ÜN‹TE IV

 ^{ÜN‹TE IV}

A) DENKLEM S‹STEMLER‹

a) Bir Bilinmeyenli Rasyonel Denklemler b) Do¤rusal Denklem Sistemleri

ALIfiTIRMALAR ÖZET

TEST IV-I

B) ÜÇGENLERDE EfiL‹K ve BENZERL‹K a) Üçgenlerde Efllik

b) Üçgenlerde Efllik fiartlar›

c) Üçgenlerde Benzerlik

d) Üçgenlerde Benzerlik fiartlar›

ALIfiTIRMALAR ÖZET

TEST IV-II

C) GEOMETR‹K C‹S‹MLER a) Üçgen Prizma

b) Üçgen Prizman›n Yüzey Alan› ve Hacmi c) Piramit, Koni ve Küre

ALIfiTIRMALAR ÖZET

TEST IV-III

Bu bölümü kavrayabilmek için;

* Aç›klamalar› dikkatle okuyunuz.

* Konuda verilen örnekleri çözerek çal›fl›n›z.

* Uyar›lar› dikkate al›n›z.

* Konuda verilen al›flt›rma ve problemleri yan›tlay›n›z.

* Konu sonunda verilen al›flt›rma ve de¤erlendirme testi sorular›n› cevaplay›n›z.

Tak›ld›¤›n›z yerde, ilgili konuyu tekrar gözden geçiriniz.

Bu bölümü çal›flt›¤›n›zda;

* Bir bilinmeyenli rasyonel denklemleri çözebilecek,

* Do¤rusal denklem sistemlerini cebirsel yöntemlerle çözebilecek,

* Üçgenlerde efllik flartlar›n› aç›klayabilecek,

* Üçgenlerde benzerlik flartlar›n› aç›klayabilecek,

* Üçgenlerde benzerlik flartlar›n› problemlerde uygulayabilecek,

* Prizmay› infla edebilecek, temel elemanlar›n› belirleyebilecek ve yüzey aç›n›m›n›

çizebilecek,

* Dik prizmalar›n yüzey alan›n›n ba¤›nt›lar›n› oluflturabilecek,

* Dik prizmalar›n hacim ba¤›nt›lar›n› oluflturabilecek,

* Piramidi infla edebilecek, temel elemanlar›n› belirleyebilecek ve yüzey aç›n›m›n›

çizebilecek,

* Koninin temel elemanlar›n› belirleyebilecek, infla edebilecek ve yüzey aç›n›m›n›

çizebilecek,

* Kürenin temel elemanlar›n› belirleyebilecek ve infla edebileceksiniz.

BU ÜN‹TEN‹N AMAÇLARI

☞

NASIL ÇALIfiMALIYIZ?

✍

ÜN‹TE IV DENKLEM S‹STEMLER‹

ÖRNEK

Eflitlik sa¤land›¤›ndan buldu¤umuz de¤er do¤rudur.

ÖRNEK 5x -13

3 = 4 denklemini sa¤layan x de¤erini bulal›m.

Eflitli¤in her iki taraf›n› 3 ile çarpal›m. Böylece payday› ortadan kald›rm›fl oluruz.

3. 5x - 13

3 = 4 . 3 5x - 13 = 12 5x

5 = 25

5 ⇒ x = 5 elde ederiz.

Buldu¤umuz de¤eri denklemde x yerine yazarak çözümün do¤rulu¤unu kontrol edelim.

5x - 13 3 = 4 x = 5 için 5. 5 - 13

3 =^? 4 25 - 13

3 =^? 4 12

3 =^? 4 4 = 4

x + 63

4x = 2 Denklemini sa¤layan x de¤erini bulal›m.

x + 63 = 8x 63 = 7x

x = 9 elde ederiz.

Buldu¤umuz de¤eri denklemde x yerine yazarak çözümün do¤rulu¤unu kontrol edelim.

Eflitlik sa¤land›¤›ndan buldu¤umuz de¤er do¤rudur.

ÖRNEK

ÇÖZÜM ÖRNEK x + 63

4x = 2 4x . x + 63

4x =2.4x

Eflitli¤inin her iki taraf›n› 4x ile çarpal›m. Böylece payday› ortadan kald›rm›fl oluruz.

x - 3 3x + 2 + 3

7 = 1

2 Denklemini sa¤layan x de¤erini bulal›m.

x - 3 3x + 2 + 3

7 = 1 2

ifllem kolayl›¤› sa¤lamak amac›yla bilinmeyen ifadelerle bilinen ifadeleri bir araya getirelim.

x - 3 3x + 2 + 3

7 = 1 2 x + 63

4x = 2 x = 9 için 9 + 63

4.9 =^? 2 72

36 =^? 2 2 = 2

Buldu¤umuz de¤eri denklemde yerine yazarak çözümün do¤rulu¤unu kontrol edelim.

Eflitlik sa¤land›¤›ndan buldu¤umuz x de¤eri do¤rudur.

ÖRNEK

ÇÖZÜM

14 x - 3 = 3x + 2 14x - 42 = 3x + 2 11x = 44

x = 4 elde ederiz.

x - 3 3x + 2 + 3

7 = 1 2 x = 4 için 4 - 3

3 . 4 + 2 + 3 7 =^? 1

2 1

14 + 3 7 =^? 1

2 1

14 + 6 14 =^? 1

2 7

14 =^? 1 2 12 = 1

2

8 x - 2 + 1

2 = 5x - 2

x - 2 denkleminin çözüm kümesini bulal›m.

8 x - 2 + 1

2 = 5x - 2

x - 2 eflitsizli¤inde ifllem kolayl›¤› sa¤lamak amac›yla paydalar› eflit olan ifadeleri bir araya getirelim.

Buldu¤umuz de¤eri denklemde yerine yazarak çözümün do¤rulu¤unu kontrol edelim.

x = 2 de¤eri payday› 0 yapmaktad›r. Bu nedenle 2 de¤eri denklemin çözümü olamaz. O hâlde denklemin çözüm kümesi bofl kümedir.

ALIfiTIRMALAR 1. Afla¤›daki denklemleri çözünüz.

2. Afla¤›daki problemlere uygun denklemler kurarak çözünüz.

1

2 = 5x - 2 x - 2 - 8

x - 2 1

2 = 5x - 2 - 8 x - 2 1

2 = 5x - 10

x - 2 içler d›fllar çarp›m› yapal›m.

x - 2 = 10x - 20 9x = 18

x = 2 elde ederiz.

8 x - 2 + 1

2 = 5x - 2 x - 2 x = 2 için 8

2 - 2 + 1

2 = 5 . 2 - 2 2 - 2 8

0 + 1 2 = 8

0

a) 3 2x + 3 + 4

5 = 5 2x + 1 + 1

5 b) x + x

2 - 2x 3 = 5

c) 1

3x - 1 = 1

x - 3 d) x + 6

5 = x 7

a) 1 2 'i ile 1

3 'i aras›ndaki fark› 5 olan say› kaçt›r?

DO⁄RUSAL DENKLEM S‹STEMLER‹

ÖRNEK

Ayfle, terziye 1 pantolon ve 1 etek diktirmifl ve 50 TL ödemifltir. Funda da ayn›

terziye 3 pantolon ve 2 etek diktirmifl ve 130 TL ödemifltir. Bu terzi 1 ete¤i kaç TL’ye dikmifltir.

ÇÖZÜM

Problemde verilen durumlara uygun denklemleri yazal›m. Pantolonun fiyat› x, ete¤in fiyat› y olsun.

x + y = 50

3x + 2y = 130 fleklinde iki bilinmeyenli iki denklem elde edilir.

Bu denklem sisteminde bilinmeyenleri bulmak için iki farkl› yol izleyebiliriz.

1. Yol (Yerine Koyma Yöntemi)

I. x + y = 50 I. denklemden x = 50 - y eflitli¤ini yazabiliriz.

II. 3x + 2y = 130 II. denklemde x yerine (50 - y) yazarak y de¤erini bulabiliriz.

3 (50 - y) + 2y = 130 150 - 3y + 2y = 130

150 - 130 = y y = 20

x + y = 50 denkleminde y yerine 20 yazarak x’i bulabiliriz.

x + 20 = 50

x = 30 elde edilir.

Buldu¤umuz x ve y de¤erlerinin her iki denklemi de sa¤lamas› gerekmektedir.

50 = 50 130 = 130

x + y 50=^? 3x + 2y 130=^?

3 . 30 + 2. 20 130=^? 3. 30 + 2. 20 = 130 30 + 20 50=^?

2. Yol (Yok Etme Yöntemi)

Bu yöntemle çözüm yapabilmek için iki denklemde de bilinmeyenlerden birinin kat say›lar› eflit olmal›d›r. Ayn› bilinmeyenin kat say›lar› eflit de¤ilse denklemlerden biri veya her ikiside s›f›rdan farkl› bir say› ile çarp›larak kat say›lar› eflitlenir. ‹ki denklem taraf tarafa toplanarak veya ç›kart›larak bir bilinmeyenli bir denklem elde edilir. Elde edilen bu bir bilinmeyenli denklem çözülerek bilinmeyen bulunur. Bulunan de¤er, denklemlerden herhangi birinde yerine konularak di¤er bilinmeyen bulunur.

I. x + y = 50 I. denklemi 3 ile çarpal›m. Böylece,

II. 3x + 2y = 130 iki eflitli¤i taraf tarafa ç›kart›¤›m›zda x bilinmeyeni yok edilmifl olur.

3x + 3y = 150 3x + 2y = 130 y = 20

x + y = 50 denkleminde y yerine 20 yazarak x’i bulal›m.

x + 20 = 50

x = 30 elde edilir.

Ayn› de¤iflkenleri içeren iki do¤rusal denklem “do¤rusal denklem sistemi”

oluflturur. Do¤rusal denklem sistemlerinin çözümünde, yerine koyma veya yok etme yöntemi kullan›l›r. Sistemin çözümü olan s›ral› ikili her iki denklemi sa¤lamal›d›r.

ÖRNEK 4x + 3y = 32

3x + 2y = 23 denklem sisteminin çözüm kümesini bulal›m.

ÇÖZÜM

Denklem sisteminin çözümünü yok etme metoduyla bulal›m.

3/ 4x + 3y = 32 x’lerin kat say›lar›n› eflitleyelim.

4/ 3x + 2y = 23 12x + 9y = 96

12x + 8y = 92 taraf tarafa ç›karal›m

➠

ALIfiTIRMALAR

1. ‹ki say›n›n toplam› 95, farklar› ise 45’tir. Bu say›lar› bulunuz.

2. Bir kesrin pay ve paydas›ndan 1 ç›kart›rsak kesrin de¤eri , pay ve paydas›na 1 eklersek kesrin de¤eri oluyor. Bu kesri bulunuz.

3. Bahar ile annesinin yafllar› fark› 28’dir. 4 y›l sonra annesinin yafl›, Bahar’›n yafl›n›n 3 kat› olacakt›r. Bahar ile Annesinin flimdiki yafllar›n› bulunuz.

4. 15 soruluk bir testte 5 ve 10 puanl›k sorular bulunmaktad›r. Sorular›n tamam›

do¤ru cevapland›r›ld›¤›nda 100 puan al›rd›¤›na göre testte 5 ve 10 puanl›k sorulardan kaçar tane vard›r?

5. Hülya, kilogram› 20 TL olan badem ile kilogram› 10 TL olan f›st›ktan 400 graml›k bir kar›fl›m alarak 7 TL ödemifltir. Hülya’n›n ald›¤› kar›fl›mda kaç gram f›st›k vard›r?

6. Yeflim, kumbaras›na hergün 25 Kr veya 50 Kr at›yor. 30 gün sonra kumbaras›nda 12 TL birikti¤ine göre, Yeflim kumbaras›na kaç gün 50 Kr atm›flt›r?

4. Afla¤›daki denklemleri çözünüz.

a) 3x - 2y = - 7

4x - 3y = 24 b) x + y = 33

x - y = 13 c) 3x + y = 5

4x + 2y = 12 d) 4x + 3y = 15

x - y = 2 e) x + y = 5

2x - y = 10 f) 3x - 2y = 20

x + 2y = 2

5 6

3 4

ÖZET

Ayn› de¤iflkenleri içeren iki do¤rusal denklem “do¤rusal denklem sistemi”

oluflturur. Do¤rusal denklem sistemlerinin çözümünde, yerine koyma veya yok etme yöntemi kullan›l›r. Sistemin çözümü olan s›ral› ikili her iki denklemi sa¤lamal›d›r.



TEST IV-I 1.

A) 60 B) 95 C) 105 D) 120

2.

A) 20 B) 30 C) 90 D) 180

3.

A) -4 B) -3 C) 2 D) 6

4. denkleminin reel say›lardaki çözüm kümesi nedir?

A) -2 B) 1 C) 0 D) ∅

5. 72 cm uzunlu¤undaki bir tel iki parçaya ayr›l›yor. Parçalardan birinin uzunlu¤u di¤erinin 3 kat› oldu¤una göre, küçük parçan›n uzunlu¤u kaç santimetredir?

A) 9 B) 18 C) 36 D) 54 1

3'inin 5 eksi¤inin yar›s›, 15 olan say› kaçt›r?

x 3 + x

2 + x

9 = x - 5 oldu¤una göre x kaçt›r?

x - 1

3 + x + 4

2 = x - 2

6 oldu¤una göre x kaçt›r?

1

a + 2 - 1a = 0

✎

6. Bir pastanede bir günde sat›lan po¤aça ve böreklerin toplam say›s› 150 ve bu sat›fltan elde edilen gelir 90 TL’dir. Pogaça 50 Kr, börek 75 Kr oldu¤una göre kaç adet po¤aça sat›lm›flt›r?

A) 60 B) 70 C) 80 D) 90

7. Ard›fl›k befl tek say›n›n toplam›n›n üç kat› 315’tir. Bu say›lardan en büyü¤ü kaçt›r?

A) 23 B) 25 C) 46 D) 51

8. Toplamlar› 87, farklar› 11 olan iki say›dan büyük olan› kaçt›r?

A) 57 B) 50 C) 49 D) 38

9. 3x + y = 21 Denklem sisteminin çözümü olan s›ral› iki afla¤›dakilerden x + 2y = 17 hangisidir?

A) (5, 6) B) (6, 5) C) (3, 7) D) (7, 3)

10. Denklem sistemini sa¤layan x de¤eri kaçt›r?

A) 2 B) 4

x 2 + y

3 = 12 x

4 + y

3 = 10

Üçgenlerde Efllik ve Benzerlik

ÖRNEK

DEF ve KLM

üçgenlerinin efl olduklar›n› gösterelim.

|DE| = |KL| = 20 cm

|EF| = |LM| = 9 cm

|DF| = |KM| = 15 cm oldu¤undan [EF] ile [LM],

s E = s L s F = s M s D = s K

F ile M ve DF ile KM efltir.

Bu nedenle DE^Δ F ile K ML^Δ efl üçgenlerdir.

Bunu sembolle; DE^Δ F ≅ K ML^Δ fleklinde gösterebiliriz.

1. Kenar - Aç›- Kenar (K.A.K.) fiart›

‹ki üçgen aras›nda birebir eflleme yap›ld›¤›nda; bu üçgenlerin iki kenar› ve bu kenarlar›n oluflturdu¤u aç›lar efl ise bu iki üçgen efltir.

ÖRNEK

‹ki üçgenin karfl›l›kl› aç›lar›n›n ve karfl›l›kl› kenarlar›n›n ölçüleri eflit ise bu iki üçgen eflittir denir.

AB = KL s A = s K BC = LM s B = s L AC = KM s C = s M A CB^Δ ≅ K ML^Δ ⇔

2. Aç›- Kenar- Aç› (A.K.A.) fiart›

‹ki üçgen aras›nda birebir eflleme yap›l›d¤›nda; bu üçgenlerin ikifler aç›s› efl ve bu aç›larla ortak olan kenar efl ise bu iki üçgen efltir.

ÖRNEK AB = DE

AC = EF ve s A = s E oldu¤u için bu iki üçgen K. A. K. flart›na göre efltir ve ABC ≅ DEF olarak ifade edilir. ^Δ

Δ

KL = PR s K = s P

s L = s R oldu¤u için bu iki üçgen A. K. A. flart›na göre efltir ve Δ

KLM ≅ PRN olarak ifade edilir. ^Δ

3. Kenar- Kenar - Kenar (K.K.K.) fiart›

‹ki üçgen aras›nda birebir eflleme yap›ld›¤›nda; bu iki üçgenin karfl›l›kl›

kenarlar›n›n uzunluklar› eflit ise bu iki üçgen efltir.

ÖRNEK

NP = DE NR = DF

PR = EF oldu¤u için bu iki üçgen K. K. K. flart›na göre efltir ve NPR ≅ DEF olarak ifade edilir. Δ Δ

4. Kenar - Aç› - Aç› (K.A.A.) fiart›

‹ki üçgen aras›nda birebir eflleme yap›ld›¤›nda; bu üçgenlerin ikifler aç›s› efl ve bu aç›lardan birbirine efl olan herhangi bir aç›s›n›n karfl›s›ndaki kenarlar efl ise bu iki üçgen efltir.

ÖRNEK

DF = LN s D = s L

s E = s M oldu¤u için bu iki üçgen K. A. A. flart›na göre efltir ve

DEF ≅ LMN olarak ifade edilir. ^{Δ Δ}

ALIfiTIRMA

Afla¤›da verilen üçgenlerin hangisi kurala göre efl olduklar›n› belirleyiniz.

ÖRNEK

Afla¤›da verilen üçgenlerin efl olduklar›n›, efllik flart›n› belirleyerek gösterelim.

a)

b)

AE = ED = 4 cm BE = EC = 5 cm

s AEB = s CED = 90° oldu¤undan K.A.K. efllik flart›na göre, A E^Δ B ≅ D CE^Δ dir.

s N = s S = 90°

NR = RS = 8 cm

s MRN = s SRT (ters aç›) oldu¤undan A. K . A. efllik flart›na göre, MN^Δ R ≅ T RS^Δ dir.

Yukar›daki haritalar farkl› ölçeklerde çizilmifltir. Bu iki harita birbirine benzerdir.

Üçgenlerin benzerli¤i için ise baz› flartlar vard›r. fiimdi bunlar› inceleyelim.

ÖRNEK

Afla¤›da verilen üçgenlerin benzer olup olmad›klar›n› inceleyelim.

‹ki üçgenin karfl›l›kl› kenarlar›n› oranlayal›m.

Üçgenlerde Benzerlik

AB KL = 3

6 = 1 2 AC = 5 = 1

‹ki üçgenin karfl›l›kl› kenarlar›n›n oran› ayn› oldu¤undan ABC ve KLM benzer üçgenlerdir. ABC’nin kenar uzunluklar›, KLM’nin kenar uzunluklar›n›n oran›nda küçültülmüflütür. Bu nedenle benzerlik oran› ’dir.

Aç›- Aç›- Aç› (A.A.A.) Benzerlik Özelli¤i

‹ki aç›s› efl olarak verilen üçgenlerin, üçüncü aç›lar› da efltir. Dolayas›yla ikifler aç›s› efl olarak verilen üçgenler benzer üçgenlerdir.

ÖRNEK

1 1 2

2

Δ Δ

Δ Δ

s B = s E = 50° ve s C = s F = 85° verilmifltir. Üçgenlerin iç aç›lar›n›n ölçüleri toplam› 180° oldu¤undan, s A = s D = 45° dir.

ABC ve DEF üçgenleri A.A.A. flart›na göre benzerdir.

ABC ~ DEF biçiminde gösterilir.

Δ Δ

Δ Δ

ÖRNEK

ÇÖZÜM

Üçgenin iç aç›lar› toplam› 180° ve bu iki üçgenin ikifler aç›lar› efl oldu¤undan üçüncü aç›lar›

Yukar›da verilen K ML^Δ ve N PR^Δ üçgenlerinde s L = s R , s M = s P KL = 4 cm, NR = 6 cm ve PR = 15 cm oldu¤una göre, LM kaç santimetredir?

K ML^Δ ve N PR^Δ 'ni karfl›laflt›ral›m.

s L = s R , s M = s P veriliyor.

s K = s N olur.

KLM ve NRP üçgenleri A.A.A. flart›na göre benzerdir.

KLM ~ NRP oldu¤undan KL

NR = LM

RP = KM

NP dir.

KL

NR = LM PR LM

Δ Δ Δ

Δ

Kenar - Kenar- Kenar (K.K.K.) Benzerlik Özelli¤i

Üçgenlerin bütün kenarlar› orant›l› ise bu üçgenler benzer üçgenlerdir.

ÖRNEK

orant›l› kenarlar›n karfl›s›ndaki aç›lar efl olaca¤› için;

ABC ve KLM üçgenleri K.K.K. flart›na göre benzerdir.

Kenar Aç›-Kenar (K.A.K.) Benzerlik Özelli¤i

Üçgenlerin ikifler kenarlar› orant›l› ve bu orant›l› kenarlar›n aras›nda kalan aç›lar›

efl ise bu üçgenler benzerdir.

BC

LM = AC

KM = AB

KL = 2 oldu¤undan

Δ Δ

ÖRNEK

Yukar›da verilen MNP ve RST verilenlere göre |MP| kaç santimetredir?

ÇÖZÜM

MNP ve RST üçgenlerinde, aras›ndaki orant›

MNP ve RST üçgenleri K.A.K. flart›na göre benzerdir.

MNP ~ RST AB

MN = AC MR = 1

3 ve s A = s M dir.

ABC ve MNR K.A. K. flart›na göre benzerdir. ^{Δ Δ}

s N = s S ve eflit aç›lar›n kollar›n›n uzunluklar›

3 5 = 9

15 oldu¤undan, Δ Δ

Δ Δ

Δ Δ

MN RS = NP

ST = MP RT dir.

3 = 9 = MP

ÖRNEK

ÇÖZÜM

Yandaki flekilde s EDF = s EHD = 90° ve s DEH = 60° dir.

EHD, DHF, EDF üçgenlerinin benzerli¤ini, benzerlik flart›n› belirterek gösterelim.

Bir üçgenin iç aç›lar›n toplam› 180° oldu¤undan s EF D = s EDH = 30° dir.

A.A. benzerlik flart›ndan EHD ~ DHF ~ EDF dir.

Δ Δ Δ

Yukar›daki flekilde

|KN| = 5 cm, |KP| = 3 cm ve |NL| = 4 cm oldu¤una göre, |PM| kaç santimetredir?

ÇÖZÜM

KNP ile KML karfl›laflt›ral›m.

ÖRNEK

s KNP = s KML ,

Δ Δ

A. A benzerlik flart›ndan KNP ~ KML olur.

Benzerlik orant›s›ndan, KN

KM = KP KL 5

KM = 3 9 KM = 15 cm

PM = 15 - 3 = 12 cm olur.

Δ Δ

ÖRNEK

fiekilde görüldü¤ü gibi bir ›fl›k kayna¤›ndan 20 cm uzakl›¤a, 15 cm boyunda bir kalem yerlefltiriliyor. Kalemin gölgesi, kalemden 40 cm uzaktaki perde üzerinde olufluyor.

Buna göre, gölgenin uzunlu¤u kaç santimetredir?

Sorunun çözümü için yukar›daki gibi bir model çizelim. Gölgenin uzunlu¤una x diyelim.

A. A. benzerlik flart›ndan, DBE ~ ABC

x = 45 cm.

Gölgenin uzunlu¤u 45 cm olur.

Benzer üçgenlerin alanlar› oran› benzerlik oran›n›n karesine eflittir.

ÖRNEK

Benzer iki üçgenin kenarlar› oran› ise alanlar› oran› kaçt›r?

ÇÖZÜM

Kenarlar›n›n oran›;

Δ Δ

20 60 = 15x

3 5 3

5 ise alanlar› oran›; 3 5

2 = 9

25 olur.

➠

ÇÖZÜM

ALIfiTIRMALAR

1. DEF ile DGF’nin efl oldu¤unu gösteriniz ve efl aç›lar› yaz›n›z.

2. Afla¤›daki flekilde ABE’nin alan› 240 cm² oldu¤una göre, ECD’nin alan›n›

bulunuz.

Δ Δ

Δ Δ

3. Afla¤›da verilen flekilde [DE]//[BC], |AD| = 6cm, |DB| = 12 cm, |EC| = 9 cm ve

|BC| = 21 cm oldu¤una göre, |AE| ve |DE| kaç santimetredir?

4. 160 cm boyundaki Gülcan’›n gölgesi 90 cm’dir. Ayn› anda gölgesi 180 cm olan dire¤inin uzunlu¤u kaç santimetredir?

5. fiekilde verilenlere göre, |KM|, |PM| ve |MN| bulunuz.

6. Afla¤›da verilen dikdörtgendeki efl üçgenleri yaz›n›z.

ÖZET

‹ki üçgenin karfl›l›kl› aç›lar›n›n ve karfl›l›kl› kenarlar›n›n ölçüleri eflit ise bu iki üçgen efltir.

Üçgenlerde efllik flartlar›

1. Kenar-Aç›-Kenar (K.A.K.) 2. Aç›-Kenar-Aç› (A.K.A.) 3. Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.) 4. Kenar-Aç›- Aç› (K.A.A.)

‹ki üçgenin; ikifler aç›lar›n›n efl, karfl›l›kl› kenarlar›n›n orant›l›, karfl›l›kl› iki kenar›n›n orant›l› ve dahil ettikleri aç›lar›n›n efl olmalar› durumunda bu üçgenler benzerdir.

Üçgenlerde benzerlik flartlar›

1. Aç›-Aç›-Aç› (A.A.A.)

2. Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.)

3. Kenar-Aç›-Kenar (K.A.K.) fleklinde adland›r›l›r.

Benzer üçgenlerin alanlar› oran› benzerlik oran›n›n karesine eflittir.



TEST IV-II

1. Bir DEF üçgeninde |DE| = 8 m, |DF| = 12 cm ve |EF| = 16 cm’dir. DEF ~KLM ve üçgenlerin benzerlik oran› oldu¤una göre KLM’i afla¤›dakilerden hangisidir?3

4

Δ

Δ

✎

Güneflli bir günde, boyu 160 cm olan Gülflen’in gölgesinin uzunlu¤u 180 cm dir.

Ayn› anda gölgesinin uzunlu¤u 450 cm olan a¤ac›n boyu kaç santimetredir?

A) 300 B) 350 C) 400 D) 450

3. fiekilde [DE] // [BC] oldu¤una göre, |DE| kaç santimetredir?

A) 9 B) 12 C) 18 2.

4. ABC ~ KLM oldu¤una göre, s(KML) kaç derecedir?

A) 60 B) 70 C) 120 D) 140

5. NMP ~ KLP oldu¤una göre, bu üçgenlerin benzerlik oran› nedir?

Δ Δ Δ

A) 1

3 B) 1

2 C) 3

4 D) 2

Δ Δ

A) 10 B) 20 C) 30 D) 40

7. Afla¤›daki flekilde [AB] // [CD] oldu¤una göre |CD| kaç santimetredir?

A) 6 B) 10 C) 12

6. Afla¤›daki flekilde verilenlere göre |TR| kaç santimetredir?

9. fiekildeki ABC üçgeninde [DE] // [BC] 3|AE| = |AC| ve |BC| = 24 cm oldu¤una göre, |DE| kaç santimetredir?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12

10. fiekilde görüldü¤ü gibi, bir ›fl›k kayna¤›ndan 20 cm uzakl›¤a, 12 cm boyunda bir kalem yerlefltiriliyor. Kalemin gölgesi, kalemden 40 cm uzakl›ktaki perde üzerinde olufluyor. Buna göre, gölgenin uzunlu¤u kaç santimetredir?

A) 24 B) 30 C) 36 D) 48

11. Afla¤›daki AED üçgeninde verilenlere göre, |ED| kaç santimetredir?

A) 8 B) 9

C) 10 D) 12

12. fiekilde KNP ~ KML ve üçgenlerin benzerlik oran› |KN| = 3 cm ve

|KP| = 6 cm ise |NL| + |PM| kaç santimetredir?

Δ Δ

13 'tür.

A) 6 B) 8 C) 9 D) 15

14. Yukar›daki ABC ve DEF üçgenlerinde verilenlere göre afla¤›daki ifadelerden hangisi do¤rudur?

A) ABC ∼ DFE B) ACB ∼ DEF C) ACB ∼ DFE D) ABC ∼ DEF

13. Afla¤›daki ABC’inde [DE] // [BC] oldu¤una göre, |BC| kaç santimetredir?

Δ Δ

Δ

Δ Δ

Δ Δ

Δ Δ Δ

GEOMETR‹K C‹S‹MLER Üçgen Prizma Olufltural›m

Renkli kartonlardan birbirine efl iki üçgen çizelim ve keselim.

Birer kanar uzunlu¤u bu üçgenlerin bu kenarlar›na eflit olan, di¤er kenar uzunluk- lar› ise kendi aralar›nda birbirine eflit olan üç tane dikdörtgensel bölgeyi yanyana çize- lim ve keselim.

Kesti¤imiz üçgenleri kenar uzunluklar›na dikkat ederek yap›flt›ral›m.

fiekli katlayarak kapal› hale getirelim.

Oluflturdu¤umuz fleklin hangi geometrik flekillerden meydana geldi¤ini ince- leyiniz, temel elemanlar›n›n neler olabilece¤ini düflününüz.

Tabanlar› üçgen, yan yüzleri dikdörtgen olan prizmaya üçgen dik prizma denir.

Karfl›l›kl› iki yüzde paralel ve efl olan üçgenler, üçgen prizman›n “tabanlar›”, dikdört- gensel bölgenin birlefltirilmesiyle elde edilen yüzey ise “yanal yüzey” dir. Üçgen priz- man›n temel elemanlar› taban, yan yüz, ayr›t, köfle ve yüksekliktir.

Yanal ayr›tlar› tabanlara dik olan üçgen prizmalara “üçgen dik prizma”, denir.

➠

❂

Hat›rlatma

Bir flekil kendi merkezi etraf›nda döndürüldü¤ünde 360°den küçük aç›l› dönme- lerde en az bir defa kendisi ile çak›fl›yorsa bu flekil dönme simetrisine sahiptir.

Eflkenar üçgen prizmada tabanlar›n merkezinden geçen do¤ru “eksen”dir.

➠

ÖRNEK

Afla¤›da verilen eflkenar üçgen prizman›n dönme simetrisine sahip olup olmad›¤›n›

belirleyelim.

Prizmam›z› ekseni etraf›nda iki kez 60° lik aç› ile afla¤›daki gibi döndürelim.

Eflkenar üçgen prizma ekseni etraf›nda 60° lik dönmelerde dönme simetrisine sahiptir.

Eflkenar üçgen prizma ekseni etraf›nda 120°lik dönmelerde dönme simetrisine sahiptir.

ALIfiTIRMALAR

1. Afla¤›da verilen üçgen prizmalar›n aç›n›mlar›n› çiziniz?

2. Taban ayr›tlar›n›n uzunluklar› 26 cm, 24 cm ve 10 cm, yüksekli¤i 10 cm olan bir üçgen prizma çiziniz.

3. Afla¤›da verilen üçgen prizman›n aç›n›m›n› çiziniz?

4. Afla¤›da verilen dikdörtgenler prizmas›ndan ve beflgen prizmadan üçgen prizma elde ediniz.

Üçgen Prizman›n Yüzey Alan› ve Hacmi ÖRNEK

Afla¤›da verilen üçgen prizman›n yüzey alan›n› bulal›m.

ÇÖZÜM

Bunun için önce üçgen prizman›n aç›n›m›n› çizelim.

Aç›n›mda tabanlar üçgensel bölge yanal yüz ise dikdörtgensel bölge fleklindedir.

Yüzey alan›n› bulmak için iki üçgensel bölgenin alan› ile dikdörtgensel bölgenin alan›n› hesaplay›p bu alanlar› toplayal›m.

Dikdörtgensel bölgenin alan› : Üçgenin çevresi x yükseklik

= (5 + 12 + 13) x 15

= 450 cm²

Prizman›n yüzey alan› : 2.30 + 450 = 510 cm² olur.

Dik üçgen prizman›n yüzey alan›, yanal yüz ile alt ve üst taban alanlar›n›n toplam›na eflittir.

Üçgen prizman›n yüzey alan› = Üçgenin çeve uzunlu¤u x yükseklik + 2. üçgenin alan›

Not:

Kare prizma, küp ve dikdörtgenler prizmas›n›n yüzey alanlar›n› hesaplamay›

hat›rlayal›m.

ÖRNEK

Taban ayr›tlar›ndan biri 6 cm ve yüksekli¤i 10 cm olan düzgün alt›gen dik prizma n›n yüzey alan›n› hesaplayal›m.

Yüzey alan› = (2 taban alan›) + (Alt›genin çevresi x yükseklik)

Taban› oluflturan düzgün alt›genin alan›, 6 tane eflkenar üçgenin alan›na eflittir.

Not:

Dik Prizmalar›n Hacmi ÖRNEK

fiekilde verilen üçgen dik prizma fleklindeki kutunun taban alan› 20 cm², yüksekli¤i 15 cm’dir. Bu prizman›n hacmini hesaplay›n›z.

ÇÖZÜM

Üçgen dik prizma fleklindeki kutunun hacmini bulal›m.

Hacim = V = Taban alan› x yükseklik

= 20 x 15

= 300 cm³bulunur.

Düzgün alt›genin alan› = 6 . 6² 3

4 = 54 3cm² Yüzey alan› = 2 . 54 3 + 6. 6 .10

= 108 3 + 360 cm² bulunur.

➠

Hacim = taban alan› x yükseklik

ÖRNEK

Dik üçgen dik prizma fleklindeki bir deterjan kutusunun taban›n›n dik kenarlar›ndan biri 12 cm, di¤eri 9 cm dir. Yüksekli¤i 25 cm olan bu kutunun hacmini hesaplay›n›z.

ÇÖZÜM V = a . h

2 . y

➠

Hacim = V = Taban alan› x yükseklik

= 54 x 25

= 1350 cm³

Bütün prizmalarda hacim, prizman›n taban alan› ile yüksekli¤inin çarp›m›na eflittir.

ÖRNEK

Taban ayr›tlar›ndan birinin uzunlu¤u 4 cm ve yüksekli¤i 10 cm olan düzgün alt›gen prizma fleklindeki çikolata kutusunun hacmini bulunuz.

ÇÖZÜM

Hacim = V = Taban alan› x yükseklik

ÖRNEK

Taban alan› 30 cm², yüksekli¤i 12 cm olan düzgün beflgen prizman›n hacmini hesaplay›n›z.

ÇÖZÜM

Hacim = V = Taban alan› x Yükseklik

= 30 . 12

= 360 cm³tür.

= 6 . 4² 3 4 . 10

= 240 3 cm³ tür.

Piramit, Koni ve Küre Piramit- Koni - Küre

Piramit ve Özellikleri

Afla¤›daki piramidin temel elemanlar›n› belirleyelim.

Piramidin temel elemanlar› tepe noktas›, taban›, yan yüzleri, ayr›lar› ve yüksekli¤idir.

➠

❂

❂

Piramitler, tabanlar›ndaki çokgenlerin çeflitlerine göre adland›r›l›r. Üçgen piramit, kare piramit, beflgen piramit v.b

Piramitlerde, tepe noktas›n› taban merkezine (a¤›rl›k merkezi) birlefliren do¤ru parças› tabana dik ise piramite “dik piramit” e¤ik ise “e¤ik piramit” denir.

Koni ve Özellikleri

Bir dairenin bütün noktalar›n›, daire düzlemi d›fl›nda al›nan bir A noktas› ile birlefltiren do¤ru parças›n›n oluflturdu¤u cisme “koni denir.

Afla¤›da verilen koninin taban›n›, yanal yüzeyini, tepe noktas›n› ve eksenini belir- le yip aç›n›m›n› çizelim.

❂

➠

➠

Koninin temel elemanlar›, bir dairesel bölge olan “taban”, taban›n d›fl›nda bir

“tepe noktas›”, tepe noktas›n› taban merkezine birlefltiren do¤ru parças› olan “eksen”

tepeden geçen ve taban›n kenar› olan çembere dayanan “ana do¤ru” ve bu do¤runun süpürdü¤ü “yanal yüzey” dir.

Ekseni tabana dik olan koni “dik koni” veya “dönel koni”, e¤ik olan ise “e¤ik koni” olarak adland›r›l›r. Dik koniler, eksen etraf›ndaki dönmelerde dönme simetresine sahiptir.

K ü re ve Özellikleri

Bir dairenin, herhangi bir çap› etraf›nda 180° döndürülmesiyle elde edilen geometrik cisme “küre”denir.

Kürenin temel elemanlar›; merkezi, yar›çap› ve yüzeyidir.

Yukar›daki küre, E düzlemi taraf›ndan kesilmifltir. E düzlemi kürenin merkezinden geçmektedir. Bu durumda elde edilen daire kürenin en büyük dairesidir. Bu flekilde oluflan dairenin çap› ise kürenin çap›d›r.

ALIfiTIRMALAR

1. Afla¤›da verilen üçgen prizmalar›n yüzey alanlar›n› ve hacimlerini bulunuz.

2. Hacmi 720 cm³olan üçgen prizma fleklindeki kutunun taban alan› 60 cm² dir. Bu prizman›n yüksekli¤ini bulunuz.

3. Afla¤›da verilen prizmalar›n yüzey alan›n› ve hacimlerini hesaplay›n›z.

5. Taban› beflgen fleklinde olan bir piramidin köfle, ayr›t ve yüz say›s›n› bulunuz.

6. Afla¤›da verilen geometrik cisimlerin yüksekliklerini çizerek hangilerinin dik hangilerinin e¤ik oldu¤unu belirleyiniz.

4. Afla¤›da verilen kare prizma fleklindeki tahta taban›n›n köflegeni boyunca ikiye ayr›larak yeflil ile boyal› cisim elde ediliyor. Bu cismin yüzey alan›n› ve hacmini hesaplay›n›z.



Tabanlar› üçgen, yan yüzleri dikdörtgen olan prizmaya üçgen dik prizma denir.

Üçgen prizman›n temel elemanlar› taban, yan yüz, ayr›t, köfle ve yüksekliktir.

Eflkenar üçgen prizmada tabanlar›n merkezinden geçen do¤ru “eksen”dir.

Üçgen prizman›n yüzey alan› = Üçgenin çevre uzunlu¤u x yükseklik + 2 üçgenin alan›

üçgen prizman›n hacmi, üçgensel bölgenin alan› ile üçgen prizman›n yüksekli¤inin ç a r p › m › d › r.

Hacim = taban alan› x yükseklik

Bütün prizmalarda hacim, prizman›n taban alan› ile yüksekli¤in çarp›m›na eflittir.

Piramidin temel elemanlar› tepe noktas›, taban›, yan yüzleri, ayr›tlar› ve yüksekli¤idir.

Piramitler, tabanlar›ndaki çokgenlerin çeflitlerine göre adland›r›l›r. Üçgen piramit, kare piramit, beflgen piramit v.b

Piramitlerde, tepe noktas›n› taban merkezine (a¤›rl›k merkezi) birlefltiren do¤ru parças› tabana dik ise piramide “dik piramit” e¤ik ise “e¤ik piramit” denir.

Bir dairenin bütün noktalar›n›, daire düzlemi d›fl›nda al›nan bir A noktas› ile birlefltiren do¤ru parças›n›n oluflturdu¤u cisme “koni” denir.

Koninin temel elemanlar›, bir dairesel bölge olan “taban”, taban›n d›fl›nda bir “tepe noktas›”, tepe noktas›n› taban merkezine birlefltiren do¤ru parças› olan “eksen” tepeden geçen ve taban›n kenar› olan çembere dayanan “ana do¤ru” ve bu do¤runun süpürdü¤ü yanal yüzey”dir.

V = a.h1 2 .h2

Ekseni tabana dik olan koni “dik koni” veya “dönel koni” e¤ik olan ise “e¤ik koni”

olarak adland›r›l›r.

Bir dairenin, herhangi çap› etraf›nda 180° döndürülmesiyle elde edilen geometrik cisme “küre” denir.

✎

A) 6 B) 9 C) 12 D) 16

2. Yanal alan› 210 cm² ve taban çevresi 30 cm olan bir üçgen prizman›n yüksekli¤i kaç santimetredir?

A) 21 B) 15 C) 10 D) 7

3. fiekilde verilen dik üçgen dik prizman›n yüzey alan› kaç santimetrekaredir?

A) 360 B) 408 C) 456 D) 720

A) 48 B) 24 C) 12 D) 6

5. Taban çevresinin uzunlu¤u 26 cm olan üçgen dik prizman›n yüksekli¤i 10 cm oldu¤una göre, prizman›n yanal alan› kaç santimetrekaredir?

A) 65 B) 130 C) 195 D) 260

6. Düzgün alt›gen piramidin kaç yüzü vard›r?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8

7. Bir taban ayr›t›n›n uzunlu¤u 12 cm ve yüksekli¤i 20 cm olan düzgün alt›gen piramitin hacmi kaç santimetreküptür?

4. Afla¤›da verilen üçgen dik prizman›n hacmi kaç metreküptür?

A) 1440 3 B) 2160 3 C) 4320 3 D) 6480 3

8.

a, b, c, d ve h ayr›t uzunluklar›n› göstermek üzere, yukar›da bir üçgen dik prizma n›n aç›k flekli çizilmifltir.

Bu çizim yap›l›rken afla¤›dakilerden hangisinde verilen eflitlikler kesinlikle do¤rudur?

A) a = d ve a = h B) c = b ve a = d C) a = b ve d = c D) h = b ve h = d

9. Afla¤›daki üçgen prizmalardan hangisi dönme simetrisine sahiptir?

10.

Yukar›daki cisim hangi cisimlerin birlefltirilmesinden oluflmufltur?

A) Küre - Koni B) Silindir- Piramit C) Koni- Silindir D) Küre- Silindir

11. Taban yar›çap›n›n uzunlu¤u 4 cm, yüksekli¤i 15 cm olan dik silindirin yanal alan›

kaç santimetrekaredir? (π’yi 3 al›n›z.) A) 180

B) 360 C) 540 D) 720

12. Beflgen piramidin kaç köflesi vard›r?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8

13. Alan› 150 cm²olan küpün tüm ayr›tlar›n›n uzunluklar› toplam› kaç santimetredir?

A) 20 B) 40 C) 60 D) 70