BÖLÜM 7 Ortalama, Varyans, Momentler ve
Karakteristik Fonksiyon
SAB201 AKTÜERYADA İSTATİSTİKSEL DAĞILIMLAR
Doç. Dr. Furkan BAŞER Ankara Üniversitesi Uygulamalı Bilimler Fakültesi
7. Ortalama, Varyans, Momentler ve Karakteristik Fonksiyon
Bir X r.d için, olasılık yoğunluk fonksiyonu , X ile ilgili tüm bilgileri içerir:
Bu kesimde, r.d ve olasılık yoğunluk fonksiyonunun genel özelliklerini temsil etmek için kullanılan iki parametre de (ortalama ve varyans) tanıtılacaktır.
X B
B fX x dxP ( ) ( ) .
) (x fX
3
X r.d.nin ortalama veya beklenen değeri ;
Eğer X kesikli r.d ise
Ortalama, çok sayıda denemede r.d'nin ortalama değerini temsil eder. Örneğin, eğer ise
(a,b) aralığındaki orta nokta bulunur.
X E(X ) x fX (x)dx.
X
. ) (
) (
) (
) (
1
i
i i
i
i i
i
i i
i i
i i
X
x X
P x p
x
dx x
x p
x dx
x x
p x
X E
X
( , ) X U a b
b
a
b
a
b a
a b
a b
x a dx b
a b
X x
E 2 2( ) 2
) 1 (
2 2
2
Diğer yandan eğer X, parametresi ile üstel dağılıyorsa
parametresi üstel r.d.nin ortalama değerini temsil etmektedir.
Benzer şekilde eğer X, parametresi ile Poisson dağılıyorsa
0
/
0 ,
)
(
dx ye dy
x e X
E x y
! . )!
1 (
! ) !
( )
(
0 1
1 0
0
e i e
k e e
k k k e
ke k
X kP X
E
i
i
k
k
k
k
k
k
k
5
Benzer bir yolla, eğer X binom dağılıyorsa ortalama;
Böylece, np binom r.d.nin ortalamasını temsil etmektedir.
Normal r.d. için,
. )
! ( )!
1 (
)!
1 (
)!
1 (
)!
( !
! )!
( ) !
( )
(
1 1
1
0 1
1 0
0
np q
p np q
i p i
n np n
q k p
k n
n
q k p
k n k n q
k p k n k
X kP X
E
n i
n i n
i k
n k n
k
k n k n
k k n k n
k n
k
. 2
1 2
1
) (
2 1 2
) 1 (
1
2 / 2
0 2 / 2
2 / 2
2 / ) ( 2
2 2 2
2
2 2 2
2
ye dy e dy
dy e
y dx
xe X
E
y y
y x
6
Böylece için ilk parametre Gaussian r.d. X in ortalamasıdır. verildiğinde, , olasılık
yoğunluk fonksiyonu olan yeni bir r.d. tanımlandığını varsayalım. Yeni r.d. Y nin ortalaması ;
Buna göre yi bulmak için ye ihtiyacımız vardır.
olan herhangi bir y için,
, eşitliğinin çoklu çözümlerini temsil eder.
) ,
(
N 2 X
), ( f x
X X Y g( X )
Y ( ) f y
Y
E(Y ) y fY ( y)dy.
Y
( )
E Y fY ( )y
0
y
,i
i i
i X x x
x P y
y Y
y P xi y g x( )i
, )
( )
( X i i
Y y y f x x
f
7
Böylece;
Böylece, daki limit
Kesikli durumda,
X, Poisson r.d. ise nin ortalamasını belirlemek için;
, )
( )
( )
( )
( i
i
i X i
i i
i X
Y y y y f x x g x f x x
f
y
( ) ( ) ( ) ( ) .
)
(Y E g X y f y dy g x f x dx
E Y X
).
( ) ( )
( i
i
i P X x
x g Y
E
Y X 2
0
y
.
! )!
1 (
!
! !
) ! 1 )! (
1 (
! ) !
(
2
0
1
1
1
0 0
0
1
1
1 2 0
2 0
2 2
e e
e
m e e
i e e
i e i i e
i i e
i i k e
k e
k k k e
e k k
X P k X
E
m
m
i
i
i
i
i i
i i
i
i
k
k
k
k
k
k
k
Genel olarak, E
X k , X r.d.nin k. momenti olarak bilinir.9
Ortalama tek başına r.d.nin olasılık yoğunluk fonksiyonunu doğru şekilde temsil etmeyebilir. Bunu göstermek için,
ve olmak üzere iki farkı
Gaussian r.d. olduğunu düşünelim ve her ikisi de aynı ortalamaya sahip olsun. Bununla birlikte, Şekilde görüldüğü gibi, olasılık yoğunluk fonksiyonları oldukça
farklıdır. Bir tanesi daha çok ortalama etrafındayken, diğeri geniş alana yayılmıştır. Açıktır ki, ortalama
etrafındaki yayılmayı ölçmek için ek bir parametreye ihtiyaç vardır.
(0,1)
1 N
X X2 (0,10)N
0
) ( 1
1 x
fX
x1 2 1
(a)
) ( 2
2 x
fX
x2 2 10
(b)
) (X2
X r.d nin ortalaması ise ortalamadan sapma miktarını temsil etmektedir. Bu sapma ya pozitif ya da negatif olduğu için, değeri düşünüldüğünde ve
ortalama değeri , X in ortalamadan sapmasının karesinin ortalamasını temsil eder. Tanımlarsak;
ve
, X r.d.nin varyansı olarak bilinir ve karekökü ise X in standart sapması olarak bilinir.
, X
X 2
]
[ X 2 E
] 0.
[ 2
2
E X
X
)2
( )
(X X g
. 0 )
( )
( 2
2
x fX x dx X
2
X
)2
(
X E X
11
Buna göre
Böylece , Poisson r.d. ne dönersek
Böylece Poisson r.d.nin ortalaması ve varyansı birbirine eşit ve parametresidir.
( )
.
) ( 2
) (
) ( 2
) (
2 ___ 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
X X
X E X
E X
E
dx x
f x dx
x f
x
dx x
f x
x X
Var
X X
X X
2
2 .___
2
2 2
X X
X
12
normal r.d.nin varyansını belirlemek için
Basitleştirmek için,
normal olasılık yoğunluk fonksiyonu için bu da;
İki tarafın ya göre türevi alınırsa;
veya
.
2 ] 1
) [(
)
( ( ) /2
2
2 2 2 2
E X x e dx
X
Var x
),
, ( 2
N
( ) /2
2 1
2 ) 1
(x dx e 2 2dx
fX x
( )2/22dx 2. e x
( ) /2
3 2
) 2
( 2 2
dx
x e x
,
2
1 ( ) /2 2
2
2 2 2
dx
e
x x
13
Böylece normal r.d. İçin
ve de ikinci parametre Gaussian r.d.nin varyansını temsil eder. büyüdükçe, olasılık yoğunluk fonksiyonunun ortalamadan yayılması da artar.
Momentler: Daha önce de bahsedildiği gibi;
X r.d.nin momentleri olarak bilinir ve ,
) ,
( 2
N
) 2
(X
Var
,
1
), (
___
X E X n
mn n n
] )
[( n
n E X
X in merkezcil momentidir. Açıkça görülmektedir ki ve dir. ve arasında ilişki kurmak kolaydır;
Genelde ;
a civarında X in momenti olarak bilinirken, X in momenti olarak bilinir.
1,
m
2
2 mn
n
( ) ( ) .
) (
] ) [(
0 0
0
k n k
n
k k
n k
n
k
k n k
n
k n
n
k m X n
k E n
k X E n
X E
] ) [(X a n
E
]
| [| X n E
15
Örneğin, eğer ise o zaman ,
Karakteristik Fonksiyon
X r.d. nin karakteristik fonksiyonu şöyle tanımlanır:
even.
,
) 1 (
3 1
odd,
, ) 0
( n n
X n
E n n
odd.
), 1 2
( ,
/ 2
! 2
even,
, )
1 (
3 ) 1
|
(| 2 1
k n
k
n X n
E k k
n n
(0, 2)
X N
16
Böylece ve tüm için
Kesikli r.d. için karakteristik fonksiyon;
Böylece örneğin, eğer ise o halde karakteristik fonksiyonu;
Benzer şekilde, eğer X binom r.d. ise karakteristik fonksiyonu;
X () E e jX ejx fX (x)dx. ,
1 )
0
(
X X () 1
k
jk
X () e P(X k).
) ( P X
! . ) (
) !
( ( 1)
0 0
ej ejk k
k j k
jk
X e e e
k e e
e k e
. ) (
) (
) (
0 0
n j
n
k
k n k j n
k
k n k jk
X pe q pe q
k q n
k p
e n
17
Bir r.v'nin momentlerini hesaplarken karakteristik
fonksiyonunun kullanımını göstermek için önce aralarındaki ilişkiyi türetmek gerekir. Bu doğrultuda,
ye göre türevini alarak, sıfıra eşitlenirse;
Benzer şekilde, ikinci türevi alındığında;
! . ) (
! 2
) ) (
( 1
! ) (
! ) ) (
(
2 2
2
0 0
k k
k k
k k
k k
k jX
X
k X j E
X j E
X jE
k X j E
k X E j
e E
) . ( ) 1
( or
) ) (
(
0
0
X
X
X j E X
jE
) , ( ) 1
(
0 2
2 2 2
X X j
E
ve bu işlem k kez tekrarlandığında, X in k. momentini elde ederiz:
X r.d.nin ortalamasını, varyansını ya da herhangi bir daha yüksek dereceden momentini hesaplamak için yukarıdaki eşitlikler kullanılır. Örneğin, eğer ise
Böylece
Türevlendiğinde;
. 1
) , ( ) 1
(
0
j k X
E X k
k k k
) ,
(
e j
X e e j je
, )
(X
E
( ) X P
19
( )
,)
( 2 2
2
2
e j e j
X e e j je e j j e
Böylece,
Binom r.d.nin B(n, p) nin varyansını elde etmek için karakteristik fonksiyonunu kullanabiliriz.
böylece elde edilir.
, )
(X 2 2 E
) 1
) (
(
X j j n
q pe
jnpe
np
X E( )
Bir kez daha türevi alındığında;
ve binom r.d.nin ikinci momentini elde ederiz;
Gaussian r.d.nin karakteristik fonksiyonunu elde etmek için, eğer ise o zaman;
1 2 2
2 2
2
) (
) 1 (
) ) (
(
X j j n j j n
q pe
pe n
q pe
e np
j
1 ( 1)
.)
(X 2 np n p n2 p2 npq
E
( )
.)
( 2 2 2 2 2 2
2 E X E X n p npq n p npq
X
( , 2) X N
21
. 2
1
2 1
) that
so (Let
2
1 2
1
) (Let
2
) 1 (
) 2 / (
2 / 2
2 /
2 / ) )(
( 2
2 2
) 2 ( 2 / 2
2 / 2
2 / ) ( 2
2 2 2
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
j u
j
j u j
u j
j y y
j y
y j j
x x
j X
e du
e e
e
du e
e
j u y
u j
y
dy e
e dy
e e e
y x
dx e
e
Böylece eğer ise o zaman
ve
), ,
0 (
N 2
X
, 2
) 1
( 2/2 2
2
x
X x e
f
. )
( 22/2
X e
2
2/
2
e
(b)
2 2/2
ex
x (a)
Şekilde, deki nin tersinin ve in rolü önemlidir
Bazı durumlarda, ortalama ve varyans bulunamamaktadır.
Örneğin, Cauchy r.d.ni düşünelim.
Sonsuza yakınsamaktadır. Benzer şekilde,
2
) ( x
fX X ()
) , / ) (
( 2 2
x x fX
2 2 2 2 2 2
2) 1 ,
( dx
dx x x
X x
E
. 1 ) vs
( 2 2
23
. )
(
2 2 dx xX x
E
tek taraflı inceleyelim;
olmak üzere
Cauchy r.d.nin ortalama ve varyansı tanımlanamamaktadır.
0 2 2 .
x x dx x tan
/ 2 / 2
2
2 2 2 2
0 0 0
/ 2 / 2
0 0
tan sin
sec sec cos
(cos )
log cos log cos ,
cos 2
x dx d d
x
d
, X r.d.nin
ortalama etrafındaki dağılımını ölçtüğünden, bu sınırın da 'ye bağlı olmasını bekliyoruz.Chebyshev Eşitsizliği
ortalama çevresinde simetrik olarak ortalanmış birgenişlik 2
aralığı düşünün. X'in bu aralığın dışında olma olasılığı nedir?
| X |
?P
2
X X
25
Bu olasılığı hesaplamak için, nin tanımını yapmakla başlayabiliriz:
İstediğimiz olasılık;
ve bu da chebyshev eşitsizliği olarak bilinir. İlginçtir ki, yukarıdaki olasılığı hesaplamak için bilgisi gerekli değildir. Sadece r.d.nin varyansı ya ihtiyacımız var.
yazıldığında;
) ( x fX
| |
22 ,
X P
| | .
) ( )
(
) ( )
( )
( )
( )
(
2
|
| 2
|
|
2
|
|
2 2
2 2
X P
dx x f
dx x f
dx x f
x dx
x f
x X
E
x X
x X
x X
X
2
2
k
| |
12 .k k X
P
