UZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU DÜZLEM

ÜN‹TE – 12

UZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU – DÜZLEM

Uzay y

Uzayda Dik Koordinat Sistemi y

Uzayda Vektörler y

Uzayda İki Vektörün Skaler (İç) Çarpımı y

Uzayda İki Vektörün Vektörel (Dış) Çarpımı y

Uzayda Doğru – Düzlem Denklemleri y

Y

X

r

(a, b, c)

X

Y Z

a b

y = b

x = a

u

A B

C

Evren matematik diliyle yazılmıştır; harfleri üçgenler, daireler ve diğer geometrik biçimlerdir. Bunlar olmadan tek sözcüğü bile anlaşılamaz;

bunlarsız ancak karanlık bir labirentte dolanılır.”

GALİLEO

Uzay

Hepsi birden aynı düzlemde olmayan tüm nokta- ların kümesine uzay denir.

Uzay›n paralel yüz modeli

Uzayda farklı iki noktadan yalnız bir doğru geçer.

¾

A

B

Uzayda herhangi bir doğru üzerinde en az iki

¾

nokta ve dışında en az bir nokta vardır.

A B

C

Uzayda doğrusal (doğrudaş) olmayan farklı üç

¾

nokta bir düzlem belirtir.

A B

C

Uzayda bir düzlemin dışında en az bir nokta vardır.

¾

A H

Uzayda farklı iki nokta bir düzlemde ise; bu iki

¾

noktadan geçen doğrunun tüm noktalarıda bu düzlem üzerindedir.

A

H C B

A ∈ (H) B ∈ (H) C ∈ l ise C ∈ (H) dir.

Uzayda bir

¾ l doğrusu bir H düzleminin alt kümesi ise l doğrusu H düzleminin l doğrusu dışındaki noktalarını iki bölgeye (İki yarı düzleme) ayırır.

Yar› düzlem Yar› düzlem

Yar› düzlemlerin dayanak do¤rusu

Uzayda bir H düzlemi, kendisi dışındaki uzayın

¾

noktalarını iki farklı bölgeye ayırır.

Bu bölgelere H düzleminin belirttiği

¾ açık yarı

uzaylar denir.

Bu açık yarı uzaylardan biri ile H düzleminin bir-

¾

leşimine H düzleminin belirttiği kapalı yarı uzay denir.

H düzlemine de bu yarı uzayların

¾ dayanak düz-

lemi denir.

Alt yar› uzay Üst yar› uzay Yar› uzaylar›n dayanak düzlemi H

Uzayda farklı iki düzlemin bir ortak noktası varsa,

¾

bu noktadan geçen bir ortak doğrusu vardır.

H A (H) (Q) = AB

B

Q

Düzlem Belirtme Aksiyomları



Doğrusal olmayan üç nokta bir düzlem belirtir.

A B

C



Paralel iki doğru bir düzlem belirtir.

A B

C

1 2



Bir doğru ve dışındaki bir nokta bir düzlem belirtir.

A B

C



Kesişen iki doğru bir düzlem belirtir.

A

1 2

C B

"Yukarıdaki son üç madde aslında ilk maddenin sonucudur."

İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları



Paralel olma durumu ;

Aynı düzlemde olup kesişmeyen doğrulardır.

1 2

1// 2



Kesişme durumu ;

İki doğrunun yalnız bir ortak noktası varsa bu doğrulara kesişen doğrular denir.

1 2

K

l₁ ∩ l₂ = {K}



Çakışık olma durumu ;

En az ikişer noktası ortak olan doğrulara çakışık doğrular denir.

2 A B 1



Aykırı olma durumu ;

Farklı düzlemlerde olup kesişmeyen ve paralel olmayan doğrulara aykırı doğrular denir.

1

2 1

2

A B

C D

B A

ekil I ekil II

Yukarıdaki Şekil I ve Şekil II deki l₁ ve l₂ aykırı doğrulardır.

İki Düzlemin Birbirine Göre Durumu



Paralel düzlemler :

Ortak noktası olmayan düzlemlerdir.

H₁

(H₁) // (H₂) (H₁) (H₂) = Ø H₂



Kesişen düzlemler :

Ortak noktaları bir doğru üzerinde olan düzlem- lerdir.

(H₁) (H₂) = AB A

B

H₁

H2

H₁ ve H₂ düzlemleri AB doğrusu boyunca kesiş- miştir.



Çakışık düzlemler :

Tüm noktaları aynı olan düzlemlerdir.

H₁

H₂

Üç Düzlemin Birbirine Göre Durumları



Üç düzlem birbirine paralel olabilir.

H₁

H₂

H₃

(H₁) // (H₂) // (H₃)



Üç düzlem bir doğru boyunca kesişebilir.

H₁

H₂ H₃



Üç düzlem bir noktada kesişebilir.

H₁

H₂ H₃

K

(H₁) ∩ (H₂) ∩ (H₃) = {K}



Üç düzlem ikişer ikişer birbirine dik olabilir.

H₁

H₂ H₃

(H₁) ⊥ (H₂), (H₁) ⊥ (H₃), (H₂) ⊥ (H₃)



Üç düzlemden ikisi paralel olup üçüncüsü diğer ikisini kesebilir.

H₁

H₂

H₃



Üç düzlem ikişer ikişer şekildeki gibi kesişebilir.

H₁ H₂

H₃

Uzayda Doğrultu

Bir do€ru parças›n›n do€rultusu (tafl›y›c›s›), üzerin- de bulundu€u do€runun do€rultusu ile ayn›d›r.

A B

Yukar›daki [AB] do€ru parças›n›n doğrultusu, AB do€rusunun do€rultusu ile ayn›d›r.

NOT :

Bir do€ru parças›n›n bafllang›ç ve bitiş noktalar›

ayn› ise buna nokta denir.

Noktan›n uzunlu€u olmad›€› için do€rultusu da yoktur.

NOT :

Ayn› düzlemde bulunan iki do€runun do€rultular›

farkl› ise kesiflirler. Fakat, iki do€ru parças›n›n do€rultular› farklı ise kesiflmeyebilirler.

Örne€in :

K B

A

C D

= { K } [AB] [CD] = { }

Uzayda ise;

Paralel doğrular bir denklik sınıfı oluşturur.

¾

2 1

3 4

Yukarıdaki paralel yüz uzay modelinde l₁, l₂, l₃ ve l₄ doğruları herhangi biri ile temsil edilebilir.

Uzayda doğruların paralellik bağıntısının her bir

¾

denklik sınıfı bir doğrultudur.

Uzayda aykırı doğrular, farklı doğrultulardadır.

¾

1

2

121

Ö ^{r n}

^ek

B C

E D A

Yukarıdaki kare piramitte,

a) Aynı düzlemde olan doğru parçalarını b) Aykırı doğru parçalarını

c) Kesişen doğru parçalarını d) Paralel doğru parçalarını belirleyelim.

a) Aynı düzlemde olan doğru parçaları;

[AB], [AC] ve [BC] aynı düzlemdedir.

[AC], [AD] ve [CD] aynı düzlemdedir.

[AE], [AD] ve [ED] aynı düzlemdedir.

[AB], [AE] ve [BE] aynı düzlemdedir.

[BC], [CD], [DE] ve [EB] aynı düzlemdedir.

[AB] ve [AD] aynı düzlemdedir.

[AE] ve [AC] aynı düzlemdedir.

b) Aykırı doğru parçaları;

[AE] ve [BC] aykırıdır.

[AD] ve [BE] aykırıdır.

[AC] ve [BE] aykırıdır.

[AE] ve [DC] aykırıdır.

c) Kesişen doğru parçaları;

[AE] ve [DE] kesişen doğru parçalarıdır.

[AB] ve [AC] kesişen doğru parçalarıdır.

[AE] ve [AC] kesişen doğru parçalarıdır.

[BE] ve [ED] kesişen doğru parçalarıdır.

[BC] ve [CD] kesişen doğru parçalarıdır.

d) Paralel doğru parçaları;

[BE] ve [CD] paralel doğru parçalarıdır.

[BC] ve [ED] paralel doğru parçalarıdır.

122

Ö ^{r n}

^ek

A B

F

D E

C

Yukarıdaki üçgen prizmada,

a) Aynı düzlemde olan doğru parçalarını b) Aynı düzlemde olmayan doğru parçalarını c) Aykırı doğru parçalarını

d) Paralel doğru parçalarını e) Kesişen doğru parçalarını belirleyelim.

a) Aynı düzlemde olan doğru parçaları;

[FD], [FE] ve [DE] aynı düzlemdedir.

[AC], [CB] ve [AB] aynı düzlemdedir.

[FC], [FE], [EB] ve [BC] aynı düzlemdedir.

[FD], [FC], [CA] ve [AD] aynı düzlemdedir.

[DE], [EB], [BA] ve [AD] aynı düzlemdedir.

b) Aynı düzlemde olmayan doğru parçaları;

[DF] ve [BE] aynı düzlemde değildir.

[FE] ve [AD] aynı düzlemde değildir.

[AC] ve [BE] aynı düzlemde değildir.

[AB] ve [FC] aynı düzlemde değildir.

[BC] ve [AD] aynı düzlemde değildir.

[DE] ve [CF] aynı düzlemde değildir.

c) Aykırı doğru parçaları;

[CF] ve [DE] aykırıdır.

[BE] ve [AC] aykırıdır.

[AD] ve [FE] aykırıdır.

[AC] ve [FE] aykırıdır.

[BC] ve [DF] aykırıdır.

d) Paralel doğru parçaları;

[DF] ve [AC] paralel doğru parçalarıdır.

[FE] ve [BC] paralel doğru parçalarıdır.

[AB] ve [DE] paralel doğru parçalarıdır.

[FC] ve [AD] paralel doğru parçalarıdır.

[FC] ve [BE] paralel doğru parçalarıdır.

e) Kesişen doğru parçaları;

[DF] ve [FE] kesişen doğru parçalarıdır.

[DF] ve [FC] kesişen doğru parçalarıdır.

[CF] ve [CB] kesişen doğru parçalarıdır.

[CF] ve [CA] kesişen doğru parçalarıdır.

[AD] ve [AB] kesişen doğru parçalarıdır.

[AD] ve [AC] kesişen doğru parçalarıdır.

[BC] ve [BE] kesişen doğru parçalarıdır.

[BC] ve [BA] kesişen doğru parçalarıdır.

Uzay Aksiyomları :

Farkl› iki noktadan bir tek do€ru geçer.

¾

Do€rusal olmayan 3 farkl› noktadan bir tek düz-

¾

lem geçer.

Bir do€ru ve bu do€ru üzerinde bulunmayan bir

¾

nokta düzlem belirtir.

Kesiflen farkl› iki do€ru bir düzlem belirtir.

¾

Paralel iki do€ru bir düzlem belirtir.

¾

Farkl› iki düzlem kesiflirse arakesitleri bir

¾

do€rudur.

Bir do€ru üzerinde bulunmad›€› bir düzlemi ke-

¾

serse arakesiti bir noktad›r.

Bir do€runun farkl› iki noktas› bir düzlem üzerinde

¾

ise, bu do€runun bütün noktalar› da bu düzlem üzerindedir.

Paralel iki düzlemden biri içindeki her do€ru di€er

¾

düzleme paraleldir.

Paralel iki düzlemden birini kesen bir düzlem

¾

di€erini de keser.

Kesiflen iki düzlemin ikisine de paralel olan bir

¾

do€ru bu düzlemlerin arakesit do€rusuna da pa- raleldir.

Ayn› do€ruya paralel olan iki do€ru birbirine pa-

¾

raleldir.

Bir düzlemin kesiflen iki do€rusuna kesiflme

¾

noktas›nda dik olan do€ru bu düzleme diktir.

Ayn› do€ruya dik olan düzlemler birbirine para-

¾ leldir.

Ayn› düzleme dik olan doğrular birbirine paraleldir.

¾

Bir noktadan geçen ve bir do€ruya dik olan yaln›z

¾

bir düzlem vard›r.

Paralel düzlemlerden birine dik olan do€ru di€er

¾

düzlemlere de diktir.

Uzayda Yönlü Doğru Parçaları

Uzunluğu, doğrultusu ve yönü olan doğru parça- sına yönlü doğru parçası denir.

A B

[AB]

A B

AB

A B

BA

Başlangıç ve bitiş noktaları aynı olan yönlü doğru

¾

parçaları üzerindeki yön ve doğrultu keyfidir.

Yönlü doğru parçaları, başlangıç ve bitiş noktala-

¾

rının belli olmasından dolayı ışından farklıdır.

A B

AB A B

[AB

Işının başlangıç noktası, yönü ve doğrultusu belli

¾

olup bitiş noktası yoktur.

Yönlü doğru parçaları üzerinde

¾ ∼ bağıntısı,

"AB+CD+ABveCD nin doğrultuları, yönleri aynı ve uzunlukları eşittir." biçiminde tanımlanır. ∼ ba- ğıntısı bir denklik bağıntısıdır.

Bir A noktası ve bir

¾ v verildiğinde v AB= olacak

şekilde bir tek B noktası vardır.

v

A

B

A ve B noktası verildiğinde

¾ v AB= olacak şekilde

bir tek v vardır.

v

A

B

Uzunluğu 1 birim olan vektöre

¾ birim vektör denir.

Başlangıç ve bitimi aynı olan yönlü doğru parça-

¾

larının denklik sınıfına sıfır vektörü denir. 0 ya da AA ile gösterilebilir.

Vektörler ile çalışırken denklik sınıflarının tem- silci elemanlarını kullanırız.

Doğrultuları ve uzunlukları aynı, yönleri farklı olan

¾

u ve v için u=–v dir.

Uzaydaki tüm vektörler kümesi

¾ v ile gösterilir.

Uzayda, vektörlerde toplama ve skalerle çarpma

¾

işlemleri ve özellikleri düzlemdekine benzerdir.

Uzayda Vektörlerin Lineer Bağımlı ya da Lineer Bağımsız Olma Durumu

Uzayda doğrultuları aynı olan iki vektör lineer

¾

bağımlıdır yani, biri diğerinin bir reel katı olarak yazılabilir.

d b

c

a

Yukarıdaki uzay modelinde,



a ve b lineer bağımlıdır.



^cved lineer bağımlıdır.

b nü bir pozitif reel sayı ile çarparak a nü elde edebiliriz. c nü bir negatif reel sayı ile çarparak d nü elde edebiliriz.

Uzayda doğrultuları farklı olan iki vektör lineer

¾

bağımsızdır. Yani biri diğerinin bir reel katı olarak yazılamaz.

b a

a ve b lineer bağımsızdır.

Uzayda üçten fazla vektör her zaman lineer ba-

¾

ğımlıdır.

Uzayda

¾ u v w verildiğinde,, , w k u p v= . + .

olacak şekilde k ∈ R, p ∈ R² bulunabiliyorsa bu üç vektöre lineer bağımlı vektörler, bulunamıyorsa li- neer bağımsız vektörler denir.

Örneğin;

a

b 1 birim

2 birim

Yukarıdaki uzay modelinde,

a ile b nün doğrultuları aynı, yönleri terstir.

– . b= 2 a olup

a ile b lineer bağımlıdır diyebiliriz.

Uzayda Dik Koordinat Sistemi

Uzayda bir O noktası ve { , ,u v w } dik birim vektör- leri ile oluşturulan sisteme dik koordinat sistemi denir.

X

Y Z

w v u

1 1

1 O

( , , 0) ( , 0, ) (1, 0, 0) u

e e e v

w 0 1

0 1 ₃

2 1

= =

= =

= =

{O, , ,u v w } ya da XYZ dik koordinat sistemi şek- linde gösterilir.

Uzayda lineer bağımsız vektörler ikişer ikişer birbi-

¾

rine dik ise bu sisteme dik koordinat sistemi denir.

Uzayda bir noktanın yer vektörünün bileşenleri ile

¾

bu noktanın koordinatı aynıdır.

Örneğin;

A(1, 2, 5) ⇒ OA A= =( , , )1 2 5 yazılabilir.

NOT :

Uzayda bütün yer vektörlerinin kümesi R³ ile gösterilir.

Demek ki A(a, b, c) sıralı üçlüsü aynı zamanda başlangıcı orijin ve bitimi A(a, b, c) olan bir vektörü göstermektedir.

O halde, A noktası = A =( , , )a b c yazılabilir.

121

Ö ^{r n}

^ek

A(a, b, c) noktasını XYZ dik koordinat siste- minde göstererek OA A= nü gösterelim.

X

Y Z

A

O

a

b c

A = A = (a, b, c)

122

Ö ^{r n}

^ek

A(1, 0, 0) noktasını XYZ dik koordinat siste- minde gösterelim.

X

Y Z

O

A(1, 0, 0)

123

Ö ^{r n}

^ek

B(0, 3, 0) noktasını XYZ dik koordinat siste- minde gösterelim.

X

Y Z

O B(0, 3, 0)

124

Ö ^{r n}

^ek

C(0, 0, 4) noktasını XYZ dik koordinat siste- minde gösterelim.

X

Y Z

O C(0, 0, 4)

125

Ö ^{r n}

^ek

A(1, 2, 0) noktasını XYZ dik koordinat siste- minde gösterelim.

X

Y Z

O

A(1, 2, 0) 2 1

126

Ö ^{r n}

^ek

B(0, 2, 3) noktasını XYZ dik koordinat siste- minde gösterelim.

X

Y Z

O

B(0, 2, 3)

2 3

127

Ö ^{r n}

^ek

C(1, 0, 5) noktasını XYZ dik koordinat siste- minde gösterelim.

X

Y Z

O C(1, 0, 5)

1 5

128

Ö ^{r n}

^ek

A(–2, 0, 0) noktasını XYZ dik koordinat siste- minde gösterelim.

X

Y Z

O

A(–2, 0, 0)

129

Ö ^{r n}

^ek

B(0, –3, 0) noktasını XYZ dik koordinat siste- minde gösterelim.

X

Y Z

O B(0, –3, 0)

1012

Ö ^{r n}

^ek

C(0, 0, –4) noktasını XYZ dik koordinat siste- minde gösterelim.

X

Y Z

O

C(0, 0, –4)

1112

Ö ^{r n}

^ek

A(2, 3, 5) noktasını XYZ dik koordinat siste- minde gösterelim.

X

Y Z

O

A(2, 3, 5)

3 2

5

1212

Ö ^{r n}

^ek

A(2, 3, –4) noktasını XYZ dik koordinat siste- minde gösterelim.

X

Y Z

O

A(2, 3, –4) 3 2

–4

1213

Ö ^{r n}

^ek

A(–2, –3, 4) noktasını XYZ dik koordinat siste- minde gösterelim.

X

Y Z

O –2 –3

4 A(–2,–3,4)

1214

Ö ^{r n}

^ek

A(–1, –4, –3) noktasını XYZ dik koordinat sis- teminde gösterelim.

X

Y Z

O –1

–3 –4

A(–1, –4, –3)

1215

Ö ^{r n}

^ek

A(–3, 4, –5) noktasını XYZ dik koordinat siste- minde gösterelim.

X

Y Z

O –3

A(–3, 4, –5) –5

4

NOT :

Koordinatlarının üçünün birden sıfır olmadığı noktayı belirlerken önce dikdörtgenler prizmasını çizip sonra koordinat eksenlerini çizmek daha ko- lay bir yoldur.

Örneğin;

Önce kenar uzunlukları 2 birim, 5 birim, 4 bi- rim olan dikdörtgenler prizmasını çizelim.

2 5

4

Şimdi de koordinat eksenlerini çizelim.

4

5 Z

X

O Y

A(2, 5, 4)

2

Uzayın analitik modeli incelendiğinde uzayda sekiz

¾

farklı bölge olduğu görülür.

Z

Y

X

Uzayda İki Vektörün Öklid İç Çarpımı (Skaler Çarpım)

XYZ dik koordinat sisteminde,

A = (a, b, c) ve B = (d, e, f) vektörleri için,

GA, BH = a . d + b . e + c . f ifadesine uzayda Öklid iç çarpımı denir.

A ∈ R³, B ∈ R³ ve k ∈ R için, 1. GA,BH G= B,AH (Simetri özelliği) 2. Gk.A+B C, H=kGA,CH G+ B,CH

(1. yere göre lineerlik)

, ,

, k k

A B C A B A C

G + H G= H+ G H

(2. yere göre lineerlik) 3. GA A, H>0, (A!0)

,

A A 0+A 0

G H= = (Pozitif tanımlılık özelliği)

Uzayda iki vektörün iç (skaler) çarpımı bir reel sa-

¾ yıdır.

Öklid iç çarpımı ile birlikte

¾ R³ e Öklid uzayı denir.

121

Ö ^{r n}

^ek

Uzayda, A=( , – , )1 2 3 veB=( , , – )3 4 5 veriliyor.

GA, BH Öklid iç çarpımını bulalım.

,

GA BH = 1 . 3 + (–2) . 4 + 3 . (–5)

= 3 – 8 – 15 = –20 bulunur.

122

Ö ^{r n}

^ek

Uzayda, A=( , – , )3 1 4 veB=(k k, +1 2, ) veriliyor.

A, B 15

G H= olduğuna göre, k değerini bulalım.

,

GA BH = 15 ise iç çarpım tanımından, 3 . k – 1 . (k+1) + 4 . 2 = 15 yazılabilir.

3k – k – 1 + 8 = 15 2k = 8 ⇒ k = 4 bulunur.

123

Ö ^{r n}

^ek

Uzayda, A , – , veB ( , , – ) 2

3 2 4 6 1 2

=f p = veriliyor.

2A, B

G H iç çarpımını bulalım.

2 ,A B 2 A B,

G H= G H

2 . – . . (– ) 2

3 6 2 1 4+ 2

f p

2(9 – 2 – 8) = –2 bulunur.

124

Ö ^{r n}

^ek

Uzayda GA, BH= olduğuna göre, 3A, 4B6 G H iç çarpımını bulalım.

3 , 4A B 3 . 4 A B,

G H= G H

= 12 . 6 = 72 bulunur.

125

Ö ^{r n}

^ek

X

Y Z

O 2

4

X

Y Z

O ¹

3 A

B

Uzayda yukarıda verilen A ve B için A, BG H iç çarpımını bulalım.

A = (0, 1, 3) ve B = (2, 0, 4) olup ,

GA BH = 0 . 2 + 1 . 0 + 3 . 4 = 12 bulunur.

126

Ö ^{r n}

^ek

A

C D

B X

Y Z

O

Yukarıdaki birim küplerden yapılmış yapıda AB ve DC nin konum vektörlerini bulalım.

A dan B ye x ekseninde pozif yönde 3 birim, y ekseninde 0 birim, z ekseninde negatif yönde 3 birim öteleme yapılmıştır.

O halde, AB =(3, 0, –3) bulunur.

D den C ye x ekseninde negati yönde 3 birim, y ekseninde pozitif yönde 4 birim, z ekseninde negatif yönde 1 birim öteleme yapılmıştır.

O halde, DC =(–3, , –1)4

Uzayda Bir Vektörün Uzunluğu

Uzayda A = (a, b, c) vektörünün uzunluğu

a b c

A = ²+ ²+ ² şeklinde gösterilir.

İrdeleme :

X

Y Z

(0,b,0)

(a,b,0) (a,0,0)

(0,0,c)

O ^c

a2 + b

2

A=(a,b,c)

c a2 + b

2

A A

Taralı dik üçgende Pisagor teoremi ile,

a b c

A ²=a ²+ ²k²+ ² ise

a b c

A = ²+ ²+ ² bulunur.

Uzayda iç çarpım yardımı ile bir vektörün uzunlu- ğu hesaplanabilir.

A = (a, b, c) verilsin.

,

GA AH = a² + b² + c² olup

a b c

A = ²+ ²+ ² bulunur.

O halde, A = GA A, H yazılabilir.

121

Ö ^{r n}

^ek

Uzayda A = (3, 4, 12) vektörünün uzunluğunu bulalım.

1. Yol: ^{A = 32+42+122=13brbulunur.} 2. Yol: ^A = G^{A A,} H olup

. . .

A = 3 3 4 4 12 12+ +

. 13birimbulunur A = 169 & A =

3. Yol :

X

Y Z

O 4

A

3 12

4 A

3

A ¹²

12

3 5 12

3

4

Taralı dik üçgende Pisagor teoremi ile, . 13birimbulunur A = 5²+12²=

122

Ö ^{r n}

^ek

Z

X Y

A

B C

Analitik uzayda izometrik çizimi yapılan ve birim yapı- lardan oluşmuş yapıda A, B, C noktaları işaretlenmiştir.

Buna göre, GAC, ABH iç çarpımını hesaplayalım.

Z

X Y

A

B

C

AC nün konum vektörü AC = (2, 1, –2) AB nün konum vektörü AB =(–2, 3, –1) olup

, . (– ) . (– ) . (– )

AC AB 2 2 1 3 2 1

G H= + +

= –4 + 3 + 2 = 1 bulunur.

123

Ö ^{r n}

^ek

A B

C G H

E

D

8

F

5 4

birim birim birim AB

BC CG

8 5 4

=

=

=

Yukarıdaki dikdörtgenler prizmasındaGAH, HGH iç çarpımını hesaplayalım.

AH nün konum vektörü AH =(–5, 0, 4)

X

Y Z

O –5 4

AH

HG nün konum vektörü HG =(0, 8, 0)

X

Y Z

O

HG 8

, AH HG

G H = –5 . 0 + 0 . 8 + 4 . 0 = 0 bulunur.

124

Ö ^{r n}

^ek

A B

G H

E F

D C

Yandaki şekilde bir kenar uzunluğu 4 bi- rim olan küp verilmiş- tir.

Buna göre, GGE EB, H skaler (iç) çarpımını bu- lalım.

EB nün konum vektörü EB =(0, 4, –4)

X

Y Z

O

EB –4

4

GE nün konum vektörü GE =(4, –4, 0) olup

X

Y Z

O

GE ⁴

–4

, GE EB

G H = 0.4 + 4.(–4) +(–4).0 = –16 bulunur.

125

Ö ^{r n}

^ek

A B

C G H

E

D

6

3 F 4

birim birim birim AB

BC CG

6 3 4

=

=

=

Buna göre, GEC, GAH Öklid (iç) çarpımını bu- lalım.

EC nün konum vektörü EC =(–3, 6, –4)

X

Y Z

O

EC –3

–4

6

GA nün konum vektörü GA =(3, –6, –4)

Y Z

O

GA

3 –6

X

–4

Böylece,

, (–3) . 3 6 . (–6) (–4) . (–4) EC GA

G H= + +

= –9 – 36 + 16 = –29 bulunur.

Uzayda İki Nokta Arasındaki Uzaklık

Uzayda A(a, b, c) ve B(d, e, f) noktaları arasında- ki uzaklık,

|

AB

|

= d(A, B) = ( – )a d²+( – )b e²+( – )c f² ile YA DA

d(A, B) = GAB AB, H ile hesaplanabilir.



Pratik Bilgi

Uzayda A ve B noktaları arasındaki uzaklığı bul- mak için A noktasından B noktasına giderken yapı- lan ötelemelerin bileşkesinden faydalanabiliriz.

+

Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.

Örneğin :

B A

2 3

4

Yukarıdaki dikdörtgenler prizmasında A noktasın- dan B noktasına giderken,

B

A 3

2 4

sa¤a

aa¤›

öne

3 birim sağa, 4 birim aşağıya, 2 birim öne doğru gelinmiştir.

O halde, B noktası uzayın sağ ön ve alt bölgesin- dedir.

Böylece, AB = (2, 3, –4) olup

AB = AB = 2²+3²+(– )4²= 29 birim bulunur.

Örneğin :

A B

3 4 5

Yukarıdaki dikdörtgenler prizmasında A nokta- sından B noktasına giderken,

A B

3 4

5

5 birim sola, 4 birim yukarıya, 3 birim arkaya gi- dilmiştir.

O halde, B noktası uzayın sol arka üst bölgesin- dedir.

Böylece AB = (–3, –5, 4) olup

AB = AB = (– )3²+(– )5²+4²=5 2 birim bulunur.

121

Ö ^{r n}

^ek

Uzayda A(6, 3, 1) ve B(3, –1, –11) noktaları ara- sındaki uzaklığı hesaplayalım.

1. Yol :

|

AB

|

=d(A, B)= ( – )6 3²+(3– (– )1)²+(1– (– )11)²

= 9 16 144+ + ⇒ 169 =13birimbulunur. 2. Yol :

AB = B – A = (3 – 6, –1 – 3, –11 – 1)

= (–3, –4, –12) olup

|

AB

|

= AB = GAB AB, H

= (– ) . (– ) (– ) . (– ) (– ) . (– )3 3 + 4 4 + 12 12

= 13 birim bulunur.

122

Ö ^{r n}

^ek

A B

G H

E F

D C

K

6 3

2 T

Şekildeki küpte

|

AB

|

= 6 birim

|

AK

|

= 3 birim

|

GT

|

= 2 birim

Yukarıda verilenlere göre,

|

KT

|

uzunluğunu bu- lalım.

A B

G H

E F

D C

K

6 3

2 T

6

K noktasından T noktasına giderken, 6 birim sağa

1 birim yukarıya

6 birim arkaya öteleme yapılmıştır.

K 6

T 6

1 yukar›

sa¤a arkaya

O halde,

K noktası uzayın sağ arka üst bölgesindedir.

Böylece, AB =(–6, 6,1) olup (– ) KT

KT = = 6²+6²+1²= 73 br bulunur.

123

Ö ^{r n}

^ek

A B

C G H

E

D

F K 1

3 1

2

Şekildeki dikdörtgenler prizmasında

|

AB

|

= 3 birim

|

BC

|

= 1 birim

|

HK

|

= 1 birim

|

CG

|

= 2 birim Yukarıda verilenlere göre,

|

BK

|

uzunluğunu bu- lalım.

A B

C G H

E

D

F K 1

3 1

2

B noktasından K noktasına giderken,

B K

2

1 2 yukar›

arkaya sola

2 birim sola 2 birim yukarıya

1 birim arkaya öteleme yapılmıştır.

O halde, K noktası uzayın sol arka üst bölgesin- dedir.

Böylece, BK =(–1, –2, 2) olup

(– ) (– ) 3

BK

BK = = 1²+ 2²+2²= birim bulunur.

Uzayda Bir Vektörü Birimleştirmek

Uzayda her A!0 vektörü

A

A biçiminde birim- leştirilebilir.

A

A ifadesine A yönündeki birim vektör denir.

– A

A ifadesine A ile zıt yönde birim vektör denir.



Pratik Bilgi

X

Y Z

O 1 br

A K

:

K A yönündeki birim vektör.

X

Y Z

O 1 br

A

K :

K A ile zıt yönlü birim vektör.

121

Ö ^{r n}

^ek

A = (1, 2 2 , 0) vektörü yönündeki birim vek- törü bulalım.

(1, 2 , 0) 3 br

A= 2 & A = 1 8 0+ + = olup A yönündeki birim vektör

, ,

A A

3 1

3 2 2 0

I= =

f p

^bulunur.

1 3, 2 2 , 03

=

A = (1, ,0)2 2

1

Uzayda İki Vektör Arasındaki Açı

Uzayda iki vektör arasındaki açı, bu vektörlerin başlangıç noktalarının bir P noktasına taşınması ile oluşan açı olarak tanımlanır.

Merkezi P olan birim çemberin, bu açının kenar- ları arasında kalan yayının uzunluğuna iki vektör ara- sındaki açının ölçüsü denir.

X

Y Z

O

A 1 br P

B

A

¾ ve B vektörleri arasındaki açının ölçüsü a ise A ve B nin iç çarpımı,

A

, . B . cos

GA BH= a, 0 ≤ a < π ,

A B 0< <a 2r & G H>0

¾

, 0

2 < < &GA BH<

r a r

¾

, 2 & GA BH 0

i r

= =

¾

121

Ö ^{r n}

^ek

A

B

Yukarıdaki dikdörtgenler prizmasında A ve B arasındaki açıyı bulalım.

A ve B nün başlangıç noktalarını aynı noktaya taşıyalım.

A

B

Böylece bu vektörler arasındaki açı 90° bu- lunur.

Uzayda Bir Vektörün Başka Bir Vektör Üzerine Dik Üzdüşümü

X

Y Z

O

A B

H

B nün A üzerindeki,

a) Dik izdüşüm vektörünün uzunluğu, OH ,

A GA BH

=

b) Dik izdüşüm vektörü,

, .

, OH

A

A B A

G AH

G H

= şeklindedir.

121

Ö ^{r n}

^ek

Uzayda A (1, 2, 4)= – nün B (3, 4, 12)= – üze- rindeki izdüşüm uzunluğunu ve izdüşüm vektörü- nü bulalım.

A =(1,–2,4)

B =(3,4,–12) H

O

İzdüşüm uzunluğu, ,

(– )

OH – – birim

B A B

3 4 12

3 8 48

13 53

2 2 2

G H

= =

+ + =

İzdüşüm vektörü

,

, . . (3, 4, –12)

OH

B B

A B B

9 16 144 53

G H

G H

= =

+ + olup

, , – 169 159

169 212

169

=f 636p bulunur.

Uzayda İki Vektörün Vektörel (Dış) Çarpımı

Bazen uzayda iki vektör verildiğinde bu iki vektö- re dik olan vektöre ihtiyaç duyarız.

Uzayda A ve B nin vektörel çarpımı xA B şek- linde gösterilir.

A = (x₁, y₁, z₁) ve B = (x₂, y₂, z₂) olmak üzere, x

A B = (y₁.z₂–z₁.y₂, z₁.x₂–x₁.z₂, x₁.y₂–y₁.x₂) Sağ el kuralı

¾ ile saat yönünün tersi pozitif yön ola- rak kabul edilir.

İki vektörün vektörel çarpımı bu iki vektöre de

¾ diktir.

A B

A Bx

NOT :

A = (x₁, y₁, z₁) ve B = (x₂, y₂, z₂) olsun.

x e x x

e y y

e z z

A B ¹₁

2 2 1 2

3 1 2

=

1. satıra göre determinantı açarsak,

(y₁.z₂–y₂.z₁)e₁–(x₁.z₂–x₂.z₁)e₂+(x₁.y₂–y₁.x₂)e₃

= (y₁.z₂–y₂.z₁, x₂.z₁–x₁.z₂, x₁.y₂–y₁.x₂) şeklinde yazılabilir.

121

Ö ^{r n}

^ek

Uzayda A = (1, 2, 0) ve B = (–3, 2, 4) veriliyor.

A x B vektörel (dış) çarpımını hesaplayalım.

– x

e e e

A B 1

3 2

2 0

4

1 2 3

=

= (8 – 0) e₁ – (4 – 0) e₂ + (2 – (–6))e₃

= 8 e₁ – 4 e₂ + 8 e₃

= (8, –4, 8) bulunur.

O halde, xA B = (8, –4, 8) vektörü A ve B vek- törlerine diktir.

Karşılaştırma :



Uzayda iki vektörün iç çarpımı bir reel sayıdır.



Uzayda iki vektörün vektörel (dış) çarpımı bir vek- tördür.

Vektörel Çarpımın Özellikleri

Her A , B , C ve k ∈ R için,

1. A Bx =0 + AileB lineer bağımlı ya da A veya B sıfırdır.

2. A Bx =–B Ax

3. Ax(B C+ )=A B A Cx + x 4. (A B+ ) xC A C B C= x + x 5. ( . )k A xB A= x k( . )B =k. (A Bx )

122

Ö ^{r n}

^ek

A (2, 1, 3) ve B 0= – ! olmak üzere, A x B 0= olacak şekilde B nü bulalım.

( , , )a b c

B = diyelim.

x

A B= ise0

– (0, 0, 0)

e

a e

b e

c

2 1 3

1 2 3

=

(– –3 ) – (2 – 3 ) – (– ) (0, 0, 0) e₁ c b e₂ c a +e₃a2b ak= –c – 3b = 0 , 2c – 3a = 0 , 2b + a = 0 c = –3b 2c = 3a a = –2b

b = k dersek a = –2k ve c = –3k olup B = (–2k, k, –3k) bulunur ki bu vektörde,

A ile lineer bağımlıdır.

0 x

A B = olduğundan, ile

A B lineer bağımlıdır.

O halde, B de A ile aynı doğrultudadır.

(2, –1, 3)

A = olduğundan,

(2 , – , 3 )k k k

B = şeklindedir.



Pratik Bilgi

Bir determinantta bir satır diğer satırın bir reel katı ya da bir sütun diğer sütünun bir reel katı ise determinantın değeri sıfırdır.

xA B 0= ise ya A ile B lineer bağımlı ya da 0

A = veya B = dır.0

123

Ö ^{r n}

^ek

Uzayda A ve B için,

( , – , ) x

A B= 3 1 5

olduğuna göre, B x A vektörünü bulalım.

–

x x

A B= B A olduğundan,

x

B A = (–3, 1, –5) bulunur.

A A B =x (3,–1,5)

B

A B =x (–3,1,–5) B

A

124

Ö ^{r n}

^ek

Uzayda, (–3, 2, 7) ( , – , – ) A

B 3 2 7

=

=

olduğuna göre, A x B vektörel çarpımını bu- lalım.

–

– –

3 3

2 2

7

= = 7 olduğundan,

A ile B lineer bağımlıdır.

O halde, A Bx = =0 (0, 0, 0) bulunur.

125

Ö ^{r n}

^ek

Uzayda, (4, 7, –2) (–1, 5, 3) (6, 24, 2)

ö .

vekt rleri veriliyor A

B C

=

=

=

_

`

a bbb bbb

Buna göre, (A B+ ) x C ifadesini bulalım.

( , , – ) (– , , ) ( , , ) olup A B

A B

4 7 2 1 5 3

3 12 1

+ = +

+ =

(6, 24, 2) C =

(3,12,1)

A B+ = nün iki katı olduğundan A B+ ile C lineer bağımlıdır.

O halde, (A B+ )xC= =0 (0,0,0) bulunur.

126

Ö ^{r n}

^ek

Uzayda, (– , , ) ( , , ) A

B

2 0 5 1 2 4

=

=

vektörlerine dik olan vektörleri bulalım.

A ve B ne dik olan vektör xA B ya da xB A dür.

A A Bx

B

A Bx

B A

O halde,

– x

e e e

A B 2

1 0

2 5 4

1 2 3

=

– – – (–10,13, –4)

e 0 5 e e

2 4

2 5 1 4

2 0 1 2

1 2 3

= + =

(10, –13, 4) –

x x

B A= A B= bulunur.

Uzayda Bir Noktanın Bir Doğruya Olan Uzaklığı

10. sınıftan hatırlayalım.

Düzlemde;

A(x₀, y₀) noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna uzaklığı,

ax+by+c=0 A(x₀, y₀)

H

|

AH

|

= d(A, B) =

a b

ax₀ by₀ c

2+ 2

+ +

Uzayda ise;

Bir P noktasının, doğrultmanı u olan bir l doğrusu- na uzaklığı, P₀ doğru üzerinde bir nokta olmak üzere,

X

Y Z

O

P

H

P₀ P₀Pxu

u

PH

u x u P P₀

=

‹spat : 1. Yol :

X

Y Z

O

P

H

P₀ P₀Pxu

u

A(PP₀u) = P Px u 2

1

0 . . .



P

P₀

u

A(PP₀u) = 2

1 P P . u . sin₀ i . . .





^{. ve}



. eşitlikler eşitlenirse, . . sin

x u u

P P₀ = P P₀ i

PP₀H dik üçgeninde sinq = PH P P₀ olup

. .

x u u PH

P P P P

0 0 P P

0

=

PH

u x u P P₀

= bulunur.

2. Yol :

K(x₁, y₁, z₁)

d = (a, b, c) A(x₀, y₀, z₀)

H

x – x₁ a =y – y₁

b =z – z₁ c

Yukarıdaki şekil dikkatlice incelenirse KA vektörü ile d (doğrultman) vektörü arasındaki açının kosinüsü

ile d

KA vektörlerinin skaler çarpımı ile kolayca bulu- nup buradan dik üçgen yardımı ile sinüs değerine ge- çiş yapılabilir.

Böylece sin AK

= AH

a eşitliğinden AH bulunabilir.

121

Ö ^{r n}

^ek

A(3, 2, 5) noktasının,

l : x– y z–

4 1

3 6

2

= + 3

=

doğrusuna uzaklığını bulalım.

l doğrusu üzerinde P₀(1, –6, 3) noktası seçelim.

A(3,2,5)

H P₀(1,–6,3)

u=(4,3,2)

|

AH

|

= d(A, l) = u

x u P A₀

olup

P A₀ = A – P₀ = (2, 8, 2) ve u = (4, 3, 2)

x u

e e e

P A 2

4 8 3

2 2

0

1 2 3

=

= 10e₁+4e₂– 26e₃ = (10, 4, –26) olduğundan,

|

AH

|

= d(A, l) = (– )

4 3 2

10 4 26

2 2 2

2 2 2

+ +

+ +

= 16 9 4

2 25 4 169 + +

+ + ⇒

29 2 198

birim bulunur.

Ö Z E T

Uzayda A noktasının, üzerindeki bir noktası P ve doğrultmanı u olan l doğrusuna uzaklığı

PA xu

P u H

A

|

AH

|

= d(A, l) = u

x u

PA ile hesaplanabilir.

Yukarıdaki çıkarımlar hesaplanırken;



^{PAx u=PAvePAx u=u}



^{PAx u = PA . u . sini}



^{PA . sini= AH}



A(APu) = . PA . u . sin 2

1 i



A(APu) = . PAx u 2

1

ifadelerinden yararlandığımızı düşünelim.

NOT :

A B

P

D C

H K

P noktasının [BC] na uzaklığı

|

PH

|

= x BC BP BC

P noktasının [AB] na uzaklığı

|

PK

|

= x AB AP AB

Uzayda Lineer Bağımsız A ve B Üzerine Kurulu Olan Paralelkenarsal Bölgenin Alanı

A B

A Bx

B sin A

B B sin

T.A A . B .sin ya da T.A A x B

A x B A . B .sin

=

=

= a

a _

`

a bbb bbb

NOT :

Uzayda iki vektörün vektörel çarpımının uzunluğu bu iki vektörün boyları ile arada kalan açının sinüs değerinin çarpımına eşittir.

A x B = A . B . sina

121

Ö ^{r n}

^ek

Uzayda A (1, 2, 3)= – ve B ( 1, 1, 4)= – vektörle- ri üzerine kurulu paralelkenarsal bölgenin alanını hesaplayalım.

A B A Bx

Taralı paralelkenarsal bölgenin alanı A B olupx

= x

– –

( ), – ( – ), ( ) ( , – , ) A B

1 1 1

1 2 1

1 3 4

1 8 3 1 4 3 1 1 2 11 1 3

=a + + k=

O halde, paralelkenarsal bölgenin alanı,

131

121 1 9+ + = br² bulunur.

Uzayda Lineer Bağımsız A, B, C Üzerine Kurulu Paralelyüzlünün Hacim Hesabı

A B

C

O

Yukarıdaki gibi , ,A B C üzerine kurulu paralelyüz- lünün hacmi,

det(A, B, C) ya da GA B Cx , H ifadelerinden biri ile hesaplanabilir.

121

Ö ^{r n}

^ek

Uzayda A=( 2, 3, 5)– , B=(1, 2, 3) ve C=(0, 1, 4) vektörleri üzerine kurulu paralelyüzlünün hacmini hesaplayalım.

A B C

O B = (1,2,3)

C = (0,1,4)

A = (–2,3,5)

det( , , ) – A B C

2 1 0

3 2 1

5 3 4

=

= –2(8 – 3) – 3(4 – 0) + 5(1 – 0)

= –10 – 12 + 5 = –17

O halde paralelyüzlünün hacmi, 17

det( , , )A B C = –17 = br³ bulunur.

UZAYDA DOğrU Ve DÜZLem DeNKLemLerİ

Uzayda Doğru :

Uzayda bir P(x₀, y₀, z₀) noktasından geçen ve doğrultmanı u = (p, q, r) olan doğrunun vektörel denk- lemi,

A = (x,y,z)

X

Y Z

O P

u

OA OP

u k.

l doğrusunun vektörel denklemi,

OA OP k . u= +

(x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + (kp, kq, kr) eşitliğinden,

.

x x kp

y y k

z z kr

parametrik denklemi elde edilir q

0

0

0

= +

= +

= +

_

` a bbb

bbb

x – x₀ = kp, y – y₀ = kq, z – z₀ = kr k lerin eşitlenmesi ile,

– – –

p x x

q y y

r

z z k

0 0 0

= = =

kapalı denklemi elde edilir.

2. Yol :

Uzayda bir P(x₀, y₀, z₀) noktasından geçen ve doğrultmanı u = (p, q, r) olan doğrunun denklemleri aşağıdaki gibi de bulunabilir.

Doğru üzerinde bir nokta A(x, y, z) olsun.

u = (p,q,r)

P(x₀, y₀, z₀) A(x, y, z)

// u

PA olup PAile u lineer bağımlıdır.

O halde, PA =k u. yazılabilir.

Böylece, PA=( –x x y y z z₀, – ₀, – ₀)

. ( , , )

k u= kp kq kr denklemleri ile,

. k u

PA = olup x – x₀ = kp, y – y₀ = kq, z – z₀ = kr k lerin eşitlenmesi ile,

– – –

p x x

q y y

r

z z k

0 0 0

= = = elde edilir.

121

Ö ^{r n}

^ek

Uzayda A(2, –3, 4) noktasından geçen ve u ( 1, 5, 6)= – vektörüne paralel olan doğrunun vek- törel, parametrik ve kapalı denklemlerini bulalım.

A(2, –3, 4)

u = (–1,5,6)

taslak çizimi yukarıdaki gibi olan doğru üzerinde değişken bir P(x, y, z) noktası alalım.

A(2, –3, 4)

u = (–1,5,6) P^{(x, y, z)}

// u AP olup

. k u

AP = vektörel denklemi yazılabilir.

(x – 2, y + 3, z – 4) = (–k, 5k, 6k) eşitliğinden x – 2 = –k, y + 3 = 5k, z – 4 = 6k

–

– lem

x k

y k

z k

Parametrik denk 2

5 3

6 4

= +

=

= +

_

` a bb bb

Parametrik denklemde k lerin eşitlenmesi ile

–

– –

x y z

1 2

5 3

6

= + 4

=

kapalı denklemi elde edilir.

122

Ö ^{r n}

^ek

Uzayda A(2, 3, –4) ve B(1, 2, 5) noktalarından geçen doğrunun vektörel, parametrik ve kapalı denklemlerini bulalım.

A(2, 3, –4)

B(1, 2, 5)

(–1, –1, 9)

AB = vektörü l doğrusunun bir doğrult- manı (doğrultman vektörü) olarak alınabilir.

O halde,

A(2, 3, –4)

AB = (–1,–1,9)

P^{(x, y, z)}

//

AP AB olup AP=k.AB vektörel denklemi,

– –

– –

x k

y k

z k

Parametrik denklem 2

3 4 9

=

= + =

_

` a bb bb

Parametrik denklemde k lerin eşitlenmesi ile –

– – –

x 2 y z

1 3

9 4

1 = = +

kapalı denklemi bulunur.

123

Ö ^{r n}

^ek

Uzayda herhangi bir doğru üzerindeki nokta- ların konumlarını, yer vektörleri ve parametre de- ğerlerine göre gösterelim.

3

X

Y Z

O u

p p+3u p+2u

p+u

p–u p–2u

p–3u 2

1

–1 –2

–3

:

u l doğrusunun doğrultman vektörüdür.

124

Ö ^{r n}

^ek

Uzayda A(–3, 4, 6) noktasından geçen ve u (2, 5, 0)= vektörüne paralel olan doğrunun denk- lemini bulalım.

A^{(–3, 4, 6)}

u = (2,5,0) B(x, y, z)

// u AB olup

Vektörel denklemi AB =k u. yazılabilir.

(x + 3, y – 4, z – 6) = (2k, 5k, 0)

– –

x k

y k

z

Parametrik denklem 3 2

4 5 6 0 + =

=

= _

` a bb bb

Parametrik denklemde k lerin eşitlenmesi ile

– , 6

x y

2 z 3

5 + 4

= = kapalı denklemi bulunur.

125

Ö ^{r n}

^ek

X

Y Z

O

2

A B

C F G

D E

3 4

Yukarıda ayrıtlları 2 birim, 3 birim, 4 birim olan dikdörtgenler prizması şeklindeki kutunun bir kö- şesini dik koordinat sisteminin başlangıcı kabul edersek AC doğrusunun denklemini bulalım.

A(3, 0, 0) ve C(0, 4, 0) olup

X

Y Z

O

A

C 3

4

A(3,0,0)

C(0,4,0)

(–3, 4, 0)

AC = vektörü l doğrusunun doğrultu vek- törü olup

A(3, 0, 0)

AC = (–3,4,0) P^{(x, y, z)}

//

AP AC olup AP=k.AC eşitliğinden,

(x – 3, y, z) = (–3k, 4k, 0)

– –

x k

y k

z

Parametrik denklem

3 3

4 0

=

=

=

_

` a bb bb

Parametrik denklemde k lerin eşitlenmesi ile

–

– , 0

x y

3 z 3

= 4 = kapalı denklemi bulunur.

O halde,

X

Y Z

O

A

C 3

4

:x – 3= –3

y 4 , z = 0

Dikkat edilirse X ve Y eksenlerini kesen doğru denk- leminde z = 0 oluyor.

126

Ö ^{r n}

^ek

X

Y Z

O

2

A B

C F G

D E

3 4

Yukarıda ayrıtları 2 birim, 3 birim, 4 birim olan dikdörtgenler prizması şeklindeki kutunun bir kö- şesini dik koordinat sisteminin başlangıcı kabul edersek GC doğrusunun denklemini bulalım.

G(0, 0, 2) ve C(0, 4, 0) olup

X

Y Z

O 2

C G

4 C(0,4,0)

G(0,0,2)

(0, 4, –2)

GC = vektörü l doğrusunun doğrultu vek- törü olup

G(0,0,2)

P(x,y,z)

GC = (0,4,–2)

//

GP GC olup

. k

GP= GC eşitliğinden,

(x, y, z – 2) = (0, 4k, –2k)

– – x

y k

z k

Parametrik denklem 0

4

2 2

=

=

= _

` a bb bb

Parametrik denklemde k lerin eşitlenmesi ile

–

– , 0

y z

4 2 x

= 2 = kapalı denklemi bulunur.

O halde,

X

Y Z

O 2

C G

4

: y = 4

z – 2 –2 , x = 0

Dikkat edilirse Y ve Z eksenini kesen doğru denk- lemlerinde x = 0 oluyor.

127

Ö ^{r n}

^ek

Uzayda A(1, 2, 3) noktasından geçen ve u = (4, 5, 0) ne paralel olan doğruyu dik koordinat sisteminde gösterelim.

X

Y Z

O ⁵

4 1

2

u A(1,2,3) 3

Uzayda İki Doğrunun Birbirine Göre Konumu

Uzayda doğrultman vektörleri, u = (p, q, r) ve v = (p^ı, q^ı, r^ı) olan

l₁ : – – –

p x x

q y y

r z z ve

0 0 0

= =

l₂ : – – –

p x x

q y y

r z z

›

›

›

›

›

0 0 ›0

= = doğruları verilsin.

u ve v

¾ lineer bağımlı ise doğrular paralel ya da çakışıktır.

1

u

2

v

1 2

u

v

Bu durumda p p

q q

r r

› = › = › yazılabilir.

u ve v

¾ lineer bağımsız ise doğrular kesişir.

1

u

2

v

121

Ö ^{r n}

^ek

l₁ : –

–

x y z

3 1

4 2

2 1

+ = = +

l₂ ^:

– – a

x y z

2 1

2

= + 1

=

doğrularının birbirine dik durumlu olması için a nın değerini bulalım.

l₁ doğrusunun doğrultmanı v₁=(3, 4, –2) l₂ doğrusunun doğrultmanı v₂=( , 2, –2)a l₁ ⊥ l₂ ⇒ Gv v₁, ₂H= olmalıdır.0

3a + 4 . 2 + (–2) . (–2) = 0 3a + 8 + 4 = 0 ⇒ a = –4 bulunur.

122

Ö ^{r n}

^ek

l₁ : –

x y– z

2 1

1 1

= = +1

l₂ ^{: x y z}_m^– 3

1 1

2 3

+ = +

=

doğruları arasındaki açı 60° olduğuna göre, m nin alabileceği değerler toplamını bulalım.

Verilen doğruların doğrultman vektörleri, (2, –1,1) (3,1, )

v₁= ve v₂= m dir.

İki doğru arasındaki açı ile doğrultmanları arasın- daki açı aynı olduğundan,

v , v_{1 2} v . v . cos_{1 2}

G H= a

, v v_{1 2}

G H= 2 . 3 + (–1) . 1 + 1 . m = 5 + m 5 + m = 2²+(–1)²+1 . 3^{2 2}+1²+m . cos60^{2 o} 5 + m = 6. 10 m .

2

2 1 + 10 + 2m = 60 6+ m² 100 + 40m + 4m² = 60 + 6m² 2m² – 40m – 40 = 0

m² – 20m – 20 = 0 ⇒ m₁ + m₂ = 20 bulunur.

123

Ö ^{r n}

^ek

P(4, –2, 3) noktasından geçen ve v =(3, 2, 1)– – ne paralel olan doğrunun denklemini bulalım.

Doğru üzerinde bir T(x, y, z) noktası alalım.

v doğruya paralel olduğundan, // v

PT olur.

– ( – 4, 2, – 3)

T P x y z

PT = = +

// –

– –

v x y z–

PT 3

4 2

2 1

& = + 3

= bulunur.

v = (3,–2,–1)

P=(4,–2,3)

l : –

– – –

x y z

3

4 2

1 3

= +2

=

124

Ö ^{r n}

^ek

A(4, –3, 2) noktasından geçen, v (a, 1, 3)= – – nü doğrultman vektörü kabul eden ve Ox eksenine dik olan doğrunun denklemini bulalım.

Doğrunun Ox eksenine dik olabilmesi için doğrult- man vektörünün birinci bileşeni yani a = 0 olmalıdır.

O halde doğru denklemi, x – 4 = 0,

– –

y z–

1 3

3 + 2

= olur.

125

Ö ^{r n}

^ek

v (2, a, 3)= – nün,

– –

–

x y z

4 1

8 2

6 3

+ = =

doğrusuna paralel olması için a nın değerini bulalım.

Bir vektörün bir doğruya paralel olması demek o doğrunun doğrultman vektörüne paralel olması de- mektir.

v = (2,a,–3) x + 1 4 = y – 2

8 = z – 3 : –6

Doğrunun doğrultmanı u =(4, 8, –6) olduğundan,

// –

v u a –

4 2

8 6

& = = 3 eşitliğinden

a = 4 bulunur.

126

Ö ^{r n}

^ek

Uzayda A(2, 1, 2) ve B (3, 0, –1) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulalım.

– , – , – –

AB=a3 2 0 1 1 2k = (1, –1, –3) olur.

Bu durumda B noktasından geçen ve AB ne paralel olan doğrunun denklemi,

–

– –

x y z

1 3

1 3

= = +1

bulunur.

127

Ö ^{r n}

^ek

Uzayda Z eksenine 4 birim uzaklıktaki nokta- ların koordinatlarını (geometrik yerini) bulalım.

X

Y Z

4

4 4

Z eksenine 4 birim uzaklıktaki noktalar kümesi yarıçapı 4 birim olan bir silindirik yüzeydir.

128

Ö ^{r n}

^ek

A(3, 4, 0) noktasından geçen ve Z eksenine paralel olan doğrunun grafini çizip denklemini bu- lalım.

X

Y Z

O

3

4

A(3, 4, 0)

l doğrusu Z eksenine paralel olduğundan doğ- rultman vektörü u=( , , ) ( , , ) ( , , ) ...0 0 1 = 0 0 2 = 0 0 3 = alı- nabilir.

A(3, 4, 0) u = ^(0,0,1)

O halde, l doğrusunun denklemi,

– –

x y z

0 k 3

0 4

= = 1 = ya da x = 3, y = 4, z = k bulunur.