1. İki boyutlu uzayda (düzlemde) A(a

(1)

1. İki boyutlu uzayda (düzlemde) A(a

₁

,a

₂

), B(b

₁

,b

₂

), C(c

₁

,c

₂

) noktaları verilmiş olsun.

ABC üçgeninin alanının:

1 1 1

2 2 2

1 1 1

1 A 2 a b c

a b c

=

olduğunu ispat ediniz.

Çözüm: Aşağıdaki şekil incelendiğinde

S=ABC üçgeninin alanı

S

₁

=AHUB yamuğunun alanı S

₂

=BUKC yamuğunun alanı

S

₃

=AHKC yamuğunun alanı olsun.

S= S

₁

+S

₂

-S

₃

olduğu görülebilir. Yamukların alanları

hesaplandığında;

(2)

(

₂ ₂

)(

₁ ₁

) (

₂ ₂

)(

₁ ₁

) (

₂ ₂

)(

₁ ₁

)

1 1 1

2 2 2

S = a + b b − a + b + c c − b − a + c c − a

(

_{2 1} _{2 1} _{2 1} _{1 2} _{2 1} _{1 2}

)

1

S = 2 a b −b a +b c −b c −a c +a c

.

(3)

2.

u ve a sıfırdan farklı vektörler olmak üzere,

2

izd_a = u a.

u a

a ^ve ²

izd .

− _a = − u a

u u u a

a olduğunu ispat ediniz.

Çözüm: w1=izd_a u ve w₂=u-izd_a u olsun. w₁vektörü a vektörüne paralel olduğundan, w₁=ka yazılabilir.

u= w1+ w₂= ka+w₂

eşitliğin her iki tarafı a vektörü ile skaler olarak çarpılır ise,

(

₂

)

² ₂

. = k + . =k + .

u a a w a a w a

w2 vektörü a vektörüne dik olduğundan, w₂.a=0 ve

2

k = u a. a

izd_a u= w₁=ka olduğundan

2

izd_a = u a.

u a

a elde edilir.

(4)

3. (3,-1,7) noktasından geçen ve n=(4,2,-5) vektörüne dik olan düzlemin denklemini bulunuz.

Çözüm: 4(x-3)+2(y+1)-5(z-7)=0 4x+2y-5z+25=0

(5)

4. P₁(1,2,-1), P₂(2,3,1), P₃(3,-1,2) noktalarından geçen düzlemin denklemini bulunuz.

Çözüm: Noktaların tümü düzlemin üzerinde yer aldığı için, 0

ax+by +cz +d = genel denklemini sağlamalıdır:

2 0

a + b− +c d = 2a +3b + +c d =0 3a − +b 2c+d = 0

Homojen denklem sisteminin çözümü:

9

a = −16t

,

¹

b = −16t

,

⁵

c =16t

,

d =t

ve

t = −16

alınarak düzlem denklemi:

9x + y −5z −16 =0

(6)

5. Bir ^{P x y z}₀

(

₀^, ₀^, ₀

)

noktası ile bir ax +by +cz +d =0 düzlemi arasındaki D uzaklığın

0 0 0

2 2 2

ax by cz d D

a b c

+ + +

=

+ + olduğunu ispatlayın.

Çözüm: Bu düzlem üzerindeki her hangi bir nokta

(

₁^, ₁^, ₁

)

Q x y z olsun. Düzlemin normal vektörü ise n ⁼

(

^{a b c}^{, ,}

)

olsun ve bu vektörün başlangıç noktası Q olsun. Bu durumda

( )

0 0, 0, 0

P x y z noktası ile ax +by +cz +d =0 düzlemi arasındaki D uzaklığı, QP₀

r

vektörünün n vektörü üzerine izdüşümünün uzunluğuna eşit olacaktır:

0 0

QP. D = izd QP_n = n

n r r

( )

0 0 1, 0 1, 0 1

QP = x − x y − y z − z r

( ) ( ) ( )

0. 0 1 0 1 0 1

QP n = a x − x +b y − y +c z − z r

2 2 2

a b c

= + +

n ve

(

₀ ₁

) (

₀ ₁

) (

₀ ₁

)

2 2 2

a x x b y y c z z D

a b c

− + − + −

=

+ +

(

₁^, ₁^, ₁

)

Q x y z noktası düzlem üzerinde olduğundan düzlem denklemini,

1 1 1 0

ax +by +cz +d =

sağladığı için ispat tamamlanır.