2.DERECEDEN DENKLEMLER KONU ANLATIMI
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
ax2 bx c 0
şeklindeki ifadelere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir (a 0 ve a, b, c birer gerçek sayıdır.).
Örnek:
3 2
(m 3)x 2x 5x n 0 denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olup bir kökü 1 dir.
Buna göre, m n kaçtır?
Çözüm:
Örnek:
4x264 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
4x2 64
16
x2 16 x 4 veya x 4 tür.
Çözüm Kümesi 4, 4 tür.
Örnek:
2x2 16 0 denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Çarpanlara Ayırma Yöntemi ile Denklem Çözme
Verilen ifadeyi çarpanlara ayırdıktan sonra her bir çarpan 0’a eşitlenir.
Örnek:
x2 8x 12 0 denkleminin çözüm kümesini bulu- nuz.
Çözüm:
2
( 2).( 6) ( 2) ( 6)
x 2 x 6
x 8x 12 0 (x 2)(x 6) 0 Ç.K 2, 6 dır.
Örnek:
2x2 9x 5 0 denkleminin çözüm kümesini bulu- nuz.
Çözüm:
Örnek:
x216x 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
x 0 x 16
2 2
x (x 16) 0 Ç.K 0, 16 dır.
Lütfen aşağıdaki hatayı yapmayınız.
x 16x 0 x
Uyarı :
x
16 x x 16 dır.
Böyle yaparsak, x 0 kökünü kaçırmış oluruz.
Örnek:
x216 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
2 2
x 4 x 4
x 4 0 (x 4)(x 4) 0 Ç.K 4, 4 tür.
Örnek:
Çözüm:
2
(3a)(2b)
x 3a x 2b
x (3a 2b) 6ab 0 (x 3a)(x 2b) 0 Ç.K 3a, 2b dir.
Örnek:
2
Dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin kısa kenarı (x 2) metre, uzun kenarı ise (2x+3) metredir. Bu bahçenin alanı 22 m olduğuna göre, x kaçtır?
Çözüm:
Örnek:
2
Bir hareketlinin zamana göre yüksekliği metre cinsinden f(t) t 12t 16 fonksiyonu ile ifade ediliyor. O halde bu hareketli kaçıncı saniyelerde yerden 48 metre yukarıdadır?
Çözüm:
2
2
t 8
t 4 t 8 t 4
t 12t 16 48 denkleminin çözümü soruluyor.
t 12t 32 0 ( t 8)(t 4) 0
4. ve 8. saniyelerde yerden 48 metre yukarıdadır.
Örnek:
Çözüm:
2
5x 2
x 3
x 3 2
x 5
1 2 1 2
1 2
5x 13x 6 0 (5x 2)(x 3) 0
x x ise x 2 ve x 3 tür. Buna göre, 5
10x 7x 10 2 7.3 4 21 25 tir.
5
Örnek:
9x2 30x 25 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Örnek:
x2 5 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
2
2 5
x 5 0 (x 5)(x 5) 0 Ç.K 5, 5 tir.
Örnek:
3x2 2x m 0 denkleminin bir kökü 1 olduğuna göre, diğer kökü kaçtır?
Çözüm:
Değişken Değiştirme Yöntemi Kök Bulma Bazen, ikinci dereceden olmayan ifadeleri değişken değiştirerek ikinci dereceden denklem haline getirebiliriz.
Örnek:
4 2
x 3x 2 0 denkleminin çözüm kümesini bulu- nuz.
Çözüm:
Örnek:
2
2
2
3 x 3x 42 x 3x 120 0
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
2
2
3a 30
a 4 a 10 a 4
2 2
( 2)(5)
x 2 x 5
2 2
( 1)(4)
x 1 x 4
x 3x a dersek,
3a 42a 120 0 olur. 3a 30 a 4 0 a 10 olursa x 3x 10 x 3x 10 0
(x 2)(x 5) 0
a 4 olursa x 3x 4 x 3x 4 0 (x 1)(x 4) 0
Ç.
K 5, 4, 1, 2 dir.
Örnek:
x4x 6 0 denkleminin çözüm kümesini bulu-
Çözüm:
2 4
2
(3).( 2) 4
4 4
x t olsun. x t olur.
t t 6 0 (t 3)(t 2) 0
t 3 olursa x 3 olmalı ama çift dereceli bir köklü ifade negatif olamaz. Burada kök yoktur.
t 2 olursa x 2 olur. x 2 16 dır.
Ç.K. 16
Örnek:
2x x
5 5 6.5 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Tam Kareye Tamamlayarak Kök Bulma Verilen ifadelerde terim ekleyip çıkararak tam kare ifadeler oluşturabiliriz. Sonra rahatlıkla çarpanlarına ayırarak çözüm kümesini bulabiliriz.
Örnek:
Çözüm:
2
2
2
(x 3) 2
İfadeye 1 ekleyip çıkaralım.
x 6x 8 1 1 0
x 6x 9 1 0 olur.
(x 3) 1 0 Şimdi iki kare farkından,
(x 3 1)(x 3 1) 0 şeklinde yazabiliriz.
(x 2)(x 4) 0
Örnek:
x28x 5 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Örnek:
x2 10x 27 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
2
2
2
2
2
x 10x ifadesinin yanında 25 olursa tam kare olur.
O halde, x 10x 27 ifadesini x 10x 25 2 0 olarak yazalım.
(x 5) 2 0 (x 5) 2 olur.
Tam kare ifadeler negatif olamaz.
Bu sebeple, Ç.K dir.
Diskriminant ile Kök Bulma (Genel Çözüm)
2
2
1 2
ax bx c 0 denkleminin diskriminantı, b 4ac dir.
b b
Kökler ise x ve x dır.
2a 2a
Not: Diskriminant formülü, lise
matematiğindeki en önemli formüllerden biridir.
Örnek:
3x2 x 4 0 denkleminin köklerini diskriminant kullanarak bulunuz.
Çözüm:
2
2
1
2
b 4ac
1 4.3. 4 1 48
49 dur.
Şimdi kökleri bulalım.
b ( 1) 49 1 7 8 4
x tür.
2a 2.3 6 6 3
b ( 1) 49 1 7
x 1 dir.
2a 2.3 6
Ç.K 1, 4 tür.
3
Örnek:
x26x 4 0 denkleminin köklerini bulunuz.
Çözüm:
Köklerin Varlığı
Denklemin diskriminantına göre, gerçek köklerin olup olmadığına karar verebiliriz.
0 ise farklı iki gerçek kökü vardır.
0 ise eşit iki gerçek kökü vardır.
(Çakışık kökler, çift katlı kökler de denilir.) Kısaca, bu ifade tam karedir.
0 ise gerçek kök yoktur.
Örnek:
5x2 2x m 2 0 denkleminin iki farklı gerçek kökü olduğuna göre, m'nin en küçük tam sayı değeri kaçtır?
Çözüm:
2
2
0 olmalıdır.
b 4ac 0
( 2) 4.5.( m 2) 0 4 20( m 2) 0 4 20m 40 0 20m 36 0
20m 36 m'nin en küçük tam sayı değeri 2 dir.
Örnek:
ax2 3x 9 0 denkleminin kökleri birbirine eşit ise a kaçtır?
Çözüm:
Örnek:
2x2 5x 7 0 denkleminin kaç farklı gerçek kökü vardır?
Çözüm:
2 2
b 4ac 5 4.2.7 25 56 31 dir.
0 olduğundan hiç gerçek kökü yoktur.
Not:
Örnek:
(m 2)x2 6x 3 0 denkleminin iki gerçek kökü olduğuna göre, m'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Çözüm:
2
2
iki gerçek kök demediği için 0 olmalıdır.
b 4ac 0
6 4.(m 2).3 0 36 12.(m 2) 0
36
Farklı
3
12.(m 2) 3 m 2
5 m m en fazla 5 olabilir.
Kökler ile Katsayılar Arasındaki İlişkiler
ax2 bx c 0 denkleminde Kökler toplamı b
a Kökler çarpımı c dır.
a
Örnek:
2
1 2
1 2
1 2
2x 12x 9 0 denkleminin kökleri x ve x dir.
x x
kaçtır?
x .x
Çözüm:
Örnek:
2
1 2
1 2
x 5x 6 0 denkleminin kökleri x ve x dir.
(x 3)(x 3) kaçtır?
Çözüm:
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
c b
a a
(x 3)(x 3) x .x 3x 3x 9 x .x 3(x x ) 9
6 3( 5) 9 6 15 9
0 dır.
Örnek:
x2 6x 4 0 denkleminin köklerinin kareleri topla- mı kaçtır?
Çözüm:
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2
x x (x x ) 2x .x şeklinde yazabiliriz.
6 4
2
1 1
36 8 28 dir.
Örnek:
Çözüm:
2 1
2 1
1 2 2 1
(x ) (x )
m
1 1 x x 1 m dır.
x x x .x 6 6
1
m 5
ise m 5 tir.
6 6
Örnek:
2
1 2
2 1
x 5x k 0 denkleminin kökleri x ve x dir.
3x x 11 olduğuna göre, k kaçtır?
Çözüm:
2
2 1 2 1
1 2
1 2
3x 11
2
2 2
1 2 1
4
1 2
1 4
3x x 11 3x 11 x dir.
x x b 5 tir.
a
x x 5 ise
4x 11 5
4x 16 x 4 tür.
x x 5 idi. x 1 dir.
x .x c k k 4 tür.
a
Örnek:
2
1 2
2
1 2
x mx 18 0 denkleminin kökleri x ve x dir.
x 12x olduğuna göre, m kaçtır?
Çözüm:
Örnek:
2
1 2
2
1 2
x 5x 9 0 denkleminin kökleri x ve x dir.
x 5x 9 kaçtır?
Çözüm:
Kökleri Verilen İkinci Dereceden Denklemi Elde Etme
1 2
2
1 2 1 2
Kökleri x ve x olan ikinci dereceden bir denklemi x (x x ) x .x 0 şeklinde yazabiliriz.
Örnek:
Kökleri 2 ve 3 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi yazınız.
Çözüm:
2
2
x (2 3)x 2.3 0 x 5x 6 0 dır.
Örnek:
Kökleri 2 ve 2 olan ikinci dereceden bir bilinme- yenli denklemi yazınız.
Çözüm:
2
2
2
x ( 2 2)x ( 2).2 0 x 0.x 4 0
x 4 0 dır.
Örnek:
2
1 2
1 2
x 4x 6 0 denkleminin kökleri x ve x dir.
Kökleri (x 2) ve (x 2) olan ikinci dereceden
Çözüm:
1 2 1 2
1 2 1 2
4
1 2 1 2 1 2
6 4
x x 4 ve x .x 6 dır.
Diğer denklemin kökler toplamı, (x 2) (x 2) x x 4 8 dir.
Kökler çarpımı ise,
(x 2).(x 2) x .x 2(x x ) 4
6 8 4 18 dir.
Örnek:
Çözüm:
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2
1 2
1 2
1 2 2
(x x ) x x 2x .x
1 13 2x .x 12 2x .x
6 x .x dir. O halde, bu denklem x x 6 0 dır.
Not:
Rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir denklemin köklerinden biri a b ise diğer kökü a b dir.
Yani eşleniğidir.
Örnek:
Köklerinden biri 2 5 olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklemi bulunuz.
Çözüm:
Not: (Kökler Karmaşık Sayı ise)
Gerçek katsayılı ikinci dereceden bir denklemin köklerinden biri a bi ise diğer kökü a bi dir.
Örnek:
Köklerinden biri 3 i olan gerçek katsayılı ikinci dereceden denklemi bulunuz.
Çözüm:
2
Diğer kökü 3 i dir.
Kökler toplamı 3 i 3 i 6 dır.
Kökler çarpımı (3 i)(3 i) 9 1 10 dur.
O halde, bu denklem x 6x 10 0 dır.
Not:
Örnek:
2
2
x 5x m 0
x 6x m 2 0
denklemlerinin birer kökleri eşit ise m kaçtır?
Çözüm:
2
İki denklemi birbirine eşitleyelim.
x 5xm x2 6xm
2
2 2
2 x 2 dir.
x 2 kökü ortak köktür.
Herhangi bir denklemde yerine yazarak m' yi bula - biliriz.
x 5x m 0 4 10 m 0 m 6 dır.
Not: İki denklemin kökleri aynı ise katsayıları oranı eşittir.
2
2
ax bx c 0 a b c
dir.
d e f
dx ex f 0
Örnek:
2
2
mx 9x n 4
2x 3x 5 0
denklemlerinin çözüm kümeleri aynı ise m.n kaçtır?
Çözüm:
