YGS-LYS MATEMATİK DERS NOTLARI
MESUT ERCİYES
1) a,b N olmak üzere, a b 13 ise a.b nin alabileceði en büyük deðer ile en küçük deðerin toplamý kaçtýr?
! + =
TEMEL KAVRAMLAR
2) a,b N olmak üzere, a b 13 ise a.b nin alabileceði en büyük deðer ile en küçük deðerin toplamý kaçtýr?
! + + =
3) , N olmak üzere, . ise nin alabileceði en büyük deðer ile en küçük deðerin toplamý kaçtýr?
x y! x y=24 x y+
4) , , N olmak üzere, . 35 e . 56 x y z alabileceði en büyük deðeri kaçtýr?
x y z x y v y z ise
nin
! = =
+ +
5) , , N olmak üzere, . 35 e . x y z alabileceði en küçük deðeri kaçtýr?
x y z x y v y z ise
nin
56
! =
+ +
=
6) , , N olmak üzere, e
a b c alabileceði en ük deðer kaçtýr?
a b c a b v b c ise
nin k
2 3 4 5
üç
! = =
+ +
7) 10
, . ?
A x
B x 7 oldu una g re A B en fazla ka olabilirð ö ç
= -
= +
8) , N olmak üzere, 3 2 33 ç ý
?
x y x y ise x ka farkl
de er alabilirð
! + =
9) , 7 2
3 4 , . ç ý ý ç ý ð ?
A B N ve
A x
B x olmak zere A B arp m ka farkl de er alabilirü
!
= -
= -
10) ,
, ?
a b N
a b oldu una g re a b en az ka olabilir
10 10 10 ð ö ç
!
+ = +
+
11) 3 2 þ ý ý ð üç ý ý ý
?
x y z art n sa layan xyz basamakl say s i inç x y z ka t rç ý
= =
+ +
12) ý ý, ý ý üç ð ý ý
. , ?
A say s birbirinden farkl iki basamakl do al say n n toplam d r Buna g re A ka farkl de er alabilirý ý ö ç ý ð
13) ý ý ý ý ö ð ý ý
ý ?
Rakamlar farkl iki basamakl farkl d rt do al say n n toplam 130 ise en b y k say en fazla ka olabilirü ü ý ç
14) ý 3 ý 4 ð ý ý ý 646
, ?
Birbirinden farkl basmakl do al say n n toplam oldu una g re en b yð ö ü üðüen az ka t rç ý
15) , ü ,
1 8 2 10 ð ü ü
ð ?
a b N olmak zere
a ve b ise ba nin alabilece i en b y k de er ile en küçük de erin toplam ka t rð ý ç ý
1 1
!
# #
16) y ?
xx ise y nin hangi de eri i in x hesaplanamaz 4 19
12 11 ð ç
= --
17) a b- + =b-53 0 ise a hangi de eri alamazð ?
18) þ ð , , ð ý
?
a b c ise e itli inde a b c birer do al say ise a b c nin alabilece i en b y k de er ka t r
3 6
ð ü ü ð ç ý
= =
+ +
19) . 0
. 0
. , , , .
a b b c
a c 0 oldu una g re a b c nin i aretlerini bulunuzð ö þ
4 3
6 7 5 8
1 2 1
20) . ( )
.
. , , , .
x y n N
z y
x z oldu una g re x y z nin i aretlerini bulunuz 0
0
0 ð ö þ
n n
n n
n n
2 2 2 1
2 3 4 2
8 1 6 4
1 2 1
+ - !
- +
- +
21) a b 0 c olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi kesinlikle pozitiftir?
) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( )
A b c B a c C a b3 D c b3 E c a2 2
1 1 1
- - - - -
22) , , ,
þ ðý ð ?
) ç .
) ç ç .
) ç .
) .
) .
x y z Z olmak zere
x y
z ise a a dakilerden hangisi do rudur A x tekse z ifttir
B x ve y iftse z ifttir C y tekse x ifttir D x tekse y tektir
E x iftse y ve z ifttir 2
3 5
ü
ç ç
!
+ =
+
23) , , , 2 3 42 ð ö ,
?
a b c R a b c ve a b c oldu una g re a n n en ký üçük tamsay de eri ka olabilirý ð ç
2 2
! + + =
24)
, . ?
A x
B x oldu una g re A B en az ka olabilir 3
7 ð ö ç
= +
= +
25) , , ý ý .
( )( 4) . ?
) ) ) ) )
a b c asal say lard r
a b a ab c ise a c b
A 51 B 53 C 55 D 57 E 59
- 2+ + = + =
26) "Birbirinden farklý 55 tane öyle doðal sayýlar seçiniz ki herhangi ikisinin toplamý seçtiðiniz sayýlardan herhangi birine eþit olmasýn."
Yukarýdaki ifadeye göre, bu sayýlarýn en büyüðü en az kaç olabilir?
YGS-LYS MATEMATİK DERS NOTLARI
MESUT ERCİYES
ARDIŞIK SAYILAR
. .
***
, , ,..., ,... ... .( )
***
, , ,..., ,... ... .( )
***
, , ,...,( ),... ... ( )
***
( ) ( )
: , ( ) .
( ) .
Belli bir kurala g re art arda gelen say lara ard k say lar denir Ard k say lar aras ndaki farklar e it oldu undan aritmetik dizi olu turur
Ard k tamsay lar Ard k tamsay lar n toplam
n n n n
Ard k ift tamsay lar Ard k ift tamsay lar n toplam
n n n n
Ard k tek tamsay lar Ard k tek tamsay lar n toplam
n n n
Ard k say larda terim say s ve toplam Terim say s Son terim lk terimArt miktar
Terimler Toplam lk terim Son terim x Terim Say s Not Ard k iki tamsay aras ndaki fark ya dir ya da dir Ard k iki ift veya tek say aras ndaki fark ya dir ya da dir
1 2 3 1 2 3 2 1
2 4 6 2 2 4 6 2 1
1 3 5 2 1 1 3 5 2 1
1 2
1 1
2 2
ö ý ýþý ý
ýþý ý ý þ ð
þ
ýþý ý ýþý ý ý ý
ýþý ç ý ýþý ç ý ý ý
ýþý ý ýþý ý ý ý
ýþý ý ý ý ý
ý ý ýþ Ý ý
ý Ý ý ý
ýþý ý ý
ýþý ç ý ý
2
+ + + + = +
+ + + + = +
- + + + + - =
= - +
= +
-
-
1) Ardýþýk üç tek sayýnýn toplamý 333 ise bu sayýlardan büyüðü kaçtýr?
2) Ardýþýk dört çift sayýnýn toplamý 60 olduðuna göre, en küçük sayý kaçtýr?
3) Ardýþýk dört doðal sayýdan en büyüðü ile en küçüðünün toplamý m ise hepsinin toplamý kaçtýr?
) , , . ,
( )
( )( ) ?
5) , , ý ý ýþý ç ý . ö ,
, . . ?
a b c say lar ard k ift say lar ve a b c dir Buna g re a c
c b a b
x y z say lar ard k ift say lar ve x y z dir Buna g re
x y z
oldu una g re x y z 4
1 1 1 1 1 1 58
ý ý ýþý ç ý ö
ð ö
< <
< <
-
- - =
+ + + =
=
` jc m` j
6) 11 tane ardýþýk tamsayýnýn toplamý 330 olduðuna göre, bu ardýþýk sayýlarýn en büyüðü ile en küçüðünün toplamý kaçtýr?
) ( ) ( ) . ,
?
) . . . ... .
?
) . . ... .
?
) . . . ... .
. . . ... . ,
?
) ...
... , ?
12) ... ?
13) ð ý ü , 1' ð
ý ý ý , 5' ð ý ý
ý ö . 230 ?
14) ýþý ý ý ý ý ý ý
üç ý . þ ðý üç ý
ð ?
) 55 ) 45 ) 36 ) 21 ) 14
15) ý ý . 5' ý ý ý
, ?
min
min n ile n say lar ard k say lard r Buna g re n nin alabilece i de erler toplam ka t r
A toplam nda her teri
arpanlar art r l rsa toplam ka artar
B toplam nda her teri ikinci
arpan art r l rsa toplam ka artar x
y oldu una g re
xy K
M oldu una g re K M
n bir do al say olmak zere den n ye kadar olan do al say lar n toplam a ten n ye kadar olan do al say lar n top lam b ile g steriliyor a b ise a
Ard k ilk n sayma say s n n toplam n veren say ya gensel say denir A a dakilerden hangisi gensel say de ildir
A B C D E
x tek tamsay d r ten x e kadar olan tek say lar n toplam x x oldu una g re x ka t r
7 2 1 5
8 1 2 2 3 3 4 20 21
1
9 3 5 4 6 16 18
1
10 1 2 2 3 3 4 50 51
4 6 8 9 12 12 200 153
11 3 6 9 150
4 8 12 200
21 32
23 34
192 203
10 21
ý ý ýþý ý ý ö
ð ð ý ç ý
ý
ç ý ý ý ý ç
ý
ç ý ý ý ý ç
ð ö
ð ö
ð ö ç ý
2
+ -
= + + + +
= + + +
= + + + +
= + + + +
=
= + + + +
= + + + + - =
- + - + + - =
-
+ = =
- +
16) 1 , 2,3 , 4,5,6 ,... küme dizisindeki 100. kümenin en küçük elemaný kaçtýr?
)
.
. ,
?
) , , , , , ,
, .
, ?
Hasan bir kitab n t m sayfa numaralar n toplam ve sonucu bulmu tur lemi kontrol ederken bir sayfay iki kez topla d n farketmi tir Buna g re Hasan hangi sayfa numaras n iki kez toplam t r
Ali Veli Deli Selma Belma Leyla Necla isimli yedi arkada bu s raya g re pozitif ift do al say lar s rayla s yl yorlar Buna g re basamakl son ift say y kim s yler 17
1875
18
ý ü ý ý ýþ
þ Ýþ ý
ýðý ý þ ö ý ý
ýþ ý
þ
ý ö ç ð ý ý ý ö ü
ö üç ý ç ý ý ö
-
" ", ," ,
YGS-LYS MATEMATİK DERS NOTLARI
MESUT ERCİYES
FAKTÖRİYEL
) !! !! . ?
) ( )(! )! ?
) ! . , ?
) ! . , ?
) ! . , ?
) ! ?
) ! ?
) ! ! ! ?
) , , !.
?
) ! ! ?
) , ! .
?
) , ! .
ð ý ç ý ?
13) 40! 4! ý ý ý ðý ý ý ç ý ?
14) , ü .! ç ( ) ð
?
tan
n nn ise n
b ve a b N ise a en fazla ka olabilir b ve a b N ise a en fazla ka olabilir b ve a b N ise a en fazla ka olabilir say s n n sonunda ka e s f r vard r
say s n n sondan ka basama dur
say s n n sondan ka basama s f rd r a b Z olmak zere a b ise a n n en k k de eri i in b ka t r
toplam n n sondan ka basama s f rd r a b Z olmak zere b ise a ka farkl de er alabilir
a b N olmak zere b ise a n n alabilece i de erler toplam ka t r
m say s n n son iki basama n n toplam ka t r
a b N olmak zere i in a b nin alabilece i en b y k de er ka t r
1 1110 109 1211
2 1 3 24
3 33 2
4 33 8
5 33 10
6 48
7 27 1 9
8 36 40 58
9 5
10 23 24
11 21 2
12 25 3
3 725
ç ç ç
ý ý ý ç ý ý ý
ý ý ý ç ðý
ý ý ý ç ðý ý ý ý
ü ý üçü
ð ç ç ý
ý ý ç ðý ý ý ý
ü ç ý ð
ü ý ð
ü ü ð ç ý
a
a
a
a
a
a b
2 3
!
!
!
!
!
!
!
++ =
- - = =
=
=
=
-
+ +
=
+
=
=
= -
+
+
15) 0!1!
1!2! ... 13!14! ?
16) x 12 ! ifadesinde x yerine yazýlabilecek kaç tanex 4 tamsayý deðeri vardýr?
17) 1! 2! 2! 3! 3! 3! ...
ifadesinde 2014 tane terim olduðuna göre bu toplamýn birler basamaðýndaki rakam kaçtýr?
18) 1! 2! 3! ... 5000! sayýsýnýn birler basamaðý kaçtýr?
19) a Z ve a6! bir çift sayý ise a en fazla kaç olabilir?
20) n!! sayýsýnýn birler basamaðý kaç farklý deðer alabilir?
21) a,b Z olmak üzere, 1!.2!.3!...15! 7 .b ifadesinde a nýn alabileceði en büyük deðer kaçtýr?
) . . ... . ?
) , , ! . !
?
) , ! ! !
?
) !
?
26) 1! 2.2! 3.3! ... 9.9! ?
27) 19! 2,19! 3,...,19! tan ?
t ise n en fazla ka olabilir
m n N olmak zere m n ise m nin alabilece i de erler toplam ka t r
x ile y ard k ift say lar x y y
ise x y
say s taban nda yaz l rsa sondan ka basama s f r olur
say lar ndan ka esi asald r 22 2 4 6 100 3
23 30
24 57
25 19 6
19
ç
ü ð
ð ý ç ý
ýþý ç ý
ý ý ý ý ý ç ðý ý ý
ý ý ç ý
a
n
!
!
!
+ + + =
+-
+ + + + + +
+ + + +
=
=
=
+ = + =
+ + + + =
+ + +
+
+
c m
28) ! ý ý ý 7 ðý ý ý , ð
ý ý ý ð ü ü ð ç ý ?
29) , 16! 2 . . ç ð ö ,
ç ?
30) , ! 5 .
ç ?
31) 24! 2 .3 . þ ð ð ç ý ( , , )
?
x say s n n sondan en fazla basama s f r ise x do al say s n n alabilece i en b y k de er ka t r
n t Z ve t dir t ift oldu una g re n en fazla ka olabilir
n t Z ve t ise n en fazla ka olabilir
k e itli ini sa layan ka farkl a b k pozitif tamsay l s vard r
40
ý üç ü ü ý
n
n
a b
3
!
!
=
=
=
+
+ ^ h
YGS-LYS MATEMATİK DERS NOTLARI
MESUT ERCİYES
SAYI BASAMAKLARI
1) Rakamlarý farklý üç basamaklý en büyük sayý ile rakamlarý farklý üç basamaklý en büyük negatif sayýnýn farký kaçtýr?
2) Üç basamaklý bir sayýnýn dört basamaklý bir sayý ile çarpýmý en az kaç basamaklýdýr?
3) abc bca cab 1887 ise a b c ?
4) A ve B beþ basamaklý sayýlardýr.
A KL6M2 ve B KL2M6 ise A B ?
5) xy ve yz iki basamaklý sayýlardýr.
xy x 83 ve yx y 73 olduðuna göre, x y ? 6) Ýki basamaklý ab sayýsý ile ba sayýsýnýn toplamý 66 ise
a b kaç farklý deðer alabilir?
7) Ýki basamaklý bir doðal sayýnýn rakamlarý yer deðiþtirldiðinde sayýnýn deðeri 54 azalýyor. Bu þartý saðlayan kaç tane sayý vardýr?
8) Ýki basamaklý bir doðal sayý, rakamlarý toplamýnýn 6 katýna eþit olduðuna göre, bu sayýnýn rakamlarýnýn çarpýmý kaçtýr?
9) a0b üç basamaklý sayýsý rakamlarý toplamýnýn x katýna, b0a üç basamaklý sayýsý ise rakamlarý toplamýnýn y katýna eþit olduðuna göre, x y kaçtýr?
10) ab ve ba iki basamaklý sayýlardýr.
ab ba ab ba
22 ise (a b) en fazla kaçtýr?9 )
?
Rakamlar toplam n n yedi kat na e it olan t m iki basamakl say lar n toplam ka t r
11 ý ý ý ý þ ü ý
ý ý ý ç ý
+ + = + + =
= = - =
+ = + = + =
+
+
+- = +
12) ab ve ba iki basamaklý sayýlardýr.
ab ba3 a b eþitliðini saðlayan en büyük ab sayýsý için (a b) toplamý kaçtýr?
13) Üç basamaklý 8xy sayýsý ik basamaklý xy sayýsýnýn 41 katýdýr. Buna göre, x y ?
14) ab5 üç basamaklý ve ab iki basamaklý sayýlardýr.
ab5 ab 392 ise a b ?
15) Ýki basamaklý mn sayýsýnýn baþýna 2 rakamý getirilerek üç basamaklý 2mn sayýsý elde ediliyor. Elde edilen sayý, ilk sayýnýn 7 katýndan 4 eksik olduðuna göre, ilk sayý kaçtýr?
16) Bir öðrenciden, verilen A sayýsýný 24 ile çarpmasý isten miþtir. Öðrenci sonucu 8904 bulmuþ; fakat iþlemi kontrol eder ken A sayýsýnýn 5 olan olan onlar basamaðýný yanlýþlýkla 7 olarak aldýðýný farketmiþtir. Buna göre, doðru sonuç kaçtýr?
17) a b c (I.) Yandaki çarpma iþleminde (IV.) x 3 4 (II.) basamakta hata yapýlmýþtýr.
x y z (III.) Buna göre, a b c kaçtýr?
m n p (IV.) 2 4 1 5 (V.)
18) a,b,c rakam ve abc üç basamaklý sayý olmak üzere, a.x 1,2 b.x 2,7 c.x 5 olduðuna göre, (abc).x kaçtýr?
19) ab iki basamaklý sayý olmak üzere, 10a b 2
(ab) 2(ab) 8
ifadesinin alabileceði en küçük deðer kaçtýr?
2 2
2
- = -
+
+ =
- = + =
- -
+ + +
= = =
+ +
- -
20) xzy rakamlarý sýfýrdan ve birbirinden farklý üç basamaklý bir sayýdýr. Bu sayýnýn yüzler ve birler basamaðý yer deðiþtirile rek yzx sayýsý elde ediliyor.
yy xzy yzx
3
þartýný saðlayan kaç farklý xzy sayýsý yazýlabilir?
21) ab ve cd iki basamaklý sayýlardýr. a'nýn 3 artýrýlýp c'nin 3 azaltýlmasýyla oluþan sayýlarýn çarpýmý ab ile cd nin çar pýmýndan 150 fazla olduðuna göre, cd ab farký kaçtýr?
22) 1 < a < b < c < 8 þartýný saðlayan kaç farklý üç basamaklý abc sayýsý vardýr?
23) x2y üç basamaklý bir sayýdýr. A x2y olmak üzere, x4y3 dört basamaklý sayýsýnýn A türünden deðeri nedir?
A) 10A 403 B) 10A 303 C) 10A 203 D) 10A 103 E) A 403
24) M,A,N,T,I birbirinden farklý tek rakamlar ve MA,AN ve TI iki basamaklý doðal sayýlardýr.
MA AN TI 143 olduðuna göre, A kaçtýr?
25) 2,3,4,5,6 rakamlarý kullanýlarak yazýlan, rakamlarý farklý beþ basamaklý ABCDE sayýsýnda A B D E dir.
Bu þartý saðlayan kaç tane beþ basamaklý ABCDE sayýsý vardýr?
-
- =
- -
=
+ + +
+ +
+ + =
+ = +
YGS-LYS MATEMATİK DERS NOTLARI
MESUT ERCİYES
TABAN ARİTMETİĞİ
: ,
. ,
, , ,...,( ) .
.
ðý
1) ý ç
çö ü þ ý ý .
Ö : 5.6 1.6 4.6
Ö : , 2.5 0.5 3.5
2) ý ý ý ý ý
Ö : 245 ý ý ý 7 þý ýðý ý .
Ý Ý Ý ÜÇ ÝÞ
123 43 23
ð Ç
ý ç ý ý ðý ç ý ç ,
ðý ý .
ý ç ý
ý ý ý ý ý ý ç ý
ç , ý ý .
ç ý ý
ý ý ý ý ý ýþý
: ý ý ý ý ð
ð ý ý ý ð ð
ý çö ü . ð ý ý ý
ý ý þ .
Ö : ?
(1 1 0 1 0 1 0 1 0)
tan
Pr
tan
Tan m a ve a say taban olmak zere a taban ndaki bir say yaz l rken kullan lacak rakamlar a edir Bunlar
a dir
abcd say s n n basamaklar a a daki gibidir x lar basama
x ler basama x ler basama x ler basama
Herhangi tabanda ve rilen bir say onluk sisteme evrilirken z mleme i lemi yap l r
rnek rnek
On taban nda verilen say n n herhangi bir tabanda yaz lmas rnek say s n n tabandaki kar l n bulunuz
TABAN AR TMET G NDE LEM
x Taban Aritmeti inde Teklik ve iftlik
Taban ift say olan bir say n n birler basama ift ise say ift birler basama tek ise say tektir
tek say ift say
Taban tek say olan bir say n n rakamlar toplam ift ise say ift rakamlar toplam tek ise say tektir
ift say tek say
a Taban ndaki Bir Say n n a Taban nda Yaz l
atik Yol a taban nda verilen say n n basamaklar sa dan sola do ru a l gruplara ayr ld k sonra gruplar soldan sa a do ru s rayla z mlenir Her grubun de eri ayn s ra ile yaz larak yeni say m z elde edilmi olur
rnek x ise x
yani 2
0 1 2 1
5014 2 03
245 124 103
103 526
235 23
110101010
110101010 652
ý ý ý ü ý
ý ý ý ý
ý ý ý ý þ ðý
ðý ðý ðý
ý
6 5 4
1.2 1.2 . . .
x
x 0
1 2 3
6 3 1 0
5 0 1 2
6 5 4
4 8
7 4
2 8
1 2 1 2 1 2
2 2 8
2 1 2 0 1
6 5 2
" "
" "
$ -
= + +
= + +
+ -
= =
=
- -
+ +
^
^
^
^ ^ ^
^ ^ ^
^ ^
^ ^
^ ^
e ^ ^
h
h h
h h h
h h h
h h
h h
h h
o h h
:;;;; :< ;;;<
+:;;;;;< :;;;;;< +
:
?
: ,
.
. ;
( )
.
: , , .
.
, .
, , .
: , , ?
) ?
)
? )
? )
?
) ?
) ?
rnek taban ndaki say s taban nda ka basamakl bir say d r
Not On taban nda devreden k sm olan say lar i in devredenden bir nceki basamak art r l r devreden k s m at l r eklinde bir kural m z vard Bunu farkl tabanlara da uygulayabiliriz Yani
x taban nda verilen ve devreden k sm x olan bir say n n devredenden bir nceki basama art r l r devreden k sm at l r
rnek olur
Yine on taban nda kulland m z bir ba ka zelli i farkl bir tabana uygulayal m
say s n on taban nda eklinde yaz yorduk
O halde say s n da olur
rnek
SORULAR
x toplam n n on taban ndaki de eri ka t r m taban ndaki say s taban nda say s na e it ise m
Rakamlar farkl taban ndaki basamakl en b y k ve en k k say n n fark ayn tabanda ka t r
ve say taban x e itsizli ini
sa layan ka farkl x tamsay s vard r abc ise a b c
a a ise a
9 1672 3
9 1
1 1 2 57 2 6
0 7 10 17
97
0 4 6 14
54
2 7 0 3
1 123 30
2 75 10 82
3 4
4 5 7 323 160
5 503
6 02 1 6
Ö ý ý ý ý ç ý
ý ý
ý ý ý ý ç
ö ý ý ý ý ý
ý ý þ ý ý ý ý
ý ý ý
ý ý ö ðý ý ý ý
ý ý ý ý Ö
ý ýðý ý þ ö ð ý
ý
ý ý ý ý þ ý
ý ý ý Ö
ý ý ý ð ç ý
ý ý ý ý ý ý
þ
ý ý ý üç ý ü ü
üçü ý ý ý ý ç ý
ý þ ð
ð ç ý ý ý ý
< <
x
8 8
6
8 8
5
5 7
6 7
5 8
-
=
- = - =
+ =
+
=
= + + =
= =
^ ^
^
^ ^
^ ^
^ ^
^ ^
^ ^
h h
h
h h
h h
h h
h h
h h
7) 5 tabanýndaki abc sayýsýnda, a rakamý 1 artýrýlýr, b rakamý 2 azaltýlýr, c rakamý 3 artýrlýrsa bu sayý 10 tabanýna göre nasýl deðiþir?
8) 32 12 x ise x ?
9) 5 ile (a 2) sayý tabaný olmak üzere, 2a 3b toplamýnýn alabileceði en büyük deðer 10 tabanýnda kaçtýr?
10) a b 7 ise ab ba aa bb ?
11) a0
aaa aa
?
12) 235 , 104 , 320 , 261 , 334 sayýlarýndan kaç tanesi tektir?
13) 8 sayýsý 4 tabanýnda kaç basamaklý bir sayýdýr?
14) 23,44 sayýsýnýn 5 lik tabandaki yazýlýþý nedir?
15) a > 3 ve a sayý tabaný olmak üzere,
2a 3a 2 sayýsýnýn a tabanýndaki karþýlýðý nedir?
16) 2x 3x 2 ifadesinin x tabanýndaki karþýlýðý nedir?
) ?
) !
?
19) 121 5 ise x ?
20) 5 4 ý ý ý 5 ý ý ýþý ý ý ý
?
ise a
say s taban nda yaz l rsa sondan ka basama s f r olur
say s n n taban nda yaz l n n rakamlar toplam ka t r
17 314 35 352
18 8 ý ý 8 ý ý ý ç ðý ý ý
ç ý
5
4 4 4
5 a 2
7 7 7 7
3
4 5
7 6 5 8 9
6
3
4 3
x
a a a
7
+ = =
+ +
+ = + + + =
+ =
+ +
+ +
= =
+ = =
-
+
^
^ ^ ^
^ ^
^ ^ ^ ^
^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^
^
h
h h h
h h
h h h h
h h h
h h h h h
h h h
h
YGS-LYS MATEMATİK DERS NOTLARI
MESUT ERCİYES
TABAN ARİTMETİĞİ
21) 7 sayý tabaný olmak üzere,
x y z 14 ve abcd
dbca
xyzt ise a d ?
22) 121 100 ise (a b) nin en küçük deðeri nedir?
23) ababab
26 ise x ?
24) 2, 4 0, 4 ?
25) 121
14641
?
26) 9 tabanýnda üç basamaklý rakamlarý birbirinden farklý kaç tane sayý yazýlabilir?
) , ?
) . . ?
) , , ,... ,
... ...
...
?
) , , , ,
.
?
) ...
ðý ?
32) ?
tan
f x oldu una g re f
say s n n taban ndaki kar l nedir say taban ve a b c N olmak zere
e itli inde
a b c n ise taban nda verilen say ka basamakl d r
rakamlar ile taban nda yaz labilecek birbirinden farkl t m iki basamakl say lar edir Bu say n n toplam taban nda ka t r
toplam n n onlar basama nedir
xyz zyx ise z
27 2 156741 4310 10
28 7 4 7 3 7 1 7
29 4
333 3 3 2 2 2 2
72 4
30 1 2 3 4 5
16 16
5
31 11 22 88 99
ð ö
ý ý ý ý þý ýðý
ý ý ü
þ ð
ý ý ç
ý ý
ý ý ý
ý ü ý ý ý ý
ý ý ç ý
ý ý
7 7 7
a b
x x
5 8
4 x 8 x
x x
a b c n
1 5
3 2
4
2 3 9 10
7 9
! + + =
-
- =
= +
= =
= =
=
+ = + =
- + -
= + + +
+ + + + =
+ + + +
= =
-
^
^
^
^ ^
^^
^ ^
^^
^ ^ ^ ^
^ ^
^ ^ ^ ^
^ ^
h h h
h h
hh
h h
hh
h h h h
h h
h h h h
h h
33) ý ý ý 1 ý ý ý þý ýðý
?
nnn say s n n fazlas n n n taban ndaki kar l nedir
n 1+
^ h
YGS-LYS MATEMATİK DERS NOTLARI
MESUT ERCİYES
BÖLME-BÖLÜNEBİLME
A B A Bölünen, B Bölen,C Bölüm,K Kalan, C 1) A B.C K (Bölme algoritmasý)
K 2) 0 K B (Kalan her zaman bölenden küçük) 1) A B B C C D ise A nýn en küçük deðeri
5 4 2 kaçtýr?
4 3 1
2) A 28 Yandaki bölme iþleminde x pozitif bir tamsayý x olduðuna göre, A en fazla kaç olabilir?
x
3) K x 4 Yandaki bölme iþleminde x pozitif bir tamsayý 3x 1 olduðuna göre, K en fazla kaç olabilir?
2x 6
4) x 1 y 1 Yandaki bölme iþlemine göre, y nin x y türünden deðeri nedir?
y
5) ab8 16 ab8 üç basamaklý bir sayý olduðuna göre, x y kaç farklý deðer alabilir?
y
6) 47... 2a Yandaki bölme iþleminde 2a iki basamaklý 1... bir sayýdýr. Buna göre, a aþaðýdaki deðerlerden
hangisini alamaz?
7) A B B C ise x in 12 ile bölümünden
3 4 kalan kaçtýr?
2 3
)
. ?
Toplamlar olan iki do al say dan b y k ne b l nd nde b l m kalan oluyor K k say ka t r
8 242
4 22
ý ð ý ü üðü üçüðü
ö ü üðü ö ü üçü ý ç ý
2
2
" " " "
# 1
= +
- - -
-
+
- +
-
- +
-
-
- -
-
9) 5ab 7 5ab üç, 8c iki basamaklý bir sayý ise c kaç 8c farklý deðer alabilir?
10) Bir A sayýsý 5 e bölündüðünde bölüm x ,kalan 2 dir.
x sayýsýnýn 3 e bölümünden de kalan 1 dir. A doðal sayýsýnýn 15 ile bölümünden kalan kaçtýr?
11) m ve n birer pozitif tamsayý ve m < n dir.
m n m.n olduðuna göre, m nin alabileceði 2 en küçük deðer kaçtýr?
9
BÖLÜNEBÝLME KURALLARI
12) Dört basamaklý a52b sayýsýnýn 5 ile bölümünden kalan 2 dir. Rakamlarý farklý olan bu sayý 3 e tam bölünebildiðine göre, a nýn alabileceði deðerler toplamý kaçtýr?
13) x,y,z,t birbirinden farklý tek rakamlardýr. Bu rakamlarla yazýlabilecek en büyük dört basamaklý sayý aþaðýdakilerden hangisi ile kalansýz bölünebilir?
A) 3 B) 5 C) 9 D) 11 E) 13
14) 11! 10! sayýsý aþaðýdakilerden hangisine tam bölünemez?
A) B) C) D) E)
) ?
A) B) C) D) E)
) ...
?
) ...
, ?
sin
a a dakilerden hangi e tam b l nemez
basamakl say s n n ile b l m nden kalan ka t r
basamakl a say s ile tam b l ne
bildi ine g re a ka olmal d r
15 24 26 60 75
15 6 1
5 7 31 36 43
16 42 4242 42 9
17 39 3 80808 08 72
þ ðý ö ü
ý ý ý ý ö ü ü
ç ý
ý ý ý ö ü
ð ö ç ý ý
2 2
6
-
+ -
-
-
-
^ h
18) A sayýsýnýn 15 ile bölümünden kalan 2 olduðuna göre, A 7A 11 sayýsýnýn 15 ile bölümünden kalan kaçtýr?
19) 342a2b sayýsýnýn 55 ile tam bölünebilmesi için a nýn en büyük deðeri kaç olmalýdýr?
20) 0 < A < 100 olmak üzere 3 ve 5 ile bölünebilen kaç tane A tamsayýsý vardýr?
) 0 < A < 100 olmak üzere 3 veya 5 ile bölünebilen kaç tane A tamsayýsý vardýr?
) ?
) ! ?
)
. ?
)
( ) ?
) .
, ?
) ,
?
) ,
( ) ?
) ,
( ) ( ) ( )
?
x a ise a
x ise x
Rakamlar farkl a b say s ve ile kalans z b l ne biliyor Buna g re a ka farkl de er alabilir
a b olmak zere d rt basamakl a b say s ile tam b l nebiliyorsa a b toplam en fazla ka olur
a b say s ile b l nd nde kalan n veriyor Buna g re a b en fazla ka olabilir
a b say s n n ile b l m nden kalan ise a b say s n n ile b l m nden kalan ka t r
a Z ve a olmak zere a a say s n n
a ile b l m nden kala bulunuz
x ve y basamakl say lar olmak zere x y arp m ile tam b l nebiliyorsa x y ka farkl de er alabilir
21
22 3 230 140 25
23 13 622 020800
24 3 3 5
25 23 6
26 572 45 13
27 2 5 7 1 3 8
7
28 31 9 6 11
3 1
29 2 3 56
2 3 56 15
ý ý ý ý ý ö ü
ö ç ý ð
ü ö ý ý ý
ö ü ý ç
ý ý ö ü üðü ý ý
ö ç
ý ý ý ö ü ü
ý ý ý ö ü ü ç ý
ü ý ý ý
ö ü ü ý
üç ý ý ü
ç ý ý ö ü ç
ý ð
>
3
2
2
$
$
!
!
+ +
+ = =
= =
-
+
+
- +
-
+
^ h
6 @
YGS-LYS MATEMATİK DERS NOTLARI
MESUT ERCİYES
ASAL ÇARPANLAR ve BÖLEN SAYILARI
A : 1 ve kendisinden baþka pozitif böleni olmayan sayýlara ASAL SAYI denir.
2,3,5,7,11,...
1) a,b,c birer asal sayýdýr. a 19.(c b) ise a b c ?
A : 1 den baþka pozitif ortak
böleni olmayan sayýlara aralarýnda asal sayý denir.
5 ve 6, 8 ve 15 .... gibi.
NOT: Örneklerden de anlaþýlacaðý gibi iki sayýnýn aralarýnda asal olmasý için sayýlarýn asal olmasý gerekmez.
ASAL ÇARPANLARA AYIRMA: a,b,c birbirinden farklý asal x,y,z birer pozitif doðal sayý olmak üzere,
A a .b .c ifadesine A sayýsýnýn asal çarpanlarýna ayrýlmýþ biçimi denir.
) , . ?
: A a .b .c ;
)
) .
) ( , , )
) ( ) .
) ) )
,
) .
4) ý ð ö , ç ý ð ý ?
) . ?
SAL SAYI
RALARINDA ASAL SAYI
a b Z ve a b ise a b en az ka t r
B LEN SAYISI olmak zere
a Pozitif b len say s x y z b T m b lenlerinin say s x y z c Asal b lenlerinin say s a b c
d Tam b lenlerinin toplam s f r d r e Pozitif b lenlerinin toplam aa
bb
cc f Pozitif b lenlerinin arp m A
g A say s ndan k k A ile aralar nda asal olan pozitif tamsay lar n say s A a b c
say s i in yukar dakileri hesaplay n z
x x ifadesi tamsay oldu una g re x ka farkl de er al r say s n n negatif tam b len say s ise n
2 12
1 1 1
2 1 1 1
3 0
11
11
11
1 1 1 1 1 1
3 36 28
5 27 7 20
ç ý
Ö ü
ö ý ý
ü ö ý ý
ö ý ý
ö ý ý ý ý
ö ý
ö ç ý ý
ý ý üçü ý
ý ý ý ý
ý ý ç ý ý ý
ý ý ý ö ý ý
x y z
x y z
x y z
x y z
n
3
1 1 1
2
1 1 1
!
= - + + =
=
=
= +
= + + +
= + + +
=
= +-
+-
+-
=
- - -
+
=
+
+ + +
+ + +
^ ^ ^
^ ^ ^
c c c
` ` `
^ ^ ^
h h h
h h h
m m m
j j j
h h h
20) a,b,c,x N olmak üzere
13! 2 .3 .5 .x ise x in 77 ile bölümünden kalan kaçtýr?
21) 111 222 333 ifadesinin en büyük asal böleni kaçtýr?
22) 111 222 ... 888 toplamýnýn kaç tane negatif tamsayý böleni vardýr?
Özel Sorular
23) x tam sayýdýr.3x 246 ifadesi tamsayý ise x in alabileceðix 2 deðerlerin toplamý kaçtýr?
24) x,y Z olmak üzere x.y 27 x 3y ise x kaç farklý deðer alabilir?
25) Bir m tamsayýsýnýn asal bölenlerinin toplamý 5x 7 ve asal olmayan tam bölenlerinin toplamý 2 4x ise x ? 26) xy iki basamaklý bir doðal sayý (12.xy) çarpýmý bir tam kare ise xy sayýsýnýn alabileceði deðerler toplamý kaçtýr?
A) 162 B) 163 C) 164 D) 165 E) 166 27) n! sayýsýnýn 8 tane asal çarpaný vardýr. n sayýsýnýn alabileceði en büyük deðer ile en küçük deðerin toplamý kaçtýr?
a b c
2 2 2
!
!
=
+ +
+ + +
++
+ = +
-
- =
) , . ? +
) ! ?
) .
?
) ,
?
) ?
) .
?
) ?
) ...
?
) ?
) ?
) ?
) , .
?
) ?
) .
ý ð ð ç ý ý ç ý ?
) ) ) ) )
tan
tan
tan
tan tan tan x y Z ve x y ise x ka farkl de er al r
say s n n ka e asal b leni vard r a b ile a b aralar nda asald r a b a b ise b a
x y N olmak zere x y ile x y ise x y en fazla ka olabilir
t m b lenlerinin toplam ka t r m do al say s n n pozitif b lenlerinin say s ise x
say s n n ka e asal olmayan tam b leni vard r
A say s n n ve kendisi hari e
tamsay b leni varsa A say s ka basamakl d r
say s n n pozitif b lenlerinden ka esi ifttir say s n n pozitif b lenlerinden ka esi tektir say s n n pozitif b lenlerinden ka esi in kat d r x Z olmak zere say s n n asal olmayan b len lerinin toplam ka t r
say s n n asal b lenlerinin toplam ka t r a bir asal say ve a tamsay b lenlerinin say s ise a n n alabilece i de erler arp m ka t r
A B C D E
6 120
7 14
8 3 3
315
357
9 1 2 72
10 125796480746
11 72 6 56
12 7200
13 4200 0 1 446
14 34000 15 15000
16 13500 15
17 185 10
18 5005
19 140 150
35 49 70 100 124
ç ý ð ý
ý ý ý ç ö ý
ý ý
ü ç
ü ö ý ç ý
ð ý ý ý ö ý ý
ý ý ý ç ö ý
ý ý ý ç
ý ö ý ý ç ý ý
ý ý ý ö ç ç
ý ý ý ö ç
ý ý ý ö ç ý ý
ü ý ý ý ö
ý ç ý
ý ý ý ö ý ç ý
ý ý ö ý ý
x
x
2
!
!
!
=
- +
- = + - =
- - + - =
+
=
=
=
-
+
^ ^
^
h h
h
YGS-LYS MATEMATİK DERS NOTLARI
MESUT ERCİYES
OBEB-OKEK
OBEB(Ortak Bölenlerin En Büyüðü):Ýki veya daha fazla doðal sayýyý birlikte bölebilen en büyük doðal sayýya, bu sayýlarýn OBEB i denir.
Ö :
1) . , . . ,
) , . , .
.
) ' ?
)
?
) , , , ,
? )
.
) ,
?
) ! ! , ! ! , ?
) . .
. . . , , ?
. .
8) 2 , , , ?
3 5 11
1 1 13
ZELL KLER
k Z i in obeb k a k b k obeb a b obeb a b k ise a k m b k n ve m ile n aralar nda asald r
ile nin ebob u ka t r
ve b ld nde kalan n veren en b y k say n n rakamlar arp m ka t r
say lar n b ld nde s ras yla kalan n veren en b y k do al say ka t r
ve say lar n hangi say ya b ld m zde elde edilen b l mler aralar nda asal olur
Birbirinden farkl pozitif iki say n n obeb i ise bu iki say n n toplam en az ka t r
A B ise ebob a b
x
y ise ebob x y z
z
A B C Tabloya g re ebob a b c D E F
K E F K L M P N T
T 0 2
1 90 150
2 43 63 3
3 33 43 95 5 1 11
4 182 195
5 12
6 6 5 7 8
7 2 3 5
2 3 5 13 2 3 7
2
1 Ý
ç
ý ý
ç ý
ü ö üðü ý ý ü ü ý ý
ý ç ý ý ç ý
ý ý ý ö üðü ý ý ý ý
ü ü ð ý ç ý
ý ý ý ý ö üðü ü
ö ü ý
ý ý ý
ý ý ý ç ý
ö
2 4 2
3 3
4 2 2
! - =
= = =
= + = + =
=
= =
=
=
_ _
_
_ _
_
i i
i
i i
i
# -
9) x y 40 ve ebob x,y 8 ise x en çok kaç olur?
10) a,b Z , obeb a,b 9 ve ba
53 ise a b ? 11) 12,18,54 litrelik üç bidon yað ile doludur. Bu bidonlardaki yaðlar birbirine karýþtýrýlmadan en büyük hacimli þiþelere doldu rulacaktýr. Bu iþ için kaç þiþe gereklidir?
12) Ebatlarý 24 ve 40 m olan bir odanýn tabanýna eþ kare þeklindeki fayanslardan en az kaç tane döþenebilir?
13) Boyutlarý 21,28 ve 42 m olan bir depoya eþit hacimli küpler den en az kaç tane yerleþtirlebilir?
)
? )
.
.
, ?
)
. , ?
)
.
þ ý ç ð ç ?
18) , , ý , . 60 , . 75 ç
?
min
min min
Boyutlar ve m olan dikd rtgen eklindeki bir tar lan n etraf na k elerede dikilmek art yla e it aral klarla en az ka a a dikilebilir
Boyutlar ve m olan dikd rtgen bi i deki bir bah enin etraf na e it aral klarla a a dikiliyor apraz olarak bir k eden di er k eye ise her m ye bir a a dikiliyor Buna g re en az ka a a gereklidir
Boyutlar ve m olan dikd rtgen bi i deki bir bah e e kare bi i de parsellere ayr l yor ve her par an n k elerine a a dikliyor Buna g re en az ka a a gerekir
ekilde uzun kenar m ve k sa kenar m olan bir tarlan n
kenar g r lmektedir Bu kenara e it uzakl kta en az ka a a dikilebilir x y z pozitif tamsay lar x y y z ise y ka farkl de er alabilir
14 28 16
15 20 48
13
16 35 49
17 24
9
ý ö þ
ý ý öþ þ ý þ ý
ç ð ç
ý ö ç
ç ý þ ý ð ç Ç
öþ ð öþ ð ç
ö ç ð ç
ý ö ç
ç þ ç ý ý ç ý
öþ ð ç ö ç ð ç
Þ ý
ý ý ý
üç ý ö ü üç
ý ð
!
+ = =
= = + =
-
-
-
= =
+
_ _
i i
24 m 9 m 24 m
) . ,
?
) , , . ?
) , , ,
?
) , ,
? )
. ?
) ,
?
( ):
.
) , , ?
) , , , ,
. . . , . . . , . .
, , , ,
, , ,
?
) , , ;
) ?
) ?
) ?
) , , , , ;
) ?
) ?
x iki basamakl bir say d r obeb x ise x in alabilece i de erler toplam ka t r
obeb x y x y ise x y en az ka t r x y Z obeb x y ve x y ise x ka farkl de er alabilir
a ve a Z olmak zere obeb a ise
a ka farkl de er al r
Boyutlar ve m olan bir dikd rtgen karesel par alara ayr l yor En az ka par a elde edilir
n Z olmak zere n ve n say lar n n
ebob u ka t r
OKEK Ortak Katlar n En K ki veya daha fazla say n n ortak kat olan say lardan en k ne OKEK denir
okek
x y z t birbirinden farkl asal say lar olmak zere
A x y z t B x y z t C x y z
say lar i in
obeb x y z t okek x y z t
a b Z ve okek a b ise a a b nin en b y k de eri ka t r
b a b ise a b nin en b y k de eri ka t r c a b nin en k k de eri ka t r
x y z Z ve okek x y z ise a x y z nin en b y k de eri ka t r
b x y z ise x y z nin en b y k de eri ka t r
19 60 10
20 7 2940
21 6 60
22 420 420 35
23 18 21
24 21 4 14 3
25 12 15 30
26
27 60
28 80
ý ý ý
ð ð ý ç ý
ç ý
ç ý
ð
ü
ç ý ð ý
ý ö ç
ý ý ç ç
ü ý ý ý
ç ý
ý üçüðü Ý ý ý
ý ý üçüðü
ý ý ü
ý ý ç
ü ü ð ç ý
ü ü ð ç ý
üçü ð ç ý
ü ü ð ç ý
ü ü ð ç ý
<
4 5 2 2 3 6 1 1 2 1 3
!
! !
!
!
!
!
!
=
= = + =
= + =
=
+ +
=
= = =
=
= +
+ +
= + +
+ +
+
+
+
+
+
_
_
_
_
_ _
_
_ _
_
_
i
i
i
i
i i
i
i i i
i
YGS-LYS MATEMATİK DERS NOTLARI
MESUT ERCİYES
OBEB-OKEK
29) 174 ý ý ý 3,4,15 ö ü ü ?
30) ü üç , ö þ ð
ü ý . ü ý ý 500
ð ö , ç ü ý ?
31) ý ý 200 300 ý ý .
, 8 , 10 12 þ ý ýðý 3
ý . ö , ç ý ?
32) ý 6 25 ö
üçü þ .
ð ç ?
33) ý 2,3 5 ö ý þ
ð , , ü ü üçü ü ý
. þ ç ç ð ?
Ý Ý Ý Ý
) , ,
) , . , .
) ý ý ý 1 .
) ý ý ý ý ý ç ý ý ý .
) ýþý ð ý , ýþý ý ý ý .
) ýþý ç ý ý 2 .
) ç ,
, ,
. , .
, ,
, .
34) , 6, , 72 ?
35) ý ý ý 210 ý ý
?
say s na hangi say eklenirse e tam b l n r Bir sepetteki g ller er d rder ve be erli destelendi inde her seferinde bir g l artmaktad r G llerin say s den fazla oldu una g re sepette en az ka g l vard r
Bir torbadaki cevizlerin say s ile aras ndad r Bu cevizler er ar ve er say ld nda her seferinde ceviz art yor Buna g re torbada ka ceviz vard r
Boyutlar cm ve cm olan dikd rtgenler yanyana dizilerek en k k boyutlu kare olu turuluyor Bu karenin bir kenar uzunlu u ka cm dir
Ebatlar ve cam olan dikd rtgenler prizmas eklindeki tu lalar yanyana st ste konularak en k k hacimli k p yap l mak isteniyor Bu i i in en az ka tu la gereklidir
OBEB OKEK LE LG L KURALLAR a obeb x y x y okek x y
b obeb x y okek x y x y
c Aralar nda asal say lar n ebob u dir
d Aralar nda asal iki say n n ekok u bu say lar n arp m d r e Ard k do al say lar ard k tek say lar aralar nda asald r f Ard k ift say lar n ebob u dir
g yx ve z kesirleri i int obeb yx
zt
okek y t obeb x t y z
okek yx zt
obeb y t okek x z
dir
ebob x ekok x ise x
Aralar nda asal iki say n n ekok u ise bu iki say n n toplam en az ka t r
24 24
ý ç ý
# # #
-
-
=
=
=
= = =
_ _
_ _
b __
b __
_ _
i i
i i
l ii
l ii
i i
36) , ö ý .
öç 10:20 ö 3.
ç ö ?
37) ý üç þ ý .
ý ý 4,3 5 ý . 12:00
üçü þ þ ý ;
) Ý þ ýç ý ç þ ?
) ýþ þ ý þ ý ý ý ç
ýþ ?
) ýþ þ ý þ 4
5 þ þ ýç ý ç
þý þ ýþ ý ?
38) , , ý ý ö ü üçü ð ý ç ý ?
39) , , 4 1 5 2 6 3 ü
ð üçü ð ?
40) öð ý 3' 2, 5' 4,
2'þ 1 öð ý . ç
öð ý ?
) , ,
ð üç ý ü ü ð ?
42) , , , 105 , ?
43) ý ý ý .
, 240 22 , ?
44) ý .
, , ?
tan tan tan
Giray her dk da Erdem ise her dk da g bek at yor Bu iki k ek birlikte ilk kez saat de g bek atarlarsa kez birlikte saat ka ta g bek atarlar
Dairesel bir pistin etraf nda ko ucu bulunmaktad r S ras yla ve dk da bir tur atmaktad rlar Saat da
birlikte belli bir noktadan ko maya ba l yorlar a lk kez ba lang noktas nda saat ka ta bulu urlar b Yar ba lad k sonra ilk bulu malar nda h zl olan ka tur atm olur
c Yar ba lad k sonra ilk bulu maya kadar sadece ve tur a ko ucular ba lang noktas nda ka kez
kar la m lard r
say lar na tam b l nen en k k do al say ka t r
a b c Z ve x a b c olmak zere
x in alabilece i en k k de er nedir
Bir grup renci s ralara er otururlarsa er otururlarsa er otururlarsa renci ayakta kal yor Bu grupta en az ka renci vard r
a b c Z ve x a b c olmak zere
x in alabilece i basamakl en b y k de er nedir
a b Z ba ve okek a b ise obeb a b
x ve y aralar nda asal say lard r
okek x y ve x y ise x
a ve b aralar nda asal ve a b dir
obeb a b okek a b ise a en fazla ka olabilir 74
85
113 135
197
41 6 7 8 15 9 8
75
90
91
ü
ç
>
!
!
!
= + = + = +
= - = + = +
= = =
= + = =
+ =
+
+
_ _
_
_ _
i i
i
i i
45) x ve y ardýþýk iki doðal sayý olmak üzere, obeb x,y 2m 13 ve okek x,y 26m olduðuna göre, x y ?
46) x,y,z N, obeb x,y 9, obeb y,z 15 ise x y z en az kaç olabilir?
47) a ve b ardýþýk iki çift sayý olmak üzere, obeb a,b okek a,b 62 ise a b ?
48) a,b,c N, x,y,z biribirinden farklý asal sayýlar olmak üzere obeb x .z ,x .y.z x .y .z
okek x .z ,x .y.z x .y.z ise a b c ?
49) x,y,z Z olmak üzere, A 3x 1 5y 2 7z 6 ise A nýn en küçük deðeri için x y z ?
50) okek 42,60,x 2 .3 .5.7
obeb 42,60,x 6 ise x en az kaç olabilir?
51) a,b farklý asal sayýlar olmak üzere, ebatlarý a b ve a b cm olan dikdörtgenler yanyana dizilerek bir kare yüzeyi oluþtu rulacaktýr. En az kaç dikdörtgene ihtiyaç vardýr?
A) ab B) ab C) a b D) a b E) a b
2 b 9 3 a c 3
2 b 9 3 9 4
2 2
3 2 2 4
2 2 2 2 3 2
!
!
!
= - =
+ =
= =
+ +
+ = + =
=
= + + =
= + = + = +
+ + =
=
=
-
+
_ _
_ _
_ _
_ _
_ _
i i
i i
i i
i i
i i
YGS-LYS MATEMATİK DERS NOTLARI
MESUT ERCİYES
RASYONEL SAYILAR
Taným: Q ba:a,b Z ve b 0 kümesinin her elemanýna Rasyone Sayý denir.
: ý ý ð üçü
. 1 1 ýðý ý .
1) 3 1 ð ö ç ý ð ý ?
þ : ý ý ð ü ü
þ .
2) þ ð ð
ý ý .
ý ý :
ý ý : ,
Ý Ý
, 9 0
4) 0,516 ? 5) 23,15 ?
6) :4 6 ?
7) ,,
,,
,, ?
8) ?
) ?
Basit Kesir Pay paydas ndan mutlak de erce k k olan kesirlerdir Basit kesirler ile aral ndad r
x ifadesi basit kesir oldu una g re x ka farkl de er al r
Bile ik Kesir Pay paydas ndan mutlak de erce b y k veya e it olan kesirlerdir
x ifadesi bile ik kesirse x in alabilece i de erler toplam n bulunuz
Tamsay l Kesir a cb a cb Ondal k Say lar a bcd abcd
DEV RL ONDALIK SAYILAR a bcd abcd ab
devreden kadarsay n n tamam devretmeyen k s mdevretmeyen kadar
SORU KALIPLARI 5
2 16
1000
990
21 31
0 020 22 1 1111 1
0 010 1
21 51
31 51 31
41 21
31
9 1 1
1 2111
ý ý ý ý ý
Bu k s mda virg lden sonraki k sma bak l r
1
ý ý ü ý ý ý
$
! !
=
- -
-
= +
=
= - = -
=
=
- =
+ - =
- - -
- + -
=
+ - -
=
-
b b
b b
l l
l l
; E
% /
14444444444244444444443
10) 5
3 2 x612 2 ise x ?
11) 3 x 754 ifadesini tanýmsýz yapan x deðerlerinin toplamý kaçtýr?
12) b,aa,b
23 ise a b ? 13) x 5,6789
y 5,6789 ise x,y,z sayýlarýný sýralayýnýz.
z 5,6789
14) a,b,c N ve a b c11
85 ise a b c ?7
15) 4x a2x 5 kesri sabit kesir ise a ? 16) 0,2 0,02 0,002 ... ?
17) x,y birer rakam olmak üzere, 8,x 4,y 13 ise a.b en fazla kaç olabilir?
18) 3 3 4
4 ?
19) 32
3322 ... 333333333222222222 ?
20) ð . ý 1 çý ý ý ,
ý 8 ð . ö ,
?
Bir kesrin de eri dir Bu kesrin pay ndan kar l p paydas na eklenirse de eri oluyor Buna g re ilk kesrin pay ka t r
72
51 ý ç ý
9 tane
h
! - -
-
= =
- -
= + =
=
=
=
+ + = + + =
+- =
+ + + =
+ =
+ + =
+ + + =
1442443
21) A 52 94
73 ve B 75 107
13 ise9 A nýn B türünden deðeri nedir?
22) 21 31
41 21
31
41 ... 21 31
41 ?
23) 1 51 1 61 ... 1 181 ? 24) 1 41 1 91 ... 1 1441 ?
25) 1 212 1 213 ... 1 2126 ?
26) a,b,c sýfýrdan farklý rakamlar ve a b c 15 ise a,bc b,ca c,ab ?
27) A 2,145 , B 7,1924 olduðuna göre, A B nin kaç basamaðý devreder?
28) 7x 4y1
6y 8x1 1 ise x y ? 29) a 5 1
a 5 1 ?
30) a,b,c sýfýrdan farklý reel sayýlar ve a < b < c olmak üzere, a1
b1 c1
171 ise a nýn alabileceði en büyük tamsayý deðeri kaçtýr?
31) 9.1115 11.1315
... 23.2515 ?
x y y x
36tane terim
= - + = + -
+ - + + - + + + - =
+ + + =
- - - =
- - - =
+ + =
+ + =
= = +
- + - = + =
+ +
+ =
+ + =
+ + + =
- -
b b b
b b b
b a b
l l l
l l l
l k l
144444444424444444443
YGS-LYS MATEMATİK DERS NOTLARI
MESUT ERCİYES
SIRALAMA-BASİT EŞİTSİZLİKLER
) ý þ ý ü ü ü ü ü .
...
) ý þ ý üçü ü ü ü .
...
) ý ý þ
ý ý üçü üçü ü .
...
)
ý ý üçü ü ü ü .
...
) ý ý ý ý
ý ý ý ç .
, , .
1) ü , , ,
ý ý ý ý ý ý .
2) , , ý ý . ð ö ,
, , ý ý ý ý ý ý .
3) , , ü 4 9 3 , ,
ý ý ý üçü ü üð ð ý ý ý .
4) 0 ü , 3 4 3 , ,
ý ý ý ý ý ý .
) , , . . . . , ,
ý ý ý ý ý ý .
) , 4, , 34, ,234 .
þ ðý ð ç .
SIRALAMA
a Paydalar e it olan kesirlerden pay b y k olan b y kt r
b Paylar e it olan kesirlerden paydas k k olan b y kt r
c Pay ve payda aras ndaki farklar e it olan basit kesirlerde pay ve paydas k k olan en k kt r
d Pay ve payda aras ndaki farklar e it olan bile ik kesirlerde pay ve paydas k k olan en b y kt r
e Negatif kesirlerde s ralama yap l rken say lar pozitif gibi s ralan p s ralama ters evrilebilir
say lar n s ralay n z
x R olmak zere a x b x c x
say lar n s ralay n z
a b c negatif reel say lard r a b c oldu una g re a b c say lar n s ralay n z
x y z R olmak zere x y z ise x y z say lar n k kten b y e do ru s ralay n z
a olmak zere a b ve c b ise a b c say lar n s ralay n z
a b c negatif reel say lard r a c a b b c ise a b c say lar n s ralay n z
a b c say lar n s ralay n z
A a daki kurallar pozitif de erli kesirler i indir 1311
1315 1359
297 1129
2429 3529
73 117
1721 10399
125 1219
1825 6572
1517 3941
10199
9 15 11
5 11 7
5 3 7 11
6 1 23 1 2 1
ý ý þ þ
ý ý ý ý ý ý
ý ý
ý ý ý ý ý ý
< <
> > >
< < <
> > >
<
!
!
- - -
= = =
= =
= =
= =
= =
= = =
-
+
) ,
, , .
) , .
) , , , . , . , .
, .
, , ,
, .
: ) . )
.
, . .
)
.
, . .
) . ( ),
.
) .
) . ?
) .
) ,
) )
)
sin
x y z olmak zere
a yx b yz c zx say lar n s ralay n z
x y ve y z ise x y ve z yi s ralay n z
x y z R olmak zere x y y z x z ise x y ve z yi s ralay n z
BAS T E TS ZL KLER
x ve y reel say lar olmak zere x y x y x y x y eklindeki ifadelere e itsizlik denir
ZELL KLER a Bir e itsizli in her iki taraf na ayn say eklenebilir veya kar labilir
x y x a y a
b Bir e itsizli in her iki taraf pozitif bir say ile arp labilir veya b l nebilir
a R x y a x a y veya x y ax ya c Bir e itsizli in her iki taraf negatif bir say ile arp l r veya b l n rse e itsizlik y n de i tirir
a R x y a x a y veya x y ax ya d a b ise yani a ve b ayn i aretli
a b a b dir
x e itsizli inin z m k me i bulunuz
x x x ise K
x ve x y ise y nin de er aral n bulunuz
e n Z olmak zere
a b a b
a b a b
a b a b
7 0
8 41
71
9 71 61 83
0
1 1
10 53 7
11 1 2 3 9
12 1 4 2 6
0 0 0
ü
ý ý ý ý ý ý
ý ý ý
ü ý ý ý
Ý ÞÝ Ý Ý
ý ü
þ þ
Ö Ý þ ð ý ý ý
çý ý
þ ð ý ý ç ý
ö ü
þ ð ý ý ç ý ý
ö ü ü þ ö ð þ
ý þ
þ ð çö ü ü
Ç
ð ýðý ý
ü
< < <
< <
> > > >
> < > <
>
< >
>
< < <
< < >
< < <
n n
n n
n n
2 2
2 1 2 1
&
& &
& &
&
&
&
&
" "
[ [ [ [ [[
1 2
1 1
!
# $
!
!
#
#
!
= = =
- = - =
= = =
--
+ - + =
- + =
+
-
+
- -
)
.
) ) ... .
) ... .
) .
) .
) ?
) ;
) , ?
) ?
) ?
) . ?
) . ?
) ) ) . ) )
) ?
) ) ) . ) )
) , ?
) ) ) ) )
) ?
) .
?
) .
. : . :
. , ?
sin
f Ayn y nl e itsizlikler taraf tarafa toplanabilir fakat kar lamazlar
g i a a a ise a dir
ii a a a ise a dir
iii a a a ise a d r
iv a a a ise a dir
x x ise x ifade in en k k de eri nedir
x ve y olmak zere
a x y Z ise x y en fazla ka olabilir b x y en fazla ka olabilir
c x y en fazla ka olabilir d x y en fazla ka olabilir
x x ve x y y ise a a dakilerden hangisi do rudur
A y B y C x y D x E y
x x x ve y y y ise hangisi do rudur
A xy B xy C x y D xy E xy y
x y olmak zere a x y y ise hangisi do rudur
A a B a C a D a E a
x ve y iken xyx y nin en b y k tamsay de eri a ve b tamsay lard r a b ve a b b ise a b fark en fazla ka olabilir
Bir sat c bir mal n fiyat iki ayr se enek ile belirlemi tir I se enek a tl II se enek a
II se enek daha karl oldu una g re a n n de er aral nedir
0 1
1
1 0
1
13 7 3
14 2 5 3 7
3 2
3 2
15
0 0 1 1 1 1
16
0 0 1 1
17 0 3
4 3 0 3 3 4 4 5
18 121
41
19 15 55 5
20
13 8 145
ý ö ü þ çý ý
ý
üçü ð
ü ç ç
ç ç
þ ðý ð
ð
ü ð
ü ü ý ð
ý ý
ý ç
ý ý ý ý ý ç þ
ç ç
ç ý ð ö ý ð ýðý
> > > < <
< < < >
< < < <
< < <
<
< < < <
< >
< > > > < <
< < < <
< > > < >
< <
< < < < < < < <
> >
< <
n n
n n
2 3
2 3
2 1 2
2 1 2
2
2 2
2
3 4 5 3 2
!
- - +
- + +
+
-
-
= +
+
+ + =
-
+
- -
YGS-LYS MATEMATİK DERS NOTLARI
MESUT ERCİYES
MUTLAK DEĞER
Taným: Sayý doðrusunda bir a sayýnýn belirttiði noktanýn baþlangýç noktasýnda olan uzaklýðýna a sayýsýnýn mutlak deðeri denir ve
a þeklinde gösterilir.
a 0 a
a a a a
Buna göre; a a a 0 ise
a a 0 ise yazýlabilir.
UYARI: Tanýmda mutlak deðerin uzaklýk olduðunu belirtmiþtik.
Uzaklýk negatif olamayacaðýna göre demek ki mutlak deðer de negatif olamaz.
a < 0 iken a a olmasýnýn sebeb i hikmeti budur.
ÖZELLÝKLER
1) a a a b b a
2) x x
3) x.y x . y ve yx y
x (y 0)
4) a a
5) a 0 olmak üzere, f x a f x a veya f x a
6) a 0 için f x a a f x a
7) a 0 için f x a f x a veya f x a
8) f x g x f x g x
Bu özellik , , için de geçerlidir.
9) Üçgen Eþitsizliði
x y x y x y dir.
SORULAR
1) 4 5 9 ?
2) 0 < x < 3 olmak üzere x 4 x 3 7 ? 3) a < 0 < b ise a a b b ?
4) 3x 7 1 denkleminin çözüm kümesi nedir?
5) 7 2x 5 0 þe itsizliðinin çözüm kümesi nedir?
n n
2n 2n
2 2
a birim a birim
&
&
&
&
1
2 2
1 1
2
2
!
$
$
# # #
$ $ #
# $
# #
-
- = =
= -
=- -
= - - = -
=
= =
=
= = =-
-
-
- + +
- + - - =
- + + + =
+ - - =
+ =-
- +
`
_ _ _
_ _
_ _ _
_ _ _ _
j
i i i
i i
i i i
i i i i
)
14442444 13 44424443
6) Þekildeki dik üçgene göre,
a b c b a c
ifadesinin deðeri nedir?
7) x 2x 3x 4x 10 ise x hangi deðerleri alýr?
8) 2x 6 6 2x ise x hangi aralýktadýr?
9) 4x 8 20 ise x in alabileceði deðerler toplamý kaçtýr?
10) x 2 11 3 ise x in alabileceði deðerler toplamý kaçtýr?
11) x 4 5 6 ise x in alabileceði deðerler toplamý kaçtýr?
12) a b 3 a b 7 0 ise a.b ?
13) 4 < x 1 < 15 eþitsizliðini saðlayan x in tamsayý deðerlerinin toplamý kaçtýr?
14) 2 < a < 3 olmak üzere, a 6a 9 a 4a 4 ? 15) x 4 5 2x denkleminin çözüm kümesi nedir?
16) x 1 x 2 eþitsizliðinin çözüm kümesi nedir?
17) x 2 < 3 olmak üzere, 2x y 2 0 eþitliðini saðlayan kaç farklý y tamsayýsý vardýr?
18) 6x 1 5 ifadesini saðlamayan tamsayýlarýn toplamý kaçtýr?
19) x 5
x 2 < 0 ifadesini saðlayan tamsayýlarýn toplamý kaçtýr?
20) x 3 x 4 0 denkleminin kökler çarpýmý kaçtýr?
21) x x 1 ifadesinin alabileceði en küçük deðer kaçtýr?
2 2
2
2
2
#
- - - - -
+ - + + - =
- = -
- =
- - =
+ + =
+ + + - + = =
+
- + + + + =
- = -
- -
- - - =
-
- -
- - =
+ + A
B C
540 360
a
c b 22) 2
x y
x y
ifadesinin en küçük deðeri kaçtýr?
23) 5
x y
x y
ifadesinin en büyük deðeri kaçtýr?
24) x 9 x 3 ise x in alabileceði deðerler toplamý kaçtýr?
25) 23 0,4 ise x ?
26) x 3 ! y 2 ! 2 ise x y en fazla kaç olabilir?
27) A x 1 x 5 x 2 ifadesi en az kaç olabilir?
28) a,b Z olmak üzere, a b 6 eþitsizliðini saðlayan kaç farklý a,b sýralý ikilisi vardýr?
29) x 5 x 6 ifadesi kaç farklý deðer alabilir?
NOT1: x a x b ifadesinin en küçük deðeri b a dýr.
30) x 3 x 5 ifadesinin en küçük deðeri kaçtýr?
31) x 2 24x 4 ifadesinin deðeri en fazla kaç olabilir?
NOT2: x a x b c için
a) c < b a ise kök yoktur. Yani Ç.K.
b) c b a ise Ç.K. a,b (a < b)
c) c > b a ise iki farklý kök var ve x < a ve x > b dir.
32) x 2 x 4 6 denkleminin çözüm kümesi nedir?
33) x 2 x 4 8 denkleminin çözüm kümesi nedir?
34) x 2 x 4 3 denkleminin çözüm kümesi nedir?
2
3x 2 4
1 2
! #
+ +
+
+ +
+
- = -
= =
- + + = +
= - + + + -
+
- - +
- + - -
+ + -
- + +
- + - =
- =
= - =
-
+ + - =
+ + - =
+ + - =
a - -
_
_ k
i
i
7 A
# -
YGS-LYS MATEMATİK DERS NOTLARI
MESUT ERCİYES
ÜSLÜ SAYILAR
Taným: a R ve n Z olmak üzere,
a.a.a...a a ifadesine üslü sayý denir. a taban, n üs ÖZELLÝKLER
1) a 1 a 0 2) a a
3) a .b a.b ve ba
ba b 0
4) a .a a ve
aa a 5) a a1, a a1 , a a1 6) ba
ab
7) Negatif sayýlarýn çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatif.
8) a a x y dir.
9) x y x y dir.
10) a 1
a 1,
b 0 a 0 ,
a 1 ve b çift sayý olabilir.
NOT:a k 1
a k 1 k dýr.
1) 1 1 1 1 1 ?
2) 2 2 .3 ?
3) 5 3 ise 5 ?
4) 6 6 6 ?
5) x . x . x ?
6) 22 22 22 ?
7) 3 3 3 x ise 3 3 3 ifadesinin x türünden deðeri nedir?
n
0 1
n n n
n
n n
m n m n
n
m m n
1 n
n n
n
n n
x y
a a
b
x y y x
100 101 100 101 0
1 0 2 2
x x 1
x
x 2 x 1
2 5 2
2010 2008 2006
2014 2012 2010
4 6 8 7 9 11
n tane
" "
&
&
&
!
!
!
! !
=
=
=
= =
= =
= = =
=
= =
= =
=
=
=
=- + +
+ =
- + - + - + - + - =
+ =
= =
+ =
- - - =
+ +
+ + =
+ + = + +
+
+ -
- -
- -
- -
- -
+
+ +
-
_
_ a _
a b
_
_ _ _ _ _
_
_ _ _
_ _
i
i k i
k l
i
i i i i i
i
i i i
i i
*
1 2 344 44
8) 2 2 48 ise x ?
9) 0,0090,018 0,5 ise x ?
10) x 3 ve y 2 ise 72 nýn x ve y türünden deðeri?
11) 8 .3 .25 sayýsý kaç basamaklýdýr?
12) 3 25 ve 5 27 ise x.y ?
13) 2 27 ve 2 81 ise x yx y ?
14) 5 5 2 5 2 5 5
625 ise x ?16 15) 15 35 13 1 126 ise x ? 16) a ve b tamsayýlar olmak üzere,
5 7 ise a b ?
17) 4 4 3 .4
1248 ise x ?
18) a 2 , b 2 , c 2 15 sayýlarýný sýralayýnýz.
19) a 2 , b 3 , c 5 sayýlarýný sýralayýnýz.
20) 2 33, 3 83, 5 623 ise x,y ve z yi sýralayýnýz.
21) a 2 1
a 2 1 ?
22) 4x 7 3x 8 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
23) ð ð ý ý
.
x x ise x in alabilece i de erler toplam n bulunuz
4 3 6
x 2 x 1
5x 1 2 4x
a a a
14 4 20
x y
x y
x x
x x x x x
x
x x x
a b 1 a b 5 b a
x x x 1
1 x
3 3 4 4
90 72 54
x y z
x y y x
11 11
10 10
4
+ = =
= =
= =
= = =
= = +- =
+ + ++ + = =
+ ++ + = =
= + =
- + = =
= = =
= = =
= = =
+ + + =
- = +
- = +
+ +
+ - -
- + + +
+ -
- -
b _
b
_ _
_ _
_ _
_
l i
l
i i
i i
i i
i
24) 4.2 7 ise a ?
25) x 1 1 denkleminin çözüm kümesi nedir?
26) x 3 1 ise x in alabileceði deðerler toplamý kaçtýr?
27) 5 2 ise 5 2 ifadesinin eþiti nedir?
28) 3 5, 2 3 ise 65 ?
29) 3 80! ve 3 81! ise x y ?
30) 3 .4 .5 8 ve 10 .8 .6 64 ise a b c ?
31) x 4x 3
x 4x 3 denkleminin çözüm kümesi kaç elemanlýdýr?
32) 2 .5 on basamaklý en küçük doðal sayý ise m n ?
a a 2
x 2
9 x
x y 2xy
x 3y
b a
a a.b
6y 2x x 5y
a b c c b a
x x 12
m 3n
2
2
= =
+ =
- =
= +
= = =
= = + =
= = + + =
+- = +-
+ =
+
-
-
+ +
+ -
_ _
a b
i i
k l
