Diferansiyel Denklemler II Çalışma Soruları –1

1/10

Diferansiyel Denklemler II Çalışma Soruları –1

10.03.2014

A. Aşağıda verilen denklemlerin; “mertebe düşürme metodu kullanarak, hangi sınıflandır- maya ait olduğunu belirleyiniz! “ yanlarında koşul var ise, istenen koşulu sağlayan çözümünü”, “koşul yok ise, tüm çözümlerini bulunuz.

1. yxy³ , y(0)0 , y(0)  1 2. ycosxy

3. y  , y y(0)1 , y(0) 1 4. xyyxy²2yy

5. y e^{2 y}

6. yyy²15y² x

7. y2xy2y, y(0)2, y(0) 1 8. x y y³  x yy² x y² ²2xyyx²y²

B. x y³ y³ denklemini mertebe düşürme metodu kullanarak, hangi sınıflandırmaya 0 ait olduğunu belirleyiniz! denklemin çözümünü veren içinde yalnızca bir tane integral işleminin olduğu integral denklemine kadar indirgeyiniz.

a Soruları –1

2/10 Not: Çözümler-Yol göstermeler kontrol amaçlıdır, yazım hatası - eksiklikler vs.. olabilir..

kendi çözümlerinizle mutlaka karşılaştırınız..

Çözümler…

(son güncelleme : 10.03.2015)



İki veya daha yüksek mertebeden Dif. Denk. için: Mertebe düşürme yöntemi Sınıflandırmaları



S-A. ^{F x y y}



^{, , ,...,y( )n}



 : En genel formda n.mertebeden Adi Dif.Denk. ⁰ S-A1.



^{, , ,..., ( )n}



^m



^{, , ,..., ( )n}



F x ty ty ty t F x y y y

özelliğine sahip



 

: Aranan fonks ve türevlerine göre HOMOJEN





ye^zdx



^{zz x( )}



dönüşümü yapılır.

S-A2.



^{, k , k 1 ,..., k n ( )n}



^m



^{, , ,..., ( )n}



F tx t y t ^ y t ^ y t F x y y y

özelliğine sahip



 

: Genelleştirilmiş HOMOJEN





x e^t



^{yani, t}^nx



, yze^kt dönüşümü yapılır.



zz t( ) :yeni aranan fonks., : t yeni bağımsız değişken



S-A3. ^{F x y y}



^{, , ,...,y( )n}



^_dx^{d }



^{x y y, , ,...,y(n1)}



şeklinde yazılabilen  mevcut S-B.

^{F x y}



^{, ,...,y( )n}



^{ 0}

Aranan fonksiyonu içermeyen

 



y dy z

 dx , y ^dz z

dx  ,…,

( )n (n 1)

y z ^ dönüşümü yapılır



^{zz x( )}



^.

S-B1. y^{( )n}  f x( ) : ard-arda n kez integralini alarak çözüm elde edilir.

Çalışma Soruları –1

3/10 S-B2. ^{y( )n  f y}



^(n1)



^{: y(n1)} dönüşümü yapılır ^z



^{zz x( )}



^.

S-B3. ^{y( )n  f y}



^(n2)



^{: önce y(n2)} dönüşümü yapılır ^z



^{zz x( )}



^.

2 2

( ) ( 2)

2 2

n d n d z

y y z

dx dx

 

    olur

 ^{z  f z}

 

denklemi elde edilir.

 ^{d z}

 

^{  f z dx}

 

, her taraf 2z ile çarpılır



 

 



 

( )2 .

2 2 .

dz

d z dx

z d z z f z dx



 



   

integral işlemi

 z ² 2



f z dz

 

c1 ^{ z  .2}



^{f z dz}

^{ }

^c1 (Değiş.Ayr.)



 

1 ²

1 .2

x c f z dz c

  







şeklinde devam edilerek çözüm aranır.

S-C.

^{F y y}



^{, ,...,y( )n}



^{ 0}

Bağımsız değişkeni içermeyen

 



y dy p

 dx , dönüşümü yapılır.

 

2 2

p p

d z dp dp dy dp

y p pp

dx dy dx dy dx

  

      ,…

ÇözümA1. S-B den çözebiliriz: y ^dy z

 dx , y ^dz z

dx 

 z xz³ ( z ile x arasında denk.) (değiş.ayr.)

3

1 dz xdx

z  _ ¹

2 2

1

2 2

2

c x

 z    1₂ ^{2 1}

2 2

2

c x

 z   

1 2

2

z 1

x c

  



1 2

. 1 z

x c



 

 ... (1) elde edilir.

Başlangıç koşullarından önce c i bulup sonra çözüme devam edelim. 1

(0) 0 , (0) 1

yani y 0 için y 0 , 1...

x y y

 

   

 

     ^

1

. 1

1  0 c

  



a Soruları –1

4/10 . 1 2

1

z y

x

  

  y arcsin( )x  . Başlangıç koşullarından c₂ c ₂ yi bulalım.

0 c2 arcsin 0 c₂ bulunur. 0

ÇözümA2. S-B den çözebiliriz: y ^dy z

 dx , y ^dz z

dx 

 cosz x ( z ile x arasında denk.)( değiş.ayr.) z

(z0) ^{1 1} dz cos dx

z  x  ^{.. . ..} 1 ^{. ..} ₁^. cos tan

n z n x n c

  x  

1

1 tan

(cos )

z y c x

 x

  

 ₁ ^{1 sin}

cos .

( ^x)

dy c dx

x

 

1 sin 1 sin2

cos (c

. .

os )(1 sin )

. .

x x

dx dx

x x x

 

 

 

(cos )(1 si^cos2 .

. x n )

x x dx





 ^



^._{1 sin}^cosx_x^.dx

 n^{. .}1 sin x^. k₁

ÇözümA3. S-C den S-A1 den veya S-B3 den çözebiliriz: y ^dy p

 dx  , dp dp dy

y p p

dx dy dx

dp p

   dy  

 pp  ( p ile y arasında denk.)( değiş.ayr.) y

pdp ydy  ¹

2 2

2 2 2

c

p y

   p .c₁y² ... (2) elde edilir.

Başlangıç koşullarından önce c i bulup sonra çözüme devam edelim. ₁ O halde istenilen çözüm : y arcsinx



2 1 1

c c k diyelim

 ^{y c2 c n1 .1 sin x. }Genel Çözüm^

Çalışma Soruları –1

5/10 (0) 1 , (0) 1

yani y 0 için y 1 , 1...

x y y

 

  

 

     1 .c₁ 1

eşitliğin sağ tarafının “ + “ olması durumunda c₁ bulunur. O halde (2) denkleminde 0 c ₁ yerine yazılarak denklemin sağ tarafı “+” olan parçasından çözüme devam edilir.

 dy 0 ²

p y

dx   1

dy dx

y   ny x nc₂  yc₂e^x

Başlangıç koşullarından c ₂ yi bulalım.

2

1c e0  c₂ bulunur. 1

O halde istenilen çözüm : ye^x

a Soruları –1