Matematik Bölümü

Sabitlerin De¼gi¸simi Yöntemi

Ankara Üniversitesi

a0(n)x(n+2) +a1(n)x(n+1) +a2(n)x(n) =g(n)

denklemini ele alal¬m. Burada, a0(n)ve a2(n), 8^{n n0} için s¬f¬rdan farkl¬

olsun; ayr¬ca a0(n), a1(n), a2(n)ve g(n), 8^{n n0} için tan¬ml¬olsun.

Matematik Bölümü () 12. Hafta 2 / 7

a0(n)x(n+2) +a1(n)x(n+1) +a2(n)x(n) =0

x_h(n) =c1x1(n) +c2x2(n)

x_p(n) =c₁(n)x₁(n) +c₂(n)x₂(n) olmak üzere c₁(n), c₂(n)a¸sa¼g¬daki ¸sekilde hesaplan¬rlar:

x₁(n+1)_∆c1(n) +x₂(n+1)_∆c2(n) = 0 x₁(n+2)_∆c1(n) +x₂(n+2)_∆c2(n) = ^g(n)

a0(n) olup,

∆c1(n) =

0 x2(n+1)

g(n)

a0(n) x₂(n+2)

W(n+1) =F1(n)

∆c2(n) =

x₁(n+1) 0 x₁(n+2) _a^g(n)

0(n)

W(n+1) =F2(n) dir.

Matematik Bölümü () 12. Hafta 4 / 7

Böylece,

c₁(n) =

n 1∑

i=n0

F₁(n)ve c₂(n) =

n 1∑

i=n0

F₂(i) bulunur.

Örnek

x(n+2) 7x(n+1) +6x(n) =n fark denklemine kar¸s¬l¬k gelen homogen denklem

x(n+2) 7x(n+1) +6x(n) =0 olup, homogen denklemin çözümü

x_h(n) =c₁+c₂6ⁿ dir.

x_p(n) =c₁(n) +c₂(n)6ⁿ olmak üzere

Matematik Bölümü () 12. Hafta 6 / 7

Örnek

∆c1(n) +6ⁿ⁺¹∆c2(n) =0

∆c1(n) +6ⁿ⁺²∆c2(n) =n yaz¬l¬r. Buradan,

c₁(n) = ⁿ(n 1)

10 ve c₂(n) = ⁶

n

25 (n+¹ 5) bulunur. Böylece denklemin bir özel çözümü

x_p(n) = ⁿ

2

10 + ³ⁿ 50

1 125 dir.