(FZM 114) FİZİK -II
Dr. Çağın KAMIŞCIOĞLU
İÇERİK
+
Elektriksel Potansiyel
+
Elektriksel Potansiyel ve Potansiyel Fark
+
Noktasal Yüklerin Potansiyel Enerjisi
+
Elektriksel Potansiyelin Hesaplanması
2
ELEKTRIKSEL POTANSIYEL
Elektrik Potansiyel:
Gözlem: Elektrik potansiyel enerjisi hep q yükü ile orantılı. H Birim yükün potansiyel enerjisine elektrik potansiyel denir:
V = U
q (elektrik potansiyel)
H
Bunun tersi de doğrudur: Potansiyeli V olan bir noktaya konulan q yükünün sahip olacağı potansiyel enerji:
U = q V H İki nokta arasındaki potansiyel farkı:
V2 V1 =
Z 2
1
~E · d~r (Elektrik potansiyel farkı)
Üniversiteler İçin FİZİK II 16. ELEKTRİK POTANSİYEL 3 / 17
16.1 ELEKTRİK POTANSİYEL
Hatırlatma: Korunumlu kuvvete karşı yapılan iş, iki nokta arasındaki potansiyel enerji farkına eşit oluyordu:
Z 2
1
~Fkor · d~r = U2 U1
Bir q yüküne ~E alanında etkiyen kuvvet:
~F = q ~E
O halde, elektrik potansiyel enerjisi tanımı:
U2 U1 = q
Z 2
1
~E · d~r (Elektrik potansiyel enerjisi)
Üniversiteler İçin FİZİK II 16. ELEKTRİK POTANSİYEL 2 / 17
Dr. Çağın KAMIŞCIOĞLU, Fizik II, Elektriksel Potansiyel
ELEKTRIKSEL POTANSIYEL
Dr. Çağın KAMIŞCIOĞLU, Fizik II, Elektriksel Potansiyel
ELEKTRİK POTANSIYEL
Potansiyel Birimi: V = U/q tanımına göre:
1 joule/coulomb = 1 volt = 1 V
HTeknolojide potansiyel farkı yerine gerilim ve voltaj terimleri de kullanılır.
HArtı yüklere yaklaşırken potansiyel artar, eksi yüklere yaklaşırken azalır.
HElektrik alan çizgileri yönünde gidildiğinde potansiyel azalır.
HPotansiyel skaler nicelik olduğundan, elektrik alana göre, çalışması daha kolaydır.
Üniversiteler İçin FİZİK II 16. ELEKTRİK POTANSİYEL 4 / 17
Potansiyel Birimi: V = U/q tanımına göre:
1 joule/coulomb = 1 volt = 1 V
HTeknolojide potansiyel farkı yerine gerilim ve voltaj terimleri de kullanılır.
HArtı yüklere yaklaşırken potansiyel artar, eksi yüklere yaklaşırken azalır.
HElektrik alan çizgileri yönünde gidildiğinde potansiyel azalır.
HPotansiyel skaler nicelik olduğundan, elektrik alana göre, çalışması daha kolaydır.
Üniversiteler İçin FİZİK II 16. ELEKTRİK POTANSİYEL 4 / 17
Dr. Çağın KAMIŞCIOĞLU, Fizik II, Elektriksel Potansiyel
NOKTASAL YÜKÜN POTANSIYELI
16.2 NOKTASAL YÜK DAĞILIMLARININ POTANSİYELİ
Bir Noktasal Yükün Potansiyeli
HOrijindeki bir Q yükünün elektrik alanı:
E = kQ r
2 Hr
1ve r
2noktaları arasındaki potansiyel farkı (~E ile d~r aynı yönde):
V (r
2) V (r
1) =
Z
r2r1
E dr =
Z
r2r1
kQ
r
2dr = kQ 1 r
r2
r1
= kQ 1 r
21 r
1!
H
İntegrali r
1= 1 dan r
2= r noktasına kadar alırsak: V (r) V (1) = kQ r
HPotansiyelin referans noktası sonsuzda seçilirse (V(1) = 0):
V (r) = kQ
r (Noktasal yükün potansiyeli)
Üniversiteler İçin FİZİK II 16. ELEKTRİK POTANSİYEL 6 / 17
Dr. Çağın KAMIŞCIOĞLU, Fizik II, Elektriksel Potansiyel
NOKTASAL YÜKÜN POTANSIYELI
16.2 NOKTASAL YÜK DAĞILIMLARININ POTANSİYELİ
Bir Noktasal Yükün Potansiyeli
HOrijindeki bir Q yükünün elektrik alanı:
E = kQ r
2 Hr
1ve r
2noktaları arasındaki potansiyel farkı (~E ile d~r aynı yönde):
V (r
2) V (r
1) =
Z
r2r1
E dr =
Z
r2r1
kQ
r
2dr = kQ 1 r
r2
r1
= kQ 1 r
21 r
1!
H
İntegrali r
1= 1 dan r
2= r noktasına kadar alırsak: V (r) V (1) = kQ r
HPotansiyelin referans noktası sonsuzda seçilirse (V(1) = 0):
V (r) = kQ
r (Noktasal yükün potansiyeli)
Üniversiteler İçin FİZİK II 16. ELEKTRİK POTANSİYEL 6 / 17
16.2 NOKTASAL YÜK DAĞILIMLARININ POTANSİYELİ
Bir Noktasal Yükün Potansiyeli
HOrijindeki bir Q yükünün elektrik alanı:
E = kQ r
2 Hr1 ve r2 noktaları arasındaki potansiyel farkı (~E ile d~r aynı yönde):
V (r2) V (r1) =
Z r2
r1
E dr =
Z r2
r1
kQ
r2 dr = kQ 1 r
r2
r1
= kQ 1 r2
1 r1
!
H
İntegrali r1 = 1 dan r2 = r noktasına kadar alırsak: V (r) V (1) = kQ r H
Potansiyelin referans noktası sonsuzda seçilirse (V(1) = 0):
V (r) = kQ
r (Noktasal yükün potansiyeli)
Üniversiteler İçin FİZİK II 16. ELEKTRİK POTANSİYEL 6 / 17
Dr. Çağın KAMIŞCIOĞLU, Fizik II, Elektriksel Potansiyel
NOKTASAL YÜKÜN POTANSIYELI
16.2 NOKTASAL YÜK DAĞILIMLARININ POTANSİYELİ
Bir Noktasal Yükün Potansiyeli
HOrijindeki bir Q yükünün elektrik alanı:
E = kQ r
2 Hr
1ve r
2noktaları arasındaki potansiyel farkı (~E ile d~r aynı yönde):
V (r
2) V (r
1) =
Z
r2r1
E dr =
Z
r2r1
kQ
r
2dr = kQ 1 r
r2
r1
= kQ 1 r
21 r
1!
H
İntegrali r
1= 1 dan r
2= r noktasına kadar alırsak: V (r) V (1) = kQ r
HPotansiyelin referans noktası sonsuzda seçilirse (V(1) = 0):
V (r) = kQ
r (Noktasal yükün potansiyeli)
Üniversiteler İçin FİZİK II 16. ELEKTRİK POTANSİYEL 6 / 17
Potansiyelin diğer bir yorumu:
Bir noktanın potansiyeli, birim yükü sonsuzdan o noktaya getirmek için yapılan iş.
H+ yükün potansiyeli pozitif, – yükün potansiyeli de negatif olur.
HPozitif yüke yaklaştıkça potansiyel artar, negatif yüke yaklaştıkça azalır.
Üniversiteler İçin FİZİK II 16. ELEKTRİK POTANSİYEL 7 / 17
Dr. Çağın KAMIŞCIOĞLU, Fizik II, Elektriksel Potansiyel
NOKTASAL YÜKÜN POTANSIYELI
16.4 İLETKENLER VE EŞPOTANSİYEL YÜZEYLER
Potansiyelin aynı değerde olduğu yüzeylere eşpotansiyel yüzey denir.
HÖrnek: Orijindeki q yükünün potansiyeli:
V = kq r
HNoktasal yükün eşpotansiyel yüzeyleri: q yükünün merkezde bulunduğu küre yüzeyleri.
HDoğrusal telin eşpotansiyel yüzeyleri: Tel eksenli silindirik yüzeyler.
Üniversiteler İçin FİZİK II 16. ELEKTRİK POTANSİYEL 12 / 17
Dr. Çağın KAMIŞCIOĞLU, Fizik II, Elektriksel Potansiyel
ELEKTRIK POTANSIYEL Potansiyelin diğer bir yorumu:
Bir noktanın potansiyeli, birim yükü sonsuzdan o noktaya getirmek için yapılan iş.
H+ yükün potansiyeli pozitif, – yükün potansiyeli de negatif olur.
HPozitif yüke yaklaştıkça potansiyel artar, negatif yüke yaklaştıkça azalır.
Üniversiteler İçin FİZİK II 16. ELEKTRİK POTANSİYEL 7 / 17
Dr. Çağın KAMIŞCIOĞLU, Fizik II, Elektriksel Potansiyel
ÇOK SAYIDA YÜK DURUMUNDA POTANSIYEL
Çok Sayıda Noktasal Yükün Potansiyeli
Çok sayıda noktasal yükün bir P noktasındaki potansiyeli, herbir yükün potansiyelinin cebirsel toplamı olur:
V = kq
1r
1+ kq
2r
2+ · · · + kq
Nr
N= X
i
kq
ir
iÜniversiteler İçin FİZİK II 16. ELEKTRİK POTANSİYEL 8 / 17
Dr. Çağın KAMIŞCIOĞLU, Fizik II, Elektriksel Potansiyel
ÇOK SAYIDA YÜK DURUMUNDA POTANSIYEL ENJ
Bir Yük Dağılımının Potansiyel Enerjisi:
Çok sayıda yükten oluşan bir sistemin potansiyel enerjisi ne kadardır?
HCevap: Bu yükleri bu konumlara getirmek için yapılan iş kadardır.
HÖnce q
1yükünü sonsuzdan alıp getiririz.
Bunun için bir iş yapmak gerekmez: ! U
1= 0
HSonra, q
2yükünü getiririz.
q
1yükünün V
1= kq
1/ r potansiyelinde,
r
12uzaklığına gelen q
2yükünün potansiyel enerjisi (U = qV ): U
2= q
2V
1= q
2kq
1r
12= k q
1q
2r
12Üniversiteler İçin FİZİK II 16. ELEKTRİK POTANSİYEL 9 / 17
Bir Yük Dağılımının Potansiyel Enerjisi:
Çok sayıda yükten oluşan bir sistemin potansiyel enerjisi ne kadardır? H Cevap: Bu yükleri bu konumlara getirmek için yapılan iş kadardır. H
Önce q1 yükünü sonsuzdan alıp getiririz.
Bunun için bir iş yapmak gerekmez: ! U1 = 0 H Sonra, q2 yükünü getiririz.
q1 yükünün V1 = kq1/r potansiyelinde,
r12 uzaklığına gelen q2 yükünün potansiyel enerjisi (U = qV ):
U2 = q2 V1 = q2 kq1
r12 = k q1q2
r12
Üniversiteler İçin FİZİK II 16. ELEKTRİK POTANSİYEL 9 / 17
Dr. Çağın KAMIŞCIOĞLU, Fizik II, Elektriksel Potansiyel
ÇOK SAYIDA YÜK DURUMUNDA POTANSIYEL ENJ
Daha sonra q
3yükünü getirelim.
Daha önce gelmiş olan (q
1, q
2) yüklerinin potansiyelini içinde, sahip olduğu enerji:
U
3= q
3kq
1r
13+ kq
2r
23!
= k q
1q
3r
13+ q
2q
3r
23!
H
Sistemin toplam potansiyel enerjisi:
U
top= U
1+ U
2+ U
3= k q
1q
2r
12+ q
1q
3r
13+ q
2q
3r
23!
H
N sayıda yük için genelleme:
U
top= k
X
N i<jq
iq
jr
ijÜniversiteler İçin FİZİK II 16. ELEKTRİK POTANSİYEL 10 / 17
Bir Yük Dağılımının Potansiyel Enerjisi:
Çok sayıda yükten oluşan bir sistemin potansiyel enerjisi ne kadardır?
HCevap: Bu yükleri bu konumlara getirmek için yapılan iş kadardır.
HÖnce q
1yükünü sonsuzdan alıp getiririz.
Bunun için bir iş yapmak gerekmez: ! U
1= 0
HSonra, q
2yükünü getiririz.
q
1yükünün V
1= kq
1/ r potansiyelinde,
r
12uzaklığına gelen q
2yükünün potansiyel enerjisi (U = qV ):
U
2= q
2V
1= q
2kq
1r
12= k q
1q
2r
12Üniversiteler İçin FİZİK II 16. ELEKTRİK POTANSİYEL 9 / 17
Daha sonra q3 yükünü getirelim.
Daha önce gelmiş olan (q1, q2) yüklerinin potansiyelini içinde, sahip olduğu enerji:
U3 = q3 kq1
r13 + kq2
r23
!
= k q1q3
r13 + q2q3
r23
!
H
Sistemin toplam potansiyel enerjisi:
Utop = U1 + U2 + U3 = k q1q2
r12 + q1q3
r13 + q2q3
r23
!
H
N sayıda yük için genelleme:
Utop = k XN
i<j
qiqj rij
Üniversiteler İçin FİZİK II 16. ELEKTRİK POTANSİYEL 10 / 17
Dr. Çağın KAMIŞCIOĞLU, Fizik II, Elektriksel Potansiyel
ORNEK
778 C H A P T E R 2 5 Electric Potential
The Electric Potential Due to Two Point Charges
EXAMPLE 25.3
Solution When the charge is at infinity, , and when the charge is at P, ; therefore,
Therefore, because , positive work would have to be done by an external agent to remove the charge from point P back to infinity.
Exercise Find the total potential energy of the system illus- trated in Figure 25.11b.
Answer !5.48 " 10!2 J.
W # !$U
!18.9 " 10!3 J
#
$U # q3VP ! 0 # (3.00 " 10!6 C)(!6.29 " 103 V) Uf # q3VP Ui # 0
A charge q1 # 2.00 %C is located at the origin, and a charge q2 # !6.00 %C is located at (0, 3.00) m, as shown in Figure 25.11a. (a) Find the total electric potential due to these charges at the point P, whose coordinates are (4.00, 0) m.
Solution For two charges, the sum in Equation 25.12 gives
(b) Find the change in potential energy of a 3.00-%C charge as it moves from infinity to point P (Fig. 25.11b).
!6.29 " 103 V
#
VP # ke
!
qr11 & q2 r2"
OBTAINING THE VALUE OF THE ELECTRIC FIELD FROM THE ELECTRIC POTENTIAL
The electric field E and the electric potential V are related as shown in Equation 25.3. We now show how to calculate the value of the electric field if the electric po- tential is known in a certain region.
From Equation 25.3 we can express the potential difference dV between two points a distance ds apart as
(25.15) If the electric field has only one component Ex, then Therefore,
Equation 25.15 becomes or
(25.16) Ex # ! dV
dx
dV # !Ex dx, E ! ds # Ex dx.
dV # ! E ! ds
25.4
(a) 3.00 m
4.00 m
P x
–6.00 µC y
2.00 µC
(b) 3.00 m
4.00 m x
–6.00 µC y
2.00 µC 3.00 µC
µ
µ µ µ
µ
Figure 25.11 (a) The electric potential at P due to the two charges is the algebraic sum of the poten- tials due to the individual charges. (b) What is the potential energy of the three-charge system?
# 8.99 " 109 N'm2
C2
!
2.00 " 10!6 C4.00 m & !6.00 " 10!6 C 5.00 m
"
Dr. Çağın KAMIŞCIOĞLU, Fizik II, Elektriksel Potansiyel
ORNEK
778 C H A P T E R 2 5 Electric Potential
The Electric Potential Due to Two Point Charges
E
XAMPLE25.3
Solution
When the charge is at infinity, , and when the charge is at P, ; therefore,Therefore, because , positive work would have to be done by an external agent to remove the charge from point P back to infinity.
Exercise Find the total potential energy of the system illus- trated in Figure 25.11b.
Answer !5.48 " 10!2 J.
W # !$U
!18.9 " 10!3 J
#
$U # q3VP ! 0 # (3.00 " 10!6 C)(!6.29 " 103 V) Uf # q3VP
Ui # 0 A charge q1 # 2.00 %C is located at the origin, and a charge
q2 # !6.00 %C is located at (0, 3.00) m, as shown in Figure 25.11a. (a) Find the total electric potential due to these charges at the point P, whose coordinates are (4.00, 0) m.
Solution
For two charges, the sum in Equation 25.12 gives(b) Find the change in potential energy of a 3.00-%C charge as it moves from infinity to point P (Fig. 25.11b).
!6.29 " 103 V
#
VP # ke
!
qr11 & qr22"
OBTAINING THE VALUE OF THE ELECTRIC FIELD FROM THE ELECTRIC POTENTIAL
The electric field E and the electric potential V are related as shown in Equation 25.3. We now show how to calculate the value of the electric field if the electric po- tential is known in a certain region.
From Equation 25.3 we can express the potential difference dV between two points a distance ds apart as
(25.15) If the electric field has only one component Ex, then Therefore,
Equation 25.15 becomes or
(25.16) Ex # ! dV
dx
dV # !Ex dx, E ! ds # Ex dx.
dV # ! E ! ds
25.4
(a) 3.00 m
4.00 m
P x
–6.00 µC y
2.00 µC
(b) 3.00 m
4.00 m x
–6.00 µC y
2.00 µC 3.00 µC
µ
µ µ µ
µ
Figure 25.11 (a) The electric potential at P due to the two charges is the algebraic sum of the poten- tials due to the individual charges. (b) What is the potential energy of the three-charge system?
# 8.99 " 109 N'm2
C2
!
2.00 " 10!6 C4.00 m & !6.00 " 10!6 C 5.00 m
"
Dr. Çağın KAMIŞCIOĞLU, Fizik II, Elektriksel Potansiyel
SÜREKLİ BİR YÜK DAĞILIMINDA
16.3 SÜREKLİ YÜK DAĞILIMLARININ POTANSİYELİ
Bir hacim, yüzey veya eğri üzerine sürekli dağılmış yük.
H
Yüklü bölgede küçük bir dq yük elemanı.
Bunun toplam potansiyele dV katkısı:
dV = k dq r
HTüm yük dağılımının potansiyeli:
V = k Z dq
r (Sürekli dağılmış yükün potansiyeli
Hdq elemanı, yük yoğunluğu cinsinden şöyle ifade edilir:
dq = ⇢ dV dq = dA dq = dL
HAyrıca, potansiyelin ~E alanı cinsinden ifadesi de hesaplarda kullanılabilir: V
2V
1=
Z
21
~ E · d~r
Üniversiteler İçin FİZİK II 16. ELEKTRİK POTANSİYEL 11 / 17
16.3 SÜREKLİ YÜK DAĞILIMLARININ POTANSİYELİ
Bir hacim, yüzey veya eğri üzerine sürekli dağılmış yük.
H
Yüklü bölgede küçük bir dq yük elemanı.
Bunun toplam potansiyele dV katkısı:
dV = k dq r H
Tüm yük dağılımının potansiyeli:
V = k Z dq
r (Sürekli dağılmış yükün potansiyeli H dq elemanı, yük yoğunluğu cinsinden şöyle ifade edilir:
dq = ⇢ dV dq = dA dq = dL H
Ayrıca, potansiyelin ~E alanı cinsinden ifadesi de hesaplarda kullanılabilir:
V2 V1 =
Z 2
1
~E · d~r
Üniversiteler İçin FİZİK II 16. ELEKTRİK POTANSİYEL 11 / 17
Dr. Çağın KAMIŞCIOĞLU, Fizik II, Elektriksel Potansiyel
ELEKTRİK ALAN-POTANSİYEL İLİŞKİSİ
Elektrik alan ile potansiyel arasındaki ilişki.
HV potansiyelli bir yüzeyden dik doğrultuda (yani, ~E yönünde)
küçük bir d~r adımıyla, V + dV olan diğer bir eşpotansiyel yüzeye varmış olalım.
~ E ve d~r vektörleri aynı yönde olduğundan,
(V + dV ) V = ~E · d~r = E dr ! E = dV dr
HEşpotansiyel yüzeye dik doğrultudaki potansiyel artış oranına potansiyel gradyanı denir.
Elektrik alan negatif potansiyel gradyanıdır.
Negatif işaretin anlamı: Elektrik alanı yönünde gidilirken potansiyel azalır.
Üniversiteler İçin FİZİK II 16. ELEKTRİK POTANSİYEL 15 / 17
Dr. Çağın KAMIŞCIOĞLU, Fizik II, Elektriksel Potansiyel
ELEKTRIKSEL POTANSIYEL
r
l d E V
r k dq V
r k k q
V
r V kq
i i i
4
0, 1
A.OZANSOY, FİZ112, 6. HAFTA 9
4. Elektriksel Potansiyelin Hesaplanması
a) Elektrik alan biliniyorsa:
b) Elektrik alan bilinmiyorsa:
Nokta yük için:
Nokta yükler topluluğu için:
Sürekli yük dağılımları için:
Dr. Çağın KAMIŞCIOĞLU, Fizik II, Elektriksel Potansiyel
KAYNAKLAR
1. http://www.seckin.com.tr/kitap/413951887 (“Üniversiteler için Fizik”, B. Karaoğlu, Seçkin Yayıncılık, 2012).
2.Fen ve Mühendislik için Fizik Cilt-2, R.A.Serway,R.J.Beichner,5.Baskıdan çeviri, (ÇE) K. Çolakoğlu, Palme Yayıncılık.
3. Üniversite Fiziği Cilt-I, H.D. Young ve R.A.Freedman, (Çeviri Editörü: Prof. Dr. Hilmi Ünlü) 12. Baskı, Pearson Education Yayıncılık 2009, Ankara.
Dr. Çağın KAMIŞCIOĞLU, Fizik II, Elektriksel Potansiyel 19