Düzlemde ve uzayda kinematik geometri

Tam metin

(1)T.C. KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ. DÜZLEMDE VE UZAYDA KİNEMATİK GEOMETRİ. SIDDIKA ÖZKALDI. HAZİRAN 2006.

(2) T.C. KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ. DÜZLEMDE VE UZAYDA KİNEMATİK GEOMETRİ. SIDDIKA ÖZKALDI. HAZİRAN 2006.

(3) ÖZET. DÜZLEMDE VE UZAYDA KİNEMATİK GEOMETRİ. ÖZKALDI, Sıddıka Kırıkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı, Yüksek Lisans Tezi Danışman : Prof. Dr. Halit GÜNDOĞAN Haziran 2006, 123 sayfa. Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş için ayrılmıştır. İkinci bölümde bir sonraki bölümde kullanılacak katı cisim hareketine ait temel kavramlar ele alınmıştır. Bu bölümde düzlem displerini, küresel displeri ve uzay displerini temsil eden matris dönüşümleri tanıtılmış, bu matrislerin karakteristik vektörlerinin, yukarıda ele alınan displerin geometrik olarak sırasıyla pol noktası, dönme ekseni ve vida ekseni olduğu gösterilmiştir. Ayrıca Cayley formülünden yararlanılarak, verilen bir eksen etrafındaki dönmeye karşılık gelen pozitif ortogonal matris bulunmuş ve örneklendirilerek incelenmiştir. Üçüncü bölümde, katı cismin sürekli hareketi, displerin parametrelendirilmiş bir cümlesi ile özdeşleştirilmiştir. Düzlem ve uzay dispinin durumuna göre bir dönmenin açısal hız matrisinin özelliklerini genelleştirmek için tanjant operatörler elde edilmiştir. Bir uzay dispin tanjant operatörü screw adı verilen 6 − boyutlu bir vektörde toplanmış ve IR 4 ün. i.

(4) bivektörleriyle screwler bir tutulmuştur. Dual sayılar, dual vektörler ve dual matrisler tanıtılmış, screw teorinin temel bilgileri verilerek, dual sayı cebiri, screw koordinat dönüşümlerinde kullanılmıştır. Böylece dual ortogonal matrisler tanımlanmış ve bir dual açısal hız matrisinin üsteli olarak bir vida dispi elde edilmiştir. Ayrıca, Clifford Cebir inşaası kurulmuştur. Genel Öklid skalar çarpımı kullanılarak kompleks sayılar ve Hamilton kuaterniyonları sırasıyla düzlem ve uzayın Clifford cebirleri olarak elde edilmiştir. 3 − ve 4 − boyutlu uzaylar için dejenere skalar çarpım kullanılarak düzlem ve dual kuaterniyonları Clifford cebirleri olarak elde edilmiştir. Dördüncü. bölüm tartışma ve sonuç için ayrılmıştır. Anahtar Kelimeler : Hareket, disp, Cayley formülü, tanjant operatörü, screw teori. ii.

(5) ABSTRACT. THE KINEMATIC GEOMETRY ON THE PLANE AND SPACE. ÖZKALDI, Sıddıka Kırıkkale University Graduate School of Natural and Applied Sciences Deparment of Mathematics, M. Sc. Thesis Advisor : Prof. Dr. Halit GÜNDOĞAN June 2006, 123 pages. This thesis consists of four sections. The first section is reserved for indroduction. In the second section, we give basic concepts which is belong to motion of rigid body that we use in the following sections. In this section presents the matrix transformations which represent planar, spherical and spatial displacements. The eigenvectors of these matrices are the pole, rotation axis and screw axis, of the respective displacements as a geometrically. By using Cayley’s formula, a positive orthogonal matris is obtained which is corresponding of rotation about the given axis and are investigated on the related examples. In the third section, the continuous motion of a rigid body identifies with a parameterized set of displacements. In this section the tangent operator is introduced to generalize the properties of the angular velocity matrix of a rotation to the cases of planar and spatial motion. The elements of the tangent operators of spatial motion can be. iii.

(6) reassembled into six dimensional vectors known as screws and the equivalence of screws to bivectors of IR 4 . Thus, dual numbers, dual vectors and dual matrices are also introduced and shown that dual number algebra is presented to screw coordinate transformations. So, dual orthogonal matrix is defined and the screw displacement is obtained as the exponential of a dual angular velocity matrix. Also, it is described the construction of Clifford Algebra. By using general Euclid scalar product, complex numbers and Hamilton’s quaternions are elements of Clifford algebras of the plane and space,respectively. By using degenerate scalar products for three and four dimensional spaces, planar and dual quaternions are found to be Clifford algebras. The forth sections is reserved for discussion and conclusion. Key Words : Motion, displacement, Cayley’s formula, the tangent operator, screw. theory.. iv.

(7) TEŞEKKÜR. Bu çalışmayı vererek, bana araştırma olanağı sağlayan, hazırlanırken zaman ayıran ve çalışmalarımın her aşamasında bilgi ve önerileri ile beni yönlendiren danışman hocam Sayın Prof. Dr. Halit GÜNDOĞAN’ a teşekkürlerimi sunarım.. v.

(8) İÇİNDEKİLER. ÖZET………………………………………………………………………………….i ABSTRACT…………………………………………………………………………iii TEŞEKKÜR…………………………………………………………………………..v İÇİNDEKİLER………………………………………………………………………vi. 1. GİRİŞ……………………………………………………………………………....1 1.1. Kaynak Özetleri………………………………………………………….1 1.2. Çalışmanın Amacı………………………………………………………..2 2. MATERYAL VE YÖNTEM………………………………………………………3 2.1. Katı Dönüşümler…………………………………………………………3 2.1.1 Koordinat Dönüşümleri…………………………………………3 2.1.2. Displer………….………………………………………………6 2.1.3.Referans Çatıların Değişimi…………………………………….8 2.1.4. Homogen Dönüşümler…………………………………………9 2.2. Düzlem Displeri………………………………………………………...11 2.2.1. Koordinat Dönüşümleri……………………………………….11 2.2.2. Bir Düzlem Dispinin Polü…………………………………….12 2.2.3. Homogen Dönüşümlerde Polleri Kullanma…………………..14 2.3. Küresel Displer………………………………………………………....16 2.3.1. Koordinat Dönüşümleri……………………………………….16 2.3.2. Bir Ortogonal Matrisin Karakteristik Değerleri………………18 2.3.3 Cayley Formülü………………………………………………..23 2.3.4. 3 × 3 − tipinden Antisimetrik Matrisler………………………..28. vi.

(9) 2.3.5. Rodrigues Denklemi…………………………………………..29 2.3.6. Euler Parametreleri……………………………………………33 2.4. Uzay Displeri……………………………………………………...……38 2.4.1. Koordinat Dönüşümleri……………………………………….38 2.4.2. Bir Dispin Vida Ekseni……………………………………….39 2.4.3. Rodrigues Denklemi…………………………………………..41 2.4.4. Vida Matrisi…………………………………………………...43 3. ARAŞTIRMA BULGULARI…………………………………………………….48 3.1. Bir Katı Cismin Hareketi.........................................................................48 3.1.1. Displer İçin Norm……………………………………………..48 3.1.2. Matris Operasyonlarının Sürekliliği…………………………..51 3.1.3. Matris Grupları………………………………………………..53 3.2. Bir Hareketin Türevi……………………………………………………55 3.2.1. Tanjant Operatörü…………………………………………….57 3.2.2. SO ( n ) nin Tanjant Operatörleri……………………………...60 3.2.3. H ( n ) Tanjant Operatörleri…………………………………...65 3.2.4. Tanjant Operatörlere Karşılık Gelen Vektörler……………….68 3.3. Çok Parametreli Hareket………………………………………………..72 3.4. Screw Teorisi…………………………………………………………...75 3.4.1. Screw Koordinat Dönüşümleri………………………………..75 3.4.1.1 Bir Screw İçin Standart Form………………………..79 3.4.2. Bivektörler…………………………………………………….82 3.4.3. Dual Ortogonal Matrisler……………………………………..85 3.4.3.1. Dual Üstel Matris…………………………………...89. vii.

(10) 3.5. Kuaterniyonlar………………………………………………………….96 3.5.1. Clifford Cebiri………………………………………………97 3.5.1.1. Dış Cebir ve Clifford Cebiri………………………………………...97 3.5.1.2. İki vektörün Clifford Çarpımı………………………98 3.5.1.3. Clifford Cebir Çarpımının Matris Formu…………...99 3.5.1.4. İnvers………………………………………………100 3.5.1.5. Çift Clifford Cebiri………………………………...101 3.5.1.6. Özel Clifford Cebirleri…………………………….103 3.5.2. Düzlem Kuaterniyonları……………………………………..106 3.5.2.1. Düzlem Displeri……………………………………106 3.5.2.2. IR 4 de Vektörler…………………………………...108 3.5.3. Kuaterniyonlar……………………………………………….111 3.5.3.1. Dönmeler…………………………………………..111 3.5.3.2. Kuaterniyon Çarpımının Matris Formu……………111 3.5.4. Dual Kuaterniyonlar…………………………………………115 3.5.4.1. IR 8 de Vektörler…………………………………...120 4. TARTIŞMA VE SONUÇ……………………………………………………….122 KAYNAKLAR…………………………………………………………………….123. viii.

(11) 1.GİRİŞ. 1.1. Kaynak Özetleri Temel kavramlar için An Introduction to Theoretical Kinematics (J. M. McCarthy), Theoretical Kinematics (O. Bottema, B. Roth), Analitik Geometri (Rüstem Kaya) ve Lineer Cebir (H. Hilmi Hacısalihoğlu) adlı kitaplardan yararlanılmıştır. J. M. McCarthy, An Introduction to Theoretical Kinematics adlı kitabında, katı dönüşüm, düzlem displeri, küresel displer ve uzaysal displer ele alınmıştır. O. Bottema, B. Roth, Theoretical Kinematics adlı kitabında dönmeler için Cayley formülü incelenmiştir. J. M. McCarthy, An Introduction to Theoretical Kinematics adlı kitabında bir katı cismin hareketi tanımlanarak, tanjant operatörler elde edilmiştir. H. H. Hacısalihoğlu’ nun Hareket Geometrisi ve Kuaterniyonlar Teorisi adlı kitabında dual sayılar ve kuaterniyonlar incelenip, J. M. McCarthy, An Introduction to Theoretical Kinematics adlı kitabında dual sayı cebiri, screw koordinat dönüşümlerinde kullanılmıştır. Böylece ortogonal matrisler tanımlanmış ve bir dual açısal hız matrisinin üsteli olarak vida dispi elde edilmiştir. P. Lounesto, Clifford Algebras and Spinors adlı kitabında bivektörler ve Clifford çarpımı tanımlanarak bir Clifford Cebir inşası kurulmuştur. Son olarak J. M. McCarthy, An Introduction. to. Theoretical. Kinematics. adlı. kitabında. kompleks. sayılar,. kuaterniyonlar, düzlem ve dual kuaterniyonlar Clifford Cebirleri olarak elde edilmiştir.. 1.

(12) 1.2. Çalışmanın Amacı Düzlemde ve uzayda hareketlerin ele alınması ve bunların örneklendirilerek incelenmesi amaçlanmıştır.. 2.

(13) 2. MATERYAL VE YÖNTEM. 2.1. Katı Dönüşümler 2.1.1. Koordinat Dönüşümleri Kinematik, noktaların dolayısıyla geometrik yerlerin hareketinin geometrik özelliklerini inceler. Bu hareket ardışık dönmeler, ötelemeler yoluyla yapılır. Eğer cisim bir katı cisimse yani cisimdeki herhangi iki nokta arasındaki uzaklık hiç değişmiyorsa bu hareket ardışık bir öteleme bir dönme veya ardışık bir dönme ve bir ötelemeyle yapılır. Matematikte cebir, geometri, …, dallarına ait bazı kavramlar, kinematik açıdan ele alındığında bazen değişik isimlendirmeye uğrarlar. Örneğin cebirsel olarak, bir f : IR n  → IR n dönüşümü. d ( x, y ) = d ( f ( x), f ( y )) özelliğine sahipse f ye bir izometri denir.(7) Kinematik açıdan bu f dönüşümü yer değiştirme olarak adlandırılır. Bu çalışmada yer değiştirme yerine kısaca disp. kavramını kullanacağız ve bunu D ile göstereceğiz.. IR n Öklid uzayında bir cismin yer değiştirmesinden, cisimdeki bütün noktaların bir D dispi ile belirlenen yeni konumu anlaşılacaktır. Bu dispi gözlemenin matematiksel açıdan önemi, cisme yerleştirilen, cisimle bağlantılı bir çatının hangi konuma taşındığını gözlemektir. Bu çatılardan, ilk konumundakine sabit çatı, ikinci konumundakine hareketli çatı diyeceğiz ve sırasıyla F ve M ile göstereceğiz. Böylece bir D dispi,. 3.

(14) D : F  →M x  → X = [ A] x + d. şeklinde tanımlı uzaklığı koruyan dönüşüm olarak ele alınır. Burada x , F de. ölçülen bir noktanın koordinat vektörü ve X ise aynı noktanın M de ölçülen koordinat vektörüdür. Bundan sonra aksi söylenmedikçe,. n − boyutlu uzayda bir vektörü,. n − boyutlu vektör olarak adlandıracağız.. Eğer hareketli cisim n − boyutlu ise (genellikle n = 2 veya n = 3 ) o zaman,. [ A] bir. n × n tipinden matris ve d , bir n − boyutlu vektördür.. Bu dönüşüm uzaklığı koruyan bir dönüşüm olduğundan M de P ve Q noktaları arasındaki uzaklık Öklid metriğine göre, d ( P,Q ) = P − Q. =. ( P − Q)T ( P − Q). dir. Ayrıca D : F  →M p  → P = [ A] p + d q  → Q = [ A] q + d olacağından d ( P,Q )= P − Q. =. ([ A] p + d )− ([ A] q + d ). = [ A] ( p − q ) + d − d. 4.

(15) = [ A] ( p − q ) T. =. ([ A] ( p − q ) ) ([ A] ( p − q ) ). =. ( p − q ) [ A] [ A]( p − q ). T. T. dir.. F de p ve q noktaları arasındaki uzaklık Öklid metriğine göre, d ( p,q ) = p − q d ( p, q ) =. T. ( p − q) ( p − q). dir. d ( P,Q ) = d ( p,q ) ⇔  AT  [ A] = [ I n ] −1. ⇔ [ A] =  AT . [A]. matrisi ortogonal matris olmak zorundadır. Buna göre  AT  matrisi, [ A]. matrisinin hem sağ hem de sol inversidir.. (. det ( I n )=det  AT [ A]. ). 1 = det ( AT ) det ( A ) = det ( A ) det ( A )= ( det ( A ) ). 2. Bu durumda det ( A )= ±1 dir. Tanım 2.1.1.1 : det ( A )=1 olacak şekildeki ortogonal matrislere dönmeler denir. det ( A )= − 1 olacak şekildeki ortogonal matrislere yansımalar denir.(1). Yansımalar katı dönüşüm için sağlaması gereken şartı sağlamakla birlikte bu çalışmada bir katı cismin konumunu tanımlamakta sadece dönmeler kullanılmıştır.. 5.

(16) 2.1.2. Displer n − boyutlu. bir. uzayda. bir. disp. D = ( A, d. ). matris–vektör. çiftiyle. tanımlanmıştır. Burada [ A ] , bir n × n tipinden dönme matrisi ve d , bir n − boyutlu vektördür. Tanım 2.1.2.1 : D = ( A, d ) matris–vektör çiftinde eğer özel olarak d = 0 ise R = ( A, 0 ) matris–vektör çiftine bir sırf dönme,. A = I n ise T =( I n , d ) matris–vektör çiftine bir sırf öteleme adı verilir.(1) Tanım 2.1.2.2 : IR n n − boyutlu uzayda displerin cümlesine, n − boyutlu uzayın. Öklidyen grubu adı verilir ve SE ( n ) ile gösterilir.(1) Teorem 2.1.2.1 : SE ( n ) aşağıdaki özellikleri sağlar. 1) D1 , D2 displerin bileşkesi olan D = D1 D2 de bir disptir. 2) Displerin bileşkesi birleşme özeliğini sağlar. 3) I =( I n ,0 ) dispi özdeşlik dispidir. 4) Her bir D = ( A, d. ). dispi yine bir disp olan bir D −1 = (AT ,− AT d ) inversine. sahiptir.. → M 2 ve D2 : F  → M 1 bir disp ise bileşke disp İspat : 1) D1 : M 1  D = D1 D2 : F  → M 2 dir. D1 ve D2 sırasıyla. ( A1 , d1 ). ve. ( A2 , d 2 ). ile verilirse, D1 için X = [ A1 ] x + d1 ,. D2 için X = [ A2 ] x + d 2 dir.. D1 D2 ( x ) = D1 ([ A2 ] x + d 2 ) = [ A1 ] ([ A2 ] x + d 2 ) + d1 = [ A1 ][ A2 ] x + [ A1 ]d 2 + d1. 6.

(17) elde edilir. Böylece D = D1 D2 : F  → M 2 bileşke dispi D = D1 D2 = ( A1 , d1 ) ( A2 , d 2 ) = ( A1 A2 , [ A1 ] d 2 + d1 ) olarak tanımlanmıştır. [A1 ] ve [A2 ] birer dönme matrisi iken [ A1 ][ A2 ] de bir dönme matrisidir. 2) D1 = ( A1 , d1 ) , D2 = ( A1 , d 2 ) ve D3 = ( A3 , d3 ) birer disp olsun. D1 ( D2 D3 ) = ( A1 , d1 ) ( ( A2 , d 2 )( A3 , d3 ) ) D1 ( D2 D3 ) = ( A1 , d1 )( A2 A3 , A2 d3 + d 2 ) D1 ( D2 D3 )= ( A1 A2 A3 , A1 ( A2 d3 + d 2 ) + d1 ) D1 ( D2 D3 ) = ( A1 A2 A3 , A1 A2 d3 + A1d 2 + d1 ) D1 ( D2 D3 ) = ( A1 A2 , A1d 2 + d1 )( A3 , d3 ) D1 ( D2 D3 )= ( ( A1 , d1 )( A2 , d 2 ) ) ( A3 , d3 ) D1 ( D2 D3 ) = ( D1 D2 ) D3. 3) I =( I n ,0 ) ve D = ( A, d ) displeri verilsin. D için X = [ A] x + d , I için X = [ I n ] x = x dir. DI ( x ) = D ( x ) = [ A] x + d dir.. Benzer şekilde ID ( x ) = D ( x ) olduğundan I =( I n ,0 ) dispi özdeşlik dispidir. 4) D = ( A, d ) dispi için X = [ A] x + d dir. X = [ A ] x + d ⇔ [ A] x = X − d. ⇔  AT  [ A] =  AT ( X − d ) ⇔ [ I n ] x =  AT  X −  AT  d. 7.

(18) ⇔ x =  AT  X −  AT  d elde edilir. D −1 : M  →F X  → D −1 ( X ) = x =  AT  X −  AT  d dir. O halde D −1 = ( AT , − AT d ) dir. Sonuç 2.1.2.1 : SE ( n ) bileşke işlemine göre bir cebirsel gruptur.. 2.1.3. Referans Çatıların Değişimi. Bir D dispi. D : F  →M ile verilsin. Sabit F ve hareketli M çatılarının yeni koordinat çatılarına bağlı F ′ ve. M ′ konumları G −1 : F ′  →M′ → F ve G : M  ile verilsin. Bu durumda D′ : F ′  →M′ dispi D′ = GDG −1 ile verilmiştir.. 8.

(19) 2.1.4. Homogen Dönüşümler. Disp, bir lineer dönüşüm değildir. Örneğin bir T = ( I n , d ) ötelemesi için T : F  →M x  →T ( x) = x + d olmak üzere herhangi iki vektör x, y için T ( x + y) = x + y + d , T ( x) = x + d T ( y) = y + d. dir. Bu durumda T ( x ) + T ( y ) = x + y + 2d ≠ T ( x + y ). olup bir öteleme dolayısıyla bir disp, lineer bir dönüşüm değildir. Böylece IR n in displeri, n × n − matris dönüşümüyle temsil edilmeyebilir. Bu durum, H : xn +1 = 1 n − boyutlu hiperdüzlemi gibi IR n +1 de IR n embeddingi ile ortadan kaldırılabilir. IR n +1 in lineer dönüşümleri, H − hiperdüzleminde katı cisim displerinin. rolünü oynar. IR n de n − boyutlu koordinat vektörü x = ( x1 , x2 ,..., xn ) ise H hiper-. düzleminde n + 1 − boyutlu vektör x = ( x1 , x2 ,..., xn ,1) dir. Bu, x = ( x,1) olarak yazılır. IR n in bir D = ( A, d ) dispi IR n +1 in [T ] = [ A, d ] lineer dönüşümü olur ve  X   A d   x  1  =  0 1  1      . 9.

(20) biçiminde verilir. [T ] = [ A, d ] bir lineer dönüşümdür. Gerçekten, i) ∀ x = ( x,1) , y = ( y,1) ∈ H için x+y = ( x + y,1) ∈ H  A d  x   A d  y   A d  x + y  T ( X ) + T (Y ) =    +    =    =T ( X + Y )  0 1  1   0 1  1   0 1  1 . ii) ∀ c ∈IR , ∀ x = ( x,1) ∈H için cx = ( cx,1) ∈ H.  A d cx   A d  x  T ( cx ) =  =c     = cT ( x )  0 1  1   0 1 1  Tanım 2.1.4.1 : [T ] = [ A, d ]. ( n + 1) × ( n + 1) − matrisine. D = ( A, d ) dispi ile temsil. edilen homogen dönüşüm adı verilir.(1) İki dispin bileşkesi olan D = D1 D2 ,. [T ] = [T1 ][T2 ]. biçiminde homogen. dönüşümlerin çarpım matrisi ile verilmiştir. I = ( I n ,0 ) özdeşlik(birim) dispin homogen dönüşümü,. I n 0. [I ] = . 0 1 . ( n + 1) × ( n + 1) − boyutlu. özdeşlik matrisidir..  AT D −1 = AT ,− AT d invers dispin homogen dönüşümü ise T −1  =  0. (. ). − AT d   invers 1 . matrisidir. Sonuç 2.1.4.1 : ( n + 1) × ( n + 1) − boyutlu homogen dönüşümlerin cümlesi H ( n ) ile. gösterilen bir matris grubudur.. 10.

(21) 2.2. Düzlem Displeri 2.2.1. Koordinat Dönüşümleri. Eğer x = ( x,y ) F koordinat çatısında ölçülen sabit cisimde bir P noktasının koordinatları ise M de ölçülen P nin koordinatları X = [ A] x + d.  cos θ ile verilmiştir. Burada [ A] =   sin θ cos θ Tanım 2.2.1.1 : [ A] =   sin θ. − sin θ  d  , d =  1  dir.  cos θ  d2 . − sin θ  d  ve d =  1  olmak üzere D = ( A, d ) çifti bir  cos θ  d2 . D : F  →M x  → X = [ A] x + d dönüşümü tanımlar. Bu dönüşüme bir düzlem dispi adı verilir.(1). Şekil 2.1. Biri diğerine bağlı olarak yer değiştiren bir düzlem cismi. cos θ  sin θ. [ A] = . − sin θ  matrisinin inversi  AT  matrisidir. Bundan dolayı [ A] cos θ . bir ortogonal matristir, determinantı 1 dir ve bir dönme tanımlar.. 11.

(22) 2.2.2. Bir Düzlem Dispinin Polü Bir genel düzlem dispi için hareketsiz bir nokta vardır. Bu noktanın koordinatları her iki F ve M referans çatılarında da aynıdır. Bu noktaya pol noktası adı verilir.(1). Şekil 2.2. Bir düzlem dispinin polü D = ( A, d ) disp olsun. Düzlem dispinin p pol noktasının koordinatlarını. belirleyelim. p pol noktası p = [ A] p + d denklemini sağlar. p = [ A] p + d ⇔ [ I 2 − A] p = d ⇔ −[ A − I2 ] p = d ⇔ p = − [ A − I 2 ] −1 d. veya.  p   cos θ p = [ A] p + d ⇒  1  =   p2   sin θ. − sin θ   p1   d1  + cos θ   p2   d 2 .  p1 = cos (θ ) p1 − sin (θ ) p2 + d1 ⇒  p1 = sin (θ ) p1 + cos (θ ) p2 + d 2 (1 − cos θ ) p1 + sin (θ ) p2 = d1 ⇒ − sin (θ ) p1 + (1 − cos θ ) p2 = d 2 Sistemin katsayılar matrisinin determinantı. 12.

(23) 1 − cos θ sin θ = 2 − 2 cos θ ≠ 0 sin θ 1 − cos θ dır. (Aksi takdirde 2 − 2 cos θ = 0 olsaydı cos θ = 1 ⇒θ = 0 + 2kπ , k ∈ olurdu ki bu durumda sırf öteleme olurdu.) Sistem Cramerdir. d1 sin θ  d1   θ   d 2  θ  sin   −   cos     d 2 1 − cos θ 2 2 2 2 =      p1 = 1 − cos θ sin θ θ  sin   2 sin θ 1 − cos θ 1 − cos θ d1  d1  θ   d  θ  cos   +  2  sin     sin θ d2 2 2  2  2 p2 = =  1 − cos θ sin θ θ  sin   2 sin θ 1 − cos θ elde edilir. Özel olarak A = I 2 iken p = [ I 2 ] p + d olacağından p = − [ I 2 − I 2 ] −1 d bir çözüm vermez. Disp D = ( A, d ) = ( I 2 , d ) dir. Bu durumda sırf öteleme vardır ve dispin pol noktası yoktur. Yani sırf ötelemede, hiç bir nokta sabit kalmaz, cismin bütün noktaları hareketlidir. Eğer p bir D dispinin polü ise, G ( p ) de referans çatının değişimiyle elde edilen D′ = GDG −1 dispinin polüdür. Gerçekten, D′ ( G ( p ) ) = GDG −1 ( G ( p ) ) = G ( p ). Pol ve dönme açısı dispin geometrik özelikleridir ve referans çatıdan bağımsızdır.. 13.

(24) 2.2.3. Homogen Dönüşümlerde Pollerin Kullanılması  X   A d   x  1  =  0 1  1       matrisini 3 × 3 − tipinden matris formunda yazarsak,  X  cos θ  Y  =  sin θ     1   0. − sin θ cos θ 0. d1   x  d 2   y  1   1 . olur. Bu bir düzlem dispinin homogen dönüşüm temsilidir. H ( 3) matrisi, 3 − boyutlu uzayın lineer dönüşümleridir öyle ki düzlem. dispine denk bir yolla z = 1 düzlemine etki eder. Bir D = ( A, d. ). dispinin polü, homogen dönüşümlere göre yazılan.  p  A d   p 1 = 0 1 1      matris karakteristik değer problemini sağlar. cos θ A d   0 1  =  sin θ     0. Bu. − sin θ cos θ 0. d1  d 2  1 . matrisinin karakteristik değerlerini. bulalım.. λ − cos θ − sin θ. sin θ. λ − cos θ. 0. 0. − d1 −d 2 = 0 λ −1. (1 − λ ) ( λ 2 − 2λ cos θ + 1) = 0 λ1 = 1, λ2,3 = e ± iθ λ1 = 1 karakteristik değerine karşılık gelen karakteristik vektör, düzlem dispinin pol noktasıdır. Gerçekten,. 14.

(25)  A d   p  p  A − I2  0 1   1  = 1 1  ⇒  0      . d   p  0  = 0   1  0 . ⇒ ( A − I2 ) p + d = 0 ⇒ Ap − I 2 p + d = 0 ⇒ Ap + d = p Böylece p = − [ A − I 2 ] −1 d de tanımlanan p = ( p1 , p2 ,1) polü bu karakteristik vektördür.. λ2,3 = e± iθ karakteristik değerleri ayrıca.  cos θ  sin θ. [ A] = . − sin θ  matrisinin cos θ . karakteristik değerleridir.. λ2 = eiθ. karakteristik. değerine. karşılık. gelen. karakteristik. vektör. X = ( x1 , x2 , x3 ) i bulalım.  cos θ  sin θ   0. − sin θ cos θ 0. d1   x1  d 2   x2  = eiθ 1   x3 .  x1  x   2  x3 . cos (θ ) x1 − sin (θ ) x2 + d1 x3 = eiθ x1  iθ sin (θ ) x1 + cos (θ ) x2 + d 2 x3 = e x2  iθ  x3 = e x3  x1 = t ∈ IR − {0} denirse   x2 = −it x = 0  3. X = ( t , − it ,0 ). elde edilir. Benzer şekilde λ3 = e − iθ karakteristik değerine karşılık gelen karakteristik vektör t ∈ IR- {0} olmak üzere X* = ( x1* , x2* , x3* ) = ( t , it ,0 ) dir.. 15.

(26) Bu X ve X* dan c1 ve c2 reel ortogonal vektör çifti,.  X + X* c1 = 2  * c = X-X i  2 2 formülüyle oluşturulabilir.. c1 =. X + X* = ( t ,0,0 ) 2. c2 =. X-X* i = ( 0, t ,0 ) 2. c1 , c2 = 0 olduğundan c1 ⊥ c2 dir. Bu c1 ve c2 noktaların hareketli çatı koordinatları C1 ve C2 ise,  cos θ C1 = [ A, d ] c1 =  sin θ  0. − sin θ cos θ 0. d1   t  d 2   0  = ( t cos θ , t sin θ ,0 ) = cos (θ ) c1 + sin (θ ) c2 1   0 .  cos θ C2 = [ A, d ] c2 =  sin θ  0. − sin θ cos θ 0. d1   0  d 2   t  = ( −t sin θ , t cos θ ,0 ) = − sin (θ ) c1 + cos (θ ) c2 1   0 . olarak bulunur. Bu vektörler IR 3 ün z = 0 düzlemini gerer ve [ A, d ] dönüşümü, bu düzlemdeki reel vektörler üzerinde bir düzlem dönmesi rolünü oynar.. 2.3. Küresel Displer 2.3.1. Koordinat Dönüşümleri Bir M hareketli çatıdaki 3 − boyutlu bir cismin sabit bir F çatısına bağlı dönmesi X = [ A] x. 16.

(27) denklemiyle verilir. Burada x ve X sırasıyla F sabit çatı ve M hareketli çatıdaki bir noktanın koordinatlarıdır.. Şekil 2.3. Biri diğerine bağlı olarak 3 − boyutlu bir cismin dönmesi Dönüşümün bir katı dönüşüm olabilmesi için [ A] matrisi X , X = X T X = xT  AT  [ A] x = xT x = x, x eşitliğini sağlamalı yani,  AT  [ A] = [ I 3 ] olmalıdır. Bu şart, bir matrisin ortogonal matris olma şartıdır. Dönmeler, determinantı 1 olan ortogonal matrisler ile verilir. Bu ortogonal matrislerin cümlesi SO ( 3) ile gösterilir ve SO ( 3) matrislerde çarpma işlemine göre bir matris grubudur.(1) X = [ A] x dönüşümü, başlangıçta F ile çakışan M çatısının bir dispi olarak. ele alınabilir. Böyle ele alındığında, cisimdeki bir P noktasının ilk konumu x ve son konumu X dir. X = [ A] x ile belli olan dönüşüme küresel disp adı verilir.(1) x , y ve z eksenleri etrafındaki dönmeler sırasıyla Rx , Ry ve Rz ile. gösterilirse,. 17.

(28) A : F  →M dönme dönüşümü, cos θ [ A] = Ry Rx Rz =  0  sin θ. 0 − sin θ  1 0   1 0  0 cos ϑ 0 cos θ  0 sin ϑ.  cosψ − sin ϑ   sinψ cos ϑ   0 0. − sinψ cosψ 0. 0 0  1 . olarak da bellidir.. 2.3.2. Bir Ortogonal Matrisin Karakteristik Vektörleri. [ A] nın etkisi altında hareketli cisimde sabit uzaya göre konumu değişmeyen noktaların cümlesi,. [ A] x = x matris denkleminin çözümleridir. Bu denklemi,. [ A] x = λ x karakteristik değer problemine genişletebiliriz. Bu, M deki X koordinatları, F deki orijinal x koordinatlarının bir sabit λ katı demektir. Biz λ = 1 için, mevcut olan çözümleriyle ilgileneceğiz.. [ A] x = x katsayılar  a11 A =  a21  a31. denkleminin x = 0 dan farklı çözümlerinin olması için [ λ I 3 − A]. matrisinin a12 a22 a32. determinantı. sıfır. olmalıdır.. a13  a23  dönme matrisi için, a33 . λ − a11 λ I3 − A = 0 ⇒. a21 a31. a12 λ − a22 a32. a13 a23 = 0 λ − a33. 18. Buna. göre. genel. bir.

(29) ⇒ −λ 3 + λ 2 ( a11 + a22 + a33 ) − λ ( M 11 + M 22 + M 33 ) + det [ A] = 0 karakteristik polinomunu verir. Burada M ii , i = 1, 2,3 i − yinci satır ve i − yinci sütun silinmesiyle elde edilen minördür. Bir dönme matrisi için det ( A ) = 1 ve AT = A−1 =. 1 A = A olduğu det A. kullanılırsa M ii = aii bulunur. Böylece karakteristik polinom,. λ 3 − λ 2 ( a11 + a22 + a33 ) + λ ( a11 + a22 + a33 ) − 1 = 0 haline gelir. λ = 1 bir kök olduğundan karakteristik polinom. ( λ − 1) λ 2 − λ ( a11 + a22 + a33 − 1) + 1 = 0 dır. İzA = a11 + a22 + a33 = a ile gösterilirse,. λ 2 − λ ( a − 1) + 1 = 0 ⇒ λ2,3 =. (. ( a − 1) ∓ ( a − 1). 2. −4. ). 2. ve. İzA − 1 a − 1 = = cos θ 2 2 denirse,. λ2,3 = cos θ ∓. (. cos 2 θ − 1. ). λ2,3 = cos θ ∓ i sin θ λ2,3 = e∓ iθ elde edilir.. olsun.. [ A]. nın λ = 1 karakteristik değerine karşılık gelen karakteristik vektör b. [ A]. nın etkisi altında hareketli cisimde konumu değişmeyen noktaların. 19.

(30) cümlesi,. [ A] x = x. denkleminin çözümü olduğundan, b yönünde v = tb doğrusu. üzerindeki bütün noktalar sabittir. Bu cismin dönme eksenidir.. Şekil 2.4. Her bir dönme sabit bir eksen etrafında dönmeye indirgenir.  cos θ Özel olarak dönme matrisi [ A] =  sin θ  0. − sin θ cos θ 0. 0 0  olsun. [ A] matrisinin 1 . karakteristik değerlerini bulalım.. [ A] x = λ x ⇒. λ I3 − A = 0. λ − cos θ − sin θ. sin θ. 0. λ − cos θ. 0. 0. 0 =0 1. ( λ − 1) ( λ 2 − 2λ cos θ + 1) = 0 λ1 = 1, λ2 = eiθ ,. λ3 = e− iθ. λ1 = 1 karakteristik değerine karşılık gelen karakteristik vektör b = ( b1 , b2 , b3 ) olsun.  cos θ [ A] b = b ⇒  sin θ  0. − sin θ cos θ 0. 0   b1   b1  0  b2  = b2  1   b3   b3 . 20.

(31) cos (θ ) b1 − sin (θ ) b2 = b1  ⇒ sin (θ ) b1 + cos (θ ) b2 = b2 b = b  3 3 (1 − cos θ ) b1 − sin (θ ) b2 = 0 ⇒ − sin (θ ) b1 + (1 − cos θ ) b2 = 0. Sistemin katsayılar matrisinin determinantı. 1 − cos θ sin θ = 2 − 2 cos θ ≠ 0 − sin θ 1 − cos θ. olduğundan b1 = b2 = 0 dır. Bu durumda b = (0,0, b3 ) elde edilir.. λ2 = eiθ. karakteristik. değerine. karşılık. gelen. karakteristik. vektör. x = ( x1 , x2 , x3 ) olsun.  cos θ [ A] x = e x ⇒  sin θ  0 iθ. − sin θ cos θ 0. 0   x1  0   x2  = eiθ 1   x3 .  x1  x   2  x3 . cos (θ ) x1 − sin (θ ) x2 = eiθ x1  ⇒  x1 sin (θ ) + x2 cos (θ ) = eiθ x2  iθ  x3 = e x3 cos (θ ) x1 − sin (θ ) x2 = ( cos θ + i sin θ ) x1  ⇒  x1 sin (θ ) + x2 cos (θ ) = ( cos θ + i sin θ ) x2   x3 = ( cos θ + i sin θ ) x3  x1 = t ∈ IR − {0}  ⇒  x2 = −it x = 0  3. denirse. Bu durumda x = (t , − it ,0) elde edilir. Benzer şekilde λ3 = e − iθ karakteristik değerine karşılık gelen karakteristik vektör t ∈ IR − {0} olmak üzere x * = ( x1* , x2* , x3* ) = ( t , it , 0 ) bulunur.. 21.

(32) x ve x * dan  x + x* c = = ( t ,0,0 )  1 2  * c = x − x i = ( 0, t ,0 ) 2  2. reel ortogonal vektörleri oluşturulabilir. Bu noktaların hareketli çatı koordinatları C1 ve C2 olmak üzere cos θ C1 = [ A] c1 =  sin θ  0. − sin θ cos θ 0. 0  t  0  0  = ( t cos θ , t sin θ ,0 ) 1  0 .  cos θ C2 = [ A] c2 =  sin θ  0. − sin θ cos θ 0. 0  0  0   t  = ( −t sin θ , t cos θ , 0 ) 1  0 . dir. Bu b ye dik x ve x * karakteristik vektörleriyle tanımlanan reel düzlemde. θ − açılık bir dönmedir.. Şekil 2.5. Dönme matrisi için ortogonal karakteristik uzay ve b reel karakteristik vektör. 22.

(33) 2.3.3. Cayley Formülü. Orijin etrafında bir dönme hareketi. [ A] x = X. ile verilmekte olup, bir. harekette cismin noktaları arasındaki uzaklık sabit kalacağından, x, x = X , X. dır. X − x, X + x = X , X + X , x − x, X − x , x = 0. yazılabilir. Bu, dik açı altında kesişen ve kenarları X ile x olan bir eşkenar dörtgenin köşegenlerinin X + x ve X − x olduğunu ifade eder.. Şekil 2.6. Bir antisimetrik matrisin işlevi. Böylece f = X − x ve g = X + x vektörleri ortogonal olup, [ A] x = X eşitliği göz önüne alınırsa, f = [ A − I n ] x , g = [ A + I n ] x,. f ,g = 0. bulunur. [ A] x = − x durumu yani [ A] ortogonal matrisinin karakteristik değerlerinden birisinin −1 olma durumu hariç tutulursa o zaman [ A + I n ] matrisi regülerdir. Bu durumda,. 23.

(34) −1. x =[ A + In ] g −1. f = [ A − I n ][ A + I n ] g elde edilir. −1. [ B ] = [ A − I n ][ A + I n ] denirse, f = [ B] g. bulunur. Teorem 2.3.3.1 : [ B ] matrisi antisimetrik bir matristir. İspat : f , g = [ B ] g , g = 0.  g1  b11 b12 b1n    b11 g1 + b12 g 2 + ... + b1n g n  g   [ B ] g =    2  =    bn1 bn 2 bnn    bn1 g1 + bn 2 g 2 + ... + bnn g n     g n  T. Bg , g = [ Bg ] g = 0  g1  b11 g1 + b12 g 2 + ... + b1n g n bn1 g1 + bn 2 g 2 + ... + bnn g n    = 0    g n . b11 g1 g1 + b12 g 2 g1 + ... + b1n g n g1 + + bn1 g1 g n + bn 2 g 2 g n + ... + bnn g n g n = 0 n. n. i≠ j. i= j. ∑ ( bij + b ji ) gi g j +∑ bij gi g j = 0 elde edilir. Bu eşitlik her g için doğru olduğundan bij + b ji = 0, bij = 0 ⇒ bij = −b ji , bii = 0 i≠ j. i= j. olmalıdır. Bu durumda [ B ] matrisi antisimetrik bir matristir.. 24.

(35) −1. [ B ] = [ A − I n ][ A + I n ]. [ B ][ A + I n ] = [ A − I n ]. [ B ][ A] + [ B ] = [ A − I n ]. [ A] − [ B ][ A] = [ I n + B ] [ A][ I n − B ] = [ I n + B ] dır.. [ B]. matrisi antisimetrik bir matris olduğundan det B ≥ 0 dır(2) ve bir. antisimetrik matrisin tüm karakteristik değerleri imajinerdir. Gerçekten, matrisine karşılık gelen antisimetrik bir dönüşüm, B : IR n  → IR n x  → B ( x) = λ x olsun. B ( x ) , x = λ x, x = λ x, x x , B ( x ) = x , λ x = λ x, x dır. Burada λ , λ nın eşleniğidir. B antisimetrik bir dönüşüm olduğundan B ( x ) , x = − x, B ( x ) dir.. λ x, x = − λ x , x. λ = −λ λ +λ =0 2 Re ( λ ) = 0. 25. [ B].

(36) λ sırf imajiner veya λ = 0 dır . Özel olarak λ = 1 için det ( λ I n − B ) ≠ 0 olup. [ I n − B ] matrisi regülerdir. Böylece [ A][ I n − B ] = [ I n + B ] −1. [ A] = [ I n + B ][ I n − B ]. Cayley formülünü veya Cayley formülüne denk olan, −1. [ B ] = [ A − I n ][ A + I n ]. [ B ][ A + I n ] = [ A − I n ] [ B ][ A] + [ B ] = [ A − I n ] [ I n + B ] = [ A] − [ B ][ A] [ I n + B ] = [ I n − B ][ A] −1. [ A] = [ I n − B ] [ I n + B ] formülünü elde ederiz. Şimdi [ B ] antisimetrik matrisinin Cayley formülü yardımıyla bir ortogonal. matris tanımladığını gösterelim.. [ A]. −1. [ I n + B]. T. ([ I. = [ I n − B]. −1 T. ). T. = [ In + B]. T. =  I n + BT  [ I n − B ]. T. =  I n + BT   I n − BT . T. = [ I n − B ] ([ I n + B ]). [ A] [ A]. [ A]. [ A]. n − B]. (. T. (. ). −1. ). −1. −1. dir.. 26.

(37) −1. T. −1. [ A] [ A] = [ I n − B ] ([ I n + B ]) [ I n + B ][ I n − B ]. = [ In ]. olup [ A] ortogonal bir matristir. Genel olarak her [ A] ortogonal bir matrisi, antisimetrik bir matris yardımıyla elde edilemez. Bunun için [ A + I n ] matrisi regüler olmalıdır. Örneğin, 1 0 0  [ A] = 0 -1 0   0 0 -1. matrisi ortogonaldir. Fakat det( A + I 3 ) = 0 olduğundan. [ A + I3 ]. matrisi regüler. değildir. Tanım 2.3.3.1 : A ve I mertebeleri aynı olan birer karesel matris olmak. üzere, A bir dönme matrisi ve A + I regüler ise A matrisine Cayley matrisi denir.(2)  0 2 −2  Örnek 2.3.3.1 : B =  −2 0 1  antisimetrik matrisi verilsin. Bu matristen  2 −1 0 . Cayley formülü ile bir pozitif ortogonal matris elde edelim. A = ( I 3 + B )( I 3 − B ). −1.  1 2 −2   1 −2 2  A =  −2 1 1   2 1 −1  2 −1 1   −2 1 1 . −1.  1 2 −2 1 5 2 5 0  A =  −2 1 1  1 2 1 2   0  2 −1 1   2 5 3 10 1 2   −3 5 4 5 0  A =  0 0 1   4 5 3 5 0 . 27.

(38) -3/5 0 4/5 A =  4/5 0 3/5  = AT ve det A = 1 olduğundan A bir dönme matrisidir.  0 1 0  −1. 2.3.4. 3 × 3 − tipinden Antisimetrik Matrisler. Bir [ B ] 3 × 3 − tipinden antisimetrik matrisi  0 [ B ] =  b3  −b2 biçimindedir.. −b3 0 b1. [ B]. b2  −b1  0 . matrisi sadece 3 tane bağımsız elemana sahip olduğundan. 3 × 3 − tipinden antisimetrik matrisler cümlesi IR 3 arasında 1 − 1 bir eşleme vardır. 3 × 3 − tipinden antisimetrik matrisler cümlesi A3 ile gösterilirse bu eşleme,. f : A3 → IR 3  0 [ B ]=  b3  −b2. −b3 0 b1. b2  −b1   →f 0 . ([ B ]) = b = ( b , b , b ) 1. 2. 3. ile kurulabilir. Bu dönüşüm, ∀ y ∈ IR 3 için [ B ] y = b × y. özelliğine sahiptir. Cayley formülündeki [ B ] antisimetrik matrisinden elde edilen b vektörü,. [ A]. dönme matrisinin λ = 1 karakteristik değerine karşılık gelen karakteristik. vektördür. Bunu görmek için, bu karakteristik vektörün. [ A − I3 ] x = 0. 28.

(39) denkleminin çözümü olduğunu göstermek yeterlidir. Cayley formülünde, [ A] x = x yazılırsa, −1. [ A] x = ( [ I 3 − B ] ) [ I 3 + B ] x [ I3 − B ] x = [ I3 + B] x [ B] x = 0 sonucu elde edilir.. [ B] x = 0 b× x = 0. olduğundan [ A − I 3 ] x = 0 denkleminin bir çözümü olarak b elde edilir.. 2.3.5. Rodrigues Denklemi (Dönmeler için). Bir [ A] pozitif ortogonal matrisi verildiğinde Cayley formülünden bir [ B ] antisimetrik matrisi, sabit ve hareketli çatıya göre dönen bir cismin noktalarının, koordinatları arasında, X − x = [ B] ( X + x ). bağıntısını elde etmiştik. Antisimetrik matrisler ve vektörel çarpım arasındaki ilişki kullanılırsa, X − x = b × ( X + x). yazılabilir. Bu denklem, dönmeler için Rodrigues denklemi ve b vektörü de olarak Rodrigues vektörü olarak bilinir. (1). 29.

(40) Şekil 2.7. Bir dönme öncesi ve dönme sonrası x ile X in konumları ve dönme ekseni. X ve x arasındaki ilişki X ve x in düzleme izdüşümleri olan X * ve x* arasında da geçerlidir. Gerçekten X ve x vektörlerinin, b vektörünü normal kabul eden ve O dan geçen düzleme dik izdüşümleri X * ve x* olsun. Bu durumda b vektörü X * , x* ve X * − x* vektörlerine diktir. Şekil 2.7 den X = X * + λb, x = x* + λb X * = X − λb, x* = x − λb. [ A] x * = [ A] ( x − λ b ) [ A] x * = [ A] x − λ [ A] b. [ A] x * = X − λ b [ A] x * = X * yazılabilir. [ A] x = X dönmesinden elde edilen X − x = b × ( X + x). 30.

(41) denkleminin düzlemdeki karşılığı [ A] x* = X * dönmesi yardımıyla X * − x* = b × ( X * + x* ) dir. X * − x* vektörünün büyüklüğü, X * − x* = b X * + x* sin (

(42) b, X * + x* ) X * − x* = b X * + x* 1 X * − x * = b X * + x* olarak bulunur. Diğer taraftan X * + x* =. X * + x* , X * + x*. X * + x* =. X * , X * + X * , x* + x * , X * + x* , x *. X * + x* =. X * , X * + 2 X * , x* + x* , x*. X * + x* =. X * + 2 X * x* cos θ + x*. 2. 2. X * = x* olduğu göz önüne alınırsa ve x* = k denirse, X * + x* = k 2 + 2k 2 cos θ + k 2 X * + x* = 2k 2 + 2k 2 cos θ X * + x* = 2k 2 (1 + cos θ )   θ   X * + x* = 2k 2  1 +  2 cos 2   − 1   2     θ  X * + x* = 4k 2 cos 2   2. 31.

(43) θ  X * + x* = 2k cos   2. bulunur. Benzer işlemler yapılarak,. θ  X * − x* = 2k sin   2 elde edilir. X * − x * = b X * + x* θ  2k sin    2  = tan  θ  b = * * =   θ  X +x 2 2k cos   2   X * − x*. θ  b = tan   2 bulunur. b vektörü yönündeki birim vektör s = ( sx , s y , sz ) ise b vektörünün veya buna denk olan [ B ] antisimetrik matrisinin bileşenleri,  θ  b1 = tan  2  sx     θ  b2 = tan   s y 2   θ  b3 = tan   sz 2  dir. Buradaki sx , s y , sz sabitlerine Rodrigues parametreleri adı verilir.(1). 32.

(44) 2.3.6. Euler Parametreleri. [ A]. [ B ] = tan . ortogonal. matrisi için Cayley formülü,. θ. dönme açısı ve. θ.  [ S ] ile belirli olan s birim vektörünün bileşenleri cinsinden 2 −1. [ A] = [ I − B ] [ I + B ] −1.  θ θ   θ θ  [ A] = cos   I − sin   S  cos   I + sin   S  2   2 2   2. olarak yazılabilir.  θ  θ   C = cos   I + sin   S  2   2 matrisindeki sabitlere [ A] nın Euler parametreleri denir.(1) Bu parametreler,            . θ  c0 = cos   2 θ  c1 = sin   sx 2 θ  c2 = sin   s y 2 θ  c3 = sin   sz 2. dır. Bu denklem geliştirilirse, −1. [ A] = [ I − B ] [ I + B ]  . −1. θ    S   I + tan   S  2   2 . [ A] =  I − tan . θ  . −1.  θ θ   θ θ  [ A] = cos   I − sin   S  cos   I + sin   S  2   2 2   2. θ  θ  θ   =ψ denirse dir. X = cos   I − sin   S  ve 2 2   2. 33.

(45)  cosψ X =  0  0. 0 cosψ 0.  cosψ  X =  − sz sinψ  s y sinψ . 0   0   0  −  sz sinψ cosψ   − s y sinψ. − sx sinψ. elde edilir. det X = cosψ dir. X −1 =  cos 2 ψ + sx2 sin 2 ψ  X =  sz sinψ cosψ + sx s y sin 2 ψ  − s y sinψ cosψ + sx sz sin 2 ψ . 1 0 0  −1 X = cosψ 0 1 0  + sinψ 0 0 1 . sx sinψ. s y sinψ   − sx sinψ   0 . − s y sinψ   sx sinψ  cosψ . sz sinψ cosψ. 2  2 sin ψ cos ψ + s x  cosψ   sin 2 ψ X −1 =  sz sinψ + sx s y cosψ   sin 2 ψ  − s y sinψ + sx sz cosψ . − sz sinψ 0. 1 X olduğundan, det X s y sinψ cosψ + sx sz sin 2 ψ   − sx sinψ cosψ + s y sz sin 2 ψ   cos 2 ψ + sz2 sin 2 ψ . − sz sinψ cosψ + sx s y sin 2 ψ cos 2 ψ + s y2 sin 2 ψ sx sinψ cosψ + s y sz sin 2 ψ. − sz sinψ + sx s y cosψ + s y2. sin 2 ψ cosψ. sx sinψ + s y sz.  0   sz −sy . − sz 0 sx. sin 2 ψ cosψ. sin 2 ψ cosψ. sy   sin 2 ψ − sx  + cosψ 0 . sin 2 ψ  cosψ  sin 2 ψ  − sx sinψ + s y sz  cosψ  sin 2 ψ  cosψ + sz2  cosψ  s y sinψ + sx sz.  sx2   sx s y  sx sz . sx s y 2 y. s s y sz. sx sz   s y sz  sz2 . 1 − s y2 − sz2 sx s y sx sz  2 sin ψ   −1 2 2 X = cosψ [ I ] + sinψ [ S ] + sx s y 1 − sx − sz s y sz   cosψ  sx sz s y sz 1 − sx2 − s y2  . sin 2 ψ X −1 = cosψ [ I ] + sinψ [ S ] + cosψ.  1 0 0   − s y2 − sz2     0 1 0  +  sx s y  0 0 1   s s   x z . 34. sx s y 2 x. −s − s s y sz. 2 z. sx sz    s y sz   − sx2 − s y2  .

(46) sin 2 ψ X −1 = cosψ [ I ] + sinψ [ S ] + cosψ X −1 = cosψ [ I ] + sinψ [ S ] +.  1 0 0   0     0 1 0  +  sz  0 0 1   − s   y . − sz 0 sx. sy   0  − sx   sz 0   − s y. − sz 0 sx. sy    − sx   0  . sin 2 ψ  I + S 2  cosψ . olarak hesaplarız.. [ A] = X −1 cos (ψ ) I + sin (ψ ) S  [ A] = cosψ [ I ] + sinψ [ S ] +. sin 2 ψ  I + S 2   cos (ψ ) I + sin (ψ ) S  cosψ. [ A] = cos 2 ψ [ I ] + sinψ cosψ [ S ] + sinψ cosψ [ S ] + sin 2 ψ  S 2  sin 3 ψ + sin 2 ψ  I + S 2  + [ S ]  I + S 2  c osψ olarak elde edilir. Bu eşitlikte [ S ]  I + S 2  = 0 dır. Gerçekten, [ S ] matrisinin karakteristik polinomu,. λ det [ λ I − S ] = − sz sy. sz. −sy. λ. sx. sx. λ. = λ 3 + λ ( sx2 + s y2 + sz2 ) = λ3 + λ dır. Cayley-Hamilton Teoremine göre her karesel matris kendi karakteristik denklemini sağlar.(5) O halde, 3. [S ] + [S ] = 0 dır. Bu durumda, [ A] matrisini,. [ A] = cos 2 ψ [ I ] + sinψ cosψ [ S ] + sinψ cosψ [ S ] + sin 2 ψ  S 2  + sin 2 ψ  I + S 2  [ A] = cos 2 ψ [ I ] + 2sinψ cosψ [ S ] + sin 2 ψ  S 2  + sin 2 ψ  I + S 2 . 35.

(47) [ A] = cos 2 ψ [ I ] + 2sinψ cosψ [ S ] + ( sin 2 ψ + sin 2 ψ )  S 2  + sin 2 ψ [ I ]. [ A]= [ I ] + sin 2ψ [ S ] + (1 − cos 2ψ )  S 2  ,. θ 2. = ψ olduğundan. [ A]= [ I ] + sin θ [ S ] + (1 − cos θ )  S 2  biçiminde elde ederiz.. [ S ] matrisi antisimetrik bir matris olduğundan  S T  = − [ S ]. 2.  S T  =  S 2 . dir.. [ A]= [ I ] + sin θ [ S ] + (1 − cos θ )  S 2   AT  = [ I ] − sin θ [ S ] + (1 − cos θ )  S 2   A − AT  = 2sin θ [ S ] bulunur. Böylece bir. [ A]. Cayley matrisi verildiğinde, θ. s = ( sx , s y , sz ) birim dönme eksenini, cos θ =. [S ] =. izA − 1 2. 1  A − AT  2sin θ. eşitliklerinden bulabiliriz. −4 9 4 9   79  Örnek 2.3.6.1 : A =  28 45 29 45 − 4 9  matrisi verilsin.  − 4 45 28 45 7 9 . 36. dönme açısını ve.

(48)  7/9 28/45 -4/45  32 det A = 1 , A = -4/9 29/45 28/45 = A−1 ve det ( A + I ) = ≠ 0 olduğundan 5 7/9   4/9 -4/9 T. A matrisi bir Cayley matrisidir. A matrisine karşılık gelen dönme açısını ve dönme eksenini bulalım. cos θ =. İzA − 1 3 = 2 5. 3 Dönme açısı θ = arccos   = 53 5 bulunur. cos θ =. [S ] =. 3 4 ise sin θ = dır. 5 5. 1  A − AT  2sin θ.  7 9 − 4 9 4 9   7/9 28/45 -4/45   5  [ S ] =   28 45 29 45 − 4 9 − -4/9 29/45 28/45  8 7/9     − 4 45 28 45 7 9   4/9 -4/9 −16 15 8 15   0 5 0 −16 15 [ S ] = 16 15 8  −8 15 16 15 0 . −2 3 1 3   0  [ S ] =  2 3 0 −2 3  −1 3 2 3 0 . 2 1 2 Dönme ekseni s = ( sx , s y , sz ) =  , ,  3 3 3 dir.. 37.

(49) 2.4. Uzay Displeri 2.4.1. Koordinat Dönüşümleri 3 − boyutlu uzayda iki katı cismin birbirine bağlı konumu, M hareketli. çatıdaki bir noktanın x = ( x, y, z ) koordinatlarını, F sabit çatısındaki X = ( X , Y , Z ) koordinatları cinsinden belirleyen bir dönüşümle tanımlanır.. Şekil 2.8. Biri diğerine bağlı bir cismin uzaysal hareketi. Dönüşüm, X = [ A] x + d. ile verilmiştir. Burada. [ A]. 3 × 3 − tipinden bir dönme matrisi ve d = ( d1 , d 2 , d3 ). öteleme vektörüdür. Bu dönüşüm. M. deki noktalar arasındaki uzaklığı. koruduğundan bir katı dönüşümdür. Bu dönüşüme uzay dispi denir.(1). 38.

(50) 2.4.2. Bir Dispin Vida Ekseni. Bir uzay dispi etkisi altında uzayda sabit kalan, hareketli bir cisimdeki noktaları ele alacağız. Bu c noktaları, disp öncesi ve sonrası aynı koordinatlara sahiptir. Buna göre bu noktalar, c = [ A] c + d. denklemini veya. [ I − A] c = d denklemini sağlamalıdır. Bu denklemin çözümü −1. c = −[ A − I ] d dir. Ancak 3 × 3 − tipinden bütün dönme matrisinin karakteristik değerlerinden biri 1 olduğundan. [A− I]. matrisi singülerdir. Sonuç olarak bir uzaysal dispin sabit. noktaları yoktur. Genel olarak n × n − tipinden bir [ A] dönme matrisi için n çift ise, bir tek sabit nokta vardır ve bu nokta dispin pol noktası olarak adlandırılır. n tek ise, [ A] matrisinin karakteristik değerlerinden biri 1 olduğundan [ A − I ] matrisi singülerdir ve dispte sabit nokta yoktur. Her ne kadar bir uzaysal disp sabit noktalara sahip olmasa da vida ekseni olarak adlandırılan bir sabit doğruya sahiptir. Bu doğru disp öncesi ve sonrası uzayda aynı konuma sahiptir. Sabit doğru üzerindeki her bir nokta, doğru boyunca hareket etmiştir. Bu doğrunun doğrultmanı Rodrigues vektörü olarak bilinen [ A] matrisinin dönme eksenidir. Bu doğrunun konumunu belirleyelim :. 39.

(51) d * , b vektörüne dik bir düzlem üzerine d öteleme vektörünün izdüşümü olsun.. [ I − A] c = d * denklemi, b ye dik düzlemde ötelenen ve b etrafında dönen düzlem dispinin c pol noktasını tanımlar. Aranan doğru, L = c + tb. dir. Disp, bu doğru etrafında bir sırf dönmeye ve doğru boyunca ds = d − d * miktarı ötelemeye indirgenir. Burada s =. b dir. Buna bir vida dispi denir.(1) b. Şekil 2.9.. Şekil 2.9 dan,. ds π  d , s = d s cos  − ϕ  = d sin ϕ ve sin ϕ = olduğundan d 2  dir. c = [ A] c + d * −1. c = [ I − B]. [ I + B] c + d *. [ I − B] c = [ I + B] c + [ I − B] d * [ I − B − I − B] c = [ I − B] d *. 40. d , s = ds.

(52) 1 2. [ B] c = − [ I − B] d * elde edilir. Bunu vektör formunda yazarsak, 1 2. [ B] c = − [ I − B] d * b×c = −. 1 * (d − b × d* ) 2. elde edilir. Bu denklemin her iki tarafını b ile vektörel çarparsak, b × (b × c ) = −. 1 b × d * − b × (b × d * ) 2. (. a × ( b × c ) = ( a.c ) b − ( a.b ) c. (6). ). olduğundan,.  1  * * *  b . c b − b . b c = − b × d − b . d b + b . b d () ( ) () ( )  2 0 0  . ( b.b ) c =. 1 ( b × d * + ( b.b ) d * ) 2.  1  b× d* + d*  c=  2  b.b  dır. Vida ekseni boyunca öteleme miktarı d − d * vektörünün büyüklüğüdür.. 2.4.3. Rodrigues Denklemi (Uzaysal Disp İçin). Dönmeler için verilen Rodrigues denklemi,. L = c + ts. vida ekseni. kullanılarak uzaysal dispe kolayca genelleştirilebilir. c , vida ekseni üzerinde bir nokta olsun. x ve X yerine x − c ve X − ( ds + c ) vektörleri kullanılarak Rodrigues denklemi elde edilir.. 41.

(53) Şekil 2.10. Disp öncesi ve sonrası x ile X in konumu ve vida ekseni. Rodrigues denklemi, X − ( ds + c ) − x + c = b × ( X − ( ds + c ) + x − c ) X − x − ds = b × ( X + x − 2c − ds ) X − x − ds = b × ( X + x − 2c ) + b × ( − ds ) . 0. X − x = b × ( X + x − 2c ) + ds. olarak elde edilir. Bu genel bir uzaysal disp için Rodrigues denklemidir. Vida ekseni boyunca öteleme miktarı olan ds vektörünün büyüklüğü. ( X − x ) .s =. ds. ile verilebilir. Gerçekten, Rodrigues denkleminden, X − x = b × ( X + x − 2c ) + ds. X − x = ( tan (θ 2 ) s ) × ( X + x − 2c ) + ds .s yazılabilir. Her iki tarafı s ile çarparsak,. ( X − x ) .s = ( ( tan (θ 2 ) s ) × ( X + x − 2c ) ) .s +. 42. ds s.s 1.

(54) ( X − x ) .s = det ( tan (θ 2 ) s, ( X + x − 2c ) , s ) + . ds. 0. ( X − x ) .s =. ds. dir.. 2.4.4. Vida Matrisi. Şimdiye kadar verilen bir D = ( A, d ) dispi için vida eksenini, bu eksen. boyunca ötelemeyi ve bu eksen etrafında dönmeyi tanımladık. Şimdi verilen L vida eksenine göre, D dispini ve L boyunca d mesafeli, θ. açılı vida dispini tanımlayacağız.. F sabit çatısında, vida ekseni L = c + ts ile verilsin. s vektörü birim vektör ve c.s = 0 olduğunu kabul edelim. Verilen θ dönme açısından Rodrigues vektörü θ  b = tan   s 2 elde ederiz. b vektörünün bileşenlerini kullanarak,. [ B]. antisimetrik matrisi ve. Cayley formülü yardımıyla [ A] dönme matrisini belirleriz. Eğer vida ekseni F nin orijininden geçiyorsa bu durumda c = 0 dır. Öteleme miktarı, c = [ A] c + d *. 0 = [ A] 0 + d * d* = 0 olacağından ds = d − d *. 43.

(55) ds = d. olur. Böylece disp D′ = ( A, ds ). dir. Eğer vida ekseni F nin orijininden geçmiyorsa c ≠ 0 dır. Bu durumda bir F ′ sabit çatısı, → F ′, T = ( I , c ) T : F . ötelemesi ile c noktasında vida ekseni üzerine yerleştirilebilir. D′ = ( A, ds ) dispi referans çatının değişiminden,. D = TD′T −1 = ( I , c )( A, ds )( I , −c ) = ( A, − Ac + ds + c ) olur. Böylece d öteleme vektörü d = ds + [ I − A] c olarak bulunur. Verilen disp için elde edilen 4 × 4 − tipinden [ A, d ] matrisine, vida matrisi denir.(1) Örnek 2.4.4.1 : Vida ekseninin bulunması ile ilgili bir örnek verelim.. Öteleme vektörü d = (1, 2,0 ) ile D ... 2 x + y + 2 z = 0 düzlemi verilsin. d nin D düzlemi üzerindeki dik izdüşüm vektörü d * = ( d1* , d 2* , d3* ) olsun Vida ekseni boyunca öteleme vektörü d − d * , düzlemin normaline paralel olacağından 1 − d1* 2 − d 2* −d3* = = =µ 2 1 2. 44.

(56) dir. Ayrıca d * = ( d1* , d 2* , d3* ) , D nin üzerinde olacağından, düzlemin noktalarını sağlar.. 2x + y + 2z = 0 2 (1 − 2µ ) + 2 − µ + 2 ( −2 µ ) = 0 ⇒ µ =. 4 9. d * = (1 9,14 9, −8 9 ) bulunur. Öteleme vektörü ds = d − d * = (1, 2,0 ) − (1 9,14 9, −8 9 ) = ( 8 9, 4 9, 8 9 ). 2 1 2 dır. b = ( 2,1, 2 ) , b vektörü yönündeki birim vektör s =  , ,  dir. 3 3 3  1  b× d* + d*  c=  2  b.b   1  ( −4, 2, 3) c=  + (1 9,14 9, −8 9 )  2 9  c = ( −1 6, 8 9, −5 18 ). elde edilir. Bulunan bu c noktası D düzlemi üzerinde bir noktadır. Vida ekseni c = ( −1 6, 8 9, −5 18 ) noktasından geçen ve doğrultmanı b = ( 2,1, 2 ) olan doğrudur. L = c + tb L = ( −1 6, 8 9, −5 18 ) + t ( 2,1, 2 ) L = ( −1 6 + 2t , 8 9 + t , −5 18 + 2t ). vida eksenidir.. 45.

(57) Şimdi L vida ekseni üzerinde bulunan bir noktanın dispten sonra yine vida. ekseni üzerinde bulunacağını gösterelim. Vida üzerinde herhangi bir nokta x = ( −1 18,17 18, −1 6 ) alalım. x noktasının disp sonrası konumu X = ( X 1 , X 2 , X 3 ). olsun. Rodrigues denkleminden, X − x = b × ( X + x − 2c ) + ds. ( X 1 , X 2 , X 3 ) −  −. 1 17 1  , ,−   18 18 6 .    1 17 1 = ( 2,1, 2 ) ×  ( X 1 , X 2 , X 3 ) +  − , ,−  18 18 6  .   1 8 5    8 4 8   − 2  − , , −   +  , ,    6 9 18     9 9 9 .  5 25 13  X = , ,   6 18 18  bulunur. 5  1 − 6 + 2t = 6  25 1 8 ⇒t =  +t = 18 2 9 13  5 − 18 + 2t = 18  olup X , vida ekseni üzerindedir. Üstelik  5 25 13   1 17 1 X − x =  , ,  −  − , ,−  6 18 18   18 18 6.  8 4 8  =  , ,  = ds  9 9 9. dir.. Şimdi L vida ekseni üzerinde olmayan bir x = (1, 0,0 ) noktasının dispten sonraki konumunu bulalım. x noktasının disp sonrası konumu X = ( X 1 , X 2 , X 3 ) olsun. Rodrigues denkleminden X − x = b × ( X + x − 2c ) + ds. 46.

(58) ( X 1 , X 2 , X 3 ) − (1,0,0 )    1 8 5    8 4 8  = ( 2,1, 2 ) ×  ( X 1 , X 2 , X 3 ) + (1,0,0 ) − 2  − , , −    +  , ,   6 9 18     9 9 9     14 3  X = 1, ,   5 5 bulunur. X noktası vida ekseni üzerinde değildir. Üstelik. ( X − x ) .s =  0, . 14 3   2 1 2  4 ,  .  , ,  = = ds 5 5 3 3 3 3. dır.. 47.

(59) 3. ARAŞTIRMA BULGULARI. 3.1. Bir Katı Cismin Hareketi. Bir katı cismin hareketi D ( t ) : F  →M displerinin bir sürekli dizisi olarak temsil edilebilir. F çatısı sabittir fakat M hareketli çatısının konumu t parametresine bağlı olarak değişir. D ( t ) nin sürekliliği D ( t1 ) , D ( t2 ) gibi iki dispin arasındaki uzaklığın veya buna denk olarak D ( t1 ) − D ( t2 ) farkının ölçüsünü gerektirir. Bu kavramlar lineer dönüşümler için. tanımlandığından düzlem ve uzay displeri homogen dönüşümlerle ifade edilmektedir. Bu, bir hareketin türev tanımını basitleştirir.. 3.1.1. Displer İçin Norm. Koordinat çatısının belirlenmiş bir çifti için, n × n − tipinden bir [T ] matrisi ile belli olan bir disp söz konusudur. Bu matrisin büyüklüğünün bir ölçüsü, matrisin. n 2 boyutlu vektör olarak ele alındığındaki büyüklüğü olarak düşünülebilir. Bu durumda [T ] = [t1 , t2 , tn ] matrisinin büyüklüğü n. magT =. ∑t. 2 ij. i , j =1. dir.. 48.

(60)  t11 … t1n  [T ] =   matrisinde i − yinci sütun ti = ( t1i , t2i ,..., tni ) 1 ≤ i ≤ n , ve tn1 tnn  2. ti = t12i + t22i + ... + tni2 olduğundan n. magT =. ∑t. 2. i. i =1. olarak yazabiliriz. Amacımız için, magT. eşitliğinde, her bir sütunun büyüklüğünü,. [T ]. matrisinin en büyük sütun vektörünün büyüklüğüne sahip olan ile yer değiştirelim. Bu değişimle birlikte T normu T = n max ( ti 1 ≤i ≤ n. ). olarak tanımlanır.(1) n. T. ile. magT. arasındaki bağıntı,. ∑t. 2 i. i =1. ≤ n max ti 1≤ i ≤ n. 2. = n max ti 1≤ i ≤ n. olduğundan, magT ≤ T. dir.. İki [ S ] ve [T ] matrisi arasındaki uzaklık, T − S = n max ti − si 1≤ i ≤ n. ile verilmiştir. Burada si ve ti sırasıyla [ S ] ve [T ] matrislerinin sütunlarına karşılık gelen vektörlerdir. (1 ≤ i ≤ n ) T nin bir matris normu(10) olduğunu gösterelim.. 49.

(61) ?. i) ∀ A, B ∈ IRnn için A + B ≤ A + B A + B = n max ai + bi 1≤ i ≤ n. A + B ≤ n max ( ai + bi. ). 1≤ i ≤ n. (. A + B ≤ n max ai + max bi 1≤i ≤ n. 1≤i ≤ n. ). A + B ≤ n max ai + n max bi 1≤i ≤ n. 1≤ i ≤ n. A+ B ≤ A B ?. ii) ∀ A, B ∈ IRnn için AB ≤ A B n. AB nin j − yinci sütunu n. n. i =1. i =1. ∑b. i =1. i =1. 1≤i ≤ n. ∑ bij ai ≤ ∑ bij ai = b1 j a1 + b2 j a2 + ... + bnj an n. ∑b a ≤ ( b. 1j. ij i. ). , b2 j ,..., bnj . ( a1 , a2 ,..., an. i =1. n. ∑b a. ij i. ≤. 2. 2. b1 j + b2 j + ... + bnj. 2. 2. n. ij i. ≤ b12j + b22 j + ... + bnj2. 2. 2. a1 + a2 + ... + an. i =1. n. n. ∑ bij ai ≤ b j. ∑a. i =1. i =1. 2. i. n. ∑b a. ij i. i =1. ≤ bj. n max ai 1≤i ≤ n. n. ∑b a. ij i. i =1. ≤ n max ai max bi 1≤i ≤ n. (Üçgen Eşitsizliği). a1 + a2 + ... + an. 2. 1≤i ≤ n. 50. a dir.. ij i. ). i =1. ∑b a. n. ∑ bij ai ve AB = n max. 2. 2. (Schwartz Eşitsizliği).

(62) n. n. ∑b a. ij i. ≤ n n max ai max bi 1≤i ≤ n. i =1. 1≤i ≤ n. Her iki tarafın maksimumu alınırsa, n. n max 1≤i ≤ n. ∑b a. ij i. ≤ n n max ai max bi 1≤i ≤ n. i =1. 1≤i ≤ n. AB ≤ A B. elde edilir. ?. iii) ∀ A ∈ IRnn , ∀k ∈ IR için kA = k A kA = n max kai = k 1≤i ≤ n. n max ai = k A 1≤i ≤ n. dır.. 3.1.2. Matris Operasyonlarının Sürekliliği T = n max ( ti 1 ≤i ≤ n. ). normunu kullanarak [T ] dispinin [ S ] dispine yaklaşması. için, onların ( i, j ) − yinci elemanları olan tij lerin sij lere yaklaşması gerektiğini göstereceğiz. xij : IRnn  → IR T  → xij (T ) = tij olarak tanımlayalım. xij fonksiyonunun sürekliliğini inceleyelim.. ∀ε > 0 için ∃δ ( ε ) > 0 bulmalıyız ∋ T − S < δ iken xij (T ) − xij ( S ) = tij − sij < ε sağlanmalıdır.. 51.

(63) T − S < δ ⇒ n max ti − si < δ ⇒ max ti − si < 1≤i ≤ n. (1 ≤ i ≤ n ) , ti − si t i − si =. (t. 1i. δ n. = ( t1i − s1i ,t2i − s2i ,..., tni − sni ) olmak üzere 2. 2. − s1i ) + ( t2i − s2i ) + ... + ( tni − sni ). max t i − s i = max 1≤ i ≤ n. 1≤i ≤ n. 1≤ i ≤ n. (t. 1i. 2. 2. 2. − s1i ) + ( t2 i − s2 i ) + ... + ( tni − sni ). 2. (1 ≤ i ≤ n ). tij − sij ≤ max ti − si 1≤i ≤ n. tij − sij ≤ max ti − si < 1≤ i ≤ n. δ n. δ n. = ε olarak seçilirse, xij fonksiyonu süreklidir.. [ R ] = [ S ][T ]. çarpım matrisinin elemanları [ S ] ve [T ] matris elemanlarının. her birinin rasyonel fonksiyonlarıdır. xij ( S ) ve xij (T ) sürekli fonksiyonlarının toplamı, farkı, çarpımı, bölümü de sürekli bir fonksiyon olduğundan [ S ] ve [T ] sürekli iken [ R ] = [ S ][T ] çarpımı da süreklidir. Aynı nedenle det (T ) fonksiyonu da süreklidir.(8) ∀ε > 0 için ∃δ ( ε ) > 0 var ∋ T − S < δ iken det (T ) − det ( S ) < ε dir. Bundan dolayı determinantı sıfırdan farklı matrislerin cümlesi yani regüler matrislerin cümlesi GL ( n ) bir sürekli manifolddur.(8). 52.