Kompleks fonksiyonlarda rezidü ve bazı uygulamaları

KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ

KOMPLEKS FONKSİYONLARDA REZİDÜ VE BAZI UYGULAMALARI

SEVGİ İŞLER

EYLÜL 2005

ÖZET

KOMPLEKS FONKSİYONLARDA REZİDÜ VE BAZI UYGULAMALARI

İŞLER, Sevgi Kırıkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Matematik Anabilim Dalı, Yüksek Lisans Tezi Danışman : Prof. Dr. Kerim KOCA

Eylül 2005, 97 sayfa

Tez, dört temel bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, kompleks düzlemde eğriler, kompleks integraller, Cauchy Türev ve İntegral Formülleri incelenmiştir. İkinci bölümde kompleks fonksiyonların singülerliklerinin bir sınıflandırılması, analitik fonksiyonların serisel gösterilimleri, rezidü ve rezidü hesaplama yöntemleri, Casorati-Weierstrass Teoremi ve Sonuçları verilmiştir.

Üçüncü bölümde ise Argümenlerin Değişimi Prensibi, Rouche’ ve Hurwitz Teoremleri ele alınmıştır. Son bölümde ise belli tipten reel genelleştirilmiş integrallerin ve çok-değerli fonksiyonların integrallerinin rezidü yardımıyla hesaplanması ele alınmıştır.

Anahtar Kelimeler: Cauchy integral formülü, Cauchy türev formülü, Taylor

ABSTRACT

RESIDUES OF THE COMPLEX FUNCTIONS AND THEIR SOME APPLICATIONS

İŞLER, Sevgi Kırıkkale University

Graduate School Of Natural and Applied Sciences Deparment of Mathematics, M. Sc. Thesis

Supervisor : Prof. Dr. Kerim KOCA September 2005, 97 pages

Thesis is in four basic parts. In the first part, curves in complex plane, complex integrals, Cauchy derivative and integral formulas are examined. In the second part of the thesis, a classification of singularities of complex functions, series demonstrations of analytical functions, residue and residue calculation methods, Casorati-Weierstrass Theorem and its results are discussed. In the third part, principles of argument variation, Rouche’ and Hurwitz Theorems are discussed.In the last part of the thesis, calculations of the definite reel generalized integrals and the integrals of very-valued functions are made with the help of residues.

Key Words: Cauchy integral formula, Cauchy derivative formula, Taylor theorem, A classification of singularities, Laurent theorem, Cauchy residue theorem

İÇİNDEKİLER

ÖZET ………....………... i

ABSTRACT ………....….……….. ii

İÇİNDEKİLER …...………...………... iii

1. GİRİŞ ..………...………... 1

1.1. Kaynak Özetleri ... 1

1.2. Çalışmanın Amacı ... 2

2. MATERYAL VE YÖNTEM …………...………... 4

2.1. Analitik Fonksiyonlar ve Bazı Özellikleri ... 4

2.2. Kompleks Düzlemde Eğriler ... 8

2.3. Kompleks İntegraller ... 15

2.4. Cauchy Teoremi ve Sonuçları ... 25

2.5. Cauchy İntegral ve Türev Formülleri ... 32

2.6. Analitik Fonksiyonların Serisel Gösterilimleri ... 34

2.7. Kuvvet Serileri ... 39

2.8. Singülerliklerin Sınıflandırılması ... 42

2.9. Rezidü ve Hesaplama Teknikleri ... 54

2.10. Argümenlerin Değişimi Prensibi ... 66

3. ARAŞTIRMA BULGULARI ……….………....………... 77

3.1. Belirli Tipten Bazı Genelleştirilmiş Reel İntegrallerin Hesaplanması .... 77

3.2. ¹

( )

0 ∞

∫

^xa− f x dx Formundaki İntegraller ... 83

3.4. Çok Değerli Fonksiyonların İntegralleri ... 93 4. TARTIŞMA VE SONUÇ …...………...………... 96 KAYNAKLAR …...……….... 97

1. GİRİŞ

Kompleks Analiz soyut bir bilim alanı gibi görünse de sonuçları teknolojide, fizik ve mühendislikte çok sık kullanılmaktadır. Hatta kompleks analizde elde edilen sonuçlar, reel analizde çözümü imkansız olan problemlerin çözümünde güçlü bir araç olarak kullanılmaktadır. Örneğin;

( )

²

0

sin 1

2 2

∞

∫

^{x dx}= ^π

( )

1

01 sin

∞ −

+ =

∫

^xα_x^{dx π}_απ ^{, 0< <α 1}

0

sin

2

∞

∫

_x^xdx=^π

(

²

)

2 0

ln 1 ln 2

1

∞ +

+ =

∫

_x^{x dx π}

v.s. formundaki integrallerin sonuçları kompleks analiz metodları ile elde edilebilmektedir. Ayrıca bir çok reel diferensiyel denklem sistemleri kompleks fonksiyonlar yardımıyla kolayca çözülebilmektedir.

Bu nedenlerden dolayı kompleks fonksiyonlarda rezidü kavramı önemli bir uygulama olarak ortaya çıkmaktadır. Bu konu tezin temelini oluşturmaktadır.

1.1. Kaynak Özetleri

Bu tezin hazırlanışında dört temel kitaptan yararlanılmıştır. Önce [1] nolu kaynaktan singüler noktaların sınıflandırılması, Cauchy Teoremleri ve Özellikleri,

Laurent serisine açılımı ve temel özellikleri [2] ve [6] nolu kaynaklardan yararlanılarak ortaya konmuştur. Rezidülerin hesaplanması ve bunların belli tipten reel genelleştirilmiş integrallerin hesabında kullanılması konusu [1], [2], [3] ve [4]

nolu kaynaklar göz önüne alınarak incelenmiştir. [3] ve [4] nolu kaynaklardan yararlanılarak Argümenlerin Değişimi Prensibi, Hurwitz ve Rouche’ teoremlerinin en genel halleri bu tezde verilmiştir.

1.2. Çalışmanın Amacı

Kompleks analizin mühendislik ve fiziksel uygulamalarının yanında önemli bir uygulaması da Rezidü(Kalıntı) kavramıdır. Rezidü, belli tipten kompleks integrallerin hesabında ve elemanter yollarla hesaplanamayan bazı tip reel genelleştirilmiş integrallerin hesabında çok sık kullanılmaktadır. Bir z₀∈ ,

( )

z

f ’nin bir ayrık aykırı noktası olmak üzere f

( )

z , 0< −z z₀ <R halkasal bölgesinde (uygun koşullar altında)

( ) (

0

)

∞

=− ∞

=

∑

ⁿ − ⁿ

n

f z a z z (1.2.1)

şeklinde Laurent serisine açılabilir. Bu açılımda

(

z− z₀

)

⁻¹ ifadesinin katsayısı olan

−1

a , f

( )

z ’nin z₀ noktasındaki rezidüsü olarak isimlendirilir. Rezidüyü hesaplamak için f

( )

z ’nin yapısına göre çeşitli hesaplama teknikleri vardır. Bu hesaplama metodları f

( )

z ’yi Laurent serisine açmadan rezidüyü hesaplama imkanı verir. Tez içinde de görüleceği gibi Argümenlerin Değişimi Prensibi yine Cauchy-Rezidü Teoremi’nin önemli uygulamalarından birisidir. Yine elemanter işlemlerle çok- değerli kompleks fonksiyonların integralleri oldukça karmaşık olduğu halde yine

rezidü yardımıyla bu tip fonksiyonların kompleks anlamdaki eğrisel integralleri kolayca hesaplanabilmektedir.

Bir f

( )

z kompleks analitik fonksiyonu için verilen klasik türev tanımı değiştirilerek Laurent serisinden daha genel anlamda analitik olmayan fonksiyonlar için de serisel açılımlar verilebilir. Örneğin genelleştirilmiş analitik (pseudo- analitik) fonksiyonlar için bu tür açılımlar mevcuttur. İleri bir araştırma konusu olarak genelleştirilmiş Cauchy tipi integraller yardımıyla rezidü kavramı genişletilebilir. Bunun için klasik anlamdaki rezidü kavramı bir temel oluşturabilir.

Tezin temel amaçlarından birisi de budur.

2. MATERYAL VE YÖNTEM

2.1. Analitik Fonksiyonlar ve Bazı Özellikleri

Analitik fonksiyonlar, önemli özellikler gösterirler ve kompleks analizin temel konusunu oluştururlar.

Tanım 2.1.1: f D: →

^{z→ =w f z}

( )

fonksiyonu verilsin. f

( )

z fonksiyonu bir z₀ noktasının en az bir komşuluğunda tanımlı olsun. Eğer,

( ) ( )

0 0

0

lim z z

z f z f

z

z −

−

→

limiti varsa ^{f z}

( )

fonksiyonu z noktasında türevlenebilirdir ₀ denir. Bu limit değeri

( )

z₀

f ′ ile gösterilir ve f ′

( )

z₀ sayısına

f

’nin z ’daki₀ türevi denir. Yani f ′

( )

z₀ değeri,

( ) ( ) ( )

0 0

0 0

lim z z

z f z z f

f z z −

= −

′ →

olarak tanımlanır.

Tanım 2.1.2: f D: →

^{z→ =w f z}

( )

fonksiyonu verilsin. Eğer,

( ) ( )

h z f h z f

h

− + lim→0

limiti varsa f z fonksiyonu ( ) D bölgesinde türevlenebilirdir denir. Bu limit değeri

( )

z

f ′ ile gösterilir ve f ′

( )

z ifadesine f’’nin z’deki türevi denir. Yani f ′

( )

z değeri,

( ) ( ) ( )

h z f h z z f

f h

−

= +

′ lim→0

olarak tanımlanır.

Teorem 2.1.1: f

( ) ( ) ( )

z =u x,y +iv x,y fonksiyonu herhangi bir z=x+iy noktasında türeve sahipse bu takdirde

( )

x

( )

^, x

( )

^, y

( )

^, y

( )

^,

f z′ =u x y +iv x y = −iu x y +v x y (2.1.1) dir.

İspat: Tüm Kompleks Analiz kitaplarında ispatı bulunabilir.

Sonuç 2.1.1: (2.1.1) eşitliğinden

0 0

= +

=

−

x y

y x

v u

v u

olduğu görülür. Buna Cauchy-Riemann sistemi denir.

Sonuç 2.1.2: f

( ) ( ) ( )

z =u x,y +iv x,y olmak üzere f ′

( )

z türevi varsa u ve v Cauchy- Riemann sistemini sağlar. Ama bunun karşıtı doğru olmayabilir. Yani bir fonksiyon bir noktada Cauchy-Riemann sistemini sağladığı halde o noktada türeve sahip olmayabilir.

Uyarı : Örneğin;

( )

⁰ ₁ ^{4 , 0}

, 0

z

f z z

e⁻ z

⎧⎪ =

= ⎨⎪⎩ ≠

fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyon z =0 noktasında Cauchy-Riemann sistemini sağlar. Gerçekten,

∂ 1

∂u v

ve

1 0 lim ^{1 4}

0 =

∂ = + ∂

∂

∂ ₋

→

y

y e

y y

i v y u

olduğundan

x y y

x v u v

u = , =−

yazılabilir. Ancak z=0 noktasında f

( )

z fonksiyonunun türevi yoktur.

Örneğin, y= x doğrusu üzerinden sıfıra yaklaşırsa, z x ix olacağından, = +

≠0

x için

( )

z e^{1 x4}

f =

ve

( ) ( )

_=∞

−

= −

−

−

→

→ 0

lim 0 lim

1 4

0 0 0

0 x

e z

z z f z

f ^x

x z

olur.

Tanım 2.1.3: f

( )

z =u+iv fonksiyonu bir z noktasının en az bir komşuluğunun her ₀ noktasında türeve sahipse f

( )

z ’ye z ’da₀ analitiktir veya holomorftur denir.

Sonuç 2.1.3: Bir z noktasında ₀ f ′

( )

z₀ türevinin mevcut olması f

( )

z ’nin z ’da ₀ analitik olmasını gerektirmez.

Örnek 2.1.1: ^{f z}

( )

^{=z z} fonksiyonunu ele alalım. 0z= için f ′

( )

z vardır. Fakat

≠0

z için f ′

( )

z yoktur. Bu nedenle f

( )

z holomorf değildir.

Not : f =u+iv olsun. u ve v ’nin kısmi türevlere sahip olması f ′

( )

z türevinin mevcut olmasını gerektirmez.

Örnek 2.1.2: f

( )

z =3z+2z fonksiyonunu ele alalım. f

( )

z =3z+2z =5x+iy olduğundan u 5= x ve v= y dir. u ve v her yerde her basamaktan kısmi türevlere sahip olduğu halde f ′

( )

z türevi yoktur.

Not (Kısmi Türev): Cebirsel yapıları farklı olmakla birlikte ² düzlemi, kompleks düzlemine izomorftur. Bu iki düzlemin elemanları arasında bire bir eşleme vardır. z x i y= + ve z = −x i y eşitliklerinden yararlanarak x ve y reel değişkenleri elde edilir. Yani,

2 , 2

z z z z

x y

i

+ −

= =

olduğu açıktır. Bu nedenle iki reel değişkenli bir f ,

( )

x y fonksiyonu z ve z kompleks değişkenlerinin fonksiyonu gibi düşünülebilir. Dolayısıyla z ve z ’e göre kısmi türevlerden sözedilebilir. Eğer f ,

( )

x y fonksiyonunun f ve _x f_y kısmi türevleri sürekli ise

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

∂

= ∂

∂

∂

∂ +∂

∂

∂

∂

= ∂

∂

∂

y i f x f z

y y f z x x f z f

2 1

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂

= ∂

∂

∂

∂ +∂

∂

∂

∂

= ∂

∂

∂

y i f x f z

y y f z x x f z f

2 1

eşitliklerinden yararlanarak

1 1

2 i , 2 i

z x y z x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

∂ = ⎜ ∂ − ∂ ⎟ ∂ = ⎜ ∂ + ∂ ⎟

∂ ⎝∂ ∂ ⎠ ∂ ⎝∂ ∂ ⎠

kısmi türev operatörleri elde edilir.

Lemma 2.1.1: f

( ) ( ) ( )

z =u x,y +iv x,y olsun. f

( )

z fonksiyonunun f_x

( )

z ve f_y

( )

z kısmi türevleri sürekli olsun. f

( ) ( ) ( )

z =u x,y +iv x,y nin D de analitik olması için

=0

∂

∂ z f

olmasıdır.

İspat: ^{1 1}

( ) ( )

2 2

f f f

i u iv i u iv

z x y x y

⎛ ⎞ ⎡ ⎤

∂ = ⎜∂ + ∂ ⎟= ⎢∂ + + ∂ + ⎥

∂ ⎝∂ ∂ ⎠ ⎣∂ ∂ ⎦

^{= 1}₂^⎡_⎣^{ux+ivx+i u}

(

^y+ivy

)

^⎤_⎦^{= 1}₂^⎡_⎣

(

^ux−vy

) (

^{+i uy+vx}

)

^⎤_⎦

olduğundan

0

0⇔ − =

∂ =

∂

y

x v

z u

f , u_y +v_x =0

Cauchy-Riemann sistemi elde edilir.

2.2. Kompleks Düzlemde Eğriler

Tanım 2.2.1:

(a)

[ ]

^{a b, ⊂} olmak üzere sürekli bir ^{γ : ,}

[ ]

^{a b →} fonksiyonuna düzleminde bir eğridir denir. Burada γ

( )

a ve γ

( )

b noktalarına sırasıyla eğrinin başlangıç ve bitiş noktaları denir.

(b) Bir γ eğrisi verildiğinde ^γ

( ) ( )

^{a =γ b ise γ ’ya} kapalı eğridir denir.

(c) Bir γ eğrisi verildiğinde γ′ türevi var ve sürekli ise γ ’ya diferensiyellenebilir eğri denir.

(d) γ diferensiyellenebilir bir eğri olsun. Eğer γ′ t

( )

≠0 ise γ ’ya düzgün eğri(regüler eğri) denir.

(e)

[ ]

a, aralığının sonlu tane noktası hariç ^b γ eğrisi diferensiyellenebiliyorsa ve bu sözkonusu noktalarda γ ’nın sağdan ve soldan türevleri var ve bunlar

γ′’nün bu noktalardaki sağ ve sol limitlerine eşitse γ parçalı diferensiyellenebilir eğridir denir.

(f) γ parçalı diferensiyellenebilir eğri olsun. Eğer t∈

[ ]

a,b olmak üzere türevin mevcut olduğu her yerde γ′ t

( )

≠0 eğriye parçalı düzgün eğridir denir.

(g) ^{γ : ,}

[ ]

^{a b →}

^t→γ

( )

^{t =x t}

( )

^{+iy t}

( )

eğrisi verilsin. ∀t t1, 2∈

[ ]

a b, için t₁ ≠ olduğunda t₂ γ

( ) ( )

t₁ ≠γ t₂ ise γ

( )

t ’ye basit eğri denir. γ basit bir eğri ve γ

( ) ( )

a =γ b ise γ ’ya basit kapalı eğri (kapalı Jordan eğrisi) denir.

Uyarı :(1) Çoğu kez bir γ eğrisini belirtirken denklemi ^{z t}

( )

^{=x t( )+iy t( ) olan γ}

eğrisi diye yazıp söyleyeceğiz.

(2) Bir γ eğrisi verilsin. z t′

( )

0 =γ′

( )

t0 =x t′

( )

0 +iy t′

( )

0 var ve z′ t

( )

₀ ≠0 ise eğri z₀ = z

( )

t₀ noktasında bir teğete sahiptir. Teğet, z noktasından geçer ve pozitif ₀ eksenle θ =arg ′z t

( )

0 açısı yapar. Böylece görülüyor ki düzgün eğriler her noktada, diferensiyellenebilir eğriler ise türevin sıfırdan farklı olduğu noktalarda, teğete sahiptirler.

[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2

1

2

, : ,

∗ ∗

→

→ = +

= +

a b

t t x t iy t

t x t iy t γ γ

γ γ

düzgün eğrileri verilsin. z₁

( )

t ve z₂

( )

t , t parametre değerine karşılık gelen noktada ₀ teğete sahip iseler teğetler arasındaki açı

( )

^′

( )

′

dır .

Örnek 2.2.1:

(a) z =z

( )

t =cost+isint, 0≤ t ≤2π eğrisi basit kapalı bir eğridir.

(b) ^{x t}

( )

^{=t y t,}

( )

^{=t2, 0}≤ ≤ parametrik gösterimi ile verilen bir ^{t 1} γ eğrisi

( )

^{2, 0 1}

z z t= = +t it ≤ ≤ gösterimi ile de belirtilebilir. Bu eğri basit eğridir fakat t kapalı eğri değildir.

(c) ^{z t}

( )

^{= +1 it , z t}

( )

^{=e−i tπ ,z t}

( )

^{=3e2πit, 0≤ ≤t 1} fonksiyonları birer eğri belirtirler.

z

( )

t = 1+it eğrisi basit eğridir fakat kapalı eğri değildir.

( )

^{= −i t =cos − sin}

z t e ^π πt i π t eğrisi basit eğridir fakat 0≤ ≤ için kapalı t 1 eğri değildir.

( )

^{=3 2 it =3 cos 2}

(

^{+ sin 2}

)

z t e ^π πt i πt eğrisi basit kapalı bir eğridir.

Tanım 2.2.2: (a)

[ ]

( ) ( ) ( )

1

1

: , →

→ = +

a b

t t x t iy t

γ

γ

ve

[ ]

( ) ( ) ( )

2

2

: ,

∗ ∗

→

→ = +

c d

t t x t iy t

γ

γ

şeklinde iki eğri verilsin. γ₁+γ₂ birleşimi

( ) ( )( ) [ ]

[ ]

1

1 2

2

( ), , ( ), ,

⎧ ∈

= + = ⎨⎪

⎪⎩ ∈

t t a b

t t

t t c d γ γ γ γ

γ

biçiminde tanımlanır. γ₁ ve γ₂ uç uca eklenmiş olmayabilir. Bu durumda eğriye parçalı eğri denir.

(b) düzleminde

[ ]

( ) ( ) ( )

: , →

→ = +

a b

t t x t iy t γ

γ

eğrisi verilsin. Bu durumda γ

( )

^t =γ

(

a b t a t b+ −

)

^, ≤ ≤ eğrisine γ’nın tersi denir ve

( )

t

γ− ile gösterilir.

Şekil 2.2.1

Uyarı: Bir eğriyi belirten fonksiyon bir tek değildir. Eğer bir h fonksiyonu,

( ) ( ) ( )

' 0, ,

h t > h c =a h d = olacak biçimde, b

[ ]

c,d aralığını

[ ]

a, aralığı üzerine b dönüştürüyorsa ^{γ : ,}

[ ]

^{a b → ile γ γ= o h c d: ,}

[ ]

^→ aynı eğriyi belirtirler. Bu durumda γ γ= o h eğrisine γ eğrisinin yeni bir parametrik gösterimi denir. Bu nedenle genelde, eğrinin tanım kümesi olarak

[ ]

0 aralığı alınır. Çünkü ,1

( ) (

¹

)

^,

[ ]

^0,1

h t = + −tb t a t∈ fonksiyonu

[ ]

0 aralığını ^,1

[ ]

a, aralığı üzerine istenilen ^b biçimde dönüştürür. Böylece,

( )

^{s x s}

( )

^{iy s a s b}

( )

^,

γ = + ≤ ≤

ile

( )

^t

(

^{h t}

( ) )

^{x tb}

( (

^{1 t a}

) )

^{iy tb}

( (

^{1 t a}

) )

^{, 0 t 1}

γ =γ = + − + + − ≤ ≤

aynı eğriyi belirtirler. O halde γ~

( )

0 ve γ~

( )

1 sırasıyla eğrinin başlangıç ve bitiş noktası olurlar.

Örnek 2.2.2: ^{z t}

( )

^{= +t2 it4, 0}≤ ≤ eğrisi, ^{t 1 z t}

( )

^{= +t it2,0≤ ≤t 1} eğrisinden t u= ² parametre dönüşümü yapılarak elde edilmiştir.

Tanım 2.2.3: Eğer γ =γ

( )

t eğrisi sınırlı değişimli ise γ eğrisine doğrultulabilir (rektiflenebilir) eğri denir veya bir başka ifade ile bir çembere homeomorf olarak dönüştürülebilen sınırlı değişimli bir eğriye rektiflenebilir eğri denir.

Örnek 2.2.3:

(a) ^{z t}

( )

^{=x t}

( )

^{+iy t}

( )

^{, 0}≤ ≤ eğrisini ^{t 4}

tablo olarak şeklinde tanımlayalım. Bu eğri bir karenin çevresini verir ve parçalı düzgün bir eğridir.

(b) ^{z t}

( )

^{=sint i+ sin 2 , 0t} ≤ ≤ π eğrisi doğrultulabilir eğridir. Fakat ^t z

( )

0 =i olmak üzere ^{z t}

( )

^{tsin 1 iet, 0 t 1}

t

= ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠+ ≤ ≤ eğrisi rektiflenemez bir eğridir.

1

0≤ t≤ 1≤ t ≤2 2≤ t≤3 3≤ t≤4

( )

^t

x t 1 3− t 0

( )

t

y 0 t−1 1 4− t

Not (Yönlendirme Kavramı): Noktaların ardışık olarak birbirini takip etmesiyle oluşan kümeye eğri diyebiliriz. Bir ^γ

( ) ( )

^{t =z t =x t}

( )

^{+iy t}

( )

^,0≤ ≤ eğrisini ele ^{t 1} alalım. Bu eğrinin uç noktaları z₀ =z

( )

0 ve z₁ = z

( )

1 olsun.

Eğer t sıfırdan bire doğru değişirken eğri de z ’dan ₀ z ’e doğru saatin tersi ₁ yönünde çiziliyorsa eğriye pozitif yönde yönlendirilmiştir denir. Eğer eğri saat yönünde çiziliyorsa eğriye negatif yönde yönlendirilmiştir denir. Negatif yön γ⁻ ile gösterilir.

Dolayısıyla γ eğrisi ^{z z t=}

( )

^{, 0}≤ ≤ fonksiyonu ile ^{t 1} γ⁻ eğrisi de

( )

^{, 1 0}

z z t= − − ≤ ≤ fonksiyonu ile belirtilir. t

Tanım 2.2.4: Sonlu sayıda γ_j, j=1, 2, ,… n düzgün eğrileri verilmiş olsun. Eğer bütün j=1,2,…,n−1 değerleri için γ_j’nin bitim noktası γ _j+1’in başlangıç noktası ile çakışıyorsa bu γ _j eğrilerinin birleşimi olan γ eğrisine çevre (parçalı düzgün eğri) denir.

Özel olarak γ₁’in başlangıç noktası γ_n’nin bitiş noktası ile çakışıyorsa kapalı çevre denir.

Örneğin; bir dikdörtgen çevresi, üçgen çevresi parçalı düzgün kapalı eğrilerdir.

Kendisini kesmeyen çevreye basit çevre, kendisini kesmeyen kapalı çevreye de basit kapalı çevre denir.

Not: Çevrelerin yönlendirilmesi, eğrilerin yönlendirilmesi gibidir.

Örnek 2.2.4:

(a) Eğer a bir kompleks sayı ve r >0 ise

( )

^{it , 0 2}

z t = +a re ≤ ≤t π

fonksiyonu pozitif yönlü düzgün kapalı bir çevre belirtir.

(b) Eğer a ve b kompleks sayılar ise

( )

^{= + −}

( )

^{, 0≤ ≤1}

z t a b a t t

fonksiyonu z₀ =a noktasını z₁ =b noktasına birleştiren doğru parçasıdır. Yönü de

z noktasından 0 z noktasına doğrudur. Bu fonksiyon düzgün bir çevredir. ₁

Şimdi de ispatını vermeyeceğimiz ancak sonuçlarını kullanacağımız bir teorem verelim:

Teorem 2.2.1 (Kapalı Jordan Eğrisi Teoremi): Basit kapalı bir eğri (kapalı Jordan eğrisi) kompleks düzlemi üç kümeye ayırır, birisi kapalı Jordan eğrisinin iç kısmındaki noktalardan oluşmuş açık küme, diğeri kapalı Jordan eğrisinin üzerindeki noktaların (sınır noktaları) oluşturduğu kapalı küme ve bir diğeri de Jordan eğrisinin dışındaki noktaların oluşturduğu açık kümedir.

Bu teoremin ifadesi geometrik olarak açık gibi görülse de ispatı oldukça zordur. İspatını değişik Kompleks Analiz kitaplarında bulmak mümkündür.

Uygulamalarda çok sık karşılaşılan bu teoremden aşağıdaki sonuçları çıkarabiliriz.

(a) Bir iç noktayı bir dış noktaya birleştiren her Jordan eğrisi bir sınır noktası bulundurur.

(b) İç noktaların her çifti tamamen iç noktalardan oluşan bir Jordan eğrisi ile birleştirilebilir.

(c) Dış noktaların her çifti tamamen dış noktalardan oluşan bir Jordan eğrisi ile birleştirilebilir.

(d) İç noktaların kümesi sınırlı, dış noktaların kümesi sınırsızdır.

Örnek 2.2.5: a bir kompleks sayı olmak üzere ^{z t}

( )

^{− =a reit, 0≤ ≤t 2π} bir kapalı Jordan eğrisidir.Burada iç noktalar kümesi ^{z t}

( )

^{− <a r}, sınır kümesi ^{z t}

( )

^{− =a r}

ve dış noktalar kümesi ise ^{z t}

( )

^{− >a r} özelliğindeki z noktalarının oluşturduğu

kümedir.

Tanım 2.2.5: D⊂ bölgesinde tanımlanan sürekli f

( )

z fonksiyonunu gözönüne alalım. Eğer bir ^γ

( )

^{t a t b,} ≤ ≤ eğrisi tamamen D bölgesinde bulunuyorsa bu takdirde w

( )

t = f

( )

γ

( )

t ifadesine ^γ

( )

^{t ’nin f}altındaki görüntüsü denir.

Lemma 2.2.1: γ

( )

t düzgün bir eğri ve f analitik ise w

( )

t = f

( )

γ

( )

t düzgün eğridir ve ^{w t′}

( )

^{= f′}

(

^γ

( )

^t

)

^γ′

( )

^{t dir.}

İspat: γ

( )

t ’nin f altındaki görüntüsü w

( )

t = f

( )

γ

( )

t olsun. f analitik olduğundan türevi vardır. Diğer taraftan; γ

( )

t düzgün olduğundan γ′ mevcut ve

( )

t γ′ t

( )

≠0 dir.

f

w , ve γ ’nın bileşkesi olup iki türetilebilir fonksiyonun bileşkesi türetilebilir olduğundan w türetilebilirdir ve ^{w t′}

( )

^{= f′}

(

^γ

( )

^t

)

^γ′

( )

^{t olur.}

Not: γ düzgün eğri ve f analitik olduğu sürece w eğrisi de düzgün eğridir.

( )

t Not: Kendisini kesmeyen eğrinin görüntüsü kendisini kesebilir.

2.3. Kompleks integraller

Tanım 2.3.1 (Belirsiz İntegral): f ve F bir D bölgesinde analitik olsunlar. Eğer

( )

z f

( )

z dzF

d = ise F

( )

z ’ye f

( )

z ’nin bir belirsiz integrali denir ve

( )

⁼

∫ ( )

F z f z dz (2.3.1) şeklinde gösterilir.

Diğer taraftan c keyfi bir kompleks sabit olmak üzere

( ( ) ) ^{( ) ( )}

d F z c F z f z

dz + = ′ =

olması nedeniyle f

( )

z ’nin belirsiz integrali F

( )

z + şeklindedir. Böylece c

( )

⁼

( )

⁺

∫

^{f z dz F z c} yazılabilir.

Tanım 2.3.2: ^{h a b: ,}

[ ]

^{⊂ →}

^{t→h t}

( )

^{=u t}

( )

^{+iv t}

( )

fonksiyonunu göz önüne alalım. Eğer u ve v ,

[ ]

a,b aralığı üzerinde integrallenebilirse h fonksiyonunun

[ ]

a b ’deki belirli integrali ^,

( )

⁼

( )

⁺

( )

∫

^b

∫

^b

∫

^b

a a a

h t dt u t dt i v t dt

olarak tanımlanır.

Tanım 2.3.3: f fonksiyonu D⊂ açık bölgesinde tanımlı ve sürekli olsun.

[ ]

( )

: , →

→ ∈

a b

t t D

γ

γ

eğrisinin

( [ ]

^{a b,}

)

^⊂D

γ

olacak şekilde düzgün bir eğri olduğunu kabul edelim. Bu durumda

( ) ( ( ) )

^′

^{( )}

= =

∫ ∫ ∫

^b

a

f f z dz f t t dt

γ γ

γ γ

ifadesine, f fonksiyonunun γ eğrisi boyunca kompleks integrali denir.

Sonuç 2.3.1: γ ,

[ ]

a, aralığı üzerinde tanımlanmış parçalı düzgün bir eğri olsun. b Ayrıca

[ ]

( )

: , ₊1 →

→

i i i

i

a a

t t

γ

γ ^{, i=0,1,…,n−1}

düzgün eğriler olmak üzere γ =γ₀ +γ₁+ +γ_n−1 eğrisi boyunca f

( )

z ’nin kompleks eğrisel integrali

( )

^{1 1}

( ( ) ) ^{( )}

0

− +

=

= =

∑

′

∫ ∫ ∫

ⁱ

i

n a

i i

i a

f f z dz f t t dt

γ γ

γ γ

olarak tanımlanır.

Not : (1) Eğer f

( ) ( ) ( )

z =u x,y +iv x,y ise düzgün γ eğrisi boyunca olan integral

( )

^,

( )

^,

( )

^,

( )

^,

= ⎡⎣ − ⎤⎦+ ⎡⎣ + ⎤⎦

∫

^f

∫

u x y dx v x y dy i

∫

u x y dy v x y dx

γ γ γ

şeklinde de verilebilir.

(2) γ ’nın çevre olması halinde de aynı tanım geçerlidir.

Örnek 2.3.1: (a) γ eğrisi, 1≤ t≤2 olduğunda, x 2= t ve y =3t olarak verilsin ve

( )

z z²

f = olsun. Bu durumda

( ) ( ) ( )

2 2

2 3

2 2

1 1

2 3 2 3 2 3 322 21

z dz t it i dt i t dt 3 i

γ

= + + = + = − +

∫ ∫ ∫

olarak bulunur.

(b) γ : z−z₀ =R tam çemberinin pozitif yönde yönlendirilmiş hali olsun.

Bu durumda

∫

₋

γ z z0

dz

integralini hesaplayalım.

Verilen γ eğrisi z z− ₀ = −z z e₀ ^it =Re , 0^it ≤ ≤t 2π formunda yazılabilir. Bu durumda dz =iRe^itdt olup böylece

2 2

0 0 0

Re 2

= Re = =

∫

_{z z}−^dz

∫

^{π i itit dt i dt}

∫

^{π i}

γ

π

elde edilir.

Not: Bu sonuç z noktasından ve ₀ R yarıçapından bağımsızdır.

Lemma 2.3.1: f ve g, sürekli iki fonksiyon olsun. γ ,γ₁ ve γ₂’de parçalı düzgün eğriler olarak verilsin. Buna göre c₁ ve c₂ kompleks iki sabit olmak üzere,

(a)

∫ (

⁺

)

⁼

∫

⁺

∫

γ γ γ

g c f c g c f

c_{1 2 1 2}

(b)

∫

₋ ⁼⁻

∫

γ γ

f f

(c)

∫ ∫ ∫

+

+

=

2

1 γ 1 2

γ γ γ

f f f

dir. Ayrıca (a) ve (c) ifadeleri

1 1

= =

⎛ ⎞ =

⎜ ⎟

⎝

∑

⎠

∑

∫

^{n i i n i}

∫

ⁱ

i i

c f c f

γ γ

ve

∫ ∑ ∫

₌

+ + +

= ⁿ

i _i

n

f f

... 1

2

1 γ γ γ

γ

şeklinde genelleştirilebilir.

Not:

∫

γ

fi integrallerinin hepsi mevcutsa o zaman toplamla integral yer değiştirir.

İspat: (a) f z

( )

=u x y

( )

, +iv x y

( ) ( )

, , g z =u x y1

( )

, +iv x y1

( )

,

1 11 12 , 2 21 22

c =c +ic c =c +ic ve ^γ

( )

^{t =x t}

( )

^{+iy t}

( )

olsun. Buna göre Tanım 2.3.3 ve belirli integrallerin özellikleri kullanılarak bu Lemmanın doğruluğu görülebilir.

(b) Tanım 2.3.3 gereği

( ( ) )

−

− −

∫

=

∫

^b

a

f f t d dt

γ dt

γ γ

yazılabilir.Tanım 2.2.2’deki (b)’den

⁼

∫

^b

( (

^{+ −}

) ) (

^′

⁽

^{+ −}

⁾ )

a

f γ a b t γ a b t dt

dir. s=a+b−t değişken değiştirmesi yaparsak

⁼

∫

^a

( ( ) ) (

^{− ′}

^{( )} ) ⁽

⁻

⁾

b

f γ s γ s ds

^{= −}

∫

^b

( ( ) )

^′

( )

^{= −}

∫

a

f s s ds f

γ

γ γ

elde edilir.

(c) γ1: ,

[

a a1

]

→ , γ2:

[

a b1,

]

→ düzgün eğrilerini göz önüne alalım. Bu durumda

[ ] [ ]

1 1

1 2

2 1

, ,

, ,

⎧ ∈

= + = ⎨⎪

⎪⎩ ∈

t a a t a b γ γ γ γ

γ olup Tanım 2.3.3’den dolayı

( )( )

( ) ^{( ) ( )}

1 2

1 2 1 2

+

= + + ′

∫ ∫

^b

a

f f t t dt

γ γ

γ γ γ γ

yazılır. Riemann anlamındaki integral özelliğinden γ ’nın sürekli olması nedeniyle yukarıdaki integralin sağ tarafı

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ( )( ) ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

1

1

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

′ ′

+ + = + + +

+ + + ′

∫ ∫

∫

b a

a a

b

a

f t t dt f t t dt

f t t dt

γ γ γ γ γ γ γ γ

γ γ γ γ

şeklinde yazılır.

( ) ( ) ( ) ( )

1

1 2 1 1 2

1 1 2 2

+

′ ′

= + = +

∫

^a

∫ ∫

^b

∫ ∫

a a

f f t dt f t dt f f

γ γ γ γ

γ γ γ γ

elde edilir.

Lemma 2.3.2: γ :⎡⎣a b, ⎤ →⎦ eğrisi , ^{γ : ,}

[ ]

^{a b →} eğrisinin yeni parametrik gösterilimi olsun. Bu durumda

∫

∫

⁼

γ

γ ^~

f f

dir.

İspat: Tanım 2.3.3 gereği

( ( ) )

^′

( )

∫

=

∫

^b

a

f f t t dt

γ

γ γ

yazılır. Kesim 2.2’deki ikinci uyarı gereği γ

( )

t =γ^~

( )

h

( )

t olduğundan

( ) ( ) ( )

dt dh dh

t h t dγ γ′ = ^~

dir. ^{h a b: ,}

[ ]

_{→ ⎣ ⎦}^⎡a b sürekli bir fonksiyon olmak üzere ^{, ⎤}

( ( ) )

( )

^⎛

^{( ( ) )}

^⎞

= ⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠

∫ ∫

^b

a

d h t dh

f f h t dt

dh dt

γ

γ γ

a

t = için s= ~a =h

( )

a ve t= için b ^{s =b~=h}

( )

^b olmak üzere s=h

( )

t yeni bir değişken olsun. O halde

⁼

( ( ) )

^⎛⎜

^{( )}

^⎞⎟

⎝ ⎠

∫

b a

d s ds

f s dt

ds dt γ γ

⁼

_∫

^f

( (

^{h t}

( ) ) )

^d_dt ^dt=

_∫

^f

γ γ

γ γ

elde edilir.

Örnek 2.3.2: γ eğrisi, sıfır noktasını 1+i noktasına birleştiren doğru parçası olsun.

Bu durumda

∫

γ

xdz integralini bulalım.

Sıfır ile 1+i noktasını birleştiren doğru üzerinde, y =x=t bağıntısı vardır.

Buna göre, dx=dy olur. Böylece, z =x+iy =t+it ve ^{dz dt idt= + = +}

(

¹ i dt olur.

)

Buradan;

( ) ( )

1 1

0 0

1 1 1

2

= + = + = +

∫

^xdz

∫

^{t i dt i tdt}

∫

ⁱ

γ

olarak bulunur.

Tanım 2.3.4:

[ ]

( )

: , →

→ a b

t t

γ

γ

düzgün bir eğri olsun. Bu eğrinin yay uzunluğu,

( )

⁼

∫

^{b ′}

( )

⁼

∫

^{b ⎡}_⎣ ^′

( )

^⎤_⎦^2+⎡_⎣ ^′

( )

^⎤_⎦²

a a

L γ γ t dt x t y t dt

şeklinde tanımlanır ve L

( )

γ ile gösterilir.

Örnek 2.3.3: ^γ

( )

^{t =et}

(

^{sint i+ cos , 0t}

)

^{≤ ≤t π 2}

eğrisinin uzunluğunu hesaplayalım.

t e t e x t

e

x= ^tsin ⇒ ′= ^tsin + ^tcos t e t e y t

e

y= ^tcos ⇒ ′= ^tcos − ^tsin olduğundan

(

^{e t e t}

) (

^{e t e t}

)

^dt

L ⁼

∫

^{2 t + t + t − t}

0

2

2 cos sin

cos sin

) (

γ π

2

0

=^π

∫

2^{e dtt = 2}

(

^{eπ 2−1}

)

dir.

Lemma 2.3.3: L

( ) ( )

γ =L γ^~ ’dir. Yani eğrinin uzunluğu eğrinin gösterilim şeklinden bağımsızdır.

İspat: ^{h′ t}

( )

^>0 olsun. Kesim 2.2’deki ikinci uyarı gereği ^γ

( )

^{t =γ~}

( )

^h

( )

^t olduğundan

( ) ( ) ( )

dt dh dh

t h t dγ γ′ = ^~

dir. ^{h a b: ,}

[ ]

_{→ ⎣ ⎦}^⎡a b sürekli ve türetilebilir bir fonksiyon olmak üzere ^{, ⎤}

( )

_{= ′}

( )

₌

( ( ) )

₌

( ( ) )

∫

^b

∫

^b

∫

^b

a a a

d h t dh d h t dh

L t dt dt dt

dh dt dh dt

γ γ

γ γ

a

t = için s= ~a =h

( )

a ve t= için b s =b~=h

( )

b

olmak üzere s=h

( )

t yeni bir bağımsız değişken olsun. O halde

( )

⁼

∫

^b

( )

⁼

∫

^b

( )

⁼

( )

a a

d s ds d s

L dt ds L

ds dt ds

γ γ

γ γ

elde edilir.

Lemma 2.3.4: g a b → ^ eğrisi verilsin. Bu durumda ^{: ,}

[ ]

(a) ^Re

∫

^b

( )

⁼

∫

^bRe

( ( ) )

a a

g t dt g t dt

(b)

∫

^b

( )

^≤

∫

^b

( )

a a

g t dt g t dt

dir.

İspat: (a) Bu Lemmanın ispatı kompleks eğrisel integrallerin tanımı ve özellikleri kullanılarak çok basit bir şekilde elde edilebilir.

(b) Sabit r ve θ değerleri için,

( )

⁼

∫

^{b i}

a

g t dt re^θ

olsun.Böylece,

( ) ( )

− −

= ⁱ

∫

^b =

∫

^{b i}

a a

r e ^θ g t dt e g t dt^θ

olur. Bu eşitlikten, her iki yanın reel kısımlarının eşitliği yazılırsa,

( ) ( ) ( ) ( )

Re Re ⁻ Re⎡ ⁻ ⎤ ⁻

= =

∫

^{b i} =

∫

^b ⎣ ⁱ ⎦ ≤

∫

^{b i} =

∫

^b

a a a a

r r e g t dt^θ e g t dt^θ e g t dt^θ g t dt

bulunur. Tanım gereği,

( )

^{= =}

∫

^{b i}

a

g t dt re^θ r

olur. Böylece,

( )

^≤

( )

∫

^b

∫

^b

a a

g t dt g t dt

elde edilir.

Lemma 2.3.5: D, ’de bir bölge ve f D: → sürekli bir fonksiyon olsun. D bölgesinde bulunan parçalı düzgün bir γ eğrisinin üzerindeki her z noktası için

( )

^≤

f z M olacak şekilde bir M ≥0 sabiti varsa bu taktirde

( )

γ

γ

L M f ≤

∫

İspat: Bu Lemmanın ispatı

∫

⁼

∫

^b

( ( ) )

^′

^{( )}

a

f dz f t t dt

γ

γ γ olduğunun da gözönüne

alınmasıyla Tanım 2.3.4, Lemma 2.3.4 ve Tanım 2.3.3 kullanılarak çok basit bir şekilde elde edilebilir

Teorem 2.3.1: Bir f D: → fonksiyonu verilsin ve γ eğrisi D bölgesinde bulunan, z noktasını ₁ z noktasına birleştiren parçalı düzgün bir eğri olsun. Eğer ₂

D’de F′= f olacak şekilde bir F D: → analitik fonksiyonu varsa, (a)

∫

f =F

( ) ( )

z₂ −F z₁

γ

(b) z₁ =z₂ ise

∫

=0

γ

f

dir.

İspat: (a) γ

( )

a =z₁ ve γ

( )

b = z₂ olsun. Tanım 2.3.3 gereği

( ( ) )

^′

^{( )}

^′

( ^{( )} )

^′

^{( )}

^⎡

( ^{( )} )

^⎤

= = = ⎣ ⎦

∫ ∫

^b

∫

^b

∫

^b

a a a

f f t t dt F t t dt d F t dt

γ dt

γ γ γ γ γ

F

( ) ( )

t ^b F

( ( )

b

)

F

( ( )

a

)

F

( ) ( )

z₂ F z₁

a

−

=

−

=

= γ γ γ

elde edilir.

(b) z₁ =z₂ ise F

( )

z₂ =F

( )

z₁ olacağından

∫

=0

γ

f olur.

Lemma 2.3.6: γ, r yarıçaplı ve a∈ merkezli bir çember olsun. n∈ alalım. Bu durumda,

( )

^{0 , 1}

2 , 1

⎧ ≠ −

− = ⎨⎩ = −

∫

^{z a dzn} _i ⁿ_n

γ π

dir.

İspat: Önce n≥0 olsun. Bu durumda f

( ) (

z = z−a

)

ⁿ, ’de analitik olduğundan Teorem 2.3.1 gereği sonuç görülür.

−2

≤

n olsun. Bu durumda f

( ) (

z = z−a

)

ⁿ, ⁻

{ }

^a ’da analitik olduğundan Teorem 2.3.1 gereği sonuç görülür.

Son olarak, n=−1 olsun. Bu durumda ^γ

( )

^{t = +a reit, 0≤ ≤t 2π olup}

buradan ^γ′

( )

^{t =ire dtit} olması nedeniyle

( )

^{1 2 2}

0 0

− 2

− = = = =

− + −

∫

^{z a dz}

∫

_{z a}^dz

∫

^π _re^{itire dtit}_{a a} ^{i dt}

∫

^{π i}

γ γ

π

elde edilir.

2.4. Cauchy Teoremi ve Sonuçları

Kompleks analizin temelini oluşturan ve analitik fonksiyonları karakterize eden önemli teoremlerden birisi de Cauchy İntegral Teoremi’dir. Ayrıca bu teoremin sonuçları uygulama açısından çok önemlidir. Örneğin, hesaplanması çok zor olan bazı integraller bu sonuçlar yardımıyla kolayca hesaplanabilir. Cauchy tipi integraller yardımıyla analitik bir fonksiyonun sınırdaki değeri verilmesi halinde başka bir noktadaki değerini hesaplayabiliriz.

Teorem 2.4.1 (Cauchy Teoremi): D bir bölge ve ∂D D, ’nin sınırı olsun. Eğer f fonksiyonu, D’nin içinde ve ∂ ’de analitik ise D

( )

⁰

∂

∫

=

D

f z dz

dir.

İspat: Bu klasik teoremin ispatı bütün kompleks analiz kitaplarında bulunabilir.

Örnek 2.4.1: (a) γ eğrisi birim karenin çevresi ve ^f

( )

^{z =sin}

(

^exp

( )

^z2

)

olsun. Bu durumda

=0

∫

γ

f

olur.

Gerçekten, f fonksiyonu γ eğrisi üzerinde ve içinde analitik (tam fonksiyon) olduğundan, Teorem 2.4.1 gereği integral sıfırdır.

(b) :γ z =1 , 0 arg≤ z<2π olsun. Bu durumda

2 0

2 =

∫

_z^z− ^dz

γ

olur.

=2

z noktası birim çemberinin dışında olduğundan, 2

2

− z

z fonksiyonu γ

eğrisinin içinde ve üzerinde analitiktir. Teorem 2.4.1 gereği integral sıfırdır.

Not (Homotopik Eğri Kavramı): Bazen f fonksiyonu bir γ eğrisinin içindeki bazı noktalarda analitik olmayabilir. Bu durumda, integral değerinin sıfır olması gerekmez.

Örneğin, γ : z =1 olsun.

( )

z z

f =1 fonksiyonunu göz önüne alalım. z=0

noktasında f fonksiyonu analitik değildir. Böylece,

=2

∫

^dz_z ⁱ

γ

π

olduğunu Lemma 2.3.6’dan biliyoruz.

Bu tür fonksiyonların integralini alırken örneğin,

∫

γ

f integrali yerine sonucu

aynı olan

∫

γ^~

f şeklinde bir integrali hesaplamak gerekebilir. Burada, γ^~ eğrisi γ

eğrisinden daha basit olabilir. Örneğin, bu basit olan eğri bir çember, bir kare, yarım çember veya bir dikdörtgen olabilir. Bu gibi hallerde,

∫

γ^~

f integralini hesaplamak

daha kolaydır.γ yerine γ^~’yı almak için Cauchy integral teoreminden ve homotopi kavramından yararlanacağız.

Tanım 2.4.1: D⊂ bir alt bölge ve γ1: 0,1

[ ]

→D, γ2: 0,1

[ ]

→ kapalı iki eğri D olsun. Eğer aşağıdaki iki koşulu gerçekleyen sürekli bir ^H:

[ ] [ ]

^{0,1 × 10, →D}

fonksiyonu bulunabilirse γ₁ ve γ₂eğrilerine homotopiktirler denir:

(1) Her bir s∈

[ ]

0,1 için, t→H

( )

t,s kapalı bir eğridir.

(2) H t

( )

, 0 =γ1

( )

t , H t

( )

,1 =γ2

( )

t , 0≤ ≤ (Bakınız Şekil 2.4.1). t 1

Şekil 2.4.1

Not: γ₁ ve γ₂ iki homotopik eğri ise, bu genellikle γ₁ ~−γ₂ şeklinde yazılır.

Tanım 2.4.2: γ₂

( )

t =d (sabit), yani γ₂ belli bir nokta olsun. Bu durumda γ γ₁, ₂’ye homotop ise γ₁, D bölgesinde bir d noktasına büzülebiliyor (deforme edilebiliyor) denir.

Tanım 2.4.3: D bölgesinin sınırı olan D∂ kapalı eğrisi D’nin her noktasına büzülebiliyorsa D bölgesine basit bağlantılıdır denir.

Not: Homotopi, kapalı eğriler kümesinde bir denklik bağıntısıdır.

Lemma 2.4.1: f bir D bölgesinde analitik ve γ₁ , γ₂ D’de basit kapalı iki eğri olsun. Eğer γ₁ , γ₂’ye D’de homotopikse,

( ) ( )

1 2

∫

^{f z dz}=

∫

^{f z dz}

γ γ

dir.

İspat: Bir γ₀ doğru parçası ile γ₁ ve γ₂ eğrilerini birleştirelim.

Şekil 2.4.2

Böylece sınırı γ₁ +γ₀ −γ₂ −γ₀ olan basit bağlantılı bir bölge elde edilir(Bakınız Şekil 2.4.2). Cauchy teoremi gereği

( ) ( ) ( ) ( )

1 0 2 0

+ − − =0

∫

^{f z dz}

∫

^{f z dz}

∫

^{f z dz}

∫

^{f z dz}

γ γ γ γ

ve böylece de

( ) ( )

1 2

∫

^{f z dz}=

∫

^{f z dz}

γ γ