Singülerliklerin Sınıflandırılması

Laurent açılımı, singülerliğe sahip fonksiyonların serisel gösteriliminde ortaya çıkar. Bu da bizi, kompleks analizin temel sonuçlarından biri olan Cauchy Rezidü Teoremine götürür.

Tanım 2.8.1: Bir f

( )

z kompleks fonksiyonu, bir z noktası hariç, ₀ z ’ın en az bir ₀ komşuluğunda analitik ise z ’a ₀ f

( )

z ’nin ayrık aykırı noktası denir.

Eğer f

( )

z kompleks fonksiyonu bir

{

^:

}

= ∈ >

D z z r

bölgesi üzerinde analitik, fakat ^{g z}

( )

^{f 1 , z 0}

z

= ⎛ ⎞⎜ ⎟ =

⎝ ⎠ ’da ayrık aykırılığa sahip ise f ’nin z =∞’da bir ayrık aykırılığı vardır denir.

Diğer taraftan f

( )

z , z₀ hariç z ’ın en az bir komşuluğundaki her nokta ₀ sıfırdan farklı ve z ’da sıfır oluyorsa (yani ₀ f z( ) 0₀ = ise) z ’a ₀ f

( )

z ’nin ayrık bir sıfır yeridir denir.

O halde fonksiyonların ayrık olmayan sıfır yerleri de vardır. Örneğin, sürekli reel değerli bir f fonksiyonu

( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

⎟ ≠

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

=

0 ,

0

0 1 ,

sin

x x x

x x f

şeklinde tanımlansın. Bu fonksiyon x=0’da ayrık olmayan bir sıfır yerine sahiptir.

Örnek 2.8.1:

( )

4 1

2 +

= z z

f fonksiyonunun z=∓2i noktalarında ayrık aykırılıkları

vardır. f

( )

z = z³ +3 fonksiyonunun da z =∞’da bir ayrık aykırılığı vardır.

Uyarı: Analitik fonksiyonların, ayrık olmayan aykırı noktaları da vardır. Örneğin

( )

z

( )

z f sinπ

= 1 fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyon n∈ olmak üzere z_n =1 n

değerleri için ayrık aykırılığa sahiptir. Özel olarak z=0 noktası göz önüne alınırsa bu nokta ayrık olmayan bir aykırı noktadır. Çünkü n tamsayısını istediğimiz kadar büyük seçerek z =0’ın her komşuluğunda bir başka ayrık aykırı nokta olduğunu görebiliriz.

Teorem 2.8.1 (Laurent Teoremi): Bir f fonksiyonunun

{

: 1 0 2

}

= ∈ < − <

D z R z z R

halkasında tek değerli ve analitik olduğunu kabul edelim. Bu durumda her z∈D için f z

( )

, z z− ’ın pozitif ve negatif kuvvetlerine göre 0 D’de yakınsak bir seriye açılabilir. Yani,

( ) ∑

^∞

( )

−∞

=

−

=

n

n

n z z

a z

f ₀

dir. Burada γ, D’de bulunan ve z noktasını çevreleyen pozitif yönde ₀ yönlendirilmiş basit kapalı bir eğri olmak üzere,

( ) (

0

)

¹

1 , 0, 1, 2,

2 ⁺

= = ± ±

∫

−

n n

a f d n

i γ z

ζ ζ

π ζ …

dir.

İspat: Bu teoremin ispatı bütün kompleks analiz kitaplarında bulunabilir.

Not: Bir holomorf fonksiyonunun Laurent serisi bir tektir.

Örnek 2.8.2: Eğer D=

{

z: z >1

}

bölgesi ise bu bölgede

( ) ( )

1

fonksiyonunun Laurent açılımı,

( ) ( ) ( ) ∑

^∞

biçimindedir. Diğer yandan,

{

^{:0< <1}

}

fonksiyonunun bu D bölgesindeki Laurent açılımı

( ) ( ) ( ) _∑

^∞

olsun. Eğer Laurent serisindeki tüm a_−n katsayıları sıfır ise bu durumda z noktasına ₀

( )

z

f fonksiyonunun kaldırılabilir ayrık aykırı noktası denir.

Teorem 2.8.2 (Riemann Teoremi): Bir f

( )

z kompleks fonksiyonu, bir z noktası ₀ hariç z ’ın en az bir komşuluğunda tek değerli ve analitik olsun. Eğer ₀ f

( )

z , z ’ın en ₀ az bir komşuluğunda sınırlı ise bu durumda z noktası kaldırılabilir ayrık aykırı ₀ noktadır.

İspat: z noktası , merkezi z ’da olan ₀ γ₁, γ₂ çemberlerinin belirttiği D bölgesinde bir nokta olsun. O halde

( ) ( ) ( )

Örnek 2.8.3:

( )

0

z ’ın en az bir komşuluğunda bu fonksiyonun Laurent açılımı

( ) ∑ ( ) ∑

^∞

( )

dir. Bu durumda

( )

_⎟⎟

olur. Dolayısıyla 0z₀ = kaldırılabilir bir ayrık aykırı noktadır.

0

negatif kuvvetlerin sayısı yalnız sonlu sayıda terim içeriyorsa yani,

( ) (

0

) (

0

)

kutup noktasıdır denir.

Teorem 2.8.3: Eğer z=z₀ noktası f

( )

z fonksiyonunun kutup noktası ise z→z₀ için ^{f z}

( )

^{→ ∞’dir.}

İspat:

olur. Bu ise teoremi ispatlar.

Örnek 2.8.4:

( ) ( )

³

noktadır. f

( )

z fonksiyonunun Laurent açılımındaki negatif kuvvetlerine bakalım. e^z fonksiyonunun Taylor açılımı

∑

^∞

negatif kuvvetlerin sayısı sonsuz çoklukta ise yani,

( ) ∑ ( ) ∑

^∞

( )

yazılışında a_−n katsayılarından sonsuz çokluktakiler sıfırdan farklıysa bu durumda

z0

z= noktasına f

( )

z fonksiyonunun esas ayrık aykırı noktası denir.

Teorem 2.8.4 (Casorati –Weierstrass Teoremi): f z

( )

, z ’da esas ayrık aykırı 0

noktaya sahip olsun. Bu durumda w , keyfi bir kompleks sabit olmak üzere ₀ z ’ın ₀ her komşuluğunda f

( )

z −w₀ ifadesi yeterince küçük kılacak şekilde z noktaları vardır.

İspat:Teoremin iddiasının aksini kabul edelim. Bu durumda z ’ın her ₀ komşuluğundaki z’ler için

( )

z − w₀ ≥ε₀ f

olacak şekilde w ve ₀ ε₀ sayıları vardır. Bu

( )

1

0

≤ 1

g z ε

anlamına gelir. Burada

( ) ( )

₀

1

1 w z z f

g = −

dir. Kaldırılabilir ayrık aykırı noktalar hakkındaki Riemann Teoremi gözönüne alındığında z ’daki ₀ g ’in ayrık aykırılığı kaldırılabilirdir. Bu durumda ₁

( ) (

z z z

) ( )

g z g₁ = − ₀ ^k ₂

yazılabilir. Burada g holomorftur ve ₂ z ’ın bir komşuluğunda sıfırdan farklıdır. Bu ₀ nedenle z ’ın bir komşuluğunda ₀

2 3

1 g = g

holomorftur. Burada

( )

⁰ ₂¹

( )

₀ ⁰

3 = ≠

z z g

g

dır. Sonuç olarak

( ) ( ) ( )

bağıntısı elde edilir. Buradan da görülüyor f ’in Laurent serisi, negatif üslü sonlu çoklukta terime sahiptir. Bu da z ’ın esas ayrık aykırı nokta olması hipoteziyle ₀ çelişir.

Şimdi ispatı, ileri düzeydeki Kompleks Analiz kitaplarında bulunabilecek önemli bir teoremin ifadesini verelim:

Teorem 2.8.5 (Picard Teoremi): z₀, f fonksiyonunun esas ayrık aykırı noktası ve

(_{z r}0,), 0

D z noktasının yeterince küçük delinmiş bir komşuluğu olsun. Bu durumda bir

değer hariç tüm ∈w değerleri için f

( )

z = denkleminin w D_(z0,r) komşuluğunda sonsuz tane çözümü vardır.

Örnek 2.8.5:

( )

z z

f 1

=sin fonksiyonunu ele alalım. 0z₀ = noktası ayrık aykırı

noktadır. sin fonksiyonunun Taylor açılımı z

( ( ) )

^{2 1}

şeklindedir. Bu durumda

( ) ( )

olur. Dolayısıyla negatif kuvvetler sonsuz tane olduğundan 0z₀ = , esas ayrık aykırı noktadır.

Tanım 2.8.5: Laurent açılımındaki a katsayısına ₋₁ f z fonksiyonunun

( )

z ₀ noktasındaki rezidüsü denir.

Tanım 2.8.6: Bir f fonksiyonunun bir D bölgesindeki aykırılıkları sadece kutup noktaları ise f fonksiyonuna D’de bir meromorf fonksiyondur denir.

Teorem 2.8.6: ^f

( )

^{z , D} bölgesinde z noktası hariç, analitik bir fonksiyon ve ₀ D

z₀∈ noktası da bu fonksiyonun ayrık aykırı noktası olsun.

(1) z noktasının kaldırılabilir ayrık aykırı nokta olması için gerek ve yeter koşul, ₀ aşağıdaki üç koşuldan herhangi birisinin gerçeklenmesidir:

(a) f

( )

z fonksiyonu z noktasının delinmiş komşuluğunda sınırlıdır. ₀ (b) f

( )

z

z

z 0

lim→ limiti vardır.

(c) lim

(

₀

) ( )

0

0

=

→ z−z f z

z

z dır.

(2) z noktasının ₀ f

( )

z fonksiyonunun basit kutup noktası olması için gerek ve yeter koşul,

(

z z

) ( )

f z

z

z 0

0

lim −

→

limiti var, bu limit sıfırdan farklı ve bu limitin f

( )

z fonksiyonunun z noktasındaki ₀ rezidüsü olan a değerine eşit olmasıdır. Yani, ₋₁

(

₀

) ( )

₁

0

lim ₋

→ z−z f z =a

z z

dir.

(3) z0, f z fonksiyonunun kutup noktası (

( )

z , kaldırılabilir ayrık aykırı bir nokta ₀ da olabilir) olsun. Kutup noktasının mertebesi de en fazla k kadar olması için gerek ve yeter koşul, aşağıdaki üç koşuldan herhangi birisinin gerçeklenmesidir.

(a) f

( )

z fonksiyonu z noktasının delinmiş komşuluğunda ₀

( )

0

≤ − ^k

f z M

z z

olacak biçimde bir M >0 sabiti ve k ≥1 tamsayısı vardır.

(b) lim

(

₀

)

¹

( )

0

0

=

− ⁺

→ z z ^k f z

z

z dır.

(c)

(

z z

) ( )

^k f z

z

z 0

0

lim −

→ limiti vardır.

(4) f

( )

z fonksiyonunun z noktasındaki kutup noktasının mertebesinin ₀ k≥1 olması için gerek ve yeter koşul, z D_{(z ,r)}

∈ 0 ve z≠ z₀ için

( _,)

{ }

₀ ,

( )

₀ 0

0 − z ⊂ D G z ≠

D_{z r}

ve

( ) ( )

(

z z

)

^k

z z G

f

− 0

=

olacak biçimde, z noktasının bir ₀ D_(z,r)

0 komşuluğunda tanımlı analitik bir G

( )

z fonksiyonunun olmasıdır.

İspat: Bu teoremin bazı kısımlarının ispatı aşikar olmakla birlikte teoremin tamamının ispatı [1] nolu kaynakta vardır.

Lemma 2.8.1: f

( )

z analitik fonksiyon olsun. z0, f z ’nin bir sıfır yeri olmak

( )

üzere f

( )

z sabit değilse z ayrık sıfır yeridir. ₀

İspat: f

( )

z ’nin z noktası komşuluğundaki kuvvet serisi gösterilimi ₀

(

0

)

0

n n

n

a ζ z

+∞

=

∑

− ^(2.8.1)

olsun. f , özel olarak sıfır olmamak koşuluyla en azından bir katsayı sıfırdan farklı olmalıdır. a sıfırdan farklı ilk katsayı olsun. Bu takdirde _k z ’ın bir komşuluğunda f ₀ fonksiyonu

( ) (

0

) (

1

(

0

) )

k

k k

f ζ = ζ −z a +a ₊ ζ −z + (2.8.2) şeklinde yazılabilir.a_k ≠0 ilk katsayı olması nedeniyle

(

−

)

+ +a ₊₁ z₀ a_{k k} ζ

kuvvet serisi, z ’ın yeterince küçük bir komşuluğunda sıfırdan farklı olan sürekli bir ₀ fonksiyon tanımlar. Bu durumda (2.8.2)’deki gösterilim şekli z noktasının ₀ f

( )

z ’nin bir ayrık sıfır yeri olduğunu gösterir.

Kuvvet serisinin gösterilimindeki a katsayıları, _n f ’nin z ’daki türevi olarak ₀ ifade edilebilir. Yani,

( )

₀

!

1 z

dz f d

a n _n

n n =

dir. Eğer a , (2.8.1)’de gösterilen kuvvet serisindeki sıfırdan farklı ilk katsayı ise bu _k

takdirde,

( )

z₀ ≠0 dz

f d

k k

olduğunda z , ₀

( )

0 0 ,

( )

0 0 , , ¹1

( )

0 0

−

= df = d^k_k−f =

f z z z

dz … dz

elde edilir. Bu durumdaz , .₀ k mertebeden bir sıfır yeri olarak isimlendirilir.

Teorem 2.8.7: f fonksiyonu z noktasının bir komşuluğunda analitik olsun. ₀ f fonksiyonunun z noktasında .₀ k mertebeden sıfır yerine sahip olması için gerek ve yeter koşul, g

( )

z₀ ≠0 ve g, z ’da analitik olmak üzere, ₀ z ın bir komşuluğunda f ₀ fonksiyonunun

( ) (

z z z

) ( )

g z

f = − ₀ ^k

şeklinde yazılabilmesidir.

İspat: f z ’da analitik ve , ₀ z notası da .₀ k mertebeden sıfır yeri olsun. Bu durumda

( )

^{( )}

( ) ( ) ( )

^{( )}

( )

^{( )}

( )

( ) ( )

( ) ( )

1

0 0 0

0 0 0

0

! ! 1 !

∞ +

=

⎡ ⎤

= − = − ⎢ + − + ⎥

⎢ + ⎥

⎣ ⎦

= −

∑

^{n n k k k}

n k

k

f z f z f z

f z z z z z z z

n k k

z z g z

yazılabilir. Buradan da

( )

^{( )}

( )

! 0

0

0 = ≠

k z z f

g

k

ve g’nin z ’ın bir komşuluğunda analitik olduğu görülür.Tersine, eğer ₀

( ) (

z z z

) ( )

g z

f = − ₀ ^k

ise, f ’nin analitikliği ve z noktasının da .₀ k mertebeden sıfır yeri olduğu açıktır.

Teorem 2.8.8: f , bir z noktasında analitik ve ₀ f

( )

z₀ ≠0 olsun. Bu takdirde

( )

z

f ’nin sıfır değerini almadığı en az bir D_(z0,ε) komşuluğu vardır.

İspat: f z

( )

, z ’da analitik ve 0 f

( )

z₀ ≠0 olsun. z ’ın en az bir _{0 ( ,ε)}

z0

D

komşuluğunda f

( )

z ’nin hiç bir sıfır yerinin olmadığını gösterelim. Bunun için aksini kabul edelim. Her ε_n >0 için D_(z0,εn) komşuluğunda f ’nin bir sıfır yeri varsa

f ’nin z ’a yakınsayan sıfır yerlerinin bir ₀

( )

z_{n 1}^∞ dizisi vardır. Dizisel süreklilik tanımı gereği ve her f

( )

z_n =0 olduğundan,

( ) ( ) ^{( )}

⁰

lim lim 0

→∞ _n = →∞ _n = =

n f z f n z f z

olur. Bu ise f

( )

z₀ ≠0 varsayımı ile çelişir.

Sonuç 2.8.1: f analitik fonksiyonunun sıfır yerleri ayrık noktalardır.

Sonuç 2.8.2: f z ’ın bir komşuluğunda analitik olsun. , ₀ f ’nin z ’da .₀ k mertebeden sıfır yerine sahip olması için gerek ve yeter koşul, 1 f ’nin z ’da .₀ k mertebeden kutup noktasına sahip olmasıdır.

Belgede Kompleks fonksiyonlarda rezidü ve bazı uygulamaları (sayfa 48-60)