MATEMAT· IKSEL MODELLEME

(1)

MATEMAT· IKSEL MODELLEME

Matematiksel Modelleme, Gazi Kitabevi

Nuri ÖZALP

Ölçek

Nuri ÖZALP (Ankara Üniversitesi) 7 !^MATEMAT·IKSEL MODELLEME7 ! ^Ölçek ^{1 / 15}

(2)

Matematiksel Modelleme

Ölçek

·Içerik

1 Geometrik Olarak Benzer Cisimler

2 Büyüklük

3 Güç Ç¬kt¬s¬

4 Hareket

5 Ayak Say¬s¬

6 Duru¸s ve Denge

7 Paketleme ve Fiyat ·Ili¸skisi

(3)

Geometrik Olarak Benzer Cisimler

¸

Sekil: Uzunluk ve hacim aras¬ndaki ili¸ski

(4)

Gözlemler: 1 : L oran¬nda s¬n¬rlar¬olan iki kübün:

1 Yüzey alanlar¬oran¬ 1 : L² ; hacimleri oran¬1 : L³ olur.

2

Bir cismin iki noktas¬aras¬ndaki uzakl¬k Geometrik olarak benzer bir cismin kar¸s¬l¬k gelen

iki noktas¬aras¬ndaki uzakl¬k

= ¹ L

ise

Kar¸s¬l¬k gelen alanlar¬n¬n oran¬ 1 : L² Kar¸s¬l¬k gelen hacimleri oran¬1 : L³ olur.

E¼ger hayvanlar ¸sekilde de¼gil de büyüklükte (en, boy, yükseklik, a¼g¬rl¬k) farkl¬ise, bu durumda birinin ¸sekli biliniyorsa, geometrik olarak benzer olan herhangi di¼ger bir hayvan tek bir temsilci L uzunlu¼gu (örne¼gin tek bir kemi¼gin toplam a¼g¬rl¬¼g¬veya uzunlu¼gu) ile aç¬klanabilir.

(5)

2

= ¹ L

ise

(6)

2

= ¹ L

ise

(7)

Büyüklük

Bir kara hayvan¬¸seklini de¼gi¸stirmeden sonsuza kadar büyüyebilir mi?

Bir kemi¼gin bir etki (bast¬rma) veya tepki (kald¬rma) yüküne kar¸s¬ durma yetene¼gi kemi¼gin dik kesit alan¬ile orant¬l¬olup, kemik taraf¬ndan desteklenen a¼g¬rl¬k da hacim ile orant¬l¬d¬r. Böylece örne¼gin bir ba¸skas¬ndan 3 kat uzun (1 : 3) olan bir hayvan, e¼ger yo¼gunluk ayn¬kabul edilirse, o hayvana göre 27 (1 : 3³) kat daha a¼g¬r olup, bacaklar¬9 (1 : 3²) kat daha fazla a¼g¬rl¬¼ga kar¸s¬koymal¬d¬r.

(8)

Büyüklük

Bir kara hayvan¬¸seklini de¼gi¸stirmeden sonsuza kadar büyüyebilir mi?

Bir kemi¼gin bir etki (bast¬rma) veya tepki (kald¬rma) yüküne kar¸s¬

durma yetene¼gi kemi¼gin dik kesit alan¬ile orant¬l¬olup, kemik taraf¬ndan desteklenen a¼g¬rl¬k da hacim ile orant¬l¬d¬r. Böylece örne¼gin bir ba¸skas¬ndan 3 kat uzun (1 : 3) olan bir hayvan, e¼ger yo¼gunluk ayn¬kabul edilirse, o hayvana göre 27 (1 : 3³) kat daha a¼g¬r olup, bacaklar¬9 (1 : 3²) kat daha fazla a¼g¬rl¬¼ga kar¸s¬koymal¬d¬r.

(9)

Büyüklük

Kat¬bir cisim bir kuvvet sisteminin etkisi alt¬nda ve denge durumunda ise, cismin bozulma veya ¸sekil de¼gi¸stirme e¼gilimi olu¸sur. Böyle durumdaki kat¬

cisme "bask¬alt¬ndad¬r" denir. ·Iç kuvvetler cismin her noktas¬nda bask¬ya veya gerilmeye yol açar. Bir noktadaki bask¬birim alandaki kuvvettir ve kuvvet ile bu kuvvete maruz kalan yüzeyin uyumuna ba¼gl¬d¬r.

(10)

Büyüklük

Dik kesit alan¬A olan ve bir F kuvveti ile gerdirilen düzgün ince bir çubu¼gu göz önüne alal¬m:

¸

Sekil: ·Ince bir çubu¼gun gerilimi

Düzlem kesiti boyunca olan gerilim= ~_F A sec θ

(11)

Büyüklük

Büyük kara memelilerinin geometrik olarak küçüklerle ayn¬olmad¬¼g¬

gözlemlenmi¸stir. Büyüklerin kemikleri daha sert olup, çok büyük memeliler kalça kemikleri dik olarak ayakta durmakta ve bu kemikler esnememektedir. Böylece e¼gilme gerilmesine daha çok maruz

kalmaktad¬rlar.

soru: Esnek kalça kemikli bir kara hayvan¬n¬n ¸seklini de¼gi¸stirmeden sonsuza kadar büyümesi mümkün müdür?

(12)

Büyüklük

Büyük kara memelilerinin geometrik olarak küçüklerle ayn¬olmad¬¼g¬

gözlemlenmi¸stir. Büyüklerin kemikleri daha sert olup, çok büyük memeliler kalça kemikleri dik olarak ayakta durmakta ve bu kemikler esnememektedir. Böylece e¼gilme gerilmesine daha çok maruz

kalmaktad¬rlar.

soru: Esnek kalça kemikli bir kara hayvan¬n¬n ¸seklini de¼gi¸stirmeden sonsuza kadar büyümesi mümkün müdür?

(13)

Büyüklük

¸

Sekil: Bir memelinin kalça kemi¼gindeki e¼gilme gerilimi

B noktas¬nda moment al¬n¬rsa,

Wh=Td =) ^T = ^Wh

d

(14)

Büyüklük

W ∝ L³, h∝ Lve d ∝ Loldu¼gundan T ∝ L³L/L=L³ elde edilir. T kuvveti kemi¼ginA alanl¬parças¬taraf¬ndan gönderilir. Böylece,T(_{∝ L}³), A(∝ L²) taraf¬ndan gönderilir. Bu iseT nin, ona kar¸s¬koyacak olan kemik kapasitesinden boyut olarak daha h¬zl¬artt¬¼g¬n¬göstermektedir. O halde bir kara hayvan¬n¬n sonsuza kadar büyümesi olanaks¬zd¬r.

(15)

Güç Ç¬kt¬s¬

Güç ç¬kt¬s¬: birim zamanda yap¬lan i¸s. ∝ L² Nedeni

(i) Is¬kayb¬oran¬:

Kas !Kimyasal enerjiyi …ziksel (mekanik) enerjiye dönü¸stürür. %25 yeterlilikleri vard¬r%75 ¬s¬olarak yüzey boyunca kaybolur. Is¬kayb¬L² ile orant¬l¬olup, e¼ger güç ç¬kt¬s¬L³ ile orant¬l¬artarsa bu durumda büyük memeliler fazla ¬s¬n¬rlar.

(ii) Oksijen kayna¼g¬oran¬:

Dokuya oksijen sa¼glama oran¬kan hacmine, bu da kan ak¬¸s h¬z¬na ba¼gl¬d¬r.

(16)

Güç Ç¬kt¬s¬

¸

Sekil: Kalp diyagram¬: Çizgili kesimler kalp yüzeyini göstermektedir. (a) Aort (ana atardamar) boyunca bir dik kesit. (b) sol k¬s¬mdaki aort ile birlikte kar¬nc¬¼g¬n uzunlamas¬na kesiti ve (c) kar¬nc¬k boyunca dik kesit

(17)

Güç Ç¬kt¬s¬

F her birim dik kesit alan¬için kalp kas¬taraf¬ndan ortaya konulan maksimum kuvvet ve P kalpteki kan bas¬nc¬olsun. Bu durumda

FA3 =PA2

olur. F nin boyut ile de¼gi¸smedi¼gi bilinmektedir. Bu durumda

görülmektedir ki P de boyuta göre de¼gi¸smez. Böylece aorttaki kan¬n ak¬¸s h¬z¬V boyuta göre de¼gi¸smez. Buradan, birim zamanda kalp taraf¬ndan aktar¬lan kan hacmi A1 ile, dolay¬s¬ile L² ile orant¬l¬d¬r. Bu da sonuçta güç ç¬kt¬s¬n¬k¬s¬tlar.

(18)

Güç Ç¬kt¬s¬

De…nitions

(Kalp hacmi) (At¬¸s oran¬)=VA₁ olup,

(At¬¸s oran¬)∝ L²/L³ =1/L elde edilir. "Bebeklerin kalp at¬¸s¬daha h¬zl¬d¬r."

(19)

Güç Ç¬kt¬s¬

(iii) Kas ve kemiklerdeki bask¬ya göre k¬s¬tlamalar: Ko¸sma an¬nda, kaslar baca¼g¬n kinetik enerjisine e¸sit olan bir i¸s yapmak zorundad¬r.

Basitlik için baca¼g¬n a¼g¬rl¬¼g¬n¬n ayakta topland¬¼g¬n¬kabul edelim.

T = kaslardan gelen kuvvet

d = kaslar taraf¬ndan hareket edilen uzakl¬k olsun. Böylece,

Td = ¹ 2mV²

(Kas¬n yapt¬¼g¬i¸s) = (kinetik enerji)

olur. T kas ve eklemlerin dayanma gücü ile s¬n¬rl¬d¬r ve böylece T ∝ L² dir. Buradan, L³ ∝ L³V²,yani V boyut ile de¼gi¸smez.

Kaslar¬n kas¬lmas¬için geçen zaman t olsun. Böylece, tV ∝ Lolup, t ∝ L/V ∝ Ldir. O halde kas¬n güç ç¬kt¬s¬= Td /t ∝ L²L/L=L² olur.