İ.Ü. Fen Fakültesi Matematik Bölümü

(1)

İ.Ü. Fen Fakültesi Matematik Bölümü

Diferansiyel Denklemler I (örgün‐i.ö)

Ekim.2014 Ödevler 1-3

Çalışma Soruları 1-2 Arasınav Hazırlık Soruları

Hazırlayan: Yrd.Doç.Dr.Serkan İLTER http://aves.istanbul.edu.tr/ilters/dokumanlar

(2)

S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters

1/39 Diferansiyel Denklemler I

Ödev Soruları –1 03.10.2014

A. Aşağıda özellikleri verilen eğri ailelerinin diferansiyel denklemlerini oluşturunuz!

1. Herhangi bir A x y( , ) noktasındaki teğet doğruları: O eksenini _x , 0

(2^x ) noktasında kesiyor.

2. Herhangi bir noktasındaki teğetinin koordinat eksenlerinden ayırdığı parçaların uzunlukları çarpımı: değme noktasının apsisinin karesine eşit.

3. Merkezleri y=2x doğrusu üzerinde bulunan ve yarıçapları 2 ye eşit olan çemberler ailesi.

4. Herhangi bir noktasında çizilen teğetlerin uzunlukları: sabit bir a sayısına eşit 5. Herhangi bir noktasındaki teğet-altı uzunluğu: bu noktanın koordinatlarının aritmetik

ortalamasına eşit.

6. Odakları orjin ve köşe noktaları O üzerinde olan paraboller ailesi. _x 7. y²=2x parabolüne teğet olan doğrular ailesi.

8. cy=sincx 9. y=xtan(x c+ ) 10. (x a- )²+by²= 1

B. Aşağıdaki dif. denk.ler için izoklin eğrilerini belirleyip ek olarak istenilenleri elde ediniz!

1. y¢ =x²+4y², k =1, 4 değerlerine karşılık gelen izoklin eğrilerini çizip, üzerinde yönleri belirtiniz.

2. y¢ = , izoklin yöntemini kullanarak (y k = - -2, 1, 0,1, 2 alıp yönleri belirleyerek);

denklemin çözümlerini belirlemeye çalışınız!

C. Aşağıda verilen fonksiyonların, yanlarında yazılı aralıklarda (her bir fonks. ve aralık için) diferansiyel denklemlerin çözümü olup olmadıklarını araştırınız!

1. ^.

. 2

4

y= +x x , (^-¥ ¥, ), y¢ = +1 .y x- .

2. x²+y²=0 , ( 1,1)- ^. , yy¢ = - . x 3. x²-y²=0 , ( 1,1)- ^. , yy¢ = . x

(3)

2/39 4.

2

tan 0 2

n y x

 - = , 0,

( ^p2), ,

(^p2 p) , y=y¢cos²x ny. . 5. x y¢ =² 1 denkleminin ( 1,1)- ^. de çözümü var mı?

(4)

Ödev Soruları –2 15.10.2014

A. Aşağıda verilen denklemlerin; “hangi tip denklem olduklarını (nedenleri ile belirterek) belirleyiniz! “yanlarında koşul var ise, istenen koşulu sağlayan çözümünü”, “koşul yok ise, tüm çözümlerini (genel çözüm ve varsa tekil çözümlerini) çözümün geçerli olduğu

değişkenlerin tanım aralıklarını da vererek” bulunuz.

1. (1+e^-^x)dy-(y²-1)dx=0 2. y¢ =3(y+ +1) 2x

3. x y² ¢ + =2 x y^{2 2}

4. x y² ¢-cos 2y= , 1 ( ) ⁹ y _{+¥ =} 4p

5. y¢- +xy xy³= , 0 y(0) 1/ 2= 6. xcos²( )^y y dx xdy 0

x

é ù

ê - ú + =

ê ú

ë û

7. tanx dy. -y ny dx . =0

8. 3y y² ¢ +16x=2xy³

9. 2 1

2 1

y x

y y x

- +

¢ = - -

10. 3y y² ¢ +16x=2xy³

“x+¥ iken y x( ) sınırlı”

11. y²-1^.dx xy dy+ ^. = 0

12. 1

sin( ) x xy

x y - ¢ =

- , y p( / 2)=0 13.

(

y+ . . .xy dx

)

=xdy

14. ' .x

y xy y

n y - ¢= 

15. x y

y x y

¢ = + -

16. ² ² . ⁶ ⁴

3xyy¢ -y = x -y

B. Aşağıda verilen p x y dx q x y dy( , ) + ( , ) =0 denklemleri için, ilk aşama olarak p=u, q=v dönüşümü yaparak, son halde denklemi “değişkenlerine ayrılabilir” şekle getiriniz!

1. p= + , x a q= +y bx 3. p= + , x y q= -x y

2. p= -y 2x+1, q= -x 2y+1 4. p= +x ay-1, q= +y bx+1

C. Aşağıda istenilenleri elde ediniz! (denklem çözümü öncesinde; oluşturduğunuz denklemde eğer var ise, mutlak değerleri göz ardı edebilirsiniz!)

1. A(0,1) noktasından geçen ve herhangi bir noktasındaki teğet-altı uzunluğu: bu noktanın koordinatlarının aritmetik ortalamasına eşit olan eğriyi bulunuz.

2. A(1,1) noktasından geçen ve herhangi bir noktasındaki teğetinin O_y ekseninden ayırdığı parçanın uzunluğu: değme noktasının apsisinin karesine eşit olan eğriyi bulunuz.

(5)

4/39 3. A e( ,1) noktasından geçen ve herhangi bir noktasındaki teğetinin O ekseninden _x

ayırdığı parçanın uzunluğu: değme noktasının ordinatının iki katına eşit olan eğriyi bulunuz 4. Orjinden geçen bir eğrinin, herhangi bir A x y( , )noktasından koordinat eksenlerine paralel doğrular çizilerek iki parçadan oluşan bir dikdörtgensel bölge meydana getirilmektedir. Öyle bir eğri ailesi bulunuz ki, her bir eğri için dikdörtgensel bölgenin bir parçasının alanı, diğer parçasının alanının üç katı olsun.

Bölüm sonu beklenen kazanımlar:

 Farklı denklem türlerini (sorularda tür ve çözüm hakkında herhangi bir yönlendirme yapılmaksızın); kısa sürede tespit etme (denklemleri sınıflandırabilme)!

 Geometrik özellikleri kullanabilme!

 Çözüm kavramlarını (Genel çözüm-Tekil çözüm) algılayabilme, çözümün geçerli olacağı aralıkları tespit edebilme!

 “Başlangıç koşulları” veyahut “farklı şekillerde verilen koşullar” yardımıyla denklemin istenilen özel çözümlerinin tespit edilebilmesi!

 Denklem çözümleri için; aranan fonksiyon ve bağımsız değişkene göre (herhangi bir yöntemi ezberlemeden) dönüşümler yapabilme, uygun dönüşümleri araştırabilme!

(6)

Ödev Soruları –3 29.10.2014

A. Aşağıda verilen denklemlerin; “hangi tip denklem olduklarını (nedenleri ile belirterek) belirleyiniz!” “yanlarında m=m( , )x y integrasyon çarpanı var ise önce tam dif. hale getirilerek” “yanlarında koşul var ise, istenen koşulu sağlayan çözümünü”, “koşul yok ise, tüm çözümlerini (genel çözüm ve varsa tekil çözümlerini) çözümün geçerli olduğu değişkenlerin tanım aralıklarını da vererek” bulunuz.

1. x dy² +

(

xy-tanxy dx

)

^. = 0 2. (x-3y dx x dy). - . = 0 3. y¢ +(cosx y) =3sin cosx x

4. sin cosx y dx. +cos sinx y dy. =0 , ( ) / 4

y p =p

5. 1

0 1 .

(y ^xy ).dx (x ^xy )dx

y x

e - + e - =

6. (x-2y dx). +y dy. = , 0 m=m(x-y)

7. ² ¹

sin 2 sin

y y

x x

¢ - =

8.

(

2x+tany dx

)

. + -

(

x x²tany dy

)

. =0 9. (xy² nx dx). (x y² 1).dy 0

 y

- + + =

10. y¢ +2 c( otx y) =cosx 11. xy¢ -3y=x³+x²

12.

(

x²+y²+x

)

^.dx+xy^.dy= 0 13. (2y ^y).dx (2x ^x).dy 0

x y

+ + + = ,m=m( )xy

14. ^{sin 2} sin² 2

y y y

¢ + x = -

15.

(

^x²⁺^y²⁺^x^sin^{x dx}

)

⁺^y^sin^{x dy}^.^. ⁼⁰

16. (cos cosx y-cot )y dy. -(sin six n )y dx. =0 17. (x-siny dy). +y dx. = 0

18. 2 ²

.

y y

yy nx y

x x

¢= + + - ¢

B. Aşağıdaki denklemleri, belirlediğiniz uygun hipotezler altında, bir diferansiyel denklem problemine dönüştürerek çözümlerini bulunuz.

1. ⁴ ^{( )}

1

1 ..

2 2 . ^t .

x y

y x dt

= +

ò

t 3. ( ) ( )

0 0

.. ..

.( ) ^t . 2 . ^t.

x x

x t y dt- = x+ y dt

ò ò

2. ^{( )}

..

. .

.

t e

y

y x

x dt

t n t

= -

ò

4. ²

0 ..

. . 2

x

y=x +

ò

x dt

(7)

6/39 C. 1. Bir y¢ +p( )x y=q( )x lineer diferansiyel denklemin y ve .₁ y (_.₂ y.₁¹ y_.₂) gibi iki

özel çözümü bilindiği taktirde (hiç integral işlemi yapmadan) genel çözümün bulunabileceğini gösteriniz.

2. C1 den yararlanarak y = .₁ 1 y_.2=1+e^-^x² özel çözümleri verilen lineer diferansiyel denklemi ve bu denklemin genel çözümünü bulunuz.

D. 1. . .

.

1 1

(

^x_k

)

0

dx dy

y y

xy + - = denkleminin tam diferansiyel denklem olabilmesi için uygun k sayısını belirleyiniz. Bu k sayısı için tam diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz.

2. a ve b nın hangi değerleri için y¢ =ax^a+by^b denklemi y=z^m dönüşümü yardımıyla bir homojen diferansiyel denklem haline getirilebilir?

3. a ve b nın hangi değerleri için m=x y^{a b} ;

(

2x y^{4 2}+3x

)

^.dy+

(

x y^{3 3}-y dx

)

^. = 0 denkleminin (tam diferansiyel hale getiren) bir integrasyon çarpanı olur?

(8)

Çalışma Soruları –1 18.10.2014

A. Aşağıda istenilenleri elde ediniz!

1. A

(

1, 1^.-

)

noktasından geçen ve herhangi bir noktasında teğetinin ordinat ekseninde ayırdığı parçanın uzunluğu, değme noktasının apsisine eşit olan eğriyi bulunuz.

(Not: oluşturduğunuz denklemdeki mutlak değeri göz ardı edebilirsiniz).

2. ny=ax by+ eğri ailesinin diferansiyel denklemini oluşturunuz.

B. Aşağıda verilen denklemlerin; “hangi tip denklem olduklarını (nedenleri ile belirterek) belirleyiniz! “yanlarında koşul var ise, istenen koşulu sağlayan çözümünü”, “koşul yok ise, tüm çözümlerini (genel çözüm ve varsa tekil çözümlerini) çözümün geçerli olduğu

değişkenlerin tanım aralıklarını da vererek” bulunuz.

1. xy^¢=e^.^y+2y^¢

2. (x-3 )y dx^. +(2y-3 )x dy^. =0

3.

.

y y

x xy

¢ = -

4. y¢ + -(1 y²) tanx= 0

5. (x+2y+7)^.y¢+2x y- + = 4 0 6. (x+y y¢)² = 1

7. y¢ =x²

e

^{y x}^- ³ , i) y(0)=0 , ii) y +¥ =( ) 0

8. y¢ =4. x y- + 1

9. 1

cos( ) x xy

x y - ¢ =

- , y(1) 1= 10. (x+y dx)^. +(3x+3y-1)^.dy=0 11. (x+y y) ¢= - x y

12.

1

.. ( )

1 . ( ).

x t

t

t y

y dt

t y

= + -

ò

+

(önce bir dif.denk. problemine dönüştürünüz!)

13. x y y^{2 2} ¢ +xy³= -1

(9)

8/39 Not: Çözümler-Yol göstermeler kontrol amaçlıdır, yazım hatası - eksiklikler vs.. olabilir..

kendi çözümlerinizle mutlaka karşılaştırınız..

Çözümler…

(son güncelleme : 17.10.2014)

A1.

………

Önbilgi:

( )

y=y x eğrisinin M x y( , ) noktasındaki Teğet Denklemi

(( , )X Y teğet üzerindeki keyfi nokta)

üïï ï

ïï ï

: Y- =y y X¢( -x)

Teğetinin ordinat ekseninde ayırdığı parçanın uzunluğu denklemde X = yazılarak (yani 0 Y= y y x- ¢ ), x-ekseninde ayırdığı parçanın uzunluğu Y = yazılarak (yani X0 y

x y

= -

¢),

bulunabilir. Ek olarak, “Teğet-altı uzunluğu:

.

y y

¢” ; ”Teğet uzunluğu:

. .

2

2 y

y y

æ ö¢÷

+çç ÷ç ÷çè ø÷ ” şeklinde

bulunacaktır (Şekil üzerinde gözlemleyiniz!)

………

 Y = -y y x¢ , bu da değme noktasının apsisine eşit olacak yani Y= x

. .

Y= -y y x¢ Y = x

üïï ï

ï

^ ^.^{y y x}^- ^¢ ^. ^{= ,}^x ^{x >}⁰

 y 1

y¢ = -x (homojen denklem)

 y=cx x n x-  ^. [Genel Çözüm] bulunacaktır (İnceleyiniz!)

(

1, 1^.

)

A - noktasından geçtiğine göre:

(1) 1

yani y1 için 1 ...

x y

- -

= üïï

= = ïï  genel çözümden: -1= -  c n^.1 c=-1 O halde istenilen çözüm : y= -x

(

1+ n x^.

)

(10)

9/39 A2. Amacımız verilen eğri ailesini genel çözüm kabul eden dif. denk. i belirlemek

olduğundan; eğri ailesinde iki keyfi sabit olması sebebiyle, “ikinci mertebe adi dif. denk.”

elde etmeye çalışacağız!

ny=ax by+ (i)



-e göre türev x



.

y a by y

¢ = + ¢ (ii)



-e göre türev x



. ..

y y 2

y y by

¢¢- ¢ = ¢¢ (iii)

üïï ïï ï ïï ïï ï



( ) iii den



. ..

2 2

1 y

b y

y y

= - ¢

¢¢



( ) ii den



. . . .. ..

3 2

a y

y

y y y y

y by y y y y y

¢ ¢ ¢ ¢ ¢

= + = - +

¢ ¢¢

¢

= ¢



( ) i den



.. . ..

3 2

2 2

( y ) (1 )

x y

ny x y

y y

y y y

b

a y

 ¢

= + = -

¢¢

¢ +

¢¢



her iki taraf y y¢¢2 ile çarpılırsa

 y y² ¢¢ny=xy¢ +³ y²y¢¢-yy¢²

B1. (Değişkenlerine Ayrılabilir denklem)

.^y 2

xy^¢=e + y^¢  ^. ^. ^. 1 . . 2

y dy dx

e^- = x

ò ò

- ^,^{x ¹}²

B2. (Homojen denklem)

. . 0

p dx q dy+ = yazımından; p x y( , )= -x 3 , ( , )y q x y =2y-3x fonksiyonları 1.mertebeden homojendirler (gözlemleyiniz!).

. .

(x-3 )y dx+(2y-3 )x dy=0 

3 1 3

2 3 2 3

( ) ( )

y

x y x

y y x y

x - -

¢ = =

- -



2

2y (1 ny) (x )

y ¢¢ - = y¢ y¢-y

 -e^.^-^y =

(

^{n x}^.^. -²^.

)

+^c [Genel Çözüm]

I : x ¹ 2

(11)

10/39 .

y ,

u x

x= y= u, u=u x( ) 1 3

2 3 y u

u

¢ = - -

üïï ï

ïï ï



-e göre türev x

 ^{1 3}

2 3 y u xu u

u

¢= + ¢= -

-  ^{1 3}

2 3

xu u u

u

¢ = - - -

 ^. ^. ^.. ^.

1

2 .

2 3 1

1 2

I

u du dx

u x

=

- =

ò

-

ò



(x ¹0, ² 1 u ¹2)

I1 integralini hesaplayalım:

. .

2 3

2 2

. .

1

2 1

1 2 . 3 1 2 .

I I

u du du

u u

I

=

= -

- -

ò ò

 

 ₂ ¹ ^.1 2 ²^. ₁

2 n u k

I = -  - +

I3 için 1 ₂ 1/ 2 1/ 2

1 2 1 2

1 2u = u+ u

- +

- gözleminden,

. . 2

3 1 1 2

2 2 1 2

n u k

I =  + u +

- olduğu kolayca görülür.

 ₁ ₂ 3 ₃ ¹ ^.1 2 ²^. ³ ^.¹ ² ^. ₁ ₂

2 2 2 1 2

I u

n

I I u n k k

  + u

= - = - - - + +

-

 ¹ ^.1 2 ²^. ³ ^.¹ ² ^. ^.^. ^. ^. ^. ^.

2 2 2 1 2

n u n u n x n c

  + u  

- - - +

- =



( )

1 3

2 2 1 2 2 2

1 2 1 2

u u cx

u

- æç + ö÷÷-

- ççç -è ÷÷÷ø =

2 2 2

1 2 u y

= x = için çözüm araştırması:



y idi u=x



3

1 2 2

2 2 2

1 2

. 1 2

y

y x cx

x y

x

- - æç + ö÷÷

æ ö ç÷ ç ÷

ç ÷ ç ÷

ç - ÷ ç ÷ =

ç ÷ ç ÷

ç ÷ ÷

è ø çççè - ÷÷÷ø

^[Genel Çözüm^]

I : x ¹0, 1 y¹ 2 x

(12)

11/39

2 2

1 2 y

x =  1

y= 2 x bulunur, bu eğriler diferansiyel denklemi sağlar (gözlemleyiniz!) dolayısıyla denklemin bir çözümüdür. Genel çözüme dikkat edilirse, 1

y= 2 x çözümünün denklemin bir Özel-Çözümü iken, 1

y= - 2 x çözümünün denklemin bir Tekil-Çözümü olduğu görülür (gözlemleyiniz!).

. . 0

p dx q dy+ = yazımından; p x y( , )= -y q x y , ( , )= -x ^.xy fonksiyonları 1.mertebeden homojendirler (gözlemleyiniz!).

. .

/

1 /

y y x

y¢ = x xy = y x

- -

. y ,

u x

x= y= u, u=u x( )

1 .

y u

¢ = u -

üïï ï

ïï ï



-e göre türev x



1 .

y u xu u

¢= + ¢= u

-



1 .

xu u u

¢ = u-

-

 ^. ^. ^. ^.. ^.

.

.1

1 1

I

u du dx

u u x

=

- =

ò ò



(x ¹0,u ¹ ) 0

I1 integralini hesaplayalım:

. .

.

1 1 1

.du .du

u u u

I =

ò

-

ò

. . .

.

. .

3/ 2

1

. .

1 2

u du du

u n u k

u 

= - -

= - - +

ò ò

 ^. ^. ^.

.

. . . . . .

2

. n u n x n c

u   

- - = +  ^.

.

. .

2

. n cxu

u 

- =



yidi u=x

 ^.

.

. .

. 2

/ n cy

y x 

- = [Genel Çözüm]

I : x ¹0, y ¹0

(13)

12/39 y 0

u= =x  y =0 için çözüm araştırması:

0

y = diferansiyel denklemi sağlar (x ¹ ) (gözlemleyiniz!) dolayısıyla denklemin bir 0 çözümüdür. Genel çözüme dikkat edilirse, bu çözümün denklemin bir Tekil-Çözümü olduğu görülür (gözlemleyiniz!).

(1 2) tan 0

y¢ + -y x=  ^. ^. ^.. ^.

1 . 2

. 2

1 tan

1

I I

dy x dx

y

= =

- = -

ò ò

  (y ¹² 1,x¹(2n-1) / 2 ,p n=0, 1,... )

I ve 1 I integrali hesaplanırsa: ₂ ₁ 1 ^. ^.1 ^. ₁

2 1

n y k

I  +y

= +

- , I₂=n^. ^.cosx^.+ bulunur k₂ (inceleyip, ara işlemleri yapınız!).

 1 ^. ^.1 ^. ^.^. ^. 1 ^.^. ^.

2 1 cos 2

n y n x n c

 +y = + 

-

 1 ² 1 cos

y c x

y

+ =

-

2 1

y =  y=1 için çözüm araştırması yapınız!

B5. (Homojen hale getirilebilen denklem)

I.yol :

2 .

2 4

7 x y

y x y

- + -

¢ = + + ,

2x y 4 0 - + - =

2 7 0

x+ y+ =

üïï

ï ï

- ¹2 2  doğruları kesişirler. Dikkat edilirse, Kesişim Noktası:

(

- - dir. 3, 2

)

Orjin:

(

- - ye taşınırsa (ötelenirse), yani “denklem için ^{3, 2}

)

x= + , x 3 y= +y 2 dönüşümü yapılırsa”, denklem: Homojen hale gelecektir.

 1 c ₂² o .

os

1 c s

c x

y c x

=- +

+ ^[Genel Çözüm^]

I : y ¹² 1,x¹(2n-1) / 2 ,p n=0, 1,...

(14)

13/39 x= +x 3, y= +y 2

( ) y=y x dx=dx, dy=dy

üïï ï ï

 ^{2 ( / )}

1 2( / 2

2 )

dy y x

dx y

x y

x y x

- + +

- +

= =

+ (Homojendir,gözleyiniz!)

. y ,

u x

x = y= u, u=u t( ) 2

1 2 y u

u

¢ =- + +

üïï ï

ïï ï



-ye göre türev x

 ²

1 2 y u xu u

u

¢= + ¢=- +

+

 2 1 2

xu u u

u

¢ =- + -

+

 ^. ^. ^.. ^.

1

2 .

1 1 2 1

2 1

I

u du dx

u x



=

+ = -

ò

+

ò

⁽^{x ¹ )}⁰

I integrali hesaplanırsa: 1 ₁ ¹arctan ¹ ^.(1 ²) ₁

2 u 2 n

I = +  +u +k bulunur (inceleyip, ara işlemleri yapınız!).

 ¹arctan ¹ ^.(1 ²) ^.^. ^. ¹ 2 u+2n +u = -n x +2c  arctanu+n^.(1+u²)= -2n x^.^. ^. +c

II.yol : (2 4) ( 2 7)^. 0

u v

x y dx x y dy

 

= =

- + + + + = ,

+2

= idi

+3 u y y

=x x

 . . . .

2 2 2

arctan (1 ) 2 3

3 3

y y

n n x c

x  x 

æ + ö÷ æ + ö÷

ç ÷+ +ç ÷ = - + +

ç ÷ ç ÷

ç ç

è + ø è + ø

[Genel Çözüm]

I : x ¹ - 3

(15)

14/39 2

du= dx dy- 2 dv=dx+ dy

üïï ï ï

 5dx=2du+dv , 5dy= -du+2dv (denklemde yerine yazalım)

u du(2 +dv)+ -v^.( du+2 )dv =0

 (2u v du- ) +^.(u+2 )v dv=0 (Homojendir,gözleyiniz!)

Şimdi u= dönüşümü yapalım. tv  du=vdt tdv+ (denklemde yerine yazalım)

(2vt v vdt- )( +tdv)+(^. vt+2 )v dv=0  v²(2t-1)dt+2 (v t²+1)dv=0

 ²₂ ¹ ² ² 0 1

t v dt dv

t v

- + =

+ (Değiş.Ayrılabilir) (v ¹ ) elde edilir 0

(geri kalan integral hesabı I.yol ile aynı, tamamlamak okuyucuya bırakılmıştır!)

B6. (y¢ = f ax by c( + + ) formatında Değişkenlerine-Ayrılabilir hale getirilebilen denklem)

Denklem, x+ = dönüşümü ile Değişkenlerine Ayrılabilir hale getirilebilir: y u x+ =y u, u=u x( )

.

2

y 1

¢ = u

üïï

ï ï

x-e göre türev^

 _

2..

. 1

1

u

y u

=

¢ ¢

+ =  ₂ ² ^.

1

u du dx

u =

+

 ^. ^. ^..

1

2

.

2 1

I

u du dx

u

=

+ =

ò ò



I integrali hesaplanırsa: 1 I₁= -u arctanu k+ bulunur (inceleyip, ara işlemleri yapınız!). ₁

 u-arctanu= +x c

2 y x3

y¢ =x

e e

^- 

ò

^.e^.^-^y.dy=

ò

^.x²e^-^x³.dx

 idi u x y= +

 _x_{+ -}_y _arctan(_x₊_y₎_{= +}_{x c} _[Genel Çözüm_]

I : -¥ < < ¥ x

(16)

15/39

Şimdi denklemin verilen koşulundan sağlayan çözümünü bulalım.

(0) 0

yani y0 için 0 ...

x y

= üïï

= = ïï  genel çözümden: 1 ¹ 3 c

- = - +  ² c = -3

Benzer şekilde, y +¥ =( ) 0 dan ⁰ ³

1 0

1 3

e

_ c

æ ö÷¥

=çç ÷çè ø÷ =

- = - -¥ +  c = - 1

Dikkat: x- + =y 1 u dönüşümü yapmaktansa, kareköklü ifadeden ötürü kolaylık olsun diye bu sefer x y- + =1 u² dönüşümü yapalım: ( bu dönüşümü yaparken denklemin yalnızca

. .

1 0

x- + ³y durumunda tanımlı olduğuna da dikkat ediyoruz)

1 2

x y- + =u , u=u x( ) 4

y¢ = u

üïï

ï ï



-e göre türev x

 _

. 4 .

1 2

u

y uu

=

¢ ¢

- =  1 4- u=2uu¢

 ^. ^. ^..

.1

2 1 4

I

u du dx

u

=

- =

ò ò

 ( ¹

u ¹4)

I için: 1 ² ¹ ^{1/ 2}

1 4 2 1 4

u

u = - + u

- - gözleminden, ₁ ¹ ^.1 4 ^. ₁

2 8

u n u

I = - -  - +k olduğu kolayca görülür.

 ¹ ^.1 4 ^. 2 8

u n u x c

- - - = + …(B8-1)

 ^. ¹ ³ 3

y x c

e^- e^-

- = - + [Genel Çözüm]

I : -¥ < < ¥ x

O halde i) için, istenilen çözüm :

. 3

3e^-^y = +2 e^-^x

O halde ii) için, istenilen çözüm :

. 3

3e^-^y = +3 e^-^x

(17)

16/39 bulunur x y- + =1 u² idi  u= x y- + değerinin 1 (B8-1) de yerine yazılmasıyla

Genel Çözüm elde edilir (I : x- + ³y 1^. ^.0, ¹⁵ y¹ +x 16).

1 1

u= x- + =y 4 için çözüm araştırması:

1 1

x y- + =4 den ¹⁵

y= +x 16 bulunur, bu eğri diferansiyel denklemi sağlar (gözlemleyiniz!) dolayısıyla denklemin bir çözümüdür. Genel çözüme dikkat edilirse, bu çözümün denklemin bir tekil- çözümü olduğu görülür (gözlemleyiniz!).

B9. ( Özel-formda Değişkenlerine-Ayrılabilir hale getirilebilen denklem)

cos( )

x xy- ¢= x y-  (1x -y¢)=cos(x y- )

olduğundan dikkat edilirse, x- =y u , u=u x( ) dönüşümü yapıldığında x- =y u ifadesinin x-e göre türevi 1 y- = olacağından denklem ¢ u¢ xu¢ =cosu değişkenlerine ayrılabilir hale gelir :



. .. . ..

(1 ) cos( )

u u

x y x y

¢ =

=

¢

- = -

 

 xu¢ =cosu  ^. ^. ^.. ^.

.1

1 1

cos

I

du dx

u x

=

ò

=

ò

 ( cosu ¹ ) 0

 ₁ ^. ¹ tan ^. ₁

I n cos u k

 u

= + + bulunur (inceleyip, ara işlemleri yapınız!).

 ^. ¹ tan ^. ^. ^. .

cos .

n u n x n c

 u+ = +  ¹ tan

cos u cx

u+ =

 1 sin+ u=cxcosu bulunur.

idi u x y= -

 ^{1 sin(}⁺ ^x^-^y⁾⁼^cx^cos(^x^-^y⁾ [Genel Çözüm]

I : x ¹0 ,y¹ -x (2n-1) / 2 ,p n=  1, 3, 5...

(18)

17/39 (2 1) / 2

u= - =x y n- p (n=0, 1,... )  ⁽² ¹⁾ 2

y= -x n- p için çözüm araştırması:

Bu eğri diferansiyel denklemi sağlar (gözlemleyiniz!) dolayısıyla denklemin bir çözümüdür.

Genel çözüme dikkat edilirse, n=0, 2, 4...  için ⁽² ¹⁾ 2

y x n- p

= - : denklemin özel-

çözümleridir; n=  1, 3, 5... için ⁽² ¹⁾ 2

y= -x n- p: denklemin tekil- çözümleridir (gözlemleyiniz!).

.3( ) 1

x y

y x y

¢ = - +

+ - . Denklem, x+ = dönüşümü ile Değişkenlerine Ayrılabilir hale y u getirilebilir:

x+ =y u, u=u x( )

.3 1

y u

¢ = - u -

üïï ï ï



-e göre türev x

 _

.3 1

1 .

u u

y u

=- -

¢ ¢

+ =  ³ ¹^.

2 1

u du dx

u

- =

-

 ^. ^. ^..

.1

3 1

2 1

I

u du dx

u

=

- =

ò

-

ò

 (u ¹1/ 2)

I integrali hesaplanırsa: 1 ₁ ³ ¹ ^.^.2 1^. ₁ 2u 4 n

I = +  u- +k bulunur (inceleyip, ara işlemleri yapınız!).

 ³ ¹ ^.2 1^.

2u+4n u- = +x c

1

u= + =x y 2  ¹

y= - +x 2 için çözüm araştırması:

 idi u x y= +

 . .

3 1

( ) 2 2 1

2 x+y +4n x+ y- = +x c [Genel Çözüm]

I : ¹ y¹ - +x 2

(19)

18/39 Bu eğri diferansiyel denklemi sağlar (gözlemleyiniz!) dolayısıyla denklemin bir çözümüdür.

Genel çözüme dikkat edilirse, bu çözümün denklemin bir tekil- çözümü olduğu görülür (gözlemleyiniz!).

. . 0

p dx q dy+ = yazımından; p x y( , )= -y x q x y , ( , )= +x y fonksiyonları 1.dereceden homojendirler (gözlemleyiniz!). 1 /

1 /

x y y x

y x y y x

- -

¢ = =

+ +

. y ,

u x

x= y= u, u=u x( ) 1

1 y u

u

¢ = - +

üïï ï

ïï ï



-e göre türev x

 ¹

1 y u xu u

u

¢= + ¢= -

+  1

1

xu u u

u

¢ = - -

+  ^. ₂1 ^. ^..1^.

2 1

u du dx

u u x

- + =

+ -

ò ò

(x ¹ , 0 u²+2u¹ ) 1

 ¹ ^.^. ² 2 1^. ^.^. ^. ¹ ^.. ^. ^. 2n u u n x 2n c

- + - = -

 ² 2 1 c₂

u u

+ - = x

B12. (Belirli integral içeren denklemi: bir dif. denk. problemine dönüştürme)

Uygun koşullar altında, aşağıdaki özellik geçerlidir. Bu koşulları belirlemek ise okuyucuya bırakılmıştır (“İntegral Hesabın Temel Teoreminin 1.kısmından” yararlanabilirsiniz!),

(dolayısıyla belirlemeden aşağıdaki özelliği kullanma hakkına sahip değilsiniz!)

“y¢ = f x y( , ), y a( )=b”  “

..

( , ( )).

.

x

a

y= +b

ò

f t yt dt^”



yidi u=x

 ² 2 ₂

( )y y 1 c

x + x - =x ^[Genel Çözüm^]

I : x ¹ , 0 y²+2xy¹x²

(20)

19/39

1

.. ( )

1 . ( ).

x t

t

t y

y dt

t y

= + -

ò

+ ^{ “}^y^{¢ =} ^{x y}_x^-₊_y^,^y^{(1) 1}⁼ ^”

 B11 deki denklem için, bir Başlangıç-Değer problemidir.

 Genel Çözüm: ² 2 ₂

( )y y 1 c

x + x - = x idi.

(1) 1

yani y1 için 1 ...

x y

= üïï

= = ïï  genel çözümden: 1 ² 2 ₂

( ) 1

1 1 1

+ - = c  c = 2

Not: Çözümün, çözüme başlarken bahsedilen uygun koşulları sağladığı gözlemlenmeli, aksi halde çözüm olamayacaktır!

B13. (Genelleştirilmiş Homojen denklem)

2 2 3

( , , , ) : ( 1) 0

F x y dx dy =x y dy+ xy + dx=

x , tx yt y^k , dyt^k^-¹dy, dxdx yazımları yapıldığında, ¹

k = -3 için

1 0

( , ^k , , ^k ) ( , , , )

F tx t y dx t ^-dy =t F x y dx dy eşitliği sağlanır  Denklem: Genelleştirilmiş Homojendir.

/

1/ 3 1 3,.y x

u y u

x^-

= -

= ,

( ) u=u x

3 2 2

y 1 xy x y

¢ =- -

x ^{4 / 3} ¹ ₂^u³ u

- æçç- - ö÷÷

= ççè ÷÷÷ø

üïï ïï ïï ï ïï ïï ï



-e göre türev x

 ¹ ^{4 / 3} ^{1/ 3}

y¢= -3x^- u+x^- u¢

 ^{4 / 3} ¹ ₂ ³ ¹ ^{1/ 3} 3

x u u x u

u

- ççèççæ- - + ÷÷÷ö÷÷ø= - ¢



2 3

3 1

3 2

u du dx

u = -x

+ (Değiş.Ayrılabilir) (x ¹ , 0 2u ¹ - ) elde edilir ³ 3

O halde istenilen çözüm : y²+2xy x- ²= 2

(21)

20/39  ^. ^. ^.. ^.

2 3

3 1

3 2

u du dx

u = - x

ò

+

ò

 ¹ ^. ^.3 2 ³^. ^.^. ^. ¹ ^.. ^. ^.

2n + u = -n x +2n c  3 2 ³ c₂

u x

+ =



1/3

.

.y idi

u=x^-

 ³ ₃ 3^.

2 2

y c

x x

= - ^[Genel Çözüm^]

I : x ¹ , 0 2y ¹ - ³ 3

(22)

Çalışma Soruları –2 29.10.2014

A. Aşağıda istenilenleri elde ediniz!

1. (xe^y+x dy). +(e^y+ky dx). = denkleminin tam diferansiyel denklem olabilmesi için 0 uygun k sayısını belirleyiniz. Bu k sayısı için tam diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz.

2. a nın hangi değeri için ^{m =}

(

^x²⁺^y²

)

^a^:^xdy^-⁽^x²⁺^y²⁺^{y dx}⁾^. = denkleminin (tam ⁰ diferansiyel hale getiren) bir integrasyon çarpanı olur? belirleyiniz, bu çarpanı kullanarak denklemin çözümünü bulunuz.

B. Aşağıda verilen denklemlerin; “hangi tip denklem olduklarını (nedenleri ile belirterek) belirleyiniz! “tüm çözümlerini (genel çözüm ve varsa tekil çözümlerini) çözümün geçerli olduğu değişkenlerin tanım aralıklarını da vererek” bulunuz.

1. ² 1 ^. ² ^.

(xy )dx (x y ny dy) 0

+x + - =

2. y¢ +ycotx=sin 2x

3. dy+(y-sin ) cosx x dx. = 0 4. ( cosx y-sin² y dy)^. -siny dx. = 0

5. y

x y ny

 y

+ =

¢

6. (y-5 )x dx^. + -(x 5 )y dy^. = 0

7. ₂ 1

tan 1

cos

y y

y x

¢ - =

8. cos

y y

x y

¢ = - +

9. 1^.^. ^.

(y x )dx (x y dy) 0

- +x + + =

10. (

0 ) .

) . (

(^{x n xy} xy dy) (^{y n xy} xy dx)

x y x y

 - +  - =

+ +

(23)

22/39 Not: Çözümler-Yol göstermeler kontrol amaçlıdır, yazım hatası - eksiklikler vs.. olabilir..

kendi çözümlerinizle mutlaka karşılaştırınız..

Çözümler…

(son güncelleme : 29.10.2014)

………

Önbilgi .1 (Bazı Diferansiyeller)

Tablo

d u^. x u^.

u d y

x dy

¶ ¶

= +

¶ ¶ , u=u( , )x y

1 d( )xy =y d^. x+x^.dy

2 d(x²y²)=2

(

x^.dxy^.dy

)

3

. .

( )y x d 2

x

y y d

d x

- x

=

4

. .

2 2

(arctan ) x d y d

d x

y y

x y

x

= - +

………

(24)

23/39

………

Önbilgi .2 (İntegrasyon Çarpan Araştırması)

Tablo

.d N. 0

M x+ dy= Denk. için m İntegrasyon Çarpanı Araştırması

Koşullar integrasyon çarpanı Açıklamalar

1 ( )

N x M

y x

N j

¶ -¶

¶ ¶ = m=m( )x =eò^j^{( )}^x^.^dx

( )x j (yalnızca x-e bağlı)

bir fonksiyon

2 ( )

N x M

y y

M j

¶ -¶

¶ ¶ =

-

.

( )y e ^j( )^y ^dy

m=m = ò

( )y j (yalnızca y-ye bağlı)

bir fonksiyon

3 ( )w

w N

x N x

M y

M w y

j

¶ -¶

¶ ¶ =

¶ - ¶

¶ ¶

.

( )w e ^j( )^w ^dw

m=m = ò

( , ) w=w x y

(hem x-e hem y-ye bağlı), ( )w

j

(yalnızca w-ya bağlı) bir fonksiyon

Not.

1.durum: yalnızca x-e bağlı;

2.durum: yalnızca y-ye bağlı;

3.durum: hem x-e hem y-ye bağlı

üïïï ï ïï

:

integrasyon çarpanı araştırmalarında kullanılacaktır!

………

(25)

24/39 A1. (xe^y+x dy)^. +(e^y+ky dx)^. =0 için M dx^. +N dy^. =0 yazımından:

M =ey+ky N=xey+ x

üïï ï

ï

^

M y

y e k

¶ = +

¶ , N ^y 1

x e

¶ = +

¶

Denklemin Tam Dif.Denk. olabilmesi için M N x y

¶ =¶

¶ ¶ şartı sağlanmalıdır:

 e^y+ =k e^y+  1 k= bulunur. 1

Şimdi (xe^y+x dy)^. +(e^y+y dx)^. =0 Tam Dif. Denk. in çözümünü bulalım:

. x .

d u u

u d y

x dy

¶ ¶

= +

¶ ¶

u=

ò

^..M^.dx+ f y( ) =

ò

^..(e^y+y dx)^. + f y( )

=xe^y+xy+ f y( ) …(A1-i)

u=

ò

^..N^.dy+g x( )

=

ò

^..(xe^y+x dy)^. +g x( ) =xe^y+xy+g x( ) …(A1-ii)

(A1-i) ve (A2-ii) den: g x =( ) 0, f y =( ) 0 bulunur.  u=xe^y+xy olur. Genel Çözüm u= idi. c

 xe^y+xy= c [Genel Çözüm]

I : -¥ < < ¥ x

(26)

25/39 A2. a yı belirlemek için iki yol izleyebiliriz:

I.yol: ^m⁼

(

^x²⁺^y²

)

^a^yani^m⁼^m⁽^x²⁺^y²⁾ formunda bir integrasyon çarpanı araştırması ile.

II.yol: Denklemin her iki tarafını ^m⁼

(

^x²⁺^y²

)

^a ile çarpıp M N x y

¶ =¶

¶ ¶ eşitliğinden.

I.yoldan yapalım! (İntegrasyon Çarpanı ile Tam Diferansiyel hale getirilebilen denklem)

.

2 2

( ) 0

xdy- x +y +y dx= için M dx^. +N dy^. = yazımından: 0

2 2

x y y

M = - - -

N=x

üïï ï

ï

^ ^y ² ^{1 1} ^x

N

M y

¶ = - - ¹ =¶

¶ ¶

 Denklem: Tam Dif. DEĞİL!

2 2

w=x +y 

ìïï ïí ïï ïî

w 2 x x

¶ =

¶ w 2 y y

¶ =

¶

Hem x-e hem y-ye bağlı integrasyon çarpanı, genel formda w=w( , )x y için aşağıdaki şekilde araştırılıyor idi:

2 2 2 2 2 2

2 1 1 2 2

(2 ) ( )

. . (2 ) 2( ) 2 ( )

M y

M N

y y

x x x y y y x

x

N y

w y x

w y

x y

¶ -¶

- - - - -

¶ ¶ = =

¶ - ¶ + + + + + +

¶ ¶

₂ 2₂ 2 ₂ 1 ₂ 1

( )(2 2)

. ( )

y

x y y x y w

- -

= = - = -

+ + + (y ¹ -1)

yukarıdaki eşitlik sonucu, yalnızca w-ya bağlı bir fonksiyon elde edildi.

O halde Önbilgi2-Tablo: 3 den