ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

DOKTORA TEZİ

MEKANSAL İSTATİSTİKTE BULANIK UYARLAMALI AĞ YAKLAŞIMI İLE DEPREMİ OLUŞTURAN YERKABUĞU HAREKET HIZLARININ KESTİRİMİ

Nuray GÜNERİ TOSUNOĞLU

İSTATİSTİK ANABİLİM DALI

ANKARA 2007 Her hakkı saklıdır.

Prof. Dr. Ayşen APAYDIN danışmanlığında, Nuray GÜNERİ TOSUNOĞLU tarafından hazırlanan “Mekansal İstatistikte Bulanık Uyarlamalı Ağ Yaklaşımı İle Depremi Oluşturan Yerkabuğu Hareket Hızlarının Kestirimi” adlı tez çalışması 31/10/2007 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü İstatistik Anabilim Dalı’nda DOKTORA TEZİ olarak kabul edilmiştir.

Başkan: Prof. Dr. Gülsüm HOCAOĞLU

Hacettepe Üniversitesi, İstatistik Anabilim Dalı

Üye : Prof. Dr. Hasan BAL

Gazi Üniversitesi, İstatistik Anabilim Dalı

Üye : Prof. Dr. Ömer L. GEBİZLİOĞLU

Ankara Üniversitesi, İstatistik Anabilim Dalı

Üye : Prof. Dr. Ayşen APAYDIN

Ankara Üniversitesi, İstatistik Anabilim Dalı

Üye : Yrd. Doç. Dr. Cemal ATAKAN

Ankara Üniversitesi, İstatistik Anabilim Dalı

Yukarıdaki sonucu onaylarım.

Prof. Dr. Ülkü MEHMETOĞLU Enstitü Müdürü

ÖZET Doktora Tezi

MEKANSAL İSTATİSTİKTE BULANIK UYARLAMALI AĞ YAKLAŞIMI İLE DEPREMİ OLUŞTURAN YERKABUĞU HAREKET HIZLARININ KESTİRİMİ

Nuray GÜNERİ TOSUNOĞLU Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü İstatistik Anabilim Dalı

Danışman: Prof. Dr. Ayşen APAYDIN

Depremi oluşturan yerkabuğu hareket hızlarının bilinmesi, bir bölge üzerinde yer alan bir fayda depreme yol açabilecek enerji birikiminin ne kadar sürede oluşabileceği hakkında fikir vermektedir. Bu nedenle yerkabuğu hareketlerinin izlenmesi ve hızlardaki değişimin gözlenebilmesi büyük önem taşımaktadır. Bu çalışmada, gözlem istasyonları tarafından belirlenmiş yerkabuğu hareket hızlarına ilişkin ölçüm değerleri temel alınarak, gözlenmemiş diğer koordinatlarda hız değerinin kestirilmesi amaçlanmıştır. Gözlem istasyonlarından elde edilen veriler bölgesel bir alan üzerinde yer aldığından bu verilerin analizinde mekansal istatistikten yararlanılır. Mekansal kestirimde kullanılan yöntemler içerisinde en iyi kestirim olarak bilineni kriging yöntemidir. Verilerin yapısında belirsizlik olması durumunda mekansal problemlerin çözümünde farklı yaklaşımlara ihtiyaç duyulur. Bu çalışmada mekansal problemlerin çözümünde bulanık uyarlamalı ağ yaklaşımının kullanılması önerilmiştir. Çalışma alanının bulanıklaştırılması ile kurulacak ağ modelinde, bağımsız değişkenlere ilişkin sınıf sayılarının bulunmasında çıkarımlı kümeleme algoritması kullanılmıştır. Üyelik fonksiyonunun belirlenmesinde mekansal verilerin aralarındaki uzaklığa bağlı ilişkiyi modelleyen variogram fonksiyonundan yararlanılması önerilmiştir. Uygulama için yerkabuğu hareket hızlarına ilişkin literatürde yer alan gerçek verilerden yararlanılmıştır. Çalışma alanı Marmara ve çevresi ile sınırlandırılmıştır. Bu çalışma alanında yer alan 73 adet gözlem noktasına ilişkin koordinatlar ve bu koordinatlara ilişkin hareket hızları veri kümesini oluşturmuştur. Çalışmanın amacı doğrultusunda bulanık uyarlamalı ağ yaklaşımı ile kestirim yapılmıştır. Yaklaşımın performansını değerlendirebilmek için, kriging yöntemi ile kestirim yapılarak, iki yöntemden elde edilen sonuçlar hata kareler ortalaması ölçütüne göre karşılaştırılmıştır. Bulanık uyarlamalı ağ yaklaşımının, kriging yöntemi kadar etkin sonuçlar verdiği gözlenmiştir.

Yeterli sayıda veri ile çalışıldığında, bulanık uyarlamalı ağ yaklaşımının kullanılması ile mekansal problemlerin rahatlıkla çözülebileceği görülmüştür. Bulanık uyarlamalı ağ yaklaşımı ile yerkabuğu hareket hızlarının kestirimine ilişkin elde edilen modellerin deprem çalışmalarında kullanılabilirliği irdelenmiştir.

2007, 92 sayfa

Anahtar Kelimeler: Mekansal istatistik, bulanık uyarlamalı ağ, deprem, yerkabuğu hareket hızları

ABSTRACT Ph.D. Thesis

PREDICTION of CRUSTAL MOTION VELOCITIES which is CONSTITUTE EARTHQUAKE by the FUZZY ADAPTIVE NETWORK in SPATIAL STATISTICS

Nuray GÜNERİ TOSUNOĞLU Ankara University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Statistics

Supervisor: Prof.Dr. Ayşen APAYDIN

Knowing the crustal motion velocities resulting in earthquake gives an idea about when an energy accumulation causing earthquake on a fault in a specific region will probably happen. Thus, it is very crucial to follow crustal motions and to observe variations in velocities. In this study, it was aimed to predict velocity values at unobserved coordinates based on the measurement values that had been determined by the observatories regarding the crustal motion velocities. Since data gathered from the observatories arice on a regional area, spatial statistics is utilized in data analysis.

Among the several methods used in spatial prediction, kriging method is known as the best for spatial predictions. In case that there is vagueness in data structure, various approaches are needed in solving spatial problems. In this study, use of the fuzzy adaptive network approach in solving spatial problems is suggested. In order to find class numbers regarding independent variables in the network model formed by the fuzzification of the studied area, subtractive clustering algorithm was used. In determining the membership function, utilization of the variogram function modeling the relationship that depends on distance among spatial data was proposed. Real data appeared in literature as regards the crustal motion velocities is used in the application part of the study. Study area was limited to Marmara and the vicinity of Marmara.

Coordinates regarding 73 observation points in this study area and motion velocities regarding these coordinates formed the data set of the study. In line with the study purpose, predictions were performed by means of the fuzzy adaptive network approach.

In order to evaluate the performance of the approach, the kriging method is also used in the prediction and the results obtained from both methods are compared based on the mean error squares criteria. It is observed that the fuzzy adaptive network approach yields as effective results as those revealed by the kriging method. Moreover, it is seen that if the fuzzy adaptive network approach is studied with an adequate number of data, spatial problems can be solved easily. Consequently, it is shown that models obtained regarding prediction of the crustal motion velocities by means of the fuzzy adaptive network approach will contribute to earthquake studies.

2007, 92 pages

Key Words: Spatial statistics, fuzzy adaptive network, earthquake, crustal motion velocities

TEŞEKKÜR

Doktora çalışmalarım boyunca gerek ders aşamasında, gerekse bu çalışmanın ortaya çıkışında bana destek olan ve önerileri ile beni yönlendiren danışman hocam Sayın Prof.

Dr. Ayşen APAYDIN (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)’a sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

Çalışmanın her aşamasında beni yönlendiren hocalarım Sayın Prof. Dr. Hasan BAL (Gazi Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi)’a, Sayın Yrd. Doç. Dr. Cemal ATAKAN (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)’a en içten teşekkürlerimi sunarım.

Tez önerisinin oluşturulmasından uygulama sonuçlarının elde edilmesine kadar çalışmaya destek veren, çalışmanın uygulama verilerini sağlayan ve gerekli olan her aşamada bana yardımcı olan Sayın Yük. Müh. Yüzbaşı Bahadır AKTUĞ (Harita Genel Komutanlığı)’a teşekkürlerimi sunarım.

Çalışmanın teorisinin oluşturulmasından uygulama sonuçlarının değerlendirilmesine kadar belirli aşamalarda benden yardımlarını esirgemeyen Sayın Prof. Dr. A.Erhan TERCAN (Hacettepe Üniversitesi Mühendislik Fakültesi)’a, Sayın Yrd. Doç. Dr. Fatih TANK (Kırıkkale Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi)’a, Sayın Yrd. Doç. Dr. Mehmet YILMAZ (İstanbul Teknik Üniversitesi İnşaat Fakültesi)’a ve Sayın Dr. Türkan ERBAY DALKILIÇ (Karadeniz Teknik Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi)’a teşekkürlerimi sunarım.

Tez dönemim boyunca manevi desteklerini her zaman üzerimde hissettiğim arkadaşlarıma, aileme ve sevgili eşim Buğra Alp TOSUNOĞLU’ na sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

Nuray GÜNERİ TOSUNOĞLU ANKARA, EKİM 2007

İÇİNDEKİLER

ÖZET ... i

ABSTRACT ... ii

TEŞEKKÜR ... iii

ŞEKİLLER DİZİNİ ... vi

ÇİZELGELER DİZİNİ ... vii

GRAFİKLER DİZİNİ ... viii

1. GİRİŞ ve ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR ... 1

1.1 Giriş ... 1

1.2 Önceki Çalışmalar ... 5

2. MEKANSAL İSTATİSTİK ... 12

2.1 Giriş ... 12

2.2 Kesikli ve Sürekli Mekansal Rasgele Değişken ... 13

2.3 Rasgele Fonksiyon Modeli ... 14

2.4 Temel Varsayımlar ... 16

2.5 Variogram Fonksiyonu ... 18

2.5.1 Örnek variogram ... 20

2.5.2 Variogram modelleri ... 22

2.6 Mekansal Kestirim ... 24

2.6.1 Kriging Yöntemi ... 25

3. UYARLAMALI AĞLARA DAYANAN BULANIK ÇIKARIM SİSTEMİ .. 30

3.1 Yapay Sinir Ağları ... 30

3.1.1 Yapay sinir ağı modelleri ... 31

3.1.2 Yapay sinir ağlarında öğrenme ... 34

3.2 Bulanık Mantık ve Bulanık Küme Teorisi ... 35

3.2.1 Üyelik fonksiyonları ve fonksiyon biçimleri ... 41

3.2.2 Bulanık kümeleme ... 42

3.2.3 Bulanık çıkarım sistemi ... 45

3.3 Bulanık Uyarlamalı Ağ ... 49

3.3.1 Bulanık uyarlamalı ağın eğitimi ... 53

4. MEKANSAL PROBLEMLERİN ÇÖZÜMÜNDE BULANIK UYARLAMALI AĞ YAKLAŞIMI ve DEPREMİ OLUŞTURAN

YERKABUĞU HAREKET HIZLARININ KESTİRİMİ ... 59

4.1 Giriş ... 59

4.2 Bulanık Uyarlamalı Ağların Kullanılması ile Mekansal Kestirim ... 61

4.3 Depremi Oluşturan Yerkabuğu Hareket Hızlarının Kestirimi ... 64

4.3.1 Kriging Yöntemi ile kestirim ... 66

4.3.2 Uyarlamalı ağlara dayanan bulanık çıkarım sistemi ile kestirim ... 69

4.3.3 İki yöntemden elde edilen sonuçların değerlendirilmesi ... 75

5. TARTIŞMA ve SONUÇ ... 80

KAYNAKLAR ... 84

ÖZGEÇMİŞ ... 91

ŞEKİLLER DİZİNİ

Şekil 1.1 Çalışmanın yapısı .………... 5

Şekil 2.1 Variogram fonksiyonunun parametreleri ….………... 20

Şekil 3.1 Basit nöron modeli …….………. 31

Şekil 3.2 Yapay sinir ağı modeli …….………... 33

Şekil 3.3 Bulanık çıkarım sisteminin genel yapısı ….……… 46

Şekil 3.4 Bulanık ağ sisteminin birinci yapısı ……….………... 49

Şekil 3.5 Bulanık ağ sisteminin ikinci yapısı …….……… 50

Şekil 3.6 İki girişli ve iki kurallı bulanık uyarlamalı ağın yapısı ….……….. 51

Şekil 4.1 Örnek bir kestirim problemi ..…… ……….………... 60

ÇİZELGELER DİZİNİ

Çizelge 4.1 Hareket hızlarına ilişkin bazı tanımlayıcı istatistik değerleri ... 65

Çizelge 4.2 Variogram modeline ilişkin parametreler ….……….. 67

Çizelge 4.3 Kuzey ve doğu yönleri için başlangıç merkez ve yayılma değerleri ... 70

Çizelge 4.4 Kuzey yönü için ağdan elde edilen sonuç merkez ve yayılma değerlerine ilişkin tahminler ... 72

Çizelge 4.5 Doğu yönü için ağdan elde edilen sonuç merkez ve yayılma değerlerine ilişkin tahminler ... 72

Çizelge 4.6 Kuzey yönü için ağdan elde edilen başlangıç merkez değerleri ile ağın eğitimi sonunda elde edilmiş olan sonuç merkez değerlerine ilişkin tahminler ... 73

Çizelge 4.7 Doğu yönü için ağdan elde edilen başlangıç merkez değerleri ile ağın eğitimi sonunda elde edilmiş olan sonuç merkez değerlerine ilişkin tahminler ... 73

Çizelge 4.8 Kestirim hatalarına ilişkin değerler ... 75

Çizelge 4.9 Kuzey yönü için test setine ilişkin kestirim ve hata değerleri ... 77

Çizelge 4.10 Doğu yönü için test setine ilişkin kestirim ve hata değerleri ... 78

Çizelge 4.11 Test setine ilişkin hata miktarları ... 79

GRAFİKLER DİZİNİ

Grafik 4.1 Hareket hızlarına ilişkin veriler .………... 65

Grafik 4.2 Örnek ve model variogram …….……….. 66

Grafik 4.3 Kriging kestirimine ilişkin hız kestirim hataları ...………. 68

Grafik 4.4 Ağdan elde edilen kestirime ilişkin hız kestirim hataları ...…....… 74

Grafik 4.5 Kestirim hatalarına ilişkin histogramlar ... 76

Grafik 4.6 Test setine ilişkin hataların grafikleri ……….……….. 78

1. GİRİŞ ve ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR

1.1 Giriş

Dağların oluşumu, depremler ve yanardağ etkinlikleri gibi jeolojik olayları inceleyen yerbilimciler, bu olayların nedenleri ve oluşum mekanizmaları ile ilgili çok çeşitli varsayım ve teori ortaya atmışlardır. Bugün hemen hemen tüm yerbilimciler tarafından benimsenmiş olan teori levha tektoniği teorisidir. Yerkabuğunu oluşturan okyanus ve kıta parçalarına levha (plaka) denilmektedir. Levha tektoniği teorisine göre yerkabuğu birkaç parçadan oluşmakta ve levhalar birbirine göre hareket etmektedir. Bu hareket sırasında levhalar ya birbirlerinden kopmakta, ya birbirlerini sıyırmakta ya da birbirlerine çarpmaktadırlar. Hareket hızları yılda 3cm. ile 15cm. arasındadır (Şimşek 1999, Barka vd. 2000, Celep ve Kumbasar 2000).

Deprem, yer içinde fay denilen kırıklar üzerinde biriken biçim değiştirme enerjisinin aniden boşalması sonucunda meydana gelen yer değiştirme hareketinin neden olduğu karmaşık dalga hareketleri olarak tanımlanmaktadır (Şimşek 1999, Barka vd. 2000, Pampal 2000). 1906 San Fransisco Depreminden sonra depremlerin oluşumuna ilişkin Reid tarafından ortaya atılmış olan teoriye göre, belli bölgelerde biriken elastik deformasyon yani şekil değiştirme enerjisinin, yerkabuğunu oluşturan katı kayaçların kırılma dayanımını aşması sonucu ortaya çıkan ani kırılma ya da yırtılma hareketi sonunda depremler oluşmaktadır (Pampal 2000, Mertol ve Mertol 2002).

Depremlerin neden ve nasıl oluştuğu, nerede, hangi büyüklükte ve ne zaman deprem olacağı gibi sorulara cevap bulabilmek için çok disiplinli çalışmalardan elde edilen verilerin birlikte değerlendirilmesi gerekmektedir. Bu çalışmaların başında, bir depremin tanımlanması ve anlaşılmasını sağlayan deprem parametrelerinin tespit edilmesi gelmektedir. Bu parametreler,

i. Deprem enerjisinin yerin içinde ortaya çıktığı nokta (hypocenter),

ii. Bu noktaya yeryüzü üzerindeki en yakın nokta (epicenter),

iii. Bu iki nokta arasındaki uzaklık (derinlik),

iv. Depremin yeryüzünde hissedildiği noktadaki doğal ve yapay objeler ile insanlar üzerindeki etkisi (şiddet),

v. Deprem sırasında açığa çıkan enerji (büyüklük)

olarak sıralanabilir. Tanımlanan bu parametrelerin belirlenmesi dışındaki çalışmalar ise,

i. Yerkabuğu yapısının araştırılması,

ii. Yerkabuğu hareketlerinin araştırılması,

iii. Meydana gelmiş depremlerin tarihsel ve konumsal dağılımlarının araştırılması,

iv. Depremlerin önceden belirlenmesi çalışmaları,

v. Deprem hasar tespit çalışmaları,

vi. Depremin ardından onarım çalışmaları

dır. Bu çalışmalar ışığında, depremlerin neden ve nasıl oluştuğu konusunda anlamlı bilgilere ulaşılabilmekte fakat, nerede, hangi büyüklükte ve ne zaman deprem olacağı konusuna kesin olarak bir açıklık getirilememektedir. Bu konudaki cevaplara ulaşabilmek için yeryüzü üzerindeki geniş alanlardan, çeşitli ölçü aletleriyle elde edilmiş uzun süreli verilere ihtiyaç duyulmaktadır (Doğru 2005).

Bir bölgede yer alan bir fayda deprem olma ihtimalini en güvenilir şekilde tahmin etmek deprem çalışmalarının başlıca amacıdır. Bu amaçla deprem mekanizmaları anlaşılmaya çalışılmış ve farklı deprem tahmin modelleri geliştirilmiştir (Barka vd.

2000, Ercan 2001). Türkiye’de de 1999 depremlerinin ardından Marmara Denizi ve

çevresinde ulusal ve uluslararası birçok araştırma projesi başlatılmış ve bölgenin jeolojisiyle ilgili daha çok parametre elde edilmesi amaçlanmıştır (Karaesmen 20002).

Arabistan levhası kuzey-kuzey doğu doğrultusunda GPS (küresel pozisyon sistemi) ’e göre her yıl ortalama 18 ±2 mm hızla ilerleyerek Anadolu levhasını devamlı sıkıştırmaktadır. Türkiye’de meydana gelen depremlerin esas nedeni de Arabistan levhasının bilinen bu hareketidir. Avrasya levhası tarafından hareketi engellenen, Suudi Arabistan, Irak ve Suriye’nin bulunduğu Arabistan levhasının hızı azalmış ve bunun sonucunda Kuzey Anadolu ve Doğu Anadolu Fayları oluşmuştur. Anadolu levhası Kuzey Anadolu Fayı boyunca yılda ortalama 24±2 mm, Doğu Anadolu Fayı boyunca ortalama 9±2 mm batıya hareket etmektedir. Batı Anadolu ise yılda ortalama 30±1 mm güney batıya hareket etmektedir (Şimşek 1999, Celep ve Kumbasar 2000, Mertol ve Mertol 2002). Yerkabuğundaki levhaların bu hareketi, stresi kritik noktaya çıkarttığında kaya aniden kırılacak ve sonra yeni bir konuma yerleşip sessizleşecektir. Fayın bu bölümünde en son kırılmanın yani depremin ne zaman olduğuna ve gerçekleşen yeni depremin ne kadar stres boşalttığına bakılarak yılda ne kadar stres biriktiğini ölçmek mümkün olabilmektedir. Böylece bir sonraki depremi oluşturacak büyüklükteki stresin birikmesi için geçecek zaman tahmin edilerek depremin ne zaman olabileceği hakkında bir bilgi edinilebilecektir (Barka vd. 2000). Bu nedenle yerkabuğunun hareket hızlarındaki değişimin gözlenmesi büyük önem taşımaktadır.

Bu çalışmada, yerkabuğu hareketlerinin araştırılmasından yola çıkılarak, depremi oluşturan, seyrek aralıklarla belirlenmiş yerkabuğu hareket hızlarının kullanılması ile bilinmeyen diğer koordinat noktalarında hareket hızlarının kestirilmesi amaçlanmıştır.

Yerkabuğu hareket hızlarına ilişkin veriler mekansal bir bölge üzerinden alındığı için bu tür verilerin analizinde mekansal istatistiğe ihtiyaç duyulmaktadır. Buradan hareketle, mekansal istatistik konusu ve mekansal kestirimde kullanılan kestirim yöntemleri incelenmiştir.

Deprem tehlikesi oluşturacak aktif fayların sismik özelliklerinin belirlenmesi, sınırlı gözlem ve ölçümlere dayanarak yapılabilmektedir. Fayların yerkabuğu derinliklerindeki kısımlarının gözlenmesi ve yüzeyden ölçümler alınması için yeterli teknoloji

üretilememiştir. Yapılan ölçümlerde pek çok belirsizlik vardır (Celep ve Kumbasar 2000, Mertol ve Mertol 2002). Bu bilgiler ışığında yerkabuğu hareket hızlarına ilişkin ölçümlerde bulanıklığın söz konusu olduğu düşünülmüştür. Bu nedenle çalışmada yerkabuğu hareket hızlarının kestiriminde bulanık mantığa dayanan bir yaklaşım kullanılması önerilmiştir.

Bulanık mantık, sinir ağları, genetik algoritmalar ve uzman sistemler gibi bütün yapay zeka tekniklerinin her birinin kendisine özgü yetenekleri bulunmaktadır. Örneğin, yapay sinir ağları öğrenme ve örnekleri tanımlamada iyi iken kararların nasıl alındığı konusunda iyi değildir. Bulanık mantık yaklaşımı karar almada çok iyi sonuçlar verir fakat karar alma sürecindeki kural oluşturmayı kendiliğinden gerçekleştiremez.

Bulanık sinir ağları yaklaşımı, yapay sinir ağlarının öğrenme yeteneği, en uygunu bulma ve bağlantılı yapılara sahip olması gibi, bulanık mantığın insan gibi karar verme ve uzman bilgisi sağlama kolaylığı gibi üstünlüklerinin birleştirilmesi fikrine dayanmaktadır. Bu yolla, bulanık denetim sistemlerine, sinir ağlarının öğrenme ve hesaplama gücü verilebilirken, sinir ağlarına da bulanık denetimin insan gibi karar verme ve uzman bilgisi sağlama yeteneği kazandırılmaktadır (Elmas 2003a).

Çalışmanın amacı doğrultusunda, mekansal istatistikte bulanık uyarlamalı ağ yaklaşımının kullanılabilmesi için bir algoritma oluşturulmaya çalışılacaktır. Bu yaklaşımın etkinliğini test edebilmek için mekansal istatistikte kullanılan kestirim yöntemleri içerisinde en iyi kestirim olarak bilinen kriging yöntemi ile karşılaştırılması amaçlanmıştır.

Çalışmanın yapısı, Şekil 1.1’ de verilmiştir. İlk Bölüm giriş ve önceki çalışmaları kapsamaktadır.

Şekil 1.1 Çalışmanın Yapısı

İkinci Bölüm’ de mekansal istatistik konusu incelenerek, variogram fonksiyonu, variogram modelleri, mekansal kestirim ve kriging yöntemi ayrıntılarıyla açıklanacaktır.

Üçüncü Bölüm’ de uyarlamalı ağlara dayanan bulanık çıkarım sistemi açıklanacaktır.

Sinir ağları, yapay sinir ağı modelleri ve geri beslemeli ağ sistemleri; bulanık mantık ve bulanık küme teorisi ve bulanık çıkarım sistemi verilerek bulanık uyarlamalı ağ modeli sunulacaktır.

Çalışmanın özgün yanını oluşturan Dördüncü Bölüm, İkinci ve Üçüncü Bölümün birleşmesiyle oluşmaktadır. Bu bölümde mekansal istatistikte bulanık sinir ağları yaklaşımının kullanılması ile kestirim konusu incelenecektir. Kriging yöntemi ve geliştirilen bulanık uyarlamalı ağ modeli ile gerçek veriler üzerinde uygulama yapılarak, bu yöntemlerin yerkabuğu hareket hızlarının kestiriminde uygulanabilirliği sorgulanacaktır.

Beşinci Bölüm’ de iki yöntemden elde edilen sonuçlar değerlendirilecektir.

1.2 Önceki Çalışmalar

Depremlerle ilgili tarihi bilgilere bakıldığında, ilk kayıtların M.Ö. 2000’ li yıllara dayandığı görülmektedir. Depremler, ilk olarak Aristo tarafından sınıflandırılmıştır.

M.S. 132’de Çin’de deprem hareketini kaydeden ve sismograf adı verilen ilk alet 1

2

3

4 5

yapılmıştır. Sismografın, insanların hissetmediği yaklaşık 750 km. uzaklıktaki depremleri algılayabildiği bilinmektedir.

Sismografların olmadığı dönemlerde depremin gücünü belirlemek için depremlerin, canlılar, yapılar ve toprak üzerindeki etkileri sınıflanmış ve şiddet adı verilen ölçek ortaya çıkmıştır. Şiddeti tanımlamak için de pek çok ölçek geliştirilmiştir. Bunlardan en yaygın olarak kullanılanı Değiştirilmiş Mercalli Şiddet Ölçeği’dir. Mercalli Şiddet Ölçeği, Romen rakamlarıyla belirlenen 12 düzeyden oluşmakta ve herhangi bir matematiksel temeli olmayıp, sadece gözlemsel bilgilere dayanmaktadır. Deprem sırasında açığa çıkan enerjinin matematiksel ölçüsü magnitüd (büyüklük) olarak tanımlanır. Magnitüd, Richter ölçeğinin birimidir. California Teknoloji Enstitüsü’nden Dr. Charles Richter yerel büyüklük ölçeği denilen bu ölçeği 1935 yılında geliştirmiştir.

Buna günümüzde Richter Ölçeği denilmektedir. Bu ölçek sayesinde bütün depremler aynı kriterlere göre ölçülmekte ve büyüklükleri birbiriyle karşılaştırılabilmektedir (Barka vd. 2000, Gürer 2000).

1760 yılında John Mitchel İngiltere’de yaptığı araştırmalarda depremlerin yerkabuğundaki dalga hareketleriyle ilgili olduğundan söz etmiştir. 1840 yılında ise John Hoff tarafından, tüm dünyayı kapsayan bir deprem kataloğu yayınlanmıştır (Barka vd. 2000, Pampal 2000).

1857’de Napoli’de gerçekleşen büyük depremden sonra, Robert Mallet ilk arazi çalışmasını yaparak bölgenin hasar haritasını hazırlamış ve depremleri kaydetmek için rasathanelerin kurulması önerisini getirmiştir. Daha sonra Palmieri İtalya’da yakın ve uzak depremleri kaydedebilecek ilkel bir sismograf yapmıştır (Şimşek 1999).

Oldham (1879), sismograflardan alınan kayıtlardan yararlanarak P-S (yatay-düşey) dalgalarının matematiksel denklemini ortaya koymuştur. Japonya’da 1880’de meydana gelen depremden sonra, Japonlar tarafından depremle ilgili ilk dernek kurulmuştur.

Daha sonra bilimsel çalışmalar hızla gelişmeye başlamıştır (Şimşek 1999, Pampal 2000).

Literatüre bakıldığında depremle ilgili yapılmış pek çok çalışma olduğu görülmektedir.

Bu çalışmalardan, yerkabuğunun yapısı ve hareketleri, deprem tahmininde bulanık modelleme ve sinir ağlarının kullanılması konularını içeren, son on yıl içerisinde yapılmış olan araştırmalar incelenmiş ve aşağıda verilmiştir.

Huang and Leung (1999), deprem alanı ile magnitüdü arasındaki ilişkinin tahmini için bulanık sinir ağlarını kullanmayı önermişlerdir. Bulanık sinir ağları modelinin üstün olduğunu göstermek için pratik bir örnek üzerinde uygulama yapılmıştır. Çin’de 1913 ile 1976 yılları arasında kaydedilen 25 deprem, veri olarak alınmıştır. Deprem alanı ile magnitüdü arasındaki ilişkiyi bulmak için doğrusal regresyon, geri beslemeli sinir ağları, bilgi yayılım yöntemi ve bulanık sinir ağları kullanılmıştır. Bulanık sinir ağı yapısı kullanılırken girdi değişkenleri bulanık olarak alınmıştır. Bu dört yöntem ile sismik alan büyüklükleri tahmin edilmiş ve tahmin değerlerinin hata kareler ortalaması alınarak yöntemler birbirleriyle karşılaştırılmıştır. En az hataya sahip olan bulanık sinir ağlarının en iyi sonucu verdiği görülmüştür.

Mc Clusky et al. (2000), doğudan batı yönüne doğru, Kafkas Dağları’ ndan Adriyatik Denizi’ ne ve kuzey güney doğrultusunda Avrasya plakasının güney ucundan Afrika plakasının kuzey ucuna kadar uzanan 189 alandaki 1988-1997 yılları arasında meydana gelen yer kabuğu hareketlerinin Küresel Konum Sistemi (GPS) ile ölçüm sonuçlarını sunmuşlardır.

Bodri (2001), deprem tahmin problemleri için sinir ağları modelinin uygulanabilirliğini ve yararlarını değerlendirmiştir. Macaristan’da Carpathian-Pannoman Bölgesi ve Yunanistan’da Peloponnesos Bölgesi’ ni inceleyerek depremsellik oranlarındaki değişim ile magnitüdü 6.0’dan büyük olan depremlerin zamanını tahmin etmek için sinir ağları modelini geliştirmiştir. Deprem olaylarının analizi için üç tabakalı ileri beslemeli sinir ağları modeli kurulmuştur. Sinir ağının en iyi performansını verecek olan girdi set düzenini bulmak amacıyla sayısal deneyler yapılmıştır. Kurulan sinir ağının dikkate değer ve doyurucu olan performansı, deprem tahmin problemlerinde bu yöntemin uygulanmasının yararlı olduğunu göstermektedir.

Heety (2002), Arabistan levhasının kuzeyinin yerkabuğu yapısını spektral oran yöntemini kullanarak tanımlamıştır. Çalışmada uzun dönem P dalga genişliği oranları kullanılmıştır. Irak Deprem Ağı üzerinde yer alan Bağdat ve Rutbah’ daki istasyonlarda kaydedilen dokuz deprem bazı kriterlere göre seçilerek analiz edilmiştir.

Papazachos et al. (2002), Türkiye’nin kuzeybatısı ve Kuzey Ege alanındaki yerkabuğu deformasyonlarının hızını tanımlamak için sistematik bir şekilde yapılan araştırmaların sonuçlarını vermişlerdir. Çalışmada, genellikle Türkiye’nin kuzeybatısında gözlenen ve orta magnitüddeki depremlerin gerçekleşmesiyle serbest kalan sismik deformasyonların hızı bulunmuştur. Bu bölgede önümüzdeki beş yıl süresince iki güçlü depremin gerçekleşmesine sebep olabilecek sismik aktivite hızı tahmin edilmiştir. Bu depremlerin büyüğünün, merkez üstü koordinatları 39.7^o Kuzey - 28.8^o Batı, magnitüdü 7 ve gerçekleşme zamanı 2003.5 (2003 yılı 5. ay) olarak tahmin edilmiştir. İkinci depremin ise merkez üstü koordinatları 40.0^o Kuzey - 27.4^o Batı, magnitüdü 6.4 ve gerçekleşme zamanı 2002.5 (2002 yılı 5. ay) olarak tahmin edilmiştir. Beklenen bu depremler için hesaplanan odak parametrelerindeki sapmalar merkez üstü için 100 km., magnitüd için

 0.5 ve zaman için  1.5 yıldır.

Doğan vd. (2003), Marmara Bölgesi ve özellikle Gölcük-Sapanca Bölgesinde, yerkabuğunu önemli ölçüde deforme eden 17 Ağustos 1999 İzmit depremini incelemişlerdir. Deprem öncesinde gözlem yapılan belli bölgelerde, deprem sonrası da gözlem yapılmıştır. Elde edilen altı dönemlik GPS ölçüleri, doğrusal, karesel, üstel kinematik modeller ve Kalman filtre tekniği ile deprem öncesi ve deprem sonrası deformasyonların tahmin edilmesinde kullanılmıştır.

Karesel deformasyon modeli ve Kalman filtre tekniği, gözlem yapılan bölgelerin zamana bağlı yerkabuğu hareket parametrelerinin (hız ve ivme) tanımlanmasında da kullanılmaktadır. Modellerin arasındaki farklılığın gösterilmesi için son dönemdeki deformasyon alanları tahminleri karşılaştırılmıştır. Sonuçta, faya yakın bölgelerde, faya paralel doğrultuda büyük yer değiştirmeler gözlenmişken, faya uzak bölgelerde küçük yer değiştirmeler gözlenmiştir. Deprem sonrasında belirlenmiş dönemlerde her bir kinematik model farklı tavır göstermiştir. Kalman filtre tekniğinin bir sonucu olarak fay

yakınındaki bölgeler faya paralel doğrultuda anlamlı hızlar göstermiştir. Buna karşılık fayın uzağındaki bölgeler önemsiz hızlara sahiptir. Son dönemde tüm istasyonlarda ölçülen ivmeler önemsiz bulunmuştur.

Negarestani et al. (2003), çevresel parametrelere bağlı olan, topraktaki radon yoğunluğunun tahmininde, Widrow ve Hoff tarafından geliştirilmiş olan ve ADALINE (ADAptive LInear NEuron) adı verilen uyarlamalı doğrusal sinir ağlarını kullanmışlardır. Deprem tahmininde radon yoğunluğunun zaman içindeki değişimini tanımlayabilmek yararlıdır. Topraktaki radon yoğunluğunu ölçerken, barometrik basınç, toprağın sıcaklığı ve yağış miktarı gibi bazı çevresel parametreler kullanılmaktadır.

Radon yoğunluğunun tahmini için pek çok çalışma yapılmış, bu çalışmalarda karmaşık matematiksel yöntemler kullanılmıştır. Negarestani vd. çalışmalarında çok daha kolay bir yöntem kullanarak aynı sonuçların elde edilebildiğini göstermişlerdir. Analiz, Kuzey Tayland’dan alınan veriler kullanılarak yapılmıştır. ADALINE yapısı ile tahmin edilen radon yoğunluğunun zaman içindeki değişiminin tanımlanmasıyla, deprem tahmininde kullanılabileceği görülmüştür.

Fujii (2003), 1923 yılında Kanto- Japonya’da meydana gelen 7.9 magnitüdlü depremle ilişkili deprem öncesi ve deprem sonrası jeodezik verileri kullanarak yer kabuğu hareketlerini incelemiştir.

Wendt and Dietrich (2003), Vogtland deprem bölgesinde, kesin GPS ölçümlerine dayanan yer kabuğu deformasyonlarını saptamışlardır. Bohemia-Vogtland’ın kuzeybatısındaki Saxon bölgesinde, son yıllarda yapılan araştırmaların yöntem ve sonuçlarını göstermişlerdir.

Bu araştırmaların yanında yerkabuğu hareketlerinin modellenmesi ve deprem tahmininde, bulanık modelleme ve sinir ağlarının uygulandığı pek çok çalışma yapılmıştır.

Dai and MacBeth (1997), P ve S dalgalarını tanımlamak için geri beslemeli sinir ağları yöntemini kullanmışlardır.

Giacinto et al. (1997), deprem riski taşıyan bölgeleri değerlendirmede sinir ağları uygulaması ve istatistiksel örüntü tanımlama algoritmasını geliştirmişlerdir.

Muller et al. (1999), sismometre ağı tarafından Fransa’da kaydedilen düşük magnitüdlü sismik olayların sınıflandırılmasında orijinal bir yöntem olan bulanık sinir ağlarını kullanmışlardır.

Wang and Rahman (1999), yatay alan yer değiştirme miktarını tahmin etmek için geri beslemeli bir sinir ağı modeli geliştirmişlerdir.

Rovithakis and Vallianatos (2000), elektriksel deprem işaretlerinin tanımlanmasında sinir ağları yaklaşımını kullanmışlardır.

Lee and Han (2002), yapay depremler üreterek buna karşılık cevap spektrumların üretilmesinde sinir ağlarına dayanan modelin uygulanabilir olduğunu göstermişlerdir.

Çalışmada birçok sayısal örnekle analiz yapılmış ve modelin doğruluğu görülmüştür.

Rajasekaran et al. (2002), yapıların deprem zararlarına karşı stres limitinin tanımlanmasında tek gizli tabakalı, ardışık öğrenen yapay bulanık sinir ağlarını kullanmışlardır.

Yapılan bu deprem tahmin araştırmalarının hızlı gelişim gösterememesinin nedenleri 2001 yılında Wyss’ ın yapmış olduğu bir çalışmada incelenmiştir. Çalışmada, depremin en önemli parametresi olan stres düzeyinin doğrudan ölçülememesi ve yerkabuğu içinde gözlem yapılamaması nedeniyle deprem tahmin problemlerinin zor olduğu belirtilmiştir.

Ayrıca Wyss (2001)’ ın çalışmasında, yerkabuğu deformasyonlarının ölçülmesinde kullanılan modern teknikler kadar iyi olan sismoloji ağından söz edilmiştir.

Bu çalışmaların yanı sıra mekansal problemlerin çözümünde bulanık mantığın kullanılmasına ilişkin çalışmalar da incelenmiştir. Diamond (1989) bulanık verilerin mekansal dağılımını araştırmış, bulanık değerli mekansal değişken ve bulanık değerli rasgele fonksiyonu tanımlamıştır. Çalışmada, üçgensel bulanık sayı değerli bir rasgele fonksiyon tarafından modellenen bulanık sayıların mekansal dağılımının kullanılması ile tahmin problemi göz önüne alınmış ve bulanık kriging yöntemi tanımlanmıştır.

Lee (2000), mekansal dağılımdan doğan problemlerin çözümü için bulanık uyarlamalı ağlara dayanan bir hesaplama yöntemi önermiştir. Çalışmada bulanık uyarlamalı ağlar variogram fonksiyonunun belirlenmesinde kullanılmıştır. Kurulan ağ yapısının 4.tabakasının çıktısı variogram fonksiyonu olarak tanımlanmıştır.

Bu konuda Türkiye’de yapılan çalışmalara bakıldığında son yıllarda bir artış olduğu gözlenmektedir. Yıldırım ve Bayramoğlu (2004) Zonguldak ili şehir merkezinde oluşan hava kirliliğinin modellenmesinde, Yılmaz ve Arslan (2005) jeodezik problemlerin çözümünde ve jeoit yüksekliklerinin belirlenmesinde, Tütmez ve Tercan (2006) tenör kestiriminde, Tütmez (2007) mineral cevheri derecelerinin belirlenmesinde ve rezerv tahmininde, Tütmez ve Tercan (2007) kayaların bazı mekanik özelliklerinin mekansal tahmininde bulanık modellemeden yararlanmışlardır.

2. MEKANSAL İSTATİSTİK

2.1 Giriş

Jeoloji, toprak bilimleri, görüntü süreçleri, atmosfer bilimleri, maden arama, askeri araştırma ve deprem araştırmaları gibi bilim alanlarında, farklı mekansal bölgelerde tanımlı değişkenler mekan ilişkileri içerdiğinden her zaman bağımsız olmamaktadır. Bu nedenle bu tür verilerin analizinde, bağımlı değişkenlerin analizinde kullanılan yöntemlere ihtiyaç duyulmaktadır (Cressie 1993, Lee 2000).

Mekansal istatistik olasılık teorisine dayanarak geliştirilmiş bir yaklaşımdır. Olasılık teorisi rasgele olaylara egemen olan kanunları matematiksel yöntemlerle inceleyen bir bilim dalıdır. Bir deney aynı koşullar altında birçok kez tekrar edildiğinde sonuçlar belli bir kurala bağlı olmaksızın her kez değişiyorsa, bu deneyin belirli bir sonucuna bağlı olarak gerçekleşen ya da gerçekleşmeyen bir olaya rasgele olay denir. Rasgele olayların rol oynadığı problemlerin incelenmesi ve rasgele olayların bağlı olduğu kanunları ortaya koymak olasılık teorisinin amacını oluşturmaktadır (Ersoy ve Erbaş, 1992). Herhangi bir mekansal bölgede, yüksek maliyet, zaman sınırı ve verilerin doğal dinamiklerindeki sürekli değişim gibi zorluklar nedeniyle bir deneyin aynı koşullar altında birçok kez tekrar edilmesi mümkün olamamaktadır. Ayrıca deneysel zorluklar nedeniyle genellikle veriler eksik kalmaktadır. Bu nedenle mekansal verilerin analizinde farklı yöntemlere ihtiyaç duyulmuştur.

Mekansal istatistik teorisi ilk olarak Matheron (1963) tarafından ortaya atılmış, daha sonra Journel and Huijbreghts (1978), David (1988), Cressie (1991), Isaacs and Srivastava (1991), Wackernagel (1995), Armstrong (1997), Goovaerts (1997), Kitanidis (1997) ve diğer araştırmacıların katkılarıyla gelişmiştir (Tercan ve Saraç 1998).

Alt kesimlerde mekansal istatistikle ilgili tanımlar verildikten sonra mekansal kestirim konusu ayrıntılı olarak açıklanacaktır.

2.2 Kesikli ve Sürekli Mekansal Rasgele Değişken

x, d-boyutlu Öklid uzayının bir alt kümesi olan Q alanı üzerinde tanımlı genel bir nokta, Z

 

x ise x noktası üzerinde tanımlı bir rasgele değişken olsun. Mekansal rasgele değişkenin mümkün sonuçlarının sayısı sonlu ise bu durumda rasgele değişken, kesikli rasgele değişken olarak adlandırılır.

 

x

Z kesikli bir rasgele değişken olmak üzere, Z

 

x ’in olasılık fonksiyonu



z_i



P



Z

 

z_i



f x ;  x  (2.1)

olarak tanımlanır. f olasılık fonksiyonu,

 

 











N i

i i

z f

N i

z f

1

1 ,

,..., 1 , 0

; x x

(2.2)

koşullarını sağlamaktadır.Z

 

x ’in birikimli olasılık fonksiyonu, yani dağılım fonksiyonu,

               

 



 

















i i

i

i i

z f

z Z z

Z z Z P z F

1

2 1

;

...

;

x

x x

x x

(2.3)

olarak tanımlanır ve

   

 

z F



z



i i F

N i

z F

i i

i











 ,

;

;

,..., 1 , 1 , 0

;

x x

x (2.4)

özelliklerini sağlar (Goovaerts 1997).

 

x

Z rasgele değişkeni belirli bir aralıkta yer alan sonsuz değerden birini alıyor ise bu durumda rasgele değişken sürekli rasgele değişken olarak adlandırılır. ^Z

 

^{x sürekli}

rasgele değişkeni, z verilen herhangi bir eşik değeri olmak üzere,

 

z P



Z

 

z



z

F x;  x  ,  için (2.5)

biçiminde tanımlanan birikimli dağılım fonksiyonu ile karakterize edilir. Olasılık yoğunluk fonksiyonu f ;

 

x z (var ise), birikimli dağılım fonksiyonunun türevidir.

Dağılım fonksiyonu,

   

 

z F

 

z z z F

z z

F



 







,

;

;

, 1 , 0

;

x x

x (2.6)

özelliklerini sağlar (Goovaerts 1997).

2.3 Rasgele Fonksiyon Modeli

Herhangi bir x noktası üzerinde bulunan _i Z

 

x rasgele değişkeninin değeri hakkındaki yerel belirsizlik, rasgele değişkenin mümkün sonuçlarının kümesi tarafından modellenmektedir. Rasgele fonksiyon kavramı değişkenin uzaklığa bağlı değişim yapısının belirlenmesini sağlar. Rasgele fonksiyonun sonuçlarının kümesi tüm çalışma alanı içinde, değişkenin uzaklığa bağlı dağılımı hakkındaki belirsizliği modellemektedir (Goovaerts 1997, Stein et al. 1999, Sinclair and Blackwell 2002).

Rasgele fonksiyon, Q alanı üzerindeki bağımlı rasgele değişkenlerin bir kümesi olarak tanımlanır ve

 



Z x ,xQ



(2.7) ile gösterilir. x ,_i i1,...,N, noktalarının herhangi bir kümesi,



Z

   

x₁ ,Z x₂ ,...,Z

 

x_N



rasgele değişkenlerinin bir vektörüne karşılık gelir ve



_N z z z_N



P



Z

 

z Z

 

z Z

 

_N z_N



F x₁,x₂,...,x ; ₁, ₂,...,  x₁  ₁, x₂  ₂,..., x  (2.8)

biçiminde tanımlanan, N-noktalı birikimli dağılım fonksiyonu ile karakterize edilir.

Uygulamada en fazla iki nokta içeren birikimli dağılım fonksiyonları ile analiz yapılmaktadır (Goovaerts 1997).

 

x

Z sürekli rasgele değişkeninin beklenen değeri,

 



Z

  

Q

E x  x , x (2.9)

ve varyansı

 



^{Z x}



^E

 

^Z

 

^{x E}



^Z

 

^x

 

²



^E

 

^Z

   

^{x  x}



²



Var (2.10)

dir (Goovaerts 1997, Stein et al. 1999, Sinclair and Blackwell 2002).

İki değişken arasındaki uzaklığa bağlı ilişkiyi belirlemede kullanılan fonksiyonlar kovaryans, korelogram ve variogramdır. x ve x A alanı üzerinde tanımlı iki nokta ^* olmak üzere, Z

 

x ve ^Z

 

^x* değişkenleri için kovaryans,

   



^{Z x,Z x*}



^E



^Z

 

^x.Z

 

^x*



^E



^Z

 

^x



^.E



^Z

 

^x*



Cov   (2.11)

korelogram,

   

   ^{ }   

 

    

^*



* , *

, x x

x x x

x Var Z Var Z

Z Z Z Cov

Z 

 (2.12)

ve variogram,



^{( ), ( *)}



²

 

^{, *}

    

^*



2 Z x Z x   x x Var Z x Z x (2.13)

olarak tanımlanır (Cressie 1993, Goovaerts 1997, Tercan ve Saraç 1998).

2.4 Temel Varsayımlar

Q alanı üzerinde tanımlı Z x ve

 

_i Z x ’den

 

_i h kadar mesafede bulunan Z



x_i h



rasgele değişken çiftleri göz önüne alınsın. h, değişkenler arasındaki uzaklık ve yönün bir vektörüdür. h vektörünün hesaplanmasında kullanılan farklı metrikler bulunmaktadır.



Z

  

x_i ,Z x_i  h



;i1,...,^N



rasgele değişken çiftlerinin aynı iki-noktalı dağılımdan geldikleri varsayılmaktadır (Cressie 1993, Goovaerts 1997).

Herhangi iki



Z

   

x₁ ,Z x₂ ,...,Z

 

x_N



ve



Z



x₁h

 

,Z x₂ h



,...,Z



x_N h

 

vektörü için,



x₁,x₂,...,x_N;z₁,z₂,...,z_N

 

F x₁ h,x₂ h,...,x_N h;z₁,z₂,...,z_N



, x₁,...,x_N veh

F      için (2.14)

eşitliği sağlanıyorsa Z

 

x rasgele fonksiyonu Q üzerinde durağandır. Rasgele bir fonksiyon modeli,

i. E



Z

 

x



,

ii. Cov



Z(x),Z(xh)



vardır ve sadece h vektörüne bağlıdır,

koşullarını sağlıyorsa rasgele fonksiyon ikinci dereceden durağandır. Buna göre, Q çalışma alanı üzerinde tanımlı Z

 

x rasgele değişkeninin ortalamasının var olduğu ve bu ortalamanın sabit olduğu; ^Z

 

^{x ve Z}



^xh



rasgele değişkenlerinin arasındaki kovaryansın, x ve xh noktalarına değil, bu rasgele değişkenlerin arasındaki h uzaklığına bağlı olduğu varsayılmaktadır. Kovaryansın yalnızca uzaklığa bağlı oluşu, varyans ve variogramın da uzaklığa bağlı olmasını gerektirir. Varyans ve variogram,

 

       



xx h

  

h

   

x x h

 

x x

















Z Z Var ,

Z E Z

Var







 2

2

2 2

(2.15)

biçiminde tanımlanır.

İkinci dereceden durağanlık varsayımı altında beklenen değerler sabit olduğundan,

 



Z x



Var



Z



xh

 

²

Var (2.16)

olur ve variogram fonksiyonu kovaryansa bağlı olarak,

       

 

           

 



x

    

x x h

 

h x h

x x x

h x x h























Z Z Cov Z

Var

Z Var Z

Z Cov Z

Var

Z Z Var

, 2

2

, 2

2

(2.17)

biçiminde yazılabilir. Var



Z

 

x



Cov



Z(x),Z(x)



olduğundan, varyans değerinin

0

h için kovaryans değerine eşit olduğu görülebilir.

 



Z x ,Z(x)



Cov



h0



Cov

ve



Z x Z x h



Cov

 

h Cov ( ), (  ) 

biçiminde yazılırsa, 

 

h semivariogram değerini göstermek üzere,

 

^{h Cov}



^h0



^Cov

 

^h

 (2.18)

eşitliği elde edilir. Buradan kovaryans ve variogramın iki eşdeğer fonksiyon olduğu görülebilir. Korelogram fonksiyonu, kovaryans ve variograma bağlı olarak,

   

   



0



0 1 

 

h h h

h h

Cov Cov

Cov 

 (2.19)

eşitliği ile ifade edilir (Cressie 1993, Goovaerts 1997, Tercan ve Saraç 1998, Barton et al. 1999).

Rasgele fonksiyonların genel yapısını gösteren davranışı, rasgele değişkenler arasındaki uzaklığa bağlı ilişkinin derecesi ile modellenmektedir. Uzaklığa bağlı ilişkiyi belirlemede daha çok variogram fonksiyonları kullanılmaktadır (Tercan ve Saraç 1998).

2.5 Variogram Fonksiyonu

Variogram fonksiyonu, birbirleri arasındaki uzaklık mesafesi h olan iki rasgele değişken arasındaki uzaklığa bağlı ilişkiyi karakterize etmek için kullanılır.

 

h Var



Z

  

x Z xh

 



2 (2.20)

olarak tanımlanan variogram fonksiyonu, rasgele değişkenlerin arasındaki farkın varyansı olarak ifade edilir ve

       

   

         

   

 

²

         

²

2 2

2

h x x

h x x

h x x h

x x

h x x h































Z E Z

E Z

Z E

Z Z E Z

Z E

Z Z

 Var

(2.21)

olarak yazılabilir (Cressie 1993, Tercan ve Saraç 1998).

İkinci dereceden durağanlık varsayımına göre, Z

 

x ve Z



xh



rasgele değişkenlerinin beklenen değerleri eşit olduğundan, variogram fonksiyonu beklenen değer cinsinden,

       

²

2 h E Z x Z xh (2.22)

olur (Cressie 1993, Tercan ve Saraç 1998).

Variogram fonksiyonu aşağıda belirtilen özellikleri sağlamaktadır (Cressie 1993, Tercan ve Saraç 1998).

i. Variogramın h0 uzaklığındaki değeri sıfıra eşittir.

 

0 2 0 

ii. Variogram fonksiyonu negatif değerler alamaz.

 

0,

2 h  hiçin

iii. Variogram fonksiyonu simetriktir.

 

2

 

,

2 h   h hiçin

Variogram fonksiyonunun parametreleri aşağıda tanımlanmış ve grafikle gösterimi Şekil 2.1’de verilmiştir (Tercan ve Saraç 1998, Çetin vd. 1999, İnal vd. 2002).

i. C0 – külçe etkisi: Elde bulunan örnekler içinde birbirine en yakın iki örnek arasındaki uzaklıktan daha küçük uzaklıklarda, değerler arasındaki farkın değişimi, veri olmadığından belirlenememektedir. Bu durum, variogramın 0’dan farklı pozitif bir değer almasına yol açar. Bunun bir diğer nedeni de örnekleme ve analiz hatalarıdır. Teorik olarak h0 olduğunda sıfır olması gereken variogramın, bu nedenlerden dolayı aldığı sıfırdan farklı pozitif değer külçe etkisi olarak adlandırılmaktadır. Külçe etkisinin hangi durumdan kaynaklandığı ise kesin olarak bilinememektedir.

ii. C: Variogramın düşey ölçek değeridir. Yapısal veya stokastik varyans olarak da tanımlanır.

iii. C0 + C – eşik: Bölgenin yapısına göre, variogram fonksiyonu belirli bir uzaklıktan sonra artışını durdurur. Variogram fonksiyonunun bu noktada aldığı toplam değer eşik olarak adlandırılır. Variogram fonksiyonları eşikli ve eşiksiz olmak üzere iki biçimde incelenmektedir.

iv. a – yapısal uzaklık: Variogramın eşik değerine ulaştığı uzaklık yapısal uzaklık olarak adlandırılmaktadır. Yapısal uzaklık gözlem değerlerinin birbirinden bağımsız olduğu kabul edilen etki uzaklığı olarak da bilinmektedir. Yapısal uzaklıktan büyük uzaklıklarda değişkenler birbirleriyle ilişkisizdiler. Variogram değerleri bu uzunluktan sonra sabit kalır.

Şekil 2.1 Variogram fonksiyonunun parametreleri

2.5.1 Örnek variogram

Semivariogramın örneklemden elde edilen tahmini,









 ^{( )}

1

))2

( ) ( ) ( ( 2 ) 1

ˆ( ^h x x h

h h ^N

i z i z i

 N (2.23)

eşitliği ile hesaplanır. Bu eşitlikte N(h) birbirleri arasındaki uzaklık mesafesi h olan örnek çifti sayısını, z x ve ( _i) z(x_i h) ise değişkenlerin x ve _i x_i h noktalarında almış oldukları değerleri göstermektedir (Isaaks and Srivastava 1989, Cressie 1993, Goovaerts 1997).

 (h )

a C

C0

h

Her bir h uzaklığına karşı semivariogram değerleri elde edildikten sonra grafiğe geçirilmektedir. Örnek semivariogramların iki ya da daha çok boyut içeren ve düzensiz olan veriler için hesaplanması özel teknikler gerektirir. Bunun için veriler uzaklığa ve yöne göre uzaklık ve açı toleransları içinde gruplandırılırlar (Tercan ve Saraç 1998).

Açı ve uzaklık toleransları büyük olduğunda veri çifti sayısı artmaktadır. Açı toleransı 90^o olduğunda mümkün olan bütün veri çiftleri örnek semivariogramın hesabında kullanılmaktadır. Bu tür variograma ortalama variogram adı verilmektedir.

Ortalama variogram çeşitli yönlerdeki variogramların bir ortalamasıdır ancak uzaklığa bağlı değişkenliğin bütün yönlerde aynı olduğu anlamına gelmemektedir. Ortalama variogram, örnek semivariogramların hesaplanmasında gerekli olan parametrelerin belirlenmesine yardımcı olur. Ortalama variogram hesabında yön önemli olmadığından en açık yapıyı veren uzaklık parametreleri kolaylıkla belirlenmektedir (Tercan ve Saraç 1998, Pardo-Iguzquiza and Dowd 2001).

Yönsel variogram kullanılacak ise bu durumda açı toleranslarının mümkün olduğunca küçük seçilmesi gerekir. Ancak açı toleransı çok küçük olduğunda, variogramdaki örnek çifti sayısı azalacağından yönsel variogram anlamsız bir yapı gösterebilir. Burada en iyi yaklaşım, birkaç açı toleransı seçerek bunlar içerisinden en iyi sonuçları veren en küçük açı toleransını kullanmaktır.

Uzaklık için ise seçilmesi gereken iki parametre vardır. İlk parametre adım uzaklığıdır.

Variogram bir birim uzaklık ve bunun katları için hesaplanmaktadır. Bu birim uzaklık adım uzaklığı olarak bilinmektedir. Adım uzaklığı örnekleme düzeninden belirlenebilmektedir. Örnekler düzenli bir grid üzerinde yer alıyorsa grid aralığı, örnekler rasgele seçilmişse, örnekler arasındaki ortalama uzaklık adım uzaklığı olarak kullanılabilir. Ayrıca bu uzaklık, örneklerin kapsadığı toplam alanı örnek sayısına bölüp, çıkan değerin karekökü alınarak yaklaşık olarak elde edilmektedir (Tercan ve Saraç 1998).

Uzaklık için seçilmesi gereken ikinci parametre ise birim uzaklık için kullanılacak toleranstır. Uzaklık toleransına ilişkin en uygun seçim adım uzaklığının yarısıdır (Tercan ve Saraç 1998, İnal ve Yiğit 2003).

2.5.2 Variogram modelleri

Örnek variogram belirli uzaklıklar için hesaplanmakta ve bu uzaklıklar dışındaki uzaklıklarda variogram değerleri bilinememektedir. Mekansal değişkenin özelliklerinin belirlenmesinde ve örneklenmemiş noktalardaki değerlerinin kestiriminde variogramı bütün uzaklıklarda bilmek gerekmektedir. Bu durum variogramı modellemeyi yani örneklem variogram değerlerine bir fonksiyon uyarlamayı gerektirir (Isaaks and Srivastava 1989, Tercan ve Saraç 1998).

Variogram her zaman pozitif değerler aldığından seçilecek fonksiyon da pozitif tanımlı olmalıdır. Variogram modelleri eşik değerinin olup olmamasına göre iki grupta incelenmektedir. Literatürde yaygın olarak kullanılan variogram modelleri normal, üssel, küresel, külçe etki, doğrusal, logaritmik, karesel, oransal karesel, kübik, güç modeli, dalga modeli ve beşgensel modellerdir.

Bu modellerden bazıları aşağıda tanımlanmıştır (Isaaks and Srivastava 1989, Cressie 1993, Goovaerts1997, Tercan ve Saraç 1998, Çetin vd. 1999, İnal ve Yiğit 2003).

i. Eşikli modeller:

Normal model,

)) exp(

1 ( )

( ₂

2

0 a

C h C

h 





  (2.24)

eşitliği ile tanımlanır.

Üstel model,

)) exp(

1 ( )

( ₀

a C h

C

h    

 (2.25)

biçiminde verilir.

Küresel model,

a h , )

(

0 2 )], ( 2 ) [(3 )

(

0

3 3 0

















C C h

a a h

h a C h C h



 (2.26)

biçimindedir.

Logaritmik model ise,

0 ), log(

. )

(h C₀ C h h

 (2.27)

eşitliği ile tanımlanır.

ii. Eşiksiz Modeller:

Doğrusal model,

h C C

h) .

(  ₀ 

 (2.28)

biçiminde verilir.

Uzaklığa bağlı ilişkinin yöne göre değişmediği variogramlar izotropiktir. Mekansal değişkenin yapısının yöne bağlı olarak değiştiği örnekler ise anizotropiktir. Anizotropi yönleri ve anizotropinin derecesi, örnek variogramın çeşitli yönlerde hesaplanmasıyla

belirlenir. Örnek variogramları dört ana yönde hesaplamak çoğu zaman yeterli olmaktadır. Eğer bu variogramlarda yapısal uzaklık yönün bir fonksiyonu olarak değişiyorsa incelenen değişkenin geometrik anizotrop olduğu söylenir. Yapısal uzaklık aynı kalıp eşik değerleri değişiyorsa variogram zonal anizotropiktir (Tercan ve Saraç 1998).

Herhangi bir izotropik variogram modeli üç parametre ile tanımlanmaktadır; yapısal uzaklık a, külçe etkisi C0 ve eşik C0 + C. Örnek variogram için bir model seçildikten sonra bu üç parametrenin belirlenmesi gerekir. Buna ilişkin kullanılan standart bir yöntem bulunmamasına karşın; ağırlıklı en küçük kareler yöntemi, en çok olabilirlik, çapraz doğrulama teknikleri ve tecrübeye dayalı tahmin yaygın olarak kullanılmaktadır (Tercan ve Saraç 1998, İnal ve Yiğit 2003).

2.6 Mekansal Kestirim

Mekansal değişkenlerin aldığı değerler çalışma alanının yalnızca örneklenmiş noktalarında bellidir. Örneklenmemiş noktalardaki bilinmeyen değerlerin hesaplanması gerektiğinde örneklenmiş noktalardaki bilinen değerlerden yararlanılır. Mekansal değişkenlerin örneklenmemiş bir noktadaki değerinin hesaplanması kestirim olarak adlandırılmaktadır (Cressie 1993, Tercan ve Saraç 1998).

Variogram fonksiyonu mekansal değişkenin örneklenmemiş noktalardaki bilinmeyen değerlerinin kestiriminde kullanılabilmektedir. Genel olarak kestirim işlemi, bilinen değerlerin ağırlıklı ortalaması ile yapılmaktadır.

Kestirim,



 N

i wiz i

z

0) 1 ( )

ˆ(x x (2.29)

biçiminde gösterilir. Bu eşitlikte,

) ˆ(x₀

z : x₀ noktasına ilişkin kestirim değeri )

( _i

z x : değişkenlerin her bir x_inoktasında gözlenen değerleri w_i : her bir z x( _i)’ ye karşılık gelen ağırlık değerleri N : zˆ(x₀)’ ın kestiriminde kullanılacak nokta sayısı

dır (Isaaks and Srivastava 1989, Cressie 1993). (2.29) eşitliğinde verilen ağırlık değerlerinin tahmin edilmesi ile kestirim işlemi gerçekleştirilmiş olur. Kestirim için kullanılan farklı yöntemler bulunmaktadır.

2.6.1 Kriging Yöntemi

Eşitlik (2.29) ile verilen kestirimde ağırlık değerlerinin, kestirim hatalarının ortalaması sıfır ve varyansı en küçük olacak şekilde belirlenmesi işlemine kriging adı verilmektedir (Tercan ve Saraç 1998).

Güney Afrika’da maden mühendisi olan D.G. Krige, 1950’li yıllarda maden cevheri cinslerinin dağılımlarının tanımlanması için deneysel yöntemler geliştirmiştir. Matheron (1963), bu yöntemlerden yola çıkarak geliştirdiği en iyi mekansal doğrusal kestirim yöntemini kriging olarak adlandırmıştır. En küçük hata kareler ortalaması yöntemine dayanan kriging yöntemi, en iyi doğrusal yansız tahmin edici olarak bilinmektedir.

Kriging yöntemi ile maden, jeoloji, çevre, meteoroloji, inşaat ve ekonomik risk değerlendirme gibi bir çok alanda çalışmalar yapılmıştır (Upton and Fingleton 1985, Cressie 1993, İnal ve Yiğit 2003).

Kriging yöntemi ile belirlenen ağırlıklar kestirim değerini doğrudan etkilemektedir. Bu durumda kestirim değerinin iyi olması için ağırlıkların yansız olması gerekmektedir (Isaaks and Srivastava 1989).

Kestirim hatalarının ortalamasının sıfır olması koşuluna göre,

   

ˆ ] 0 [Z x₀  xZ ₀ 

E (2.30)