Doç. Dr. Cihan Demir. Makina Dinamiği. A-Blok 509

(1)

Makina Dinamiği

Doç. Dr. Cihan Demir Makina Dinamiği

A-Blok 509

(2)

Dersin İçeriği :

Makinaların dinamiğinde temel kavramlar, Kinematik ve dinamik problemlerin tanımı, Mekanik sistemlerin

matematik modeli, Makinalarda kuvvet analizi, Güç dengelenmesi (volan), Rotorlarda kütle denegelenmesi, Peryodik çevrimli mekanizmaların kütle dengelenmesi (Krank-Biyel mekanizmaları), Tek serbestlik dereceli sistemlerin sönümsüz, sönümlü ve zorlanmış titreşimleri Dersin Amacı : Makinaları dinamik açıdan incelemek için gerekli bilgileri öğretmek,

Dersin Kazandıracağı Bilgi ve Beceriler: Makina

dinamiği problemlerini tanıma, analiz ve çözüm yapabilme

becerisi

(3)

• Rao Singiresun S.,Mechanical Vibrations , Prentice Hall,ISBN: 0130489875

• Fuat Pasin, Makina Dinamiği, Seç Kitap Dağıtım.

• Fuat Pasin, Mekanik Sistemler Dinamiği, İTÜ.

• Kinematics, Dynamics and Design of Machinery K.J. Waldron and G.L. Kinzel,John Wiley & Sons 2004.

(4)

GİRİŞ

1

BÖLÜM Makina Dinamiği

(5)

Verilen kuvvetler etkisi altında makina uzuvlarının hareketlerinin incelenmesi veya

hareketin önceden belirlenen bir tarzda gerçekleşmesi için gerekli şartların

bulunmasıdır.

(6)

Makine: Kendi mekanik kuvvetleri vasıtasıyla tahrik edilebilecek ve belirli hareketlerle belirli

tesirleri ortaya koyması tarzında düzenlenmiş mukavim cisimler topluluğudur.

Mekanizma: hareket ve kuvvet iletmek veya dönüştürmek veya mukavim cisme ait bir noktanın belirli bir yörünge üzerinde hareket

etmesini sağlamak amacıyla birbirlerine

mafsallanmış uzuvlardan oluşan mekanik

düzenlerdir. En az bir uzvu mekanik olarak

tahrik edilebilen bir mekanizma ise makinadır

(7)

Giriş

ç g

P 1

  P 

P

g •Mekanizma

P

_ç

•Enerji • İş

(Enerji)

•Giren enerji=Çıkan enerji + Kayıp enerji

(8)

8

Giriş

Enerji W Nm joul

Güç P Watt

Zaman t s s

     

M Güç P= F V

U I p Q

 

 

 

 







^s

b

t

dt W

P

Enerji

(9)

Kapalı Kinematik Zincir Bir uzvun tespit edilmesi

Mekanizma

F tane uzvun tahriki

Yönlendirilmiş Mekanizma Belli bir iş için kullanılması

Makina

(10)

Şekil 1. Genel amaçlı kullanılan mekanizmalara örnekler

(11)

(12)

Mekanizmalar daha çok düzlemsel mekanizmalardan meydana

gelir. Hacimsel mekanizmalara çok az rastlanır.

Düzlemsel mekanizma denilince derinliği olmayan veya derinliği az olan

mekanizmalar anlaşılmamalıdır.

Bir mekanziamanın çeşitli uzuvlarına ait tüm

noktaların yörüngeleri bir ve aynı düzleme

paralel ise böyle mekanizmalara düzlemsel

mekanizma denir.

(13)

Mekanizma denilince akla katı oldukları varsayılan uzuvlar, uzuvları birbirlerine göre izafi hareket yapabilecek ve devamlı temasta kalacak tarzda bağlayan mafsallar ve diğer organlar akla gelir. Herhangi bir mekanizmada birisi sabit uzuv olmak üzere en az üç uzuv bulunur.

MAFSALLAR

Mekanizma uzuvlarının hareketli bağlantı yerlerine genel olarak mafsal adı verilir.Birbirlerine bağlı parçaların yalnızca izafi

hareket yapmalarını sağlamaktır.

Kinematik Zincir

Eleman çiftleri vasıtasıyla karşılıklı hareket imkanları

sınırlandırılmış katı cisimlerden ibaret uzuvların hareketli topluluğuna kinematik zincir denir..

Makina: Tek başına belli bir işi gören mekanizma veya

(14)

Serbestlik Derecesi

Herhangi bir cismin hareketi dönme ve öteleme elemanter hareketlerinin birleşimi tarzındadır. Üç boyutlu uzayda bir cismin yapabileceği elemanter hareketlerinin sayısı o cismin serbestlik derecesi olarak tanımlanır.

Kinematik Zincirin Serbestlik Derecesi:

Uzuvlardan birine göre diğer uzuvlarının konumlarının

tamamen belirli bir şekilde elde edilebilmesi için verilmesi gereken birbirinden bağımsız parametre sayısıdır.

1 2

3( 1) 2

F  n   e e 

(15)

a) Açık zincir b) Kapalı zincir

Mekanizma Zincirleri

(16)

Mafsal noktaları (Düğüm noktaları)

Değişik mertebeden uzuvlar

(17)

Birinci Mertebeden Çok Katlı Mafsal Döner Mafsallı İkinci mertebeden

(18)

Basit döner mafsal(R) Kızak(P) Kapalı Şekil Kapalı Şekil

(19)

Döner Mafsal Prizmatik Bağlantı Helisel Bağlantı (Kayar Mafsal) (Vida Mafsalı)

Silindirik Bağlantı Küresel Mafsal Düzlemsel Bağlantı Kayar Yuvarlanmalı

1 DOF

(20)

Şekil 2 Rijit gövdeli bir cisim düzlemde üç serbestlik derecesine sahiptir

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

Ödev: Aşağıdaki mekanizmanın serbestlik

derecesini bulunuz.

(28)

Ödev: Aşağıdaki mekanizmanın serbestlik

derecesini bulunuz.

(29)

Makinaların ve mekanizmaların büyük çoğunluğunda aktif kuvvetlerden ve atalet kuvvetlerinden dolayı uzuvlarda doğan ve

makinanın ana hareketine eklenen şekil değişimleri çok küçüktür.

Şekil değişimleri küçük sınırlar içinde kalan katı cisimler için rijit kabulu yapılır.

Bu şekil değişimleri zaman içinde genel olarak

titreşim olarak ortaya çıkar

(30)

Mekanik, hareket olaylarını inceleyen bilim dalıdır.

Statik ve Dinamik olarak ele alınmaktadır.

Mekanizmalarda dinamik durum Makine Mühendisliği’nin temel konuları arasındadır.

Dinamik konuları, kinetik ve kinematik olarak incelenmektedir.

Kinetik, cismin kütlesi göz önüne alınarak cisme tesir eden kuvvetler , momentler ve meydana gelen hareket hareket arasındaki bağıntıları inceler.

Kinematik, kinematiği kuran ve ona bu adı veren Amper’e göre, hareketi doğuran sebepleri, kuvvetleri veya momentleri, kütleleri gözönüne almaksızın yalnız hareketin incelenmesidir. Hareket eden maddesel noktaların veya katı cisimlerin geometrik özelliklerinin değişme tarzını inceleyen bilim dalıdır.

(31)

Kinematikde belirlenmesi gerekenler, her an noktanın veya katı cismin yeri(yörüngesi) hız ve ivmesidir.

Mekanizma, bir fonksiyonu yerine getiren eleman çiftlerinin meydana getirdiği katı cisimler zinciridir.

Makine, en az bir mekanizmadan oluşan katı cisimler zinciridir.

Mekanizmaların kinematik analizlerinde, çoğunlukla uzuvların (elemanların) hareketleri bazı bilgilerle

verildikten sonra her an geometrik yer üzerinde hızların ve

ivmelerin bulunması istenmektedir.

(32)

Dinamik Analiz

Makina uzuvlarının kütle dağılımı, bir andaki konum ve hız durumu önceden verilmiştir.

Bilinen aktif kuvvetleri doğuracağı ivme durumu aranmaktadır.

Dinamik Sentez

Konum, hız durumu, kütle dağılımı ve aktif kuvvetlerden başka bir de mekanizma için belirli bir ivme durumu önceden verilmiştir.

Verilen ön şartlara uygun mekanizmaların

yapımı işini üstlenmiştir.

(33)

1) Mekanizmaların harekete başlaması (Makinanın kalkışı) ve duruşu ile ilgili isteklere göre tamamen belirli dinamik

etkilerin elde edilmesi.(Herhangi bir mafsaldaki Kuvvet kapalılığı)

2) Uygun tedbirlerle, bir volan veya daha başka enerji

depolayıcı elemanlar vasıtasıyla makinanın içindeki enerji akımına öyle tesir edilmelidir ki, tahrik ve çevrimlerde

görülen hız değişimleri mümkün mertebe azalsın. Buna Güç Dengelenmesi denmektedir.

3)Makinanın (mekanizmaların) hareketli uzuvlarının yerleşim

değeri öyle olmalıdır ki, makinanın çalışması esnasında

temele veya makina gövdesine iletilen kuvvetlerin ve

momentlerin zararlı etkileri azaltılabilsin. Buna Kütle

Dengelenmesi (balans) denilmektedir.

(34)

Kinetostatik: Bir makinanın mafsal kuvvetlerinin ve hareketli uzuvlarının herhangi bir kesitindeki iç gerilmelerin belirlenmesi problemi ile uğraşır.

Bu da mukavemet hesapları açısından önem

taşımaktadır.

(35)

TEMEL KAVRAMLAR

1.1

BÖLÜM Makina Dinamiği

(36)

Makine: Kendi mekanik kuvvetleri vasıtasıyla tahrik edilebilecek ve belirli hareketlerle belirli

tesirleri ortaya koyması tarzda düzenlenmiş mukavim cisimler topluluğudur.

Maddesel nokta(noktasal kütleler) : Mekanikte her cisim zihnen Maddesel noktalara ayrılabilir yani noktasal kütlelerden meydana

Gelmiştir.

Maddesel Sistem: Noktasal kütlelerden oluşan topluluğa maddesel sistem ya da mekanik sistem denir.

Makina dinamiği bir maddesel sistemin hareketi problemine girer

(37)

Genelleştirilmiş Koordinatlar (Konum Koordinatları):

Maddesel sisteme ait maddesel noktalar birbirinden bağımsız hareket edebilen serbest noktalar olmayıp karşılıklı hareketleri sınırlandırılmış noktalardır.

Sistemin konumuyla ilgili daha az sayıdaki parametre ile belirlenebilir. Bu parametrelere

Genelleştirilmiş Koordinatlar (Konum Koordinatları)

denir.

(38)

Serbestlik Derecesi: Bir maddesel sistemin konumunu

tamamen belirlemek için verilmesi gereken birbirinden bağımsız genelleştirilmiş koordinat sayısına serbestlik derecesi denir.

Esas Genelleştirilmiş Koordinatlar: Birbirinden bağımsız bu sebeple serbestlik derecesine eşit koordinat denir.

Tali Genelleştirilmiş Koordinat: Çoğu durumda maddesel noktaların fiziksel koordinatlarının hesabında serbestlik

derecesinden daha fazla sayıda genelleştirilmiş koordinat seçmek hesap kolaylığı sağlar. Bu durumda G.K. Arasındaki bağıntıyı veren denklemleride göz önüne almak gerekir.

S.D. den fazla olan koordina sayısına tali koordinat sayısı denir.

(39)

(X₁-X₂)²+ (Y₁ –Y₂)² + (Z₁ –Z₂ )²=L²

(40)

• rp= xi + y j yer vektörü ,

• x= R cos φ + (L-Lp) cosΨ

• y=e + L_psinΨ

• R sinφ + LsinΨ – e = 0

4

I II

n e e F



(41)

4 3

0 3

I II

n e e F



^x

y

O

A

C

B

l1

AB l 2

u

1

2

,

_A

, , ,

_B _C _A

,

_B

,

_C

Oxy x x x y y y kartezyen koordinatları

   

2 2 2

1

2 2 2

2

A A

B A B A

C A B A

x y l

x x y y l

x x x x

y y y y

 

   

  

 

1 1 2

cos cos

sin sin

C C

x l u

y l u

 

 

(42)

Sistemdeki Bağlar ve Bağların Sınıflandırılması Genellikle her maddesel sistemde, sistemin noktasal kütleleri arasında ve sistem noktaları ile mukayese sistemi arasında sistemin hareket serbestliğini sınırlayan bağlar mevcuttur.

İki Taraflı Bağlar: Sistem noktalarının herhangi bir hareketini önlediği takdirde, aynı zamanda bu hareketin doğrudan doğruya zıddını önlüyorsa böyle bağlara iki taraflı bağlar denir.

(43)

Bir hareketi önlemesine rağmen bunun doğrudan doğruya zıddı harekete müsade bağlara ise tek taraflı bağlar denir.

ÇİFT TARAFLI BAĞ

TEK TARAFLI BAĞ

(44)

Sistemin hareket serbestliğini sınırlayan bağlar zamana bağlı ve Zamana bağlı olmayan bağlar olmak üzere iki kısma ayrılır:

•Asılma noktası verilen u=u(t) fonksiyonuna göre hareket eden basit bir sarkaç

•Hareketli eksen takımı Xr ve Yr yi GK olarak seçelim

2 2 2

r r

x  y  l

•OXY eksen takımını seçelim

( ) . .

r r

x x u t y y

G K açıkca t yebaglıdır

  

•O etrafında 𝑎 𝑡 𝑎ç𝚤𝑠𝚤𝑦𝑙𝑎 𝑑ö𝑛𝑒𝑛 𝑏𝑖𝑟 ç𝑢𝑏𝑢𝑘

•ü𝑧𝑒𝑟𝑖𝑛𝑑𝑒 𝑘𝑎𝑦𝑎𝑛 𝑚 kütlesi

•x ve y G.K. y ( )

tn t bag denklemi x 



cos ( ) sin ( ) x q   t y q   t

•M O ya uzaklığı q G.K.

(45)

n Makina Dinamiği

n serbestlik dereceli bir sistemin konumunu n+v tane genelleştirilmiş koordinat ile belirlenmiş olsun.Kartezyen koordinatlar

genelleştirilmiş koordinatlar ve t zamanına bağlı olur.

( , ,..., q q q , ) t

 r r

i i i

x y z

  

r

i

i j k

Yer vektörü gözönüne alınırsa

(46)

1 2

( , ,..., , ) 0, 1, 2,...,

l n

f q q q

__

t  l  

Genelleştirilmiş koordinatlar arasında v tane bağ şartı varsa Bu sistemin bağları holonomdur.

Tali koordinatlar esas genelleştirilmiş koordinatlar ve t cinsinden Çözülür ve yerine konulursa;

1 2

( , ,..., , ) q q q t

_n

i



i

r r

Bağ şartlarının içinde genelleştirilmiş koordinatların türevleri Varsa ve integrasyonla dahi kaldırılamıyorsa böyle sistemlerde Holonom olmayan bağlar mevcuttur ve holonom olmayan

sistemler denir.

(47)

Kartezyen koordinatları, yer vektörleri ve de bağ şartları zamanı Açık olarak içermiyorsa sistemin bağları zamana bağlı değildir.

Bu sistemlere Skleronom denir

1 2

( , ,..., ) q q q _n

i  i

r r

Kartezyen koordinatları, yer vektörleri ve de bağ şartları zamanı açık olarak içeriyorsa sistemin bağları zamana bağlıdır.

Bu sistemlere rheonom denir

(48)

•Merkez yer değiştirmesi x ve φ koordinatları seçilsin

•Kayma olmaması için silindirin düzleme dokunduğu P noktasının hızının sıfır olması gerekmektedir.

. .. . .

.

( , ) 0

0; 0

f x x r

df x r c d q

 



  

   

(49)

(50)

Sistemin sınırına göre kuvvetler iç ve dış kuvvet olarak alınabilir.

Kuvvetlerin Sınıflandırılması

İç Kuvvetler: Sistemin kendisinden yani sisteme ait Maddesel noktalar arasındaki karşılıklı etkileşimden Doğar. Elastik kuvvetler, Bağ kuvvetleri.

Dış Kuvvetler: Sisteme dışında bulunan noktalardan veya Sistemlerden uygulanan kuvvete denir. Ağırlık kuvveti,

takım tezgahında parcanın kesici takıma gösterdiği mukavemet

Aktif Kuvvetler: Ağırlık, tahrik ve faydalı kuvvetler

Gibi belirlenmeleri için gerekli bütün elemanlar belli olan Veya doğrudan doğruya verilen kuvvetler bu sınıfa aittir.

Bağ Kuvvetleri: Yalnızca harekete konan sınırlamaları korumak için mevcut olan ve hareket sınırlnadırmalarına bağlı olarak ortaya çıkar.

(51)

Kuvvetlerin Sınıflandırılması

• İç dış kuvvet ayırımı kuvvetlerin doğaları ile ilgilidir. Örneğin şekildeki 2 parçacığının uyguladığı f₁₂kuvveti A sistemi için bir iç kuvvet, B sistemi için bir dış kuvvettir. 3 parçacığının 1 parçacığına uyguladığı f₁₃ kuvveti ise hem A ve hemde B sistemi için bir iç kuvvettir. Buna karşılık 4 parçacığının 1 parçacığına uyguladığı f₁₄kuvveti her iki sistem için de

A

B 1

2

4 3

f₁₂

f₁₄ f₁₃

(52)

KUVVETLERİN SINIFLANDIRILMASI (iç kuvvet – dış kuvvet)

F₁ F₂

A B

Makinanın gövdesi sisteme dahilse hareketli uzuvlarla gövde arasındaki bağlantıyı oluşturan yataklardaki yatak kuvvetleri iç kuvvetlerdir.Yalnız hareketli uzuvlar sisteme dahilse yani gövde sistemin dışında ise yatak kuvvetleri

dış kuvvetlerdir.

(53)

• Sistemlerin bazıları hareketlerini kısıtlayan engellerin bulunduğu ortamlarda hareket etmek zorundadır. Ortamdaki engelin hareket eden cisme, olası bütün hareketlere dik doğrultuda uyguladığı bir N temas kuvvetidir.

• Sistemin bağları zamana bağlı değilse, bağ kuvvetleri hareket doğrultusuna dik olduğundan iş yapmazlar.

N

N N

N

N dr

dr dr

(54)

Sürtünme Kuvvetleri

Birbirlerine temas eden cisimlerin bağıl olarak dengede bulunması halinde denge sürtünmesinden aksi halde hareket sürtünmesinden söz edilir.

Atalet Kuvvetleri

Bir Makinanın Kuvvet Alanı

• KÜTLESİ M OLAN BİR NOKTASAL KÜTLENİN İVMESİ a İSE , -ma BÜYÜKLÜĞÜNE BU MADDESEL NOKTANIN ATALET KUVVETİ ADI VERİLİR.

• BİR MADDESEL SİSTEM SÖZ KONUSU OLUNCA, HER NOKTASAL KÜTLEYE KENDİ KÜTLE VE İVMESİYLE ORANTILI BÜYÜKLÜKTE, İVME İLE AYNI DOĞRULTUDA VE TERS YÖNDE OLMAK ÜZERE TESİR EDEN KUVVETLERDEN İBARET BİR ATALET KUVVVETLERİ SİSTEMİ SÖZ KONUSUDUR.

(55)

Kuvvetlerin Sınıflandırılması

Gerçek Kuvvetler-Kurgusal Kuvvetler:



•X

•Y

•Z

•B

•x

•z •y

•r

•m •a_b

•v_b

•a

B

 •Hareketli eksen takımı

•Eylemsizlik eksen takımı

(56)

Kuvvetlerin Sınıflandırılması

 

2

2 2

B b

e B b

F ma

a a r r v

F m a r r v

F m a r r v

   



       

         

          

 

 ^r 

m

F

_m

     

•Eylemsizlik kuvveti

b

c

m v

F   2  

•Merkezkaç kuvveti •Coriolis kuvveti

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(62)

(63)

RİJİT CİSİMLERDE KÜTLE VE KÜTLE DAĞILIMI

Bir rijit cisim, V hacmi boyunca dağılmış olan dm kütle elemanlarının oluşturduğu bir bütündür. Her hacim elemanında, elemanter kütlenin elemanter hacime oranına yoğunluk adı verilir.

• ρ= dm/dV

Yoğunluk cisim içerisinde noktadan noktaya değişebilir (ρ= ρ(x,y,z)). Bu durumda cismin heterojen bir cisim olduğu söylenir. Özel olarak yoğunluğun cisim boyunca sabit olması halinde ise homojen bir cisimden söz edilir aşağıdaki şekilde hesaplanan m skaleri rijit cismin kütlesi adını alır. ro sabit olacağından entegral alındığında ;

m dm dv V

(64)

RİJİT CİSİMLERDE KÜTLE VE KÜTLE DAĞILIMI

dm, dv x

dm, dv

n i 1 i

D D

m dm dm dv dm

dv

Cisim homojen ise m=ρV

•

(65)

RİJİT CİSMİN KÜTLE MERKEZİ

• Rijit cismin, yer vektörü ( entegraller cismin uzama boyunca alınmak üzere )

• S=(∫r dm)/(∫dm) = 1/m ∫r dm

• Şeklinde tanımlanan S noktasına dijit cismin kütle merkezi adı verilir. Bu vektörsel denklem yerine, istenirse, kütle merkezinin koordinatlarını veren

• xs=(1/m) ∫x dm ; ys=(1/m) ∫y dm zs=(1/m )∫z dm

• skaler bağıntılarıma yazılabilir.

(66)

RİJİT CİSMİN KÜTLE MERKEZİ

x y

12 6

8 4

4

m = ρ V

V= ( 4 x 12)+ (8 x 4) = 80

m = 80. 1 = 80 [m³x kg/m³]=80 kg

x_s=(1/80)( 6x48 + 6x32 )=6 Y_s=(1/80)( 2x48 + 8x32 )=4,4

(67)

RİJİT CİSMİN KÜTLE MERKEZİ

x y

x dm , A

L s

0

L 2

L

s 0

0

2 2

s

x 1 x dm dm dV

m

dv A.dx dm .A.dx

1 .A x

x x dx ( )

m m 2

.A L v L L

x . .

m 2 L.m 2 2

(68)

RİJİT CİSMİN EYLEMSİZLİK TANSÖRÜ

• Rijit cisimlerin kütle dağılımının kinetik bakımdan önem taşıyan özelliklerine ilişkin bilgiler, eylemsizlik tansörü adı verilen bir I tansörü ile ifade edilebilir. Bu matrisin köşegenini oluşturan ifadelere eylemsizlik momenti (atalet momenti) I

_ββ

adı verilir. Köşegen dışı elemanlar ise atalet çarpımı olarak adlandırılır ve tümü aşağıdaki gibi hesaplanır.

•

(69)

RİJİT CİSMİN EYLEMSİZLİK TANSÖRÜ

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

I I I

I I I I

I I I

2 2

xx

2 2

yy

I (y z )dm

I (x z )dm

xy yx

xz zx

I I xy dm

I I xz dm

(70)

Kütle ve Atalet Elemanları

Bir cismin bir dönme eksenine göre kütlesel atalet momentinin tanımı:

dönme ekseni

D dm

r

2

D

J= r dm

i I atalet yarıcapı

m

(71)

Problem: Orta noktasından mafsallı ve sabit kesitli bir çubuğun kütlesel atalet momentinin bulunması

A x dx

L y

x

L/2

(72)

ÇÖZÜM:

dV=A dx dm=ρ dV

2 D

J= r dm

L L

2 2

L L

- -

2 2

J= ρ A x dx=ρ A x dx

L

3 2 3

-L 2

x 1

J=ρ A = ρ A L 3 12

1 2

m A L J m L 12

Elemanter hacim Elemanter kütle

Kütlesel atalet momentinin tanımından

bulunur.

burada,

(73)

Problem: Bir ucundan mafsallı ve sabit kesitli bir çubuğun kütlesel atalet momentinin bulunması

x y

z

x L

dm, dV, A

m

L 2

0

L 3 L 3

2 0 o

2

I J x dm dm .dV .A.dx

x L

I x . .A.dx .A. .A.

3 3

m .V .A.L I J 1mL

3

Sabit kesitli homojençubuğun uçnoktasından dönmesinden kaynaklanan atalet momenti

(74)

Problem: Bir diskin dönme eksenine göre kütlesel atalet momentinin bulunması.

r dr

R

dA

L dΦ

Ф

(75)

Çözüm:

Elemanter alan Elemanter hacim

Elemanter kütle

dA=r.sin dθ.dr

dV=L.dA=L. r. sin dθ.dr

dm=ρ.dV=ρ.L.r.sin dθ.dr dm=ρ.Lr.dθ.dr bulunur.

sin d d

2π R

2 3 4

D 0 0

J= r dm= ρ.L.r .dθ.dr= ρ.L.π.R1 2

2 1 2

m .V . .R .L J m.R 2

(76)

RİJİT CİSİMLERİN BİR EŞDEĞER MADDESEL NOKTALAR SİSTEMİNE İNDİRGENMESİ

• Maddesel nokta(noktasal kütleler) : Mekanikte her cisim zihnen maddesel noktalara ayrılabilir yani noktasal kütlelerden meydana gelmiştir.

• Böyle noktasal kütlelerden oluşan

topluluğa maddesel noktalar sistemi veya

kısaca maddesel sistem veya mekanik

sistem adı verilir.

(77)

Rijit cismin eylemsizlik özelliklerini tanımlamak için kütlesi, kütle merkezi ve eylemsizlik tensörünü vermek yeterlidir. Kütlesi, kütle merkezi, eylemsizlik tensörü birbirinin aynı olan iki rijit cisim

dinamik bakımdan aynı özelliklere sahiptir. Makine dinamiği problemlerinde bu özellikten yararlanarak bir rijit cismin yerine,

birbirine hayali bağlarla bağlı bir dizi maddesel noktanın oluşturduğu bir sisteme geçilebilir. Buna rijit cismin bir eşdeğer maddesel noktalar sistemine indirgenmesi denir.

Bu uygulama özellikle söz konusu maddesel noktaların arzu edilen uygun yerlere yerleştirilebilmesi halinde yarar sağlar.

Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi

(78)

Rijit cismin bir eşdeğer maddesel noktalar sistemine indirgenmesi

y

x

z m, I^s

m₁

m₂

m₃

m₄ m₅

m₆

x y

z

s s

GERÇEK SİSTEM

İNDİRGENMİŞ SİSTEM

(79)

Rijit cismin bir eşdeğer maddesel noktalar sistemine indirgenmesi

n

i i 1

n n n

i i i i i i

i 1 i 1 i 1

n n n

2 2 s 2 2 s 2 2 s

i i i x i i i y i i i z

i 1 i 1 i 1

Her cis min kütlesi bulunur.

m m

Her cis min ağırlık merkezi bulunur.

m x 0, m y 0, m z 0 .

Her cis min kütlesel atalet momenti bulunur

m (y z ) I , m (x z ) I , m (x y ) I

n n n

(80)

Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi

Şart denklemleri

1 1 1 1

; 0; 0; 0;

n n n n

i i i i i i i

i i i i

m m m x m y m z

   

   

(81)

Düzlemsel hareket yapan cisimlerin maddesel noktalara indirgenmesi

• Hareketli makine uzuvları çoğunlukla düzlem üzerinde hareket ettiği için bu özel hali inceleyelim. Bir dijit cismin bütün noktalarının yörüngeleri birbirine paralel düzlemler içinde kalacak şekilde hareket ediyorsa bu cismin düzlemsel hareket yaptığı söylenir.

• Düzlemsel hareket yapan bir cisim düzlem içerisinde yer alacak bir dizi maddesel noktaya aşağıdaki şekil ve formülasyonla indirgenebilir.

(82)

Düzlemsel hareket yapan cisimlerin maddesel noktalara indirgenmesi

x y

m, I_s

x y

m₁ m₂

m₃ m₄

s

(83)

Düzlemsel hareket yapan cisimlerin maddesel noktalara indirgenmesi

n

i i 1

n n

i i i i

i 1 i 1

n 2 2 s 2

z s

i i i

i 1

s2

m m

m x 0, m y 0

m (x y ) I mi

I(atalet momenti)

i

(84)

Düzlemsel hareket yapan cisimlerin maddesel

noktalara indirgenmesi

(85)

x y

A B

M_A L_A s X_B M_B

Bilinmeyenler = x

_A

, y

_A

, m

_A

; x

_B

, y

_B,

m

_B

.

N=2 adet noktaya indirgenecek

3 x n = 3 x 2 = 6 adet bilinmeyen vardır.

Bilinmeyenlerden herhangi ikisini biz

örnek : iki noktaya indirgeme

(86)

•Yukarıdaki denklemler kullanılarak M_A, M_B, Y_B, ve X_B aşağıdaki gibi bulunur.

A B

A A B B

A B B

2 2 2 2

A A B B B s

1 ) m m m

2 ) m L m x 0 3 ) m .0 m y 0

4 )m [( L ) 0] m (x y ) mi

Düzlemsel hareket yapan cisimlerin maddesel noktalara indirgenmesi

örnek :

(87)

Düzlemsel hareket yapan cisimlerin maddesel noktalara indirgenmesi

örnek :

B

2 B B s

A

B B

A

A B

A A

B

A B

y 0 x L i

L

L L

m m m

L L L

L L

m m m

L L L

Hesaplanır. Buna göre düzlemsel hareket yapan bir dijit cismi, kütle merkezinden geçen bir doğru üzerine her biri kütle merkezinin bir yanında kalacak şekilde yerleştirilecek iki maddesel noktadan oluşan bir maddesel noktalar sistemine indirgenebileceği

(88)

(89)

Düzlemsel hareket yapan cisimlerin maddesel noktalara indirgenmesi

örnek : Üç noktaya indirgeme

x y

A s B

M_A L_A m_s L_B MB

(90)

Düzlemsel hareket yapan cisimlerin maddesel noktalara indirgenmesi

örnek : Üç noktaya indirgeme

İndirgeme noktaları A,B, ve cismin kütle merkezi

S olsun Problemin M

_A,

X

_A

,Y

_A

, M

_B,

Y

_B,

X

_{B ,}

M

_s

,Y

_s

, X

_s,

şeklindeki bilinmeyenlerin

• s= 3 x 3 -4 = 5 tanesi keyfi olarak seçilebilir.

• İndirgeme noktalarından birinin S olarak

seçilmesiyle zaten x

_S

=0, y

_S

=0 şeklinde iki keyfi seçim yapılmış durumdadır. Buna ek olarak

• x

_A

=-L

_A

, y

_A

=0, x

_B

=L

_B

seçimlerini yapalım

(91)

Düzlemsel hareket yapan cisimlerin maddesel noktalara indirgenmesi

örnek : Üç noktaya indirgeme

A B S

A A B B

B B

2 2 2 2

A A B B B s

m m m m

m L m L 0 m y 0

m L m (L y ) mi

(92)

Düzlemsel hareket yapan cisimlerin maddesel noktalara indirgenmesi

örnek : Üç noktaya indirgeme

B

2 2

s s

A

A A B A

2 2

s s

B

B A B B

2 s s

A B

y 0

i i

m m m

L (L L ) L L

i i

m m m

L (L L ) L L m 1 i

L L

(93)

Örnek Problem

Şekildeki üç çubuk mekanizmasında;

r₂=50 mm, r₃= 200 mm, r₄=150 mm, a₂=25 mm, a₃= 100 mm, a₄=50 mm, m₂=0,1 kg , m₃= 0,5 kg , m₄=0,3 kg , i_s2 = 20 mm; i_s3 = 80 mm; i_s4 = 50 mm;

S₂

S₃ S₄

r₂

r₄ r₃

a₂

a₃

a₄ A

B

AO Boa

(94)

Çözüm ;

m_B⁽³⁾

2 no.lu çubuk

3 no.lu çubuk

4 no.lu çubuk

m_Ao⁽²⁾ m_s2⁽²⁾

m_A⁽²⁾

m_A⁽³⁾

m_s3⁽³⁾ m_B⁽⁴⁾

m_s4⁽⁴⁾

m_Bo⁽⁴⁾

(95)

Çözüm ;

2 no.lı uzvu ele alalım

2 2

2 s2

Ao 2

2 2

(2) s2

A 2

2 2 2

(2) (2) 2

s2 2 Ao B

i 20

m m 0,032kg

a r 25.50

i 20

m m 0,032kg

(r a )r 25.50

m m (m m ) 0,1 2*0,0032 0,036kg

elde edilir. Benzer hesaplamaların 3,4 numaralı

(96)

3 no.lı uzvu ele alalım

2 2

3 s3

A 3

3 3

2 2

(3) s3

B 3

3 3 3

(3) (3) 3

s3 3 A B

i 80

m m 0,16kg

a r 100*200

i 80

m m 0,16kg

(r a )r 200*100

m m (m m ) 0,5 (0,160 ,0,160) 0,18

(97)

4 no.lı uzvu ele alalım

2 2

4 s4

B 4

4 4

2 2

(4) s4

Bo 4

4 4 4

(4) (4) 4

s4 4 B Bo

i 50

m m *0,3 0,05kg

a r 50*150

i 50

m m *0,3 0,10kg

(r a )r 100*150

m m (m m ) 0,3 (0,05 0,10) 0,15kg

(98)

İndirgenmiş hal

2 no.lı çubuk

3 no.lı çubuk

4 no.lı çubuk

m_Ao⁽²⁾ m_s2⁽²⁾

m_A⁽²⁾

m_A⁽³⁾

m_s3⁽³⁾ m_B⁽⁴⁾

m_s4⁽⁴⁾

m_Bo⁽⁴⁾

(2)

s2 s2

(2) (3)

A A A

(3)

s3 s3

(3) (4)

B B B

m m 0, 036 kg

m m m 0,192 kg

m m 0,180 kg

m m m 0, 210 kg

(99)

(100)

Virtüel Yer Değiştirme

Bir mekanik sistemde, genelleştirilmiş koordinatların sonsuz küçük ve sistemin tabi olduğu sınır şartlarının verilmiş bir t anındaki durumlarıyla bağdaşmak kaydıyla keyfi değişimlerin sonucu ortaya çıkan yer değiştirmelere virtüel yer değiştirme denir.

Buradaki virtüel terimi, sisteme etkiyen kuvvet ve kısıtların da değişime uğrayabileceği bir dt zaman aralığında oluşacak gerçek sonsuz küçük yer değiştirmelerle ayırımı vurgulamaktadır. (Virtüel yer değiştirmede kısıtlar ilgilenilen t anındaki durumlarında donmuş kabul edilir.)

(101)

f serbestlik dereceli ve reonomik bir sistem üzerindeki bir noktanın yer vektörü;

dir. Bu noktanın gerçek sonsuz küçük (diferansiyel) yer değiştirmesi;

şeklindedir. Virtüel yer değiştirme tanımı gereği dt zaman aralığında oluşacak değişimlerden etkilenmeyeceğinden,

Virtüel Yer Değiştirme



₁ ₂ _f



r r q ,q ,...,q ; t 

f

j

j 1 j

r r

dr dq dt

q t



 

 

 



f f

j j

r r r

dr  ^ dq  ^ dt  r  ^ q

  



^•0



(102)

102

Buradan hemen anlaşılacağı gibi, reonomik sistemlerde gerçek yer değiştirmelerle virtüel yer değiştirmeler her zaman bir birinden farklıdır.

Öte yandan, f serbestlik dereceli skleronomik bir sistem göz önüne alınırsa,

gerçek sonsuz küçük yer değiştirmeler bu kez aşağıdaki şekli alır.

Virtüel Yer Değiştirme



1 2 f



r r q ,q ,...,q 

f

j

j 1 j

dr r dq

 q

 





(103)

Virtüel yer değiştirme ise, reonomik sistemin virtüel yer değiştirmesi ile aynıdır. Hemen görüleceği gibi iki ifade aynı görünümde olup aralarındaki tek ayırım dq_j lerden farklı olarak lerin tanım gereği keyfi oluşudur. Olası keyfi seçimlerden biri de seçilmesidir. Buna göre, skleronomik sistemlerde gerçek sonsuz küçük yer değiştirme olası virtüel yer değiştirmelerden biridir.

Virtüel Yer Değiştirme

qj



j j ; j=1,2,... , q  dq .. f



(104)

104

Virtüel İş

Bir mekanik sisteme etkiyen bir kuvvetin sistemin bir virtüel yer değiştirmesi sırasında yapacağı işe bu kuvvetin virtüel işi denir.

veya,

W F r

  

x y z

f f f

x j y j z j

j 1 j j 1 j j 1 j

W F x F y F z

x y z

W F q F q F q

q q q

   

  

  

        

                          

(105)

Bağ Kuvvetleri

N=Normal kuvvet T=Teğetsel kuvvet R=Bileşke kuvvet

(106)

Virtüel İşler İlkesi

•Bir mekanik sistemin dengede olmasının gerek ve yeter koşulu üzerine etkiyen kuvvetlerin virtüel işleri toplamının, olası bütün virtüel yer değiştirmelerde sıfır olasıdır.

•F_i

ri



i i i

i i

W W F r 0

       

(107)

(108)

(109)

Virtüel İşler İlkesi

•Bir sisteme etkiyen kuvvetler verilen ve kısıt kuvvetleri şeklinde ikiye ayrılır.

v k

i i i

F  F  F

v k

i i i i

i i

W F r F r 0





 



 



•0

•İdeal kısıtlara sahip sistemlerde kısıt kuvvetlerinin yaptığı virtüel işler toplamı sıfırdır.

v

i i

i

W F r 0

    

•İdeal kısıtlara sahip bir mekanik sistemin dengede olmasının gerek ve yeter koşulu, üzerine etkiyen verilmiş kuvvetlerin virtüel işleri toplamı, olası

(110)

Virtüel İşler İlkesi

•f serbestlik dereceli, q₁, q₂,………,q_f genelleştirilmiş koordinatlara sahip bir holonomik sistemde,

j

f f

i i

i j i j

i j 1 j j 1 i j

Q f

i

j i j j

i j j 1

r r

W F q 0 W F q 0

q q

Q F r W Q q 0 q

   

 

 



     

          

    



   

 

•Burada Q_i, q_i genelleştirilmiş koordinata ait genelleştirilmiş kuvvettir.

•İdeal kısıtlara sahip holonomik sistemlerde statik dengenin gerek ve yeter koşulu

Qj  0 ; j=1,2,...,f

(111)

AC krank mili 20 N, Biyel CB 35 N ağırlığındadır. Uzuvların ağırlıkları pistonu sağa doğru itmektedir. 70 N bir F kuvveti ile sistemi dengede tutmak istersek oluşucak olan θ denge açısını bulunuz.

F kuvvetinin yeri, herbir uzvun ağırlık merkezinin hareketi x_B, y_W1 ve y_W2, koordinatları ile belirlenmektedir.

B negatif x yönünde , δx_B

x_B = 0.5 cosθ + 0.5 cosθ = 1 cosθ δx_B = -sinθ δθ

y_W1=0.25sinθ

δy_W1 = 0.25 cosθ δθ

y_W2=0.25sinθ, δy_W2 = 0.25 cosθ δθ

δU = 0

-20 δy_W1 - 35 δy_W2 - F δx_B = 0

20 (0.25) cosθ δθ + 35 (0.25) cosθ δθ + 70 (-sinθ δθ = 0

(13.75 cosθ - 70 sinθ) δθ = 0 θ = tan^-1(13.75 / 70) = 11.11^o Θ da bir artış (i.e. δθ) x_B de

azalma, ve y_W1 ve y_W2de artış meydana getirir.

Denge durumu krank saat yönü tersi 11.11 derece denge konumu oluşur.

(112)

(113)

(114)

•Seçilen eksen takımının virtüel yer değiştirme ile aynı yönlü olması +, ters yönlü olması -, kuvvetin virtüel yer değiştirme ile aynı yönlü alması +, zıt yönlü -

(115)

Örnek: Şekildeki mektup terazisinin gösterge taksimatının yapılması için sapma açısının tartılacak ağırlığa bağlı olarak hesaplayınız.

G3

G1

G2 •x

•y

•Q

•P’

•O^’

•P

 •O



•G₁:Tartılacak ağırlık OP=O^’P^’=a

•G₂:Kefe ağırlığı PP^’=OO^’