Doğrusal Denklem Sistemi

4. BÖLÜM

DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ

Doğrusal Denklem Sistemi

x₁,x₂, …,xn ‘ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;

11 1 12 2 1n n 1

a x  a x   a x  b

21 1 22 2 2n n 2

a x  a x   a x  b

………

1 1 2 2

m m mn n m

a x  a x   a x  b

sisteme Doğrusal Denklem Sistemi denir.

Burada

a

b

Denklem Sistem: Matris Formunda

Doğrusal denklem sistemi matris formunda,

A x=b

şeklinde yazılır.

11 12 1

21 22 2

1 2

n n

m m mn

a a a

a a a

a a a

 

 

 

  

 

 

A

1 2

m

b b

b

  

  

  

  b

1 2

n

x x

x

  

  

  

  x

A

b

Doğrusal denklem sisteminin çözümü, n1 boyutlu

x

Genişletilmiş Matris

 

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

. .

. . . . .

.

n n

m m mn m

a a a b

a a a b

a a a b

 

 

 

  

 

 

A b

Doğrusal Denklem Sistemlerinin Tipleri

Doğrusal Denklem Sistemleri

1.Homojen olmayan denklem sistemleri,

≠0

2.Homojen denklem sistemleri,

Doğrusal Denklem Sisteminin Çözüm Sayısı

A x=b, m denklem n değişkenden oluşan bir sistem olsun:

1. Sistem tek bir çözüme sahiptir, (tutarlı sistem):

r(A)=r(A:b)=n A  0

2. Sistem sonsuz sayıda çözüme sahiptir, (tutarlı sistem):

r(A)=r(A:b)<n A  0

3. Sistem çözümsüzdür, (tutarsız sistem):

r(A)<r(A:b) A  0

Çözüm Sayısının Geometrik Anlamı İki Boyut

1. x

  2.

3

  3.

3

 

3 1

x

   2

 2

 6

 

1

 0

A

 0

 0

Yukarıdaki üç sistemin grafikleri

Çözüm Sayısının Geometrik Anlamı:

Determinant İle İlişkisi (Üç Boyut)

Genel olarak n-boyutlu denklem sisteminde ^{A  0} ise,

a. sistemin çözümü yoktur

b.sistemin sonsuz çözümü vardır.

n=3 için denklem sistemi:

11 1 12 2 13 3 1

a x







21 1 22 2 23 3 2

a x







31 1 32 2 33 3 3

a x







Her bir denklem x₁x₂x₃-üç boyutlu uzayda birer düzlem tanımlar.

Çözüm Sayısının Geometrik Anlamı:

Determinant İle İlişkisi (Üç Boyut)

Sistemde A  0 ise üç düzlem sadece bir noktada kesişir.

Bu nokta sistemin tek çözümüdür.

Çözüm Sayısının Geometrik Anlamı:

Determinant İle İlişkisi (Üç Boyut)

Sistemde A  ⁰ ise otaya çıkabilecek üç durum söz konusudur:

a.Düzlemlerin her hangi ikisi ya paraleldir ya da çakışıktır.

i. İki düzlem paralel ise üç düzlemin ortak noktası yoktur. Sistem çözümsüzdür.

ii.İki düzlem çakışık ise üçüncü düzlem ile ara kesitleri bir doğrudur. Sonsuz çözüm vardır.

Çözüm Sayısının Geometrik Anlamı:

Determinant İle İlişkisi (Üç Boyut)

b.İki düzlemin arakesit doğrusu üçüncü düzleme ya paraleldir ya da üçüncü düzlem ile çakışıktır.

i. Ara kesit doğrusu üçüncü düzleme

paralel ise düzlemleri ikişerli arakesit doğruları paraleldir. Sistem çözümsüzdür.

ii.Ara kesit doğrusu üçüncü düzlemin üzerinde ise, sonsuz çözüm vardır.

Çözüm Sayısının Geometrik Anlamı:

Determinant İle İlişkisi (Üç Boyut)

c.Üç düzlem ya birbirine paraleldir ya ikisi çakışık üçüncüye paraleldir ya da üç düzlem çakışıktır.

i.Üç düzlem paralel ise sistem çözümsüzdür.

ii. İki düzlem çakışık üçüncüye paralel ise sistem çözümsüzdür.

iii.Üç düzlem çakışık ise sonsuz çözüm vardır.

Asal Determinant

r(A)=r

olmak üzere; r<m=n ya da m≠n ise ters matris ya da Cramer yöntemi aşağıda verilen tanımlar kullanılarak uygulanabilir.

Tanım:

A matrisinden seçilen determinantı sıfırdan farklı r×r boyutlu bir kare alt matrisin A

determinantına sistemin bir

denir

ve 

ile gösterilir. Determinant içinde kalan

katsayılara ait bilinmeyenlere

denklemlere de asal denklemler denir.

Artırılmış Asal Determinant

Tanım: Sistemin asal determinantı ^r olsun. A matrisinin asal determinantında yer almayan satırlarından biri r+1-inci satır ve bu satıra ait sabiti ise b vektörünün r+1-inci elemanı olarak eklenmesi ile elde edilen r+1 boyutlu kare matrisin determinantına ise artırılmış asal determinant ya da karakteristik determinant denir.

Sistemin Çözümü

Tanım: A matrisinin asal determinantında yer almayan satır sayısı m-r olduğundan sistemin karakteristik determinant sayısı her ^r için m-r adet olacaktır.

   

11 1 1

21 2 2

1

1

1 1 1 1

r r r

r rr r

r r r r

a a b

a a b

a a b

a a b



  

 

 

 

 

   

 

 

 

Teorem: Sistemin çözümlü olabilmesi için gerek ve yeter koşul sistemin artırılmış determinatlarının hepsinin sıfır olmasıdır.

Doğrusal Denklem Sisteminin Çözüm Yöntemleri

1.Mat risler ile çözüm

a. Gauss eliminasyon (Echelon matris) b. Ters matris

2. Determinantlar ile çözüm (Cramer yöntemi)

Doğrusal Denklem Sisteminin Gauss Eliminasyon ile Çözümü

Elemanter işlemlerden sonra genişletilmiş matrisin genel yapısı: Echelon matris

 

11 12 1 1 1

* * * *

22 2 2 2

* * *

* 1

*

.

0 .

. . . . . . . .

0 0 .

0 0 0 0 .

. . . . . . . .

0 0 0 0 .

r n

r n

rr rn r

r

m

a a a a b

a a a b

a a b

b

b



 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

A b

Tek Çözümlü Sistem

1. Sistem tek bir çözüme sahip ise r=n olur:

r(A)=r(A:b)=n

Elemanter işlemlerden sonra genişletilmiş matrisin genel yapısı:

 

11 12 1 1

* * *

22 2 2

* *

.

0 .

. . . . . .

: 0 0 .

0 0 0 . 0

. . . . . .

0 0 0 . 0

r r

rr r

a a a b

a a b

a b

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

A b

Çok Çözümlü Sistem

2.Sistem çoklu çözüme sahip ise r<n olur:

r(A)=r(A:b)=r

Elemanter işlemlerden sonra genişletilmiş matrisin genel yapısı:

 

11 12 1 1 1

* * * *

22 2 2 2

* * *

.

0 .

. . . . . . . .

0 0 .

0 0 0 0 . 0

. . . . . . . .

0 0 0 0 . 0

r n

r n

rr rn r

a a a a b

a a a b

a a b

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

A b

Çözümsüz Sistem

3.Sistem çözümsüz ise r<m olur:

r(A)=r ve r(A:b)>r

Elemanter işlemlerden sonra genişletilmiş matrisin genel yapısı:

 

11 12 1 1 1

* * * *

22 2 2 2

* * *

* 1

*

.

0 .

. . . . . . . .

0 0 .

0 0 0 0 .

. . . . . . . .

0 0 0 0 .

r n

r n

rr rn r

r

m

a a a a b

a a a b

a a b

b

b



 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

A b

Doğrusal Denklem Sisteminin Ters Matrisler ile Çözümü

1. Kare sistem m=n

a. Ax=b doğrusal denklem sisteminin katsayılar matrisinin (boyutu nn) tersi A^-1 varsa çözüm vektörü:

A^-1Ax= A^-1b x= A^-1b

Doğrusal Denklem Sisteminin Ters Matrisler ile Çözümü

b. Eğer ^{A  0} ise A^-1 bulunamaz.

r(A) ve r(A:b) hesaplanmalıdır.

i. r(A)=r(A:b)=r ise n-r parametreye bağlı sonsuz çözüm vardır. rr

boyutlu bir alt matrisin (A₁) tersi alınarak çözülür.

ii. r(A)≠r(A:b) ise çözüm yoktur.

Doğrusal Denklem Sisteminin Ters Matrisler ile Çözümü

2. Dikdörtgen sistem m>n

Katsayılar matrisinin (boyutu mn) tersi A^-1 bulunamaz:

r(A) ve r(A:b) hesaplanmalıdır.

a. i.r(A)=r(A:b)=n ise m-n parametreye bağlı sonsuz çözüm vardır. nn boyutlu bir alt matrisin (A1) tersi alınarak çözülür.

ii.r(A)=r(A:b)=r (r<n), ise m-r parametreye

bağlı sonsuz çözüm vardır. rr boyutlu bir alt matrisin (A₁) tersi alınarak çözülür.

b. r(A)≠r(A:b) ise çözüm yoktur.

Doğrusal Denklem Sisteminin Ters Matrisler ile Çözümü

3. Dikdörtgen sistem m<n

Katsayılar matrisinin (boyutu mn) tersi A^-1 bulunamaz:

r(A) ve r(A:b) hesaplanmalıdır.

a. i.r(A)=r(A:b)=m ise n-m parametreye bağlı sonsuz çözüm vardır. mm boyutlu bir alt matrisin (A₁) tersi alınarak çözülür.

ii.r(A)=r(A:b)=r ise (r<m), n-r parametreye

bağlı sonsuz çözüm vardır. rr boyutlu bir alt matrisin (A₁) tersi alınarak çözülür.

b. r(A)≠r(A:b) ise çözüm yoktur.

Doğrusal Denklem Sisteminin Determinantlar ile Çözümü

Doğrusal denklem sistemlerinin

determinantlar kullanılarak gerçekleştirilen çözümü CRAMER YÖNTEMİ olarak adlandırılır.

Genellikle m=n olan sistemlere uygulanır.

Bazı ara işlemler ile dikdörtgen sistemlere de uygulanabilir.

Doğrusal Denklem Sisteminin Determinantlar ile Çözümü

Teorem (Cramer Yöntemi): Denklem sayısı n bilinmeyen sayısı n olan bir homojen olmay denklem sistemi için eğer, ^{A  0} ise sistemin tek

bir çözümü:

1

x1  A

A , ^x₂ ^{ A2}

A ,…, xn  Aⁿ A

vardır. Burada Ai matrisleri i-inci sütun yerine sabitler sütunun konulması ile elde edilmiştir.

HOMOJEN DENKLEM SİSTEMLERİ

Teorem: Homojen doğrusal denklem sistemleri daima sıfır çözümü denilen;

0 ,

, 0 ,

0 ₂

1  x  x_n 

x 

bir çözüme sahiptir. Sıfır olmayan bir çözüm ancak ve ancak A matrisinin rankı, r(A)=r, bilinmeyen sayısı n değerinden küçük r<n ise vardır.

HOMOJEN DENKLEM SİSTEMLERİ GEOMETRİSİ: İki Boyut

Homojen denklem sistemi n=2 için

2 0

12 1

11x  xa 

a

2 0

22 1

21x  xa 

a

Bu iki denklem orijinden geçen birer doğruyu belirler. İki durum söz konusudur:

a. Doğrular sadece orijinde kesişir (sıfır çözüm) b. Doğrular çakışıktır (sonsuz çözüm)

HOMOJEN DENKLEM

SİSTEMLERİ GEOMETRİSİ: İki

Boyut

HOMOJEN DENKLEM

SİSTEMLERİ ÇÖZÜMLER

Teorem: Bir kare m=n homojen doğrusal denklem sistemi ancak ve ancak katsayılar matrisi tekil

 0

A ise sonsuz çözüme sahiptir.

Teorem: Bir homojen doğrusal denklem sisteminde eğer kare m<n ise sonsuz çözüm daima vardır.

Rank ve boyutlar için mümkün durumlar a. r=m=n için tek çözüm sıfır çözümdür.

b. r=n<m için tek çözüm sıfır çözümdür.

c. r=m<n için sonsuz çözüm vardır.

d. r<m,n için sonsuz çözüm vardır.