SONUÇ YAYINLARI. 9. SINIF I. Dereceden Denklemler Eşitsizlikler Mutlak Değer

(1)

9. S INIF

(2)

SONUÇ YAYINLARI

9. SINIF

I. Dereceden Denklemler Eşitsizlikler Mutlak Değer

Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması, yayımlanması

ve depolanması yasaktır.

Bu kitabın tüm hakları, Etkin Sonuç Yayıncılık Mat. Dağ. Eğt. San. Tic. Ltd. Şti.'ne aittir.

Baskı Tarihi Ağustos – 2013

Baskı – Cilt Tuna Matbaacılık A.Ş.

Bahçekapı Mahallesi 2460. Sokak Nu.:7 06370 Şaşmaz / ANKARA Tel: (0 312) 278 34 84 (pbx)

Belgeç: (0 312) 278 30 46 www.tunamatbaacilik.com.tr

Dizgi – Grafik

Sonuç Yayınları Dizgi Servisi

Ana Dağıtım

Necatibey Cad. Oyak İş Merkezi 51/19 Çankaya / ANKARA

Tel: (0 312) 229 02 81

Cep: (0 533) 215 06 84

(3)

GERÇEK SAYILAR ... 5

BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER ... 13

BASİT EŞİTSİZLİKLER ... 22

MUTLAK DEĞER ... 38

DENKLEM SİSTEMLERİ ... 58

BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM VE EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİNİN ANALİTİK DÜZLEMDE ÇÖZÜMÜ ... 64

İ Ç İ N D E K İ L E R

GERÇEK SAYILAR ... 70

TEST I. DERECEDEN DENKLEMLER ... 72

TEST 1 , TEST 2 BASİT EŞİTSİZLİKLER ... 76

TEST 1 , TEST 2 , TEST 3 MUTLAK DEĞER ... 82

TEST 1 , TEST 2 , TEST 3 , TEST 4 DENKLEM SİSTEMLERİ ... 90

TEST BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM VE EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİNİN ANALİTİK DÜZLEMDE ÇÖZÜMÜ ... 92

TEST

(4)

(5)

1. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Her doğal sayı bir tam sayıdır.

B) Sıfır bir tam sayıdır.

C) Her tam sayı bir doğal sayıdır.

D) En küçük doğal sayı sıfırdır.

E) Her pozitif doğal sayı bir sayma sayısıdır.

2. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Her sayma sayısı bir doğal sayıdır.

B) Her tam sayı bir sayma sayısıdır.

C) Her tam sayı bir rasyonel sayıdır.

D) Her rasyonel sayı bir gerçek ( reel ) sayıdır.

E) Her irrasyonel sayı bir gerçek ( reel ) sayıdır.

Gerçek Sayılar - I Örnek

, , , , , , , , , ,

A 6 16 3 2

7 3 0 5 4 2 3 4 r

= -( - 2

kümesindeki elemanlardan a) hangileri doğal sayıdır?

b) hangileri tam sayıdır?

c) hangileri rasyonel sayıdır?

d) hangileri irrasyonel sayıdır?

Rakam: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } kümesinin her bir elemanına rakam denir.

Doğal Sayı ( N ): { 0, 1 ,2, …} kümesinin her bir elema- nına doğal sayı denir.

Sayma Sayısı ( N⁺ ) : { 1, 2, …} kümesinin her bir ele- manına sayma sayısı denir.

Z^– Z⁺

Tam Sayı ( Z ) : {…, – 2, – 1, 0, 1, 2, …}

kümesinin her bir elemanına tam sayı denir.

Negatif Tam sayı ( Z ^– ) : {…,– 3 – 2, – 1 } kümesinin her bir elemanına negatif tam sayı denir.

Pozitif Tam sayı ( Z ⁺ ) : { 1, 2, 3, … } kümesinin her bir elemanına pozitif tam sayı denir.

Rasyonel Sayı ( Q ) : a ve b birer tam sayı olmak üzere, b

a şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir.

| ı

Q b

a a ve b tam say ve b 0≠

=( 2

Örneğin, ,4 , , , , , , 3

3 7

5 2

3 8

4

12 2 0 3

- - - sayıları bi-

rer rasyonel sayıdır.

İrrasyonel Sayı ( Q' ) : Sayı doğrusu üzerinde b a şek-

linde yazılamayan sayılara ya da rasyonel olmayan sayılara irrasyonel sayı denir. Q' veya I ile gösterilir.

Örneğin; 2, 3+1 2, - 5,³ 5, , er sayıları birer irrasyonel sayıdır.

Gerçek ( Reel ) Sayılar Kümesi ( R ) : Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi olan kümeye gerçek ( reel ) sayılar kümesi denir. Reel sayı- lar kümesi Q ∪ Q' = R ile ifade edilir.

Örneğin; 3 4, , 5, , , , e

3 3 2

2 r

- - sayıları reel

sayılardır.

Çözüm

a) 3, 0 ve 5 doğal sayıdır.

b) – 6 , - 16 = – 4 , 3, 0, 5 tam sayıdır.

c) – 6, - 16 = – 4, 3, 2

7 , 0, 5, ,3 4 rasyonel sayıdır.

d) 3 4 2, ve π irrasyonel sayıdır.

TEST - 1

sonuç yayınları

1. C 2. B

(6)

Gerçek Sayılar - II

➣

Sayı kümelerini aşağıdaki Venn şemasıyla göste- rebiliriz.

R

Q' N⁺

ZN Q

Şekilde de görüldüğü gibi N ⁺ ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ve Q' ⊂ R dir.

Q ∩ Q' = ∅ ve Q ∪ Q' = R dir.

Pozitif Gerçek Sayılar : ( R⁺ = ( 0, ∞ ) ) : Sıfırdan bü- yük olan gerçek sayılara pozitif reel sayılar denir ve R⁺ şeklinde gösterilir.

R ⁺ = { x : x > 0, x ∈ R }

0 ∞

Negatif Gerçek Sayılar : ( R^– = ( –∞, 0 ) ) Sıfırdan kü- çük olan gerçek sayılara negatif reel sayılar denir ve R ^– ile gösterilir.

R^– = { x : x < 0, x ∈ R }

–∞ 0

➣

Sıfır sayısı pozitif ya da negatif değildir.

Örnek 1

2 sayısının rasyonel sayı olmadığını gösterelim.

Çözüm

a ile b pozitif ve aralarında asal iki sayı olsun.

Eğer 2 rasyonel sayı ise b

2 =a şeklinde yazıl- ması gerekir.

b .

a a b

a b

2 2

( ( (

= =

=

_ i _ i

( Her iki tarafın karesini alalım. )

2b² çift olduğundan a² çift olur. Bu durumda a çift olacağından a = 2k ( k ∈ Z ) şeklinde yazabiliriz.

⇒ ( 2k )² = 2b²

⇒ 4k² = 2b²

⇒ 2k² = b² dir.

2k² çift olduğundan b² çift olur. Bu durumda b sa- yısı da çift olur.

O halde, a ve b çift sayı olduğundan a ile b arala- rında asal değildir.

Bu ise başlangıçtaki kabulümüz ile çelişir.

Buna göre, 2 sayısı b

a şeklinde yazılamadığı için rasyonel sayı değil, irrasyonel bir sayıdır.

Örnek 2

Sayı doğrusu üzerinde 2 sayısına karşılık gelen noktayı pergel ve gönye yardımı ile gösterelim.

Çözüm

1 2 3

44 44 4 4 44 44 4 4

2

O A R

C B

0 1 1 1,5 2

1

Şekilde | AO | = | AB | = 1 br olan ve [ AO ] kenarı sayı ekseni üzerinde olan dik üçgeni düşünelim. Pi- sagor teoreminden | OB |² = 1² + 1² = 2 olduğundan

|OB|= 2 olur.

Pergelimizin sivri ucunu O noktasına koyup, | OB | uzunluğunda açıp bir yay çizelim. Bu yayın sayı eksenini kestiği nokta C olsun.

|OB| |= OC|= 2 olur. B noktasının eksene değdiği nokta, sayı doğrusunda 2 sayısına karşılık gelen noktadır.

(7)

Örnek 1

Sayı doğrusu üzerinde 3 noktasına karşılık gelen noktayı pergel ve gönye yardımı ile göste- relim.

Çözüm

Bir önceki örnekte 2 noktasını bulmuştuk.

1 2 3

44 44 4 4 44 44 4 4

2

O A R

B

0 1 1 C1,5 2

1

2 noktasından faydalanarak |OC|= 2 br ,

|CB|=1 br ve | OC | ^ | CB | olacak şekilde O C&B çizelim.

1 2 3

444 444 444 444

3

3 2

O C R

B

D

0 1 2

1

|OC|= 2br ve |CB|=1br olduğundan Pisagor teoremi uygulanırsa, |OB|²=_ 2i²+1²=3 olup

|OB|= 3 olur. Pergelin sivri ucunu O noktasına koyup, | OB | uzunluğunda açıp bir yay çizelim. Bu yayın sayı eksenini kestiği nokta D olsun. | OB | = | OD |

= 3 olur. B noktasının eksene değdiği nokta sayı doğrusunda da 3 sayısına karşılık gelen noktadır.

Örnek 2

4 sayısını sayı doğrusu üzerinde gösterelim.

Çözüm

1 2

3

444 444 444 444

4

3

O R

C D B

E

0 1 2

1

Yukarıdaki şekilde olduğu gibi |OD|= 3 br ,

| DB | = 1 br olacak şekilde OBD&

çizildiğinde pergelin sivri ucunun O noktasına koyup, | OB | uzunlu- ğunda açıp bir yay çizdiğimizde sayı eksenini kestiği nokta E olsun. |OB| |= OE|= 4=2br olur. E noktası sayı doğrusunda 4=2 sayısına karşılık gelen noktadır.

Gerçek Sayılar - III

(8)

Gerçek Sayılarda Toplama İşlemi + : R x R → R

( x, y ) → + ( x, y ) = x + y şeklinde tanımlanır.

Toplama İşleminin Özellikleri

1) Kapalılık Özelliği : Her x, y ∈ R için x + y ∈ R dir.

2) Değişme Özelliği : Her x, y ∈ R için x + y = y + x dir.

3) Birleşme Özelliği : Her x, y, z ∈ R için ( x + y ) + z = x + ( y + z ) dir.

4) Birim Eleman Özelliği : Her x ∈ R için x + 0 = 0 + x = x dir.

5) Ters Eleman Özelliği : Her x ∈ R için x + ( – x ) = ( – x ) + x = 0 dır.

6) Sadeleştirme Özelliği : Her x, y, z ∈ R için x + z = y + z ise x = y dir.

➣ Toplama işleminin birim elemanı 0 dır.

➣ Toplama işleminde x in tersi – x tir.

Gerçek Sayılarda Çarpma İşlemi

.

: R x R → R

( x, y ) →

.

( x, y ) = x

.

y şeklinde tanımlanır.

Çarpma İşleminin Özellikleri

1) Kapalılık Özelliği : Her x, y ∈ R için x . y ∈ R dir.

2) Değişme Özelliği : Her x, y ∈ R için x . y = y . x dir.

3) Birleşme Özelliği : Her x, y, z ∈ R için ( x . y ) . z = x . ( y . z ) dir.

4) Birim Eleman Özelliği : Her x ∈ R için x . 1 = 1 . x = x dir.

5) Ters Eleman Özelliği : Her x ∈ R – { 0 } için x . x^{– 1} = x^{– 1} . x = 1 dir.

6) Yutan Eleman Özelliği : Her x ∈ R için x . 0 = 0 . x = 0 dır.

7) Sadeleştirme Özelliği : Her x, y, z ∈ R – { 0 } için x . z = y . z ise x = y dir.

8) Çarpma İşleminin Toplama İşlemi Üzerine Dağılma Özelliği : Her x, y, z ∈ R için x . ( y + z ) = x . y + x . z ve ( y + z ) . x = y . x + z . x dir.

➣ Çarpma işleminin birim elemanı 1 dir.

➣ Çarpma işleminde x in tersi x ₁ x1

- = dir. ( 0 hariç ) ➣ Çarpma işleminin yutan elemanı 0 dır.

Gerçek Sayılar - IV

(9)

Aşağıda verilen ifadelerde boş bırakılan yerleri doldurunuz.

1) R, R …

3 1

5 3 2

3 1

5 ( 3 2

! ! !

- -

+

2) 3 …

1+ -_ 2i= -_ 2i+

3) 3 2 3 …

1 3 2

+ -<_ i+ F=: + -_ iD+

4) 3+_…+4i=_ 3+ 5i+…

5) 5 … 2

1 4 2

… 1 +d + n=_ + i+

6) … 4 3

4 + =3

7) … 4

5 4 + -d n= -d 5n

8) 7 …

5+ =0

9) 4 R, R · …

3

6 13

4 3

6 ( 13

! ! !

10) 3. 7=…. 3

11) 4 . [ 3 . ( – 2 ) ] = [ 4 . 3 ] . …

12) 3_ 7·…i=_…· 7i. 5

13) …· 74 7 - = -4

d n d n

14) _- 5i·…=1

15) 2 ·…

3 =0

d n

16) 5 2. 3 .

1 3 3 3

1 … 5

- - = - - +

d n d n

17) ·…

2 3

3

1 4 4

3

+ - = - + 1

f p

18) 7 3

5

2 2 2 5

2

7

·…+ + = + +…· 3

d n d n

Gerçek Sayılar - V

(10)

➣ a sayısı b sayısına eşit değilse " a ≠ b " biçimin- de yazılır.

a ≠ b ise a > b , " a büyüktür b den" ya da a < b , " a küçüktür b den "

şeklinde olur.

➣ Gerçek sayı ekseninde herhangi bir sayının sa- ğında bulunan sayılar daima o sayıdan büyük, solunda bulunan sayılar da daima o sayıdan kü- çüktür.

Aralık Kavramları

➣ Kapalı Aralık :

a ile b reel sayılar ve a < b olsun. a ve b sayıları ile bu sayıların arasındaki tüm reel sayıları kapsayan küme [ a, b ] veya a ≤ x ≤ b , x ∈ R şeklinde gösterilir.

Böyle aralıklara kapalı aralık denir.

[ a, b ] aralığı sayı doğrusunda aşağıdaki gibi gösterilir.

a [a, b] b

[ a, b ] aralığının uzunluğu b – a birimdir.

➣ Açık Aralık :

a ile b reel sayılar ve a < b olsun. [ a, b ] kapalı ara- lığının uç noktalarının ikisi de bu aralıktan çıkarılırsa elde edilen yeni aralığa açık aralık denir. ( a, b ) veya a < x < b , x ∈ R şeklinde gösterilir.

( a, b ) aralığı sayı doğrusunda aşağıdaki gibi gösterilir.

a (a, b) b

➣ Yarı Açık ( veya Yarı Kapalı ) Aralık :

a ile b reel sayılar ve a < b olmak üzere, [ a, b ] kapalı aralığının uç noktalarından herhangi biri çıkarılırsa elde edilen yeni aralığa yarı açık ( veya yarı kapalı ) aralık denir. a noktası çıkarılırsa ( a, b ] veya a < x ≤ b , x ∈ R aralığı elde edilir. Sayı doğrusunda aşağıdaki gibi gösterilir.

a (a, b] b

b noktası çıkarılırsa [ a, b ) veya a ≤ x < b , x ∈ R aralığı elde edilir.

a [a, b) b

➣ Sınırsız Aralık :

En az bir ucu + ∞ veya – ∞ olan aralıklardır.

a) _a ( a, ∞ ) = { x : x > a, x ∈ R }

b) _a [a , ∞ ) = { x : x ≥ a , x ∈ R }

c) a ( – ∞ , a ) = { x : x < a , x ∈ R }

d) _a ( – ∞ , a ] = { x : x ≤ a , x ∈ R }

e) ( – ∞ , ∞ ) = R dir.

Gerçek Sayılar Kümesinde Aralıklar - I

(11)

1. [ – 1, 5 ] aralığındaki tam sayıların toplamı kaçtır?

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

2. ( – 3, 4 ) aralığındaki tam sayıların toplamı kaçtır?

A) – 4 B) – 3 C) 0 D) 3 E) 4

3. ( – 2, 6 ] aralığındaki tam sayıların toplamı kaçtır?

A) 21 B) 20 C) 19 D) 18 E) 17

4. 2 ≤ x ≤ 6 aralığının sayı doğrusu üzerindeki gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

2 6

A) 0

2 6

B) 0

2 6

C) 0

2 6

D) 0

2 6

E)

5. – 1 < x ≤ 4 aralığının sayı doğrusu üzerindeki gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

–1 4

A) –1 4

–1 4 –1 4

B)

C) D)

–1 4

E) Örnek

[ – 5, 2 ) aralığındaki tam sayıların toplamı kaçtır?

A) – 14 B) – 12 C) – 10 D) – 8 E) – 6

Çözüm

x ∈ [ – 5, 2 ) ise – 5 ≤ x < 2 dir. [ – 5, 2 ) aralığını sayı doğrusu üzerinde gösterirsek

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2

Bu durumda x in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı

= ( – 5 ) + ( –4 ) + ( – 3 ) + ( – 2 ) + ( – 1 ) + 0 + 1 = – 14 tür.

Cevap A TEST - 2

1. E 2. D 3. B 4. B 5. C Gerçek Sayılar Kümesinde Aralıklar - II

(12)

1. A = [ – 3, 4 ) ve B = ( – 2, 5 ]

olduğuna göre, A ∩ B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) ( – 3, 5 ) B) [ – 3, 5 ] C) ( – 2, 4 ) D) ( – 2, 4 ] E) [ – 2, 4 )

2. A = { x | 2 ≤ x < 7, x ∈ R } B = ( – 1, 4 )

olduğuna göre, A ∪ B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) ( – 1, 2 ] B) [ 2, 4 ) C) ( 2, 4 ) D) ( 4, 7 ) E) ( – 1, 7 )

3. A = { x | – 5 ≤ x < 4 , x ∈ R } B = { x | – 1 < x ≤ 5 , x ∈ R }

olmak üzere, A – B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) [ – 1, 4 ) B) ( 4, 5 ] C) ( – 5, – 1 ) D) [ – 5, – 1 ] E) [ – 5, – 1 )

4. A = [ 2, 5 ) ve B = ( 1, 7 ]

olduğuna göre, B – A aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

A) ( 1, 2 ) B) ( 5, 7 ] C) [ 2, 5 ] D) (1, 2 ) ∪ [ 5, 7 ]

E) ( 1, 2 ] ∪ ( 5, 7 ]

5. A = ( – ∞ , 3 ) ve B = [ – 3, 7 ] olduğuna göre, A ∪ B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) ( – ∞, 7 ) B) ( – ∞, 7 ] C) ( – 3, 3 ) D) ( 3, 7 ] E) ( – ∞, – 3 )

6. A = { x | x ≥ – 2 , x ∈ R } ve B = ( – 4, 4 ] olduğuna göre, A – B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) ( 4, ∞ ) B) [ 4, ∞ ) C) ( – 4, ∞ ) D) [ – 2, 4 ] E) [ – 2, – 4 ] ∪ ( 4, ∞ ) Örnek

A = ( 1, 4 ) ve B = [ 0, 3 ] olduğuna göre, a) A ∪ B aralığını bulunuz.

b) A ∩ B aralığını bulunuz.

c) A \ B aralığını bulunuz.

Çözüm

A = ( 1, 4 ) = { x | 1 < x < 4 , x ∈ R } B = [ 0, 3 ] = { x | 0 ≤ x ≤ 3 , x ∈ R }

0 1 2 3 4

a) A ∪ B = { x | x ∈ A veya x ∈ B , x ∈ R }

= { x | 0 ≤ x < 4 , x ∈ R } b) A ∩ B = { x | x ∈ A ve x ∈ B , x ∈ R }

= { x | 1 < x ≤ 3 , x ∈ R }

c) A \ B = { x | x ∈ A ve x ∉ B , x ∈ R }

= { x | 3 < x < 4 , x ∈ R } bulunur.

TEST - 3

1. C 2. E 3. D 4. D 5. B 6. A Gerçek Sayılar Kümesinde Aralıklar - III

(13)

1. ( a + 1 ) x² + x + 5 = 0

denklemi x değişkenine bağlı birinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem olduğuna göre, a kaçtır?

A) – 2 B) – 1 C) 1 D) 2 E) 3

2. x değişkenine bağlı birinci dereceden bir bilinmeyenli

( 2m – 4 ) x² + 2x – m = 0

denklemini sağlayan x değeri kaçtır?

A) – 4 B) – 2 C) – 1 D) 1 E) 4

3. m bir reel sayı olmak üzere, ( 2m + 2 ) . x + ( m – 3 ) . y = 8

denklemi x değişkenine bağlı birinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem olduğuna göre, m kaçtır?

A) – 3 B) – 2 C) – 1 D) 2 E) 3

4. a bir reel sayı olmak üzere,

x değişkenine bağlı birinci dereceden bir bilinmeyenli ( a + 2 ) x = ( 2a – 4 ) y + a + 6 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangsidir?

A) { – 2 } B) { – 1 } C) { 0 } D) { 1 } E) { 2 } Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem

Tanımı Örnek 1

m bir reel sayı olmak üzere,

x değişkenine bağlı birinci dereceden bir bilinmeyenli ( m + 3 ) x² + ( m – 1 ) x = 8 denklemini sağlayan x değeri kaçtır?

A) – 2 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5

Çözüm

a ≠ 0 ve a, b birer reel sayı olmak üzere,

ax + b = 0 denklemine birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

Buna göre, verilen denklemin birinci dereceden bir bilinmeyenli olabilmesi için x ² li terimin olmaması gerekir.

( m + 3 ) x² + ( m – 1 ) x = 8 123

0

m = – 3 için ( – 3 + 3 ) x² + ( – 3 – 1) x = 8 – 4x = 8 ⇒ x = – 2 bulunur.

Cevap A

Örnek 2

a bir reel sayı olmak üzere,

x değişkenine bağlı birinci dereceden bir bilinmeyenli ( a + 1 ) x + ( a – 1 ) y = 4 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) { – 4 } B) { – 2 } C) { 1 } D) { 2 } E) { 4 }

Çözüm

a ve b birer reel sayı olmak üzere,

ax + b = 0 denkleminin çözüm kümesini bulabilmek için x yalnız bırakılır.

ax + b = 0 ⇒ x = a

-b ⇒ Çözüm Kümesi = a -b

' 1

123

Ç.K.

Buna göre, verilen denklemin x değişkenine bağlı birinci dereceden bir bilinmeyenli olabilmesi için y li terimin olmaması gerekir. y li terimin olmaması için y li terimin katsayısı 0 olmalıdır. Yani,

a – 1 = 0 ⇒ a = 1 olur.

( a + 1 ) x + ( a – 1 ) y = 4

a = 1 için ( 1 + 1 ) x + ( 1 – 1 ) y = 4

⇒ 2x = 4

⇒ x = 2

⇒ Ç.K. = { 2 } bulunur.

Cevap D TEST - 4

1. B 2. D 3. E 4. E

(14)

1. 3x – 7 = 11

denkleminin doğal sayılar kümesindeki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) ∅ B) { 6 } C) { 3, 6 }

D) { 0, 3, 6 } E) N

2. " Bir sayının 2 katının 7 fazlası 3 ise bu sayı kaçtır? "

sorusunun doğal sayılardaki çözüm kümesi aşa- ğıdakilerden hangisidir?

A) { – 2 } B) { 0 } C) { 2 } D) { – 2, 2 } E) ∅

3. "3 katının 5 fazlası, 2 olan sayı kaçtır?"

sorusunun tam sayılar kümesindeki çözüm kü- mesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) ∅ B) { – 1 } C) { 1 } D) { – 1, 1 } E) { – 1, 0, 1 }

4. 3 . x + a = 10 denkleminin rasyonel sayılar kü- mesindeki çözüm kümesi 3

( 2 olduğuna göre, 8 a kaçtır?

A) – 2 B) – 1 C) 0 D) 1 E) 2

5. 2 ( x + 5 ) = 4x – 3 denkleminin rasyonel sayılar kümesindeki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) ∅ B)

4

( 2 3 C)

2 (132

D) 4

-13

( 2 E) 4

-1

( 2

6. 3 . ( 2x + 1 ) = 4 ( 3x – 2 ) denkleminin rasyonel sayı- lar kümesindeki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 3

-11

( 2 B) 6

-11

( 2 C) 1

3 ( 12 D) 1

6

( 12 E) ∅

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Çözüm Kümesi Örnek

4x – 5 = 2x + 4

denkleminin tam sayılardaki ve rasyonel sayı- lardaki çözüm kümesi sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2 ve

9

Q

( 2 B) ve 2

Q

(-92

C) ve

2

Q

_{( 2}9 D)

∅

^{ve R}

E)

∅

^ve

∅

Çözüm 4x – 5 = 2x + 4

⇒ 2x = 9

⇒ x = 29 olur.

2 Z

9g olduğundan tam sayılardaki çözüm kümesi : ∅

2 Q

9! olduğundan rasyonel sayılardaki çözüm kü-

mesi : 2

( 2 bulunur.9

Cevap C TEST - 5

1. B 2. E 3. B 4. E 5. C 6. D

(15)

1. 2 – 5x = –13

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2. 4 . ( x – 2 ) = 5 . ( x + 1 )

A) – 15 B) – 13 C) – 10 D) – 8 E) – 5

3. 3 . ( 2 – x ) = – ( x + 4)

A) 5 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10

4 2 . ( x + 1 ) – (x – 3 ) = 5 – x

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

5. 4 . ( 2x – 1 ) + 2 . ( x – 8 ) = 10 denklemini sağlayan x değeri kaçtır?

A) – 5 B) – 3 C) 2 D) 3 E) 5

6 a ≠ 5 olmak üzere, ( a – 5 ) x = 2a – 10

A) – 3 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2 Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli

Denklemlerin Çözümü - I Örnek

2 . ( x – 3) – 3 . ( 1 – x ) = 2x – 3 denklemini sağlayan x değeri kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Çözüm

Parantez dışındaki sabit sayıları parantezin içine da- ğıtalım.

( T erimler eşitliğin diğer tarafına geçerken işaret değiştirir. )

2 . ( x – 3 ) – 3 ( 1 – x ) = 2x – 3

⇒ 2x – 6 – 3 + 3x = 2x – 3

⇒ 5x – 9 = 2x – 3

+ 9 –2 x

⇒ 5x – 2x = – 3 + 9

⇒ 3x = 6 ⇒ x 3 3

3

= 6 ⇒ x = 2 bulunur.

Cevap B TEST - 6

1. C 2. B 3. A 4. A 5. D 6. E

(16)

1.

x 10

9

= 15

denklemini sağlayan x kaçtır?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 15

2. x x

4 1

3

+ =

A) – 3 B) – 2 C) –1 D) 1 E) 3

3.

x x

6 2

3 1

- =

-

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

4. x 3 x

1 2

- + =

A) 2

7 B) 2

5 C) 2

3 D) 4

3 E) 3

4

5

x 4

1 1

5 4 +

=

denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) { – 2 } B) {–1} C) 2

' 1 D) {1} 1 E) 2 ' 13

6 ⁽ ^x⁾ ⁽ ^x ⁾

2

1 3

3

5 2 1

- -

= - +

A) – 2 B) – 1 C) 0 D) 1 E) 2 Örnek

x x

2 1

3 2

- = +

eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

Çözüm b

a d

= c ise a . d = b . c dir.

x x

2 1

3 2

- = +

⇒ 3 . ( x – 1) = 2 . (x + 2 ) ⇒ 3x – 3 = 2x + 4 ⇒ 3x – 2x = 4 + 3 ⇒ x = 7 bulunur.

1. A 2. E 3. B 4. B 5. D 6. E

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Çözümü - II

(17)

1. x x 2+ 4= 12

A) 6 B) 9 C) 12 D) 15 E) 16

2.

,

x x

2 3 0 1

- = 1

olduğuna göre, x kaçtır?

A) 24 B) 30 C) 48 D) 60 E) 72

3. x x

2 1

4

3 1

+ - -

= olduğuna göre, x kaçtır?

A) –1 B) 5

1 C) 1 D)

5

13 E) 13

4. x x

4 1

3 2

2

- = -1-

A) 2 -5 B)

2 -3 C)

2

-1 D) – 1 E) 1

5 x 1 x

3

2 2

1 4 7

+ +

+ =

A) – 2 B) –1 C) 2

-1 D) 0 E) 1

6 x 1 x

2 1

3 10

- -

- =

A) 2

' 1 B) 5 2

' 1 C) { 2 } D) { 1 } E) 3 2 ' 11 Örnek

.x 1 x

2

3 1

5 3

+ - -

^ h =

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Çözüm

Paydaları eşitleyerek denklemi düzenleyelim,

x x

2

3 3

5

1 3

( )5 ( )2

+ - -

=

⇒ x x

10

15 15

10

2 2 3

+ - -

=

⇒ x x

10

15 +15-2+2 3

=

⇒ x

10

17 13

1 3

+ = ⇒ 17x + 13 = 30

⇒ 17x = 17

⇒ x = 1 bulunur.

1. E 2. D 3. A 4. B 5. E 6. B Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli

Denklemlerin Çözümü - III

(18)

1.

1 x1

3 1

2 + -

=

A) 4

1 B)

2

1 C) 1 D) 3

2 E) 2

2.

x 6

3 6

4 2

- -

=

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3.

x

2 3

1 4 3

+ +

=

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

4.

x 1

5 1

1

6 2

+

- -

=

A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3

5.

x 1 x

1 2 3

3 10

12 2

+

+ +

=

A) – 3 B) – 1 C) 1 D) 2 E) 3 Örnek

1 x 1 6

3 4

+ +

=

A) 2

1 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Çözüm

Bu tip sorularda payda eşitlemesi yapmak yerine x li terimi içeren ifade eşitlikte yalnız bırakılmaya çalışılır.

1 x 1 6

3 4

+ +

= ⇒ 1 x3

6 3

+

=

⇒ 2=1+ x3

⇒ 1 3x

= ⇒ x = 3 bulunur.

1. A 2. C 3. D 4. B 5. E Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli

Denklemlerin Çözümü - IV

= =

3 2

(19)

1. x değişkenine bağlı, 3x + a = 2

denkleminin kökü –1 olduğuna göre, a kaçtır?

A) – 1 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5

2. x değişkenine bağlı, ax + 10 = 2x + a

denkleminin kökü 3 olduğuna göre, a kaçtır?

A) – 4 B) – 3 C) – 2 D) –1 E) 1

3.

x 1 x a

1 2

+ - 1

+ =

denklemini sağlayan x değeri – 2 olduğuna göre, a kaçtır?

A) – 2 B) – 1 C) 0 D) 1 E) 2

4.

x x x

a 2

1 1

2 3 + 2

+ -

+ =

denkleminin bir kökü { – 2, –1, 0, 1 } kümesinin bir elemanı olduğuna göre, a kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Örnek

a bir gerçel sayı olmak üzere,

x a x a

2 3 1

- + +

=

denkleminin kökü 2 olduğuna göre, a kaçtır?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

Çözüm

Denklemi sağlayan x değerine kök denir.

Dolayısıyla x = 2 yazıldığında eşitlik sağlanır.

a a

2 3

2 1

2

(3) (2)

- + +

=

⇒ a a

6

6 3

6

4 2

- 1

+ +

=

⇒ a a

6

6-3 +4+2 1

=

⇒ – a + 10 = 6 ⇒ a = 4 bulunur.

1. E 2. C 3. D 4. C Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli

Denklemlerde Kök Kavramı

(20)

1. a ve b birer gerçel sayıdır.

ax + b – 2 = 0

denkleminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı ol- duğuna göre, a + b toplamı kaçtır?

A) – 3 B) – 1 C) 1 D) 2 E) 3

2. a ve b birer gerçel sayıdır.

( a + 1 ) x = b – 4

denklemini sağlayan sonsuz sayıda x değeri ol- duğuna göre, a . b çarpımı kaçtır?

A) – 4 B) – 3 C) – 2 D) 3 E) 4

3. m ve n birer gerçel sayı olmak üzere, mx + n = 4x + 5

denkleminin x e bağlı sonsuz çözümü olduğuna göre, m – n farkı kaçtır?

A) – 3 B) – 1 C) 0 D) 1 E) 3

4. m ve n birer gerçel sayıdır.

m . ( 2 – x ) = nx + 4

denkleminin x e bağlı çözüm kümesi sonsuz elemanlı olduğuna göre, n kaçtır?

A) – 4 B) – 2 C) – 1 D) 1 E) 2

5. 2 . ( x + 6 ) + x = 3 . ( x + 4 )

A) { – 2} B) { – 3} C) { 0 } D) ∅ E) R

6.

x x

x x 1 2

1

3 6 4

+

- +

+

+ =

A) { 6 } B) ∅ C) R

D) R – { – 1 } E) R – { – 1, 4 } Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli

Denklemlerde Çözüm Kümesi Kavramı - I

Örnek

a ve b birer gerçel sayıdır.

ax – x = 3 + b

denkleminin x e bağlı çözüm kümesi sonsuz ele- manlı olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?

A) – 5 B) – 2 C) 3 D) 4 E) 5

Çözüm a, b ∈ R olmak üzere,

ax + b = 0 denkleminde a = b = 0 ⇔ çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır yani Ç.K. = R dir.

ax – x = 3 + b ⇒ ( a – 1 ) x = 3 + b

⇒ ( a – 1 ) x – b – 3 = 0₁₂₃ ₁₂₃

0 0

⇒ a = 1 ve b = – 3

⇒ a + b = – 2 bulunur.

1. D 2. A 3. B 4. B 5. E 6. D

(21)

1. a bir gerçel sayıdır.

( a – 2 ) x + 5 = 0

denkleminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, a kaçtır?

A) – 4 B) – 2 C) 0 D) 2 E) 4

2. 3 . ( x – 2 ) = 2 (x + 3 ) + x

A) { 1 } B) { 2 } C) { 3 } D) { 4 } E) ∅

3. x değişkenine bağlı ( a + 2 ) . x – 4 = 1

denkleminin tek çözümü olduğuna göre, a aşa- ğıdakilerden hangisi olamaz?

A) – 4 B) – 3 C) – 2 D) – 1 E) 0

4. x değişkenine bağlı 2ax + x = 3 . ( x – 4 )

denkleminin tek çözümü olduğuna göre, a aşa- ğıdakilerden hangisi olamaz?

A) – 2 B) – 1 C) 1 D) 2 E) 3 Örnek 1

a bir reel sayıdır.

a x + 1 = 2 x – b

denkleminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, aşağıda verilen ifadelerden hangisi doğru- dur?

A) a = 2 ve b ≠ – 1 B) a = 2 ve b = – 1 C) a ≠ 2 ve b ≠ – 1 D) a ≠ 2 ve b = – 1

E) a = 2 ve b ≠ 1

Çözüm a, b ∈ R olmak üzere,

ax + b = 0 denkleminde a = 0 ve b ≠ 0 ⇔ çözüm kümesi boş kümedir.

ax + 1 = 2x – b ⇒ ax – 2x + 1 + b = 0

⇒ ( a – 2 ) . x + b + 1 = 0

123 123

= 0 ≠ 0

⇒ a = 2 ve b ≠ – 1 bulunur.

Cevap A

Örnek 2

x değişkenine bağlı birinci dereceden bir bilinmeyenli

a . ( x + 1 ) = 3x + 5

denkleminin çözüm kümesi tek elemanlı olduğu- na göre, a aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 6

Çözüm

a, b ∈ R olmak üzere, ax + b = 0 denkleminde a ≠ 0 ⇔ çözüm kümesi tek elemanlıdır.

a . ( x + 1 ) = 3x + 5 ⇒ ax + a = 3x + 5

⇒ ax – 3x + a – 5 = 0

⇒ ( a – 3 ) x + a – 5 = 0 123

≠ 0

⇒ a – 3 ≠ 0

⇒ a ≠ 3 bulunur.

1. D 2. E 3. C 4. C Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli

Denklemlerde Çözüm Kümesi Kavramı - II

(22)

Burada eşitsizliğin özelliklerini vereceğiz. Daha sonraki sayfalarda tüm özellikler ayrı ayrı sorular üzerinde incelene- cektir.

1) a < b ve b < c ⇒ a < c dir.

Aşağıdaki boşluklara " < " ve " > " sembollerin- den uygun olanını yazınız.

a. 2 < 3, 3 < 6 ⇒ 2 … 6 b. – 1 < 4 , 4 < 8 ⇒ 8 … – 1 c. – 5 < – 3 , – 3 < – 1 ⇒ – 1 … – 5

2) Eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenir veya çıkarılır ise eşitsizliğin yönü değişmez.

a < b ise a + c < b + c a < b ise a – c < b – c

a. 3 < 5 ⇒ 3 + 4 … 5 + 4 b. – 4 < 1 ⇒ – 4 – 2 … 1 – 2 c. – 3 < – 2 ⇒ – 3 + 2 … – 2 + 2

3) Eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayı ile çarpılır- sa veya bölünürse eşitsizliğin yönü değişmez.

c > 0 ve a 0 ve a < b ise ca

c

< b

Aşağıdaki boşluklara " <" ve " > " sembollerin- den uygun olanını yazınız.

3 < 8

a) 4 3 . 4 … 8 . 4

b) 2

7 3.2 .

7 82

… 7

c) 2

2 3

2

… 8

4) Eşitsizliğin her iki tarafı da negatif bir sayıyla çar- pılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.

c < 0 ve a b . c c < 0 ve a < b ise ca

c

> b

Aşağıdaki boşluklara " <" ve " > " sembollerin- den uygun olanını yazınız.

4 < 6

a) – 5 4 . ( – 5 ) … 6 . ( – 5 )

b) 2

-3 …

2 3 4

2 3 6

- -

d n d n

c) - 3 4._- 3i…6._- 3i Gerçek Sayılarda Eşitsizliğin Özellikleri - I

1) a. < b. > c. >

2) a. < b. < c. <

3) a. < b. < c. <

4) a. > b. > c. >

(23)

5) Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir.

a b ve c > d ⇒ a + c > b + d dir.

a. 3 < 5 ve 2 < 4 ise 3 + 2 … 5 + 4 b. – 1 > – 3 ve 3 > 1 ise – 1 + 3 … – 3 + 1 c. – 3 < 4 ve 6 > 5 ise – 3 + 5 … 4 + 6

6) a, b, c, d birer pozitif gerçek sayı olmak üzere, eşitsizlikler taraf tarafa çarpılabilir.

a b ve c > d ⇒ a . c > b . d dir.

a. 3 < 7 ve 4 < 5 ise 3 . 4 … 7 . 5 b. 4 > 3 ve 6 > 5 ise 4 . 6 … 3 . 5 c. 2 < 3 ve 5 > 4 ise 2 . 4 … 3 . 5

7) a . b > 0 ve a < b ⇒ a b1 1

>

a > b ⇒ a b1 1

< dir.

a. 3 < 4 ⇒ 3 1

4

… 1

b. – 3 > – 6 ⇒ 3 1

6

… 1

- -

c. 5 > 2 ⇒ 1 1 5… 2

8) 0 < x < 1 ise xⁿ < x ≠

≠ n n

0

f

1

p

x² < x ise 0 < x < 1

x < x² ise x < 0 veya x > 1 dir.

a. 2 1 ² d n … 2

d n1 b. 3

1 ³ d n … 1

d n3

c. 4

1 ² d- n … 4

-1

d n

Gerçek Sayılarda Eşitsizliğin Özellikleri - II

5) a. < b. > c. <

6) a. < b. > c. <

7) a. > b. < c. <

8) a. < b. < c. >

(24)

1. x reel sayı olmak üzere, 2x + 1 ≤ 13

eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) ( – ∞, 6 ) B) ( – ∞, 6 ] C) ( – 6, 6 ) D) ( – 6, ∞ ) E) [ 6, ∞ )

2. x doğal sayı olmak üzere, 3x –5 ≤ 4

A) { 0, 1 } B) { 2, 3 } C) { 0, 1, 2 } D) { 1, 2, 3 }

E) { 0, 1, 2, 3 }

3. 2x + 5 < 11 eşitsizliğini sağlayan en büyük x tam sayı değeri kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

4. x pozitif bir tam sayı olmak üzere, x

3

4 < x + 2

A) ∅ B) { 1, 2, 3 }

C) { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } D) { 1, 2, 3, 4, 5 } E) { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

5. x reel sayı olmak üzere, 3 . ( x + 2) > 2 . ( x – 1)

A) ( – 8, 0 ) B) [ 0, 8 ) C) ( – 8, ∞ ) D) [ – 8, ∞ ) E) R

6. x reel sayı olmak üzere, 2x – 3 ≥ x + 4

eşitsizliğini sağlamayan x değerlerinin kümesini belirten sayı doğrusu aşağıdakilerden hangisidir?

A) ₇ B) ₇

C) ₇ D) ₇

E) Basit Eşitsizlik Çözümü - I

Örnek

x reel sayı olmak üzere, x

3

4 +5 < x – 2

eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) ( – ∞, – 11 ) B) ( 0, 11 ) C) ( 0, 11 ] D) ( – 11, ∞ ) E) [ 11, ∞ )

Çözüm

a 0 ⇔ a . c < b . c

Verilen eşitsizliğin iki tarafını da 3 ile çarparsak . x

3

4 5

3 +

c m < 3 . ( x – 2 ) ⇒ 4x + 5 < 3x – 6

⇒ 4x – 3x < – 6 – 5

⇒ x < – 11 dir.

– 11

⇒ Ç. K. = ( – ∞, –11 ) bulunur.

1. B 2. E 3. C 4. D 5. C 6. B

(25)

1. x reel sayı olmak üzere, x

2 - < 3

A) ( – 6, ∞ ) B) ( – ∞, – 6 ) C) ( 6, ∞ ) D) ( – ∞, 6 ) E) ( – 6, 6 )

2. x reel sayı olmak üzere, – 3x +1 < 16

eşitsizliğinin çözüm kümesinin sayı doğrusu üze- rindeki gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

A) – 5 B) _{– 5}

C) _{– 5} D) _{– 5}

E) ₅

3. x reel sayı olmak üzere,

x x

2 1

4- #

A) ( – ∞, – 4 ] B) ( – ∞, – 4 ) C) ( – 4, 4 ) D) ( 4, ∞ ) E) [ – 4, ∞ )

4. x negatif reel sayı olmak üzere, – 2 . ( x + 3 ) ≤ 8

eşitsizliğinin çözüm kümesinin sayı doğrusu üze- rindeki gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

A) _{– 7} B)

– 7

C) _{– 7} ₀ D)

– 7 0

E) _{– 7} ₀

5. x 1 x 2

3+ # +4

eşitsizliğini sağlamayan en büyük x tam sayı değeri kaçtır?

A) – 20 B) – 19 C) – 18 D) – 16 E) – 13

6. x bir sayma sayısıdır.

2 x + 10 < 0

A) ∅ B) {1} C) { 1, 2 }

D) {1, 2, 3, 4 } E) N⁺ Basit Eşitsizlik Çözümü - II

Örnek

x reel sayı olmak üzere, 6 – 2x ≤ x + 3

eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) ( – ∞, 1 ) B) ( – ∞, 1 ] C) [ 1, ∞ ) D) ( 1, ∞ ) E) R

Çözüm 6 – 2x ≤ x + 3

6 – 3 ≤ x + 2x 3 ≤ 3x 1 ≤ x

1

Ç.K. = [ 1, ∞ ) bulunur.

Cevap C

TEST - 14

1. A 2. B 3. E 4. E 5. B 6. A

(26)

1. 2 < x – 1 ≤ 4

olduğuna göre, x in alabileceği doğal sayı de- ğerlerinin toplamı kaçtır?

A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 15

2. – 13 < 2x – 1 ≤ 9

eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x doğal sayı de- ğeri vardır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

3. x

4 3

2 <1

# -

olduğuna göre, x in alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

A) – 6 B) – 5 C) – 4 D) – 3 E) 2

4. – 20 < – 4x ≤ – 8

olduğuna göre, x in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3

5. 3 ≤ 4 – (2 + x ) < 10

eşitsizliğini sağlayan x değerlerinin çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

A) [ 1, 8 ] B) ( 1, 8 ) C) ( – 8, 1 ) D) ( – 8, – 1 ] E) [ 1, 8 ) Basit Eşitsizlik Çözümü - III

Örnek

1 x 4

3

12 #

- -

olduğuna göre, x in değer aralığı aşağıdakiler- den hangisidir?

A) [ – 10, 5 ) B) ( – 10, 5 ] C) ( – 10, 5 ) D) ( – 5, 10 ] E) [ – 5, 10 )

Çözüm

x i yalnız bırakmak için gerekli işlemleri yapalım.

3 . ( – 1 ) < . x 3 3 2-

≤ 3 . 4 ( Her tarafı 3 ile çaptık. )

– 3 < 2 – x ≤ 12 ( Her tarafa – 2 ekleyelim. )

– 5 < – x ≤ 10 ( Her tarafı – 1 ile çarpalım. )

5 > x ≥ – 10 olur. ( Negatif sayı ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir. )

⇒ Ç.K. = [ – 10, 5 ) bulunur.

1. C 2. E 3. B 4. E 5. D

(27)

1. x – 3 < 5 ≤ 2x + 1

eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi aşağıdaki- lerden hangisidir?

A) ∅ B) (2, 8 ) C) [ 2, 8 ) D) [ 2, 8 ] E) R

2. 5x – 10 ≤ 0 x ≥ – 1

eşitsizlik sistemine ait çözüm kümesinin sayı doğrusu üzerindeki gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

A) –1 2 B)

–1 2

C) _–1 ₂ D) _–1 ₂

E) –1

3. 3x – 7 ≤ x + 3 < 2x + 1

eşitsizliğinin doğal sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) { 0, 1, 2 } B) { 1, 2, 3 } C) { 2, 3, 4 } D) { 3, 4, 5 } E) { 2, 3, 4, 5 }

4. – 1 ≤ 2x + 3 3 . ( x – 1) ≤ 2x + 1

eşitsizlik sisteminin en geniş çözüm kümesi aşa- ğıdakilerden hangisidir?

A) ( – ∞, – 2] B) ( –2, 4 ) C) [ –2, 4 ) D) ( –2, 4 ] E) [ –2, 4 ] Basit Eşitsizlik Sistemleri

Örnek

2x – 1 < 3x + 2 ≤ 2x + 5

eşitsizliğini sağlayan x değerlerinin çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

A) ∅ B) ( – 3, 3 ]

C) ( –3, 3 ) D) ( – ∞, – 3 ] ∪ [ 3, ∞ ) E) R

Çözüm

a < b < c ⇔ a < b ve b < c dir.

2x – 1 < 3x + 2 ≤ 2x + 5

2x – 1 < 3x + 2 ve 3x + 2 ≤ 2x + 5 – 1 – 2 < 3x – 2x ve 3x – 2x ≤ 5 – 2

– 3 < x ve x ≤ 3

– 3 ve

3

– 3 3

Ç.K. = ( – 3, 3 ] bulunur.

1. C 2. A 3. D 4. E

(28)

1. x . y < 0 y . z > 0 z > 0

olduğuna göre, x, y, z nin işaretleri sırasıyla aşa- ğıdakilerden hangisidir?

A) –, +, + B) +, –, + C) –, +, – D) –, – , + E) +, +, –

2. x < 0 < y < z

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) x . y < 0 B) y – z < 0 C) x . y . z > 0 D) .

0 z <

x y E) z – x > 0

3. x < 0 y . x > z . x

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) y > z B) <

x y

x

z C) x . y < 0

D) x . z > 0 E) y < z

4. x + z < y + z x . z > y . z

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle yanlıştır?

A) y > 0 B) z < 0 C) <

z x

z y

D) x – y < 0 E) y – x + z > 0 Basit Eşitsizliklerde İşaret ve Sıralama - I

Örnek 1 x < 0 < y

A) x . y < 0 B) x – y < 0 C) yx 0

<

D) y x y+ 11

E) x . y > 0

Çözüm

a . b < 0 ⇔ a ile b zıt işaretli, a . b > 0 ⇔ a ile b aynı işaretlidir.

x < 0 ve y > 0 olduğundan x ve y zıt işaretlidir.

Yani x . y > 0 olamaz.

Cevap E

Örnek 2

x < y < 0 < z

A) zx z

1 y B)

x y

x

2 z C) x + z < y + z

D) x . z < y . z E) x . y < z . y

Çözüm

A. z > 0 ve x < y ise zx z 1 dir.y

B. x < 0 ve y < z ise xy x

> z tir.

C. x < y ise x + z < y + z dir.

D. z > 0 ve x < y ise x . z < y . z dir.

E. y < 0 ve x < z ise x . y > z . y dir.

Buna göre, E şıkkı yanlıştır.

Cevap E TEST - 17

1. A 2. C 3. E 4. C

(29)

1. a, b birer reel sayı ve a⁵ < 0

a . b³ > 0

olduğuna göre, b için aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

A) – 1 0 E) 0 < b < 1

2. x . y² < 0 x . y³ . z ⁴ > 0 x . z > 0

olduğuna göre, x, y ve z nin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

A) –, –, + B) –, +, + C) –, –, – D) +, –, + E) +, –, –

3. a² < a a . b > 0

olduğuna göre, aşağıdakilerden kaç tanesi daima doğrudur?

I. 0 < a < 1 II. b < 0 III. ( a – 1) . b < 0 IV. a³ < a²

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

4. x³ < 0 x . y < x . y²

A) x < 0 B) x . y < 0 C) 0 < y < 1 D) x – y < 0 E) y² < y³ Basit Eşitsizliklerde İşaret ve Sıralama - II

Örnek

x² . y < 0 ( z – y ) . y > 0 x . z³ < 0

olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

A) y < x < 0 < z B) z < x < 0 < y C) z < y < 0 < x D) x < 0 < z < y

E) x < 0 < y < z

Çözüm

i. x² . y < 0 ise y < 0 dır. ( x² > 0 )

ii. ( z – y ) . y > 0 ve y < 0 ⇒ z – y < 0 ⇒ z < y dir.

iii. z < y ve y < 0 olduğundan z < 0 dır.

⇒ x . z³ < 0 ve z < 0 ⇒ x > 0

⇒ z < y < 0 < x bulunur.

Cevap C

Örnek

x² < x ve x . y > y

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğru- dur?

A) x . y > 0 B) y² < y C) x – y > 0 D) –1 < x < 0 E) y > 0

Çözüm

x gerçel bir sayı olmak üzere, i. 0 < x < 1 ise x > x² > x³ > … ii. x > 1 ise x < x² < x³ < … iii. –1 < x < 0 ise x < x² < | x |

i. x² < x ise 0 < x < 1 dir.

ii. x < 1

x . y > y ise y < 0 dır.

⇒ y < 0 < x < 1 ⇒ y < x

⇒ y – x < 0 ⇒ x – y > 0 dır.

1. C 2. C 3. D 4. E Reel Sayılar kümesinin – 1, 0 ve 1

Kritik Noktalarına Göre Parçalanması

(30)

1. x ve y gerçel sayılardır.

–1 < x ≤ 2 – 3 ≤ y < 1

olduğuna göre, x + 2 y ifadesinin alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

A) – 5 B) – 3 C) 1 D) 3 E) 5

2. x ve y tam sayılardır.

– 2 < x < 5 – 3 < y ≤ 4

olduğuna göre, 3x – 2y ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

A) 8 B) 12 C) 16 D) 20 E) 24

– 3 ≤ x < 4 1 < y ≤ 4

olduğuna göre, x – 3y ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

A) – 15 B) – 12 C) – 9 D) – 6 E) – 3

4. x, y ∈ R ve z ∈ Z dır.

–1 < x < 2 1 ≤ y < 4 – 2 < z < 3

olduğuna göre, x + 2 y – z ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 15 Reel Sayı Aralıklarını Toplama

Örnek 1

x ve y gerçel sayılardır.

– 2 < x ≤ 4 1 ≤ y ≤ 5

olduğuna göre, 2x – y ifadesinin değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

A) ( – 9, 7 ) B) ( – 9, 0 ) C) ( 8, 9 ) D) ( – 18, 8 ) E) ( – 9, 7 ]

Çözüm

– 2 < x ≤ 4 , 1 ≤ y ≤ 5

2 . ( – 2 ) < 2x ≤ 2 . 4 , ( – 1 ) . 1 ≥ ( – 1 ) . y ≥ ( – 1 ) . 5 – 4 < 2x ≤ 8 , – 5 ≤ – y ≤ – 1

– 4 < 2x ≤ 8 – 5 ≤ – y ≤ – 1

– 9 < 2x – y ≤ 7 ⇒ Ç.K. = ( – 9, 7 ] Cevap E

Örnek 2

x ve y birer tam sayıdır.

–1 ≤ x < 3 – 4 < y ≤ 2

olduğuna göre, 2x – 3 y ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 13

Çözüm

–1 ≤ x < 3 ve x ∈ Z ise x = –1, 0 , 1, 2 olabilir.

– 4 < y ≤ 2 ve y ∈ Z ise y = – 3, – 2, –1, 0, 1, 2 olabilir.

2x – 3y ifadesinin en büyük değerini bulmak için x i büyük, y yi küçük seçmeliyiz.

Bu durumda x = 2 ve y = – 3 alınırsa, 2x – 3 y = 2 . 2 – 3 . ( – 3 )

= 13 olarak bulunur.

Cevap E

TEST - 19

1. B 2. C 3. A 4. B

(31)

1. – 1 < x < 2 olmak üzere, y = x – 1

ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

A) – 2 B) – 1 C) 0 D) 1 E) 2

2. – 3 < x ≤ 2 y = 2x + 1

olduğuna göre, y nin en geniş çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

A) ∅ B) ( 0, 5 ) C) ( – 5, 5 ) D) ( – 5, 5 ] E) ( 0, 5 ]

3. a² < a olmak üzere, 2a + 3

ifadesinin kaç farklı tam sayı değeri vardır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

4. – 2 ≤ x < 4 x + y + 1 = 0

olduğuna göre, y nin alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

A) – 3 B) – 4 C) – 5 D) – 6 E) – 7

5. –1 ≤ 2x + 1 < 5 y – x – 3 = 0

olduğuna göre, y nin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

İki Değişken İçeren Basit Eşitsizlikler Örnek

x, y ∈ R olmak üzere, 4 < y < 19 3x – y = 5

olduğuna göre, x sayısının değer aralığı aşağı- dakilerden hangisidir?

A) ( 3, 8 ) B) ( 2, 6 ) C) ( 3, 7 ) D) ( 2, 8 ) E) ( 3, 6 )

Çözüm

3x – y = 5 ise y = 3x – 5 dir.

4 < y < 19 ⇒ 4 < 3x – 5 < 19 olur.

Basit eşitsizliği çözersek, 4 < 3x – 5 < 19

⇒ 9 < 3x < 24

⇒ 3 < x < 8

⇒ x ∈ ( 3, 8 ) bulunur.

1. B 2. D 3. B 4. A 5. C

(32)

1. – 3 < x < 3 – 4 ≤ y < 2

olduğuna göre, x . y çarpımının değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

A) ( –12, 12 ) B) ( 6, 12 ) C) [ – 12, 12 ] D) ( – 6, 12 ) E) [ – 6, 12 )

– 8 < x < 7 – 3 < y < 2

olduğuna göre, x . y çarpımının alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?

A) 11 B) 7 C) 4 D) 2 E) 1

3. –1 < x < 2

<y <

4

1 1

3 1

olduğuna göre, x . y çarpımının alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

A) 5 B) 7 C) 10 D) 11 E) 13

İpucu: a ve b aynı işaretli olmak üzere, a b

b a

1 1

< + < dır.

4. 1 < x ≤ 3 6 < y ≤ 12 olduğuna göre, xy

ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

Reel Sayı Aralıklarını Çarpma Örnek

x ve y gerçel sayılardır.

–1 < x ≤ 2 – 2 < y ≤ 3

olduğuna göre, x . y çarpımının değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

A) ( – 4, 6 ) B) [ – 4, 6 ) C) ( 2, 20 ] D) [ – 3, 6 ) E) ( – 4, 6 ]

Çözüm –1 < x ≤ 2

– 2 < y ≤ 3

Sınırlar birbirleri ile çarpılır ve

≠ – 3

≠ – 4

≠ 2

= 6

sınır değerleri bulunur.

Bu sayıların en büyüğü üst sınır, en küçüğü alt sınır olarak seçilir. Bu durumda,

– 4 < x . y ≤ 6 bulunur.

Cevap E

TEST - 21

1. A 2. D 3. D 4. E

(33)

1. x bir reel sayı – 4 ≤ x < 3

olduğuna göre, x² nin en büyük tam sayı değeri, en küçük tam sayı değerinden kaç fazladır?

A) 7 B) 10 C) 16 D) 20 E) 24

2. 1 ≤ x < 5

olduğuna göre, x² + 2 ifadesinin alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

A) 27 B) 28 C) 29 D) 30 E) 32

3. x bir tam sayıdır.

– 5 < x < 2

olduğuna göre, x² nin alabileceği en büyük de- ğer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?

A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16

4. x ∈ Z ve y ∈ R olmak üzere, – 1 ≤ x < 3

– 1 < y ≤ 2

olduğuna göre, x² + y³ ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

A) 16 B) 15 C) 14 D) 13 E) 12

Not : ( a, b ∈ R olmak üzere, a < x < b ⇒ a³ < x³ < b³ )

Reel Sayı Aralıklarında x² li Terim - I Örnek

– 3 < x < 1 – 6 < y ≤ – 2

olduğuna göre, x² + y² ifadesinin değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

A) ( 4, 45 ) B) [ 4, 45 ) C) ( 4, 45 ] D) [ 4, 36 ) E) [ 4, 36 ]

Çözüm

a, b ∈ R olmak üzere, a < x < b eşitsizliği verilip, x² ifadesinin çözüm aralığının sınırları bulunurken aşa- ğıdaki yöntem uygulanır.

ii. x = 0 değerini almıyorsa, üst sınır : max { a² , b² } alt sınır : min { a² , b²} i. x = 0 değerini alıyorsa,

üst sınır: max { a², b² } alt sınır: 0 (sıfır dahil )

– 3 < x < 1 – 6 < y ≤ – 2 0 ≤ x² < 9 4 ≤ y² < 36

0 ≤ x² < 9 4 ≤ y² < 36 +

4 ≤ x² + y² < 45

⇒ x²+ y² ∈ [ 4, 45 ) bulunur.

Cevap B

TEST - 22

1. C 2. C 3. E 4. E

(34)

1. x ve y reel sayılardır.

– 3 < x ≤ 4 – 4 < y < – 1

olduğuna göre, x² – y² ifadesinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

A) – 16 B) – 15 C) – 14 D) – 13 E) – 12

2. x ∈ ( – 4, – 2 ] ve y ∈ [ – 1, 3 ) olmak üzere, x² – 3y²

ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

A) 36 B) 37 C) 38 D) 39 E) 40

3. x ∈ R olmak üzere, – 3 ≤ x < 1

olduğuna göre, x² + 4x ifadesinin değer aralı- ğında kaç tane tam sayı vardır?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

4. x, y ∈ Z olmak üzere, – 6 < x < 2 – 3 < y < 4 olduğuna göre, x

x²-y²

ifadesinin en büyük tam sayı değeri kaçtır?

A) – 5 B) – 3 C) 0 D) 5 E) 8 Reel Sayı Aralıklarında x² li Terim - II

Örnek 1

x ve y reel sayılardır.

– 5 ≤ x ≤ – 2 ve – 2 ≤ y ≤ 1

olduğuna göre, x² – y² ifadesi kaç farklı tam sayı değeri alabilir?

A) 23 B) 24 C) 25 D) 26 E) 27

Çözüm

– 5 ≤ x ≤ – 2 ise 4 ≤ x² ≤ 25 tir.

– 2 ≤ y ≤ 1 ise 0 ≤ y² ≤ 4 tür.

4 ≤ x² ≤ 25 – 4 ≤ – y² ≤ 0 +

0 ≤ x² – y² ≤ 25 olur.

x² – y² nin alabileceği değerler : { 0, 1, … 25 } olmak üzere 26 tanedir.

Cevap D

Örnek 2

x ∈ R olmak üzere, – 2 < x ≤ 3

olduğuna göre, x² – 2x ifadesinin değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

A) ( – 1, 8 ) B) [ – 1, 8 ) C) [ – 1, 8 ] D) [ 0, 9 ] E) [ 0, 6 )

Çözüm

Bu tip sorularda x² ve – 2x in aralıklarına bakılmaz, ifade tam kareye tamamlanır.

– 2 < x ≤ 3 ⇒ – 3 < x – 1 ≤ 2

⇒ 0 ≤ ( x – 1 )² < 9

⇒ 0 ≤ x² – 2x + 1 < 9

⇒ – 1 ≤ x² – 2x < 8

⇒ Ç. K. = [ – 1, 8 ) olur.

Cevap B

TEST - 23

1. B 2. C 3. D 4. E

(35)

1.

x 3 111

A) ( – ∞, – 3 ) B) ( – 3, ∞ ) C) ( 0, 3 ) D) ( – ∞, 3 ) E) ( 3, ∞ )

2.

x 2

1 1

5

≤ ≤ 1

- -

olduğuna göre, x in alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

A) – 8 B) – 7 C) – 6 D) – 5 E) – 4

3. 4 < x ≤ 1

3 2

2 1 -

eşitsizliğinin çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

A) [ 7, 11 ) B) ( 7, 11 ) C) [ 2, 4 ) D) [ 4, 8 ) E) [ 8, 11 )

4.

x 5 1

2 1

2

1 11

- y = x + 1

olduğuna göre, y nin değer aralığı aşağıdakiler- den hangisidir?

A) ( 2, 4 ) B) ( 3, 7 ) C) ( 5, 8 ) D) ( 5, 9 ) E) ( 6, 10 ) Zıt ya da Aynı İşaretli Reel Sayılarda Aralık

İncelemesi - I Örnek

x 1

1 2

5 3

1 11

+

A) ( 5, 9 ) B) [ 5, 9 ) C) ( 5, 9 ] D) ( – 5, 9 ) E) ( – 5, 0 ]

Çözüm

a ve b aynı işaretli olmak üzere, ( a . b > 0 ) a < b ⇔ b a111

a ve b zıt işaretli olmak üzere, ( a . b < 0 ) a < b ⇔ b a121 dir.

x 5 1

1 2

3

1 11

+ ⇒ 3 x

2

1 5

1 + 1

⇒ 6 < x + 1 < 10

⇒ 5 < x < 9 ⇒ x ∈ ( 5, 9 ) bulunur.

1. C 2. B 3. A 4. C