A.ALAN ATALET MOMENTLERİKendi düzlemindeki x- ve y- eksenlerine ve bu düzlemedik olan z- eksenine göre bir A düzlemsel alanın ataletmomentleri

(1)

A. ALAN ATALET MOMENTLERİ

Kendi düzlemindeki x- ve y- eksenlerine ve bu düzleme dik olan z- eksenine göre bir A düzlemsel alanın atalet momentleri

  y dA

I_x ² I_y  x²dA I_z  r²dA

ifadeleriyle verilir; burada dA diferansiyel alan elemanı ve

2 2

2 x y

r   dir. Açıkça görüldüğü gibi, Î^z ^ Î^x ^Î^y dir. İnce düz levhalar için, alan atalet momenti, kütlesel atalet momentinin hesaplanmasında faydalıdır.

B. KÜTLESEL ATALET MOMENTLERİ

(2)

B/1 BİR EKSENE GÖRE KÜTLESEL ATALET MOMENTİ

Kütlesi m olan, O-O ekseni etrafında ^ açısal ivmesiyle dönen bir cismi göz önüne alalım. Cismi oluşturan bütün m.n. lar O-O dönme eksenine dik olan paralel düzlemlerde hareket ederler. Hareket düzlemi olarak, düzlemlerden herhangi birini seçebiliriz; böyle olmakla birlikte genellikle kütle merkezini içeren düzlem ele alınır. dm kütleli bir eleman, dairesel yörüngesine teğet olan ^r^ ivmesine sahiptir ve Newton’un ikinci hareket kanunuyla bu eleman üzerindeki bileşke teğetsel kuvvet ^r^ ^dm ye eşit olur. O-O eksenine göre bu kuvvetin momenti ^r²^^dm dir ve bütün elemanlar için bu kuvvetlerin momentleri toplamı ^^r²^ ^dm olur. Rijit bir cisim için, ^ sabit olup integral dışına alınabilir. Böylece kalan integral O-O eksenine göre cismin kütlesel atalet momenti olarak bilinir ve

 r dm

I ²

olarak yazılır. (Not: Dinamik dersinde, kütlesel atalet momenti ifadesi yerine sık sık sadece atalet momenti ifadesi kullanılacaktır). Bu integral cismin önemli bir özelliğini gösterir ve verilen bir eksene göre dönme ivmesine sahip olan herhangi bir cismin analizinde gereklidir. Nasıl ki cismin kütlesi m öteleme ivmesine olan

(3)

direncin ölçüsüyse, atalet momenti I da, cismin dönme ivmesine olan direncinin bir ölçüsüdür.

(Alternatif gösterim:^I ^^rⁱ²^mⁱ

integral ifadesi toplamın ⁱ^^ için limit halidir; burada ri, atalet ekseninden mi

kütlesine olan radyal mesafedir ve toplam, cismi oluşturan tüm m.n.lar için yapılır.) Eğer cismin yoğunluğu sabitse, atalet momenti

 r dV I  ²

olur; burada dV hacim elemanıdır. Bu durumda integral cismin geometrik özelliğini tanımlar.

Genel olarak, integrasyonda cismin sınırlarına en iyi uyan koordinatlar kullanılmalıdır. dV hacim elemanının iyi bir seçimini yapmak özellikle önemlidir. İntegrasyonu basitleştirmek için, mümkün olan en düşük mertebeli eleman seçilmeli ve ilgili eksen etrafında elemanın atalet momenti için doğru ifade kullanılmalıdır. Örneğin dairesel bir koninin merkezinden geçen eksen etrafında atalet momentini bulurken, sonsuz küçük kalınlıkta daire dilimi formunda bir eleman seçebiliriz (Şekil.a). Bu eleman için diferansiyel atalet momenti, merkez eksen etrafında sonsuz küçük yükseklikteki bir dairesel silindirin atalet momentidir. Alternatif olarak Şekil.b de gösterildiği gibi sonsuz küçük kalınlıktaki bir silindirik kabuk formunda bir eleman seçebiliriz. Elemanın tüm kütlesi atalet ekseninden aynı r mesafesinde olduğu için bu elemana ait diferansiyel atalet momenti basit olarak ^r²^dm e eşit olur; burada dm elemansal kabuğun diferansiyel kütlesidir.

(4)

Kütlesel atalet momentinin SI birim sisteminde birimi ^kg^^m² dir.

(a) Atalet yarıçapı

Bir eksene göre atalet momenti I olan bir m kütlesinin k atalet yarıçapı

m I

k  / veya ^I ^^k²^m

olarak tanımlanır. Böylece k problemdeki eksene göre verilen bir cismin kütlesinin dağılımının bir ölçüsüdür. Eğer bir cismin bütün m kütlesi eksenden k mesafesindeyse ^I ^^k²^m olur.

(b) Eksenlerin kaydırılması

Eğer bir cismin atalet momenti, kütle merkezinden geçen bir eksene göre biliniyorsa, paralel herhangi başka bir eksene göre kolayca hesaplanabilir. Bunu göstermek için şekile bakalım. G kütle merkezinden geçen bir eksen ve ona paralel olup bir C noktasından geçen eksen, diğer büyüklüklerle birlikte şekilde gösterilmiştir. Kosinüs teoreminden ^r² ^^r⁰² ^^d² ^²^r⁰^d^cos^ olup C den geçen eksene göre atalet momentinin tanımında yazılırsa

(5)

dm d

r d r dm r

I _ ² _( ₀² ²2₀ cos)



   

 r₀²dm d² dm 2d udm

ifadesi bulunur. İlk integral kütle merkezinden geçen eksene göre atalet momenti ^I dir, ikinci terim ^m^d² dir ve üçüncü terim G den geçen eksene göre kütle merkezinin u- koordinatı sıfır olduğu için sıfırdır. Böylece paralel-eksen teoremi

d2

m I I  

olur. Unutulmaması gereken bir husus şudur: Bir eksen kütle merkezinden geçmedikçe ve eksenler paralel olmadıkça kaydırma yapılamaz. Yukarıdaki teoreme benzer bir ifade atalet yarıçapı için de geçerlidir ve

2 2

2 k d

k  

olarak yazılır. Bu denklem, kütle merkezinden geçen ^k atalet yarıçaplı eksenden d mesafesinde uzak olan bir eksene göre k atalet yarıçapını elde etmek için kullanılan paralel eksen teoremidir.

(6)

Hareket düzlemine dik olan bir eksen etrafında dönmenin olduğu düzlemsel hareket problemlerinde atalet eksenini ifade etmek için bir tek alt indis yeterlidir. Örneğin Şekil.a da levha x-y düzleminde hareket ediyorsa, O dan geçen z- eksenine göre levhanın atalet momenti ÎÔ olarak ifade edilir. Birden fazla eksene göre dönmenin olduğu üç boyutlu hareket için, çarpım atalet momenti terimlerinde gösterildiği gibi çift indis kullanırız. Böylece x-, y-, z- eksenlerine göre atalet momentleri sırasıyla Î^xx^,Î^yy^,Î^zz ile gösterilir ve Şekil.b yi kullanarak

^(a) ^(b)

  

 r dm y z dm

I_xx _x² ( ² ²) I_yy r_y²dm (z²x²)dm

  

 r dm x y dm I_zz _z² ( ² ²)

yazılır.

Kütlesel atalet momentleri ve alan atalet momentlerini tanımlayan ifadeler arasındaki benzerlik kolayca

(7)

gözlemlenir. İki ifade arasında düz levhalar durumunda bir ilişki vardır. t sabit kalınlığında ^ yoğunluklu düz bir levhada, levhaya dik olan z- eksenine göre ^I^zz kütlesel atalet momenti

z

zz r dm t r dA tI

I  _ ²   _ ²  

dir. Böylece z- eksenine göre kütlesel atalet momenti, birim alanın kütlesi ^^t ile z- eksenine göre düzlem alanın Î^z polar atalet momentinin çarpımına eşittir. Eğer t kalınlığı düzlemdeki levhanın boyutlarına göre küçükse, x- ve y- eksenlerine göre levhanın Î^xx ve Î^yy kütlesel atalet momentleri çok büyük bir yaklaşıklıkla

x

xx y dm t y dA tI

I  _ ²   _ ²  

y

yy x dm t x dA tI

I ^  ² ^   ² ^ 

olur. Görüldüğü gibi kütlesel atalet momentleri için kullanılan çift indis ile bu ifadeler, alan atalet momentlerinden ayrılır.

Alan atalet momentleri için Î^z ^Î^x ^Î^y olduğu için sadece ince bir levha için geçerli olan

yy xx

zz I I

I  

ifadesini yazabiliriz. Bu denklem, diferansiyel kalınlıktaki (örneğin dz) düz bir dilim olarak alınan diferansiyel bir kütle elemanı ile ilgilenirken çok faydalıdır; bu durumda

yy xx

zz dI dI

dI  

olur.

(c) Kompozit cisimler

Atalet momentini tanımlayan integral, eksenden elemana olan mesafenin karesini içerdiği için daima pozitiftir. Alan atalet momentinde olduğu gibi, kompozit bir cismin

(8)

kütlesel atalet momenti, aynı eksene göre her bir parçanın atalet momentlerinin toplamıdır. Kompozit cismin pozitif ve negatif hacimlerden oluştuğunu düşünmek gerekir. Bir deliğe sahip bir cisimde olduğu gibi, negatif bir elemanın kütlesel atalet momenti, negatif bir büyüklük olarak düşünülmelidir.

Problem B/1: m kütleli r yarıçaplı homojen bir silindirin merkezinden geçen O-O eksenine göre atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayın.

(9)

Problem B/2: m kütleli r yarıçaplı homojen katı bir kürenin çapına göre atalet momentini ve atalet yarıçapını hesaplayın.

Problem B/3: m kütleli homojen bir dikdörtgenler prizmasının merkezinden geçen ^x⁰- ve z- eksenlerine göre ve bir ucundan geçen x- eksenine göre atalet momentlerini hesaplayın.

(10)

B/2 KÜTLESEL ÇARPIM ATALET MOMENTLERİ

Üç boyutlu rijit cisimlerin dönme hareketi ile ilgili problemlerde, açısal momentum ifadeleri atalet momenti terimlerinden başka

 

 I xydm

I_xy _yx I_xz  I_zx  xzdm I_yz  I_zy yzdm

şeklinde tanımlanan kütlesel çarpım atalet momenti terimlerini içerir. (Not: Dinamik dersinde, kütlesel çarpım atalet momenti ifadesi yerine sık sık sadece çarpım atalet momenti ifadesi kullanılacaktır.)

Atalet momentleri daima pozitif olmasına rağmen, çarpım atalet momentleri pozitif veya negatif olabilir.

Çarpım atalet momentleri için de eksen kaydırma teoremini kullanabiliriz. Yukarıdaki şekli gözönüne alarak x-y eksenlerine göre çarpım atalet momentini

dm d y d x dm xy

I_xy  _  _( ₀ _x)( ₀ _y)



     

 x₀y₀dm d_xd_y dm d_x y₀dm d_y x₀dm

olarak yazabiliriz. Son iki integral, kütle merkezine göre kütlenin birinci momentleri sıfır olduğu için ortadan kalkar.

Sıfır indisleri yerine kütle merkezini gösteren üst çizgi işareti yazılarak

y x xy

xy I md d

I   I_xz  I_xz md_xd_z Iyz  Iyz mdydz

(11)

bulunur. Bu eksen kaydırma ilişkilerinde kütle merkezinden eksenlerin geçmesi ve bu eksenlere olan paralellik şarttır.

Çarpım atalet momenti terimlerinin yardımıyla, koordinatların orijininden geçen herhangi bir eksene göre rijit bir cismin atalet momentini hesaplayabiliriz. Şekildeki rijit cisim için, OM eksenine göre atalet momentini hesaplamak isteyelim. OM nin doğrultu kosinüsleri ^l^,^m^,ⁿ ve birim vektörü ^λ olmak üzere ^λ ^^lⁱ^^m^j^ⁿ^k dır.

OM eksenine göre atalet momenti

    

 h dm dm

I_M ² (r λ) (r λ)

dir; burada ^r^^λ ^^r^sin^ ^^h olup,

k j

i λ

r (ynzm) (zlxn) (xmyl)

2 2 2 2 2 2

2 ( ) ( )

) ( )

(rλ  rλ h  y z l  x z m

yzmn ln

xz xylm n

y

x ) 2 2 2

( ² ² ²  



olarak bulunur. Î^xx^,Î^yy^,Î^zz^,Î^xy^,Î^xz^,Î^yz ifadelerinden yararlanarak

mn I ln I lm I n I m I l I

I_M  _xx ² _yy ² _zz ²2 _xy 2 _xz 2 _yz

olarak elde edilir.

(a) Asal atalet eksenleri

Bir rijit cisim hareketindeki açısal momentum ifadesinde tüm elemanları görülen

(12)



















zz zy zx

yz yy

yx

xz xy

xx

I I I

I I

I

I I

I

matrisi, atalet matrisi veya atalet tansörü olarak bilinir.

Verilen bir orijin için cisme göre eksenlerin mümkün olan bütün yönlendirmelerinde atalet ve çarpım atalet momentlerini incelediğimizde, çarpım atalet momentlerinin sıfır olduğu bir yönlendirme buluruz; bu durumda matris

















zz yy xx

I I I

0 0

şeklini alır. Bu x-y-z eksenlerine asal atalet eksenleri denir ve Î^xx^,Î^yy^,Î^zz ifadeleri asal atalet momentleri olarak isimlendirilir. Bu atalet momentleri seçilen özel orijin için atalet momentlerinin maksimum, minimum ve aradaki bir değerini tanımlar.

x-y-z eksenlerinin herhangi verilen yönlendirmesi için determinant denkleminin çözümünün

0



I I I I

I I

zz zy zx

yz yy

yx

xz xy

xx (A)

olduğu gösterilebilir; burada I için elde edilen kübik denklemin köklerinden üç asal atalet momenti Î¹^,Î²^,Î³ elde edilir.

Bir asal atalet ekseninin doğrultu kosinüsleri ^l^,^m^,ⁿ

0 )

(I_xx I l I_xymI_xzn 0 )

(   



I_yxl I_yy I m I_yzn (B)

0 )

(  





I_zxl I_zym I_zz I n

ile verilir. ^l²^^m²^ⁿ² ^¹ eşitliğiyle bu denklemler I nın üç ayrı değeri için hesaplanacak doğrultu kosinüsleri için bir çözüm verirler.

(13)

Bu sonuçları görselleştirmek için şekilde görüldüğü gibi x- y-z eksenlerine göre keyfi bir yönlendirme düşünelim.

Kolaylık açısından, G kütle merkezi koordinatların orijininde yerleştirilmiş olsun. Blok için x-y-z eksenlerine göre atalet ve çarpım atalet momentleri bilinirse, (A) denkleminin çözümü asal atalet momentleri olan Î¹^,Î²^,Î³ köklerini verir. Î¹^,Î²^,Î³ ün her değeri kullanılarak ^l²^^m²^ⁿ² ^¹ eşitliğiyle birlikte (B) denklemi çözüldüğünde, birbirine daima dik olan asal eksenlerin her biri için doğrultu kosinüsleri ^l^,^m^,ⁿ elde edilir. Şekildeki bloğun boyutlarına baktığımızda, Î¹ in maksimum, Î² nin bir ara değer, Î³ ün minimum olduğunu görürüz.

(14)

Problem B/4: Şekildeki bükülmüş levha, diğer boyutlarına göre ihmal edilebilen üniform t kalınlığına sahiptir. Düzlem malzemenin yoğunluğu ^ dur. Şekilde seçilen eksenlere göre levhanın çarpım atalet momentlerini hesaplayın.

(15)

Problem B/5: Şekildeki dirsek alüminyumdan yapılmış olup, ^m² başına 13.45 kg lık bir kütleye sahiptir. O orijinine göre asal atalet momentlerini ve asal atalet eksenlerinin doğrultu kosinüslerini hesaplayın. Levhanın kalınlığı, diğer boyutlara göre küçüktür.