Öğretmenlere özel…

(1)

Kesirler

(2)

(3)

Kesirler

• Kesirlere neden ihtiyaç duyulur?

(4)

Kesirler

• Doğal sayılar günlük yaşantımızda bazı problemlerin çözümünde yetersiz kalır.

(5)

Kesirler

• Örneğin, 3 elmayı 2 arkadaşınıza paylaştırdığınızda her birine düşen elmayı doğal sayılarla ifade etmemiz imkansızıdır.

(6)

Öğretmenlere özel…

• Doğal sayılarda toplama işleminin değişme, birleşme, dağılma, birim eleman ve kapalılık özelliği vardır.

• Bölme işlemi, doğal sayılar ve kapalılık özelliği…

(7)

Kesirlerin tarihi…

• İlk olarak M. Ö. 2500 yılında eski Mısırda kullanılmıştır.

• Eski Mısırlılar birim kesir kavramını kullanmışlardır.

• Hesap yapması zordu ve karmaşık tablolar kullanmak gerekiyordu.

(8)

Örnekler

• 3/4 = ½ + ¼

• 6/7 = ½ + 1/3 + 1/42

(9)

• Eğer a/b kesri için,

a/b = 1/x1 +1/x2+... +1/xn ise

1/x = 1/(x+1) +1/(x(x+1)) denklemi

a/b = 1/x1 + ... + 1/(xn-1)+1/(xn+1)+1/(xn(xn+1)) denklemini elde etmek için kullanılabilir.

(10)

Bu basit mantık Eski Mısırlıların kesir ifadesinin temelini oluşturuyordu.

Örneğin;

• 2/4=1/4+1/4

• 1/4=1/5+1/(4(4+1))

• 2/4=1/4+1/5+1/20

(11)

Kesirlerin tarihi…

• Sonrasında M.Ö. 2000 Babil’de kesirlerin kullanıldığı bilinmektedir.

• Babil’de 60 tabanı kullanılmaktaydı. Bu sebeple Babil’de kullanılan kesirlerde de payda sadece 60 alınmıştır.

(12)

Kesirlerin tarihi…

• Romalılar da kesirleri kullandılar. Fakat kesirler sadece kelimelerle ifade ediliyordu. Buda oldukça karmaşık bir yöntemdi.

(13)

Kesirlerin tarihi…

• Günümüze ne yakın anlamıyla kesirleri Hintliler kullanmıştır.

• Daha sonrasında Araplar kesir çizgisi kavramını literatüre eklemişlerdir.

• Bugünkü halini 17. y.y.da almıştır.

(14)

Kesrin tanımı

• Türk Dil Kurumu, kesiri ‘bir birimin bölündüğü eşit parçalardan birini veya birkaçını anlatan sayı’ olarak tanımlar.

• Bir bütünün parçasının tarandığı örnekleri içeren parça-bütün kesir olarak tanımlanmaktadır (Van De Walle, 2012).

(15)

Kaç tane? & Ne kadar?

• Öğrenciler doğal sayılara ilişkin bilgilerini kesirler konusunda kullanmak zorundadır.

• Bu noktada öğretmenin kesirlerin doğal sayılardan nasıl ayrıldığını göstermesi gerekir.

• En önemli noktalardan biri: doğal sayılardaki işlemlerde “Kaç tane?” sorusuna cevap aranırken kesirlerde “Ne kadar?” sorusuna cevap aranmaktadır.

(16)

Kesir kavramını geliştirme

• Kesirler öğrenciler için kritik öneme sahip temel bir konudur.

• Bu açıdan kesir kavramını geliştirme öğrenciler için önemlidir.

• Kesirleri anlamak demek kesirlerin temsil ettikleri mümkün olan bütün kavramları anlamak demektir.

(17)

Kesirleri Anlatırken…

• Kesirlerin Anlamı

• 1. Parça-Bütün anlamı

• 2. Ölçme anlamı

• 3. Bölme anlamı

• 4. İşlemci anlamı

• 5. Oran anlamı

(18)

• Parçanın bütünle karşılaştırılması (ilişkisi)

• Kesir sayısının ölçü anlamı

(19)

• Kesir sayısının oran anlamı (ortaokul)

• Kesir sayısının bölme anlamı

(20)

• Kesirlerin işlemci anlamı

(21)

Buraya kadar incelediğimiz kesirlerin anlamları şekildeki gibi özetleyelim

Oran İşlemci Bölüm Ölçü

Denk kesirler Çarpım Toplam

Parça-bütün/ Parçalara Ayırma

(22)

Kesir Öğretiminde…

• Doğal sayılarda işlemlerden farklı olarak kesirleri ifade ederken bölme ve ölçme yaptığımız için iki doğal sayıya ihtiyaç duyarız.

• Bu sebeple öncelikli olarak ‘eşit’ kavramını vermek önemlidir.

(23)

Kesir Öğretiminde…

• Bunu verebilmek için önce ikiye bölme verilir.

Daha sonra ise 2nin katları ile bölmeyi öğrenir.

• En önemli noktalardan birisi parçaların eşitliğinin öğretilmesidir.

(24)

Kesir Öğretiminde Aşamalar

• Paylaşımla oluşabilecek tam, yarım, çeyrek, üçte bir, beşte bir ve onda bir gibi parça bütün ilişkileri

• Karşılaştırma

• Denklik

• Sıralama

• Kesirlerle ilgili işlemler

(25)

Kesirlerde Modelleme

Kesirler farklı şekillerde gösterilebildiği için Modelleme önemli bir yere sahiptir.

•Alan (Bölge) Modeli

•Küme Modeli

•Sayı Doğrusu (Uzunluk) Modeli

(26)

Alan (Bölge) Modeli

• Dairesel kesir modeli en çok kullanılan modellerden birisidir.

• Bu modelde parça-bütün ilişkisi vurgulanmaktadır.

(27)

• Bölge ya da Alan Modelleri

(28)

Alan Modeli

• Bu tip modelleme yapılırken parçaların eşitliği kolayca

görülmelidir.

(29)

• Öğrencinin çeyrek kavramını anlayabilmesi için bu şekillerdeki taralı alanın bütün şeklin 4 eş parçasından birisi olduğu kavratılmalıdır.

(30)

Küme Modeli

• Küme modellerinde bütün bir nesneler kümesi olarak ifade edilir.

• Kesir kümede yer alan nesnelerin bir kısmının temsil edilmesidir.

• 2/5 4/8

(31)

• Küme Modelleri

(32)

Sayı Doğrusu (Uzunluk Modeli)

• Uzunluk modellerinde çizgiler çizilerek ölçümler karşılaştırılır.

• Sayı doğrusu daha üst düzey bir ölçme modeli olarak adlandırılmaktadır.

• Çünkü kesrin hem bir sayı olduğunu hemde diğer sayı doğrusu üzerinde yer alan doğal sayılarla

kıyaslandığında büyüklüğünü görmemizi sağlar.

(33)

(34)

• Her kesir bir sayıdır ve sayı doğrusu üzerinde bir noktaya karşılık gelir.

• Kesir kavramının farklı anlamlarının öğrencilerde modelleme ve örneklerle pekiştirilmesini içeren bir süreçte oluşur.

• Sayı doğrusu iki kesir arasında her zaman

bulunacak bir kesir

olduğu fikrini vurgular.

Sayı Doğrusu (Uzunluk Modeli)

(35)

Modelleme yapılırken…

• Tam bölünebilen ve görülmesi kolay örnekler mutlaka seçilmelidir.

(36)

• 4 çocuk 3 pizzayı nasıl paylaşır?

• Her çocuğa 3 çeyrek pizza düşer yani her çocuğa ¾ pizza düşer.

(37)

Aşağıdaki parçalardan hangileri eşit şekilde çeyreğe (dörte birlere) ayrılmıştır?

(38)

Kesir Dili ve Sembolleri

• Parçalara ayırma: şekillerin eşit parçalara

ayrıldığı ve her bir parçanın bütünün kaçta kaçı olduğu vurgulanmalıdır.

(39)

Kesir Dili ve Sembolleri

• Kesir gösteriminde üstteki ve alttaki sayıların neyi gösterdiği belirtilir.

• Pay, payda ve kesir çizgisi kavramları verilir.

• Pay (alınan/istenilen miktar) 

• Kesir çizgisi 

• Payda (bütün) 

(40)

• Doğal Sayı Kavramları Üzerine İnşa Etme

• Bütün İçin Sadece Tek Büyüklük

(41)

Kesirlerde Denklik

• Bir bütünün aynı miktar parçasını gösteren kesirlerdir.

• Aşağıdaki paylaşımlardan hangisini istersiniz?

• A)

• B)

(42)

Birim Kesir

• Kesrin biriminin, bir bütünün eş parçalarından birini gösterdiği ve bu parçalara karşılık gelen sayının kesir sayısı olduğu vurgulanarak kesir sayısının da kısaca “kesir” diye isimlendirildiği belirtilir.

(43)

Kesirlerde Sıralama

• Kesirleri sıralamada öncelikle birim kesir kavramı üzerinde durulmalıdır.

• Sonrasında ise bir bütünün eş parçalarından yola çıkarak sıralama yapılmalıdır.

(44)

Bir Bütünden Büyük Kesirler

• Yedi çeyrek pizza bir bütün pizzadan fazla mıdır?

• Sonrasında ise tam sayılı kesirler ve bileşik kesir kavramı bir bütünün eş parçalarından yola çıkarak verilir.

(45)

Kesirlerde İşlemler

• Yedi çeyrek pizza bir bütün pizzadan fazla mıdır?

• Sonrasında ise tam sayılı kesirler ve bileşik kesir kavramı bir bütünün eş parçalarından yola çıkarak verilir.

(46)

Matematik Dersi Öğretim Programında Kesirler

• Tam bölünebilen ve görülmesi kolay örnekler mutlaka seçilmelidi

(47)

1. ve 2. sınıflar

(48)

1. ve 2. sınıflar

• M.1.1.4. Kesirler

• Terimler veya kavramlar: bütün, yarım

M.1.1.4.1. Bütün ve yarımı uygun modeller ile gösterir, bütün ve yarım arasındaki ilişkiyi açıklar.

• a) Somut nesnelerle işlem yapılır.

• b) Uygun şekil veya nesneler iki eş parçaya bölünür, yarım belirtilir, bütün ve yarım arasındaki ilişki açıklanır.

• M.2.1.6. Kesirler

• Terimler veya kavramlar: çeyrek

M.2.1.6.1. Bütün, yarım ve çeyreği uygun modeller ile gösterir; bütün, yarım ve çeyrek arasındaki ilişkiyi açıklar.

• Uzunluk, şekil ya da nesneler dört eş parçaya bölünür, çeyrek belirtilir.

(49)

3. sınıf

(50)

3. sınıf

• M.3.1.6. Kesirler

• Terimler veya kavramlar: kesir, pay, payda, kesir çizgisi, birim kesir

• M.3.1.6.1. Bütün, yarım ve çeyrek modellerinin kesir gösterimlerini kullanır.

• a) Kesir gösterimlerinin okunmasında, parça-bütün ilişkisini vurgulayacak ifadeler kullanılır. Örneğin 1/4 kesri “dörtte bir” biçiminde okunur ve bir bütünün 4’e bölünüp bir parçası alındığı şeklinde açıklanır.

• b) Pay, payda ve kesir çizgisi kullanılan örnekler üzerinden açıklanır.

• M.3.1.6.2. Bir bütünü eş parçalara ayırarak eş parçalardan her birinin birim kesir olduğunu belirtir.

• a) Bütünün “1” olduğu vurgulanır.

• b) Verilen bütünün eş parçalarından bir tanesinin birim kesir olduğu açıklanır.

(51)

3. sınıf

• M.3.1.6.3. Pay ve payda arasındaki ilişkiyi açıklar.

• Pay ve payda arasındaki parça-bütün ilişkisi vurgulanır.

• M.3.1.6.4. Bir çokluğun, belirtilen birim kesir kadarını belirler.

• Problem model kullandırılarak çözdürülür. Daha sonra işlem yaptırılır.

• M.3.1.6.5. Payı paydasından küçük kesirler elde eder.

• Kâğıt, kesir blokları, örüntü blokları ve sayı doğrusu gibi çeşitli modeller kullanarak payı paydasından küçük kesirlerle çalışılmalıdır.

• M.3.1.6.6. Paydası 10 ve 100 olan kesirlerin birim kesirlerini gösterir.

• Paydası 10 olan kesirleri, diğer modellerin (uzunluk, alan vb.) yanı sıra sayı doğrusu üzerinde de gösterme çalışmaları yapılır.

(52)

4. sınıf

(53)

4. sınıf

• M.4.1.6. Kesirler

• Terimler veya kavramlar: basit kesir, bileşik kesir, tam sayılı kesir

• M.4.1.6.1. Basit, bileşik ve tam sayılı kesri tanır ve modellerle gösterir.

• Modeller (sayı doğrusu, alan modeli vb.) kullanılarak isimlendirme çalışmaları yapılır.

• M.4.1.6.2. Birim kesirleri karşılaştırır ve sıralar.

• a) Paydası en çok 20 olan kesirler üzerinde çalışma yapılır.

• b) Birim kesirlerin hangi büyüklükleri temsil ettiği uygun modeller üzerinde incelenir.

• M.4.1.6.3. Bir çokluğun belirtilen bir basit kesir kadarını belirler.

• a) Bir çokluğun belirtilen bir basit kesir kadarını bulma çalışmalarına modellerle başlanır, daha sonra işlem yaptırılır.

• b) Çokluk sayısı en çok üç basamaklı olmalıdır.

• c) Doğal sayı ile kesrin çarpma işlemine girilmez.

(54)

4. sınıf

• M.4.1.6.4. Paydaları eşit olan en çok üç kesri karşılaştırır.

• a) Karşılaştırma çalışmaları yapılırken uzunluk, alan, sayı doğrusu gibi modeller kullanılır.

• b) Karşılaştırma yapılırken büyük/küçük sembolleri kullanılır.

• c) Verilen bir kesri sayı doğrusu üzerinde sıfır, yarım ve bütünle karşılaştırma çalışmalarına da yer verilir.

• M.4.1.7. Kesirlerle İşlemler

• M.4.1.7.1. Paydaları eşit kesirlerle toplama ve çıkarma işlemi yapar.

• M.4.1.7.2. Kesirlerle toplama ve çıkarma işlemlerini gerektiren problemleri çözer.

(55)

Matematik Dersi Öğretim Programında Kesirler

• Tam bölünebilen ve görülmesi kolay örnekler mutlaka seçilmelidi

(56)

1.sınıf

(57)

(58)

2.sınıf

(59)

(60)

3. sınıf

(61)

(62)

3. sınıf

(63)

(64)

4.sınıf

(65)

(66)

4.sınıf

(67)

(68)

4.sınıf

(69)

(70)

4.sınıf

(71)

(72)

4.sınıf

(73)

(74)

4.sınıf

(75)

(76)

4.sınıf

(77)

(78)

Ondalık Gösterim

Çıkarılmıştır…

(79)

Ondalık Gösterim

• Terimler: Ondalık gösterim

• M4.1.33. Bir bütün 10 ve 100 eş parçaya bölündüğünde, ortaya çıkan kesrin birimlerinin ondalık gösterimle ifade edilebileceğini belirler.

• Ondalık gösterimin kesrin farklı bir ifade biçimi olduğu fark ettirilir. Modeller kullanılarak ondalık gösterim ile kesirler arasında ilişki kurmaları sağlanır. Paydası 10 ve 100’ü tam bölen basit kesir modelleri ile katlama ve eş parçalama etkinlikleri yapılır. Ondalık gösterimlerin okunuşları

üzerinde durulur. Örnek: 5,2 sayısı, ‘beş tam onda iki’

şeklinde okunur. Kesir kısmı en çok iki basamaklı sayılarla çalışma yapılır. Kesir kısmını ayırmak için virgül kullanılır.

(80)

(81)

(82)

• M4.1.34. Paydası 10 ve 100 olan bir kesri ondalık gösterim kullanarak yazar.

• Basit kesirlerle ya da tam sayılı kesirlerle yazma çalışmaları yapılır.

(83)

(84)

(85)

• M4.1.35. Ondalık gösterimlerin tam kısmını, kesir kısmını ve basamak adlarını belirler.

• Basamak değerleri üzerinde durulmaz.

(86)

(87)

(88)

(89)

• M4.1.36. Ondalık gösterimi verilen iki sayıyı karşılaştırarak aralarındaki ilişkiyi büyük,

küçük veya eşit sembolüyle gösterir.

• Modeller kullanılarak iki ondalık gösterim arasındaki ilişkinin belirlenmesi istenir.

Karşılaştırma yapılırken sınıf sayı sınırlıkları içinde kalınır.

(90)

(91)

(92)

(93)

• Teşekkürler…