2.DERECEDEN DENKLEMLER ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1)
3 b 2
(a 3)x x 3x 4 0
denklemi x'e bağlı ikinci dereceden bir denklem olduğuna göre a.b çarpımı kaçtır?
A) 12 B) 6 C) 4 D) 8 E) 16
ÇÖZÜM:
2)
2
2
2
I. 3x 9 0
II. 4x 0 III. 5x 5 0
denklemlerinin gerçek sayılardaki çözüm kümeleri hangi şıkta doğru gösterilmiştir?
I.denklem II.denklem III.denklem A) { 3, 3} {0} 1
B) { 3} 1
C) { 3, 3}
{0}
D) { 3} {0}
E) { 3, 3} {0}
ÇÖZÜM:
2 2
2 2
2 2
3x 9 x 3 x 3
x 3 veya 3 tür.
4x 0 x 0 x 0 x 0 dır.
5x 5 x 1 Gerçek bir sayının karesi negatif olamaz. Çözüm kümesi boş kümedir.
Cevap
: E
3)
ÇÖZÜM:
2
2x 3
x 2
x 2 3
x 2
İfadeyi çarpanlarına ayırabiliriz.
Her bir çarpanı 0 yapan değer, bu denklemin bir köküdür.
2x x 6 0 (2x 3)(x 2) 0
Ç.K 2, 3 dir. Cevap : C 2
4)
3x2 7x 4 0
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisi - dir?
3 4 3
A) 1, B) , 1 C) 0,
5 5 2
4 5
D) 1, E) 3,
3 4
ÇÖZÜM:
5)
x2 8x 6 0
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisi - dir?
A) 4 10 , 4 10 B) 2 5, 4
C) 2 5, 2 10 D) 4 5, 2 10 E) 4 5, 4 5
ÇÖZÜM:
2
2
2
Çarpanlarına ayırması zor bir denklem verilmiş.
Tam kare ifadeye tamamlayıp, soruyu çözebiliriz.
x 8x in yanında 16 olursa tam kare bir ifade olur.
O halde,
x 8x 6 0 ifadesine 10 ekleyip çıkaralım.
x
(x 4)2
2
2
8x 16 10 0 (x 4) 10 0 (x 4) 10
x 4 10
x 4 10 x 4 10
veya
x 4 10 x 4 10
Ç.K 4 10 , 4 10 dur.
6)
ÇÖZÜM:
2
2
4
x 1 x 4
3x 1
x 3
x 4 yazarak a'yı bulabiliriz.
a.4 13.4 a 1 0 16a 52 a 1 0 17a 51
a 3 tür. O halde bu denklem,
3x 13x 4 0 dır. (x 4)(3x 1) 0
Diğer kökü tür. 1 3
Cevap : B
7)
2
1 2 1 2
1
2x 8x 3 0
denkleminin kökleri x ve x dir. x x ve
sembolü de denklemin diskriminantı olmak üzere, .x çarpımı kaçtır?
A) 80 20 10 B) 60 30 10
C) 60 40 5 D) 75 5 5
E) 40 10 5 ÇÖZÜM:
8)
2
1 2 1 2
2 1
x 6x 1 0
denkleminin kökleri x ve x dir. x x olmak üzere x x farkı kaçtır?
A) 3 2 B) 2 5 C) 4 2 D) 5 3 E) 6 5
ÇÖZÜM:
2
1
2
2 1
6 4.1.1 36 4 32 dir.
6 32 6 4 2
x 3 2 2 dir.
2 2
6 32 6 4 2
x 3 2 2 dir.
2 2
x x 3 2 2 3 2 2
3
2 23
2
2
2 2
4 2 dir. Cevap : C (Tam kareye tamamlayarak)
x 6x 9 8 0
(x 3) 8 x 3 2 2
x 2 2 3 veya x 2 2 3 tür.
Aradaki fark 4 2 dir.
II.Yol :
Cevap : C 9)
ÇÖZÜM:
2
0 olmalıdır.
b 4ac 0
144 4.(m 2).4 0 144 16(m 2) 0 144 16(m 2) 9 m 2
11 m m'nin en büyük tam sayı değeri 10 dur.
Cevap : C
10)
3x2 (m 1)x 2 0
denkleminin eşit iki kökü olduğuna göre, m nin alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?
ÇÖZÜM:
11)
2
0 olmalıdır.
b 4ac 0
16 4.1.(a 5) 0 16 4(a 5) 4 a 5
1 a a 1, dur. Cevap : E
ÇÖZÜM:
2
0 olmalıdır.
b 4ac 0
16 4.1.(a 5) 0 16 4(a 5) 4 a 5
1 a a 1, dur. Cevap : E
12)
ÇÖZÜM:
2
2
2
2
2
Birer kökleri eşit olduğunda, x li terimleri yok ede - cek şekilde ortak çözüm yapılmalıdır.
3 / 2x 7x m 0 2 / 3x 5x 4m 0 6x 21x 3m 0
6x 10x 8m 0
11x 11m 0 x m d
2
2
m 3
2 2x x
ir.
Demek ki ortak kökleri m'ye eşitmiş.
Denklemlerden birinde yerine yazalım.
2m 7m m 0
2m 6m 0 2m(m 3) 0 m 3 tür.
m'nin 0'a eşit olmadığı soruda verilmişti.
O halde 1.denklem 2x
1
3
x 1 2
2
4
3x 3
x
x 4 3
7x 3 0 (2x 1)(x 3) 0 Farklı kök x 1 dir.
2 2.denklem 3x 5x 12 0
(3x 4)(x 3) 0 Farklı kök x 4 tür.
3
1 4 3 8 5
Toplamları dır. Cevap : E
2 3 6 6
13)
2
2
(m 2)x 7x n 0 3x (m 2)x 6 0
denklemlerinin çözüm kümeleri birbirine eşit oldu- ğuna göre, m n toplamı en çok kaçtır?
A) 11 B) 8 C) 1 D) 1 E) 6
ÇÖZÜM:
14)
3 2
x 3x 4x 12 0
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisi- dir?
A) 3, 2, 2 B) 2, 1, 2 C) 2, 2 D) 1, 0, 2 E) 0, 2, 4
ÇÖZÜM:
2
2
x 3 x 2 x 2
Denklem, 3.dereceden bir denklemdir. Ancak çarpan - larına ayırarak, 2.dereceden denklemde olduğu gibi köklerini bulabiliriz.
x (x 3) 4(x 3) 0 (x 3)(x 4) 0 (x 3)(x 2)(x 2) 0 Ç.K 3, 2, 2 dir.
Cevap : A
15)
ÇÖZÜM:
( 4).( 2) x 4 x 2 x 5
2
x 2 olamaz.
Kesirli bir ifade 0'a eşitse, pay 0 dır ama payda 0 olamaz. Verilen ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
(x 6x 8 )(x 5) (x 4)(x 2)(x 5)
0 0
(x 2) (x 2)
Kökler 4 ve 5 tir.
Çarpıml
arı 20 olur. Cevap : D
16)
x 1 x
2 2 5 0
x x 1
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangi- sidir?
A) { 3, 2} B) { 1, 2} C) { 2, 1}
D) { 4, 1} E) {0, 2}
ÇÖZÜM:
17)
x x
9 6.3 27 0
denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi aşağı- dakilerden hangisidir?
A) {2} B) { 1, 2} C) { 2, 1}
D) { 1} E) {0, 2}
ÇÖZÜM:
x
2
9 t
3 t
x
x
3 t olsun.
t 6t 27 0 şeklinde denklem olur.
(t 9)(t 3) 0 t 9 veya t 3 tür.
t 9 olursa 3 9 x 2 dir.
t 3 olursa 3 3 gerçek kök yok.
Ç.K 2 dir. Cevap : A
18)
ÇÖZÜM:
2
2
x 5 x 2
x 6 x 4 tür. İki tarafın da karesini alalım.
x 6 x 8x 16
0 x 7x 10
0 (x 5)(x 2)
x 5 veya x 2 dir. Ancak, kare alarak çözüm yapınca ekstra bir kök gelmiş olabilir.
Bu yüzden her kökü yerine
yazıp test etmek gerekiyor.
x 5 yazarsak 5 6 5 4
1 1 hatalı Demek ki x 5 olamaz.
x 2 yazarsak 2 6 2 4
4 2 doğru Demek ki x 2 olabilir.
19)
(x 2)2 4x 8 21 0
denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi aşağı - dakilerden hangisidir?
A) { 5} B) { 5, 1} C) { 1, 5}
D) {9} E) { 5, 9}
ÇÖZÜM:
20)
2
1 2
1 2
1 2
2x 5x 8 4x 2
denkleminin kökleri x ve x dir.
Buna göre, x .x ifadesinin değeri kaçtır?
x x
A) 1 B) 2 C) 10 D) 20 E) 40
20
ÇÖZÜM:
2
2
2
1 2
1 2
1 2
1 2
ax bx c 0 denkleminde
b c
Kökler toplamı Kökler çarpımı dır.
a a
2x 5x 8 4x 2
2x x 10 0
x x 1 dir.
2
x .x 10 5 tir. Buna göre, 2
x .x 5
10 dur. Cevap : C x x 1
2
21)
ÇÖZÜM:
1 2
2 1 2
1 2 2 2
12
2
1 2 1
3
1
c 12
x .x 12 dir.
a 1
x .x 36 ise
x .x .x 36 x 3 tür.
Bu değeri denklemde yerine yazalım.
3 k.3 12 0 9 3k 12 0
3k 3 0 k 1 dir.
x .x 12 idi. x 4 tür.
k x
1 4 5 buluruz. Cevap : A
22)
2
1 2
2 2
1 2
x 9x 3 0
denkleminin kökleri x ve x dir.
Buna göre, x x toplamının değeri kaçtır?
A) 75 B) 87 C) 92 D) 94 E) 103
ÇÖZÜM:
23)
2
1 2
1 2
x 6x 12 0
denkleminin kökleri x ve x dir.
1 1
Buna göre, toplamının değeri kaçtır?
x x
1 5
A) B) 1 C) 2 D) E) 3
2 2
ÇÖZÜM:
2 1
1 2 1 2
1 1 x x 6 1
dir. Cevap: A
x x x .x 12 2
24)
ÇÖZÜM:
1 2
1 1
2
1 1
2
1 1
1 2 1 2
Kökler toplamı 10
x 'i denklemde yerine yazalım.
x 10x 5 0
x 10x 5 olur.
Sorulan ifadede x yerine 10x 5 yazarsak, 10x 5 10x 5 10 (x x ) olur.
100 buluruz. Cevap : D 25)
2
1 2
2 2
1 2
x 5x m 0
denkleminin kökleri x ve x dir.
x x 15 olduğuna göre, m kaçtır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
ÇÖZÜM:
26)
2
2
x ax 1 b 0 denkleminin kökleri 1 ve t, x (1 2a)x 6 0 denkleminin kökleri 3 ve t olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır?
ÇÖZÜM:
1.denklemin kökler toplamı 1 t a dır.
2.denklemin kökler toplamı 3 t 1 2a dır.
Taraf tarafa çıkarırsak 2 1 3a a 1 olur.
1.denklemin kökler çarpımı 1.t 1 b dir.
2.denklemin kökler çarpımı 3.t 6
dır.
1 1 b
Taraf tarafa bölersek 1 b 2
3 6
b 3 tür.
a.b 1.3 3 buluruz. Cevap : B
27)
ÇÖZÜM:
1 2
2
Simetrik kök x x dir. Yani toplamları 0 dır.
k 2 0 olmalıdır. O halde k 2 dir.
k 1
3x 12 0 şeklinde bir denklem vardır.
Kökler çarpımı 12 4 tür. Cevap : E 3
28)
2 2
2 2
2
Köklerinden biri 2 5 olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?
A) x 5x 1 0 B) x 4x 1 0
C) x 3x 4 0 D) x 6x 2 0 E) x 3x 2
0
ÇÖZÜM:
1 2
2
1 2 1 2
Rasyonel katsayılı olduğu için, diğer kök 2 5 tir.
Kökler toplamı 2 5 2 5 4 tür.
Kökler çarpımı (2 5)(2 5) 4 5 1 dir.
Kökleri x ve x olan bir denklemi
x (x x )x x .x 0 olarak yazabiliriz.
Buna göre,
2
denklem
x 4x 1 0 dır. Cevap : B
29)
2
1 2
1 2
2 2
2 2
x 4x 8 0 denkleminin kökleri x ve x dir.
1 1
Buna göre, kökleri 3 ve 3 olan ikinci dere -
x x
ceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?
A) x 13x 8 0 B) 6x 17x 24 0
C) 4x 21x 8 0 D) 3x 23x 74 0
E) 8x252x 85 0
ÇÖZÜM:
1 2 1 2
4
2 1
1 2 1 2
8
1 2 1 2 1 2
(4)
x x 4 ve x .x 8 dir.
Yeni denklemin kökler toplamı
1 1 x x 1 13
6 6 6 dir.
x x x .x 2 2
Kökler çarpımı ise
1 1 1 1 1
3 3 3 9
x x x .x x x
1 1
3 9
8 2
1 3 1 12 13 85
9 9 9 d
8 2 8 8 8
2
2
ir.
Yeni denklem, 13x 85
x 0 dır. 8 ile her tarafı çarpalım.
2 8
8x 52x 85 0 olur. Cevap : E
2
1
2
1 2 2i
(Karmaşık Sayı Bilgisi Gerekli) x 4x 8 0 =16 4.1.8 16 dır.
4 16 4 4i
x 2 2i dir.
2 2
x 2 2i dir.
1 1 2 2i 1 i 13 i
3 3 3 3 tür.
x 2 2i 8 4 4 4 4
13 i Diğer kök de tür.
4 4
Kökler toplamı 13 dir 2
II.Yol :
2 2
2 2
.
13 1 169 1 170 85
Kökler çarpımı dir.
4 4 16 16 8
13 85
x x 0 8x 52x 85 0 olur.
2 8
30)
ÇÖZÜM:
Gerçek katsayılı ikinci derece denklemin bir kökü karmaşık sayı ise, diğer kök eşleniğidir.
Yani diğer kök 3 i dir
Kökler toplamı 3 i 3 i 6 dır. m 6 dır.
Kökler çarpımı (3 i)(3 i) 9 1 10 dur.
2
( 5)( 2)
n 10 dur.
Diğer denklem,
x 7x 10 0 olur.
(x 5)(x 2) 0 Ç.K {2, 5} tir. Cevap : D
