2. MEKANSAL İSTATİSTİK
2.5 Variogram Fonksiyonu
Variogram fonksiyonu, birbirleri arasındaki uzaklık mesafesi h olan iki rasgele değişken arasındaki uzaklığa bağlı ilişkiyi karakterize etmek için kullanılır.
h Var
Z
x Z xh
2 (2.20)
olarak tanımlanan variogram fonksiyonu, rasgele değişkenlerin arasındaki farkın varyansı olarak ifade edilir ve
olarak yazılabilir (Cressie 1993, Tercan ve Saraç 1998).
İkinci dereceden durağanlık varsayımına göre, Z
x ve Z
xh
rasgele değişkenlerinin beklenen değerleri eşit olduğundan, variogram fonksiyonu beklenen değer cinsinden,
22 h E Z x Z xh (2.22)
olur (Cressie 1993, Tercan ve Saraç 1998).
Variogram fonksiyonu aşağıda belirtilen özellikleri sağlamaktadır (Cressie 1993, Tercan ve Saraç 1998).
i. Variogramın h0 uzaklığındaki değeri sıfıra eşittir.
0 2 0 ii. Variogram fonksiyonu negatif değerler alamaz.
0,2 h hiçin
iii. Variogram fonksiyonu simetriktir.
2
,2 h h hiçin
Variogram fonksiyonunun parametreleri aşağıda tanımlanmış ve grafikle gösterimi Şekil 2.1’de verilmiştir (Tercan ve Saraç 1998, Çetin vd. 1999, İnal vd. 2002).
i. C0 – külçe etkisi: Elde bulunan örnekler içinde birbirine en yakın iki örnek arasındaki uzaklıktan daha küçük uzaklıklarda, değerler arasındaki farkın değişimi, veri olmadığından belirlenememektedir. Bu durum, variogramın 0’dan farklı pozitif bir değer almasına yol açar. Bunun bir diğer nedeni de örnekleme ve analiz hatalarıdır. Teorik olarak h0 olduğunda sıfır olması gereken variogramın, bu nedenlerden dolayı aldığı sıfırdan farklı pozitif değer külçe etkisi olarak adlandırılmaktadır. Külçe etkisinin hangi durumdan kaynaklandığı ise kesin olarak bilinememektedir.
ii. C: Variogramın düşey ölçek değeridir. Yapısal veya stokastik varyans olarak da tanımlanır.
iii. C0 + C – eşik: Bölgenin yapısına göre, variogram fonksiyonu belirli bir uzaklıktan sonra artışını durdurur. Variogram fonksiyonunun bu noktada aldığı toplam değer eşik olarak adlandırılır. Variogram fonksiyonları eşikli ve eşiksiz olmak üzere iki biçimde incelenmektedir.
iv. a – yapısal uzaklık: Variogramın eşik değerine ulaştığı uzaklık yapısal uzaklık olarak adlandırılmaktadır. Yapısal uzaklık gözlem değerlerinin birbirinden bağımsız olduğu kabul edilen etki uzaklığı olarak da bilinmektedir. Yapısal uzaklıktan büyük uzaklıklarda değişkenler birbirleriyle ilişkisizdiler. Variogram değerleri bu uzunluktan sonra sabit kalır.
Şekil 2.1 Variogram fonksiyonunun parametreleri
2.5.1 Örnek variogram
Semivariogramın örneklemden elde edilen tahmini,
( )
1
))2
( ) ( ) ( ( 2 ) 1
ˆ( h x x h
h h N
i z i z i
N (2.23)
eşitliği ile hesaplanır. Bu eşitlikte N(h) birbirleri arasındaki uzaklık mesafesi h olan örnek çifti sayısını, z x ve ( i) z(xi h) ise değişkenlerin x ve i xi h noktalarında almış oldukları değerleri göstermektedir (Isaaks and Srivastava 1989, Cressie 1993, Goovaerts 1997).
(h )
a C
C0
h
Her bir h uzaklığına karşı semivariogram değerleri elde edildikten sonra grafiğe geçirilmektedir. Örnek semivariogramların iki ya da daha çok boyut içeren ve düzensiz olan veriler için hesaplanması özel teknikler gerektirir. Bunun için veriler uzaklığa ve yöne göre uzaklık ve açı toleransları içinde gruplandırılırlar (Tercan ve Saraç 1998).
Açı ve uzaklık toleransları büyük olduğunda veri çifti sayısı artmaktadır. Açı toleransı 90o olduğunda mümkün olan bütün veri çiftleri örnek semivariogramın hesabında kullanılmaktadır. Bu tür variograma ortalama variogram adı verilmektedir.
Ortalama variogram çeşitli yönlerdeki variogramların bir ortalamasıdır ancak uzaklığa bağlı değişkenliğin bütün yönlerde aynı olduğu anlamına gelmemektedir. Ortalama variogram, örnek semivariogramların hesaplanmasında gerekli olan parametrelerin belirlenmesine yardımcı olur. Ortalama variogram hesabında yön önemli olmadığından en açık yapıyı veren uzaklık parametreleri kolaylıkla belirlenmektedir (Tercan ve Saraç 1998, Pardo-Iguzquiza and Dowd 2001).
Yönsel variogram kullanılacak ise bu durumda açı toleranslarının mümkün olduğunca küçük seçilmesi gerekir. Ancak açı toleransı çok küçük olduğunda, variogramdaki örnek çifti sayısı azalacağından yönsel variogram anlamsız bir yapı gösterebilir. Burada en iyi yaklaşım, birkaç açı toleransı seçerek bunlar içerisinden en iyi sonuçları veren en küçük açı toleransını kullanmaktır.
Uzaklık için ise seçilmesi gereken iki parametre vardır. İlk parametre adım uzaklığıdır.
Variogram bir birim uzaklık ve bunun katları için hesaplanmaktadır. Bu birim uzaklık adım uzaklığı olarak bilinmektedir. Adım uzaklığı örnekleme düzeninden belirlenebilmektedir. Örnekler düzenli bir grid üzerinde yer alıyorsa grid aralığı, örnekler rasgele seçilmişse, örnekler arasındaki ortalama uzaklık adım uzaklığı olarak kullanılabilir. Ayrıca bu uzaklık, örneklerin kapsadığı toplam alanı örnek sayısına bölüp, çıkan değerin karekökü alınarak yaklaşık olarak elde edilmektedir (Tercan ve Saraç 1998).
Uzaklık için seçilmesi gereken ikinci parametre ise birim uzaklık için kullanılacak toleranstır. Uzaklık toleransına ilişkin en uygun seçim adım uzaklığının yarısıdır (Tercan ve Saraç 1998, İnal ve Yiğit 2003).
2.5.2 Variogram modelleri
Örnek variogram belirli uzaklıklar için hesaplanmakta ve bu uzaklıklar dışındaki uzaklıklarda variogram değerleri bilinememektedir. Mekansal değişkenin özelliklerinin belirlenmesinde ve örneklenmemiş noktalardaki değerlerinin kestiriminde variogramı bütün uzaklıklarda bilmek gerekmektedir. Bu durum variogramı modellemeyi yani örneklem variogram değerlerine bir fonksiyon uyarlamayı gerektirir (Isaaks and Srivastava 1989, Tercan ve Saraç 1998).
Variogram her zaman pozitif değerler aldığından seçilecek fonksiyon da pozitif tanımlı olmalıdır. Variogram modelleri eşik değerinin olup olmamasına göre iki grupta incelenmektedir. Literatürde yaygın olarak kullanılan variogram modelleri normal, üssel, küresel, külçe etki, doğrusal, logaritmik, karesel, oransal karesel, kübik, güç modeli, dalga modeli ve beşgensel modellerdir.
Bu modellerden bazıları aşağıda tanımlanmıştır (Isaaks and Srivastava 1989, Cressie 1993, Goovaerts1997, Tercan ve Saraç 1998, Çetin vd. 1999, İnal ve Yiğit 2003).
i. Eşikli modeller:
Normal model,
)) exp(
1 ( )
( 2
2
0 a
C h C
h
(2.24)
eşitliği ile tanımlanır.
Üstel model,
Uzaklığa bağlı ilişkinin yöne göre değişmediği variogramlar izotropiktir. Mekansal değişkenin yapısının yöne bağlı olarak değiştiği örnekler ise anizotropiktir. Anizotropi yönleri ve anizotropinin derecesi, örnek variogramın çeşitli yönlerde hesaplanmasıyla
belirlenir. Örnek variogramları dört ana yönde hesaplamak çoğu zaman yeterli olmaktadır. Eğer bu variogramlarda yapısal uzaklık yönün bir fonksiyonu olarak değişiyorsa incelenen değişkenin geometrik anizotrop olduğu söylenir. Yapısal uzaklık aynı kalıp eşik değerleri değişiyorsa variogram zonal anizotropiktir (Tercan ve Saraç 1998).
Herhangi bir izotropik variogram modeli üç parametre ile tanımlanmaktadır; yapısal uzaklık a, külçe etkisi C0 ve eşik C0 + C. Örnek variogram için bir model seçildikten sonra bu üç parametrenin belirlenmesi gerekir. Buna ilişkin kullanılan standart bir yöntem bulunmamasına karşın; ağırlıklı en küçük kareler yöntemi, en çok olabilirlik, çapraz doğrulama teknikleri ve tecrübeye dayalı tahmin yaygın olarak kullanılmaktadır (Tercan ve Saraç 1998, İnal ve Yiğit 2003).