19 BÖLÜM 2
DENGE 2.1 Giriş
Asırlar boyu hareket ve hareketin nedenleri, doğa felsefesinin, bugünkü adı ile fiziğin temel meselesi olmuştur. Bu durum Galileo ve Newton dönemine kadar uzanır. Klasik mekaniğin kurucusu kabul edilen Newton, Galileo’ nun öldüğü yıl İngiltere de doğmuştur.
Newton, Galileo’ nun ve kendisinden önce yaşamış diğer bilim adamlarının çalışmalarından faydalanmıştır. Sir Isaac Newton (1643 – 1727 ) tarafından açıkça ifade edilen 1686 yılında
“Tabii Bilimlerin Matematik Prensipleri” adlı makalesiyle yayınlanan üç kanuna dayanır.
Galileo’dan önce birçok felsefeci, bir cismi hareket halinde tutabilmek için bir etki veya bir kuvvetin gerekli olduğu düşünmüşlerdir. Bir cisim hareketsiz ise o cisim doğal durumundadır. Örneğin, bir cisim sabit bir hızla bir doğru boyunca hareket etmesi için, cismin üzerinde daima bir dış etkenin var olması gereklidir, aksi takdirde cismin doğal olarak hareketsiz durumuna dönecektir. Cisimlerin, hareketlerini dış etkiler olmaksızın koruyabilmek olgusu Newton tarafından ortaya atılmıştır.
2.2 Newton’ un Birinci Kanunu, Denge
Kuvvetin etkilerinden birisi, etkidiği cismin boyutunu veya biçimini değiştirmesi, diğeri de cismin hareketinin bozmasıdır.
Bir cismin hareketi ya tüm olarak veya öteleme hareketi yanında, eğer varsa, dönme hareketi ile beraber düşünülür. Genel halde bir cisme uygulanan kuvvet o cismin hem öteleme hem de dönme hareketi ile anlaşılır. Bir cisme aynı anda birçok kuvvet etki edebilir ve bu kuvvetler birbirini karşılayarak cismin öteleme ve dönme hareketinde bir değişme olmayabilir. Bu halde cisim dengededir denir. Bir cismin dengede olabilmesi için ;
1. cisim ya sükûnet halindedir veya cisim sabit hızla bir doğru üzerinde hareket ediyordur. 2.
cisim ya dönmemekte veya sabit hızla dönmektedir.
( a ) ( b ) ( c ) Şekil.2.1 Bir cisim üzerine etki eden değişik şekillerde iki kuvvet
A A
B
A C F1
F1 F1
F2 F2
20
Şekil.2.1 de görüldüğü gibi yassı şekil değiştirmeyen ve sürtünmesi ihmal edilen yatay bir düzlem üzerinde bulunan bir cismi göz önüne alalım. Başlangıçta dengede olan bu cisme Şekil.2,1 (a) da görüldüğü gibi bir tek F1 kuvveti etkirse bu cisim harekete başlar ve saat göstergesi yönünde döner. Cisim başlangıçta hareket halinde ise bu kuvvetin etkisinde öteleme hareketinin hızı ve doğrultusu değişir ve dönmenin hızı artar veya azalır. Her iki halde de cisim dengede kalmaz.
Şekil.2.1 (b) de cisme F1 le aynı büyüklükte zıt yönde ve aynı doğrultuda ikinci F2 kuvveti yardımıyla denge sağlanabilir. Buna göre F1 ile F2 kuvvetlerinin bileşkesi sıfır olur.
Şekil.2.1 (c) de görüldüğü gibi iki kuvvetin etki çizgileri aynı değilse cismin öteleme dengesi vardır dönme dengesi yoktur.
Analitik çözüm için verilen kuvvetlerin dik bileşenlerinin alınması kolaylık sağlar.
Düzlemsel bir kuvvet sisteminin R bileşkesinin dik bileşenlerinin:
Rx = Σ Fx , Ry = Σ Fy olduğunu görmüştük.
Eğer bir cisim dengede ise, cisim üzerine etkiyen bütün kuvvetlerin bileşkesi sıfırdır.
Bu sebeple dik bileşenlerin her birinin sıfır olma gerekçesinden bir cismin denge şartı olarak, Σ Fx = 0 , Σ Fy = 0 yazabiliriz.
Bu denklemlere dengenin birinci şartı denir. Birinci denge şartı bu cismin öteleme dengesinin bulunduğunu ifade eder. Dengenin ikinci şartı ise dönme dengesi ile ilgilidir.
Newton’un birinci yasası “ Bir cisme bir dış kuvvet ( bileşke kuvvet ) etki etmedikçe, cisim durgun ise durgun kalacak, hareketli ise sabit hızla doğrusal hareketine devam edecektir.” ifade edilmiştir.
2.3 Newton’un Üçüncü Hareket Kanunu
Her hangi bir kuvvetin varlığı, iki cisim arasındaki karşılıklı etkinin bir ifadesidir. Her hangi bir cisim diğer bir cisme etkiyince, ikinci cisimde birinciye aynı doğrultuda zıt yönde eşit şiddette bir kuvvet uygular. Bu sebepten tek bir kuvvetin varlığı düşünülemez. F12 = - F21 dir. Bu kuvvetlerden birine “etki “ diğerine” tepki” kuvveti denir. Bunlardan birisi sebepse diğeri de onun tepkisidir. Kuvvetlerin bu özelliği, Newton tarafından hareketin üçüncü kanunu olarak ifade edilmiştir.
Örnek olarak Şekil.2.2 de görüldüğü gibi , bir adam , yatay bir masa üzerinde bir bloğa bağlanmış olan bir sicimi yatay olarak çekiyor.Adam sicim üzerine FAS kuvvetini uygulamaktadır. Sicimde adama FSA tepki kuvvetini uygular. Newton’un üçüncü kanununa
21
göre , FAS = - FSA dır. Sicim, blok üzerine FSB gibi bir kuvvet uygularken blokta sicim üzerine FBS gibi bir tepki kuvveti uygular. Buna göre de FSB = - FBS dir.
Şekil.2.2 Etki – Tepki Kuvvetleri
Bir adam sicime bağlı bir bloğu çekiyor. Sicim üzerine adam ve blok tarafından uygulanan kuvvetler eşit ve zıttır. Sicim üzerindeki toplam kuvvet sıfırdır. Sicim ivmelenmez. FAS ile FSA ve FSB ile FBS kuvvetleri etki – tepki kuvvetleridir. FAS ile FBS etki – tepki kuvvetleri değildirler. Çünkü aynı cisme uygulanmışlardır.
2.4 Denge Örnekleri
Denge şartları, dengede olan bir cisim üzerine etkiyen kuvvetler arasında bazı ilişkiler ifade eder. Bir cisme etkiyen kuvvetler vektörlerle gösterilerek dikkatle çizilen bir diyagram denge problemlerinin çözümünde esastır. Denge problemlerinin çözümünde izlenecek yol şudur: İlk önce verilen sistemin düzgün bir resmi çizilir. Sonra dengede olan cisimler tespit edilir ve buna etkiyen kuvvetler işaretlenir. Bu çizilen diyagrama kuvvet veya serbest cisim diyagramı denir. Diyagram üzerinde verilen kuvvetlerin doğrultuları ve sayısal değerleri yazılır. Bilinmeyenler harflerle gösterilir. Son olarak ta eğik kuvvetleri dik bileşenlerine ayılarak kuvvet diyagramı çizilir ve denge denklemleri yazarak bilinmeyenler bulunur.
ΣFx = , 0 ΣFy =0
2.5 Sürtünme
Bir cisim diğer bir cisim üzerinde kayarken, birbirinin kayma yüzeyine paralel sürtünme kuvveti uygularlar. Bu kuvvet cisimlerin bağıl hareketlerine zıt yöndedir. Bir cisim masa üzerinde soldan sağa kayarsa bu cisme sola doğru bir sürtünme kuvveti etkir. Masa ise buna eşit sağa yönelmiş bir kuvvet etkisinde kalır.
Şimdiye kadar etkilerini ihmal ettiğimiz halde sürtünmenin günlük yaşantımızdaki yeri çok önemlidir. Örneğin dönen bir şaft sadece sürtünme kuvvetinin etkisiyle durdurulabilir. Bir otomobilde, motor gücünün yüzde % 20 si sürtünme kuvvetlerine karşı koymak için harcanır.
FAS FSA
FSB
FBS
22
Öte yandan sürtünme olmaksızın rahatlıkla yürüyemeyecek, kuşun kalemimizi elimizde tutamayacak tutabilsek bile yazı yazamayacaktık; kara taşımacılık mümkün olmayacaktı!
Ayrıca sürtünme kuvveti sebebi tam anlaşılmış değildir ve önemli bir araştırma konusudur.
Akışkan ( sıvı veya gaz ) içinde hareket eden, cisimlerde bir sürtünmenin etkisindedir. Bu sıvıların viskozluğunun sonucudur. Biz bu bölümde birbiri üzerinde kayan yağlanmamış iki cisim arasındaki “ kuru sürtünme “ adı verilen kuvveti incel iyeceğiz.
Şekil.2.3 (a) da bir cisim kendi w ağırlığı ve üzerinde durduğu yatay yüzeyin uyguladığı P kuvveti etkisinde dengede bulunmaktadır.
Şekil.2.3 (b) de ise cisme bir sicim bağlandığını ve sicimdeki T geriliminin yavaş yavaş artırdığını düşünelim. Gerilim pek büyük değilse cisim dengede kalır. Bu halde yüzeyin cisme uyguladığı P kuvveti, şekilde görüldüğü gibi sola doğru eğilir. Artık P , w ve T gibi üç kuvvet düşünülmelidir. P nin yüzeye paralel bileşeni statik sürtünme kuvveti adını alır ve fs
ile gösterilir. Diğer N bileşeni yüzeyin cisme uyguladığı normal kuvvettir. Denge şartlarına göre fs statik kuvveti T ye, N normal kuvveti de w ağırlığına eşittir.
Hareket yok fs< µs . N
( a ) ( b )
hareket sınırında hareket var fs = µs . N fk = µk .N
( c ) ( d ) Şekil 2.3
T daha büyültülürse, bir değerden sonra cisim düzlem üzerinde kaymaya başlar. Başka bir deyimle fs statik sürtünme kuvvetinin belli maksimum değeri vardır. Şekil.2.3 ( c ) T nin hareketi sağlayacağı limitin hemen altında bulunduğu hale ait kuvvet diyagramını gösteriyor.
T nin limitin üstüne çıkınca artık cismin dengesinden söz edilemez.
P P
P N P N
N
w w
w w
T T
T fs
fs fk
23
Temas halindeki belli bir düzlem için fs nin maksimum değeri hemen hemen N nin maksimum değeri ile orantılıdır. Statik sürtünme kuvvetinin değeri sıfırla, N le orantılı µs.N gibi bir maksimum değer arasında değişir. µs katsayısına statik sürtünme katsayısı denir. Bu deyimin matematik değeri fs < µs.N dir. Kayma başlar başlamaz sürtünme kuvveti küçülür.
Bu halde de sürtünme halindeki iki yüzey için sürtünme kuvveti hemen hemen normal kuvvetle orantılıdır. µk katsayısına kayma ( kinetik ) sürtünme katsayısı denir. Cisim hareket halinde ise kayma sürtünme kuvveti fk = µk N bağıntısıyla verilir.
24
ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLER
2.1. Şekilde görüldüğü gibi A cisminin aşağı doğru harekete
başlaması için P kuvveti ne olmalıdır.
Bütün yüzeylerde statik sürtünme katsayısı µs =0,25 dir. WA = 100 nt, WB = 200 nt
cos300 = sin600 = 0,86 cos60 = sin300 = 0,5
Çözüm : µs =0,25 , WA = 100 nt , WB = 200 nt
A cismi için denge şartı P + WAx – fA – T = 0
B cismi için denge şartı T – fB = 0
P + WAx – fA – T = 0
P + WAx - fA - fB = 0 P + 50 – 21,5 – 50 = 0 , P = 21,5 nt
fA = µs.mA .g.cos300 = 0,25.100.0,86 = 21,5 nt fB = µs.mB .g = 0,25.200 = 50 nt
WAx = WA . sin300 = 100.0,5 = 50 nt T = fB = 50 nt
30°
A
B
P
30°
A
B
P
T T
WB
WA
WAy
WAx
NA
fA
fB NB
25 2.2. A ve B blokları şekilde
görüldüğü gibi sürtünmesiz makaradan geçen iplerle P1=90 kg P2 = 300 kg lık ağırlıklar asılmıştır. Blokların birbirleriyle ve masa
üzerindeki sürtünme katsayısı µ = 0,15 olduğuna göre sistemin dengede kalabilmesi için A ve B bloklarının ağırlıkları ne olmalıdır?
Çözüm : P1 =90 kg , P2 = 300 kg
A cismi için denge şartı:
0
ΣFX = , P1 – fA = 0 fA = P1 = 90 , fA = µS . NA , 90 = 0,15. WA WA = 600kg.f
0,15 90 =
0
ΣFY = , NA - WA = 0 NA = WA
B cismi için denge şartı:
0
ΣFX = , P2 - fA – fB = 0 fA = 90 kg.f fB = 0,15 ( WA +WB ) 300 – 90 –fB = 0 ,
0
ΣFY = NB - WB = 0 NB = WB fB = 210 210 = 0,15 (600 + WB )
210 = 90 + 0,15. WB , WB = 120 / 0,15 = 800 kg.f
A B
P1
P2
A
fA
P1 P2
P2
P2
P2
P1
P1
P1
fA
fB
P1
NA
WA fA
A
B
WB NB
fB fA P2
26 2.3. a) Şekildeki sistemin dengede kalabilmesi için P / Q oranı ne olmalıdır. b) Bu oran için ip kuvvetlerini P cinsinden bulunuz.
cos300 = sin600 = 0,86 sin300 = cos600 = 0,5 cos450 = sin450 = 0,7
Çözüm : P / Q = ?
P yükünün bulunduğu nokta için denge şartı : 0
ΣFX = T2. cos300 = T1 ( 1 ) 0
ΣFY = T2. sin300 = P ( 2 ) T2 . 0,5 = P , T2 = 2P
Q yükünün bulunduğu nokta için denge : 0
ΣFX = T3 .cos600 = T2 .cos300 ( 3 ) 0
ΣFY = T3 .sin600 - T2 .sin300 – Q = 0 ( 4 )
T3.0,5 – T2 . 0,86 = 0 T3 .0,86 – T2 . 0,5 – Q = 0 ____________________________
0,86 / T3.0,5 – T2 . 0,86 = 0 0,5 / T3 .0,86 – T2 . 0,5 – Q = 0
_________________________________________
0,43 . T3 – 0,75 . T2 = 0 - 0,43. T3 + 0,25. T2 = - 0,5 .Q
0,5 .T2 = 0,5 .Q T2 = Q olur. T2 = Q yi ( 2 ) de yerine koyarsak:
T2 .0,5 = P Q. 0,5 = P olu . 2 1 Q
P = r T2 = 2 . P
(1) den T1 = 2.P.0,86 = 1,72 .P T1 = 1,72 . P ( 4 ) den T3.0,86 – T2.0,5 - T2 = 0
T3 .0,86 = 1,5 . T2 T3 = 3,44.P
T3
T2
600 300
Q P
Q
300
600
1
2
3
P
Q
300
600
1
2
3
T1
T2
P
300
27 2.4. a ) Sistemin harekete başlaması için C cisminin ağırlığını bulunuz. A cisminin masa ile arasındaki statik sürtünme katsayısı µs = 0,2 dir.
b) C cismi kaldırılıyor. Cismin sabit hızla hareket etmesi için kinetik sürtünme katsayısı ne olmalıdır. WA = 44 nt , WB =22 nt , µs = 0,2 dir.
Çözüm : WA = 44 nt , WB =22 nt , µs = 0,2 dir.
Asılı cisim için denge şartı : 0
ΣFY = , WB – T = 0 , WB = T = 22 nt Yataydaki cisim için denge şartı:
0
ΣFX = , T – fs = 0 T = fs = µs ( WA + WC ) 0
ΣFY = , N – Wtop = 0
T = fs = µs ( WA + WC ) 22 = 0,2 ( 44 + WC) WC = 66 nt
b ) Asılı cisim için : WB – T = 0 WB = T = 22 nt Yataydaki cisim için denge şartı
T – fk = 0 , T = µk. NA
T = µk. WA , 22 = µk. 44 , µk = 0,5
A C
B
A C
B fs
W N
T
WB T
T T
WB WA
NA
A
28 2.5. Şekildeki gibi bir noktada kesişen
kuvvetler sisteminin dengede olabilmesi için Q ve α ne olmalıdır
Çözüm : ΣFX = 0
Q.cosα – 8 - 10.cos θ = 0 , ( 1 ) 0
ΣFY =
Q.sinα – 6 – 10. sin θ = 0 ( 2 ) cos θ = 3 / 5 = 0,6
sin θ = 4 / 5 = 0,8
Q. cosα – 8 – 10.0,6 = 0 , Q. cosα = 14
Q.sinα - 6– 10.0,8 = 0 , Q. sinα = 14 Bu iki denklemi birbirine böldüğümüzde:
tanα = 1 α = 450
Q = 20ton
0,7 14 cosα
14 = =
2.6. Şekildeki sistem dengede olduğuna göre P ve θ değerlerini bulunuz.
Q
4 m 5 m
3 m
α
10t 8t
6t
300 θ 450
P
1200 kg 700 kg
600 kg
0,65 ton
x y
Q
4 m 5 m
3 m 8t α
6t 10t
θ
θ
29 Çözüm :
0
ΣFX = , 1200.cos300 + 650 + P. cosθ - 700.0,7 = 0
1200.0,86 + 650 + P. cosθ - 490 = 0 1192 + P. cosθ = 0 (1 )
0
ΣFY = , 1200.sin300 + P.sinθ + 700.0,7 = 600 600 + P.sinθ – 600 + 490 = 0
P.sinθ + 490 = 0 (2)
(1) ve (2) den P2 + sin2θ +cos2θ = (-1192)2 + (-490)2 P2 = (-1192)2 + (-490)2
P = 1288,8 kg
PX = P.cosθ , PY = P.sinθ
(1) den 1192 + P. cosθ = 0 , 1192 + 1288,8 . cosθ = 0 , cosθ =
8 , 1288
1192 = 0,92
2.7. Aşağıda görülen her iki blok ile düzlem arasındaki sürtünme katsayısı 0,25 iken hareket başlangıcı için lüzumlu P kuvvetini bulunuz. P kuvveti ve halat düzleme paralel olup, makara ağırlıksızdır.
Çözüm :
20 kg lık cisim için denge şartı:
0
ΣFX = , T – P – WAx + fA = 0 (1) T – P – WA .sin300 + µ. NA = 0 T – P – 20.0,5 + 0,25.17,2 = 0
20 kg
10 kg
P 300
300 θ 450
P
1200 kg 700 kg
600 kg
0,65 ton
x y
20 kg
P 300
T T
WA
WB
WAx
WAy
fA
fB
A
B
30 T – P – 10 + 4,3 = 0
P = T – 5,7 0
ΣFY = NA – WA . cos30 = 0 NA = 20.0,86 = 17,2 kg
10 kg lık cisim için denge şartı:
0
ΣFX = , T – WBx – fB = 0 T – 10.sin300 - 0,25. 10.cos300 = 0 T = 10.0,5 + 0,25.10.0,86 = 7,15 nt
0
ΣFY = , NB = WB . cos300 = 10.0,86 = 8,6 nt P = T – 5,7 , P = 7,15 – 5,7 = 1,45 kg P = 1,45 kg
2.8. Şekilde gösterilen düzenekte P1 = 40 kg , P2 = 30 kg dır. İpin üç parçasındaki gerilme kuvvetlerini ve θ açısını bulunuz. θ1 = 450 , θ2 = 600
Çözüm : P1 = 40 kg , P2 = 30 kg , θ1 = 450 , θ2 = 600
A noktası için denge şartı 0
ΣFX = ,
T2 .cosθ – T1.cos450 = 0 T2. cosθ - T1.0,7 = 0 (1)
0 ΣFY =
T2. sinθ + T1.sin450 – 40 = 0 T2. sinθ + T1.0,7 = 40 (2) B noktası için denge şartı :
0
ΣFX = , T3 .cos600 – T2.cosθ = 0 T3 .0,5 - T2.cosθ = 0 0
ΣFY = T3 .sin600 – T2.sinθ – 30 = 0 T3.0,86 - T2.sinθ =30
P1
P2
θ1 θ2
θ θ
P1
P2
θ1 θ2
θ θ
T1 T2
T3
A
B
T2 T1
450 θ
P2 =40 nt
31 T3 .0,5 - T2.cosθ = 0 (3)
T3.0,86 - T2.sinθ =30 (4) T2. sinθ = 40 - T1.0,7 (2)
T2.sinθ = -30 + T3.0,86 (4) bu iki denklemden (eşitlikten ) 40 - T1.0,7 = - 30 + T3.0,86
40 - T1.0,7 = -30 + ( 7/ 5) T1.0,86 T1 = 36,84 kg
T2. cosθ - T1.0,7 = 0 (1) T2. cosθ = T1.0,7 T3 .0,5 - T2.cosθ = 0 (3) T2. cosθ = T3 .0,5 Bu iki denklemden T1.0,7 = T3 .0,5 olur.
T3 = ( 7 / 5 ) . T1 ,
T3 = ( 7/5 ).36,84 = 51,57 kg
T2. cosθ - T1.0,7 = 0 T2. sinθ = 40 - T1.0,7
T2 = 30kg
0,86 36,84.0,7 cos30
.0,7 T
0
1 = = sinθ = 0,5
30 7 , 0 . 84 , 36
40− =
θ = 300 olur.
2.9. Boyu 10 m olan bir ip aralarındaki uzaklık 4 m olan düşey iki duvar üzerindeki A ve B noktalarına
bağlanmıştır. Bir W ağırlığı bir hareketli makara yardımıyla ipin üzerine konmuştur. Denge konumunda iplerin yatayla yaptığı açıyı ve ip kuvvetlerini bulunuz.
Çözüm: C noktası için denge şartı : ΣFX = S.cosβ – S.cosα = 0 (1) 0 ΣFY =0 S.sinβ + S.sinα = W (2) ---
(1) den S.cosβ = S.cosα , cosβ = cosα , β = α
A
B
C
D E
4 m α
β
W
T3
T2 P1 =30 kg 600
θ
S S
W
α β
C
32 (2) den S.sinα + S.sinα = W 2.S. sinα = W
S =2.sinα
W , AC + BC = 10 , AC. cosα + BC. .cosβ = 4
cosα ( AC + BC ) = 4 cosα (10 ) = 4 , cosα = 0,4 α = 66,40
S = 2.sinα
W = 1,25.W
2.sin66 W
0 = olur.
2.10. Şekilde görüldüğü gibi sürtünmesiz makaradan geçen iki cisim görülmektedir.
Sürtünme katsayısı µ = 0,3 olan masa üzerindeki 300 nt luk cismin sağa doğru hareket etmesi için W ağırlığı ne olmalıdır.
sin300 = 0,5 , cos300 = 0,86 , sin450 = cos450 = 0,7
Çözüm :
300 nt luk cisim için denge şartı:
0
ΣFX = , Wx – Fx – fs = 0 , W.cos300 – F.cos450 –µ. N = 0 (1)
0
ΣFY = , Wy + Fy + N -300 = 0 , N +W.sin300 + F.sin450 = 300 (2) (1) den W.0,86 – F.0,7 – 0,3. N = 0 W.0,86 – 28 – 0,3.N = 0
(2) den W.0,5 + 40.0,7 + N = 300 W.0,5 + 28 + N = 300
N = 272 – W.0,5
N nin bu değerini (1) de yerine koyarsak:
W.0,86 – 28 – 0,3 ( 272 – W.0,5 ) = 0 W.0,86 – 28 – 81,6 + 0,15.W = 0 W = 109,6 nt olur.
40 nt W
300 450
40 nt W
300 450
N
f
W F=40 nt
fs
300 nt
300 450
N
33 2.11. Şekildeki sistemin dengede dolabilmesi için T1 ve T2 ne olmalıdır. sin700 = 0,94 cos700 = 0,342
Çözüm :
A noktası için denge şartı : 0
ΣFX = , T2.sin700 – T1 .cos600 = 0 (1) 0
ΣFY = T1 .sin600 - T2.cos700 – 40 = 0 (2) T2 .0,94 - T1.0,5 = 0 (1) T1.0,86 - T2 .0,342 = 40 (2) --- T1 = 2 1,88.T2
1/2 .0,94
T =
1,88.0,86 T2 - T2.0,342 = 40 T2 = 40/1,278 T2 = 31,29 nt T1 = 1,88.31,29 = 58,84 nt
2.12. Şekildeki iki ağırlık AB, BC ve BD ipleri ile dengelenmiştir.
Makaradaki sürtünmeyi ihmal ederek iplere gelen kuvvetleri bulunuz.
T1
T2 600
700
W = 40 nt A
A B
C
D E
80 kg 100 kg
450
W
T2
T1
600 700
34 Çözüm:
D noktası için denge şartı : 0
ΣFX = , 100 – SBD . cosθ = 0 (1) 0
ΣFY = , SBD . sinθ – 80 = 0 (2) --- Bu iki denklemi birbirine böldüğümüzde : tanθ = 80 / 100 = 0,8 θ = 38,660
SBD = 128kg
sin38,66 80 sinθ
80
0 =
=
B noktası için denge şartı : 0
ΣFX = , SBC .cos450 + SBD .cos38,660 - SAB = 0 (1) 0
ΣFY = , SBC .sin450 - SBD .sin38,660 = 0 (2) SBC .0,7 + SBD .cos38,660 - SAB = 0
SBC .cos450 - SBD .sin38,660 = 0 (2) den SBC.0,7 = 128. sin38,660 ,
SBC = 113,2 kg
(1) den 113,2.0,7 + 128. cos38,660 = SAB
SAB = 180 kg
2.13. Bir çimento torbası şekilde görüldüğü gibi üç tel yardımıyla asılmıştır. Tellerden ikisi yatayla θ1 ve θ2 açılarını yapmaktadır. Sistem dengede ise;
a) T1 gerilmesi için
) θ sin(θ
) W.cos(θ T
2 1
2
1 = + olduğunu gösteriniz.
b) W=200 N, θ1=10° ve θ2=25° olarak verilmiş ise, tellerdeki T1,T2 ve T3 gerilimlerini bulunuz.
θ1 θ2
W Çimento SBD
100 kg 80 kg θ
SBC
SBD
SAB
450 36,660
35 Çözüm: a)
) ...(2 .cosθ
T .cosθ T
W...(1) .sinθ
T .sinθ T
2 2 1 1
2 2 1 1
=
= +
Bunlardan T2’yi yok edip T1 çözülür.
İstenen çözüm trigonometrik
özdeşliklerden faydalanılarak bulunur cosθ W
) .sinθ cosθ .cosθ
(sinθ T
2
2 1 2
1
1 + =
T1=
) θ sin(θ
W.cosθ
2 1
2
+ olur.
b) W=200 nt , θ1=10° ve θ2=25°
cos25 343N cos10 T
T
sin35 316N cos25 T
T N 200 T
1 2
3 1 3
° =
= °
° =
= °
=
2.14. Hava alanındaki bir bayan, 20 kg’ lık valizini yatayla θ açısı yapan bir kuvvet ve sabit bir hızla şekilde görüldüğü gibi çekiyor. Kadının valize uyguladığı kuvvet 35 N ve valiz ile zemin arasındaki sürtünme kuvveti 20 N’ dur.
a) Çekme ipi yatayla kaç derecelik açı yapar?
b) Zemin valize ne kadar normal kuvvet uygular?
Çözüm :
mçanta = 20 kg , F = 35 nt , f = 20 nt 0
ΣFX = , F.cosθ - f = 0 (1) 0
ΣFY = , F .sinθ + N – W = 0 (2)
θ
θ
F N
W f
θ1 θ2 T1
T2
W
36 (1) den .cosθ = 0,57
35 20 F
f = = θ = 550
b) (2) den N = W - F .sinθ = 196 - 35 .0,82 = 167,3 nt W = m.g = 20.9,8 = 196 nt
2.15. Bir cisim, 45° eğimli bir eğik düzlemin yüzeyine paralel olarak yukarıya doğru 15 nt luk kuvvet etkisiyle sabit hızla hareket ediyor. Kinetik sürtünme katsayısı
µk = 0,3 ise ;
a) Bloğun ağırlığı nedir ?
b) Bloğun aşağı doğru sabit hızla hareket edebilmesi için uygulanması gereken minimum kuvvet nedir?
Çözüm : a) P = 15 nt , µk = 0,3 0
ΣFX = , P – W.sin450 – µk.N = 0 (1) 0
ΣFY = , N – W. cos450 = 0 (2) fk = µk.N = 0,3. W. cos450 = 0,21.W
(1) de e koyarsak 15 – W.0,7 – 0,21.W = 0 W = 15 / 0,91 = 16,48 nt
b) P = W.0,7 - 0,21.W = 16,48.0,7 - 0,21.16,48 = 8,07 nt
2.16. Şekildeki asılı cismin ağırlığı 50 nt dur. T2 ve T3 gerilmelerini bulunuz a ) θ2 = θ3 = 600
b) θ2 = 600 , θ3 = 00
c) AB = 10 cm OA = 6 cm OB = 8 cm
olduğuna göre cevaplayınız. T1
T2
T3
W
600 600
θ2
θ3
W
P
fk
Wx Wy
N
450
37 Çözüm: a ) θ2 = θ3 = 600
T2 . cos600 – T3 .cos600 = 0 T2 = T3
T2.sin600 + T3.sin600 - T1 = 0 T2 .0,86 + T3 .0,86 – 50 = 0 T2.1,72 = 50 , T2 = T3 = 29 nt
b) θ2 = 600 , θ3 = 00
0
ΣFX = T2 .cos600 – T3 = 0 , T2 .0,5 - T3 = 0
0
ΣFy = T2 .sin600 – W = 0 , T2 .0,86 - 50 = 0
T2 = (50 / 0,86 ) = 58,13 nt T3 = T2 . 0,5 = 29 nt
c ) AB = 10 cm , OA = 6 cm , OB = 8 cm
cosθ2 = (8 / 10 ) = 0,8 sinθ2 = ( 6 / 10 ) = 0,6 cosθ3 = (6 / 10 ) = 0,6 sinθ3 = (8 / 10 ) = 0,8
∑ Fx = 0 T2 .cosθ2 – T3 . cosθ3 = 0
∑ Fy = 0 T2 .sinθ2 + T3. sinθ3 - T1 = 0 __________________________________
0,6 / T2 .0,8 – T3 0,6 = 0 0,8 / T2 .0,6+ T3 .0,8 = 50 -__________________________________
0,48 .T2 – 0,36 T3 = 0
-0,48 T2 - 0,64 T3 = - 40 , T3 = 40 nt T2 = 30 nt
0
W
θ2
T3
T1
T2
600
A B
0 T1
T2
T3
W θ2
θ3
θ2 θ3
38 2.17. Şekildeki sicimin gerilimini ve
mafsalın payandaya uyguladığı kuvveti bulunuz. Cismin ağırlığı 1000 nt dur.
Çözüm:
∑ Fx = 0 , Fx - Tx = 0
∑ Fy = 0 , Fy - Ty - T1 = 0
F.cos450 – T . cos300 = 0 F.sin45 – T .sin300 – T1 = 0 F.0,7 - T. 0,86 = 0
F.0,7 – T 0,5 = 1000
-F.0,7 + T.0,5 = -1000
-T.0,36 = -1000 , T = 2777,8 nt F = (2777,8. 0,86) / 0,7 = 3412,7 nt
2.18. a ) 2m uzunluğunda yatay bir kalasın bir
ucu duvara asılı ve diğer ucunda 500 nt luk bir cisim bağlıdır. Cismin bağlandığı uç çelik bir halatla kalasın üzerinden duvara asılmıştır. Halattaki gerilim 1000 nt u geçmezken askı yerinin kalastan olan yüksekliği ne kadardır.
b) Kalas yatay kalmak şartı ile askı noktası 25 cm aşağı indirilse gerilim ne kadar artar.
450 300
F
T Tx
Ty
Fx
Fy
450 300
T1
450 300
39 Çözüm :
a)
∑ Fx = 0 , F – T.cosα = 0 , F = T. cosα
∑ Fy = 0 T.sinα – W = 0 , W = T. sinα Buradan sinα = ( W / T ) = 500 / 1000 sinα = 0,5
sinα =
h2
4 h AB
h
= +
AB2 = BC2 + AC2 , AB = 4 +h2 ,
h2
4 h 2
1
+
=
2 . h = 4 +h2 , 4.h2 = 4 + h2 , 3 .h2 = 4 h = 1,15 m , h = 115 cm olur.
b) h = 115 – 25 = 90 cm = 0,9 m , AB2 = BC2 + AC2 AB2 = 0,92 +4 = 4,81
AB = 2,19 , sinα = W / T , T = W / sinα sinα = h / AB , sinα = 0,9 / 2,19 = 0,41 T = 500 / 0,41 = 1250 nt
2.19.a ) Şekildeki A cismi 100 nt dur.
Cismin üzerinde durduğu yüzeyle arasındaki statik sürtünme katsayısı 0,30 dur. w ağırlığı 20 nt olup sistem dengededir. A cismine etkiyen sürtünme kuvvetini bulunuz.
b) Sistemin dengede kalabildiği en büyük w ağırlığını bulunuz.
A
w
450
W B A
C
F T
Tx
Ty
2 m
α h
T = 1000 n
T y
T x
F
W α
40 Çözüm : C noktası için denge şartı :
∑ Fx = 0 , T2 .0,7 - T3 = 0 (1)
∑ Fy = 0 T2 .0,7 – T1 = 0 (2) Asılı cisim için denge şartından :
∑ Fy = 0 , w – T1 = 0 T1 = w = 20 nt
T1 = T1’
( etki-tepki kuvvetleri )
(2) den T2 = 7 , 0
20 nt (1) den
T3 = T2.0,7 T3 = .0,7 20nt
0,7
20 =
A cismi için denge şartı : ∑ Fx = 0 , T3 – fs = 0 T3 = fs = 20 nt olur.
b) fs = µs . NA = 0,3. 100 = 30 nt
A cismi için denge şartı : T3 - fs = 0 T3 = fs = 30 nt
C noktası için denge şartı : ∑ Fx = 0 , T2 .0,7 - T3 = 0 , T2 = 30 / 0,7 ∑ Fy = 0 , T2 .0,7 - T1 = 0
0nt 3 7 , 0 7. , 0 30 .0,7 T
T1 = 2 = =
W cismi için denge şartı : T1 = w = 30 nt olur.
2.20. 14 nt ağırlığında bir cisim şekilde görüldüğü gibi eğik bir düzlem üzerinde iken , ucunda 10 nt luk başka bir cisim asılı sürtünmesiz küçük bir
makaradan geçen sicimin diğer bir ucuna bağlı bulunmaktadır. Cisimle yüzey arasındaki kayma sürtünme katsayısı 1 / 7 dir. θ nın hangi iki değeri için sistem sabit hızla hareket eder.
B A
θ A
w
450
C
WA
NA
fS
T3 T3
T2
T1
w= 20 nt T1’
41 Çözüm : WA = 14 nt WB = 10 nt µk = 1 / 7 θ = ? B cismi için denge şartı :
∑ Fy = 0 , WB – T = 0 WB = T = 10 nt A cismi için denge şartı :
∑ Fx = 0 , T - WAX – fk = 0 (1)
∑ Fy = 0 NA – WAY = 0 (2) ---
N = WA.cosθ = 14. cosθ , fk = µk.NA = (1 / 7 ).14. cosθ fk = 2. cosθ , WAX = WA . sinθ = 14. sinθ
(1) den T – 14.sinθ -2. cosθ = 0 , 10 – 14.sinθ -2. cosθ = 0 ,
5 – 7. sinθ – cosθ = 0
5 - 7. sinθ - 1−sin2θ = 0 , 5 - 7. sinθ = 1−sin2θ
( 5 - 7. sinθ )2 = ( 1−sin2θ)2
25 – 70 . sinθ + 49.sin2θ = 1 - sin2θ , 50. sin2θ - 70 . sinθ + 24 = 0
25. sin2θ – 35. sinθ + 12 = 0 ,
ikinci dereceden bir denklemin köklerini çarpanlara ayırma metodunu kullanarak, bu denklemin kökleri θ1 = 370 , θ2 = 530 bulunur.
2.21. 100 nt ağırlığında A cisim , θ = 300 olan eğik düzlem üzerinde konmuş ve şekilde görüldüğü gibi sürtünmesiz bir makara aracılığı ile w ağırlığında B cismine bağlanmıştır.
Statik sürtünme katsayısı 0,4 kayma sürtünme katsayısı 0,3 dür. a ) A cisminin yukarı doğru sabit bir hızla kayması için gerekli w ağırlığı ne olmalıdır. b) aynı cismin aşağı doğru sabit hızla kayması için w ağırlığı ne olmalıdır. c) w nin hangi iki değeri için cisim hareketsiz kalır ?
B A
θ
B A
θ
NA
WA
WAX
WAY
T
fA
T
WB
42 Çözüm : µs = 0,4 , µk = 0,3 WA = 100 nt
A cismi için denge şartı :
∑ Fx = 0 , T – WX - fk = 0 (1)
T – W.sin300 – µk. N = 0 (1)
∑ Fy = 0 N - WY = 0 (2) N = W. cos300 = 100.0,86 N = 86 nt , fk = 0,3.86 = 25,8 nt (1) den T – 100.0,5 – 0,3.86 = 0 T = 50 + 25,8 = 75,8 nt T = 75,8 nt
Asılı cisim için denge şartı : ∑ Fy = 0 , w – T = 0 w = T = 75,8 nt
b) Cisim aşağı doğru kaydığında sürtünme kuvveti yukarı doğru olur. Denge denklemleri :
∑ Fx = 0 , - T + WX - fk = 0 (1) , T = WX - fk T = 50 – 25,8 = 24,2 nt
∑ Fy = 0 w – T = 0 w = T = 24,2 nt
c) cisim yukarı doğru hareket ederse , A cismi için denge denklemi :
∑ Fx = 0 , T – WX - fs = 0 (1) WX = W. Sin300 = 100.0,5 = 50 nt , fs =µs.N = 0,4.86 = 34,4 nt
∑ Fy = 0 N - WY = 0 (2) N= 86 nt
(1) den T = WX + fs = 50 + 34,4 nt o halde w = T olduğundan w = T = 84,4 nt olur. Cisim aşağı doğru hareket ederse denge denklemleri :
∑ Fx = 0 - T + WX - fs = 0 , T = WX - fs = 50 – 34,4 = 15,6 nt w = T olduğundan w = T = 15,6 nt olur. 15,6 < w < 84,3 dir.
2.22. Şekildeki A cisminin ağırlığı 4 n, B’ninki 8 n’dur.
Kayma olan bütün yüzeyler arasındaki, kayma sürtünme katsayısı 0,25’ tir.
a) A, B’ nin üstünde ve onunla kaydığına, b) A yerinde kaldığına,
c) A ve B kolayca bükülebilen ve sürtünmesiz bir
makaradan geçen bir sicimle birbirine bağlı bulunduğuna göre, B’ nin sola doğru sabit hızla hareketi için gerekli P kuvvetini bulunuz.
B A
θ W
Wx
Wy
N T
T
fk
w
A P B
(c) A P B
(a) A P B
(b)
43 Çözüm : a) WA = 4 nt WB = 8 nt µk = 0,25
∑ Fx = 0 P - fk1 = 0 (1)
∑ Fy = 0 NA+B - WA+B = 0 (2) NA+B = WA+B = 12 nt
fk1 = µk . NA+B = 0,25. 12 = 3 nt (1) den P = fk1 = 3 nt
b ) fk1 = µk . NA+B = 0,25. 12 = 3 nt
fk2 = µk. NA = 0,25. 4 = 1 nt B cismi için denge şartı:
∑ Fx = 0 , P - fk1 - fk2 = 0 P = fk1 + fk2 = 3 + 1 = 4 nt c) B cismi için denge şartı:
fk3 = µk .NA = 0,25. 4 = 1 nt
∑ Fx = 0 , P - fk1 - fk2 – fk3 = 0 P = 3 + 1 + 1 = 5 nt olur.
2.23. A ve B cisimleri şekildeki gibi halatla C cismine bağlıdır. A ve B’
nin her ikisinin ağırlığı da 20 n, düzlemlerle
aralarındaki kayma sürtünmesi katsayısı 0,5’
tir. C cismi sabit hızla aşağı inmektedir.
a) A ve B cisimlerine etkiyen kuvvetleri gösteren diyagramları çiziniz.
b) A ve B cisimlerini birbirine bağlayan halattaki gerilimi hesaplayınız.
c) C cisminin ağırlığını bulunuz.
A
B
C
370
A P B
W N
fk1
P
W N
fk1
fk2
P
fk1
fk2
T
W N fk3
44 Çözüm : a)
b) WA = WB = 20 nt µk = 0,5
A cismi için denge şartı : ∑ Fx = 0 , T1 – fka = 0 T1 = fka = µk . NA = 0,5.20 = 10 nt ∑ Fy = 0 , NA - WA = 0 NA = WA = 20 nt
B cismi için denge şartı : ∑ Fx = 0 , T2 – T1 - fkb – W BX = 0 ( 1 )
∑ Fy = 0 , NB – WBY = 0 , NB = WBY = 20.cos37 = 20.0,8 = 16 nt fkb = µk. NB = 0,5.16 = 8 nt WBX = WB.sin370 = 20.0,6 = 12 nt WBY = 16 nt
(1) den , T2 = T1 +fkb + W BX = 10 + 8 + 12 = 30 nt
C cismi için denge şartı : ∑ Fy = 0 , WC - T2 = 0 WC = T2 = 30 nt olur.
2.24. Şekildeki sistemin dengede olabilmesi için T1 , T2 , T3 ve W2 ne olmalıdır.
Sin370 = cos530 = 0,6 sin530 = cos370 =0,8
Çözüm : B noktası için denge şartı :
∑ Fx = 0 , T1.cos370 – T2 = 0 (1)
∑ Fy = 0 , T1.sin370 – W1 = 0 (2)
T1 = 500nt
0,6 300 sin37
W
0
1 = =
T2 = T1 cos370 = 500.0,8 = 400 nt
A B
T1
T2 T3
W1 =300 nt W2
370 530
A
B
C
370
WA
NA
fka
fkb
T1
T2
T1
WB
WC
T2
NB
WBy
W1 = 300 nt T2
T1
T1X
T1Y
370
45 A noktası için denge şartı :
∑ Fx = 0 , T2 - T3 .cos530 = 0 (1)
∑ Fy = 0 , T3 .sin530 – W2 = 0 (2) 666,7nt
0,6 400 cos53
T3 = T2 = =
W2 = T3 .sin530 = 666,7.0,8 = 533,4 nt olur.
T3
T3X
T3Y
T2
530
W2
