Uzayda İki Doğrunun Birbirine Göre Konumu

Parametrik denklemde k lerin eşitlenmesi ile

–

– , 0

y z

4 2 x

= 2 = kapalı denklemi bulunur.

O halde,

Dikkat edilirse Y ve Z eksenini kesen doğru denk-lemlerinde x = 0 oluyor.

127

Ö ^{r n}

^ek

Uzayda A(1, 2, 3) noktasından geçen ve u = (4, 5, 0) ne paralel olan doğruyu dik koordinat

Uzayda İki Doğrunun Birbirine Göre Konumu

Uzayda doğrultman vektörleri, u = (p, q, r) ve v = (p^ı, q^ı, r^ı) olan

= = doğruları verilsin.

u ve v

¾ lineer bağımlı ise doğrular paralel ya da çakışıktır.

Bu durumda p

¾ lineer bağımsız ise doğrular kesişir.

1

u

2

v

121

doğrularının birbirine dik durumlu olması için a nın değerini bulalım.

l₁ doğrusunun doğrultmanı v₁=(3, 4, –2)

doğruları arasındaki açı 60° olduğuna göre, m nin alabileceği değerler toplamını bulalım.

Verilen doğruların doğrultman vektörleri, (2, –1,1) (3,1, )

v₁= ve v₂= m dir.

İki doğru arasındaki açı ile doğrultmanları arasın-daki açı aynı olduğundan,

v , v_{1 2} v . v . cos_{1 2} ne paralel olan doğrunun denklemini bulalım.

Doğru üzerinde bir T(x, y, z) noktası alalım.

v doğruya paralel olduğundan, // v nü doğrultman vektörü kabul eden ve Ox eksenine dik olan doğrunun denklemini bulalım.

Doğrunun Ox eksenine dik olabilmesi için doğrult-man vektörünün birinci bileşeni yani a = 0 olmalıdır.

O halde doğru denklemi, x – 4 = 0,

125

doğrusuna paralel olması için a nın değerini bulalım.

Bir vektörün bir doğruya paralel olması demek o doğrunun doğrultman vektörüne paralel olması de-mektir. geçen doğrunun denklemini bulalım.

– , – , – –

AB=a3 2 0 1 1 2k = (1, –1, –3) olur.

Bu durumda B noktasından geçen ve AB ne paralel olan doğrunun denklemi,

–

Uzayda Z eksenine 4 birim uzaklıktaki nokta-ların koordinatnokta-larını (geometrik yerini) bulalım.

X yarıçapı 4 birim olan bir silindirik yüzeydir.

128

Ö ^{r n}

^ek

A(3, 4, 0) noktasından geçen ve Z eksenine paralel olan doğrunun grafini çizip denklemini bu-lalım.

O halde, l doğrusunun denklemi,

– –

129

Ö ^{r n}

^ek

X

Y Z

O 2

5 A(0,5,2)

Yukarıda A(0, 5, 2) noktasından geçen ve x ekse-nine paralel olan l doğrusunun denklemini bulalım.

l doğrusu x eksenine paralel olduğundan doğrult-man vektörü u =(1, 0, 0) alınabilir.

A(0,5,2)

u = ^(1,0,0)

O halde,

l doğrusunun denklemi,

– –

x y z

1 0 k 5

0

= = 2= ya da

x = k, y = 5, z = 2 bulunur.

1210

Ö ^{r n}

^ek

X

Y Z

O 3 A(2,0,3)

2

Yukarıda A(2, 0, 3) noktasından geçen ve y eksenine paralel olan l doğrusunun denklemini bulalım.

l doğrusu y eksenine paralel olduğundan doğrult-man vektörü u =(0,1, 0) alınabilir.

A(2,0,3)

u = ^(0,1,0)

O halde, l doğrusunun denklemi,

– – –

x y z

0 k 2

1 0

0

= = 3 = ya da

x = 2, y = k, z = 3 bulunur.

UZAYDA Bİr DÜZLemİN PArAmeTrİK Ve KAPALı DeNKLemİ

1. adım :

Uzayda koordinat sistemi seçilir.

X

Y Z

O

2. adım :

Uzayda bir P noktası belirlenir.

P noktasına lineer bağımsız u ve v taşınır.

X

Y Z

O

v

P u

3. adım :

P, u , v nün belirlediği düzlem modeli çizilir.

X

Y Z

O

v

P u

4. adım :

Bu düzlem modeli üzerinde keyfi bir x noktası se-çilir ve PX nün u ve v cinsinden eşiti yazılır.

X

Y Z

O v

u P

v k₁.

u k₂.

PX = k₁.v+k₂.u X

5. adım :

, ve

OP OX PX arasındaki bağıntı yazılır.

X

Y Z

O v P u

X

X

Y Z

O P

X

OP PX OX+ = olup

düzleminin parametrik denklemi,

. .

k v k u

OX OP= + ₁ + ₂ dir.

6. adım :

u ile v nün vektörel çarpımının u ve v ne dik ol-duğunu hatırlayalım.

,

ux v=u u x v=v

O halde, PX de u x v ne diktir. (PX =u x v)

Böylece, GPX u x v, H= düzlemin kapalı vektö-0 rel denklemi olur.

Ö Z E T

Uzayda bir P noktasından geçen ve lineer bağım-sız ,u v ne paralel olan düzlemin parametrik denklemi, X düzlem üzerinde değişken bir nokta olmak üzere,

X

Y Z

O v

u P

X

OX = OP + k₁.v+k₂.u



^k1, k₂ birer reel sayı



u v düzlemin birer doğrultu vektörleri^,



Bir düzlemin doğrultu vektörlerine dik olan vektö-re düzlemin normal vektörü denir ve N ile göste-rilir.

,

u v

N= N= yani // u x vN (N =u x v alınabilir.)



Uzayda P noktasından geçen ve normali N olan düzlemin kapalı denklemi GPX N, H= şeklinde-0 dir.



Düzlemin X= +P k₁.u k+ ₂.v parametrik denk-leminden N =u x v olmak üzere GPX N, H= ka-0 palı denklemi elde edilebilir.

121

Ö ^{r n}

^ek

Doğrultu vektörleri u (1, 2, 1)= – ve v (3, 1, 4)= olan düzlemin parametrik ve kapalı denklemlerini bulalım.

X, düzlem üzerinde değişken bir nokta olsun.

u =(1,2,–1)

v =(3,1,4) P

H

X

P(0, 0, 0), H düzleminin parametrik denklemi, OP PX OX+ = ya da X P k= + ₁.u k+ ₂.v X = P + k₁ (1, 2, –1) + k₂ (3, 1, 4) şeklinde yazılabilir.

u x v

N = olmak üzere,

, 0

GPX NH= eşitliğinden kapalı denklemi bulalım.

–

– – ( , – , – ) u x v

e e e

e e e olup

N 1

3 2 1

1 4

9 7 5 9 7 5

1 2 3

1 2 3

= =

= =

(9, –7, –5)

N = düzlemin normalidir.

O halde,

, 0

GPX NH= olacağından, ( , , )x y z ve (9, –7, –5)

PX= N= ile

H : 9x – 7y – 5z = 0

düzlemin kapalı denklemi elde edilir.

122

Ö ^{r n}

^ek

Uzayda A(3, –5, 4) noktasından geçen ve N (1, 2, 6)= – ne dik olan düzlemin denklemini bu-lalım.

H

A(3, –5, 4) N = (1, –2, 6)

H düzlemi üzerinde değişken bir B(x, y, z) noktası alalım.

H A(3, –5, 4)

B(x, y, z) N = (1, –2, 6)

AB N= olduğundan, GAB N, H= olmalıdır.0 – ( – 3, 5, – 4)

B A x y z ve

AB = = + N =(1, –2, 6)

, 0

GAB NH= eşitliği ile

H : 1(x – 3) – 2(y + 5) + 6(z – 4) = 0

x – 2y + 6z – 37 = 0 kapalı denklemi elde edilir.

123

Ö ^{r n}

^ek

Uzayda A(3, 2, –1), B(2, –4, 0) ve C(0, 1, –2) nok-talarından geçen düzlemin denklemini bulalım.

H A(3, 2, –1) B(2, –4, 0)

C(0, 1, –2)

u=AC ve v=AB nü bulalım.

– (–3, –1, –1) – (–1, –6,1)

u C A= = ve v B A= =

Düzlemin normalini (normal vektörünü) bulalım.

1. Yol :

Düzlem üzerinde değişken bir P(x, y, z) noktası ile N AP= olacağından, GN AP, H= olmalıdır.0

H düzleminin denklemini,

, 0 olacağından skaler çarpım ile çok miktarda N vektör-leri elde edilmiş olur ki bunlardan herhangi birini seçe-rek düzlem denklemi kolayca yazılabilir.

H

YOZ düzleminin denklemini bulalım.

X ekseni üzerinde A(1, 0, 0) ve YOZ düzleminde değişken bir P(x, y, z) noktası alalım.

X

X ekseni ZOY düzlemine dik olduğundan, (1, 0, 0)

G H= eşitliğinden, ZOY düzleminin denklemi, x + 0y + 0z = 0 ⇒ x = 0 bulunur.

125

Ö ^{r n}

^ek

X

Y Z

O

XOZ düzleminin denklemini bulalım.

Y ekseni üzerindeki bir A(0, 1, 0) noktası için OA , XOZ düzleminin bir normali olarak düşünülebilir.

XOZ düzleminde rastgele seçilen bir P(x, y, z) noktası için,

X

Y Z

O

A(0,1,0)

P(x,y,z) P(x, y, z)

N = (0, 1, 0) O

(0,1, 0)

A = ve OP =( , , )x y z

OP OA= olup GOP OA, H= eşitliği ile 0 XOZ düzleminin denklemi,

0 . x + 1 . y + 0 . z = 0 ⇒ y = 0 bulunur.

SONUÇ :

X

Y Z

O y = 0 düzlemi

126

Ö ^{r n}

^ek

X

Y Z

O

XOY düzleminin denklemini bulalım.

Z ekseni üzerinde bir A(0, 0, 1) noktası için OA , XOY düzleminin bir normali olarak düşünülebilir.

XOY düzleminde rastgele seçilen bir P(x, y, z) noktası için,

X

Y Z

O A(0,0,1)

P(x,y,z) P(x, y, z) N = (0, 0, 1)

(0, 0,1)

OA A= = ve OP=P=( , , ),x y z

OA OP= olup GOA OP, H= eşitliği ile, 0 XOY düzleminin denklemi,

0.x+0.y+z = 0 ⇒ z = 0 bulunur.

SONUÇ :

X

Y Z

z = 0 düzlemi

127

Ö ^{r n}

^ek

Uzayda 3x + 4y + 5z – 60 = 0 şeklinde verilen denklemi yorumlayalım.

x = 0, y = 0 için z = 12 x = 0, z = 0 için y = 15 y = 0, z = 0 için x = 20 olup

20,15,12 düzlemin eksenlerinden ayrılan parçadır.

X

Y Z

O 12

20

15

X

O 12

20

15

128

Ö ^{r n}

^ek

2x + 3y = 12 denklemi düzlemde ve uzayda ne belirtir?

Düzlemde : 2x + 3y = 12 denklemi (0, 4) ve (6, 0) noktalarından geçen bir doğru belirtir.

x y

O 4

6

2x + 3y = 12 Uzayda ise :

x eksenini (6, 0, 0) ve y eksenini (0, 4, 0) nokta-larında kesen ve z eksenine paralel olan bir düzlem belir-tir.

X

Y Z

O

6

4 H

129

Ö ^{r n}

^ek

H₁ : x = 3, H₂ : y = –2, H₃ : z = 5 denklemleri ile verilen düzlemlerin grafiğini uzayda gösterelim.

Uzayda :

x = 3 denklemi x eksenini (3, 0, 0) noktasında ke-sen ve YOZ düzlemine paralel bir düzlem belirtir.

H₁

X

Y Z

O

3 x = 3

y = –2 düzlemi y eksenini (0, –2, 0) noktasında kesen ve XOZ düzlemine paralel bir düzlem belirtir.

H₂

X

Y Z

–2 O y = –2

z = 5 düzlemi z eksenini (0, 0, 5) noktasında ke-sen ve XOY düzlemine paralel bir düzlem belirtir.

X

Y Z

O 5

H₃ z = 5

NOT :

Uzayda yukarıdaki düzlemin denklemi a 1

Uzayda koordinat eksenlerini eşit parçalara ayıran ve A(1, 2, 3) noktasından geçen düzlemin

Düzlemin denklemi, 1

a

Denklem düzenlenirse 1

a x y z+ +

= olup x + y + z = a yazılabilir.

A(1, 2, 3) noktası bu denklemi sağlar.

1 + 2 + 3 = a ⇒ a = 6 olup

düzlemin denklemi x + y + z = 6 bulunur.

1112

Ö ^{r n}

^ek

3x + 2y + z = 12 düzleminin koordinat eksenlerini kestiği noktalar A, B, C olsun.

Buna göre, ABC üçgensel bölgesinin alanını

BA ve BC üzerine kurulan paralelkenarsal böl-genin alanının yarısı ABC üçgensel bölgesinin alanı-na eşittir.

O halde,

A(ABC) = . BA BCx 2

1 yazılabilir.

–

1212

Ö ^{r n}

^ek

x – 2y + z – 3 = 0 ve x + y – 2z + 4 = 0 düzlemlerinin arakesit doğrusunun denklemi-ni bulalım.

x = k diyelim.

Denklemler düzenlenip taraf tarafa toplanırsa, 2 / –2y + z = 3 – k

y – 2z = –4 – k

y = – – k

3

2 3 , z = k 3 3 +5

olup +

k ler eşitlenirse arakesit doğrusunun denklemi

x = y z–

3 k

3 2

3

3 5

+ = = bulunur.

u =(1,1,1) 0, – ,2

3 5 3

NOT :

Ax+By+Cz+D=0 Düzlemi gözönüne alındığında,



Ax + By + Cz + D > 0 ifadesine açık üst yarı uzay denir.



Ax + By + Cz + D ≥ 0 ifadesine kapalı üst yarı uzay denir.



Ax + By + Cz + D < 0 ifadesine açık alt yarı uzay denir.



Ax + By + Cz + D ≤ 0 ifadesine kapalı alt yarı uzay denir.

1312

Ö ^{r n}

^ek

– –

–

x y z

2 2

3 1

1 1

+ = = +

doğrusunun 6x + ay – 3z + 7 = 0 düzlemine paralel olması için a nın değerini bulalım.

Doğrunun doğrultmanlarından biri, v =(2, –3, –1) ve düzlemin normallerinden biri de N =(6, , –3)a dir.

Doğru düzleme paralel ise v N= olur.

O halde, Gv N, H=0

2 . 6 + (–3) . a + (–1) . (–3) = 0 12 – 3a + 3 = 0

3a = 15 ⇒ a = 5 bulunur.

1412

Ö ^{r n}

^ek

A(3, –1, 2) noktasından geçen ve N (2, 1, 3)= – vektörüne dik olan düzlemin denklemini bulalım.

Düzlemin içinde bir nokta P(x, y, z) olsun.

AP N= olur.

AP = P – A = (x – 3, y + 1, z – 2)

, 0

GAP NH= olup

2 . (x – 3) + 1 . (y + 1) + (–3) . (z – 2) = 0 2x – 6 + y + 1 – 3z + 6 = 0

2x + y – 3z + 1 = 0 bulunur.

Uzayda İki Düzlemin Birbirine

Belgede UZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU DÜZLEM (sayfa 30-41)