MATEMATİK ÖZDEŞLİKLER VE ÇARPANLARA AYIRMA 11 MAT 0281

(1)

MATEMATİK ÖZDEŞLİKLER VE ÇARPANLARA AYIRMA 11 MAT 0281

1. SORUNUN ÇÖZÜMÜ: (C)

2

x 1 x 2

10x 4 A B

x 2 x 1 x x 2

 

  

 

 

   

10x 4 A x 1    B x 2 

bulunur x 2 için 24 3A A 8

x 1 için 6 3B B

    

        2

2. SORUNUN ÇÖZÜMÜ: (D)

 

³

 

²

 

3 2

2x x 3x 4 a x 1   b x 1 c x 1 d x 1 için 2 1 3 4 d

8 d

   



     

3 2

2x x 3x 4 a x 1 b x 1 c x 1 8 2x x 3x 4 a x 1 b x 1 c x 1

         

        

 

  

Her iki tarafı



^{x 1} ' e bölelim.



Bu durumda

 

²

 

2x2  x 4 a x 1  b x 1  c

bulunur x 1 için 7 c 

3. SORUNUN ÇÖZÜMÜ: (E)

2 

 

2

3 2

x x 1

x 1

3x x 5 A Bx C

x 1

x 1 x x 1

  

    



  

  ^ ^{ }

2 2

3x   x 5 A x   x 1 Bx C x 1  



2

bulunur.

x 1 için 9 3A 3 A



  

   

     

2 2

3x x 5 3x 3x 3 Bx C x 1 2x 2 Bx C x 1

2 x 1 Bx C x 1 2 Bx C

       

   

 



bulunur.

B 0 , C 

Sonuç olarak ; A B C 3 0 2 5     

2

3 2

(x 1) ( x x 1)

3x 4x 4 A Bx C

x 1 x 1 x x 1



 

    



  

  ^ ^{ }

2 2

3x ^4x 4^{ }A x^ ^{  }x 1 Bx C x 1^ ^ ^



x 1 için 3 3A 1 A



 bulunur

  ^ ^{ }

2 2

3x ^4x 4^{ }A x^ ^{  }x 1 Bx C x 1^ ^ ^



  

2x25x 3  Bx C x 1  



2x +3 x +1



^{2x 3 x 1}^

 

^ ^{ }

 

^{Bx C x 1}^

 

^ ^



B=2 , C=3 bulunur

Sonuç olarak ; A B C 1 2 3 6     



^x²^^y²



²^{– 4x y}² ²

 

     

4 2 2 4 2 2

4 2 2 4

2 2 2

x 2x y y 4x y x 2x y y

x y

x y x y 7 2 14 14

   

  

 

 

         

6. SORUNUN ÇÖZÜMÜ: (B)

 

³

 

3 3

x y  x y 3xy x y 

formülünden yararlanalım.Bu formülde her ifadenin ayrı ayrı küpkökünü alalım.



³ ³



³ ³



³



x y  x y 3 x  y . x³y

3 3

20 k  3 xy k

3 3

20 k  3 8 k 20 k 36k

Yanıtlardan sıra ile denenirse

3 3

k x y  olduğu anlaşılır. 2

(2)

ÖZDEŞLİKLER VE ÇARPANLARA AYIRMA 11 MAT 0281

a b b c   4

      

     

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

a 2b c a b b c

a b c b

a b a b c b c b

4 a b 4 c b

4a 4b

     

   

     

    

 

 



4c 4b

 

 

4 a c

   a b 4

b

 c 4

a c 8

 



 

4 8 32  bulunur

4a b 13 

1 13

2 a - b 2 a + b 13

 

 

 

   

   

  

2 a b 13 2 a - b 1

2 b 12 b 6 b 36

 







bulunur

a4 olmak üzere,

²¹^a

a 5 4 a 3

3 2 a



   



2 a

a 5 3

 





 ^

² ^a

^

2 a







 3

a 5 2 a

3

a 5 3 a 3

   

  

3

a 4 a 16

9x y 17 

1 17

3 x y 3 x y 17

   

     

   

   

   

1

3 x y 17



 

3 x y 1

2 y 16 y 8 y 64

 





bulunur.

  

² ²

2 2

a 3b 5

a 6ab 9b 25 13 6ab 25 12 6ab

2 ab

 

  

 



     

2

2001 a alalım

2002 2003 2001 2004 a 1 a 2 a a 3 a



 

    



 

3a 2 a² 3a 2 bulunur



(3)

ÖZDEŞLİKLER VE ÇARPANLARA AYIRMA 11 MAT 0281

   

 

2 2

2 2 2

7

x y z 2

x y z 2 xy xz yz 4 7 2 xy xz yz 4 2 xy xz yz 3

xy xz yz 3 2

3 xz yz xy 2

  

     

   

   

  

  



 

³



3 3

x y  x y 3xy x y 



ifadesinde her bir harfin ayrı ayrı küp kökünü alırsak ;

   

 

3 3 3

3 3 3 3

3

x y x y 3 x y x y

4 3 2 4

4 3 8

4 3 2 4 6 10

    

  

 



 



bulunur.

   

² ²

2 2

a – 3b 4 a 6ab 9b 16 a 6 9b 16

a 9b 22' dir



  

 

Buradan ;

2  2

1

2 2

a 6ab 9b a 9b 6 22 6 28 bulunur.

 

  

 



2 2

x 6x y 10y 34 0  +

x26x 9

 y²10y 25 0 

 

²⁺ ⁰^

x 3





 

²

y 5





Buradan ;

 

x y 3      bulunur 5 2

(4)

MATEMATİK ÖZDEŞLİKLER VE ÇARPANLARA AYIRMA 11 MAT 0282

ifadesini pascal üçgenindeki açılım- lar bilgisinden yararlanarak ;

3 2

a – 3a 3a – 21

3 2

a – 3a 3a – 1 20 olarak ayarlayalım

 



^{a 1}



³ 20 elde edilir

  

3 3

Soruda; a 13 1verilmişti. Buradan

a 1 13

   

 

   

 



³ ¹³



³ ²⁰

13 20 7 bulunur

 

2. SORUNUN ÇÖZÜMÜ: (A)

  

   

3 3 3

3

x – y x y 3xy x y 4 3 2 4 64 24 88 bulunur

   

 





 



alalım 1998 a

 

2

a a 8 16 a 8a 16

a 4

  

 



a 4

2002 bulunur

 





^x²^{ }^{x 2}

 

²^ ^x²^{ }^{x 6}



²

       

 

  ^ ^

     

2 2 2 2

2

x x 2 x x 6 x x 2 x x 6

2x 8 2x 4

2 x 4 2 x 2 4 x 2 x 2 x 2

   

             

 

    

 

    

    



  

a c 2 a c 2

 

  , b c 4

b c 4

 

 

   

     

2 2 2

2

c 2 c 4 2c

a b 2c

a 3c 2b c 2 3c 2 c 4

c

   

  

     



 4c 4 c2

   8c 16 2c  ² c 2 3c 2c 8 12c 20

6c 10 2 bulunur

   

 





x 1 3

y

x 1 7

y

2 x 10 x 5 x 25 ' dir

 

 





x 1 7

y

5 1 7

y

1 2 1 y 1 y

2 4

y

 

     ' dir x y k

25 1k 4 100 k





(5)

ÖZDEŞLİKLER VE ÇARPANLARA AYIRMA 11 MAT 0282

   

²

2 2

a a 3 a 3 15

a 3a a 6a 9 15 3a 24

a 8 bulunur

   

    

 

 



   

 

2 2

2 2 2

a b c 10

a b c 2 ab ac bc 100 ' dür

  

  

      

 

a.b 9 c a b ab 9 ac bc ab ac bc 9 olup

    

 

  

 

    

 

 

2 2 2

a b c 2 ab ac bc 100 a b c 82 bulunur

     

  



2 2

2 2 2

x 6xy 10y 2y 1 0 x 6xy 9y y 2y 1 0

    

     

 



^{x 3y}



²



^{y 1}



²⁰ x 3y y 1 x 3 dir.

Buradan ;

 

y x 1     bulunur 3 4

   

    

      

   

48 24 24

12 12 24

6 6 12 24

16 24

2 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1 2 1

63 65 2 1 2 1

   

   



    

  



  

Bu sayılar toplamı;

63 65 128  ' dir

de ifade edilir.

şeklin

2 2

x 2xy y 



^{x y}



²¹²² x y 12 

y t

y

ane

x x x

      

x x y

x

x x tan e xx2

y

x y tan e x yx x

y x tan e y yx

2

y

y y tan e yy 9

9 tan e 16 16 9 144

   

16

y 1

y  y    2x y 1

(6)

ÖZDEŞLİKLER VE ÇARPANLARA AYIRMA 11 MAT 0282

15. SORUNUN ÇÖZÜMÜ: (C) 12. SORUNUN ÇÖZÜMÜ: (C)

x317 2

2

 

2

2 2

a 1 4

a a 2 1 16

a a 1 14 '

a

   

 

 

  

 

x 2 3 17olup her iki tarafın kübünü alalım.

 

³



³



³

3 2

x 2 17

x 6x 12x 8 17 x 6x 12x 25 ' dir

 

   

  

dir

4 4

2

2 2 2 2

a 1 a 1 a 1 1

a  a a   a  4 Sonuç olarak ;

3 2

x 6x 12x 27



bulunur

bulunur.

25 27 52

 



2 x xy4

ifadesi için ,

2 2

x y 3

   

       

24

12 12

3 3 6 12

2 1 A

2 1 2 1 A

2 1 2 1 2 1 2 1 A

7 9 65 4097 A 7 9 13 5 4097 A

 

  

    





  

   

 

   

x x y x y x y

 

 



4 3 3x 4x 4y 4y x

 



y 1 bulunur

x  4 şıklarından A ' yı bölmeyeni arayacağız.Bundan dolayı

E şıkkı cevaptır.



^{a b c}^{ }

 

²^ ⁵



²

 

2 2 2

a b c 2 ac ab bc 25

a b c 2 6 25

a b c 37 bulunur

     

    

  



(7)

MATEMATİK ÖZDEŞLİKLER VE ÇARPANLARA AYIRMA 11 MAT 0283

olup x y 9

x=y+9

 

 

2 2

2

x – y 2y 1 y 9 y 2y 1 y

 

   

18y 81 y2

   2y 1

16y 80

y 5 ve x 4 bulunur

 

 

  

Buradan ;

 

x y 4   5 20bulunur.

olup ; a – b 6

a 6 b



 

   

 

2 2

2

a – b – 4a 3b 67 a b 4a 3b 67 a a 6 4a 3 a 6 67 a a 12a 36 4a 3a 18 67

a

 

   

     

      



a2

 12a 36 a 18 67 11a 54 67 11a 121

a 11 bulunur

    

 



ifadesini

2 2

x 5y 4xy 6y 10 

olarak düzenleyip tam kareler şeklinde ayarlamalar yapalım.

2 2 2

x 4xy 4y y 6y 9 1 

Buradan;

elde edilir



^{x 2y}

 

² ^{y 3}



² ¹

    

alırsak y 3 ve x 6

1

2

2 2

0 0 1 bulunur

  



     

 

2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

2

444 333 111 x

111 4 111 3 111 x 111 4 111 3 111 x

111

 



 

  



^{16 9}



¹¹¹²

 x

7x



3 3

a b b a 33    için

2 2

a b b a 11   

 

2 2

a b a b 33 a b a b 11 a b 3

 



 

 

  bulunur

2

 

2

2 2 2

2

a 1 4

a

a 2 1 16

a

a 1 18

a

   

 

 

  

  ' dir

a 1 a k

  alalım

2 2

2 2 2

a 2 1 k

a 18 2 k

20 k 20 k

2 5 k bulunur

  

 



(8)

ÖZDEŞLİKLER VE ÇARPANLARA AYIRMA 11 MAT 0283

 

2 2

2

3 5

25x 9y 30xy 25x 30xy 9y 0

5x 3y 0 5 x 3 y

 

 

  

 



x 3

y  5 bulunur

1 1

a a

1 1

a a

  

     

   

    a 1

  a

2

 

1 2

a 1

a a 2 1 1

a a 1 3

a

   

 

 

  

 

x y 3 2 için x y 1  6

   

2 2

3 3

x y y y x x y y

x y

x y ' d

  

 

   

ir.

       

   

3 3 3

3

x y x y 3 x y x

3 2 3 6 3 2 27 2 2 3 4 3 2 54 2 36 2 18 2 bulunur

    

 



  

 

  

y

x 3y 1 

   

2 2

2

2 2

x 2x 4y 1 y

3y 1 2 3y 1 4y 1 y

9y 6y

  



    



 



16y24y²1 y2

5 y2

 ₂

y  bulunur 5

a 9 için

     

   

 

2

2 2

4 2

2 2

x a 3 a 3 a 9

x a 9 a 9

x a 9 x 9 9

x 9 9 1

   

  

 

 



x 81 80  ' dir. Buradan ; x 81 80

80  

80 81 bulunur

(9)

ÖZDEŞLİKLER VE ÇARPANLARA AYIRMA 11 MAT 0283

12. SORUNUN ÇÖZÜMÜ: (B ) 15. SORUNUN ÇÖZÜMÜ: (D)

I II

III IV a b b

a

a a b

b

a b

b x 1

x 2

  için ; b

   

3 3 3

3

1 1 1

x x 3 x x

x x

x

2 3 2 8 6 14

  

      

 



  



1 x





1 a b

I. bölgenin alanı b² bulunur

II. bölgenin alanı 



^{a b b ab b}



   ² III. bölgenin alanı 



^{a b b ab b}



  ²

IV. bölgenin alanı 



^{a b a b}







^a²^{2ab b} ² Bu durumda I. ve IV. bölgelerin alanları toplamı

eşitliğini verir.

a22ab 2b ²

 

x3 ve x 1 için x3  1 0

 

x 1







²



x2 x 1

x x 1 0



 

  



ifadesini terim ekleme çıkarma metodun- dan yararlanarak çözelim

4 2

x 7x 9

   

 

     

 

2 2

1 x x 1 x x

1 x x 1 1 x x 1

1 x x 1 1

    

        

   





  x x 1



   

 

2

3

2x 2 2x 4x 4x 4x x 1 4x x 4x 4

  

  





  ^{ }

  

4 2 2

2 2

2

2 2

x 6x 9 x

x 3 x

x 3 x x 3 x

x x 3 x x 3

   

  

    

    



bulunur

bulunur.

   

27 1000 n

54 2000 2n

2 2

27 1 27 n n

4 4 4

2 2 2

2 2 2 2 2

 

  

1 27 n 2000 28 n 2000

2 2 2 2

2 2

28 n 2000 n 1972





 



 

(10)

MATEMATİK ÖZDEŞLİKLER VE ÇARPANLARA AYIRMA 11 MAT 0291

2 2

x ax 8 x 2 x 2 x bx 8

   

   ise

'in çarpanı dir.

x2ax 8 x 2 4 2a 8 0   2a 4  a 2

'in çarpanı 'dir.

x2bx 8 x 2 4 2b 8 0   2b 12  b 6 a b 2 6    4

2 2

x x 2 2x: 10x 12

x 1 x 4x 3

x 2

   

  









^



^{x 1}^



x 1

 

^



^{x 1}^



x 1



 

^



^{x 3}^



2 x 3







^



^{x 2}^



1 bulunur

2

2 2 2

x 9 x 1 x 4x 3

. :

x 3x 2 x 4x 3 x 4

x 3

       

        

   









^



^{x 3}^





^{x 1}^



^



^{x 2}^



x 1



 

^



^{x 1}^



x 1

 

^



^{x 3}^

 ^ ^

x 2  x 2



 

x 1

 

^



^{x 3}^



x 2 bulunur x 1

 

 

 

 



 

2 2

x 4 2x 10

. 4 x 7x 10

x 2 x 2

 

 

 

 

 

x 2

 

^



^{x 5}^



2



x 5



42

x 2 2

 

   

    

 

2 3 2

2

16 x 8x x 4x x 4x 3 :x 3x

x 4 x 4 x x 3 x 3 x 1 x x 4

  

  

  

   

 

  x 4

x 1

 

 bulunur

6. SORUNUN ÇÖZÜMÜ: (D) x2



^x² ^{6x 9}



x 2

 





  ^ ^ ^ ^

x 3 x 2 x 1

 



 



 

x2

 

x2 9 x 3 x 3



 





 

^



^{x 3}^





^{x 1}







^{x 3}



^



^{x 3}^



x 3 bulunur x 1

 



(11)

ÖZDEŞLİKLER ve ÇARPANLARA AYIRMA 11 MAT 0291

7. SORUNUN ÇÖZÜMÜ: (C) x2 ax b

x 1

 







^

^

^{x 1}^

^

^ ^{x 5}^{x 1}^^

2 2

x ax b x 6x 5

a 6,b 5  bulunur a b 11 

   

x 3 x 3

1 1 6 x

x 3 x 3 x 3 x 3 2

x 3

 

 



   

     

 

 

 

 

3

 x 3



^{x 3}







^{x 3}^⁶



^{x 3}

  

 

 



 

2 2 x 3 1

x 3 2

 



 

bulunur

1

   

     

   



x 2 x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 x 2

   

    

 

 x 1 x 1:

x 3 x 3 x 1

 

  

  x 3

x 3 x 1



   x 3 bulunur x 3

 



 ^a ^{a b}  ^a ^{a b}

a a b : a a b

a b a a b a

 

  

      

    

  

  







 

   

 

2 2 2 2 2 2

2

a a b a a b

a a b : a. a b

b

      

  

       







 a

 

a a b 



 

2

a b b





a b a b

 

 bulunur

2 2

2

x y :y x x x y 4x

 

  x y



 

^



^{x y}^



x x y







 ^{y x}^4x_₁

 

 4bulunur

1 1 5x

5x 4 4 5x 4

   

   

  4

 2 5x 4

5x 4

 4 1

 2bulunur

(12)

ÖZDEŞLİKLER ve ÇARPANLARA AYIRMA 11 MAT 0291

13. SORUNUN ÇÖZÜMÜ: (B) 15. SORUNUN ÇÖZÜMÜ: (B)

3 2

2

x x 2x x 2 x x

   

 ax a2

a x

1 1

x a



 

 x



^x² ^{x 2}



x

 



 

x 1 x 2 x 2 x 1

  

 





 

x 1

 

^{x 2}

x 2

 

   x 2

2

1

2 2

x a a

ax x a a x

a x a ax a a

x a



 

 

 



 



 

x a ^{a x a}







2xbulunur

16. SORUNUN ÇÖZÜMÜ: (B) 14. SORUNUN ÇÖZÜMÜ: (B)

a 1

 

^



^a²^{ }^{a 1}



a a 1







a2





a2 a 1



a

   

2 2

... x 2 x ax b

... x 4 x 5x 4

   

  



   

x 1 x 2 x 1 x 4

 

  



 yazılır. Buradan ;

2 2

x x 2 x 5x 4

 

  yazılıp a 1 ,b 2 bulunur

 

a b 1     2 1

(13)

MATEMATİK ÖZDEŞLİKLER VE ÇARPANLARA AYIRMA 11 MAT 0292

mx nx my ny 2mx 2nx 3m 3n

  

  

   

x m n y m n 2x m n 3 m n

m n

  

   

 

 

  ^

^{x y}

^

m n





 

^

^

^{2x 3}^

^

x y 2x 3

 

 bulunur

x 1

  ^

^{x 4}

^

x 2







  ^ ^

x x 1 



x 2



 

x x 1





 ^

^{x 1}

^

 

  

 

 



x 4 x 1

 

 x 1

  

 

 

 

 x 4

   

2 2

x 2x b

x 4 x 1 x 3x 4

  

 

 



 ifadesini ;

x 4

  ^

^{x 2}

^

x 4







 

^

^

^{x 1}^

^

^veya

^

^{x 3}^

^

^



^{x 1}^





^{x 4}







^{x 1}



şeklinde açarız.Buna göre sadeleşme sonuçlarını şıklardan kontrol ederiz.

x x 5







x x 2







^



^{x 2}^



^ ^{x x 2}^



^



x 5

 

^



^{x 5}^



^{x 5}

  

 

 



 

^



^{x 2}^



1

 bulunur x

  

1 1 x 2 x

1 x x

 

 



  1

  

 

 

 

   

1 x x 2 x

1 x 1 x

 

     

 

  1

x

1 x



^{x 2}



^{x 1}

   

 

  

1

 

 

 



^{2 x}



  bulunur

 

2 2

a 2ab b 4ab ab a b

  



 

2 2 a b a b

a 2ab b ab a b

 

 





 

ab a b







a b ab

 

(14)

ÖZDEŞLİKLER ve ÇARPANLARA AYIRMA 11 MAT 0292

ifadesini

2 2

a 2a b 4b 3

şeklinde ayarlarsak

2 2

a 2a 1 b 4b 4

     

   

2 2

a 1 b 2

a 1 b 2 a 1 b 2

   

       



a b 1 a b 3

  

      bulunur

 

²

 

²

2 2

3 x 1 2 x 1

5x 1

  



 

 

^

^

^{5x 1}^

^

^^{2 x 5}^^{5x 1}

^

^^

^

       

     

   

3. x 1 2 x 1 3 x 1 2 x 1 5x 1 2 x 5

3x 3 2x 2 3x 3 2x 2 5x 1 2 x 5 5x 1

        

  

  

     

  

 

   

 



 



 

^



^{x 5}^



5x 1

 

^{ }^{2 x 5}



^



1

 2 bulunur

Şekilde

A  2 tane

 

^{2 x}^ ²

B  5 tane

 

^{5 x}^

C  2 tane

 

^{2 1} Tüm şekil

2 A 5 B 2    C 2x25x 2



^{2x 1 x 2}^

 

^ ^



x x y y x y

x y x y x y

  

  

 



3 3 x y

x y

x xy y

 

 

 

  ^

^x ^y

^

x y







 

     

 

2 2

x y x x y y

x y

x xy y

x y x y

2 y

     

  

 

 

 

   

 

 





4 2 2 2

2

a a 25 9a 9a a 3a 5

   

 

   

 

  ^{ }

 

   

4 2 2

2

2 2

a 10a 25 9a

a 3a 5

a 5 3a

a 3a 5

a 5 3a a 5 3a a 3a 5 a 3a 5

  

  

 

  

   

  

  



   

2 2

2

a a b a ab b

b 1 b a :

a b b b b a

a

    

   

       

 

   

2 2 2

2 2

b ab b a b

a ab a a ab b

b b

a a

0

    

   

   

 

 



 

(15)

ÖZDEŞLİKLER ve ÇARPANLARA AYIRMA 11 MAT 0292

13. SORUNUN ÇÖZÜMÜ: (D) 15. SORUNUN ÇÖZÜMÜ: (D)

a 2 1

 a  a a 1906 için

1906 a a

a a

   

   

2 2

a 2 a

a 4a 4 a a 5a 4 0 a 1 a 4 0

 

  

   

a a

1906 1

  1

 

1907 bulunur a1 , a 4 için

2 2

a a 4 4 20

 



a 2 1

 a 

   

2 2

a 2 a

a 4a 4 a a 5a 4 0

a 1 a 4 0

 

  

   

5 4 3 2

x 19x 19x 19x 19x 19

   

5 4 3 2

4 3 2

5

5 5

x 19 x x x x 1

x 1 x x x x 1 x 19

x 1 x 1

x 19 x 1

 

       

      

 

    

  

    



a 1 , a 4 için

2 2

a 5a 4 5 4 16 20

 





^x^20için



5 5

20 1 20 19

20 1 20 20 1 1

  

    

  

 bulunur 

 4

(16)

MATEMATİK ÖZDEŞLİKLER VE ÇARPANLARA AYIRMA 11 MAT 0293

   

     ^ ^ 

3 3

3 2 2 2

x 1 x 1 x x 1

x x 1 x 1 x x 1

  

    

 



x 1







x² x 1



^



^x³^¹





^x²^¹



^



^x³^¹



^



^x^{x x 1}²^

^

^{ }^{x 1}^

^ 

x 1



 

^{ }^{x x 1}



^



x21

 

x

2 2

2 2 2

b 2bc c a

b a c 2ac

  

  

2

3c 3c

için

b a 

alalım b a 

   

 

2 2

2

2 2 2

2

a 3c 2c a 3c c a

a 3c a c 2ac

a

    

    





2 2 2

6ac 9c 2ac6 6c c a

       ²

a2 6ac 9c ²a² ²

2 2

c 2ac 16c 8ac

8c 4ac 2

 

 





alalım 7001 x

7001 . 7004 7003 .

7002 

     

2

x 1 x 2 x 3 x x

    



 

3x 2 x² 3x

 2

a a

a a 3

27 1 3 2

1 3^ 9^ .n n²

 

  

3

3 2

2

n 1 n 2

1 1 n n

1 n n n 1

 

   

 



  

²



2 2 2

n n 1 n 2

n n 1 n n 1

n

  

    

 

 

 



 

n2 n 1





 



^ n2 ⁿ²n 1 ² n 2

n

  

 

 

 n 2

 

 

 

 

   

2

3 2 3 2

x 1 x 1 x 1

x x ax 4 x x ax 4

 

 

     



sadeleşebiliyor ise, veya hem payın hemde paydanın kökleri demektir.Buradan ;

x 1 x 1



^{x 1}^



^{için ;}



^x³^^x²^^{ax 4}^



^ifadesi

1 1 a 4 0

a 4

   

 

x  için 1



^x³^^x²^^{ax 4}^



^ifadesi

1 1 a 4 0 a 6

    

 4 6 2

  

(17)

ÖZDEŞLİKLER ve ÇARPANLARA AYIRMA 11 MAT 0293

 

2 2

x y 4x 4 1 2 1 x y 2 x xy y

  

     

 

 

  ^{ }

 

   

  _ _{ } _

2 2

x 4x 4 y

y 2 x x y 2 xy

x 2 y xy

y x 2 x y 2 x 2 y

  

      

 

  

   

  



 

 

^



^{x 2 y}^{ }



^xy

x y 2 



 

^



^



^{x y 2}^{ }

 

 xy

ifadesinde her ifadeyi x' e bölelim.

0 5 x 7 x²  

x2 7x 5 0

x x x x

x 7 5 0 x x 5 7

x

  

 

Şimdi her iki tarafın karesini alalım.

2

2 2

2

x 10 25 49 x x 25 39

x

  

 



^x²^^{1 x}



²^¹



 

x21

  ^{ } ^ ^

3 2 2

2 3

4 2

2x 1 2x 1

x 1

x x 1

 

  

 



 

2x21

 



²



⁴ ²

2 x 1 x x 1

x 1   

   

 

4 2

x x 1

2

2x 1

x

 

 1x²12x² 1 1





x 1 4

 x 

Önce her iki tarafın karesini alalım.

2 2 2

2

x 2 1 16

x

x 1 14

x

  

 

Sonrada ;

3 3 3

1 1

x x 3 x

x x

 

      1

x

3

x 1 x 4 3 4

64 12 52

  

 

 

 





Sonuç olarak ;

3 2

1 1

x x

1 1

x x

52 14 66

   

   

      

  

x 3 x 4 0  

 

²

 

²

2 2

x 4 3 x

x 8x 16 9x x 17x 16

 

  

  

olup, buradan ;

x2 17x 18 16 18 34

  

 



(18)

ÖZDEŞLİKLER ve ÇARPANLARA AYIRMA 11 MAT 0293

14. SORUNUN ÇÖZÜMÜ: (E) 11. SORUNUN ÇÖZÜMÜ: (A)



^x²^^7x

 

²^^{2 x}²^^7x



^⁴⁸

2 2 2

x y z 2xy 2xz 2yz 4  

 

   

2 2 2

2 2

x y z 2 xy xz yz 4

x y z 2

x y z 2 x y z 2

      

   

      





x27x a alalım

 

² ² ² ²



Not :

x y z x y z 2 xy xz yz

 

 

         

 

   

  

      

2

2 2

a 2a 48 a 8 a 6

x 7x 8 x 7x 6 x 8 x 1 x 6 x 1

  

  

    



    



  



 

⁶ ² ⁶ 3

6

3 3 1

3 1 3 27 1

 

  12. SORUNUN ÇÖZÜMÜ: (D)

2 2

2x y xy x 4y 3  

 

   

 

6 2 6

3

6 3

6 2 6 6

3

6 3

2 2

6 3

3

6 3

3 1 3

3 1

3 3 1

3 1 2 3 3

3 1

3 3 1

3 1 3

3 1

3 3 1

3 1 3

  

 

 

  

 

  

 

 

 

  

 

  



2 2

2x xy y x 4y 3

     

2x +y 3 x -y -1



  ^

⁶ ³

^

6 3

3 1 3

3 3 1

 

 



 

³

6

3 1

 

  3³ 3³ 1 36





2x y 3 x y 1

  

     



^x²^{ }^{x 2}



²^^x²^{ }^{x 14}



^x² ^{x 2}

 

² ^x² ^{x 2}



¹²

      

Burada ;



^x²  x 2 a alalım



   

  

   

    

2

2 2

2

a a 12 a 4 a 3

x x 2 4 x x 2 3

x x 2 x x 5

x 2 x 1 x x 5

  

  

      

    

    





 

22 2 2

2 4

a 1

a :

a 1 a a 1

a

  

 

  

 

  

a21

 a2

 a a21

a



a21



 

^



^a²^¹



a21

 

^



^a²^¹



1

(19)

MATEMATİK POLİNOMLAR 11 MAT 0301

  

²



²

P x  x 2x 4 5

sabit terim bulunurken x 0 için değerine bakılır.

olur

   

²

P 0  4  5 11

     

 

4 4

8

4 4

4

x 5 x 5

x 25 P x 1

x 5 x 5

P x 1 x 5

 

   

 

  



 

P x 1 polinomunun sabit terimi x 0 için ^{P 1}

 

 soruluyor.

için x 2

 

   

4 4

P x 1 x 5

P x 1 2 5 11

  

    

x 1 3

P x

3

    

 

  1



verilmiş.

'in sabit terimi için



P x 1 x 0 P 1 soruluyor

 

x 1 3

P x

3

    

 

  1 verilmiş için

x4

bulunur.

 

³

P 1 4  1 63

    

⁴



⁵

P x  x 2 3 30

katsayılar toplamı için ; x 1 yazarsak

    

⁴



⁵

P 1  1 2 3 30  olur. 2

 

P x – 2 katsayılar toplamı x 1 için ^{P 1}

 

 soruluyor

 

²

P x 2x 3x 9 ifadesinde x 1için

 

P 1    2 3 9 14bulunur

 

²

P x x ax b 5  sabit terimi x 0 için

b 5 7 b 12

 



katsayılar toplamı x 1 için 1 a 7    3

a 11 olacaktır.

a b 11 12 23    bulunur

(20)

POLİNOMLAR 11 MAT 0301

     

²

P x 1  x 2 .Q x x  3

sabit terimi için olur.



Q x 1



x 0 ^{Q 1}

 

  ⁴ katsayılar toplamı için



P 2x 2 x 1 P 0 sorulmuş-

 

tur.

     

²

P x 1  x 2 .Q x x  3 için

x 1



   

     

P 0 1 Q 1 2

P 0 1 4 2

6 bulunur

   

 



I. ^{P 2x 1}



 polinomunun sabit terimi x 0 için

   

P 1 Y II. ^{P x}



²^³



x 1

polinomunun katsayılar toplamı için ^{P 2 D}

  





III. ^{P 3x 2}



 polinomunun sabit terimi x 0 için dir.

  

P 2 D



IV. ^P



^{x 2}^



polinomunun katsayılar toplamı x 1 için ^{P 3 D}

   

V. ^{P 2x 7}







polinomunun sabit terimi ^{x 0} için

   

P 7 D

  

²

 ^ ^

P x  x 3x 4 .Q x 1  4x 3

 

P x in katsayılar toplamı x 1için ^{P 1}

 

¹³ veril- miştir.

için x 1

     

 

P 1 1 3 4 Q 0 7 13 2 Q 0 7 Q 0 3 olacaktır.

   

 





   

⁴ ²

P 2x P 2x 8x 4x 18

 

P x 1 katsayılar toplamı x 1 için P 0 soruluyor.

 

   

⁴ ²

P 2x P 2x 8x 4x 18eşitliğinde x 0 için

   

 

P 0 P 0 18 P 0 9 bulunur

  

 

 

⁴ ³ ²

P x 2 2x x – x  verilmiş 1

 

P x 1 katsayılar toplamı x 1 için P 2 soruluyor.

 

x 0 için ;

 

P 2 0 0 0 1 P 2 1 bulunur

   



4 2

P(x) x 2bx   a 4

 

P x 'in sabit terimi x 0 için ^{P 0}

 

⁶katsayılar toplamı x 1 için ^{P 1}

 

  verilmiştir. ¹

x 0 için ^{P 0}

 

^{    }^{a 4 6} ^{a 10}

x 1 için ^{P 1}

 

^{ }^{1 2b 6}     ¹ ^b ^{4 bulunur}

   

a b  4 10  40 olur