TANIM KÖKLÜ İFADELER 1

(1)

KÖKLÜ İFADELER

A.

TANIM

n , 1 den büyük bir doğal sayı olmak üzere, xn a eşitliğini sağlayan x sayısına a nın .n dereceden kökü denir.

a nın n. dereceden kökü n a şeklinde gösterilir.

2 a  a : karekök a 3 a : küpkök a

4 a : dördüncü dereceden kök a şeklinde okunur.

Bazı köklü sayılar reel sayı değildir.

n a ifadesinin bir reel sayı belirtmesi için:

0

a veya n tek sayı olmalıdır.

6 , 4 6 , 6 2 , 10 2 sayıları birer reel sayıdır.

4 5 , 6 2 , 8 sayıları reel sayı değildir.

n pozitif tam sayı ve a negatif reel sayı ise n a ifadesi reel sayı değildir.

48x köklü ifadesinin reel sayı belirtmesi için, x in hangi koşulu sağladığını bulalım.

48xR ise 8x0x10 olur.

3x 6

x  ifadesinin reel sayı belirtmesi için x in hangi koşulu sağladığını bulalım.

3x 6

x  ifadesinin reel sayı belirtmesi için, R

x ve 3x6R olmalıdır.

Kökün derecesi tek sayı olduğundan dolayı x in bütün reel değerleri için 3x6R dir.

R

x ise x0 dır.

Buna göre, verilen ifadenin reel sayı belirtmesi için, x0 olmalıdır.

x 2

6x10 6 ifadesinin reel sayı belirtmesi için x in hangi koşulu sağladığını bulalım.

x 2

6x10 6 ifadesinin reel sayı belirtmesi için, 6x10R ve 62xR olmalıdır.

10 x 0 10 x

6x10R     dur. …( I )

6 x 2 0 x 2 6 R x 2

6      

x 3

2 6 2

x

2  



 



  olur. … ( II )

(2)

( I ) ve ( II ) koşullarını sağlayan x değerleri istendiğine göre, 10

x veya x3 ise 10x3 tür.

B.

KÖKLÜ İFADENİN ÜSLÜ İFADE

BİÇİMİNDE YAZILMASI

m

n m na a dir.

7 5 7 53 3

2 3 2 32 2

8   tür.

7 3 ) 2 7( 2)3 (

7 8     dir.

0

a ise m ma a dır.

9 94 4

3 34 4 3 64 

2 20 0

0 

m tek sayı ise m ma a dır.

3 31 1 3 1 

5( 2)5 2 5 32   

13 130 0

13 0  

m çift sayı ise m ma  a dır.

5 2 25 5

25  

(3)

24 12(24)12  24 

2 1 2 8 )8 1

2 (1 828

8 82  1   

x

x  olduğuna göre, 5 32 4(4)4 işleminin sonucunu bulalım.

4 4( 4)4 2

5( 2)5 4( 4)4

5 32         

2 4 242 dir.

)2 7 2 (

) 3

(   işleminin sonucunu bulalım.

7 2 3

) 7 2 (

) 3

(     



  3  [  (   7 )]



  3    7  4

b 0

a  olmak üzere 4(b a)4 )2

b a

(    işleminin sonucunu bulalım.

b 0

a  olduğuna göre, ab0 ve ba0 dır.

Buna göre,

a b b 4(b a)4 a

)2 b a

(       

(ab)(ba)

abba0

k bir doğal sayı ve a0 olmak üzere, m

. k ak.n

m na  dir.

6 43 6 81 3

. 2 32.2

3 23    dir.

6 125 6 35

2 . 3 53.1 2 15

5   

15 64 5

. 3 43.1 5 14

5 4   

k bir doğal sayı ve a0 olmak üzere,

k m

k n m na  a dir.

(4)

3 57 2

6 2 10

6 107  7 

2 12 2 3

6 3 3 6 32 2

6 8    

4 16 4 6 2

8 2 2 8 26 6

8 36   

C.

BİR SAYIYI KÖK İÇİNE ALMA

VEYA KÖK DIŞINA ÇIKARMA

0

t olmak üzere, n

a n. n a t

.t  dır.

20 5 . 4 5 2. 2 5 .

2   

3 40 3 5.8 323.5 3 5

.

2   

3 2 3 .16

8 3 )3.16 1

2 (1 3 16 2.

1   

3 16 3( 8).2

3( 2)3.2 ).3 2

2

(      

5 3 5( 1).3 5( 1)5.3

5 3 ).

1

(      

n tek sayı olmak üzere, n .tn a a n.

t  dır.

3 2 . 353.2 5 3125.2

3 250  

3 4 . 3( 2)3.4 2 3 8.4

3 32     

5 . 2 5 2. 2 5 . 4

20  

D.

KÖKLÜ SAYILARLA YAPILAN

İŞLEMLER

1.

Toplama ve Çıkarma İşlemi

Köklerin dereceleri ve içi eşit olan ifadeler, toplanırken ya da çıkarılırken; katsayılar toplanır ya da çıkarılır, sonuç köklü ifadeye katsayı olarak yazılır.

n x ).

c b a n x ( . n x c . n x b .

a      tir.

(5)

2 3 2 ).

1 4 ( 2 . 1 2 . 4 2 2

4      

3 3 . 1 3 ).

7 2 6 ( 3 7 3 2 3

6       

3 2. 2 2 2. 3 3 . 4 3 . 9 12

27    

3 32 3(32). 35 3

3 5 3 5 11 ) 3 8 3 5 ( 3 5 3

8    

2 ).

16 , 0 ( 2 ).

04 , 0 ( 32 , 0 08 ,

0   

 (0,2)2.2 (0,4)2.2

(0,2). 2(0,4). 2 (0,20,4). 2(0,6). 2

100 3 . 4 100

3 . 9 100

12 100 12 27 , 0 27 ,

0     

3

10 3 2 10 3 3 2. 10) (2 3 2. 10)

(3   



3

10 3 1 10).

2 10

(3  



0 b .

a  ve ab olmak üzere,

 a2b2 ab

 a b ab

 a2b2 ab

 a b  ab dir.

4 1 9

4 işleminin sonucunu bulalım.

6 5 36 25 36

9 36 16 ) 9 (4 1 ) 4 (9

4     

2.

Çarpma İşlemi

Köklerinin dereceleri aynı olan sayılar çarpılırken, aynı kök içinde çarpma işlemi yapılır.

n çift sayı ve x,yR ise n x.n y n y.x dir.

Köklerinin dereceleri aynı olmayan sayılar çarpılmadan önce, köklerinin dereceleri eşitlenir. Sonra çarpma yapılır.

6 2 . 3 2 .

3  

6 36 18 . 2 18 .

2   

(6)

6 6 2 . 3 ) 3 .(

2 ) 2 3 ).(

3 2

(    



⁽ ²^).( ⁵⁾



³^.¹² ¹⁰ ³⁶

) 12 ) 5 .(

3 ).

2

(     

10.660

23 5 323.5 3 5.8

3 40 34.2.5 .3 5

.3 2

3 4     

80 2 . 2 40 ) 2 ( 5 . 8 ) 2 5 ).(

2 8

(   

6 25 6 33 . 2

. 3 51.2 3 .

. 2 31.3 3 15

2 13 . 3 5 .

3   

6 27.6 25627.256 675

) 12 , 0 03 , 0 .(

3  işleminin sonucunu bulalım.

) 12 , 0 . 3 03 , 0 . 3 ) 12 , 0 03 , 0 .(

3   

 3.(0,03) 3.(0,12)

 0,09 0,36 0,30,60,3

3 1 15 3. 2 3 3 1

40  işleminin sonucunu bulalım.

3 5.3 3 23 . 3 5.8 3 15 3 23 . 3 40 3 1 15 3. 2 3 3 1

40     

3

5 3. 3 3

5 3. 3 2

5 . 3 2. 3 3

5 3.

2   



2.3 53.3 55.3 5

) 18 32 ).(

2 8

(   işleminin sonucunu bulalım.

) 18 32 ).(

2 8

(  

) 2 . 9 2 . 16 ).(

2 2 . 4

(  



) 2 2. 3 2 2. 4 ).(

2 2 2. 2

(  



) 2 3 2 4 ).(

2 1 2 2

(  



6 2 . 3 2 1 . 2

3  



3.

Bölme İşlemi

Köklerinin dereceleri aynı olan sayılar bölünürken; kök aynen alınır, sayıların bölümü kök içine yazılır.

n çift sayı, x,yR ve y0ise n y x n y

n x  dir.

Kök dereceleri aynı olmayan sayılar bölünmeden önce, köklerinin dereceleri eşitlenir.

(7)

4 2 8 4

8  

3 32 2 3 8 3

3 24 3 3

3 24    

3 3 9

27 8 .27 3 8 27 : 8 3 8 27 : 8 3

8     

6 3 6 1

3 1 6 43 6 33 3

. 2 32.2

2 . 3 33.1 3 23

2 13 3 9

3     

b a

0  olmak üzere,

a b a 2 b a) (b a2 b2 b3 5. a

b5 3. a b3 5. a

b5 3.

a     

44 , 4 99 , 9

111

 işleminin sonucunu bulalım.

04 , 0 . 111 09 , 0 . 111

111 44

, 4 99 , 9

111

 



04 , 0 . 111 09 , 0 . 111

111

 



⁰^,⁰⁹ ⁰^,⁰⁴



. 111

111

 

1 10 , 0

1 2 , 0 3 , 0

1  

  olur.

2 10 10 05. , 0

6 ,

0 işleminin sonucunu bulalım.

2 . 10 5 60 2

10 10 . 10 05. , 0

6 , 0 2 10 10 05. , 0

6 ,

0  

2 . 10 3 . 2 4 . 10

12 



3. 10 30

2 . 10 3

2  



3 . 9

3 . 25 . 3 3 . 4 3 27

75 . 3 12

3  

 



3 3

3 5 . 3 3 2

3 



6

3 3

3 18 3

3

3 15 3 2

3   



(8)

4.

Paydayı Rasyonel Yapma

Paydasında köklü terim bulunan bir kesrin paydasını kökten kurtarma işlemine paydayı rasyonel yapma denir.

b b a b

a  dir.

 

²³³² ²³³

3 . 3

3 . 2 3

2   

 

⁶⁶⁶² ⁶⁶⁶ ⁶

6 . 6

6 . 6 6

6    

 

b a

b a . x b a

x



 

 ^dir.



^a^ ^b



^. ^a^ ^b



^^a^^b^dir.

      

1 3

1 3 . 2 1 3 . 1 3

1 3 . 2 1 3

2



 





 



 

₃ ₁

2 1 3 .

2   

 dir.

2 7

1 2 7

1

 



⁷ ²

 

⁷⁷ ²²



1 2 7

1 2

7 1 2 7

1





 

 

 



2 7

2 7 2 7

2 7



 



 

5 2 7 5

2

7 

 



5

2 7 2

7  



5

2

 2 olur.

2 6 3 2 3

15 



   

 

2 2 . 6 3 18

3 2 3 15 2 6 3 2 3

15

3 2 2 3

 

 

 



 

2 2 . 6 15

3 2 3

15  



3 2 33 2 3 2 33 2 3

(9)

18 21

3 18

21 3

 



²¹ ¹⁸

 

²¹²¹ ¹⁸¹⁸



3 18

21 3





 



   

18 21

18 21 . 3 18 21 . 3





 

3

18 3 21 3 18 3 21

3   



2 21

3 21

6 



6 7 7

1 5 6

1 2 5

1 

 



işleminin sonucunu bulalım.

     

6 7 7

1 5 6

1 2 5

1

6 7 5 6 2 5

 

 



6 7 7

6 7 5 6

5 6 4 5

2

5 



 



 



 

2 7 6 7 5 6 2

5      

 bulunur.

2 3

5

 işleminin sonucunu bulalım.

 

2 3

2 3 . 5 2 3

5

2 3



 



15 10

1 10

15  



5 3 12 1

işleminin sonucunu bulalım.

5 3 1 6

5 3

1 36

5 3

1 3 . 12

5 3

12 1 













 

³

15 15

15 5 15 5 5 . 3 5

15



E.

İÇ İÇE KÖKLER

n m a. m n a 

n . m an.b m n ba 

(10)

18 2 6

3 2. 3 6 2  

6 5 2 3 5. 3 2 5

3 5   

8 3 2 . 2 .

2 3

2 2 2 3

3   

3 3 2 . 2 22.1 2 3 22

3 2

.1 23 32 . 1

2      

2 2

2 ifadesinin eşitini bulalım.

2 2

2  22.2 2  23 2  26.2

 27 2 2 2 72 2.2.2 27 ^{8 7}2

3 2 7 8 .

7 3 a 8  olduğuna göre, a’ yı bulalım

3 2 7 8 . 7 3 a 7 8. 3 2 7 8 .

7 3 a 8   

3 2 3

7 a .

7 3 a 3 2  



21 72 21 a

3 . 7 27.1

21 a   

 27 a



 

  

2 3

2 3 . 2 3 2

3 2 3 2

3 2 3

2 3





 



 





^



³^ ²



² ^ ³^ ² ^ ³^ ²

   

 

2 .

6 1.2

1 2

4 .

3 1.4

1 2 6 .

.

2 1.6

1 2 6 2 1

3 2 1 . 1 2





 







   

 

12 2

1 2

12 4

1 2

12 6.

1 2





 

   

12

 

12 2

14 2 6. 1 2





 

^¹²

   

²^¹⁴^. ²^¹⁴

^¹²

   

²^¹^. ²^¹



⁴

12

 

214 ^{12 4}1

1211

(11)

2n n 1 2 a tane

n

a . . . a a a







 



 



64 63 6 16

2 6 1 2 16 tane

6

16 16 16 16 16

16 









 



 



16 63 64 2 .63 4 64 2 63 4) 2

(  



16 632

b a

x  , ya.b ve ab olmak üzere,

b a y 2

x   dir.

b a y 2

x   dir.

2 3 3 . 2 2 ) 2 3 ( 6 2

5     

1 2 1 2 1 . 2 2 ) 1 2 ( 2 2

3       

96 . 2 11 24 . 4 11 96

11    

 (83)2. 8.3  8 3

3 2. 2 . 2 8 3 2 . 2 8 3 4

8    

 82. 12 (62)2. 6.2

 6 2

21 5 21

5   işleminin sonucunu bulalım.

İşlemi verilen kurala göre sonuçlandıralım.

21 5 21

5  

1

21 5 21

5 

 



   

1 . 2

21 5 1

. 2

21 5 .

2 

 



2 21 2 10 2

21 2

10 

 



2 21 2 10 2

21 2

10 

 



2 3 . 7 . 2 ) 3 7 ( 2

3 . 7 . 2 ) 3 7

(  

 

 

(12)

2 3 7 2

3

7 

 



2 3 7 3

7  



2 . 2

2 . 3 2 2

3

2 

 



2 6 6 2 

 

2 5

492 20.  işleminin sonucunu bulalım.

4 . 5 2 4 5 20 2

492 20 9   

 5 4  52 Buna göre,

2 5 . 2 5 2 5

492 20.    

^



⁵^²



^. ⁵^²



 54 11

2 1 1 a ... 4 a a

a  





2 1 1 a ... 4 a a

a  





2 1 25 2

1 1 6 . ... 4 6 6

6 

 

 



3 2 6 2

1 5  



2 1 25 2

1 1 6 . ... 4 6 6

6 

 

 



2 2 4 2

1 5  



R

a olmak üzere, aşağıdaki özellikler sağlanır.

1 a ...

) 1 a .(

a ) 1 a .(

a        

a ...

) 1 a .(

a ) 1 a .(

a       

...

6 6

6    2.3 2.3 2.3...

...

) 1 2 .(

2 ) 1 2 .(

2      



3 1

2 

 tür.

...

20 20

20  

4 ...

) 1 4 .(

4 ) 1 4 .(

4       

 tür.

(13)

1

n a

n n n ... a. a. a.  

3 32 2 1

4 8

4 4 4 ... 8. 8. 8.    

2 5 5 1

3 5

3 3 3 ... 5. 5. 5.    

1 7 2 7 ...

. 7 . 7 .

7   

1

n a

na:na:na :...  

5 8 1

4 8

48:48:4 ...8 .   

5 52 2 1

4 32

432:432:432 :...    

4a:4a:4 ...a . 9 olduğuna göre, a’ yı bulalım.

32 5 a 5 a 9

4a:4a:4 ...a . 9   

^

 

^{5 a}⁵ ^

 

³²⁵ ^^a^³¹⁰

316.316.316 .... 3 ...

72 72 72

a    

olduğuna göre a’ yı bulalım.

316.316.316 .... 3 ...

72 72 72

a    

1 3

3 16

...

9 . 8 9 . 8 9 . 8

a 





 

 3

16 8

a 3

4 8 a 

20 a 12 8

a   



F.

KÖKLÜ SAYILARDA SIRALAMA

Kök dereceleri eşit olan sayılarda, kök içindeki sayıların büyüklüğüne göre sıralama yapılır.

c b

a  ise n an bn c

Kök dereceleri eşit değilse, eşitlenerek sıralama yapılır.

(14)

20 18

12  olduğuna göre 12 18 20 dir.

2 4 8 

 olduğuna göre 3 8 3 4 3 2 dir.

20 52 4 2 20 32

a  

4 23 4 9 4

. 4 34.2 16 83

b   

4 14 4 4 4

. 9 49.1 36 94

c   

olduğuna göre, bc a olur.

3 4

a , b4 6 , c12 220

olduğuna göre; a, b ve c sayılarını sıralayalım.

Verilen ifadelerin kök dereceleri sırasıyla 3, 4 ve 12 dir.

E.K.O.K. (3;4;12) = 12 olduğu için kök dereceleri 12 ye genişletilerek eşitlenir.

12 256 4

. 3 41.4

a3 4 

12 216 3

. 4 63 4 6

b  

12 220 c

Buna göre, 256220216 olduğundan, acb dir.

Kök içleri eşit olan pozitif köklü çokluklarda, kök derecesi küçük olan köklü çokluk diğerlerinden büyüktür. Negatif olanlarda ise durum tam tersinedir.

3 5 5

7 5  

9 5 7 5

11 5    

ÇÖZÜMLÜ SORULAR

1. 43x x4 toplamının reel sayı belirtmesi için x in alabileceği değerlerin oluşturduğu en geniş aralığı bulunuz.

Çözüm:

4

43x x toplamının bir reel sayı belirtmesi için,

43xR ve x4R olmalıdır.

43xR ise 3x03xx3 tür. … ( I )

R 4

x  ise x40x4 tür. … ( II ) ( I ) ve ( II ) sonuçları birlikte göz önüne alınırsa,

3

x ve x4 ise 4x3 tür.

Buna göre; x sayısı

 

^⁴^,³ aralığında olmalıdır. Yani x in alabileceği değerlerin oluşturduğu en geniş aralık

 

^⁴^,³

tür.

(15)

2. ab0 olduğuna göre, 4 4b 3 3a )2 b a

(   

ifadesinin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

n çift sayı ise n nx  x

n tek sayı ise n nx x tir.

0 b a 0 b

a     dır.

b a ) b a ( b 2 a ) b a

(       

b 4 4b  b  dir.

Buna göre,

b 2 ) b ( a b 4 4b a

3 3a )2 b a

(          olur.

3. ( 3)2

49 2 25

) 4 (





 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

)2 3 (

72 52 )2 4 ( )2

3 (

49 2 25

) 4 (





 







3 7 5 4





 

3 2 3

7 5 4  

 tür.

4. Aşağıdakilerden hangisinin yaklaşık değeri bilinirse 288 sayısının yaklaşık değeri hesaplanabilir?

A ) 2 B ) 3 C ) 5 D ) 6 E ) 7

Çözüm:

32 . 2 2. 2 2. 2 3 . 3 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

288 

2 12 2 3 . 2 . 2 2 3 . 2 2. 2 2. 2

288  

olduğuna göre, 288 sayısının yaklaşık değerinin hesaplanabilmesi için 2 nin yaklaşık değerinin bilinmesi gerekir.

5. 25n 3 olduğuna göre, 125n in pozitif değeri kaçtır?

Çözüm:

n 3

25  ise (52)n 3(5n)2 35n  3 tür.

3 3 3 ) 3 3 ( n) 5 n ( 3) 5 n (

125     olur.

6. 9

3 2 4

21  işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

2 3 2 5 2 3 9 25 4 9 9 3 2 4

2 1





 



 



 





_











6 19 6

10 9 ) 2 (3 5 ) 3 (2

3  







7. 33 2 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

3 . 2 22.1 2

. 3 33.1 3 12

2 13 3 2

3    

6 33 6 22 6 276 4627.4 6 108 olur.

(16)

8. 2 a ve 3b olduğuna göre 54 aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A ) a.b2 B ) a2.b C ) a.b3

D ) a3.b E ) a2.b3 Çözüm:

  

²^. ³ ³ ^a^.^b³

33 . 3 2 3 . 2

54   

9.

  

²^¹^ ²^²



işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

  

²^¹^ ²^²



^ ²^. ²^ ²^.²^¹^. ²^¹^.²

22 2 22 2

10. 1,06

6 2

24 ,

4  işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

06 , 1 6 2

06 , 1 . 4 06 , 1 6 2

24 ,

4     

6 2

6 .

2 



11. 49x249 36x236 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A ) x1 B ) x1 C ) x2 1

D ) x E ) x

Çözüm:

2 36 x 36 2 49

x

49   

) 2 1 x .(

36 ) 2 1 x .(

49   



2 1 x 6 2 1 x

7   



2 1 x . 1 2 1 x ).

6 7

(    



2 1 x 



12. 3,6 2,5 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

10 25 10 36 10 25 10 5 36 , 2 6 ,

3     

10 10 10 . 10

10 . 1 10 1 10

5

6   



13. 3 25

5 sayısının en sade aşağıdakilerden hangsidir?

A ) 3 5 B ) 3 25 C ) 5 3 5

D )

5

3 25 E ) 1 Çözüm:

3 25 5 3 25

5  sayısının paydası küp köklüdür.

Paydayı rasyonel yapabilmek için kökün içini küp köke tamamlayalım. Bunun için pay ve paydayı 3 5 ile çarpalım.

(17)

5 3 5 3 5 . 5 3 125

3 5 . 5 3 5 3 25.

3 5 . 5 3 25

5    

14. 2

24 3 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

2 6 6 . 2 2 . 2

2 . 6 3 2. 2 2

24 3    

6

2 6 3 2).

2 1

(  



15. x. 1,2 0,2 olduğuna göre x kaçtır?

Çözüm:

12 . 10 10 x 2 10

2 10 . 12 x 2 , 0 2 , 1 .

x     

6 1 6 x 1 12 .10 10

x 2   



6 6 6 . 6

6 .

x 1 

 olur.

16. 3 sayısı 31 sayısının kaç katıdır?

Çözüm:

2 3 3 2 1 ) 3 (

3 9 ) 1 3 ).(

1 3 (

) 1 3 .(

3 1 3

3 





 





 



17. 2a 3 olduğuna göre 214a ifadesinin eşitini bulunuz.

Çözüm:

a 3

2  ise

34 2 )4 2a (

2 a

24 a 2 4

21   

9 2 81

2 

 olur.

18. 3 281.3 281 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

  

3 28 1. 28 1 3 28 1

3 281.    

^³

 

²⁸ ²^¹² ^³²⁸^¹

3 273 33 3

19. a2 8a  a işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

   

^a ² ² ² ⁴^.²^.^a

a 8 2

a    

^

   

^a ²^ ² ²^² ²^.^a

^

   

^a ²^ ² ²^²^. ²^. ^a

^



^a^ ²



² ^ ^a^ ²^dir.

Buna göre,

2 a 2 a a a 8 2

a       olur.

20. 2

2 2 2

1 

Çözüm:



  2 2 2 2

1

 



²¹^.^²²



^.^²²^²^ ²²

(18)

2 2 2

2 4 2

2

2 



 

 

 

2 1 2 2

2 2 2 2

2   





2 2 2 2

1 

21.

 

¹^ ⁷^. ⁸^² ⁷ işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

1 7 1 7 1 . 7 2 ) 1 7 ( 7 2

8       

olduğu için,

 

¹^ ⁷^. ⁸^² ⁷ ^

    

⁷^¹^. ⁷^¹ ^ ⁷ ²^¹²

716 dır.

22. 3 8  3 8 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

2 . 4 3 2 . 4 3 8 3 8

3      

 32 2  32 2

 (21)2 2 (21)2 2

 2 1 2 12 2 dir.

23. 4 15 4 15 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

x 15 4 15

4    olsun.

Buna göre,



⁴ ¹⁵ ⁴ ¹⁵



²

x2    



⁴^ ¹⁵

 

²^²^. ⁴^ ¹⁵



^. ⁴^ ¹⁵





^



⁴^ ¹⁵



²



⁴ ¹⁵



^.⁴ ¹⁵



⁴ ¹⁵

. 2 15

4     



)2 15 2 ( 4 . 2

8 

 82. 1615

1

. 2 8

 826 dır.

6 x 2 6

x    veya x 6 dır.

15 4 15

4   olduğu için x 6 olamaz.

O halde x 6 dır.

24. 1 3

3 1

3 x

2  



 eşitsizliğini sağlayan en küçük x tam

sayısı kaçtır?

Çözüm:

3

1 olduğuna göre, 1 3 0 dır.

3 3 1

1 3 x

2  



 ise 3 1

3 1

3 x

2  



 olur.

1 3 3

1 3 x

2  



 ise,

   

¹ ³^. ³ ¹



3 1

3 x .2 3

1   



 



 

³ ²

12 3 x

2   

 2x313 3

2 x 2 2 3 x

2     



5 , 0 2 x

x 1 1 x

2     

 tir.

Buna göre, bu eşitsizliği sağlayan en küçük x tam sayısı 1 dir.

(19)

25. 0x1 olmak üzere 4 5x

a , b x3 , c6 7x

olduğuna göre, a, b, c sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Çözüm:

12 15x 4

. 3 x3.5 4 5x

a  

12 18x 2

. 6 x6.3 2 3x

x3

b   

12 14x 6

. 2 x2.7 6 7x

c  

1 x

0  olduğu için, x18x15 x14 tür.

c ve b ,

a nin kök dereceleri eşit olduğuna göre, c

a

b  olur.

26. 2

1 2 2 1

1

2 

 

Çözüm:

  

²¹^.

 

¹² ²¹ ¹ ²² ¹¹ ² ¹

1 2

1  



 





 

 olup

) 2 1 2 ( 2

1 2 2

1 2 2 1

1

2 





 



 



2 1 2 2

1

2 



 

2 1

1

2 



 

 21 21 dir.

27.

...

90 90 90

364.364.364 ...



 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

...

10 . 9 10 . 9 10 . 9

1 3 64 ...

90 90 90

364.364.364 ...



 





5 4 10

8 10

64  



28. 6. 18.3 8 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

2 . 18 . 3 32 6 . 18 . 3 8 6 . 18 .

6

 



6. 36  6.6 366

29. 74 32 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

2 3 2 . 2 7 2 3 4

7    

 72. 22.32  72 4.32

 (43)2. 4.3 2

 4 322 32

 3

(20)

30. 0,027 sayısının küp kökü kaçtır?

Çözüm:

3 , 3(0,3)3 0 3 0270,  

31. 7 6 sayısının çarpma işlemine göre tersi kaçtır?

Çözüm:

 



⁷¹^. ⁶⁷



^. ⁷⁶ ⁶



6 7

1





 



7 6

6 7

6

7  



 

32. x3 3x ifadesi bir reel sayı belirttiğine göre, x kaçtır?

Çözüm:

x 3 3

x   toplamı bir reel sayı belirttiğine göre, R

3

x  ve 3xR dir.

3 x 0 3 x R 3

x       tür. … ( I )

x 3 0 x 3 R x

3       tir. … ( II )

( I ) ve ( II ) eşitsizliğini birlikte sağlayan reel sayı x3 tür.

33. 0,09. 0,04 18 .

2 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

   

⁰^,³^.⁰^,²

36 2 2

, 0 2. 3 , 0

18 . 2 04

, 0 . 09 , 0

18 .

2  

100 6 600 06 , 0

6  



34. 5x  2 olduğuna göre, (125)x5x2 kaçtır?

Çözüm:

25 x. 3 5 x) 5 2 ( 5 x. x 5 3) 5 2 ( 5x )x 125

(      

( 2)3 2.25 825 2

 4.225 22 225 2 27 2

35. 7,2 9,8 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

5 49 5 36 10 98 10 8 72 , 9 2 ,

7     

5 13 5

7 6 5 7 5

6  







5 5 13 5 . 5

5 .

13 



5 13 5

7 6 5 7 5

6  







36. 50 288 800 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

2 . 400 2 . 144 2 . 25 800 288

50    

 52.2 122.2 202.2 5 212 220 2 (51220). 23 2

(21)

37. 81 (5)2 3 64 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

3( 4)3 2( 5)2

2 29 3 64 )2

5 (

81        

 9 5(4)954

10

38. 3

2 . 3 3

2 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

6 9 6 4

2 .3 27 3 8

2 .3 )3 3 (2 32 . 3 3

2   

3 3 6 )2 2

3 (2 



39. 2 7

5 2 7

5

 

 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

) 2 7 ( ) 2 7 (

2 7

5 2 7

5 7 2

5 2 7

5





 

 

 



   



⁷⁷ ²²



^.⁵^.⁷ ⁷ ²



²

. 5





 

   

⁵⁷ ²² ⁵ ²⁷²⁵ ²

7 5





 

2 7 5

7 10 2 7

7

10  

 

40. 3

3 1 3

1 1 3

1 

 

Çözüm:

) 3 ( ) 1 3 ( ) 1 3 (

3 3 1 3

1 1 3

1 

 





 

³³²^^¹¹² ^

 

³³²^^¹¹² ^

 

³^.³³²



3 3 . 3 1 3

1 3 1 3

1

3 



 



 

2 3 1 3 1

3   



0 3 3 2 3

3

2    



41. 3 3 3

3 . 3 . 3



 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

 

₁

3 3

3 3 3 3

3 . 3 . 3 3 3 3

3 . 3 .

3   



42. a 104 olmak üzere,

4 4a 6 6a .

3 3a 2.

a işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

4

10 olduğu için, a 1040 dır.

a 1 a a . a

a . a 4 4a 6 6a .

3 3a 2 2a . 4 4a 6 6a .

3 3a 2.

a 

 



(22)

43. 74 3 sayısının toplama işlemine göre tersi kaçtır?

Çözüm:

3 2. 2 2 7 3 2 . 2 7 3 4

7    

 72 4.3  (43)2 22.3

 4 3 2 3

olduğuna göre, 74 3 sayısının toplama işlemine göre tersi;

3 2 3 4

7  

 tür.

44.

 

⁵^¹^. ⁶^² ⁵ işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

1 5 1 5 1 . 5 2 ) 1 5 ( 5 2

6       

olduğu için

 

⁵^¹^. ⁶^² ⁵ ^

    

⁵^¹^. ⁵^¹ ^ ⁵ ²^¹²

514 olur.

45. 51. 51 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

  

⁵ ¹^. ⁵ ¹

1 5 . 1

5    

^

 

⁵ ²^¹² ^ ⁵^¹^ ⁴ ^²

46. x. 2,5 10 olduğuna göre x kaçtır?

Çözüm:

10 10 . 5 x 10 10

. 25 x 10 5 , 2 .

x     

. 10 10. 10 10

. 5

x 



2

5 x 10 10 x

5    



47. 44 44 44 ...

...

: 4 : 4 : 4



işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

3 4 1 3 4 1

4 4

1

2 4

44 44 44 ...

...

: 4 : 4 :

4  



 



48. 3 2

6 m 7



  olduğuna göre,

6 7

2 3



 sayısının m

cinsinden değerini bulunuz.

Çözüm:

6 x 7

2

3 



 olsun.

   

⁷ ² ⁶ ²

2 2 3 2

6 7

2 . 3 6 7

2 3 m .1 m x

x



 





 



m x 1 1 1 6 7

2 3 m

x    



  dir.

KONU BİTMİŞTİR…