k probleminin bile¸senleri olup Matematik Bölümü-MAT444

(1)

Putzer Algoritmas¬

Ankara Üniversitesi

(2)

A, k k tipinde reel bir sabit matris ve λ1, λ2, . . . , λk bu matrisin özde¼gerleri olsun.

Bu durumda

Aⁿ =

∑k j=1

uj(n)M(j 1) dir. Burada I birim matris olmak üzere

M(j) = (A λjI)M(j 1), M(0) =I d¬r. uj(n), j =1, 2, ..., k skaler fonksiyonlar¬

u₁(n+1) = λ1u₁(n), u₁(0) =1

u_j(n+1) = λju_j(n) +u_j ₁(n), u_j(0) =0, j =2, 3, ..., k probleminin bile¸senleri olup

Matematik Bölümü-MAT444 () 2. Hafta 2 / 6

(3)

u₁(n) =λⁿ₁

u_j(n) =

n 1∑

r=0

λ^{n 1 r}_j u_j ₁(r), j =2, 3, ..., k

¸seklindedir.

(4)

Örnek Örnek 1

A= 0

@

0 1 1

2 3 1 3 1 4

1

A olmak üzere Aⁿ matrisini Putzer algoritmas¬

yard¬m¬yla bulal¬m.

det(A λI) =det 0

@

λ 1 1

2 3 λ 1

3 1 4 λ

1 A=0

den (λ 2)²(λ 3) =0 karakteristik denklemi elde edilir. Böylece A n¬n özde¼gerleri λ1 =λ2 =2, λ3 =3 olarak bulunur.

(5)

Örnek

Örnek 1 devam¬

M(0) =I ,

M(1) =A 2I = 0

@

2 1 1 2 1 1 3 1 2

1 A ,

M(2) = (A 2I)² = 0

@

1 0 1 1 0 1 2 0 2

1 A dir.

(6)

Örnek

Örnek 1 devam¬

u₁(n) =4ⁿ, u2(n) =

n 1∑

i=0

2^{n i} ¹2ⁱ =n2^{n 1}, u₃(n) =

n 1∑

i=0

3^{n i} ¹(i 2ⁱ ¹) = 2ⁿ+3ⁿ n2^{n 1} olarak hesaplan¬r.

Böylece Aⁿ =

∑k j=1

uj(n)M(j 1)

= 0

@

2^{n 1} 3ⁿ n2^{n 1} n2^{n 1} 2ⁿ+3ⁿ 2ⁿ 3ⁿ n2^{n 1} (n+2)2^{n 1} 2ⁿ+3ⁿ 2ⁿ⁺¹ 2.3ⁿ n2^{n 1} n2^{n 1} 2ⁿ+2.3ⁿ

1 A

bulunur.