ÜN‹TE IV
KON‹
1. KON‹K YÜZEY VE TANIMLAR 2. KON‹
a. Tan›m
b. Dik Dairesel Koni I. Tan›mlar
II. Dik Dairesel Koninin Özelikleri III. Dönel Koni
c. E¤ik Dairesel Koni
3. D‹K DA‹RESEL KON‹N‹N ALANI 4. DA‹RESEL KON‹N‹N HACM‹
5. KES‹K KON‹
6. D‹K DA‹RESEL KES‹K KON‹N‹N ALANI 7. DA‹RESEL KES‹K KON‹N‹N HACM‹
8. ÇEfi‹TL‹ ÖRNEKLER ÖZET
ALIfiTIRMALAR TEST IV
* Örnek sorular› dikkatle okuyunuz. Kitaba bakmadan çözmeye çal›fl›n›z.
* Bu konular ile ilgili Matematik kitaplar›ndan yararlan›n›z.
* Konular› anlamadan bir baflka konuya geçmeyiniz.
* Her bölümün sonunda verilen al›flt›rma ve de¤erlendirme sorular›n› çözünüz.
* Test sorular› ile kendinizi deneyiniz. Baflar›s›z iseniz baflar›s›z oldu¤unuz bölümleri tekrar gözden geçiriniz.
Bu üniteyi çal›flt›¤›n›zda;
* Uzayda konik yüzeyin nas›l meydana geldi¤ini aç›klayabilecek,
* Konik yüzeyi meydana getiren elemanlar› ve özeliklerini aç›klayabilecek,
* Koninin nas›l meydana geldi¤ini, koninin elemanlar›n› tan›yabilecek,
* Konilerin neye göre adland›r›ld›¤›n› belirtebilecek,
* Dik dairesel koninin bütün özeliklerini aç›klayabilecek,
* Dönel koniyi ve e¤ik dairesel koniyi tan›yabilecek,
* Dik dairesel koninin alan›n› bulabilecek,
* Dairesel koninin hacmini bulabilecek,
* Kesik koniyi tan›yabilecek ve özeliklerini aç›klayabilecek,
* Dik dairesel kesik koninin alan›n› bulabilecek,
* Dairesel kesik koninin hacmini bulabilecek,
* Konilere ait çeflitli uygulamalar› yapabilecek ve problemleri çözebilecektir.
BU ÜN‹TEN‹N AMAÇLARI
☞
NASIL ÇALIfiMALIYIZ?
✍
ÜN‹TE IV KON‹
1. KON‹K YÜZEY VE TANIMLAR
Uzayda, düzlemsel kapal› bir C e¤risi ile, bu düzlemin d›fl›nda bir T noktas› verilsin.
T noktas› ile, C e¤risinin her noktas›ndan geçen do¤rular›n oluflturdu¤u yüzeye, konik yüzey denir.
(fiekil 4. 1) de, düzlemsel kapal› C e¤risine taban e¤risi (dayanak e¤risi), C e¤risinin düzlemi d›fl›ndaki T noktas›na bu konik yüzeyin tepe noktas›, tepe noktas› ile C e¤risinin her noktas›ndan geçerek, konik yüzeyi oluflturan do¤ru parçalar›na da, konik yüzeyin ana do¤rular› denir.
2. KON‹
a. Tan›m
Taban e¤risi kapal› bir e¤ri olan, konik yüzeyin tüm ana do¤rular›n› kesen bir P düzlemi ile, T tepe noktas› aras›nda kalan cisme, koni denir.
(fiekil 4.2) deki,P düzlemi ile konik yüzeyin kesitine koninin taban›, T tepe noktas›n›n taban›na olan uzakl›¤›na koninin yüksekli¤i, taban›n›n çevresini tepeye birlefltiren e¤ri yüzeye koninin yanal yüzeyi denir.
Koniler tabanlar›na göre, dairesel koni, eliptik koni ve yüksekliklerinin taban düzlemine dik olup olmad›klar›na göre de, dik koni, e¤ik koni fleklinde adland›r›l›r.
fiekil 4. 1
❂
❂
❂
❂
b. Dik Dairesel Koni I. Tan›mlar
Taban› daire olan ve yüksekli¤i taban›n merkezinden geçen koniye, dik dairesel koni denir.
(fiekil 4.3) deki dik dairesel konide, koninin taban› olan dairenin yar›çap›
|AH| = |HB| = r birim, koninin yüksekli¤i |TH| = h birim ve koninin ana do¤rusunun uzunlu¤unu |TA| = |TB| = a birim ile gösterece¤iz.
fiekil 4. 2
fiekil 4. 3
❂
II. Dik Dairesel Koninin Özelikleri
1. Dik dairesel koninin taban kenarlar›, sonsuz say›da olan bir düzgün piramittir.
2. Dik dairesel koninin ekseni, yüksekli¤ine eflit ve simetri eksenidir.
3. Dik dairesel koninin ana do¤rular›, birbirine efltir.
4. Dik dairesel koninin ekseninden geçen bir düzlemle ara kesiti, bir ikizkenar üçgendir.
5. Dik dairesel koninin taban›na paralel bir düzlemle kesiti, bir dairedir.
III. Dönel Koni
Dik dairesel koni, (fiekil 4.4) deki ABC dik üçgeninin, dik kenarlar›ndan birisi etraf›nda 360° döndürülmesiyle de elde edilir. Bu dik dairesel koniye, dönel koni denir.
c. E¤ik Dairesel Koni
Taban› daire olan ve yüksekli¤i taban›n merkezinden geçmeyen koniye, e¤ik dairesel koni denir.
(fiekil 4.5) de, koninin T tepe noktas›n›, 0 taban merkezine birlefltiren [T0] do¤ru parças›na, koninin ekseni ve T tepe noktas›ndan taban düzlemine çizilen [TH] dikmesine de e¤ik koninin yüksekli¤i denir.
fiekil 4. 4
❂
❂
❂
Teorem: Bir dairesel koninin taban›na paralel düzlemle kesiti dairedir. Bu dairenin yar›çaplar›n›n oran›, tepe noktas›n›n bu kesitlere olan uzakl›klar›n›n oran›na eflittir.
‹spat: Taban yar›çap›, |D02| = |02B| = r2olan bir dairesel koni, taban›na paralel bir düzlemle kesildi¤inde, elde edilen kesitin yar›çap› |C 01| = |01A| = r1olsun.
Küçük koninin yüksekli¤i |T01| = h1ve büyük koninin yüksekli¤i [T02| = h2olsun (fiekil 4.6).
fiekil 4. 5
fiekil 4. 6
Kesit dairesi tabana paralel oldu¤undan, (A. A. A.) Teoremine göre, T 01A ≈ T 02B dir.
Buna göre,
Bu teoreme göre, afla¤›daki ifadeleri söyleyebiliriz.
1. Bu teorem, e¤ik dairesel koni içinde geçerlidir.
2. Bir dairesel koni, tabana paralel bir düzlemle kesilirse, kesit dairesinin alan›n›n taban alan›na oran›, tepe noktas›n›n bunlara olan uzakl›klar›n›n, karelerinin oran›na eflittir. Buna göre,
Dairesel koninin taban alan› G, kesit dairesinin alan› G′ olsun. Koninin yüksekli¤i h ve kesitin tepe noktas›na uzakl›¤› h′ ise,
ÖRNEK 4. 1
Taban yar›çap› 6 cm olan bir dik dairesel koni, tepe noktas›ndan 3 cm uzakl›kta tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Elde edilen kesit dairenin yar›çap› 2 cm oldu¤una göre, bu dairesel dik koninin yüksekli¤ini bulal›m.
ÇÖZÜM
Verilen dik dairesel koninin yar›çap› r2= 6 cm ve yüksekli¤i h2 olsun. Kesitle elde edilen küçük dik dairesel koninin yüksekli¤i h1= 3 cm ve yar›çap› r1= 2 cm dir.
3. D‹K DA‹RESEL KON‹N‹N ALANI
Teorem: Bir dik dairesel koninin yanal alan›, taban çevresi ile ana do¤rusunun uzunlu¤unun çarp›m›n›n yar›s›na eflittir.
‹spat: Dik dairesel koni, taban kenar say›s› sonsuz say›da olan bir piramit gibi düflünülürse, piramidin yanal alan formülü, dik dairesel koni içinde geçerlidir.
Buna göre, (fiekil 4. 7) deki dik dairesel koninin yanal alan›, taban çevresi ile, ana do¤rusunun uzunlu¤unun çarp›m›n›n yar›s›na eflittir.
T01
T02 = 01A
02B oldu¤undan, h1
h2 = rr12 olur.
h h′
2 = G
G′ olur.
Yukar›daki teoreme göre, h1 h2
= rr12 ifadesinden, 3 h2
= 26 dir.
Orant› özeli¤inden, h2 = 3 . 6 2 = 18
2 = 9 cm olur.
Taban çevresi 2.π.r birim ve ana do¤rusunun uzunlu¤u a birim olan dik dairesel koninin yanal alan›,
Bir dik dairesel koninin tüm alan›n› bulmak için, yanal alan›na taban alan› ilave edilir.
S = π . r . a + π . r2= π . r ( a + r) birim kare olur.
Bu formül e¤ik koniler için geçerli de¤ildir.
(fiekil 4. 8) de, bir dik dairesel koninin yanal yüzeyi, bir ana do¤rusu boyunca kesilip aç›l›nca, bir daire kesmesi elde edilir. Bu daire kesmesinin yar›çap›, a birim ise, dik dairesel koninin ana do¤rusu da a birim kadard›r.
fiekil 4. 7
Y = 1
2 2. π. r . a = π . r. a birimkaredir.
AB yay›n›n uzunlu¤u, dik dairesel koninin taban çevresine eflittir.
ÖRNEK 4.2
Taban yar›çap› 5 cm ve ana do¤rusunun uzunlu¤u 8 cm olan dik dairesel koninin, yanal alan›n› ve tüm alan›n› bulal›m. (π ª 3 al›nacakt›r.)
ÇÖZÜM
Verilen dik dairesel koninin taban yarçap› r = 5 cm ve ana do¤rusunun uzunlu¤u a = 8 cm dir.
Dik dairesel koninin;
Yanal alan: Y = π . r . a ifadesinden, Y = 3 . 5. 8 = 120 cm2 dir.
Tüm alan›: S = πr2+ Y ifadesinden,
S = 3. 52+ 120 = 3. 25 + 120 = 75 + 120 = 195 cm2olur.
4. DA‹RESEL KON‹N‹N HACM‹
Teorem: Bir dairesel koninin hacmi, taban alan› ile yüksekli¤inin çarp›m›n›n üçte birine eflittir.
‹spat: Dairesel koni, taban kenar say›s› sonsuza yaklaflan bir piramit olarak düflünülürse, hacmi de piramitlerde oldu¤u gibi taban alan› ile yüksekli¤inin çarp›m›n›n üçte birine eflittir.
Taban yar›çap› r, yüksekli¤i h olan dairesel koninin hacmi, Bu formül dik veya e¤ik tüm dairesel koniler için de geçerlidir.
ÖRNEK 4. 3
Taban yar›çap› 6 cm ve yüksekli¤i 9 cm olan dairesel koninin hacmini bulal›m.
ÇÖZÜM
Verilen dairesel koninin taban yar›çap› r = 6 cm ve yüksekli¤i h = 9 cm dir.
Dik dairesel koninin hacmi:
AB = Ç = 2. π . r birimdir.
V = 1
3 π. r2. h dir.
V = 1
3 π. r2. h ifadesinden, V = 1
3 π. 62. 9 = 1
3 . π. 36 . 9 = 108 π cm3 olur.
ÖRNEK 4.4
(fiekil 4.9) daki e¤ik dairesel konisinde, [TB] nin taban düzlemi ile yapt›¤› aç›n›n ölçüsü 30° dir. |A0| = 3 cm ve |TB| = 8 cm oldu¤una göre, koninin hacimini bulal›m.
(π ≈ 3 al›nacakt›r.)
ÇÖZÜM
fiekil 4. 9
fiekil 4.9 deki TBH dik üçgeninde, s TBH = 30° oldu¤undan, sin 30° = TH
8 ; 1 2 = TH
8 ; TH = 8
2 = 4 ; TH = h = 4 cm dir.
E¤ik koninin taban yar›çap›, A0 = r = 3 cm olarak veriliyor.
Taban alan›: G = π .r2 ifadesinden,
G = 3 .32 = 3 . 9 = 27 cm2 dir.
Hacmi: V = G . h
3 ifadesinden, V = 27 . 4
3 = 108
3 = 36 cm3 olur.
fiekil 4. 10
fiekil 4. 11
5. KES‹K KON‹
Bir dairesel koniyi taban›na paralel bir düzlemle kesti¤imizde, taban ile düzlem aras›nda kalan cisme, kesik koni denir(fiekil 4. 10).
Koninin taban›na alt taban, kesite üst taban, iki taban aras›ndaki uzakl›¤a, kesik koninin yüksekli¤i denir.
Taban› daire olan kesik koniye, dairesel kesik koni, tabanlar›n merkezini birlefltiren do¤ru, taban düzlemine dik ise, bu koniye de dik dairesel kesik koni denir.
6. D‹K DA‹RESEL KES‹K KON‹N‹N ALANI
Teorem: Dik dairesel kesik koninin yanal alan›, tabanlar›n›n çevrelerinin toplam›
ile, ana do¤rusunun uzunlu¤unun çarp›m›n›n yar›s›na eflittir.
‹spat: (fiekil 4.11) de görüldü¤ü gibi, Kesik koninin yanal alan›, büyük koninin yanal alan› ile, küçük koninin yanal alan›n›n fark›na eflittir.
❂
❂
❂
(fiekil 4.12) de kesik koninin aç›k flekli çizilmifltir.
Buna göre, Y = π. r2. a2- π. r1. a1 dir (1)
fiekil 4. 12
A . A . A teoremine göre, TBH ≈ TA0 oldu¤undan,
Y = πr2 . r2 a
r2- r1 - π r1 r1. a
r2- r1 = π .a
r2- r1 r22 - r12 = π . a
r2 - r1 r2 - r1 r2 + r1 dir.
Gerekli sadelefltirmeler yap›l›rsa, Y = π . a. r1 + r2 oldu¤u görülür.
Dik dairesel kesik koninin tüm alan›, alt ve üst tabanlar›n›n alan› ile yanal alan›n›n toplam›na eflittir.
Buna göre, S = π. r12 + π. r 2 2 + π . a r1 + r2 olur.
a2
a1 = rr21 veya ar22 = ar11 dir.
a2 r2 = a1
r1 = a2 - a1
r2 - r1 = ar2- r1 d›r.
Buradan, ar22 = ar2- r1 ise, a2 = arr2- r21 ve ar11 = ar2- r1 ise, a1 = a rr2- r11 dir.
a1 ve a2 de¤erleri (1) de yerine yaz›l›rsa,
ÖRNEK 4. 5
Bir dik dairesel kesik koninin alt taban›n›n yar›çap› 6 cm, üst taban›n›n yar›çap› 4 cm ve ana do¤rusunun uzunlu¤u 8 cm dir. Bu dik dairesel kesik koninin yanal alan›n›
ve tüm alan›n› bulal›m. (π = 3 al›nacakt›r.) ÇÖZÜM
Verilen dik dairesel kesik koninin alt taban›n›n yar›çap› r2= 6 cm, üst taban›n›n yar›çap› r1= 4 cm ve ana do¤rusunun uzunlu¤u a = 8 cm dir.
Dik dairesel kesik koninin,
Yanal alan›; Y = π . a (r1+ r2) ifadesinden, Y = 3 . 8 ( 6 + 4) = 24 (10) = 240 cm2dir.
7. DA‹RESEL KES‹K KON‹N‹N HACM‹
Teorem: Tabanlar›n›n yar›çaplar› r1 ve r2 , yüksekli¤i h olan bir dairesel kesik koninin hacmi,
‹spat: Dairesel kesik koni, tabanlar›n›n kenar say›lar› sonsuza giden kesik piramit gibi düflünülebilece¤inden, kesik piramidin hacmi,
Kesik koninin alt taban alan›
bu de¤erler (1) de yerine yaz›l›rsa, V = 1
3 π . h r12 +r22 + r1 . r2 dir.
V = 1
3 h G +G′ + G .G′ dir. 1 Tüm alan›: S = π r12 + π. r22 + π . a r1 + r2 ifadesinden,
S = 3 . 42 + 3 .62 + 3 . 8 4 + 6
S = 16 + 3 . 36 + 24 10 = 48 + 108 + 240 = 396 cm2 olur.
G = π.r12, üst taban alan› G ′ = π. r22 oldu¤undan,
V = 1
3 h π. r12 +π . r22 + π . r12 . π . r22 dir.
Bu ifadede gerekli sadelefltirmeler yap›l›rsa, V = 1
3 π . h r12 + r22 + r1 . r2 olur.
ÖRNEK 4. 6
Taban yar›çaplar› 3 cm ve 6 cm, yüksekli¤i 9 cm olan dairesel kesik koninin hacmini bulal›m.
ÇÖZÜM
Verilen dairesel kesik koninin taban yar›çaplar›, r1= 3 cm ve r2 = 6 cm, yüksek l i ¤ i h = 9 cm dir.
Dairesel kesik koninin hacmi:
8. ÇEfi‹TL‹ ÖRNEKLER ÖRNEK 4. 7
Ana do¤rusunun uzunlu¤u 5 cm, çap› 8 cm olan dik dairesel koninin tüm alan› ve hacmini bulal›m. (π ≈ 3 al›nacakt›r.)
ÇÖZÜM
Verilen dik dairesel koninin, ana do¤rusunun uzunlu¤u a = 5 cm, çap› 2r = 8 cm oldu¤undan, r = 4 cm dir.
Dik dairesel koninin tüm alan›: S = π . r (r + a) ifadesinden, S = 3 . 4 (4 + 5) = 12 (9) = 108 cm2dir.
Hacmini bulmak için, dik dairesel koninin önce yüksekli¤ini bulal›m (fiekil 4.13).
V = 1
3 π . h r12 +r22 + r1 . r2 ifadesinden, V = 1
3 π . 9 32 + 62 + 3 . 6 = 9
3 π 9 + 36 + 18 = 3π 63 = 189 π cm3 olur.
fiekil 4. 13
T0B dik üçgeninde, pisagor teoremine göre,
|T0|2= |TB|2- |0B|2, ifadesinden
h2= 52- 42= 25 - 16 = 9 ise, h = 3 cm dir.
ÖRNEK 4. 8
Taban yar›çap› r, yüksekli¤i h olan bir dik dairesel koni, tepesinden h1 kadar uzakl›kta, tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Kesit dairesinin yar›çap› r1oldu¤una göre, elde edilen küçük koni ile, esas koninin hacimleri aras›ndaki oran›, konilerin yüseklikleri cinsinden bulal›m.
ÇÖZÜM
(fiekil 4.14) Kesit dairesi tabana parelel oldu¤undan,
fiekil 4. 14
Hacmi : V = 1
3 π . r2. h ifadesinden, V = 1
3 . 3.42.3 = 16 . 3 = 42 cm3 olur.
ÖRNEK 4. 9
Yüksekli¤i 16 cm ve taban yar›çap› 8 cm olan, bir e¤ik dairesel koni, taban düzlemine paralel bir düzlemle, tabandan 12 cm uzakl›kta kesiliyor. Düzlemle, e¤ik dairesel koninin kesiti olan dairenin alan›n› bulal›m (π ≈ 3 al›nacakt›r.)
ÇÖZÜM
(fiekil 4.15) deki (T, BC) e¤ik dairesel koninin yüksekli¤i h1 = 16 cm, taban yar›çap› r1= 8 cm dir.
fiekil 4. 15
T, AD konisinin hacmi: V1 = 1
3 π . r12 . h1 , T, BC konisinin hacmi: V = 1
3 π . r2 . h tir.
Buna göre, V1 V =
1
3 πr12 . h1 1
3 π .r2 . h = r12
r2 . h1
h d›r (1) Kesit dairesi tabana paralel oldu¤undan,
A . A . A teorimine göre, T01D ≈ TDC oldu¤undan, r1 r = h1
h t›r.
Her iki taraf›n karesini al›rsak, r12 r2 = h12
h2 d›r.
Bunu (1) ba¤›nt›s›nda yerine yazarsakk, V1
V = h12 h2 . h1
h = h13
h3 olur.
(T, AD) e¤ik dairesel koninin yüksekli¤i, h2= 16 - 12 = 4 cm dir.
ÖRNEK 4. 10
(fiekil 4.16) da tepe noktas› T ve ana do¤rusunun uzunlu¤u 10 cm olan bir dik dairesel koninin yanal yüzeyinin aç›n›m› veriliyor.
ÇÖZÜM
Dik dairesel koninin taban çevresi, Ç = 2. π . r ifadesinden,
16 π = 2πr ise, r = 8 cm dir.
fiekil 4. 16
h2
h1 = r2
r1 ifadesinden, 4 16 = r2
8 ve r2 = 4 . 8
16 = 32
16 = 2 cm dir.
Kesit dairesinin alan›: K = π . r2 ifadesinden, K = 3 . 22 = 3 . 4 = 12 cm2 olur.
(fiekil 4. 16) daki AB yay parças›n›n uzunlu¤u, dik dairesel koninin taban çevresine eflit olaca¤›ndan,
AB = 2. π . r . α
360° ifadesinden taban çevresini bulabiliriz.
Ç = AB = 2. π . 10 . 288
360 = 5760 π
360 = 16π dir.
Dik dairesel koninin yüksekli¤ini bulmak için, (fiekil 4.17) de,
ÖRNEK 4.11
(fiekil 4.18) deki e¤ik dairesel konide, [TA] ana do¤rusunun taban düzlemi ile yapt›¤› aç›n›n ölçüsü 60° dir. Taban yar›çap› 3 cm ve dairesel koninin hacmini bulal›m (π ≈ 3 al›nacakt›r).
THB dik üçgeninde, pisagor teoremine göre,
fiekil 4. 17
Dik dairesel koninin hacmi:
V = 1
3 π .r2. h ifadesinden, V = 1
3. π 82 . 6 = 1
3 π . 64 . 6 = 128 π cm3 olur.
TH2 =TB2 - HB2 ifadesinden,
h = 102 - 82 = 100 - 64 = 36 ise, h = 6 cm dir.
ÇÖZÜM
Verilen e¤ik dairesel koninin taban yar›çap› r = 3 cm, |TA| = ve [TA]
do¤ru parças›n›n taban düzlemi ile yapt›¤› aç›n›n ölçüsü 60° olarak veriliyor.
Buna göre, E¤ik dairesel koninin hacmini bulmak için, önce bu koninin yüksekli¤ini bulal›m.
ÖRNEK 4. 12
Bu yamu¤un [AD] kenar› etraf›nda 360° döndürülmesi ile oluflan cismin hacmini ve tüm alan›n› bulal›m.
fiekil 4. 19
6 3 cm
TAH dik üçgeninde, sin 60° = h
TA ba¤›nt›s›ndan, sin 60° = 3
2 ve TA = 6 3 cm oldu¤undan, 3
2 = h 6 3 dir.
Buradan, h = 6 3 . 3
2 = 3. 3 = 9 cm dir.
E¤ik dairesel koninin hacmi:
V = 1
3 π. r2 . h ifadesinden, V = 1
3 3. 32 . 9 = 9 . 9 = 81 cm3 olur.
ABCD dik yamu¤unda, s A = 90°,
AB = 6 cm, BC = 5 cm ve DC = 2 cm dir (fiekil 4.19).
C noktas›ndan, [AB] do¤rusuna bir dik do¤ru indirildi¤inde, |DC| = |AH| = 2 cm dir. |HB| = |AB| - |AH| oldu¤undan, |HB| = 6 - 2 = 4 cm dir.
CHB dik üçgeninde, pisagor teoremine göre,
Buna göre, dik dairesel kesik koninin taban yar›çaplar› r1 = 6 cm, r2 = 2 cm ve yükseklik h = 3 oldu¤undan,
Dik dairesel kesik koninin hacmi:
Dik dairesel kesik koninin tüm alan›:
ÇÖZÜM
Verilen ABCD dik yamu¤u, [AD] kenar› etraf›nda 360° döndürüldü¤ünde oluflan cisim, bir dik dairesel kesik konidir (fiekil 4.20).
fiekil 4. 20
HC2 = BC 2- HB2 ifadesinden,
HC2 = 52 - 42 = 25 - 16 = 9 ise, HC = 3 cm ve DA = HC = h = 3 cm dir.
V = 1
3 π . h r12 + r22 +r1. r2 ifadesinden, V = 1
3 π . 3 62 + 22 +6. 2 = π 36 + 4 + 12 = 52π cm3 olur.
S = π . r12 + π . r2 2 + π . a r1 + r1 ifadesinden, S = π . 62 + π . 22 + π . 5 6 +2 = 36π + 4π + 5π 8 S = 40π + 40π = 80π cm2 olur.
ÖRNEK 4. 13
ÇÖZÜM
ABC dik üçgeni [BC] kenar› etraf›nda 360° döndürülürse, taban› [AD] çapl› ve tabanlar›ndan birlefltirilmifl, iki dik dairesel koni oluflur.
(fiekil 4.22). Bu cismin hacmi, iki dik dairesel koninin hacimleri toplam›na eflittir.
fiekil 4. 21
fiekil 4. 22
(fiekil 4.21) deki ABC dik üçgeninde, s BAC = 90°, AB = 9 cm ve BC = 12 cm dir.
ABC dik üçgeni BC kenar› etraf›nda 360° döndürülmesi ile oluflan cismin hacmini bulal›m.
ABC dik üçgeninde, pisagor teoremine göre,
ABC dik üçgeni, [BC] kenar› etraf›nda 360° döndürdü¤ümüzde, her iki koninin yar›çaplar› da |AO| = 7,2 d›r. Taban› 0 merkezli çember tepe noktas› B olan dik dairesel koninin hacmi, V1ve taban› 0 merkezli çember tepe noktas› C olan dik dairesel koninin hacmide, V2olsun. |BO| + |OC| = |BC| = 15 cm oldu¤una göre,
ÖRNEK 4.14
BC2 = AB2 + AC2 ifadesinden, BC2= 92 + 122
BC2 = 81 + 144 = 225 ise, BC = 15 cm dir.
ABC dik üçgeninde, Oklid teoremine göre, AB . AC = A0 . BC ‹fadesinden,
9.12 = AO . 15 ise, A0 = 9 . 12
15 = 36
5 = 7,2 cm dir.
V1 = 1
3 π A02 . B0 V2 = 1
3 π A02 . 0C V1 + V2 = 1
3 π . AO2 B02 + OC V1+ V2 = 1
3 π 7,22 15 V1+ V2 = 1
3 π 51,84 15 V1+ V2 = 259,2 π cm3 olur.
+
fiekil 4. 23 deki ABCD yamu¤unda, s DAB = s CBA = 45°,
Bu yamu¤un, AB etraf›nda 360° döndörülmesi ile oluflan cismin hacmini bulal›m.
CD = 2 cm ve AB = 10 cm dir.
ÇÖZÜM
(fiekil 4.23) deki ABCD yamu¤u, [AB] kenar› etraf›nda 360° döndürülürse iki dik dairesel koni ile, bir silindirden meydana gelir.
Burada, |DC| = |EF| = 2 cm ve AED = AED′ = BCF = BFC′ dir.
Çünkü bu üçgenler ikizkenar dik üçgenlerdir.
fiekil 4. 23
s DAB = s CBA = 45° oldu¤undan, üçgenin dar aç›lar›n›n hepsi 45° dir.
AE = BF = 10 - 2 2 = 8
2 = 4 cm dir.
Eflit üçgenlerde eflit aç›lar karfl›s›nda, eflit kenarlar bulunaca¤›ndan, AE = DE = ED′ = BF = CF = FC ′ = 4 cm dir.
A, DD ′ koninin hacmi: V1 = 1
3 π . r2 . h ifadesinden, V1 = 1
3 π . 42.4 = 1
3 π . 16. 4 = 64
3 π cm3 tür.
DD′ C′C silindirin hacmi: V2 = π . r2 . h ifadesinden, V2 = π . 42. 4 = π. 16 , 4 = 64π cm3 tür.
Oluflan cismin hacmi: V = 2V1 + V2 oldu¤undan, V = 2 64
3 π + 64π = 128
3 π + 192
3 π = 320
3 π cm3 olur.
ÖRNEK 4. 15
(fiekil 4. 24) de, bir dik dairesel koninin yanal yüzeyinin aç›k flekli veriliyor.
ÇÖZÜM
(fiekil 4.25) de, verilen dik dairesel koninin kapal› flekli çizilmifltir.
AB = 6π, TA = TB = 5 cm oldu¤una göre, bu dik dairesel koninin tüm alan›n› ve hacmini bulal›m π ≈ 3 al›nacakt›r .
fiekil 4. 24
Verilen AB yay›n uzunlu¤u AB = 6 π, dik dairesel koninin taban çevresine eflittir.
Dik dairesel koninin taban› daire oldu¤undan çevresi, Ç = 2.π.r dir.
Buna göre, 6 π = 2.π.r ise, r = 3 cm dir.
ÖRNEK 4. 16
Dik koordinat sisteminde, A (4, 6), O (0 , 0) ve B (13, 0) noktalar›ndan meydana gelen üçgeni, Ox ekseni etraf›nda 360° döndürülüyor. Meydana gelen cismin hacmini bulal›m.
ÇÖZÜM
Dik koordinat sisteminde verilen A0B üçgeni, Ox ekseni etraf›nda 360°
döndürülmesi ile, iki dik koni meydana gelir (fiekil 4. 26).
Buna göre, |0A| = r = 3 cm ve |TB| = |TA| = a = 5 cm dir.
Dik dairesel koninin;
Tüm alan›: S = π . r (r + a) ifadesinden, S = 3 . 3 (3 + 5) = 9 (8) = 72 cm2dir.
fiekil 4. 26
TOA dik üçgeninde, pisagor teoremine göre, TO 2 = TA2 - OA2 ifadesinden,
TO 2 = 52 - 32 = 25 - 9 = 16 ise, TO = h = 4 cm dir.
Hacmi: V = 1
3 π . r2 . h ifadesinden, V = 1
3 3 . 32 . 4 = 9 . 4 = 36 cm3 olur.
Taban› |AD|, tepesi 0 noktas› olan koninin yar›çap› |AH| = r1 = 6 cm ve yüksekli¤i,
|0H| = h1= 4 cm dir.
Bu dik dairesel koninin hacmi;
Taban› [AD], tepesi B noktas› olan koninin taban yar›çap›, |AH| = r2 = 6 cm ve yüksekli¤i, |BH| = |0B| - |0H| = 13 - 4 = 9, |BH| = h2= 9 cm dir.
Bu dik dairesel koninin hacmi:
V1 = 1
3 π.r12 . h1 ifadesinden, V1 = 1
3 π. 62. 4 = 1
3 π . 36 . 4 = 48 π cm2 dir.
V2 = 1
3 π . r22.h2 ifadesinden, V2 = 1
3 π . 62. 9 = 1
3 π . 36 . 9 = 108 π cm3 dür.
V = V1 + V2 = 48π + 108 π = 156 π cm3 olur.
ÖZETUzayda, düzlemsel kapal› bir C e¤risi ile, bu düzlemin d›fl›nda bir T noktas› ve-rilsin.
T noktas› ile, C e¤risinin her noktas›ndan geçen do¤rular›n oluflturdu¤u yüzeye, konik yüzey denir. Düzlemsel kapal› C e¤risine taban e¤risi, C e¤risinin düzlemi d›fl›ndaki T noktas›na tepe noktas›, tepe noktas› ile, C e¤risinin her noktas›ndan geçerek konik yüzeyi oluflturan do¤ru parçalar›na, konik yüzeyin ana do¤rular› denir.
Taban e¤risi kapal› bir e¤ri olan, konik yüzeyin tüm ana do¤rular›n› kesen bir düzlem ile, tepe noktas› aras›nda kalan cisme koni denir. Verilen düzlem ile konik yüzeyin kesitine koninin taban›, tepe noktas›n›n tabana olan uzakl›¤›na koninin yüksekli¤i, taban çevresini tepeye birlefltiren e¤ri yüzeye, koninin yanal yüzeyi denir.
Koniler tabanlar›na göre, dairesel koni, eliptik koni ve yüksekliklerinin taban düzlemine dik olup olmad›klar›na göre de, dik koni, e¤ik koni fleklinde adland›r›l›r.
Taban› daire olan ve yüksekli¤i taban›n merkezinden geçen koniye, dik dairesel koni denir.
Dik Dairesel Koninin Özelikleri
1. Dik dairesel koninin taban kenarlar› sonsuz say›da olan bir düzgün piramittir.
2. Dik dairesel koninin ekseni yüksekli¤ine efl ve simetri eksenidir.
3. Dik dairesel koninin ana do¤rular› birbirine efltir.
4. Dik dairesel koninin ekseninden geçen bir düzlemle ara kesiti, bir ikizkenar üçgendir.
5. Dik dairesel koninin taban›na paralel bir düzlemle kesiti bir dairedir.
Dik dairesel koni, bir dik üçgenin dik kenarlar›ndan birisi etraf›nda, 360°
döndürülmesi ile elde edilir. Bu dik dairesel koniye, döner koni denir.
Bir dairesel koninin taban›na paralel düzlemle kesiti dairedir. Bu dairenin yar›çaplar›n›n oran›, tepe noktas›n›n bu kesitlere olan uzakl›klar›n›n oran›na eflittir. Bu e¤ik dairesel koni içinde geçerlidir.
Bir dairesel koni, tabana paralel bir düzlemle kesilirse, kesit dairesinin alan›n›n taban alan›na oran›, tepe noktas›n›n bunlara olan uzakl›klar›n›n, karelerinin oran›na eflittir.
Bir dik dairesel koninin yanal alan›, taban çevresi ile ana do¤rusunun uzunlu¤unun çarp›m›n›n yar›s›n› eflittir. Taban çevresi 2. π. r birim ve ana do¤rusunun uzunlu¤u a birim olan dik dairesel koninin yanal alan› :
Y = 1
2 2 . π . r . a = π . r . a br2 dir.
Dik dairesel koninin tüm alan›: S = π . r. a + π r2 = π . r (a + r) dir.
Bir dairesel koninin hacmi, taban alan› ile yüksekli¤inin çarp›m›n›n üçte birine eflittir. Taban yar›çap› r, yüksekli¤i h olan dairesel koninin hacmi,
Bir dairesel koniyi taban›na paralel bir düzlemle kesti¤imizde, taban ile düzlem aras›nda kalan cisme, kesik koni denir. Koninin taban›na alt taban, kesite üst taban, iki taban aras›ndaki uzakl›¤a, kesik koninin yüksekli¤i denir.
Dik dairesel kesik koninin yanal alan›, tabanlar›n›n çevrelerinin toplam› ile, ana do¤rusunun uzunlu¤unun çarp›m›n›n yar›s›na eflittir. Dik kesik koninin alt taban yar›çap› r1, üst taban yar›çap› r2ve ana do¤rusunun uzunlu¤u a ise, dik kesit koninin yanal alan›:
Dik koninin tüm alan›, alt ve üst tabanlar›n alan› ile yanal alan›n›n toplam›na eflittir.
Tabanlar›n›n yar›çaplar› r1ve r2, yüksekli¤i h olan, bir dairesel kesik koninin hacmi, V = 1
3 π . r2 . h dir.
Y = 2π.r1 + 2π.r2 a
2 = 2π . a r1 + r2
2 = π . a r1 + r2 dir.
S = π . r12 + π . r2 2 + π . a r1 + r2 dir.
V = 1
3 π . h r12 + r22 + r1 . r2 dir.
ALIfiTIRMALAR
1. Bir dik dairesel koninin taban yar›çap› 5 cm ve ana do¤rusunun uzunlu¤u 13 cm dir.
Bu koninin tüm alan›n› ve hacmini bulunuz (π = 3 al›nacakt›r).
2. Bir dik üçgenin dik kenarlar›n›n uzunluklar›, 3 cm ve 4 cm dir. Bu dik üçgen uzun dik kenar etraf›nda 360° döndürülmesi ile, oluflan cismin tüm alan›n› ve hacmini bulunuz (π ≈ 3 al›nacakt›r).
3. Taban yar›çap› 15 cm ve yüksekli¤i 20 cm olan dik dairesel koninin tüm alan›n› ve hacmini bulunuz (π ≈ 3 al›nacakt›r).
4. Tüm alan› 75 π cm2ve taban yar›çap› 5 cm olan dik koninin hacmini bulunuz.
5. (fiekil 4.27) deki e¤ik dairesel konisinde, [TB] ana do¤rusunun, taban düzlemi ile yapt›¤› aç›n›n ölçüsü 30° dir. |0B| = 6 cm ve |BT| = 18 cm ise, bu e¤ik dairesel koninin hacmini bulunuz. (π ≈ 3 al›nacakt›r).
6.
Bu dik yamu¤un, [AD] kenar› etraf›nda 360° döndürülmesi ile oluflan cismin tüm alan›n› ve hacmini bulunuz.
7 . Bir kenar›n›n uzunlu¤u 6 cm olan eflkenar üçgenin bir kenar› etraf›nda dönmesinden meydana gelen cismin hacmini bulunuz.
8. Taban yar›çap› 6 cm ve yüksekli¤i 8 cm olan dik dairesel bir koni, tabana paralel ve tepeden 3 cm uzakl›kta bir düzlemle kesiliyor. Elde edilen dik dairesel kesik koninin, hacmini ve tüm alan›n› bulunuz (π ≈ 3 al›nacakt›r).
fiekil 4. 27
s A = s D = 90° olan dik yamu¤unda, AB = BC = 15 cm, CD = 6 cm dir.
9. Bir dik dairesel kesik koninin tabanlar›n›n yar›çaplar› 5 cm ve 4 cm, yüksekli¤i 6 cm dir. Bu dik dairesel kesik koninin, tüm alan›n› ve hacmini bulunuz (π ≈ 3 al›nacakt›r).
1 0 . Merkez aç›s›n›n ölçüsü 120° olan, daire diliminin yar›çap› 6 cm dir. Bu daire dili m i k›vr›larak dik dairesel koni yap›l›yor. Oluflturulan bu dik dairesel koninin tüm al›n›n› ve hacmini bulunuz (π ≈ 3 al›nacakt›r).
11 , Taban alan› 80 cm2olan, dik dairesel koninin yüksekli¤i 6 cm dir. Bu koni tepesinden 3 cm uzakl›kta tabana parelel bir düzlemle kesiliyor. Bu kesitin alan›n› bulunuz.
12. Alt taban›n çevresi 48 cm ve üst taban çevresi 36 cm olan bir dik dairesel kesik koninin ana do¤rusunun taban düzlemi ile yapt›¤› aç›n›n ölçüsü 60° dir.
Ana do¤rusunun uzunlu¤u oldu¤una göre, bu, dik dairesel kesik koninin tüm alan›n› ve hacmini bulunuz (π ≈ 3 al›nacakt›r).
13. Taban yar›çap› 5 cm olan bir dik silindirin içine, ana do¤rusunun uzunlu¤u13 cm olan bir dik dairesel koni (fiekil 4.28) deki gibi yerlefltiriliyor. Buna göre, silindir ile dik dairesel koni aras›ndaki bofllu¤un hacmini bulunuz (π ≈ 3 al›nacakt›r).
14. Bir dairesel dik koni tepeden itibaren, yüksekli¤inin üçte birinden, tabana paralel bir düzlemle kesildi¤inde, elde edilen küçük dik dairesel koninin hacmi 48 cm3 oldu¤una göre, kesik koninin hacmini bulunuz.
15. Taban yar›çap› 5 cm olan e¤ik dairesel koninin 18 cm uzunlu¤undaki ana do¤rusu taban düzlemi ile 30° lik bir aç› yapmaktad›r. Buna göre, bu e¤ik dairesel koninin hacmini bulunuz (π ≈ 3 al›nacakt›r).
8 3 cm
fiekil 4. 28
✎
TEST V1. Taban yar›çap› 6 cm ve yüksekli¤i 10 cm olan bir dik dairesel koninin, hacmi kaç cm3tür? (π = 3 al›nacakt›r).
A) 240 B) 300 C) 360 D) 420
2. Bir dik dairesel koninin, ana do¤rusunun uzunlu¤u 15 cm, yanal alan› 180 π oldu¤una göre, bu dik dairesel koninin hacmi kaç cm3tür?
A) 320π B) 360π C) 416π D) 432π
3. Dik kenarlar› 15 cm, 20 cm olan dik üçgensel bölge, hipotenüsün etraf›nda 360°
döndürülmesi ile, oluflan cismin hacmi kaç cm3tür? (π ≈ 3 al›nacakt›r).
A) 1800 B) 2700 C) 3000 D) 3600
fiekil 4. 29
4. (fiekil 4.29) daki bir dik dairesel koninin ana do¤rusu, taban yar›çap› ile 60° lik bir aç› yapmaktad›r. Bu dik dairesel koninin yanal alan› 96 cm2oldu¤una göre, hacmi kaç cm3tür? (π ≈ 3 al›nacakt›r).
A) 48 B) 64 C) 116 D) 128
5. Yanal alan› 195 cm2 olan dik dairesel koninin taban yar›çap› 5 cm dir. Bu dik dairsel koninin hacmi, kaç cm3tür? (π = 3 al›nacakt›r.)
A) 259 B) 325 C) 350 D) 400
6. Bir dik dairesel koninin ana do¤rusu, taban yar›çap› ile 45° lik bir aç› yapmaktad›r.
Bu dik dairesel koninin taban yar›çap› 6 cm oldu¤una göre, hacmi kaç cm3tür?
A) 72π B) 96π C) 124π D) 216π
fiekil 4. 30
s TAB = 30° ve TA = 8 cm oldu¤una
7. (fiekil 4.30) daki dik dairesel konide, [AB] taban çap› ve [TA] ana do¤rusudur.
A) 180 B) 184 C) 192 D) 196
8. Yar›çap› 6 cm olan bir daireden, merkez aç›s› 120° olan bir daire kesmesi kesilip ç›kar›l›yor. Bu daire kesmesi bükülerek bir dik dairesel koni yap›l›yor. Bu dik dairesel koninin tüm alan› kaç cm2dir?
A) 12 π B) 16 π C) 24 π D) 32 π
9. Bir dik dairesel koninin yüksekli¤i sabit kalarak, taban yar›çap› 2 kat›na ç›karsa, hacmi kaç kat›na ç›kar?
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8
10. Bir dik dairesel koninin yanal alan›, taban alan›n›n 4 kat›d›r. Bu dik dairesel koninin taban yar›çap› 5 cm oldu¤una göre, tüm alan› kaç cm2 dir?
A) 125π B) 275π C) 300π
D) 375π s ACB = 30° dir.
fiekil 4. 31
11. (fiekil 4.31) deki ABC üçgeninde, [AB] ⊥ [BC] ve |AB| = 6 cm,
Bu ABC dik üçgenin, [AB] kenar› etraf›nda 360° döndürülmesi ile, elde edilen cis m i n hacmi kaç π cm3tür?
A) 208 B) 216 C) 228 D) 236
12. Kesik dik dairesel koninin taban yar›çaplar› 4 cm ve 6 cm ve yüksekli¤i 3 cm oldu¤una göre, bu kesik dik koninin hacmi kaç cam3tür? (π = 3 al›nacakt›r.)
A) 192 B) 216 C) 234 D) 234
1 3 . Dik dairesel kesik koninin taban yar›çaplar› 4 cm, 2 cm ve ana do¤rusunun uzunlu¤u 3 cm dir. Bun göre, bu dik dairesel kesik koninin tüm alan› kaç π cm2dir?
A) 38 B) 46 C) 52 D) 64
14. Yanal alan› 60 π cm2, taban alan› 36π cm2olan bir dik dairesel koninin hacmi kaç π cm3tür?
A) 68 B) 96 C) 120 D) 192
15. Dik dairesel koninin taban yar›çap› r, yanal ayr›t›n›n uzunlu¤u a ve yüksekli¤i h = 4 cm dir. a + r = 8 cm oldu¤una göre , bu dik dairesel koninin tüm alan› kaç π cm2dir?
A) 16 B) 24 C) 32 D) 40
16. Ana do¤rusunun uzunlu¤u, yüksekli¤in 3 kat› olan bir dik dairesel koninin, taban- yar›çap›
17. (fiekil 4.32) deki e¤ik dairesel konsinde, [TB] ana do¤rusunun taban düzlemi ile yapt›¤› aç›n›n ölçüsü 60° dir.
|0B| = 6 cm, |TB| = A) 72
B)108 C) 144 D) 216 18.
A) 121 B) 138 C) 169 D) 208
4 2 cm oldu¤una göre, hacmi kaç π cm3 tür?
A) 56
3 B) 64
3 C) 85
3 D) 98
3
6 3 cm oldu¤una
fiekil 4. 32
göre, hacmi kaç π cm3 tür?
Taban yar›çap› 4 3 cm, yanal alan› 52 3 π cm2 olan bir dik dairesel koninin, hacmi kaç π cm3 tür?
19. (fiekil 4.33) deki dik yamu¤unda, |BC| = 5 cm, |CD| = 3 cm ve |AD| = 4 cm dir. Bu yamu¤un [AB] kenar› etraf›nda 360° döndürülmesi ile, oluflan cismin alan› kaç π cm2dir?
A) 48 B) 56 C) 64 D) 72
20. Yüksekli¤i 8 cm olan bir dik dairesel koninin, ana do¤rusunun taban düzlemi ile yapt›¤› aç›n›n ölçüsü 30° dir. Bu dik dairesel koninin hacmi, kaç cm3 tür?
(π ≈ 3 al›nacakt›r.) A) 1254
B) 1348 C) 11462 D) 1536
fiekil 4. 33
