V= ( F1 + F2 ) / 2 * L

10. BÖLÜM HACİM HESAPLARI

10.1 Genel Bilgi

Büyük inşaatlarda, yol ve kanal çalışmalarında kazılacak toprak miktarının hesaplanması, maden işletmelerinde çıkarılan maden miktarının belirlenmesi amacı ile hacim hesapları yapılır. Hacim hesapları genel olarak;

• Enkesitlerden,

• Yüzey nivelmanı ölçülerinden,

• Eşyükseklik eğrili planlardan yararlanılarak yapılır.

10.2. Enkesitlerden Hacim Hesabı

Enkesit alanlarından ve ard arda gelen kesitler arası mesafeden yararlanarak hacim hesapları yapılır. Burada sözü edilen enkesitler, karışık kesit olmayıp sadece yarma veya dolgu kesitidir. Buna göre ard arda gelen iki yarma veya iki defa dolgu kesiti arasındaki hacim;

V= ( F1 + F2 ) / 2 * L

bağıntısı ile hesaplanır. Burada, F1 ve F2 ; Kesit alanları

L; Ard arda gelen kesitler arasındaki uzaklıktır.

Dolgu Şekli Devamlı Dolgu Şekli

Ard arda gelen kesitler arasındaki l uzaklığı eşit ise birbirini takip eden üç kesit arasındaki hacim, Simpson formülüne göre hesaplanabilir.

V=1/3 * ( Fi + 4Fm + Fs )

bağıntısındaki Fi ilk kesit alanını, Fm ortadaki kesit alanını, Fs ise son kesit alanını göstermektedir.

Bir yol boyunca ve aralarında l uzaklığı kadar mesafe olan bir çok kesitler bulunduğu taktirde hacim, ilk bağıntısına göre parça parça hesaplanabileceği gibi, aşağıdaki genel formüle de hesaplanabilir.

V=1/2 *( Fi + 2n * Fm + Fs )

bağıntısındaki Fm, ilk ve son kesitler dışında kalan kesitlerin alanlarının aritmetik ortalamasını, n ise ilk ve sondaki kesirler dışında kalan kesit sayısını göstermektedir.

Hacim hesabında her zaman ard arda gelen kesitler aynı nitelikte olmayabilir. Boykesit grafiği incelendiğinde dolgudan yarmaya ya da yarmadan dolguya geçiş söz konusu ise, hacim hesaplarının yapılabilmesi için, ilk önce kırmızı çizgi ile arazinin yerleri sıfır (geçiş) noktalarının komşu kesitlere olan uzaklıklarının (X1, X2) hesaplanması gerekir.

Formüllerin çıkarılmasında kolaylık olması amacıyla kesit alanlarının muntazam geometrik şekiller olduğu varsayılacaktır.

Yarma ve Dolgu Şekli

Yukarıdaki şekilde görülen yarma ve dolgu alanlarının birbirine oranı, bunları sıfır kesitine

Fy / Fd = x / ( l – x )

yazılır ve X yalnız bırakılırsa:

X= Fy / ( Fy + Fd ) * l

ÖRNEK:

Birbiri ardı sıra 5 enkesit alınmış olup; kesitlerin tamamı yarma kesiti olduğuna göre kazılacak toprak hacmini hesaplayınız. Kesitler arası mesafe eşit olup, l=20m’dir.

Fi=33m2 F1=30m2 F2=23m2 F3=34m2 Fs=19m2 V= ( F1 + F2 ) / 2 * L bağıntısından;

V= ( Fi + F1 )/2 *20 + ( F1 + F2 )/2 *20 + ( F2 + F3 )/2 *20 + ( F3 + Fs )/2 *20 V=630 + 530 + 570 + 530

V=2260m3

V=1/3 * ( Fi + 4Fm + Fs ) bağıntısından;

V=20/3 * ( Fi + 4F1 + F2 ) + 20/3 * ( F2 + 4F3 + Fs) V=1173.33+1186.67

V=2360m3

V=1/2 *( Fi + 2n * Fm + Fs ) bağıntısından;

Fm= ( F1 + F2 + F3 )/3 Fm=29m3 n = 3 V= L/2 * ( Fi + 2n * Fm + Fs)

V=2260m3

ÖRNEK:

Aşağıda verilen boykesit grafiğinden yararlanarak yarma ve dolgu hacimlerini hesaplayınız.

Boykesit Grafiği şekli

X1 = 9 / ( 9 + 8 ) * 25 X1=13.24m X2 = 5 / ( 5 + 20 ) * 36 X2=7.20m

V yarma = ( 16 + 9 ) / 2 * 27 + ( 9 + 0 ) / 2 *13.24 + ( 0 +20 ) / 2 * ( 36-7.20 ) V yarma=685.08 m3

V Dolgu = ( 0 + 8 ) / 2 * ( 25 – 13.24 ) + ( 8 + 5 ) / 2 * 30 + ( 5 + 0 ) / 2 * 7.20 V Dolgu = 260.04 m3

10.3 Yüzey Nivelman Ölçülerine Göre Hacim Hesabı

Yüzey nivelmanın da arazi üçgen, kare veya dikdörtgenlerden oluşan kafeslere ayrılır.

Kafeslerin köşe noktalarının yükseklikleri ve konumları belli olduğu için, verilen taban kotuna göre kare veya dikdörtgen prizmalardan yararlanarak hacimler hesaplanır.

Yüzey Nivelmanında Arazinin Üçgen ve kare veya dikdörtgen şekli

Prizmaların hacmi, taban alanları ile yükseklik ortalamalarının çapına eşittir. Buna göre üçgen prizmanın hacmi,

V= ( h1 + h2 + h3 ) / 3 * F’

dörtgen prizmanın hacmi ise;

V= ( h1 + h2 + h3 + h4 ) / 4 * F’

bağıntıları ile hesaplanır. Prizmalarla hacim hesabında yukarıdaki bağıntılarının prizma sayısı kadar kullanılması gerekir. Oysa kare ağlarıyla örtülü bir cismin hesabında V= ( h1 + h2 + h3 + h4 ) / 4 * F’ bağıntısından elde edilen daha kolay bir yol izlenebilir.

Yukarıdaki şekildeki kare ağlarıyla örtülü bir cismin belli bir taban kotuna göre hacmi (10.6) bağıntısından hesaplanan 4 prizma hacminin toplamı kadar olacaktır.

V1=1/4 * a

* ( h1+h2+h8+h9) V2=1/4 * a

* ( h2+h3+h4+h9) V3=1/4 * a

* ( h4+h5+h6+h9) V4=1/4 * a

* ( h6+h7+h8+h9)

V=1/4 a2* [ ( h1+h3+h5+h7) + 2( h2+h4+h6+h8) + 4h9]

bağıntısı

V=1/4 a2 * (Σ h

+2Σ h

+ 4Σ h

)

h

h

h

Karelaj yöntemiyle yüzey nivelmanı yapılmış bir alanda ortalama arazi kotundan yararlanarak, belirli bir kota kadar kazılacak toprak hacmi hesaplanabilir. Engebeli bir arazide ortalama arazi kotundan geçen düzlemin üstündeki yarmalarla, bu düzlemin altında kalan dolguların hacimleri birbirine eşittir. Bir başka değişle, bu sahada yarmadan çıkan toprak dolguya konacaktır.

Ortalama arazi kotu

OAK = H1 + H3 + H5 + H7 + 2 (H2 + H4 + H6 + H8) + 4H9 / (E+2R+4I)

bağıntısıyla hesaplanır. Bu bağıntı

OAK = ∑ HE + 2∑ HR + 4∑ H1 / (E + 2R + 4I )

şeklinde yazılabilir.

E : Dış köşe yükseklikleri sayısı R : Dış kenar yükseklikleri sayısı I : İç yükseklikler sayısı.

Verilen bir taban kotuna kadar kazılacak hacmi, F sahasının alanını göstermek üzere

V= F * (OAK – Taban Kotu) bağıntısıyla bulunur.

ÖRNEK :

Aşağıdaki şekildeki parselin taban kotu 50m oluncaya kadar kazılması istenilmektedir.

Kazılacak toprak hacmini;

a) Prizmalar yardımıyla b) Enkesitler yardımıyla

c) Ortalama arazi kotundan yararlanarak hesaplayınız.

a) Prizmalar yardımıyla hacim hesabı:

∑hE = 10.15

∑hR = 18.25

∑hİ = 6.38

V=1/4 a2 * (Σ hE +2Σ hR+ 4Σ hi ) bağıntısından V= 16238.25m³

b) Enkesitler yardımıyla hacim hesabı:

Kolay anlaşılması için önce enkesitleri çizip daha sonra alanlar hesaplanır.

F1 = 196.50m² F2 = 273.90m² F3 = 338.25m²

V = 196.50 + 273.90 .30 + 2 273.90 +338.25 .30 2

V= 7056 + 9182.25 V= 16238.25m³

c) Ortalama arazi kotundan hacim hesabı:

∑HE = 210.15 E = 4

∑HR = 318.25 R = 6

∑Hİ = 106.38 İ = 2

OAK = ∑ HE + 2∑ HR + 4∑ H1 / (E + 2R + 4I ) bağıntısındanOAK= 53.0071m→F= 5400m²

10.4.Eşyükseklik Eğrili Planlardan Hacim hesabı

Eşyükseklik eğrilerinden hacim hesabı, enkesitlerde alan hesabına benzemektedir.

Kullanılan bağıntılar burada da geçerlidir. Yalnız, enkesit alanlarının yerini, eşyükseklik eğrilerinin çevrelediği alanlar, enkesitler arasındaki uzaklığın yerini de, eşyükseklik eğrileri arasındaki yükseklik farkları almıştır. Eğrilerin çevrelediği alanlar planimetre ile bulunmaktadır.

Eşyükseklik Eğrili Plandan Hacim hesabı

İki eşyükseklik arasındaki hacim, h eğriler arasındaki yükseklik farkını göstermek üzere

V= ( F

+F

) / 2 * h

Bağıntısı ile bulunur. Eşyükseklik eğrili planlardan yararlanarak hacim hesabında (10.2) bağıntısında verilen Simpson formülü

V= h /3 *( Fi + 4Fm + Fs )

Örnek:

Yukarıdaki Eşyükseklik eğrili şekildeki tepenin hacmini ortalama alanlardan yararlanarak hesaplayınız.

Fi=20m² ; F1=120m² ; F2=180m² ; Fs= 215m²

V= ( Fİ + F1 ) /2 * h + ( F1 + F2 ) / 2 * h + ( F2 + FS ) /2 * h

V= 700 + 1500 + 1975 V=4175m³

Baraj rezervuarlarındaki su hacminin hesaplanmasında da eş yükseklik eğrili planlardan yararlanılabilir. Aşağıdaki şekilde 250, 260 ve 270 kotlu eşyükseklik eğrilerinin çevrelediği alanlar planimetre ile bulunur. Ve eşyükseklik eğrileri aralığı kullanılarak toplanacak suyun hacmi hesaplanır.

940930 950 960

Eşyükseklik Eğrili Plandan Hacim hesabı

260250 280270 290