11 j.

4

 k.

6

7 l.

3 16

m. 6

25 n.

4

27 o.

3

50 p.

6

77

28.

 

2 x olduğuna göre x açısının trigonometrik oranlarını;

a. sinx cinsinden yazınız.

b. cosx cinsinden yazınız.

c. tanx cinsinden yazınız.

d. cotx cinsinden yazınız.

29.

2

x 3





 olduğuna göre x açısının trigonometrik oranlarını;

a. sinx cinsinden yazınız.

b. cosx cinsinden yazınız.

c. tanx cinsinden yazınız.

d. cotx cinsinden yazınız.

A

T

P

B

H K

T y

K

O

 P

 x

B

A H

   2

A T

P

B

H K

T y

K

O

 P

x

B

A

H

3   2

A

T

P

B

H K

T y

K

O

 P

x H

3   2

Muharrem Şahin

30.

   2 2 x

3 olduğuna göre x açısının trigonometrik oranlarını;

a. sinx cinsinden yazınız.

b. cosx cinsinden yazınız.

c. tanx cinsinden yazınız.

d. cotx cinsinden yazınız.

31.

0 < x <  ve cosx 5

3

 olduğuna göre

sinx  tanx değeri kaçtır?

32.

2

x 3 2

 



ve tanx  2 ise sinx  cosx değeri kaçtır?

33.

 < x < 2 ve cosx 3

 2 ise tanx değeri kaçtır?

34.

Aşağıdaki ifadeleri en sade biçimde yazınız.

a.

) x cos(

2 x sin

) x cot(

2 x tan 3











 















 



 

b. 



 



 







 



 

 





 x

2 cos 5 2 x

cos 3 ) 3 x sin(

) 3 x sin(

c.





 



 





 





 



 





 





 











2 cos 3

) 3 tan(

2 cot 5

) 2 cos(

tan 2 ) sin(

d. 



 



 





 



 





 





2 x tan 3 2 x

sin 3 2 x

cos

e.





 



 







 



 









 



 









 





2 x tan 3 1

x 2 cos 2 x

cot 1

2 x sin

f. 



 



 















 



 



2 x 5 tan ) 7 x 2 cos(

sin5

2 x 9 cos

35.

Aşağıda verilen x, y, z değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

a. x  sin155° ; y  tan205° ; z  cos335°

b. x  cos140° ; y  sin220° ; z  tan310°

c. x  sin134° ; y  tan226° ; z  cos314°

d. x  cos160° ; y  sin260° ; z  cot340°

36.

Aşağıdaki fonksiyonların en büyük değerleri ile en küçük değerlerini bulunuz.

a. 2

1 x sin ) 3 x (

f 

 b.

4 3 x 3 cos ) 2 x (

g 

 c. h(x)(2sinx)(3sinx)

d. k(x)(2cosx3)(cosx3) e. p(x)2cos²x9cosx4 f. t(x)tan²x2tanx15

37.

Aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz.

a. 18

sin 7 sin²9 ² 



b. 7

cos2 14

sin3 



c. sin²324sin²144tan200tan290

d. 7

tan4 7 tan3 9 cos 8 18

cos²11 ² 







e. sin²48cos²78sin²138cos²168

38.

Aşağıdaki ifadelerin değerlerini hesaplayınız.

a. sin²1sin²3sin²5....sin²89 b. cos2cos4cos6....cos178 c. (sin3sin6....sin87)

(cos3cos6....cos87) d. sin91sin92sin93....sin269

e. tan1tan3tan5....tan179 f. cot91cot93cot95....cot179

Muharrem Şahin

39.

2

1 x sin x cos

x cos 2 x

sin 



 ise tanx kaçtır?

40.

 

2 x olmak üzere,

2 x cos x sin 2

x sin 2

2 2

2





 ise tanx kaçtır?

41.

2

x 3





 olmak üzere,

3 2 x sin x cos x sin

x cos x cos x sin

2

2 









 ise tanx kaçtır?

42.

3sinx4cosx5 ise sinx kaçtır?

43.

 < x < 2 olmak üzere

2 3 x cot 1

x tan

1 

 

 ise cosx kaçtır?

44.

tan10°  a ise













 cot350) sin100 cos190 170

(tan

ifadesinin a türünden değeri nedir?

45.

0 < x <

2

 olmak üzere, tanxcotx2 ise;

a. x açısının ölçüsünü 4

 ile karşılaştırınız.

b. tan²xcot²x toplamı kaçtır?

c. tan x cotx toplamı kaçtır?

46.

 

2 x olmak üzere, 6 cot tan cot

tan² ²   ise





 ²

2 cot

tan toplamı kaçtır?

47.

4

x 3 2

 



olmak üzere,

8 x 3 cos x

sin 



 ise sinx  cosx toplamı kaçtır?

48.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri sin ve cos

dır. sincos 2 olduğuna göre, bu denklemi ya- zınız.

49.

Aşağıdaki şekillerde verilenlere göre, istenenleri bu- lunuz.

a. b.

tan   ? cot   ?

c. d.

ABCD kare ve AB // CD ise

tanx  4 ise siny  ? cos   ?

50.

a b 2



 ve

5 a 3

sin  ise sin(2a3b) kaçtır?

51.

a b 2



 ve tana  2 ise tan(2a  b) kaçtır?

52.

Yatayla 10° lik açı yapan bir yolda 1000 m yürüyen biri, yürümeye başladığı noktaya göre kaç m yükseğe çıkar?

A B

C x

y D

E

6 br

2 br

A B

C D 3 br E 6 br

9 br F



A

B C







A B

C D 3 br

6 br 5 br

8 br



Muharrem Şahin

53.

Gözü yerden 160 cm yüksekte olan biri, yatay ola- rak kendisinden 20 m uzakta bulunan bir ağacın tepe- sini yatayla 40° lik açı yapan bir doğrultuda görüyor.

Ağacın boyu kaç m dir?

54.

Gözü yerden 180 cm yüksekte olan biri, bir elektrik direğinin tepesini yatayla 35° lik açı yapan bir doğrultu- da görüyor. Direğe doğru 40 m yürüdüğünde direğin te- pesini gördüğü doğrultunun yatayla yaptığı açı 55° olu- yor. Direğin boyu kaç m dir?

3. Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri

1.

Aşağıdaki fonksiyonların esas periyotlarını bulunuz.

a. 



 



 



sin x 5 )

x ( f

b. f(x)  cos2x

c. 



 





 3x

sin 3 3 ) x ( f

d. f(x)  2tan(x  2)

e. f(x)  cot 4

2 3 x



 



 

f. 3

x sin2 3 ) x (

f 

g. f(x)sin(x2)

h. 



 



 





3cos 3 x 6 )

x ( f

i. 



 



 



 x

2 3 5 tan2 4 ) x ( f

j. (3 4x)

cot2 7 ) x (

f  



k.  



 



 





 4

x 5 2 3 cos 6 ) x ( f

l. x ²

3 2 4 tan 3 ) x (

f 



 



 





2.

Aşağıdaki fonksiyonların esas periyotlarını bulunuz.

a. 3

sin x 5 ) x (

f  ²

b. 5

) 1 x 2 cos ( 3 ) x (

f ² 



c. 3

5 x 4 4 tan 2 ) x (

f ⁴ 



















 





d. 



 



 

 7

7 x cot 7 ) x (

f ³

e.



















 



 3

x 4 2 sin 6 ) x (

f ³

f. 2

2 x tan 5 ) x (

f ⁵ 



 











3.

y  f(x)  sinx fonksiyonu için aşağıdaki tabloyu dol- durunuz. Elde ettiğiniz (x, y) ikililerini koordinat sisteminde göstererek f(x)  sinx fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

4.

f(x)  cosx fonksiyonu için 3. etkinlikteki tabloyu dol- durarak bu fonksiyonun grafiğini çiziniz.

5.

f(x)  tanx fonksiyonu için 3. etkinlikteki tabloyu dol- durarak bu fonksiyonun grafiğini çiziniz.

6.

f(x)  cotx fonksiyonu için 3. etkinlikteki tabloyu dol- durarak bu fonksiyonun grafiğini çiziniz.

7.

Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini,

[, ] aralığında değişik çizgi karakterleri kullanarak aynı koordinat sisteminde çiziniz.

a. f(x)  sinx b. g(x)  2sinx c. h(x)  1  sinx d. t(x)  sinx

x 6

0  4

 3

 2

 3 2

4 3

6 5

4

 5

2 3

4 7 2

y

Muharrem Şahin

8.

f(x)  cosx fonksiyonunun [, ] aralığındaki grafi- ğinden ve 7. etkinlikteki deneyimlerinizden yararlanarak, aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini aynı koordinat sisteminde, aynı aralıkta çiziniz.

a. g(x)  1  2cosx b. h(x)  2  cosx c. t(x) 

2 11cosx

9.

f(x)  tanx fonksiyonunun [, ] aralığındaki grafi- ğinden ve 7. etkinlikteki deneyimlerinizden yararlanarak, aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini aynı koordinat sisteminde, aynı aralıkta çiziniz.

a. g(x)  1  tanx b. h(x)  1  2tanx c. t(x) 

2 2 1tanx

10.

Aşağıdaki fonksiyonları, periyotları uzunluğundaki bir aralıkta çiziniz.

a. f(x)  sin2x b. g(x)  cos3x

c. h(x)  tan4x d. k(x)  sin 



 



 

6 x

e. l(x)  cos 



 



 

3

x f. m(x)  tan 



 



 4 x

g. n(x)  sin 



 



 x

6 2

h. p(x)  tan 



 



 x 3 2

i.r(x)  2sin 2

x j. s(x)  3cos 



 



  3 x

k. t(x)  tan 



 



 

4 2

x l. u(x)  cot 



 



 

4 3 x

11.

Aşağıdaki grafikler yine aşağıda verilen fonksi- yonlara aittir.

Hangi grafiğin hangi fonksiyona ait olduğunu bulunuz.

I. II.

III. IV.

V. VI.

a. f(x)  1  2sin 



 



 

3

x b. g(x)  3cos2x

c. h(x)  2  sin 



 



 

6 2

x d. k(x)  2  tan2x

e. p(x)  1  2tan 



 



 

4 2

x f. t(x)  2cot 



 



 

4 2 x

12.

İki veya daha çok temel trigonometrik fonksiyon içeren fonksiyonların periyotları, temel trigonometrik fonksiyonların periyotlarının e.k.o.k. u olarak bulunabilir.

Ancak bu yolla bulunan periyotlar, fonksiyonun esas periyodu olmayabilir.

a. sin3x  3sinx  4sin³x özdeşliğinden yararlanarak f(x)  3sinx  4sin³x fonksiyonunun esas periyodu ile te- rimlerinin esas periyotlarının e.k.o.k. u olarak bulacağı- nız pediyodunu karşılaştırınız.

b. cos4x

4 1 4 x 3 cos x

sin⁴  ⁴   özdeşliğinden yararla- narak f(x)  sin⁴x  cos⁴x fonksiyonunun esas periyodu ile terimlerinin esas periyotlarının e.k.o.k. u olarak bula- cağınız periyodunu karşılaştırınız.

3

1 0 2



2 3

 x

y

1

2

 3

3 0

4

 2



4 3 

x y

3

 6 5

3

1

0

3 4

6 5

6



x y

2



2

 2

2



2 3

x y

4

 8

 4

 0 2 3

x y

3

4

3 2

3 4

2 3

1

2 0 2

2 5

x y

Muharrem Şahin

4. Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

1. 

1 ,1



,2 : 2 f

"  







  

 ; f(x)  sinx fonksiyonu bire bir ve örtendir.”

“f : [0, ]  [1, 1] ; f(x)  cosx fonksiyonu bire bir ve örtendir.”

“ R

,2 : 2

f 



 



  

 ; f(x)  tanx fonksiyonu bire bir ve ör- tendir.”

“f : (0, )  R ; f(x)  cotx fonksiyonu bire bir ve örten- dir.”

“Bire bir ve örten fonksiyonların tersleri de birer fonksi- yondur.”

“Bir fonksiyonun grafiği ile tersinin grafiği y  x doğrusu- na göre simetriktir.”

Yukarıdaki bilgileri kullanarak aşağıda verilen fonksi- yonların grafiklerini çiziniz.

a. f :

 

_







  





 ,2

1 2 ,

1 ; f(x)  arcsinx

b. f :



^1 ,1



^



0 ,^



; f(x)  arccosx

c. f : R 



 



  



 ,2

2 ; f(x)  arctanx d. f : R  (0, ) ; f(x)  arccotx

2.

Aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz.

a. arcsin 2

1 b. arccos

2 2

c. arctan 3 d. arccot(1)

e. arcsin











  2

3 f. arccos 



 



 2 1

g. arctan

 

1 h. arccot



^{ 3}



i. arccos0 j. arctan0

3.

Aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz.

a. sin(arccos 5

3 ) b. cos 







 



 



  3 arcsin 1

c. sin(arctan2) d. cos 







 



 



 2 arctan 1

e. cos 









 



 



 4 cot 3

arc f. tan 



 



 3 arcsin1

g. tan 









 



 



  3

arccos 1 h. cot 









 



 



 3 arcsin 2

i. cot



tan( 2)



j. sin 









 



 



  5 arcsin 2

4.

Aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz.

a. arcsin 



 



 

cos5 b. arcsin 



 



 

7 sin4

c. arccos 









 



 



  8

cos 3 d. arccos 









 



 



 sin 8

e. arctan 









 



 



  7 8

cos f. arctan 



 



 

5 sin4

g. arccot 







 



 



 

5

sin h. arccos 







 



 



  5 tan 3

i. arcsin 



 



 

10

cot7 j. arctan 



 



 

5 tan6

5.

Aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz.

a. sin



















3 arccos 2

2 b. cos 



 



 

3 arccos1 2

5

c. tan 



 



  5 arcsin3

7 d. cot 









 



 



  



13 arccos 5 2

7

Muharrem Şahin

6.

Aşağıdaki eşitliklerin birer özdeşlik olduğunu gösteriniz.

a. x  [1, 1] ; sin(arcsinx)  x b. x  [1, 1] ; cos(arcsinx)  1x² c. x  [1, 1] ; tan(arcsinx) 

x2

1 x

 d. x  [1, 1] ; sin(arccosx)  1x²

e. x  [1, 1] ; cot(arccosx)  x

x 1 ²

f. sin(arctanx)  x2

1 x

 g. cos(arctanx) 

x2

1 1

 h. tan(arccotx) 

x 1

5. Üçgende Trigonometrik Bağıntılar Kosinüs Teoremi

1.

Kenarlarının uzunlukları BC a, AC b ve AB c olan bir ABC üçgeninde BD  AC (DAC) çizilmiştir.

a.

AD ccosA^ olduğunu gösteriniz.

b. BDcsinA olduğunu gösteriniz.

c. DC bccosA olduğunu gösteriniz.

d. BD ve DC için bulduğunuz ifadeleri DBC üçgenin- de yazacağınız Pisagor bağıntısında kullanarak, kosi- nüs teoremi olarak bilinen











b c 2b c cosA

a^{2 2 2}

bağıntısını bulunuz.

2.

BCa, ACb ve AB c olan bir ABC üçgenin- de;

a. b²a²c²2accosB^ olduğunu gösteriniz.

b.









a b 2ab cosC

c^{2 2 2} olduğunu gösteriniz.

3.

Bir ABC üçgeninde a  8 cm, b  6 cm ve c  5 cm olduğuna göre cos



A kaçtır?

4.

Bir ABC üçgeninde b  2 cm, c  2 cm ve





) A (

m 135° olduğuna göre,

a. a kaç cm dir?

b. cos



B kaçtır?

c. sinC kaçtır? ^

5.

Aşağıdaki şekillerde verilenlere göre, istenenleri bu- lunuz.

a. b.

BC? BC  CD ; AC? A

D

a c b

C B

B

E D

C A 6 cm

6 cm 8 cm

5 cm

1 cm x

6 cm 3 cm

4 cm

B C

A

D x

Muharrem Şahin

c. d.





) A (

m m(CBD) BD ?

CD ?

e. f.

AB // CD BC  ?

cos   ?

g. h.

AB ? ABCD eşkenar dörtgen EF ?

6.

Kenarlarının ölçüleri ^a



^31



cm, b  2 cm ve 2

c  cm olan üçgenin iç açılarının ölçülerini bulunuz.

Sinüs Teoremi

7

.

Aşağıdaki şekilde ABC üçgeninin çevrel çemberi ve çevrel çemberin [BD] çapı çizilmiştir.

Çemberin yarıçapı R’dir.

a. Şekilden yararlanarak, bir üçgende 2R

A Sin

a 



olduğunu gösteriniz.

b. Aynı yolla, sinüs teoremi olarak bilinen;

2R

C sin

c B sin

b A Sin

a   







bağıntısını bulunuz.

8.

Sinüs teoremini, şekildeki geniş açılı üçgende ispatlayınız.

9.

Aşağıdaki şekillerde verilenlere göre, istenenleri bu- lunuz.

a. b.





) B (

m ? c  ?

c. d.

R  6 cm ise tan   ? a  ? , b  ? , c  ?

A

3 cm

x D 2 cm

C B

3 cm

4 cm x

2 cm C

B A

D

6 cm 4 cm

2 cm

A 8 cm

D C

B 4 cm

5 cm  6 cm

B

A 5 cm

10 cm

7 cm 6 cm D

C x

A 4 cm

D E

C

B

3 cm

4 cm 6 cm

9 cm

4 cm

4 cm

D C

A F B

x 2 cm

E 60°

O A

R c

a

b D

B C

O A

c a

b

D B

C

B C

A

6 cm 32 cm

? a

45°

B

12 cm

C 60°

75°

A

c

A

60° 45°

B C

c R b

a

12 cm

B

90°   4 cm C

A



Muharrem Şahin

e. f.

BD  DC

ise

sinx  ? cos 3 A 2



ise sin



B  ?

g. h.

R  ? R  ?

10.

Aşağıda ABC üçgenlerinin bazı elemanlarının ölçü- leri verilmiştir. İstenenleri bulunuz.

a. a  1 cm, b  2 cm, c  3 cm ise

? C sin ,

? B sin ,

? A

sin   







, R  ? (R, çevrel çemberin yarıçapıdır.)

b. a  4 cm , b  5 cm , c  6 cm ise

? ) C m(

,

? ) B m(

,

? ) A

m(   







,

R  ?

c. a  6 cm , b  6 2 cm , R  6 cm ise

? ) C m(

,

? ) B m(

,

? ) A

m(   







, c  ?

d. a  8 cm , b  4 cm , 



) C (

m 60° ise

? ) C m(

,

? ) B m(

,

? ) A

m(   







,

R  ?

e. a  10 cm , 



) B (

m 50° cm , 



) C (

m 70° ise b  ? , c  ? ,

R  ?

f.





2sinB A

sin , c  12 cm , 



) C (

m 60° ise

a  ? , b  ? , 



) A (

m ? , 



) B (

m ?

g. a  3 2 cm, b  4 cm, 



) A (

m 60° ise





A

sin ? , 



B sin ?

h. a  2 3 cm, b  3 2 cm, c  ( 3 3) cm ise

? ) C m(

,

? ) B m(

,

? ) A

m(   







11.

Bir ABC üçgeninde 3 7 b

a ve 8 3 c

b  olduğuna

göre m(A)



kaç derecedir?

12.

Bir ABC üçgeninin elemanları arasında aşağıdaki bağıntıların bulunduğunu gösteriniz.

a. abcosC^ccosB^

b.    ^  ^

B cos c C cos a b

c b^{2 2}

c. 

 





C cos b a

C sin B b

tan

d. 2R

c b C a sin c B sin b A sin a

2 2 2 



















e. 2R2

c b C a cos c B cos b A cos

a  













f. 









 









A cot B R cot 2 b abc a^{2 2} B

30°

D x

C 4 cm 2 cm

A A

8 cm

C B

6 cm

B A

C

6 cm

23 cm

H 3 cm

A

C 13 cm

B

15 cm 14 cm

Muharrem Şahin

13.

Bir ABC üçgeninin elemanları arasında aşağıda verilen bağıntılardan biri varsa, bu üçgenin bir dik üçgen olduğunu gösteriniz.

a.





b cosC

a b.





b sinA a

c. sin²A^ sin²B^sin²C^ d.



 



  B sin c

C cos B b

tan

14.

Bir ABC üçgeninin elemanları arasında aşağıda verilen bağıntılardan biri varsa, bu üçgenin bir ikizkenar üçgen olduğunu gösteriniz.

a.



2bcosC a

b. sinA^2sinB^cosC^

15.

Bir ABC üçgeninde a²2b²(1cosA) dır.

Bu üçgenin ikizkenar üçgen olmadığı bilindiğine göre C kenarını a ve b cinsinden bulunuz.

Üçgenin Alanı

16.

Bir ABC üçgeninde

^  ^  ^  bcsinA^

2 B 1 acsin 2 C 1 absin 2 C) 1 B A(A

olduğunu gösteriniz.

17.

abc2u olmak üzere, kosinüs teorimini ve çarpanlara ayırma bilgilerinizi kullanarak; bir ABC üçge- ninde

a. u(u a)(u b)(u c) bc

A 2

sin    



b. u(u a)(u b)(u c) ac

B 2

sin    



c. u(u a)(u b)(u c) ab

C 2

sin    



olduğunu gösteriniz.

18.

19. ve 20. etkinliklerinizde bulduğunuz bağıntılar- dan yararlanarak,

A(ABC) u(ua)(ub)(uc)



olduğunu gösteriniz.

19.

Bir ABC üçgeninde

4R c b C) a B

A(A  





olduğunu gösteriniz.

20.

Bir ABC üçgeninde, 2u çevreyi ve r içteğet çembe- rin yarıçapını göstermek üzere; üçgenin alanının,

A(ABC)ur



olduğunu gösteriniz.

21.

Bir teğetler çokgeninde, 2u çevreyi ve r içteğet çemberin yarıçapını göstermek üzere; çokgenin alanı- nın,

Aur olduğunu gösteriniz.

22.

Bir ABCD dörtgeninde e ile f köşegenlerin uzunluk- larını,  köşegenler arasındaki açının ölçüsünü göster- mek üzere, dörtgenin alanının

e f sin 2

A 1   

olduğunu gösteriniz.

23.

Herhangi iki üçgenin birer köşesindeki açılarının sinüsleri eşit ise bu üçgenlerin alanlarının, bu köşelere ait kenarların uzunluklarının çarpımı ile orantılı olduğu- nu gösteriniz.

24.

Aşağıda bazı elemanlarının ölçüleri verilen ABC üçgenlerinin alanlarının ölçülerini bulunuz.

a. a  7 cm, b  8 cm, c  9 cm b. a  6 cm, b  4 cm, 



) C (

m 45°

Muharrem Şahin c. a  12 cm, b  10 cm, tanC3



d. b  12 cm, c  6 cm, v_a  4 cm e. v_a  6 cm, v_b  9 cm, v_c  12 cm

f. a  10 cm, b  8 cm, 



) C (

m 30°

g. a  6 cm, b  12 cm,

2 c R

h. a  7 cm, b  20 cm,

5 B 3 cos 



25.

Şekilde verilenlere

göre, A(ABC)



kaç cm² dir?

26.

Şekilde DC 2BD dir.

Verilenlere göre, ) C B A ( A



kaç cm² dir?

27.

Şekilde [AD] açıortaydır.

Verilenlere göre, ) C B A ( A



kaç cm² dir?

28.

Şekilde

) E B D ( A ) C B A ( A





 dir.

Verilenlere göre AD kaç cm dir?

29.

Şekilde, verilenlere göre,

) E D C ( A



kaç cm² dir?

30.

Şekilde

2A(ABC) A(DBE)





 dir.

Verilenlere göre CE kaç br dir?

31.

ABCD dörtgeninde AD  BD dir.

Verilenlere göre A(ABCD) kaç cm² dir?

32.

Şekilde verilenlere göre A(ABCD) kaç cm² dir?

33.

ABCD paralelkenardır.

Şekilde verilenlere göre A(ABCD)

kaç cm² dir?

34.

İçteğet çemberinin yarıçapı 4 cm olan düzgün se- kizgenin çevresinin uzunluğunu ve alanının ölçüsünü bulunuz.

35.

Çevrel çemberinin yarıçapı 6 cm olan düzgün se- kizgenin çevresinin uzunluğunu ve alanının ölçüsünü bulunuz.

A

7 cm

D C

B

5 cm

6 cm 3 cm

A

4 cm

D C

B

2 cm 6 cm

A

3 cm

D C

B

3 cm 9 cm

A

6 cm D

C

B 9 cm 6 cm E x

A

D B C

5 cm 7 cm E

12 cm

15 cm 6 cm

A

6 D

C

B 4 x E

4

A

K D

B C

3 cm 5 cm 1 cm 2 cm

D

4 cm

C B

A

3 cm

2 cm 1 cm

A D

B C

6 cm K

4 cm 30°

Muharrem Şahin

6. İki Yayın Toplam ve Farkının Trigonometrik Oranları

1.

Sinüs teoreminden ve yandaki şekilden yararlanarak; iki yayın toplamının sinüsünün, bu yayların ayrı ayrı sinüsleri ve kosinüsleri cinsinden verildiği,

^{ }  ^ ^ ^ ^











BC sinBcosC cosBsinC sin

bağıntısını bulunuz.

2.

sin(xy)sinxcosycosxsiny bağıntısını kullanarak,

sin(xy)sinxcosycosxsiny bağıntısını bulunuz.

3.

sin(xy)sinxcosycosxsiny bağıntısını kullanarak,

cos(xy)cosxcosysinxsiny bağıntısını bulunuz.

4.

sin(xy)sinxcosycosxsiny bağıntısını kullanarak,

cos(xy)cosxcosysinxsiny bağıntısını bulunuz.

5.

sin(xy) ve cos(xy)

nin açılımlarını kullanarak

tany tanx 1

tany y) tanx

tan(x



  



bağıntısını bulunuz.

6.

sin(xy) ve cos(xy)nin açılımlarını kullanarak

coty cotx

1 coty y) cotx

cot(x

  



bağıntısını bulunuz.

7.

Aşağıdaki şekilde m(AOP)   , m(AOR)   ve m(AON)     açıları birim çemberde gösterilmiştir.

Şekilden yararlanarak;

a. PR uzunluğunu, P ve R’nin koordinatları cinsinden bulunuz.

b. AN uzunluğunu, A ve N’nin koordinatları cinsinden bulunuz.

c. PR  AN olduğunu görünüz.

Bundan yararlanarak,

cos( )  cos  cos  sin  sin

bağıntısını bulunuz.

d.cos(xy)cosxcosysinxsiny bağıntısını kul- lanarak; 1., 2., 3., 5. ve 6. etkinliklerinizde bulduğunuz bağıntıları yeniden bulunuz.

8.

Aşağıda ölçüleri verilen açıların trigonometrik oranla- rını, trigonometrik oranlar tablosunu kullanmadan ayrı ayrı bulunuz.

a. 15° b. 75° c. 105° d. 165°

A

b

H c

B c cosB b cosC C

B

O

1 A(1, 0)





   P(cos, sin)

R(cos, sin)

N[cos(  ), sin(  )]