Sanki-bir-boyutlu Lülelerde Daimi Olmayan Kavitasyonlu Kabarcıklı Akışların Sayısal Benzetimi

ĐSTANBUL TEKNĐK ÜNĐVERSĐTESĐ

FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

DOKTORA TEZĐ Zafer BAŞKAYA

Anabilim Dalı :

Disiplinler Arası Uçak ve Uzay Mühendisliği

Programı : Uçak ve Uzay Mühendisliği

ŞUBAT 2011

SANKĐ BĐR BOYUTLU LÜLELERDE DAĐMĐ OLMAYAN KAVĐTASYONLU KABARCIKLI AKIŞLARIN SAYISAL BENZETĐMĐ

ŞUBAT 2011

ĐSTANBUL TEKNĐK ÜNĐVERSĐTESĐ

_{FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ}

DOKTORA TEZĐ Zafer BAŞKAYA

(511032013)

Tezin Enstitüye Verildiği Tarih : 01 Eylül 2010 Tezin Savunulduğu Tarih : 11 Şubat 2011

Tez Danışmanı : Prof. Dr. Can Fuat DELALE (Işık Üniversitesi) Jüri Üyeleri : Prof. Dr. M. Fevzi ÜNAL (Đ.T.Ü.)

Prof. Dr. Erkan AYDER (Đ.T.Ü.) Prof. Dr. Mete Şen (Đ.T.Ü.)

Prof. Dr. Metin MURADOĞLU (Koç.Üniversitesi) SANKĐ BĐR BOYUTLU LÜLELERDE DAĐMĐ OLMAYAN

ÖNSÖZ

Tez çalışmalarımın her aşamasında, bana destek veren, yönlendiren, bilimi öğreten, zamanını ayıran değerli hocam tez danışmanım Prof. Dr. Can F. DELALE’ye sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Çalışmalarım sırasında yönlendirmelerini ve desteklerini esirgemeyen değerli juri üyeleri Prof. Dr. M. Fevzi ÜNAL ile Prof. Dr. Erkan AYDER’e yapmış oldukları katkılardan dolayı teşekkürü ayrıca borç bilirim. Beni cesaretlendiren, her zaman ve her konuda desteğini hissettigim değerli eşim Arzu BAŞKAYA’ya ve değerli ailem’e, bana verdikleri desteklerden dolayı Đlyas YILMAZ, Seher KAHRAMAN ve Altuğ AKA’ya ayrıca teşekkür ederim.

Şubat 2010 Zafer BAŞKAYA

ĐÇĐNDEKĐLER Sayfa ÖNSÖZ ... v ĐÇĐNDEKĐLER ... vii SEMBOLLER ... ix ÇĐZELGE LĐSTESĐ ... xi

ŞEKĐL LĐSTESĐ ... xiii

ÖZET ... xix

SUMMARY ... xxi

1. GĐRĐŞ ... 1

2. KAVĐTASYONLU KABARCIKLI SIVI MODELĐ ... 7

2.1 Đki-Fazlı Homojen Akış Modeli ... 8

2.2 Kabarcık Dinamiği ... 8

2.2.1 Klasik Rayleigh-Plesset denklemi ... 9

2.2.2 Kabarcık/kabarcık etkileşimi için iyileştirilmiş Rayleigh-Plesset denklemi ... 12

3. SANKĐ-BĐR -BOYUTLU LÜLELERDE DAĐMĐ OLMAYAN KABARCIKLI KAVĐTASYONLU AKIŞ DENKLEMLERĐ ... 15

3.1 Sanki-Bir-Boyutlu Lüle Akışları ... 15

3.2 Akış Hızı ve Kabarcık Yarıçapı için Evrim Denklemleri ... 19

4. DAĐMĐ OLMAYAN SANKĐ-BĐR-BOYUTLU LÜLE AKIŞLARININ BAŞLANGIÇ/SINIR KOŞULLARI VE SAYISAL BENZETĐM YÖNTEMĐ ... 25

4.1 Daimi Olmayan Sanki-Bir-Boyutlu Kavitasyonlu Lüle Akışlarının Başlangıç/Sınır Koşulları ... 25

4.2 Daimi Olmayan Sanki-Bir-Boyutlu Kabarcıklı Kavitasyonlu Lüle Akışları Đçin Yarı-Analitik Çözüm Yöntemi ... 27

5. SAYISAL SONUÇLAR VE TARTIŞMA ... 33

5.1 Daimi Akışlar ... 34

5.1.1 Caltech lülesi benzetim sonuçları ... 34

5.1.2 ĐTÜ – TÜBĐTAK lülesi sayısal benzetim ve kavitasyon deneyi sonuçları .. 38

5.2 Daimi Olmayan Akışlar ... 44

5.2.1 Caltech lülesi benzetim sonuçları ... 45

5.2.2 ĐTÜ – TÜBĐTAK lülesi benzetim sonuçları ... 56

6. SONUÇ VE ÖNERĐLER ... 61

KAYNAKLAR ... 63

EKLER ... 67

SEMBOLLER Latin

A

: Lülenin kesit alanı

a

: Yerel ivme

p

C

: Basınç katsayısı j

F

_{; j=1,2,..,10} : Ek B bölümünde verilen B1 - B.10 denklemlerindeki katsayılar

H : Lülenin girişteki yüksekliği

L

: Mikro ölçeğin makro ölçeğe oranı

n : Karışımın birim hacimdeki kabarık yoğunluğu sayısı o

n

: Sıvının birim hacimdeki kabarık yoğunluğu sayısı

p

: Karışım basıncı

R

: Kabarcık Yarıçapı

Re

: Reynolds sayısı

S

: Yüzey gerilim katsayısı

s

: Kaynak terimi

T

: Sıcaklık t : Zaman

u

: Akış hızı

We

: Weber sayısı

W

: Wronskian bağıntısı

x : Lülenin eksenel koordinatı

r

∆

: Kabarcık etkileşim yarıçapı Grek

β : Hacimsel kabarcık oranı

ρ

: Karışım yoğunluğu

κ

: Kabarcık hacim oranını betimleyen parametre

π

: Pi sayısı eff

µ

: Efektif viskozite µ : Dinamik Viskozite

ν

: Kinematik viskozite

σ

: Kavitasyon sayısı

Λ

: Kabarcık/kabarcık etkileşim parametresi

ψ

: Dilasyon

Θ

: Karakteristik akış zamanı

ALT ĐNDĐSLER e : Çıkış

g

: Gaz

i

: Giriş j : Indis

l

_{: Sıvı} o : Başlangıç durumu p : Basınç t : Boğaz v : Buhar ÜST ĐNDĐSLER ´ : Boyutlu değişkenler

ÇĐZELGE LĐSTESĐ

Sayfa Çizelge 4.1: Daimi olmayan sanki-bir-boyutlu kabarcıklı kavitasyonlu akışların

lüle giriş ve çıkışındaki fiziksel sınır koşulları ... 26 Çizelge 5.1: Sayısal benzetim süreleri (µs) ... 45

ŞEKĐL LĐSTESĐ

Sayfa

Şekil 1.1: Saf bir maddenin Basınç-Sıcaklık (p′−T′) diyagramında kaynama ve kavitasyonu betimleyen faz geçişleri (K.N. : Kritik Nokta, Ü.K.N. : Üçlü Kritik Nokta, S.S.H. : Saf Sıvı Hali, p_v: Sıvının Buhar Basıncı). ... 1 Şekil 2.1: Lüle akışları için kabarcıklı sıvı modeli. ... 7 Şekil 2.2: Sıvı içindeki tam küresel kabarcığın şematik gösterimi... 9 Şekil 2.3:

∆

r

′

kabarcıklar arası etkileşme erimi ve ortalama-alan

kabarcık/kabarcık etkileşimi için kabarcıkların geometrik konfigürasyonu (O merkezinde bulunan kabarcığın yarıçapı R′, Ri′

ise merkezden r_i′ kadar uzaklıkta olan i’nci kabarcığın yarıçapıdır). ... 12 Şekil 4.1: Daimi olmayan sanki-bir-boyutlu kabarcıklı kavitasyonlu akışlar için

lüle geometrisi ve uygulanan giriş-çıkış sınır koşulları ... 27 Şekil 4.2: Sonlu farklar metodu için lüle ağ düğümleri ... 29 Şekil 5.1: Caltech lüle geometrisi. ... 35 Şekil 5.2: Caltech lülesinde, kavitasyonlu kabarcıklı daimi akış için basınç

katsayısının dağılımı (Sönüm katsayısıµeff′ / µ′l = 1.0 kabarcık/kabarcık etkileşim parametresi Λ =1 .0, giriş kabarcık yarıçapı Ri₀= 4 0µm , mikro /makro ölçek oranı

-4

=8x10

L , giriş

basıncı p_io′ =1.013bar, giriş kabarcık hacimsel oranı - 3 0= 1 0

i

β ve

kavitasyon sayısı σ = 0 .8 5 ; bkz. Pasinlioğlu ve diğ., 2009). ... 36 Şekil 5.3: Caltech lülesinde, kavitasyonlu kabarcıklı daimi akış için basınç

katsayısının dağılımı (Sönüm katsayısıµeff′ / µl′ = 1.0 kabarcık/kabarcık etkileşim parametresi Λ =1.0, giriş kabarcık yarıçapı R_i0= 4 0µm , mikro /makro ölçek oranı _{L = 8 x 1 0}-4_{, giriş}

basıncı p_io′ =1.013bar, giriş kabarcık hacimsel oranı - 3 0= 1 0

i

β ve

kavitasyon sayısı σ = 0 .7 9 ; bkz. Pasinlioğlu ve diğ., 2009). ... 36 Şekil 5.4: Caltech lülesinde, kavitasyonlu kabarcıklı daimi akış için kabarcık

yarıçapı ve akış hızı dağılımları. (Sönüm katsayısı µeff′ /µl′ = 1.0 , kabarcık/kabarcık etkileşim parametresi Λ =1 .0, giriş kabarcık yarıçapı R_i0= 4 0µm , mikro /makro ölçek oranı -4

= 8 x 1 0

L , giriş

basıncı p_io′ =1.013 bar, giriş kabarcık hacimsel oranı -3 0= 1 0

i

β ve

kavitasyon sayısı σ = 0 .8 5 ; bkz. Pasinlioğlu ve diğ., 2009). ... 37 Şekil 5.5: Caltech lülesinde, kavitasyonlu kabarcıklı daimi akış için kabarcık

yarıçapı ve akış hızı dağılımları. (Sönüm katsayısıµeff′ /µl′ = 1.0 , kabarcık/kabarcık etkileşim parametresi Λ =1 .0, giriş kabarcık yarıçapı Ri₀= 4 0µm , mikro /makro ölçek oranı

-4

= 8 x 1 0

basıncı p_io′ =1.013 bar, giriş kabarcık hacimsel oranı -3 0= 1 0

i

β ve

kavitasyon sayısı σi = 0 . 7 9 ; bkz. Pasinlioğlu ve diğ., 2009). ... 38 Şekil 5.6: ĐTÜ – TÜBĐTAK kavitasyon deneyinde kullanılan lülenin girişe göre

normalize edilmiş alanının x ekseni boyunca değişimi. ... 39 Şekil 5.7: Kavitasyon deneyinde sınanan ĐTÜ – TÜBĐTAK lülesi için deney

düzeneği. ... 39 Şekil 5.8: Kavitasyon deneyinde sınanan ĐTÜ – TÜBĐTAK lülesinin üç-boyutlu

görünümü. ... 40 Şekil 5.9: Sınanan ĐTÜ – TÜBĐTAK deney lülesi için boğaz, çıkış ve aradaki

ıraksak kesitleri cidarlarında basınç sensörleriyle kaydedilen basınç değerlerinin zamanla (µs) değişimi. ... 40 Şekil 5.10:ĐTÜ – TÜBĐTAK deneyinde sınanan yakınsak-ıraksak lülede,

kabarcıklı daimi akışta boyutsuz kabarcık yarıçapı dağılımı (lüle giriş hızı U_i′ =₀ 8.2 ms-1, giriş basıncı

p

_i

′ =

₀

0.582

bar, giriş kabarcık yarıçapı

R

i0

=

50 m

µ

, giriş kabarcık hacimsel oranı

6 0 10 − = i

β

). ... 41

Şekil 5.11:ĐTÜ – TÜBĐTAK deneyinde sınanan yakınsak-ıraksak lülede, kabarcıklı daimi akışta basınç katsayısı dağılımı (lüle giriş hızı 8.2 ms

-1

, giriş basıncı

p

_i

′ =

₀

0.582

bar, giriş kabarcık yarıçapı

R

_i0

=

50 m

µ

, kabarcık hacimsel oranı

β

_i0 = 10 −6 ). ... 42 Şekil 5.12:ĐTÜ–TÜBĐTAK deneyinde sınanan yakınsak-ıraksak lülede,

kabarcıklı daimi akışta boyutsuz akış hızı dağılımı (lüle giriş hızı 8.2 ms-1, giriş basıncı

p

_i

′ =

₀

0.582

bar, giriş kabarcık yarıçapı

0

50 m

i

R

=

µ

, giriş kabarcık hacimsel oranı

β

_i0 = 10 −6 ). ... 43 Şekil 5.13:Sanki bir boyutlu kabarcıklıklı kavitasyonlu daimi akışlarda sönüm

katsayısının

(

µ

_eff′ /

µ

l′

)

farklı değerleri için (10, 30.0) değişken lüle

giriş hacimsel kabarcık oranının

β

_i

(

10 ve 10−4 -3

)

, pertürbasyon dalga sayısıyla (k) değişimi ve kararlılık bölgeleri (Pasinlioglu ve Delale, 2006; Delale ve dig., 2007; Pasinlioğlu ve diğ., 2009). ... 43 Şekil 5.14:Sanki bir boyutlu daimi olmayan kavitasyonlu lüle akışlarının sayısal

benzetimi sonucunda Caltech lüle modeli için hız, çıkışında basınç durumuna bağlı sınır şartlarında, farklı ağ sayısına göre kabarcık yarıçapı dağılımları (kabarcık hacim oranı

β

_i=1x10-3, kavitasyon sayısı σ =0.932, sayısal benzetim süresi t′=11,65 µs, başlangıç kabarcık çapı

R

i

′ =

0

100 m

µ

) ... 45 Şekil 5.15:Sanki bir boyutlu daimi olmayan kavitasyonlu lüle akışlarının sayısal

benzetimi sonucunda Caltech lüle modelinin girişinde hız, çıkışında basınç durumuna bağlı sınır şartlarında, iki farklı kavitasyon sayısına göre boyutsuz kabarcık çapı dağılımları (sayısal benzetim süresi

s

t′=11,65 µ , kavitasyon sayısı

σ

=

0

.

932

iken giriş akış hızı

-1

( ) 14.57 ms

i

U t′ = ve

σ

=

1

.

2

iken U t_i′ =( ) 12.84 ms-1, çıkış basınç değeri

p

_e

′ =

0.55

bar). ... 46 Şekil 5.16:Sanki bir boyutlu daimi olmayan kavitasyonlu lüle akışlarının sayısal

basınç durumuna bağlı sınır şartlarında, iki farklı kavitasyon sayısına göre basınç katsayısı dağılımları (sayısal benzetim süresi

s

t′=11,65 µ , kavitasyon sayısı σ =0.932 iken giriş akış hızı

-1 ( ) 14.57 ms i U t′ = ve

σ

=

1

.

2

iken -1 ( ) 12.84 m s i U′ t = , çıkış basınç değeri

p

e

′ =

0.55

bar). ... 47

Şekil 5.17:Sanki bir boyutlu daimi olmayan kavitasyonlu lüle akışlarının sayısal benzetimi sonucunda Caltech lüle modelinin girişinde hız, çıkışında basınç durumuna bağlı sınır şartlarında, iki farklı kavitasyon sayısına göre boyutsuz akış hızı dağılımları (sayısal benzetim süresi

s

t′=11,65 µ , kavitasyon sayısı σ =0.932 iken giriş akış hızı

-1 ( ) 14.57 ms i U t′ = ve

σ

=

1

.

2

iken -1 ( ) 12.84 m s i U′ t = , çıkış basınç değeri

0.55

e

p

′ =

bar). ... 48 Şekil 5.18:Sanki bir boyutlu daimi olmayan kavitasyonlu lüle akışlarının sayısal

benzetimi sonucunda Caltech lüle modelinin girişinde hız, çıkışında basınç durumuna bağlı sınır şartlarında, iki farklı kavitasyon sayısına göre boyutsuz yerel ivme dağılımları (sayısal benzetim süresi

s

t′=11,65 µ , kavitasyon sayısı σ=0.932 iken giriş akış hızı

-1

( ) 14.57 ms

i

U t′ = ve

σ

=

1

.

2

iken U t_i′ =( ) 12.84 ms-1, çıkış basınç değeri

p

_e

′ =

0.55

bar). ... 48 Şekil 5.19: Sanki bir boyutlu daimi olmayan kavitasyonlu lüle akışlarının sayısal

benzetimi sonucunda Caltech lüle modelinin girişinde hız, çıkışında basınç durumuna bağlı sınır şartlarında, dört farklı σ kavitasyon sayısı sırasıyla 0.75, 0.80, 0.90 ve 1.00 değerlerinde, boyutsuz kabarcık yarıçapı dağılımları (sayısal benzetim süresi t′=11,65 µs, kabarcık hacim oranı

β

_i =10−3, başlangıç kabarcık çapı

R

_i

′ =

100 m

µ

). ... 49 Şekil 5.20:Sanki bir boyutlu daimi olmayan kavitasyonlu lüle akışlarının sayısal

benzetimi sonucunda Caltech lüle modelinin girişinde hız, çıkışında basınç durumuna bağlı sınır şartlarında, 3 farklı t zaman değerlerinde boyutsuz kabarcık yarıçapı dağılımları (kabarcık hacim oranı

3

10

i

β

₌ −

, kavitasyon sayısı

σ

=

0.932

, başlangıç kabarcık çapı 0

100 m

i

R

′ =

µ

) ... 50 Şekil 5.21:Sanki bir boyutlu daimi olmayan kavitasyonlu lüle akışlarının sayısal

benzetimi sonucunda Caltech lüle modelinin girişinde hız, çıkışında basınç durumuna bağlı sınır şartlarında, 3 farklı t zaman değerlerinde boyutsuz basınç katsayısı dağılımları (kabarcık hacim oranı

β

_i =10−3, kavitasyon sayısı σ = 0 .9 3 2 , başlangıç kabarcık çapı

R

i

′ =

0

100 m

µ

) 51 Şekil 5.22:Sanki-bir-boyutlu daimi olmayan kavitasyonlu lüle akışlarının sayısal

benzetimi sonucunda Caltech lüle modelinin girişinde hız, çıkışında basınç durumuna bağlı sınır şartlarında, 3 farklı t zaman değerlerinde boyutsuz hız dağılımları (kabarcık hacim oranı

β

_i =10−3, kavitasyon sayısı

σ

=

0 .9 3 2

, başlangıç kabarcık çapı

R

_i

′ =

₀

100 m

µ

) ... 52 Şekil 5.23:Sanki bir boyutlu daimi olmayan kavitasyonlu lüle akışlarının sayısal

basınç durumuna bağlı sınır şartlarında, 3 farklı t zaman değerlerinde boyutsuz ivme dağılımları (kabarcık hacim oranı

β

_i =10−3, kavitasyon sayısı

σ

=

0 .9 3 2

, başlangıç kabarcık çapı

R

_i

′ =

₀

100 m

µ

) ... 53 Şekil 5.24: Sanki bir boyutlu daimi olmayan kavitasyonlu lüle akışlarının sayısal

benzetimi sonucunda Caltech lüle modelinin girişinde hız, çıkışında basınç durumuna bağlı sınır şartlarında, farklı boyutsuz kabarcık yarıçapı dağılımları (sayısal benzetim süresi t′=11,65 µs, kabarcık hacim oranı

β

_i =10−3, kavitasyon sayısı

σ

=

0 . 9 3 2

)... 54 Şekil 5.25:Sanki bir boyutlu daimi olmayan kavitasyonlu lüle akışlarının sayısal

benzetimi sonucunda Caltech lüle modelinin girişinde hız, çıkışında basınç durumuna bağlı sınır şartlarında, şekil 5.24’de verilen farklı boyutsuz kabarcık yarıçapı dağılımları için basınç katsayısı değişimi (sayısal benzetim süresi t′=11,65 µs, kabarcık hacim oranı 3

10

i

β ₌ −

, kavitasyon sayısı σ = 0 .9 3 2 ) ... 54 Şekil 5.26:Sanki bir boyutlu daimi olmayan kavitasyonlu lüle akışlarının sayısal

benzetimi sonucunda Caltech lüle modelinin girişinde hız, çıkışında basınç durumuna bağlı sınır şartlarında, Şekil 5.24’de verilen farklı boyutsuz kabarcık yarıçapı dağılımları için boyutsuz hız değişimi (sayısal benzetim süresi t′=11,65 µs, kabarcık hacim oranı

β

_i =10−3

, kavitasyon sayısı

σ

=

0.932

) ... 55 Şekil 5.27: Sanki bir boyutlu daimi olmayan kavitasyonlu lüle akışlarının sayısal

benzetimi sonucunda Caltech lüle modelinin girişinde hız, çıkışında basınç durumuna bağlı sınır şartlarında, farklı efektif/kinematik viskosite oranına göre kabarcık yarıçapı dağılımları (sayısal benzetim süresi t′=11,65 µs, kabarcık hacim oranı

β

_i =10−3, kavitasyon sayısı

σ

=

0 .9 3 2

, başlangıç kabarcık çapı

R

_i

′ =

100 m

µ

) ... 56 Şekil 5.28: Sanki-bir-boyutlu daimi olmayan kavitasyonlu lüle akışlarının sayısal

benzetimi sonucunda ĐTÜ-TÜBĐTAK lüle modelinin girişinde hız, çıkışında basınç durumuna bağlı sınır şartlarında 3 farklı zaman dilimi için boyutsuz kabarcık çapı dağılımları (kabarcık hacim oranı

6

10

i

β

₌ −

, başlangıç kabarcık çapı

R

_i

′ =

₀

50 m

µ

, giriş akış hızı

-1

( ) 8.2 ms

i

U t′ = ve lüle çıkış basıncı

p

e

′ =

0.388

bar). ... 57

Şekil 5.29:Sanki bir boyutlu daimi olmayan kavitasyonlu lüle akışlarının sayısal benzetimi sonucunda ĐTÜ-TÜBĐTAK lüle modelinin girişinde hız, çıkışında basınç durumuna bağlı sınır şartlarında 3 farklı zaman dilimi için basınç katsayısı dağılımları (kabarcık hacim oranı

β

_i =10−6, başlangıç kabarcık çapı

R

_i

′ =

₀

50 m

µ

, giriş akış hızı U t_i′ =( ) 8.2 ms-1 ve lüle çıkış basıncı

p

_e

′ =

0.388

bar). ... 58 Şekil 5.30:Sanki bir boyutlu daimi olmayan kavitasyonlu lüle akışlarının sayısal

benzetimi sonucunda ĐTÜ-TÜBĐTAK lüle modelinin girişinde hız, çıkışında basınç durumuna bağlı sınır şartlarında 3 farklı zaman dilimi için boyutsuz akış hızı dağılımları (kabarcık hacim oranı

β

_i =10−6,

başlangıç kabarcık çapı

R

i

′ =

0

50 m

µ

, giriş akış hızı

-1

( ) 8.2 ms

i

U t′ = ve lüle çıkış basıncı

p

_e

′ =

0.388

bar). ... 59 Şekil 5.31:Sanki bir boyutlu daimi olmayan kavitasyonlu lüle akışlarının sayısal

benzetimi sonucunda ĐTÜ-TÜBĐTAK lüle modelinin girişinde hız, çıkışında basınç durumuna bağlı sınır şartlarında 3 farklı zaman dilimi için boyutsuz yerel ivme dağılımları (kabarcık hacim oranı

β

_i =10−6, başlangıç kabarcık çapı

R

_i

′ =

₀

50 m

µ

, giriş akış hızı U t_i′ =( ) 8.2 ms-1 ve lüle çıkış basıncı

p

_e

′ =

0.388

bar). ... 59

SANKĐ-BĐR-BOYUTLU LÜLELERDE DAĐMĐ OLMAYAN

KAVĐTASYONLU KABARCIKLI AKIŞLARIN SAYISAL BENZETĐMĐ ÖZET

Bu tezde, kabarcık/kabarcık etkileşimlerinin gözönünde bulundurulduğu iyileştirilmiş bir Rayleigh-Plesset denklemiyle tanımlanan kavitasyonlu kabarcık dinamiğinin temel alındığı, homojen kabarcık-sıvı karışımlı akış modelinin kullanıldığı daimi olmayan sanki-bir-boyutlu kavitasyonlu lüle akışları incelenecektir. Ayrıca kavitasyonlu daimi lüle akışlarının çözümleri ve kararlılıkları ele alınacaktır. Hidrodinamik kavitasyonun analizi için yakınsak-ıraksak lüleler en basit konfigürasyon olarak görülmektedir. Kavitasyonlu akışlar için lüle akış denklemleriyle beraber kabarcık dinamiğinin ele alınması temel bir unsurdur. Klasik Rayleigh-Plesset denklemi ile tarif edilen küresel kabarcık dinamiği ile birleştirilmiş bir sürekli kabarcık karışımlı akış modeli, van Wijngaarden tarafından önerilmiştir. Bu model kullanılarak sanki-bir-boyutlu yakınsak-ıraksak lülede kabarcıklı kavitasyonlu daimi akışların çözümü, sürekli kabarcıklı akış modeli kullanan Wang ve Brennen ile Delale ve diğ. tarafından araştırılmıştır. Kabarcığın içerisindeki gaz basıncının politropik yasaya uyduğu ve tüm sönümleme mekanizmalarının somut anlamda viskoz yutulma formunda tek bir sönümleme katsayısıyla betimlendiği varsayıldığında, her iki araştırma da diğer tüm parametreler sabit tutulup sadece girişteki kabarcık hacim oranı (veya girişte kavitasyon sayısı veya girişte kabarcık yarıçapı) değiştirildiğinde, daimi akış çözümlerinin ani akış kararsızlıklarını göstermiştir. Aynı model, lülenin ıraksak kısmında ilerleyen kabarcıklı şok dalgalarını gösteren Preston ve diğ. tarafından yakınsak-ıraksak lülede daimi olmayan kabarcıklı kavitasyonlu akışlara uygulanmıştır.

Bu araştırmanın amacı, daimi olmayan sanki-bir-boyutlu kabarcıklı kavitasyonlu lüle akışları için detaylı bir analiz vermektir. Bu sebeple, daimi olmayan sanki-bir-boyutlu kabarcıklı kavitasyonlu lüle akışlarında homojen kabarcık-sıvı karışımlı akış modeli, kavitasyonlu kabarcık dinamiğinin temel alındığı iyileştirilmiş Rayleigh-Plesset denklemiyle beraber ele alınacaktır. Çekirdekleşme, kabarcık birleşmeleri ve kabarcık bölünmesi ihmal edilecektir. Kabarcığın içersindeki gaz basıcının politropik yasaya göre genişlediği ve sıkıştığı varsayılarak, tüm sönümleme mekanizmaları viskoz yutulma şeklinde tek bir sönümleme katsayısı kullanılarak dikkate alınacaktır. Başlangıç dağılımları, giriş koşulları ve lüle geometrileri, lüle içersinde kavitasyon oluşturacak şekilde seçilecektir. Bu kabullere dayanarak model denklem sistemi, biri akış hızı diğeri kabarcık yarıçapı olmak üzere iki evrim denklemine indirgenecektir. Daimi olmayan ivme alanı için değişken katsayılı ikinci dereceden lineer bir adi diferansiyel denkleminin (ODE), çözümlerini kullanılarak kuple kısmi diferansiyel denklem sistemi (PDE) çözümlenecektir. Daimi olmayan ivme alanının sayısal çözümü için ODE denkleminin çözümlerine giren zamana bağlı fonksiyonlar, yansımasız sınır koşulları kullanılarak değerlendirilecektir. Bir sonraki akış hızı dağılımını bulmak amacıyla daimi olmayan ivme alanı kullanılarak, evrim

denklemleri yüksek mertebeden Runge-Kutta metodu ile zamana göre entegre edilecektir. Elde edilen akış hızı dağılımını kullanarak, kabarcık yarıçapı için birinci dereceden hiperbolik denklem ise klasik karakteristikler metodu ile entegre edilecektir. Böylece evrim denklemlerinin akış hızı ve kabarcık yarıçapı dağılımları için bulunan çözümler, bir sonraki zaman adımı için elde edilecektir. Bu işlem tüm zaman aralıkları için benzer şekilde sayısal döngüde tekrarlanarak sanki-bir-boyutlu kavitasyonlu lüle akışlarının sayısal benzetimi için gereken tüm hidrodinamik değişkenler hesaplanacaktır. Đki farklı lüle için elde edilen sayısal benzetim sonuçları, nicel bir karşılaştırmayla doğrulanmıştır. Kullanılan algoritma ile kabarcık yarıçapı, akış hızı ve basınç katsayısı dağılımları için bulunan sayısal benzetim sonuçlarına ilişkin karşılaştırma, Caltech lülesi için bulunan sonuçlar ile mükemmel bir uyum sağlandığını göstermektedir. Diğer taraftan sanki- bir- boyutlu lüle akışları için elde edilen sayısal benzetim sonuçları, ĐTÜ-TÜBĐTAK deneyinde kavitasyon durumu için ölçülen basınç kayıplarıyla uyum içindedir. Ancak sanki-bir-boyutlu model, iki-boyutlu kavitasyon yapılarının tanımlanmasında yetersiz kalmaktadır.

NUMERICAL SIMULATION OF UNSTEADY QUASI ONE DIMENSIONAL BUBBLY CAVITATING NOZZLE FLOWS

SUMMARY

In this thesis, quasi-one-dimensional unsteady bubbly cavitating nozzle flows are investigated by employing a homogeneous bubbly liquid flow model, where the nonlinear dynamics of cavitating bubbles is described by a modified Rayleigh-Plesset equation. Furthermore, the numerical solutions and stability of steady-state bubbly cavitating nozzle flows are thoroughly analysed. Cavitating flows through converging-diverging nozzles seem to be the simplest configurations for analysis in hydrodynamic cavitation. For cavitating flows it is essential to consider bubble dynamics together with the equations of nozzle flow. A continuum bubbly mixture flow model that couples spherical bubble dynamics, as described by the classical Rayleigh-Plesset equation, to the flow equations was proposed by van Wijngaarden. Steady-state solutions of bubbly cavitating flows through converging-diverging nozzles have been investigated by Wang and Brennen and by Delale et al. using the continuum bubbly liquid flow model. Assuming that the gas pressure inside the bubble obeys the polytropic law and lumping all damping mechanisms, in a crude manner, by a single damping coefficient in the form of viscous dissipation, both investigations have demonstrated bifurcation of steady-state solutions to flashing flow instabilities by varying the inlet void fraction (or inlet bubble radius or inlet cavitation number). A numerical investigation of unsteady bubbly cavitating flows in converging-diverging nozzles in the same model has also been carried out by Preston et al., showing the possibility of propagating bubbly shock waves in the diverging section of the nozzle.

The aim of this investigation is to present a detailed analysis of quasi-one-dimensional unsteady bubbly cavitating flows in converging-diverging nozzles. For this reason, quasi-one-dimensional unsteady bubbly cavitating nozzle flows are considered by employing a homogeneous bubbly liquid flow model together with the nonlinear dynamics of cavitating bubbles, described by a modified Rayleigh-Plesset equation. Nucleation, coalescence of bubbles and bubble fission are neglected. The various damping mechanisms are lumped together by a single damping coefficient in the form of viscous dissipation. A polytropic law for the expansion and compression of the gas inside the bubble is assumed. The initial distributions, inlet conditions and nozzle geometry are choosen such that cavitation can occur in the nozzle. Under these assumptions the model system of equations, by appropriate uncoupling, are reduced to two evolution equations, one for the flow speed and the other for the bubble radius. The system of coupled PDE’s are then solved by utilizing the solution of the unsteady acceleration field, which is a linear second order ordinary differential equations (ODE) with variable coefficients. The time dependent functions, entering the solution of the ODE for the unsteady acceleration, are evaluated by using non-reflecting boundary conditions. The evolution equation for the flow speed is then

integrated using a multi-stage Runge-Kutta method in time to arrive at the flow speed distribution at the next time step. Using the flow speed thus obtained, the first order hyperbolic equation for the bubble radius is integrated by the classical method of characteristics. Thus the solutions for the flow speed and radius distributions of the evolution equations are obtained for the next time step. The procedure is then repeated in a similar manner for all subsequent time steps. Consequently, all hydrodynamic variables are calculated for the numerical simulation of quasi-one-dimensional unsteady bubbly cavitating nozzle flows. The numerical results are verified by a quantitative comparison of the results for two different type of nozzles. A comparison of the numerical results for the bubble radius, the flow speed and pressure coefficient distributions by the present algorithm show excellent agreement with those found in the Caltech nozzle. On the other hand, the numerical results obtained for quasi-one-dimensional nozzle flows capture the measured pressure losses of the experimental study of the ĐTÜ-TÜBĐTAK nozzle due to cavitation, but they turn out to be insufficient in describing the two-dimensional cavitation structures.

1. GĐRĐŞ

Kavitasyon başlangıçta homojen olan bir sıvıda düşük basınç altında sıvı ortamın faz geçisi yoluyla iki-fazlı sıvı-kabarcık karışımına dönüşümüdür. Sıvı durgun veya akış halindeyken faz geçişi oluşabilir. Sıvının durgun olduğu hallerde, bir hazne içindeki sıvının serbest yüzeyine salınım yapan bir basınç alanı uygulandığında, salınım genliği yeteri derecede büyük olursa, faz geçişi sonucu sıvının içinde kavitasyon kabarcıkları oluşabilir. Bu tür kavitasyon olayına akustik kavitasyon, akış halindeki sıvıda kavitasyon oluşumuna ise hidrodinamik kavitasyon adı verilir. Hidrodinamik ve akustik kavitasyon durumlarında faz geçisi için kavitasyon oluşacak bölgede pl′

sıvı basıncının, sıvının p_v′ doymuş buhar basıncının altına düşmesi gerekir. Kavitasyon aslında kaynamaya benzer bir mekanizma sonucu oluşur. Bundan dolayı kavitasyona bazen soğuk kaynama da denilmektedir.

Şekil 1.1: Saf bir maddenin Basınç-Sıcaklık (p′−T′) diyagramında kaynama ve kavitasyonu betimleyen faz geçişleri (K.N. : Kritik Nokta, Ü.K.N. : Üçlü Kritik Nokta, S.S.H. : Saf Sıvı Hali, p_v: Sıvının Buhar Basıncı).

Ancak kavitasyon ile kaynama arasında fark vardır. Kaynama durumunun aksine kavitasyon olayında, sıcaklık farkı yerine kabarcık oluşum mekanizmasını tetikleyen basınç farkıdır. Şekil 1.1’de, saf bir maddenin basınç-sıcaklık (p′−T′)

diyagramından görüleceği üzere kaynama, sıcaklık farkıyla oluşurken, kavitasyon ise basınç farkı neticesinde oluşur. Diğer bir deyişle kavitasyon esnasında, buhar/gaz-sıvı ara yüzeyinde buhar/gaz-sıvı halden buhar haline geçişte sıcaklık yaklaşık olarak sabit kalır. Akış halindeki bir sıvıda ise özellikle sıvının küçük kesitlerden büyük hızla akışı, kavitasyon olayına neden olabilir. Bir su türbini, gemi pervanesi, su pompası, vb. kavitasyona elverişli koşullar altındadır. Kavitasyonlu akışlarda sıvı içindeki kabarcıklar yeterli derecede düşük bir basınç bölgesine taşındığında, adeta patlarcasına büyüyerek makro boyutlara erişir ve yeniden yüksek basınç bölgesine taşındıklarında şiddetli bir şekilde büzülürler. Kavitasyon buhar boşluklarının sıvıda doğup kaybolmaları son derece yüksek frekanslarla tekrarlanır. Buhar boşluklarının yok olması sırasında, çevredeki sıvının hücumu sonucu şok dalgaları oluşabilir. Bu dalgalar boru cidarı, makina pervanesi gibi katı cisim üzerinde darbe etkisi yaratarak malzemeye zarar verir. Sonuç olarak bu elemanların darbelere maruz kaldığı bölgeler aşınır.

Kavitasyon konusundaki literatür çok zengin olmasına karşın, verilen bir akış hali için kavitasyonun fiziksel mekanizması tam olarak anlaşılmış değildir. Konunun belli başlı kaynakları arasında Hammitt (1980), Young (1989), Brennen (1995) ile Franc ve Michel (2004)’ın kitapları sayılabilir. Bunlara ek olarak kavitasyon başlangıcı için Rood (1991), bazı ayrıntılar için van Wijngaarden (1968, 1972) ile Plesset ve Prosperetti (1977)’nin derleme makalelerine de başvurulabilir. Kabarcık dinamiği konusunda yapılan çalışmaların çokluğuna rağmen, kabarcık dinamiğinin hidrodinamik alanla etkileşmesini inceleyen çalışmalar oldukça sınırlıdır. Bunun temel sebebi, kabarcık dinamiği denklemiyle (örneğin tek kabarcık dinamiği için Rayleigh-Plesset denklemi) Euler veya Navier-Stokes akış denklemlerinin oluşturduğu sistemin, başlangıç/sınır değer probleminin çözümü için doyurucu analitik ve sayısal bir çözüm tekniğinin olmamasıdır. Bu sebeple, gerçek kavitasyonlu akışlar için çoğu kez deneye başvurulur. Özellikle hidrodinamik kavitasyon, kuramsal olarak modellenmesi zor bir olaydır. Daimi olmayan kavitasyonlu akışların sayısal benzetimi için, genellikle homojen iki-fazlı akış modelleri kullanılır. Bu modellerde, iki-fazlı karışım mezoskopik ölçekte (makroskopikten küçük, mikroskopikten büyük bağıl bir ölçek) homojen varsayılır. Geometrik açıdan bu akışlar için en basit konfigürasyonu, kavitasyonlu yakınsak-ıraksak lüle akışları oluşturur. Yakınsak-yakınsak-ıraksak bir lüle için kabarcıklı sıvı akış

modeli ilk defa Tangren ve diğ.(1949) tarafından barotropik bir bağıntı kullanılarak incelenmiştir. Barotropik modelin en belirgin özelliği, basınç ile yoğunluk arasında

( )

f p

ρ′= ′ bir bağıntı olmasıdır. Tangren ve diğ.’nin (1949) yaptığı bu çalışma, kabarcık dinamiği etkilerinin ihmal edildiği barotropik ilişkiye dayanmaktaydı. Barotropik model bir yere kadar kabarcık dinamiği etkileşimli akışlarla, özellikle lülenin boğaz kısmına kadar paralellik gösterse de modelin açıklayamadığı (örneğin, kabarcık dinamiği etkilerinden lülenin genişleyen kısımlarında şok dalgalarının oluşması gibi) farklılıklar görülür. Bu akış problemi daha sonra daimi olmayan etkiler gözönüne alınarak Ishii ve diğ. (1993) tarafından tekrar ele alınmıştır. Akış halindeki sıvı ile kabarcıklar arasındaki hız farklarının ihmal edilmediği bu modelde, kabarcık içerisindeki basınç, akışkanın basıncına eşit kabul ediliyordu. Hacimsel kabarcık oranının küçük olduğu durumlarda üstünlük sağlasa da, kavitasyonlu kabarcıklı akışlar için önemli olan kabarcık dinamiği yine ihmal ediliyordu. Kavitasyonlu akışlar için, kabarcık dinamiğinin yanında akış denklemlerinin de hesaba katılması temel unsurdur. Sürekli kabarcıklı karışım akışları için klasik Rayleigh-Plesset denklemiyle tanımlanan küresel kabarcık dinamiği yasasını akış denklemlerine bağlayan ilk model van Wijngaarden (1968,1972) tarafından önerilmiştir. Bu model kullanılarak sanki-bir-boyutlu yakınsak-ıraksak lülelerdeki kabarcıklı kavitasyonlu daimi akışların çözümleri Wang ve Brennen (1998) ile Delale ve diğ. (2001) tarafından araştırılmıştır. Kabarcığın içerisindeki gaz basıncının, politropik yasaya uyduğu ve tüm sönümleme mekanizmalarının, viskoz yutulma formunda tek bir sönümleme katsayısıyla betimlendiği varsayarsak, her iki araştırma da diğer tüm parametreler sabit tutulup sadece kavitasyon sayısı değiştirildiğinde, ancak bazı kavitasyon sayıları için daimi akış çözümlerinin mümkün olduğunu göstermiştir. Özellikle, kabarcık/kabarcık etkileşimi hesaba katıldığında, bu ani akış kararsızlıklarının stabilize olabileceği Delale ve diğ. (2001) tarafından gösterilmiştir. Buna ek olarak, Prosperetti (1991) tarafından önerilen modele benzer bir ısıl sönümleme modelinde, ani akıştaki kararsızlıkların stabilize olduğu görülmüştür (bkz. Delale, 2002). Daimi akış çözümlerinin yanısıra patlayan çözümler de bulunmuştur. Bu modelin daimi olmayan akış hallerinde incelenmesi, özellikle deneylerde gözlenen bazı kavitasyonlu akış rejimlerinin (örneğin salınım yapan kavitasyon akışları, kavitasyonlu akışlarda şok dalgaları oluşumu) yorumlanmasına yol açmıştır (örneğin, Preston ve diğ., 2002).

Bu tez çalışmasının amacı, sanki-bir-boyutlu yakınsak-ıraksak lülelerde daimi olmayan kavitasyonlu kabarcıklı akış çözümlerinin araştırılmasıdır. Bu amaçla, kavitasyonlu akışı modellemek için van Wijngaarden (1968,1972) tarafından önerilen sürekli kabarcıklı sıvı akış modelini baz alan, sonrasında Wang ve Brennen (1998), Delale ve diğ. (2001) ile Preston ve diğ. (2002) tarafından geliştirilen, daimi olmayan sanki-bir-boyutlu lüle akış denklemleri ile küresel kabarcık dinamiğini birbirine bağlayan model denklemler kullanılacaktır. Modelde, çekirdekleşme, kabarcık bölünmesi ve kabarcık birleşmeleri ihmal edilmiştir. Tüm sönüm mekanizmaları, viskoz yutulma biçiminde tek bir sönüm katsayısı olarak ele alınmış, kabarcıkların büyüme ve büzülmelerinde politropik yasa kullanılmıştır. Başlangıç dağılımları, giriş koşulları ve lüle geometrisi, lülede kavitasyon oluşturacak şekilde belirlenmiştir. Bu varsayımlar altında, önerilen model denklem sistemi akış hızı ve kabarcık yarıçapı için iki evrim denklemine indirgenmiştir (Pasinlioğlu ve diğ.,2009). Bu model denklemler, daimi kavitasyonlu lüle akışlarına uygulanmış ve bu akışta kararsızlıklar bulunmuştur (Pasinlioğlu ve diğ.,2009). Daimi kavitasyonlu lüle akışlarında gözlenen bu durum, kavitasyonsuz kabarcıklı sıvı lüle akışını karakterize etmekte ve önemli bir basınç kaybı oluşmadığını göstermektedir. ĐTÜ– TÜBĐTAK deneyinde lüle cidarları boyunca ölçülen basınç değerleriyle daimi çözüm basınç değerleri bundan dolayı uyuşmamaktadır. Bu da, deney koşullarında model denklemlerin sanki-bir-boyutlu kavitasyonlu lüle çözümlerinin olmadığını açıklamaktadır.

Dolayısıyla hem Preston ve diğ. (2002)’nın sayısal benzetim sonuçlarına hemde ĐTÜ– TÜBĐTAK deney verilerine karşılaştırma yapabilmek amacıyla model denklemleri, daimi olmayan kavitasyonlu lüle akışları için çözmek gerekmektedir. Burada (Pasinlioğlu ve diğ.,2009) ile başlayan evrim denklemlerini alarak, bu akış problemi kesin olarak çözülmektedir. Evrim denklemleri için başlangıç/sınır değer probleminin çözümü için lülenin giriş ve çıkışında sınır koşulları dönüştürülerek, karakteristik yansımalar sebebiyle lüle içindeki çözümün kararsız hale gelmesini engellemek amacıyla yansımasız sınır şartları uygulanmıştır (bkz. Ek C, D). Öncelikle daimi olmayan ivme alanının çözümü için yarı-analitik çözüm yöntemi geliştirilmiştir (bkz. bölüm 4.2). Başlangıçta lüle girişinde kabarcık yarıçapı dağılımı uniform biçimde, hız dağılımı ise sıkıştırılamaz daimi akış durumunda verilen hız dağılıma küçük pertürbasyon eklenerek hemen hemen bernoulli profiline yakın

olarak verilmektedir. Başlangıç anında kabarcık yarıçapı ve hız dağılımlarını kullanarak, daimi olmayan ivme alanını ilk yaklaşımla nümerik entegrasyon ile tam olarak hesaplanır. Đvme alanının hesabı için gerekli uzaysal türevli terimler ise sonlu farklar yöntemiyle ayrıklaştırılarak bulunur. Bu daimi olmayan ivme alanı kullanılarak evrim denklemlerinden hız ve kabarcık dağılımı bulunur. Ancak bulunan daimi olmayan ivme alanı başlangıç anında verilen hız ve kabarcık yarıçapı dağılımı ve türevleri üzerinden hesaplandığından bulunan hız alanı ve dolayısıyla hız alanına bağlı olarak karakteristikler yöntemiyle hesaplanan kabarcık yarıçapı dağılımı da ilk tahmindir. Dolayısıyla zaman için bir sonraki iterasyona geçilir. Đlk tahminde bulunan hız alanı ve kabarcık yarıçapı dağılımını kullanarak ikinci tahminde lineer yaklaşımla yeni bir daimi olmayan ivme alanı hesaplanır. Bu noktada sayısal iterasyona başlamadan önce, ivme alanındaki değişim kontrol edilir. Bu değişim istenilen mertebede ise ivme alanının çözümü yakınsayacağından iterasyona devam edilerek, tüm hidrodinamik değişkenler hesaplanır. Yarı analitik çözüm yöntemiyle, explicit bir şema kullanarak daimi olmayan ivme alanı kesin olarak hesaplanmaktadır. Daimi olmayan kavitasyonlu lüle akışlarının çözümü için EK A’da verilen bir sayısal benzetim algoritması inşa edilmiştir.

Daimi ve daimi olmayan kavitasyonlu kabarcıklı akışlarda iki farklı lüle geometrisi için elde edilen sayısal benzetim sonuçları, Caltech lülesi için bulunan sayısal benzetim sonuçları ve ĐTÜ-TÜBĐTAK lülesi deney sonuçlarıyla karşılaştırılmıştır. Kavitasyon oluşumunun başlangıcını betimleyen sanki-bir-boyutlu daimi olmayan kavitasyonlu kabarcıklı akışlar için elde edilen sayısal benzetim sonuçları, Caltech lülesi için Preston ve diğ. (2002) tarafından bulunan sayısal benzetim sonuçlarıyla teyyid edilmiş ve başarıyla uyum sağladığı görülmüştür. Ayrıca ĐTÜ-TÜBĐTAK lüle geometrisi için elde edilen daimi olmayan sayısal benzetim sonuçlarının, deneysel verilere karşılaştırma yapılarak, kavitasyon nedeniyle deneyde ölçülen basınç düşüşlerini yakaladığı görülmüştür (Delale ve diğ., 2009).

2. KAVĐTASYONLU KABARCIKLI SIVI MODELĐ

Kavitasyonlu akışların sayısal benzetiminde, genellikle iki-fazlı homojen akış modelleri kullanılmaktadır. Đki veya çok fazlı akışların analizi için en basit model homojen akış modelidir (Wallis, 1969; Brennen, 2005). Bu modelde ortalama özellikler belirlenir ve çok-fazlı karışım tek bir akışkan şeklinde ele alınarak akışkanlar mekaniğinin tek fazlı akışlardaki tüm yöntemleri uygulanabilir. Burada gerekli olan ortalama özellikler, akış hızı, termodinamik özellikler (sıcaklık, basınç ve yoğunluk) ve transport özellikleri (viskozite, ısıl iletkenlik, difüzyon katsayısı,vs.) olarak sınıflandırılabilir. Bu özellikler ağırlıklı ortalamalarla elde edilir ve karışımı oluşturan fazların özellikleriyle aynı olmak zorunda değildir. Đki-fazlı karışımın ortalama özelliklerinin belirlenmesi için genelde daha karmaşık denklemlerle başlayan ve tek-fazlı akış denklemlerine indirgenene dek sadeleştirmeler yapılan bir yöntem kullanılır (Biesheuvel ve van Wijngaarden, 1984; Caflisch ve diğ., 1985; Zhang ve Prosperetti, 1994a,b). Fazlar arası akış hızları, sıcaklık ve kimyasal potansiyel farkları, ara yüzeylerdeki momentum, ısı ve kütle geçisi yasalarıyla belirlenir. Bu durumda hız, sıcaklık ve kimyasal potansiyelin ortalama değerleri her bileşen için aynıdır. Bazı durumlarda homojen modelin kullanılması uygun değildir. Mesela, çift yönlü ya da çapraz akışlar halinde ortalama hız tanımlanamadığından iki-fazlı iki akışkan modeli kullanılır.

2.1 Đki-Fazlı Homojen Akış Modeli

Đki-fazlı homojen akış modelinde karışım yoğunluğu,

(

β

)

ρ

β

ρ

ρ

′

=

l

′

1

−

+

g

′

(2.1)

şeklinde tanımlanır. Burada, ρ′ homojen karışımın yoğunluğunu,

ρ

l′ sıkıştırılamaz

varsayılan sıvının yoğunluğunu,

ρ

g

′

gaz yoğunluğunu ve β karışımın hacimsel kabarcık oranını ifade etmektedir. Seyreltik kabarcıklı sıvılarda sıkıştırılamaz varsayılan sıvının sabit yoğunluğunun, gaz yoğunluğuna oranı çok büyük olduğundan (2.1) denkleminde _ρg′_β terimi ihmal edilebilir. Çekirdekleşme, kabarcık birleşmesi ve kabarcık bölünmesi ihmal edildiğinde homojen karışımının birim hacmindeki kabarcık sayısı

n

′

, kabarcık hacimsel oranı benzer şekilde β cinsinden

(

−

β

)

′

=

′

n

₀

1

n

(2.2)

olarak ifade edilebilir. Burada n₀′ sıvının birim hacmindeki kabarcık sayısıdır ve akış boyunca sabittir. Öte yandan sıvı içinde yarıçapı R′ olan küresel kabarcıklar için β hacimsel kabarcık oranı, (2.2) denklemiyle birlikte

( )

( )

R n n R n R ′ ′ + ′ ′ = ′ ′ = ₃0 3 3 3 / 4 1 3 / 4 3 4

π

π

π

β

(2.3)

şeklini alır. (2.3) denkleminden (1−β β) / oranı hesaplandığında,

(

)

_sabit n R = ′ = − ′ 0 3 4 3 1 π β β (2.4)

bağıntısı elde edilir.

2.2 Kabarcık Dinamiği

Kavitasyonlu akışlarda, genellikle küresel kabarcık modeli kullanılır. Bu durumda, kabarcık dinamiği Rayleigh-Plesset denklemiyle ifade edilir. Bu denklem sıvı içersindeki R′ _{yarıçapında bir kabarcığın zamana bağlı hareketini tarif eder. Bu} denklem viskoz ve yüzey gerilim terimleri eksik olarak ilk defa Rayleigh (1917)

tarafından çıkartılmış ve Plesset (1949) tarafından kavitasyonlu akışlara uygunmıştır. Sıvı sıkıştırılamaz ve Newtonyen kabul edilir ve kabarcık içindeki gaz miktarı sabit alınır.

2.2.1 Klasik Rayleigh-Plesset denklemi

Rayleigh-Plesset denklemi sıkıştırılabilir Navier-Stokes denklemlerinden türetilir.

Şekil 2.2: Sıvı içindeki tam küresel kabarcığın şematik gösterimi.

Kabarcık-sıvı arayüzeyinde oluşan kütle transferi ihmal edilirse, u′(R′,t′) arayüzeydeki akışkan hızı, R&′=dR′ dt′ arayüzeydeki kabarcık cidarı hızına eşit olur. Viskoz bir akışkan için arayüzeydeki eksenel gerilme

R r rr

r

u

t

R

p

t

R

t

′ = ′

′

∂

′

∂

′

+

′

′

′

−

=

′

′

′

(

,

)

(

,

)

2

µ

(2.5)

ve eksenel kuvvetler dengesi

R S t p p t R t_{rr v g} ′ ′ − ′ ′ + ′ = ′ ′ ′ − ( , ) ( ) 2 (2.6)

şeklindedir. Burada p_v′ kabarcığın içindeki kısmi buhar basıncını, p_g′ kabarcığın içindeki kısmi gaz basıncını, S′ yüzey gerilim katsayısını göstermektedir. Kabarcık içindeki gazın politropik değiştiğini kabul ederek, anlık gaz basıncının p_g′₀

başlangıçtaki gaz basıncı ile bağıntısı

3 0 0 ( ) ( ) k g g R p t p R t ′   ′ = ′  _{′ ′}    (2.7)

şeklinde belirlenir. Burada k politropik üssü göstermektedir ( γ adyabatik üs olmak üzere, k =γ için kabarcık içindeki gazın adyabatik değiştiği hali, k =1 için ise gazın sabit sıcaklıkta değiştiği hali gösterir). Böylece kabarcık/sıvı arayüzeyinde oluşan basınç 3 0 0 2 ( , ) 2 k v g r R R S u p R t p p R R

µ

r _{′ ′=} ′ ′ ∂ ′   ′ ′ ′ = ′+ ′  _′ − _′ + ′_{∂ ′}   (2.8)

şeklinde alınır. Kabarcıktan uzak bölgede, sıvının durağan olduğu kabulu ile 0

) , (∞ ′ →

′ t

u koşulu oluşur. Başlangıç anında kabarcığın denge durumunda olduğu kabul edilir. Bu durumda R&′(0)=0 kabarcık cidarının hızında bir değişim olmaz. Böylece mekanik denge durumu

0 0 0 2 R S p p p _{g v} ′ ′ − ′ + ′ = ′ ∞ (2.9)

olduğu görülür. Sıkıştırılamaz akışkan ( .∇ =V 0) için kütle korunum denkleminden

u′hızı 2 2 ) , ( r R R t r u ′ ′ ′ = ′ ′ ′ & _(2.10)

şeklini alır. Bu durumda, Navier-Stokes denkleminin viskoz terimi sıfır olur. Böylece, hem viskoz hem de viskoz-olmayan akışkan için momentum denklemi

r p r u u t u ′ ∂ ′ ∂ ′ − = ′ ∂ ′ ∂ ′ + ′ ∂ ′ ∂ ρ 1 (2.11)

şeklini alır. (2.10) nolu denklem, (2.11) nolu denklemde yerine konulursa

r p r R r R R r R R ′ ∂ ′ ∂ ′ − =       ′ ′ − ′ ′ ′ + ′ ′ ′

ρ

1 2 ₅ 4 2 2 2 2 & & & (2.12)

bulunur. (2.11) nolu denklemin r′ ye göre entegre edilir ve sonsuzdaki şartlar gözönünde tutulursa       ′ ′ − ′ ′ ′ + ′ ′ ′ = ′ ′ ′ − ′ ′ ′ _∞ 4 4 2 2 2 4 2 ) ( ) , ( r R r R R r R R t p t r

p _{&& &}

ρ

(2.13)

denklemi elde edilir. Şekil (2.2.)’den görüleceği üzere kabarcık-sıvı arayüzeyinde ′

= ′

2 ( , ) ( ) 3 2 p R t p t R R R ρ ∞ ′ ′ ′ − ′ ′ _{= ′ ′+ ′} ′ l && & (2.14)

biçimini alır. Sonuç olarak, kabarcık-sıvı arayüzeyindeki basınç için (2.8) nolu denklem ifadesiyle R R r u R r ′ ′ − = ′ ∂ ′ ∂ ′ = ′ & 2 (2.15) (2.14) nolu denkleminden 3 2 0 0

3

2

( )

4

2

v g

R

S

R

R R

R

p

p t

p

R

R

R

γ

ρ

∞

µ

′

′

′









′ ′ ′



_

+

′

_



= −

′

′ ′

+

′

_



_′



_

−

_′

−

′

_′

l

&

&&

&

_(2.16)

Rayleigh-Plesset denklemi bulunur. Bu denklem verilen p t_∞′ ′( ) basınç alanı altında kabarcık yarıçapının zamanla değişimini vermektedir. Bu durumda (2.16) klasik Rayleigh-Plesset denklemi R S t d R d R p p t d R d t d R d R l D l i ′ ′ ′ − ′ ′ ′ ′ − ′ ′ − ′ =     ′ ′ + ′ ′ ′ ρ υ ρ 2 4 2 3 2 2 2 (2.17)

şeklinde yazılabilir. (2.17) denkleminde, kabarcık sıvı yüzeyindeki kinematik viskosite υ_D µ

ρ

′ ′ = _′

l

şeklinde tarif edilir ve p_i′ basıncı, kabarcığın içindeki p_g′

yoğuşmayan kısmi gaz basıncıyla p_v′ kısmi buhar basıncının toplamından oluşmakta olup 3 0 0 k i v g v g

R

p

p

p

p

p

R

′





′

=

′

+

′

=

′

+

′



_′







(2.18)

şeklinde tanımlanır. (2.16) ve (2.17) denklemlerinde, p′ karışım basıncını ve

x u t t

d

d ′ = ∂ ∂ ′+ ′∂ ∂ toplam türevi göstermektedir. (2.18) denkleminde k

politropik üssü veren sabittir (sabit sıcaklıkta hal değişimi için k = 1, izentropik hal değişimi için k = γ adyabatik üs olur). Ancak yakın yıllardaki araştırmalara göre (Prosperetti ve diğ., 1988) yukarıdaki politropik yasanın deney sonuçlarıyla uyuşmadığı, dolayısıyla sıvı ile kabarcık arasındaki ısı geçişinin, özellikle gazın sıkışması sırasında, gözönüne alınması gerektiğini göstermektedir. Bu durumda, (Prosperetti ve diğ., 1988)’in sözkonusu ısı iletimi ile ilgili analizi kavitasyonlu

akışlara uygulanmış (Delale, 2002) ve özellikle kavitasyonlu lüle akışlarında bu etkinin ihmal edilemediği görülmüştür.

Diğer taraftan vizkosite sebebiyle kinetik enerjinin iç enerjiye çevrimi neticesinde akışkanın ısınmasına sebep olan viskoz yutulma, sıvının sıkıştırılabilirliği ve gaz/buhar karışımı boyunca ısı iletimi içeren çeşitli sönümleme mekanizmaları çökme periyodu esnasında baskın hale gelecektir, (Prosperetti ve diğ., 1988). Kabarcık dinamiği için bir çok durumda atalet kuvvetleri baskın olup viskozite önemli bir rol oynamaz.

2.2.2 Kabarcık/kabarcık etkileşimi için iyileştirilmiş Rayleigh-Plesset denklemi Bu kısımda, kabarcık/kabarcık etkileşimlerinin gözönünde bulundurulduğu Kubota ve diğ. (1992) tarafından önerilen yerel homojen modeli kullanılacaktır. Bu modelde, kabarcık/kabarcık etkileşimlerinin, herbirinin yarıçapı

∆

r

′

olan küresel kabarcık kümecikleri içersinde olduğu dikkate alınır (Şekil 2.3).

Şekil 2.3:

∆

r

′

kabarcıklar arası etkileşme erimi ve ortalama-alan kabarcık/kabarcık etkileşimi için kabarcıkların geometrik konfigürasyonu (O merkezinde bulunan kabarcığın yarıçapı R′, Ri′ ise merkezden ri′ kadar uzaklıkta

olan i’nci kabarcığın yarıçapıdır).

Küresel kabarcık kümeciği içinde diğer kabarcıklarla etkileşiminden dolayı kümeciğin O merkezindeki toplam hız potansiyeli

∑













′

′

′

′

i i i i

d

t

R

d

R

r

2

1

(2.19)

şeklindedir. Kümecik içinde bulunan tüm kabarcıklar, merkezde bulunan tek bir kabarcık ile etkileşmektedir. R_i′, O merkezinden r_i′ (>>R_i′) mesafede olan i’nci kabarcığın yarıçapıdır (Şekil 2.3). Yerel homojen model varsayımını kullanarak

0

1

2

=













′

′

′

′

∇

∑

i i i i

d

t

R

d

R

r

(2.20)

ve kümecik içinde bulunan tüm kabarcıkların

R

′

yarıçapında olduğunu kabul ederek, Rayleigh-Plesset denklemi R S t d R d R t d R d t d R d R r t d R d R t d d p p l D i i i l i ′ ′ ′ + ′ ′ ′ ′ +     ′ ′ + ′ ′ ′ +         ′ ′ ′ ′ ′ = ′ ′ − ′

∑

υ _ρ ρ 2 4 2 3 1 2 2 2 2 (2.21)

kabarcık/kabarcık etkileşimlerini dikkate alacak şekilde iyileştirilebilir. Yarıçapı

∆

r

′

olan kümeciğin merkezinde bulunan tek bir kabarcık ile etkileşen kabarcıkların sayısı

( )

[

r Ri

]

n′ ∆ ′ 3− ′ 3 4

π

(2.22)

bağıntısı ile verilir. (2.21) denkleminin sağ tarafında bulunan ilk terim

( )

[

]

      ′ ′ ′ ′ − ′ ∆ ′ ′ ≈         ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ≈         ′ ′ ′ ′ ′

∑

∫

′ ∆ ′ t d R d R R r n t d d r d r r n t d R d R t d d r t d R d R t d d i r R i i i i i i 2 2 2 2 2 2 2 4 1 1 π π (2.23)

şeklinde yazılabilir. Buraya kadar

∆

r

′

kabarcıklar arası etkileşme erimi rastgele bir biçimde verildi. Bu aşamada ayrıca

R

r

′

=

Λ

′

∆

(2.24) 1 >> =

Λ sabit _{varsayımıyla kabarcıklar arası etkileşme erimi ile kabarcık/kabarcık}

etkileşim parametresi arasında bağıntı elde edilir (Λ =1 durumunda, kabarcık/kabarcık etkileşimlerinin olmadığı klasik Rayleigh-Plesset (2.17) denklemiyle tarif edilen tek bir kabarcık dinamiği yasası ortaya çıkar). Bu varsayımlar, kümeciğin içindeki kabarcık sayısının, yerel kabarcıkların hacmine

(dolayısıyla β _{kabarcık hacim oranına) orantılı olduğunu betimleyen bir} kabarcık/kabarcık etkileşim modelini işaret etmektedir. Bu basit model gerçekten de kabarcık/kabarcık etkileşimlerinin önemli olduğu daha büyük ölçekli β _kabarcık hacim oranları için makuldur.

(2.2), (2.23) ve (2.24) denklemleri (2.21) denkleminde yerine konulursa, Λ =1 iken kabarcık/kabarcık etkileşimlerinin olmadığı klasik Rayleigh-Plesset denklemine indirgenen iyileştirilmiş Rayleigh-Plesset denklemi

2 3 ₂ 0 2 3 0

1 (2 / 3)

(3

1)

1 (4 / 3)

v

R

p

p

d R

R

dt

R

πη

πη

ρ

′

′



₊

_{Λ −}



′

−

′

₌





_′

′

′

′ ′

′



_

₊



_

l 2 3 2 2 2 6 2 0 0 2 3 0 1 (8 3) (2 1) (16 9) 3 2 _{1 (4 3)} R R _dR dt R πη π η πη ′ ′ ′ ′  _{+ Λ − + Λ} _{ ′}   +  _′    ′ ′  ₊    0 0 3 4 2 ( ) . g k D p R S dR R R dt R

υ

ρ

ρ

′ ′ ′ ′ ′ + + − ′ ′ ′ ′ ′ ′ l l (2.25)

3. SANKĐ-BĐR -BOYUTLU LÜLELERDE DAĐMĐ OLMAYAN KABARCIKLI KAVĐTASYONLU AKIŞ DENKLEMLERĐ

3.1 Sanki-Bir-Boyutlu Lüle Akışları

Bu bölümde sanki-bir-boyutlu kabarcıklı kavitasyonlu lüle akışları için hidrodinamik kavitasyon modeli geliştirilecektir. Sanki-bir-boyutlu yakınsak-ıraksak bir lülede kavitasyonlu daimi olmayan akışlar için model denklemler göz önünde bulundurularak, başlangıç ve sınır koşulları ile lüle geometrisi, lülede kavitasyon oluşacak tarzda ele alınacaktır. Kavitasyonlu akışı modellemek için Kogarko (1961) ve van Wijngaarden (1968,1972) tarafından önerilen, Wang ve Brennen (1998), Delale ve diğ. (2001) ile Preston ve diğ. (2002) tarafından geliştirilen, daimi olmayan sanki-bir-boyutlu lüle akış denklemleri ile küresel kabarcık dinamiğini birbirine bağlayan model denklemler kullanılacaktır. Çekirdekleşme, kabarcık birleşmesi ve kabarcık bölünmesi gözönünde bulundurulmayacak ve tüm sönüm mekanizmaları (viskoz, akustik ve ısıl sönümler) viskoz yutulma halindeki gibi tek bir sönüm parametresiyle betimlenecektir. Burada kabarcıklı karışım için homojen iki-fazlı akış modeli kullanılarak kabarcıklar ile sıvının aynı hızla hareket ettiği varsayılmıştır (lüle akışlarında kabarcıklar ve sıvının arasındaki hız farkı etkisi Wang ve Chen (2002) tarafından incelenmiştir). Bu sınırlamalar altında sanki-bir-boyutlu lüle akışları için hidrodinamik modeli betimleyen model denklemler aşağıdaki denklem sistemine indirgenebilir: (1 )

ρ

′ =

ρ

l′ −

β

(3.1)

(

) 0

A

u A

t

x

ρ

′

_ρ

∂

∂

′

+

′ ′ ′

=

′

′

∂

∂

(3.2)

du

p

dt

x

ρ

′

′

= −

∂

′

′

∂

′

(3.3) 3 0 (1 ) 3 4 R sabit

β

β

_πη

′ − _{= =} ′ (3.4)

(3.3) momentum denkleminde viskozite ve yerçekimi etkileri ihmal edilmiştir. Yukarıda verilen (3.1)-(3.4) denklemleri, küresel kabarcık dinamiği yasası için ortalama alan teorisinde kabarcık/kabarcık etkileşimlerini gözönünde bulunduran,

2 3 ₂ 0 2 3 0

1 (2 / 3)

(3

1)

1 (4 / 3)

v

R

p

p

d R

R

dt

R

πη

πη

ρ

′

′



₊

_{Λ −}



′

−

′

₌





_′

′

′

′ ′

′



_

₊



_

l 2 3 2 2 2 6 2 0 0 2 3 0 1 (8 3) (2 1) (16 9) 3 2 _{1 (4 3)} R R _dR dt R πη π η πη ′ ′ ′ ′  _{+ Λ − + Λ} _{ ′}   +  _′    ′ ′  ₊    3 0 4 2 ( ) . eff pgi Ri k S dR R R dt R

µ

ρ

ρ

ρ

′ ′ ′ ′ ′ + + − ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ l l l (3.5)

iyileştirilmiş Rayleigh-Plesset denklemi kullanılarak kapanır (Delale ve diğ., 2001). 1

>> =

Λ sabit _{ise kabarcık/kabarcık etkileşimi beklenmektedir. Şayet} Λ =1 alınırsa

klasik Rayleigh-Plesset denklemi elde edilir. (3.1)-(3.5) denklem sisteminde, ρ′ karışım yoğunluğunu

ρ

l′ sabit sıkıştırılamaz sıvı yoğunluğunu, β _{hacimsel kabarcık}

oranını,

u

′

akış hızını, p′karışım basıncını, R_i′₀ lüle girişinde başlangıç anındaki

kabarcık yarıçapını, p′_gi kabarcığın kısmi gaz basıncını, p_v′ kabarcığın kısmi buhar basıncını göstermektedir. Lüle kesiti alanı A′ile sembolize edilmiş olup

x

′

ve

t

′

sırasıyla, orijin giriş kesitinde olmak üzere eksenel koordinatı ve zamanı,

d d t′= ∂ ∂ +t′ u′∂ ∂x′ hareketi izleyerek türev operatörünü

k

ise politropik üssü

ifade etmektedir (sabit sıcaklıkta hal değişimi için k =1, izentropik hal değişimi için k = γ adyabatik üs olur). Ancak yakın zamanda yapılan araştırmalar, politropik yasanın deney sonuçlarıyla uyuşmadığını dolayısıyla sıvı ile kabarcık arasındaki ısı geçişinin özellikle gazın sıkışması sırasında gözönüne alınması gerektiğini göstermektedir (Prosperetti , 1991). Bu çalışmaya paralel olarak, ısı iletimi analizi kavitasyonlu akışlara uygulanmış (Delale, 2002) ve özellikle kavitasyonlu lüle akışlarında bu etkinin ihmal edilemediği görülmüştür. Dolayısıyla viskoz yutulma, sıvı sıkıştırılabilirliği ve gaz/buhar kabarcığı ile sıvı arasındaki ısı iletiminden oluşan çeşitli sönüm mekanizmaları kabarcık dinamiğini etkiler (Nigmatulin ve diğ., 1981; Prosperetti ve Lezzi, 1986; Prosperetti ve diğ., 1988; Prosperetti, 1991; Delale, 2002). Bu çalışmada tüm sönüm mekanizmaları viskoz