Bölüm 4:
Evrişim (Convolution)
Sürekli Zamanlı Sinyallerin Evrişimi
( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( )
Evrişim işlemi
Ayrık Zamanlı Sinyallerin Evrişimi
( ) ( ) ( ) ∑ ( ) ( )
Örnek: ( ) { } ve ( ) { } n=0 n=0
Fonksiyonlarının matematiksel olarak evrişimini bulunuz.
Sürekli zamanlı sinyallerin evrişimini işlemeyeceğiz.
Çözüm:
( ) ∑ ( ) ( )
:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ). ( ). ( ). ( ).
:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ). ( ). ( ). ( ).
:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ). ( ) ( ). ( ).
:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ). ( ). ( ) ( ).
:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ). ( )
:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) { }
n=0
Method 2: Kaydırma Yöntemi
Özellik:
f(n) ve g(n) fonksiyonlarının vektörel uzunlukları (fonksiyonların tanımlı olduğu zaman anlarının sayısı) sırasıyla N ve M olsun. Bu fonsiyonların
evrişiminde elde edilen h(n) fonksiyonunun vektörel uzunluğu N M-1 dir.
Örnek: ( ) ( ) ( ) sayı dizisinin uzunluğu nedir?
f(n)={3.5, -2.1, 4.0, 2.4, 5.6, 1.2}
n=0
g(n)= {2, -1, 3}
n=0 Çözüm:
f(n)’in uzunluğu 6 g(n)’in uzunluğu 3
h(n)’in uzunluğu 6 - 8’dir
Sistemler ve Özellikleri
Girişindeki sinyal veya sinyalleri alan ve onları
işleyerek ıkısında başka sinyal ve sinyaller üreten elektronik devre ya da herhangi bir üniteye Sistem denir.
Matematiksel Gösterimi
x(t) giriş y(t) ıkış sinyalini gösterdiğini kabul edelim.
Çıkış ve giriş arasındaki ilişkiyi şu şekilde gösteririz.
( ) { ( )}
Burada {. } sistem operatörünü temsil etmektedir.
Sistemlerin Özellikleri
1) Nedensellik Ger eklenebilirlik (Casuality)
Herhangi bir andaki ıkış sinyali o andaki ya da ge mişteki giriş verilerine bağlı olan sistemler nedenseldir. Eğer sistem ıkışı gelecek zamandaki giriş değerlerine bağlı ise sistem nedensel değildir.
Örnek:
Aşağıdaki denklem bir sistemin ıktısıdır. Sistemin nedensel olup olmadığını bulunuz.
( ) ( ) . ( ) ( )
Çözüm:
Bu denklemden de görüldüğü gibi y(n) şimdiki giriş x(n) ve ge miş zaman girişlerine ( ( ) ( )) bağlıdır. Dolaysıyla bu sistem nedenseldir.
Örnek: Bir sürekli zamanlı sistemin ıkışı ile girişi arasındaki ilişki aşağıdaki gibi ifade edilmiştir.
( ) ( . ) ( . ) ( ) Sistemin nedensel olup olmadığını bulunuz.
Çözüm: Sistemin ıkışı y(t) gelecek zaman girişi x(t . )’e ve ge miş zaman girişlerine bağlıdır.
Ancak gelecek zamana bağımlılık bu sistemin nedensel olmadığını gösterir.
. Hafıza(Memory)
Bir sistemin ıkışı sadece o andaki girişe bağlı olarak değişiyorsa, sistemin hafızası yoktur. Fakat, sistemin ıkışı ge miş ve gelecek girişlere bağlı olarak
değişiyorsa sistemin hafızası vardır.
Örnek: ( ) ( ) ( )
Yukardaki denklem ile ifade edilen sistemin hafızası olup olmadığını bulunuz.
Çözüm: Sistemin n anındaki ıkışı y(n), sadece n anındaki girişe bağlıdır. Dolayısıyla bu sistemin hafızası yoktur.
Örnek: ( ) ( ) ( )
Çözüm: y(t), hem t anındaki hem de t- anındaki girişlere bağlı olduğu i in bu sistemin hafızası vardır.
. Doğrusallık (Linearity)
Bir sisteme iki değişik giriş uygulayalım ve bunları x1
ve x2 olarak gösterelim. Sistemin bu girişler i in ıkışı y1 ve y2 olsun. Sistemin doğrusal olabilmesi i in k1x1+
k2x2 girişi i in ıkışının k1y1+ k2y2 olması gerekir.
Örnek: ( ) ( ) sistemi doğrusal mıdır?
Çözüm: Sistemin ıkışı girişin karesi ile bağlantılı olduğu i in direk olarak doğrusal değildir diyebiliriz.
Fakat yine de, doğrusallık tanımını uygulayarak matematiksel olarak doğrusal olmadığını
göstermemiz gerekir.
( ) ( ) Sistemin hafızası olup olmadığını bulunuz.
Doğrusal olabilmesi i in (k k ) k x (n) k x (n) girişi i in
Çıkış ( ) ( ) olması gerekir.
x (n) x (n) ( ) x (n ) x (n ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
≠ ( ) ( ) ( ) ( ) Dolayısıyla bu sistem doğrusal değildir.
Örnek: ( ) ( ) ( ) sistemi doğrusal mıdır?
Çözüm:
( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ≠ ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Dolayısıyla bu sistem doğrusal değildir.
. Zaman Değişimsiz(Time Invariance)
Bir sistemin zaman ekseninde kaydırılan girişleri ayni miktarda zaman ekseninde kaymış ıkış
oluşturuyorsa, bu sistem zaman değişimsiz bir sistemdir.
Örnek: ( ) ( )
( ) sistemi zaman değişimsiz midir?
Çözüm: Zaman değişimsiz sistem olabilmesi i in ( )’nin üreltiği ıkış ( ) ( )
( )
olmalıdır. Halbuki,
( )
( ) ≠ ( ) Bu sistem zamana bağımlıdır.
𝑡 𝑡 olmaz çünkü R giriş değildir
Örnek: ( ) ( ) ( ) sistemi zaman değişimsiz midir?
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Heriki ıkış birbirine eşit olduğu i in bu sistem zaman değişimsizdir.
Örnek: Aşağıdaki sistemin zaman değişimsiz olup olmadığını bulunuz.
( ) ( )
Çözüm:
( )=n ( )
( )=( ) ( )
Çıkışlar eşit olmadığı i in bu sistem zamana bağımlıdır.
Girişten dolayı
Çıkışın 𝑛 kadar kaydırılmasından dolayı
Örnek: ( ) ∫ ( ) sisteminin zaman değişimsiz olduğunu gösteriniz.
Çözüm: ( ) girişi i in sistem ıkışı ( ) ∫ ( ) Sistemin zaman değişimsiz olması i in
( ) ( ) Çıkışı kadar kaydıralım
( ) ∫ ( )
yaparsak ( )=∫ ( ) ( ) ( ) sağlandığı i in sistem zaman değişimsizdir.
Örnek: ( ) ( )cos ( ) sisteminin zaman değişimsiz olup olmadığını bulunuz.
Çözüm:
( ) girişi i in cıkış :
( ) ( )cos ( )
Şimdi bize verilen ıkışı kadar kaydıralım ( ) ( )cos ( )
( ) ≠ ( )’dan dolayı bu sistem zamana bağımlıdır.
NOT: Evrişim özelliği ( ) ( ) ( )] zaman değişimsiz ve doğrusal olan sistemler i in ge erlidir.
Doğrusal ve zaman Değişimsiz Sistemlerin Zaman Alanında Gösterimi
Aşağıdaki sinyali ele alalım
x(n) sinyali dürtü fonksiyonları türünden şöyle yazılır:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Yukarıdaki denklemi genellersek
( ) ∑ ( ) ( )
Yani ( ) ( ) ( ) olur.
Şimdi doğrusal ve zaman değişimsiz bir sistemi ele
alalım.
Çıkış ile giriş arasındaki ilişki ( ) { ( )}
şeklinde gösterilir.
( ) ( ) olsun. Bu özel giriş i in, sistem ıkısını h(n) ile gösterelim.
x(n) yerine ( ) ∑ ( ) ( ) yazarsak ( ) {∑ ( ) ( )} elde ederiz.
Burada {. } operatörünü toplam ifadesinin i ine ekersek
( ) ∑ ( ) { ( )} olur.
Sistemimiz zaman değişimsiz olduğu i in ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) i in ıkış ( ) ( ) olmalıdır.
Yani, ( ) { ( )} ise
( ) { ( )} dir.
( ) ∑ ( ) ( )
Eğer sistemimizin dürtü girişi i in ıkışını biliyorsak, herhangi rastgele bir giriş i in
ıkışı bu eşitliği kullanarak bulabiliriz.
Örnek: Sistem girişi ve ıkışı arasındaki bağlantı ( ) ( ) . ( ) ile verilen bir sistemin dürtü yanıtını bulunuz.
Çözüm: Bir sistemin dürtü yanıtı giriş verisi dürtü iken sistemin verdiği ıkıştır. Yani ( ) ( ) i in sistemin ıkışını bulacağız. Buna göre sistemin dürtü yanıtı aşağıdaki gibi olur.
( ) ( ) . ( ) veya
( ) {
. ğ
Örnek: Doğrusal ve zaman değişimsiz bir sistemin aşağıdaki giriş i in ürettiği ıkışı h(n) türünden yazınız.
( ) { .
Çözüm:
( ) ( ) ( ) . ( ) i in sırasıyla:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) . ( )
Örnek: Doğrusal ve zaman değişimsiz bir sistemin dürtü yanıtı ( ) ( ) ( ) olsun. Sistemin ( ) ( ) girişi i in sistemin ıkışını bulunuz.
Çözüm: Sistemin ıkışı ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Örnek: Doğrusal ve zaman değişimsiz bir sistemin dürtü yanıtı ( ) ( ) . ( ) ise, sistemin ( ) {
ğ i in ıkışını bulunuz.
Çözüm 1: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) . ( ) * ( ) ( ) 𝛿(𝑛) 𝑥(𝑛) 𝑥(𝑛) 𝑥(𝑛) 𝛿(𝑛 𝑛 )
𝑥(𝑛 𝑛 )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Çözüm : Verilen giriş i in sistemin ıkışı ( ) ( ) ( ) dir.
( ) ( ) . ( )
( ) . ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
𝛿(𝑛) 𝛿(𝑛) 𝛿(𝑛)
𝛿(𝑛) 𝛿(𝑛 ) 𝛿(𝑛 )
𝛿(𝑛 ) 𝛿(𝑛 ) 𝛿(𝑛 )
Doğrusal ve Zaman Değişimsiz Bir Sistemin Üstsel Fonksiyona Yanıtı Dönüşüm
Fonksiyonu
Bu durumda sistemin ıkışı ( ) ( ) ( )
∑ ( ) ( )
∑ ( ) ∑ ( )
Burada ∑ ( ) ( ) dürtü yanıtının Fourier dönüşümüdür ve ( ) ile gösterilir.
( ) ( ) ( )
Eğer ( ) cos ( ) ise ( ) ne olur?
( ) cos ( ) = ( ) ( )
[ . . ]
( ) [ ( ) . ( ) . ] ( ) ( ) ‘nin karmaşık eşleniğidir (Complex Conjugate)
( ) ( ) ⌊ ( ) ( ) ⌊ ( ) ( ) [ ( ) ⌊ ( ). .
( ) ⌊ ( ). . ] Bu sonucu yeniden düzenlersek
( ) ( ) cos (⌊ ( ) )
Örnek: Dürtü yanıtı ( ) ( ) ( ) olan sistemin ( ) cos ( ) girişi i in ıkışını bulunuz.
Çözüm: ( ) ( ) cos (⌊ ( ) ) ifadesini bu probleme uygulayacak olursak:
( ) ∑ ( )
∑ ( ) ( )
cos ( )
Burada ⌊ ( ) (
)
Sanal kısım sıfır olduğu i in ( ) cos ( )cos ( )
