FASİKÜL ANLATIM REHBERİ

(1)

FASİKÜL ANLATIM REHBERİ

9. SINIF

MATEMATİK

1 ^.

Fasikül

MANTIK

(2)

Konu Önerilen Ders Saati

Kullanılacak Doküman Fasikül Anlatım

Rehberi Sayfa No

Mikro Paket Test No (AL)

Fasikül Soru Kitabı Sayfa No

ÜDS No Bölüm 1: Önermeler

1

Mantık ve Matematik - Önerme 1 saat 3

1

4

10-11

Önermelerin Doğruluk Tablosu 1 saat 4

Denk (Eş Değer) Önermeler - Bir Önermenin Olum-

suzu (Değili) 1 saat 4 - 5 5

Bölüm 2: Bileşik Önermeler

Veya Bağlacı - Ve Bağlacı 1 saat 6 - 9

2

6-7-8 Bileşik Önermenin Değili (Olumsuzu) - Ya da Bağlacı 1 saat 10 - 11 9 Mantık Kurallarının Elektrik Devrelerine Uygulanması

(Fen liseleri için) 1 saat 12 - 13

Soru Çözümü 14 - 15 10-11

Bölüm 3: Koşullu Önermeler ve İki Yönlü Koşullu Önermeler İse Bağlacı - Koşullu Önermenin Karşıtı, Tersi, Karşıt

Tersi 1 saat 16 - 18

3 - 4 12-13 16-17 İki Yönlü Koşullu Önerme

1 saat 19 - 22 14-15

Totoloji ve Çelişki (Fen liseleri için)

Bölüm 4: Açık Önermeler ve Niceleyiciler Açık Önerme

1 saat 23

5

18

20-23

Niceleyiciler - Niceleyicilerin Değili 23 - 24

19

Soru Çözümü 1 saat 25 - 26

Bölüm 5: Açık İspat Teknikleri

Tanım - Aksiyom - Teorem ve İspat - Mantık Kuralları

ile Yapılan İspatlamalar (Fen liseleri için) 1 saat 27 - 29

Soru Çözümü 1 saat 30 - 31

Toplam 12 saat

(3)

Çözüm

Pekiştirme Soruları

BÖLÜM

1 Önermeler

Mantık ve Matematik

Mantık doğru düşünme kurallarının bilgisidir.

Tanımlı ve Tanımsız Terimler

Bir bilim dalında özel anlamlı olan sözcüklerden her birine, o bilim dalının terimi denir.

Üçgen, kare, doğru matematik terimi;

bağlaç, eylemsi, yüklem Türkçe terimi;

mol, element, bileşik kimya terimidir.

Bir terimin anlamını belirtmeye terimi tanımlamak denir. Ta- nımlayamadığımız bazı terimler vardır. Örneğin matematik- te nokta, doğru birer tanımsız terimdir. Bu terimleri sezgi yolu ile kavrarız.

Önerme

Kesin olarak doğru ya da yanlış hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Önermeler p, q, r ... gibi küçük harflerle gös- terilir.

Emir, soru, istek, ünlem, hayret, görecelilik vb. anlamlar içe- ren ifadeler önerme değildir.

Aşağıdaki ifadelerin önerme olup olmadığını belirleye- lim.

a) "Bir düzine on iki adettir."

b) "5 > 2"

Örnek 1

Önermelerin Doğruluk Değerleri:

Bir önermenin doğru ya da yanlış bilgi vermesine o önerme- nin doğruluk değeri denir.

Bir önerme doğru hüküm bildiriyorsa bu önermenin doğru- luk değeri 1 veya D; yanlış hüküm bildiriyorsa bu önermenin doğruluk değeri 0 veya Y ile gösterilir.

Bir p önermesi doğru bir önerme ise "p ≡ 1", yanlış bir öner- me ise "p ≡ 0" şeklinde gösterilir.

Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulalım.

a) p: "Türkiye'nin başkenti Ankara'dır."

b) r: "Bir ay 5 haftadır."

Örnek 2

1. I. Bir yılda 12 ay vardır.

II. Adınız nedir?

III. 32 bir tam sayıdır.

Yukarıdaki ifadelerden hangileri önermedir?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve III E) I, II ve III

2. p: En küçük doğal sayı 1'dir.

q: 5 – 3.2 = 4

r: Rize, Karadeniz Bölgesi'ndedir.

önermeleri veriliyor.

Buna göre, bu önermelerin doğruluk değerleri sıra- sıyla aşağıdakilerden hangisidir?

A) 1, 1, 1 B) 1, 0, 1 C) 0, 1, 1

D) 0, 1, 0 E) 0, 0, 1

3. p ≡ 1

olduğuna göre, p önermesi I. Türkiye'nin başkenti Ankara'dır?

II. –5² = 25'tir.

III. En güzel mevsim yazdır.

ifadelerinden hangileri olabilir?

(4)

1. Fasikül 1. Fasikül Mantık

Önermelerin Doğruluk Tablosu

Önermelerin doğruluk değerlerinin gösterildiği tabloya doğ- ruluk tablosu denir.

Bir önermenin iki doğruluk değeri vardır.

p önermesinin doğruluk tablosu:

veya Önerme doğrudur.

Önerme yanlıştır.

p 1 0 p

D Y

İki önermenin dört doğruluk değeri vardır.

p, q önermelerinin doğruluk tablosu:

İki önerme de doğrudur.

Birinci önerme doğru, ikinci önerme yanlıştır.

Birinci önerme yanlış, ikinci önerme doğrudur.

İki önerme de yanlıştır.

p q

1 1

1 0

0 1

0 0

Üç önermenin sekiz doğruluk değeri vardır.

p, q, r önermelerin doğruluk tablosu:

Üç önerme de doğrudur.

Üç önerme de yanlıştır.

p q r

1 1 1

1 1 0

1 0 1

1 0 0

0 1 1

0 1 0

0 0 1

0 0 0

Anahtar Bilgi

n tane farklı önerme için 2ⁿ tane doğruluk durumu vardır.

Örneğin, 1 önerme için 2¹ = 2 tane, 2 önerme için 2² = 4 farklı doğruluk durumu vardır.

Denk (Eş Değer) Önermeler

Doğruluk değerleri aynı olan iki önermeye, denk (eş değer) önermeler denir.

p önermesi q önermesine denk ise "p ≡ q", p önermesi q önermesine denk değil ise "p ≡/ q"şeklinde gösterilir.

Aşağıdaki önermelerden denk olanları bulalım.

a) p: "2 + 3 = 5'tir."

q: "4 asal sayı değildir."

b) p: "2 > 3"

q: "5 – 2 = 7"

c) p: "Bir hafta yedi gündür."

q: "8 – 10 > 1"

Örnek 3

Çözüm

Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bularak denk olanları belirtelim.

p: "3 + 4 = 7'dir."

q: "Türkiye’nin başkenti İstanbul’dur."

r: "1 < 2'dir."

Örnek 4

Çözüm

(5)

Mantık

Pekiştirme Soruları Bir Önermenin Olumsuzu (Değili)

Bir önermenin hükmünün olumsuzu alınarak oluşturulan yeni önermeye bu önermenin olumsuzu (değili) denir.

p önermesinin olumsuzu p^ı veya ∼p sembollerinden biri ile gösterilir.

p: "İki çift sayının çarpımı çifttir."

önermesinin olumsuzunu yazıp, p ve p^ı önermelerinin doğruluk değerlerini karşılaştıralım.

Örnek 5

Çözüm

Sonuç:

Anahtar Bilgi

p önermesi doğru ise p^ı yanlış, p önermesi yanlış ise p^ı doğrudur.

Bir p önermesi ile değilinin doğruluk değerleri tablosu aşa- ğıdaki gibidir.

p p^ı (p^ı)^ı

1 0 1

0 1 0

Bir p önermesinin değilinin değili, önermenin kendisine denktir.

(p^ı)^ı ≡ p dir.

Aşağıdaki önermelerin olumsuzlarını (değillerini) ya- zalım.

a) p: "2 bir çift sayıdır."

b) q: "3 + 2 = 7"

c) s: "2 > 3'tür."

d) p: "–1 ≥ –3"

e) r: "3² + 7² ≠ 10²"

Örnek 6

1 ve 2. soruları aşağıdaki bilgiye göre cevaplandırınız.

p: "2 + 5.2 = 12'dir."

q: " 30 = 0'dır."

r: "–3 < 2'dir."

1. I. r^ı: "–3 ≥ 2'dir."

II. p ≡ r dir.

III. q ≡ 1'dir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III

2. Selin Öğretmen, derste Asude, Betül ve Cem isimli öğrencilerinden q önermesine denk birer önerme yaz- malarını istiyor.

Bu öğrencilerin yazdığı önermeler aşağıdaki gibidir:

Asude: 5 sayısı irrasyonel sayıdır.

Betül: (–3)² ≠ –3² dir.

Cem: 2^–1 = –2'dir.

Buna göre, hangi öğrencilerin verdiği cevap doğ- rudur?

A) Yalnız Asude B) Yalnız Betül

C) Yalnız Cem D) Asude ve Betül

E) Betül ve Cem

(6)

1. Fasikül

Çözüm

1. Fasikül Mantık

BÖLÜM

2 Bileşik Önermeler

İki veya daha fazla önermenin "veya", "ve", "ise", "ancak ve ancak", "ya da" gibi bağlaçlarla birbirine bağlanması sonucu

elde edilen yeni önermelere denir.

Bu bağlaçları aşağıdaki sembollerle gösteririz.

Bağlaç Sembol

veya ∨

ve ∧

ya da v

ise ⇒

ancak ve ancak ⇔

1) Veya Bağlacı (∨)

p ve q iki önerme olmak üzere, bu iki önermeden en az biri doğru (1) iken doğru, her ikisi de yanlış (0) iken yanlış olan önermeye p veya q denir ve p ∨ q ile gösterilir.

p ∨ q bileşik önermesinin doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.

p q p ∨ q

1 1

1 0

0 1

0 0

Tablodan 1 ∨ 1 ≡ 1 1 ∨ 0 ≡ 1 0 ∨ 1 ≡ 1 0 ∨ 0 ≡ 0

p: "Çift sayılar 2 ile tam bölünür."

q: "Üç sayısı, beşten büyüktür."

önermelerini "veya" bağlacı ile bağlayıp elde edilen önermenin doğruluk değerini bulalım.

Örnek 1

Çözüm

Teorem:

p, q, r önermeleri için

a) p ∨ p ≡ p (∨ nın tek kuvvet özelliği) b) p ∨ q ≡ q ∨ p (∨ nın değişme özelliği) c) (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) (∨ nın birleşme özelliği) d) p ∨ 1 ≡ 1

e) p ∨ 0 ≡ p

İspat:

Önce a, d ve e'nin ispatını yapalım.

p p ∨ p p ∨ 1 p ∨ 0

1 1 1 1

0 0 1 0

b'nin ispatı

p q p ∨ q q ∨ p

1 1 1 1

1 0 1 1

0 1 1 1

0 0 0 0

p ∨ q ≡ q ∨ p c'nin ispatı

p q r p ∨ q q ∨ r (p ∨ q) ∨ r p ∨ (q ∨ r)

1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1 1

1 0 1 1 1 1 1

1 0 0 1 0 1 1

0 1 1 1 1 1 1

0 1 0 1 1 1 1

0 0 1 0 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0

(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) p ∨ p^ı ≡ 1 dir.

(7)

Pekiştirme Soruları Aşağıdaki bileşik önermelerin doğruluk değerlerini

bulalım.

a) (1 ∨ 0) ∨ 1 b) (1 ∨ 0)^ı ∨ 0 c) (1^ı ∨ 0) ∨ (1 ∨ 1)^ı

d) "3 + 2 = 5 veya 2 > 3'tür."

Örnek 2

(p ∨ p^ı) ∨ 0

bileşik önermesinin en sade biçimini bulalım.

Örnek 3

Çözüm

p ∨ q^ı ≡ 0

olduğuna göre, aşağıdaki önermelerin doğruluk değer- lerini bulalım.

A) p B) q C) p^ı

D) p^ı ∨ q E) (p^ı ∨ 1) ∨ (q ∨ 0) Örnek 4

Çözüm

1. Bahar Öğretmen, altı bölmeden oluşan aşağıdaki tab- lonun her bir bölmesine birer önerme yazıyor ve sonra öğrencisi Ali'den bu önermelerden doğruluk değeri 1 olan bölmeyi maviye, doğruluk değeri 0 olan bölmeyi sarıya boyamasını istiyor. Diğer bölmeler ise boyanmı- yor.

(0 ∨ 0) ∨ 1 1^ı ∨ 0 1 ∨ p p ∨ p^ı (1 ∨ 0)^ı p ∨ 0

Ali doğru boyama işlemini yaptıktan sonra tablo- daki renk dağılımı aşağıdakilerden hangisi olur?

A) B)

C) D)

E)

2. Atahan, Batuhan ve Cihan'ın arabaları beyaz, kırmızı veya siyah renklerden biridir. Bu üç kişinin arabalarının renkleriyle ilgili,

p: "Atahan'ın arabası kırmızı renkte değildir."

q: "Batuhan'ın arabası siyah renkte değildir."

r: "Cihan'ın arabası beyazdır."

p ∨ (q ∨ r^ı)

önermesi yanlış olduğuna göre, Atahan, Batuhan ve Cihan'ın arabalarının renkleri sırasıyla aşağıda- kilerden hangisidir?

A) Kırmızı, Beyaz, Siyah B) Kırmızı, Siyah, Beyaz C) Beyaz, Kırmızı, Siyah D) Beyaz, Siyah, Kırmızı E) Siyah, Beyaz, Kırmızı

(8)

2) Ve Bağlacı (^∧)

p ve q herhangi iki önerme olmak üzere, bu iki önermenin her ikisinin de doğru (1) olduğu durumda doğru, en az biri- nin yanlış (0) olduğu durumda yanlış olan önermeye p ve q bileşik önermesi denir ve p ∧ q şeklinde gösterilir.

p ∧ q nun doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.

p q p ∧ q

1 1

1 0

0 1

0 0

Tablodan 1 ∧ 1 ≡ 1 1 ∧ 0 ≡ 0 0 ∧ 1 ≡ 0 0 ∧ 0 ≡ 0

p: "7 + 2 = 5"

q: "Tuz gölü Türkiye'dedir."

önermelerini "ve" bağlacı ile bağlayıp elde edilen öner- menin doğruluk değerini bulalım.

Örnek 5

Çözüm

p: "En küçük doğal sayı 0'dır."

q: "2 + 3 = 5"

olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulalım.

a) p ∧ q

b) p ∧ q^ı

c) (1 ∧ p) ∨ q d) (1 ∨ q^ı) ∧ (1 ∧ q)

Örnek 6

p ∧ q^ı ≡ 1

olduğuna göre, (p ∨ q) ∧ (p^ı ∨ q^ı) önermesinin doğruluk değerini bulalım.

Örnek 7

Çözüm

p^ı ∧ q ≡ 1

olduğuna göre, p ∧ (q^ı ∧ p) önermesinin doğruluk de- ğerini bulalım.

Örnek 8

Çözüm

Teorem:

p, q ve r önermeleri için

a) p ∧ p ≡ p (∧ nin tek kuvvet özelliği) b) p ∧ q ≡ q ∧ p (∧ nin değişme özelliği) c) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) (∧ nin birleşme özelliği) d) p ∧ 1 ≡ p

e) p ∧ 0 ≡ 0

İspat:

Önce a, d ve e'nin ispatını yapalım.

p p ∧ p p ∧ 1 p ∧ 0

1 1 1 0

0 0 0 0

• p ∧ p ≡ p

• p ∧ 1 ≡ p

• p ∧ 0 ≡ 0

(9)

Pekiştirme Soruları b'nin ispatı

p q p ∧ q q ∧ p

1 1 1 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0

p ∧ q ≡ q ∧ p c'nin ispatı

p q r p ∧ q q ∧ r (p ∧ q) ∧ r p ∧ (q ∧ r)

1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 0 0 0

1 0 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0

0 1 1 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)

∨ ve ∧ Bağlacının Birbiri Üzerinde Dağılma Özelliği Teorem:

p, q ve r önermeleri için a) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) b) (p ∨ q) ∧ r ≡ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r) c) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) d) (p ∧ q) ∨ r ≡ (p ∨ r) ∧ (q ∧ r) İspat:

a) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) olduğunu ispatlayalım.

p q r q ∨ r p ∧ q p∧ r p ∧ (q∨ r) (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 0 1 1

1 0 1 1 0 1 1 1

1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

1. Aşağıdaki karelerin içerisine birer önerme, çemberlerin içine ise veya (∨) ya da ve (∧) bağlaçlarından biri yazı- lıyor.

p

?

p^ı q ∧ p

∨

∧

Çemberin içindeki bağlaç, o çemberin üstündeki iki karenin içindeki önermelere uygulanıp elde edilen so- nuç o çemberin altındaki kareye yazılarak yukarıdaki diyagram oluşturuluyor.

Buna göre, ? yerine aşağıdakilerden hangisi gel- melidir?

A) 1 B) 0 C) p D) q E) p^ı

2. p ∨ (p ∧ q) ≡ p

denkliğini doğruluk tablosu yaparak gösteriniz.

(10)

Pekiştirme Soruları Bileşik Önermenin Değili (Olumsuzu)

Teorem:

p ve q önermeleri için a) (p ∨ q)^ı ≡ p^ı ∧ q^ı b) (p ∧ q)^ı ≡ p^ı ∨ q^ı

Bu kurallara De Morgan Kuralları denir.

İspat:

a)

p q p^ı q^ı p ∨ q (p ∨ q)^ı p^ı ∧ q^ı

1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 1 0 0

0 1 1 0 1 0 0

0 0 1 1 0 1 1

(p ∨ q)^ı ≡ p^ı ∧ q^ı

b)

p q p^ı q^ı p ∧ q (p ∧ q)^ı p^ı ∨ q^ı

1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 0 1 1

0 1 1 0 0 1 1

0 0 1 1 0 1 1

(p ∧ q)^ı ≡ p^ı ∨ q^ı

(p ∧ q)^ı ∨ (p ∨ q)

ifadesini en sade biçimde yazalım.

Örnek 9

Çözüm

1. p^ı ∨ (p^ı ∧ r)^ı

bileşik önermesinin olumsuzu (değili) aşağıdaki- lerden hangisine denktir?

A) 0 B) 1 C) p D) r E) r^ı

2. Matematik öğretmeni derste tahtaya aşağıdaki soruyu yazmıştır.

[(p ∧ q)^ı ∨ q]^ı

bileşik önermesinin en sade biçimini bulunuz.

Soruyu çözmek isteyen Burak, sırasıyla aşağıdaki adımları izlemiştir.

1. adım: [(p ∧ q)^ı ∨ q]^ı ≡ [(p^ı ∨ q^ı) ∨ q]^ı 2. adım: ≡ [p^ı ∨ (q^ı ∨ q)]^ı 3. adım: ≡ [p^ı ∨ 0]^ı 4. adım: ≡ [p^ı] 5. adım: ≡ p

Buna göre, Burak ilk kez kaçıncı adımda hata yap- mıştır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

(11)

Pekiştirme Soruları 3) Ya da Bağlacı ( )

p ile q önermelerinden oluşan p ^Q q bileşik önermesi bi- leşenlerinden biri doğru diğeri yanlış iken doğru, her ikisi doğru veya her ikisi yanlış olduğu durumlarda yanlıştır.

p ^Q q bileşik önermesinin doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.

p q p Q q

1 1

1 0

0 1

0 0

p ^Q p^ı ≡ 1 p ^Q p ≡ 0 p ^Q 1 ≡ p^ı p ^Q 0 ≡ p

Ya da Bağlacının Özellikleri

• p ∨ 0 ≡ p

• p ∨ 1 ≡ p^ı

• p ∨ p^ı ≡ 1

• p ∨ p ≡ 0

(1 ^Q 0) ^Q 1

önermesinin doğruluk değerini bulalım.

Örnek 10

Çözüm

1. I. (1 ∨ 0)^ı ∨ 0 II. (1 ∧ 0) ∨ (1 ∨ 0) III. (0 ∨ 0) ∨ (0^ı ∧ 0)^ı

Yukarıda verilen önermelerden hangilerinin doğru- luk değeri 0'dır?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III

D) I ve II E) I ve III

2. (p ∨ (p^ı ∨ q)] ∨ q^ı

bileşik önermesinin olumsuzu (değili) aşağıdaki- lerden hangisidir?

A) 0 B) 1 C) p D) q E) q^ı

3. p ∧ q ≡ 1 ve p ∨ r^ı ≡ 1 olduğuna göre,

I. q ∨ r II. p ∧ r^ı III. q ∨ (p^ı ∧ r)

ifadelerinden hangileri doğrudur?

D) I ve II E) II ve III

(12)

Fen Liseleri için

Mantık Kurallarının Elektrik Devrelerine Uygulanması

Elektrik devreleri, önerme işlemlerinin etkili bir kullanım ala- nıdır.

• Elektrik devrelerinde anahtarlar p, q ve r gibi önerme- lerle gösterilir.

• p Şekildeki p anahtarı kapalı

olduğu için akım geçer ve lamba yanar. Bu durumda doğruluk değeri p ≡ 1 olur.

• p Şekildeki p anahtarı açık

olduğu için akım geçmez ve lamba yanmaz. Bu durumda doğruluk değeri p ≡ 0 olur.

• Bir devreden elektrik akımının geçmesi "1" ile akım geçmemesi "0" ile gösterilir.

a) Seri Bağlama

p q

Anahtarlar ardı ardına bağlanırsa seri bağlama yapılmış olur ve bu durum p ∧ q ile ifade edilir.

b) Paralel Bağlama p

q

Akım en az iki kola ayrılırsa anahtarlar şekildeki gibi çizilirse paralel bağlama yapılmış olur ve bu durum p ∨ q ile ifade edilir.

Aşağıda verilen devrelere uygun bileşik önermeleri yazalım.

a) p

q

r

b) _p _q

r

Örnek 11

p

q

s r

Yukarıda verilen devreye uygun bileşik önermeyi yazıp lambanın yanıp yanmayacağını görelim.

Örnek 12

Çözüm

(13)

Fen Liseleri için

p

q r

s

Yukarıda verilen devreye uygun bileşik önermeyi yazıp lambanın yanıp yanmayacağını kontrol edelim.

Örnek 13

Çözüm

p

q

r s

t

Yukarıda verilen devreye uygun bileşik önermeyi yazıp, devreden akım geçip geçmeyeceğini kontrol edelim.

Örnek 14

Çözüm

p ile r nin doğruluk değeri "1"; q, s, t nin doğruluk de- ğerleri "0" olduğuna göre

[(p ∨ q) ∧ (r ∨ s)] ∧ t

bileşik önermesine karşılık gelen devreyi çizip bu dev- reden akım geçip geçmeyeceğini bulalım.

Örnek 15

Çözüm

p q

r

s t

Yukarıda verilen devreye karşılık gelen bileşik önerme- yi yazıp, ampülün yanıp yanmayacağını belirleyelim.

Örnek 16

Çözüm

(14)

Çözüm Evde ➥ Ödev

Kazanım Alıştırma - 1

1. Aşağıdaki ifadelerden önerme olanları belirleyiniz.

a. 5 bir doğal sayıdır.

b. Bir gün 12 saattir.

c. Sarışınlar zekidir.

d. Tiyatro eğlencelidir.

e. Türkiye'nin en büyük futbol takımı Galatasaraydır.

2. Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulu- nuz.

a. p: "Bir yılda 4 mevsim vardır."

b. r: "2 asal sayıdır."

d. q: "2 – 3 < 0"

e. r: "3 + 4.2 = 14"

3. n tane önermenin doğruluk değerlerinin sayısı 128 olduğuna göre, n – 3 tane önermenin doğruluk de- ğerlerinin sayısını bulunuz.

5. Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulup birbirine denk olanları belirleyiniz.

p: "2³ = 8"

q: "Türkiye'nin en kalabalık şehri Rize'dir."

r: "3 sayısı irrasyonel sayıdır."

s: " (–3)² = –3'tür. "

6. Aşağıdaki önermelerin olumsuzlarını yazarak doğ- ruluk değerlerini belirtiniz.

a. p: "5 asal sayıdır."

b. q: "En küçük tam sayı 0 dır."

c. s: "5 + 3 = 7"

d. t: "2 + 3 ≤ 5"

e. u: 42 + 62 > 102"

(15)

Evde ➥ Ödev

Kazanım Alıştırma - 2

^Çözüm

1. Aşağıdaki bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz.

a. [(1 ∨ 0) ∧ 1] ∧ (0 Q 0)^ı

b. (1 ∧ 0^ı) ∧ [0^ı ∧ (1 ∨ 0)^ı]

c. (0 ∨ 1)^ı ∨ [(1 ∨ (1 ∨ 0^ı)^ı) ∧ (1^ı ∧ 0)]

2. p: "En küçük pozitif tam sayı 1'dir."

q: "En küçük asal sayı 2'dir."

r: "–2² = –4"

Buna göre, aşağıdaki önermeleri yazıp doğruluk değerlerini bulunuz.

a. p ∨ q

b. p ∧ r^ı

c. (q^ı)^ı

d. q ∧ r

3. Aşağıdaki bileşik önermelerin doğruluk tablolarını yapınız.

a. p ∨ (p ∧ q)^ı

b. p ∧ [p^ı ∨ (r^ı ∨ q^ı)]

4. (p^ı ∨ r) ∧ p ≡ 1 ise, (r^ı ∨ p) ∧ (r ∨ p^ı)

bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz.

5. p ∨ (r^ı ∨ q) ≡ 0 ise,

[(r ∧ q^ı) ∧ (p^ı ∧ q)] ∧ (p ∨ q^ı)

bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz.

(16)

1. Fasikül

Çözüm

1) İse Bağlacı ( ⇒ )

"Kar yağıyor ise hava soğuktur."

"Elektrik kesik ise ışıklar yanmaz."

bileşik önermelerinde "ise" sözcüğünün yerine "⇒" işareti kullanılır ve p ⇒ q ile gösterilir.

p ve q herhangi iki önerme olmak üzere, p doğru, q yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğru olan önermeye p ise q bileşik önermesi veya koşullu önerme denir ve p ⇒ q şek- linde gösterilir.

p ⇒ q koşullu önermesinde p'ye ,

q'ya denir.

p ⇒ q nun doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.

p q p ⇒ q

1 1

1 0

0 1

0 0

Tablodan 1 ⇒ 1 ≡ 1 1 ⇒ 0 ≡ 0 0 ⇒ 1 ≡ 1 0 ⇒ 0 ≡ 1

Aşağıdaki bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulalım.

a) [(1 ⇒ 0) ⇒ 0] ⇒ [(0 ⇒ 1) ⇒ (0 ⇒ 0)]

b) [((1 ∨ 0)^ı ⇒ 1) ⇒ [(1^ı ∧ 0)^ı ⇒ (1 ∧ 0)]

c) [(1^ı ⇒ 0) ⇒ 1] ∨ [1 ⇒ (1 ⇒ 0)]

Örnek 1

Çözüm

a) "2 > 8 ⇒ 5 < 4"

b) "–3² = –9 ⇒ 2 + 3 ≠ 5"

c) "4³ = 12 ⇒ 6² = 36"

d) "–5 < –2 ⇒ 2 çift sayıdır."

Örnek 2

Çözüm

p ⇒ (q ∨ r) ≡ 0

olduğuna göre, (p ∨ q^ı) ⇒ [r^ı ∧ (q ∨ p^ı)] bileşik önerme- sinin doğruluk değerini bulalım.

Örnek 3

Çözüm

BÖLÜM

3 Koşullu Önermeler ve İki Yönlü Koşullu Önermeler

(17)

Pekiştirme Soruları Teorem:

p ⇒ q ≡ p^ı ∨ q dur.

İspat:

p q p^ı p ⇒ q p^ı ∨ q

1 1 0 1 1

1 0 0 0 0

0 1 1 1 1

0 0 1 1 1

Sonuçlar:

a) p ⇒ p ≡ 1 b) p ⇒ 0 ≡ p^ı c) 0 ⇒ p ≡ 1

d) 1 ⇒ p ≡ p e) p ⇒ 1 ≡ 1

[(p^ı⇒ q) ∧ p^ı]^ı

önermesini en sade biçimde yazalım.

Örnek 4

Çözüm

(p ⇒ q) ∨ p

önermesini en sade biçimde yazalım.

Örnek 5

Çözüm

1. a, b ve c sıfırdan farklı birer gerçek sayı olmak üzere, p: a + b < 0

q: a + c = 0 r: c > 0 önermeleri veriliyor.

(p ∧ q) ⇒ r

önermesi yanlış olduğuna göre; a, b ve c sayıları- nın işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

A) +, +, – B) +, –, – C) +, –, +

D) –, +, – E) –, –, –

2. Aşağıdaki çemberlerin içine birer önerme dikdörtgen- lerin içine ise "⇒" bağlacı yazılıyor.

A

p^ı q^ı

p

⇒

Dikdörtgenin içindeki "⇒" bağlacı o dikdörtgenin üs- tündeki iki çembere uygulanıp elde edilen sonuç o dikdörtgenin altındaki çembere yazılarak yukarıdaki diyagram oluşturuluyor.

Buna göre, A yerine aşağıdakilerden hangisi gel- melidir?

A) p ∨ q B) p ∧ q C) p

D) 1 E) 0

(18)

Pekiştirme Soruları Koşullu Önermenin Karşıtı, Tersi, Karşıt Tersi

p ve q önermeleri için

p ⇒ q bileşik önermesinin tersi: p^ı ⇒ q^ı p ⇒ q bileşik önermesinin karşıtı: q ⇒ p p ⇒ q bileşik önermesinin karşıt tersi: q^ı ⇒ p^ı olur.

Aşağıdaki önermenin karşıtını, tersini ve karşıt tersini yazalım.

p: "2 < 3 ⇒ 2² < 3²"

Karşıtı:

Tersi:

Karşıt Tersi:

Örnek 6

p ⇒ (q ⇒ p)

koşullu önermesinin karşıt tersini en sade biçimde yazalım.

Örnek 7

Çözüm

Gerektirme

p ⇒ q koşullu önermesinin doğruluk değeri 1 ise bu koşullu önermeye gerektirme denir.

p: "7 < 2'dir." ve q: "5 < –3'tür."

Buna göre, p ⇒ q koşullu önermesini yazıp bu önerme- nin bir gerektirme olduğunu gösterelim.

Örnek 8

Çözüm

1. Bahar, tabletinde ekranda girilen bir önermenin tersini, karşıtını ya da karşıt tersini yazan bir yazılım geliştir- miştir.

Önerme:

p^ı ⇒ (q^ı ∧ r)

TERSİ KARŞITI

KARŞIT TERSİ

Bahar, ekrandan "p^ı ⇒ (q^ı ∧ r)" önermesini girdikten sonra KARŞIT TERSİ tuşuna basarsa tabletin ekra- nında aşağıdakilerden hangisi görünür?

A) (q ∨ r^ı) ⇒ p B) p ⇒ (q ∨ r)

C) (q^ı ∧ r) ⇒ p^ı D) (q ⇒ r) ∨ p E) (q ∨ r) ⇒ p

2. I. "2 < 5 ise 3, tam sayı değildir."

II. "5 – 2.3 = 9 ise 1 + 1 = 2'dir."

III. "2 13 = 73 ise –4 = 2'dir."

Yukarıdaki önermelerden hangileri gerektirmedir?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) II ve III E) I, II ve III

(19)

Pekiştirme Soruları 2) İki Yönlü Koşullu Önerme

("⇔" : Ancak ve Ancak Bağlacı)

p ve q iki önerme olmak üzere, p ve q önermeleri aynı de- ğerleri aldığında doğru, farklı değerler aldığında yanlış olan bileşik önermeye iki yönlü koşullu önerme denir ve p ⇔ q biçiminde yazılarak p ancak ve ancak q diye okunur.

p ⇔ q nun tablosu aşağıdaki gibidir.

p q p ⇔ q

1 1

1 0

0 1

0 0

Tablodan 1 ⇔ 1 ≡ 1 1 ⇔ 0 ≡ 0 0 ⇔ 1 ≡ 0 0 ⇔ 0 ≡ 1

a) (1 ⇔ 1) ⇔ 0 b) [(0 ⇔ 0) ⇔ (1 ⇔ 0)] ⇔ 0

Örnek 9

Teorem:

p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) dir.

İspat:

p q p ⇒ q q ⇒ p (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) p ⇔ q

1 1

1 0

0 1

0 0

Teorem:

p ve q önermeleri için

a) p ⇔ q ≡ q ⇔ p b) (p ⇔ q)^ı ≡ p^ı ⇔ q ≡ p ⇔ q^ı c) p ⇔ p ≡ 1 d) p ⇔ p^ı ≡ 0

e) p ⇔ 1 ≡ p f) p ⇔ 0 ≡ p^ı

Çift Gerektirme

p ⇔ q önermesinin doğruluk değeri 1 ise bu önermeye çift gerektirme denir.

1. I. (1 ⇔ 0) ⇔ 1 ≡ 0 II. (0 ⇔ 0) ⇒ 0 ≡ 1 III. (0^ı ⇒ 1^ı) ⇔ (0 ⇔ 1) ≡ 1

Yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?

2. (p ⇔ p^ı) ⇒ (q ⇔ q)

bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denk- tir?

A) 0 B) 1 C) p D) q E) p^ı

3. p^ı ⇒ q önermesinin yanlış, q ⇔ r önermesinin doğru olduğu biliniyor.

Buna göre, p, q ve r önermelerinin doğruluk değer- leri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

A) 1, 0, 0 B) 1, 1, 0 C) 0, 1, 1

D) 0, 0, 1 E) 0, 0, 0

(20)

Pekiştirme Soruları Uygulamalar

p ⇔ (p ∨ q^ı)

bileşik önermesinin en sade biçimini yazalım.

Örnek 10

Çözüm

Bir masada; biri kırmızı, biri mavi ve biri sarı renkli olmak üzere üç bilye bulunmaktadır. Bu bilyeler A, B ve C kutula- rına her biri bir kutuda bir bilye olacak şekilde konuluyor ve

p: "A kutusunda kırmızı bilye yoktur."

q: "B kutusunda mavi bilye vardır."

r: "C kutusunda sarı bilye yoktur."

p ⇒ (q ∨ r^ı)

önermesi yanlış olduğuna göre; A, B ve C kutularında bulunan bilyelerin renklerini bulunuz.

Örnek 11

Çözüm

1. (p ⇔ p^ı) ∨ (q ⇒ 0)

bileşik önermesinin en sade biçimi aşağıdakiler- den hangisidir?

A) 0 B) 1 C) p D) q E) q^ı

2. p: "(–3²) = 9"

q: "2⁵.3 = 6⁵"

r: "2.5 = 10"

Buna göre, I. p ⇒ (q ∨ r) II. (p ⇔ q) ⇒ r III. (q ∨ r) ⇔ p

bileşik önermelerinden hangileri doğrudur?

D) I ve II E) I ve III

3. a, b ve c sıfırdan farklı birer gerçek sayı olmak üzere, p: a³ + b = 0

q: a + c < 0 r: c > 0 önermeleri veriliyor.

(p ∧ q) ⇒ r^ı

önermesinin yanlış olduğu bilindiğine göre; a, b ve c sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

A) +, +, + B) +, +, – C) +, –, +

D) +, –, – E) –, +, +

(21)

Fen Liseleri için Totoloji ve Çelişki

Kendisini oluşturan önermelerin bütün doğruluk değerlerine karşılık daima doğru (1) olan bileşik önermeye totoloji, daima yanlış (0) olan bileşik önermeye ise çelişki denir.

Aşağıdaki önermelerden totoloji veya çelişki olanları belirtelim.

a) (p ∧ r) ∧ p^ı b) p ∨ p^ı c) p ∧ (p ∨ p^ı) Örnek 12

Çözüm

p^ı ∨ (q^ı ⇒ p)

bileşik önermesinin totoloji olduğunu gösterelim.

Örnek 13

Çözüm

Pekiştirme Soruları 1. (p ∧ q) ⇒ r

bileşik önermesi çelişki olduğuna göre, p, q ve r önermelerinin doğruluk değerleri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 1, 1, 1 B) 1, 1, 0 C) 1, 0, 1

D) 1, 0, 0 E) 0, 1, 1

2. (p ∧ q)^ı ∨ (p ∨ q) bileşik önermesinin totoloji oldu- ğunu

a. önermeler cebirini kullanarak b. doğruluk tablosunu yaparak

gösteriniz.

3. (p ∨ q)^ı ∧ (p ∧ q) bileşik önermesinin çelişki oldu- ğunu

a. önermeler cebirini kullanarak b. doğruluk tablosunu yaparak

gösteriniz.

(22)

Çözüm Evde ➥ Ödev

Kazanım Alıştırma - 3

1. p ≡ 1, q^ı ≡ 0 ve r ≡ 1

olduğuna göre, aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz.

a. (p ∧ q) ⇒ r b. (p ⇔ q) ⇒ r^ı c. (p ⇒ q) ∧ (p^ı⇒ q^ı)

d. (p^ı ⇒ r^ı) ⇔ (p⇒ r)

2. (p^ı ∧ q) ⇒ r ≡ 0

olduğuna göre, p, q, r önermelerinin doğruluk de- ğerlerini bulunuz.

3. p: "2 – 5 = – 3"

q: "Üçgenin iç açılarının toplamı 180° dir."

r: "En küçük sayma sayısı 0'dır."

Buna göre, aşağıdaki bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz.

a. (p ∧ q) ⇒ r b. (p ⇔ q^ı) ⇒ (r ⇒ q)

c. p ⇒ (q^ı ⇒ r)

4. p^ı ⇒ q

önermesinin olumsuzunu bulunuz.

5. (p ⇒ q) ⇒ (p ∧ q)

bileşik önermesinin en sade biçimini yazınız.

6. (p^ı ⇒ q) ∧ (p^ı ∧ q)^ı

7. [(p^ı ⇒ q) ∧ p^ı]^ı

önermesini en sade biçimde yazınız.

8. ^{p ⇔ (p ∨ q}^ı⁾

9. [p ⇒ (q^ı ∧ p)] ⇒ (p ⇒ q^ı)

bileşik önermesini en sade biçimde yazınız.

(23)

Çözüm

Açık Önerme

İçinde en az bir değişken bulunduran ve bu değişkenin al- dığı değerlere göre doğru ya da yanlış hüküm bildiren öner- melere açık önerme denir.

Değişkenin açık önermeyi doğrulayan değerlerinin kümesi- ne açık önermenin doğruluk kümesi denir.

Bir x değişkeni ile verilen p açık önermesi p(x) ile gösterilir.

Örneğin;

p(x): "x bir çift sayıdır." bir açık önermedir.

• x yerine 2 yazarsak p(2): "2 bir çift sayıdır."

doğru bir önermedir ve p(2) ≡ 1 olur.

• x yerine 3 yazarsak p(3): "3 bir çift sayıdır."

yanlış bir önermedir ve p(3) ≡ 0 olur.

Denklem ve eşitsizlikler birer açık önermedir. Bir açık önerme birden fazla değişkene bağlı olabilir.

Aşağıda verilen açık önermelerin doğruluk kümelerini yazalım.

a) p(x): "x < 5, x ∈ N"

b) p(x): "2 < x < 10, x ∈ Z"

c) p(x): "3 < x < 4, x ∈ Z"

d) p(x): "x² < 10, x ∈ Z"

e) p(x): "x² + 1 = 25, x ∈ Z"

f) p(x, y): "x + y = 5, x ∈ N, y ∈ N"

g) p(x, y): "(x – 2)² + (y + 1)² = 0, x ∈ Z, y ∈ Z"

Örnek 1

Niceleyiciler

Önüne gelen elemanların niceliğini (çokluğunu) belirten

"her" ve "bazı" sözcüklerine niceleyici denir.

a) Varlıksal Niceleyici

"Bazı" niceleyicisi "∃" sembolü ile gösterilir. "En az bir"

anlamına da gelir. Bu niceleyiciye varlıksal niceleyici denir. A kümesi üzerinde bir p(x) açık önermesi tanımlanıyor.

A kümesinde p(x) i doğrulayan en az bir x elemanı varsa (∃x ∈ A) p(x) veya ∃x, p(x) ile ifade edilir. "∃x, p(x)" öner- mesinin doğru olması için çözüm kümesi boş olmamalıdır.

Aşağıdaki önermeleri kurallı cümle biçiminde yazalım.

a) "∃x ∈ N, x < 3"

b) "∃x ∈ R, x² + 2 = 0"

Örnek 2

Aşağıdaki önermeleri niceleme sembolleriyle yazıp doğruluk değerlerini bulalım.

a) "Bazı n doğal sayıları 2'den büyüktür."

b) "Bazı x gerçek sayılarının karesi 5'tir."

c) "En az bir x doğal sayısı için x + 1 = 0'dır."

Örnek 3

BÖLÜM

4 Açık Önermeler ve Niceleyiciler

(24)

b) Evrensel Niceleyici

"Her" niceleyicisi "∀" ile gösterilir.

Bu niceleyiciye evrensel niceleyici denir.

p(x) açık önermesi A kümesi üzerinde tanımlanmış olsun.

A'daki her eleman için p(x) doğru bir önerme oluyorsa (∀x ∈ A) p(x) veya ∀x, p(x) yazılır.

"∀x, p(x)" önermesinin doğru olması için, kümedeki bütün x değerlerinin p(x) önermesini doğrulaması gerekir.

Aşağıdaki önermeleri kurallı cümle biçiminde ifade ederek doğruluk değerlerini bulalım.

a) "∀x ∈ Z, x > 2"

b) "∀x ∈ N, x + 1 > 0"

Örnek 4

Aşağıdaki önermeleri niceleme sembolüyle yazalım.

a) "Her gerçek sayının karesi sıfıra eşit veya sıfırdan bü- yüktür."

b) "Bütün çift tam sayıların karesi çift sayıdır."

Örnek 5

Niceleyicilerin Değili

"Bazı" niceleyicisinin olumsuzu (değili) "her"

"her" niceleyicisinin olumsuzu da "bazı" niceleyicisidir.

(∃x, p(x))^ı ≡ ∀x, p^ı(x) (∀x, p(x))^ı ≡ ∃x, p^ı(x)

Aşağıdaki açık önermelerin olumsuzlarını yazalım.

a) p(x): "∀x ∈ R, x² < 2"

b) q(x): "∃x ∈ R, x³ = 1"

c) r(x): "∃x ∈ R, x + 1 ≥ 2"

Örnek 6

Aşağıdaki açık önermelerin değillerini yazalım.

a) (∀x ∈ Z, x > 3) ∨ (∃x ∈ R, x ≠ 3)

b) (∃x ∈ R, x² + x < 2) ∧ (∀x ∈ Z, x = 2)

c) (∀x ∈ R, x² = 4) ⇒ (∃x ∈ Z, 2x – 1 ≠ 5) Örnek 7

FASİKÜL ANLATIM REHBERİ