Kürede meridyen ve paralel daire yay uzunluğunun hesabı

Kürede meridyen ve paralel daire yay uzunluğunun hesabı

0 N 30 N

Rϕ_e R_e

R R

A CB

l

(Enlem, Boylam) = (j, l)

R= Herhangi bir paralel dairesinin yarıçapı R_e= Küre yarıçapı

Meridyen yay uzunluğu:

AB = R_ej

Tüm enlemlerde benzer Paralel daire yay uzunluğu:

CD = R l = R_e l Cosj Enlemlerde (boylam? ) değişken

D

Örnek: 30º kuzey paraleli ve 90º batı Meridyeni boyunca 1ºlik artış ile uzunluk ne kadar değişir?

(Yerin yarıçapı = 6370 km.) Çözüm:

• 1º açı değeri radyana dönüştürülür.

𝜋/180 = 3.1416/180 = 0.0175 radyan

• meridyen için, AB= Re .j= 6370 * 0.0175 = 111 km

• paralel için, CD = R_e. l.Cos j

= 6370 * 0.0175 * Cos 30

= 96.5 km

Küresel-kutupsal koordinat sistemi

Dünya üzerinde herhangi bir H noktası kutup seçilmek sure`yle elde edilen koordinat sistemine Küresel-

Kutupsal Koordinat Sistemi adı verilir.

H kutup noktasının coğrafi koordinatları H(ϕ₀,λ₀)-Asal nokta HP yayı (δ) P noktasının H asal noktasına olan küresel uzaklığı HQ yayı 90°

PQ yayı 90°-δ

P ve H noktasından geçen en büyük daire yayı HPH’ düşey daire yayı

α=H noktasında HPH’ yayının kuzey yönüyle yaptığı açı HH' asal eksenini dik kesen, yerin merkezinden geçen düzlemin ara kesiti en büyük yatay dairedir.

δ,α Küresel-kutupsal koordinat sistemi ϕ,λ Coğrafi koordinat sistemi

HPK üçgeni bir küresel üçgendir ve bu üçgenin Çözümünde Küresel Trigonometri kuralları geçerlidir.

(ϕ₀,λ₀)

ϕ₀

90°-ϕ₀ 90°-ϕ_p

• H ve P noktalarının coğrafi koordinatları biliniyorsa, δ ve α değerleri

λ= λ_p- λ₀

𝑐𝑜𝑠𝛿 = 𝑠𝑖𝑛𝜑_*𝑠𝑖𝑛𝜑₊ + 𝑐𝑜𝑠𝜑_*𝑐𝑜𝑠𝜑₊𝑐𝑜𝑠λ

𝑡𝑎𝑛𝛼 = 𝑠𝑖𝑛λ

𝑐𝑜𝑠𝜑_*𝑡𝑎𝑛𝜑₊ − 𝑠𝑖𝑛𝜑_*𝑐𝑜𝑠λ P noktasının Küresel kutupsal koordinatlar biliniyorken coğrafi koordinatları

𝑠𝑖𝑛𝜑₊ = 𝑠𝑖𝑛𝜑_*𝑐𝑜𝑠𝛿 + 𝑐𝑜𝑠𝜑_*𝑠𝑖𝑛𝛿𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑖𝑛λ = 𝑠𝑖𝑛𝛼𝑠𝑖𝑛𝛿

𝑐𝑜𝑠𝜑₊

Küresel kutupsal koordinat sistemi -coğrafi koordinat sistemi

90°-ϕ_P 90°-ϕ₀

δ

Küresel Üçgen Temel Kavramlar

• Küresel üçgen çözümünde Küresel Trigonometri kuralları geçerlidir. Bu nedenle küresel üçgen çözümlerine

geçmeden önce küresel trigonometri ve küresel üçgen ile ilgili bazı tanım ve kavramların bilinmesi gerekir.

• Büyük daire, bir kürenin kendi merkezinden geçen

bir düzlemle kesişimidir. Herhangi bir küre üzerinde sonsuz sayıda büyük daire vardır.

• Herhangi bir büyük daire küreyi eşit iki parçaya (yarıküreye) böler. Bir büyük daire üzerindeki iki nokta arasındaki

çember yayına ortodrom denir.

• Bir küre üzerindeki iki nokta arasındaki en kısa yol, o iki noktadan geçen bir büyük dairenin çemberi üzerindedir.

Küre yüzünde büyük ve küçük daireler

Küresel üçgen

• Küre üzerinde aynı büyük daire üstünde

olmayan A, B, C gibi üç noktayı birbirleri ile en kısa yoldan birleştiren büyük daire yaylarının oluşturduğu kapalı şekle küresel üçgen denir.

Küresel Üçgen (Euler üçgeni)

• A,B,C noktalarını birleş`ren ve merkez açısı 180° den küçük olan büyük daire yayları

küresel üçgenin kenarlarıdır.

• Küresel üçgenin kenarlarını

içine alan düzlemler arasındaki açılar, küresel üçgenin

açılarıdır.

• Üçgenin A, B ve C noktalarında iç ve dış açı olmak üzere iki açı vardır.

Küresel Trigonometri

Küresel üçgen çözümünde Küresel Trigonometri kuralları geçerlidir.

Küresel üçgenlerin en önemli özelliği:

Küresel üçgenin bütün kenarları büyük daire yaylarıdır.

1) 180<A+B+C<540 2) 0<a+b+c<360

3) a+b>c a-b<c

C B

A c

a

I b II III

IV

Küresel Üçgen Teoremleri

• Bir küresel üçgenin üç kenar ve üç açı olmak üzere altı elemanı vardır. Küresel trigonometri bu elemanlar arasındaki bağıntıları inceler.

Küresel trigonometride dört temel teorem vardır.

1- Sinüs Teoremi 2- Kosinüs Teoremi

3- Sinüs-Kosinüs Teoremi

4- Dört Parça (Kotanjant) Teoremi

Sinüs Teoremi

Küresel üçgenin kenarları büyük daire

yaylarından oluşmaktadır ve değerleri bu yayı gören merkez açı ile ifade edilir. Buna göre

kenarları sırasıyla a,b,c ve açıları A,B,C olan bir küresel üçgende bu elemanlar arasında

𝑠𝑖𝑛𝑎

𝑠𝑖𝑛𝐴 = 𝑠𝑖𝑛𝑏

𝑠𝑖𝑛𝐵 = 𝑠𝑖𝑛𝑐 𝑠𝑖𝑛𝐶 bağınrsı vardır.

C B

A c

a b

Kosinüs Teoremi

• Kenar kosinüs teoremi

𝑐𝑜𝑠𝑎 = 𝑐𝑜𝑠𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝑐 + 𝑠𝑖𝑛𝑏. 𝑠𝑖𝑛𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴 𝑐𝑜𝑠𝑏 = 𝑐𝑜𝑠𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑐 + 𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑠𝑖𝑛𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐵 𝑐𝑜𝑠𝑐 = 𝑐𝑜𝑠𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑏 + 𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑠𝑖𝑛𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝐶

• Açı kosinüs teoremi

𝑐𝑜𝑠𝐴 = −𝑐𝑜𝑠𝐵. 𝑐𝑜𝑠𝐶 + 𝑠𝑖𝑛𝐵. 𝑠𝑖𝑛𝐶. 𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑐𝑜𝑠𝐵 = −𝑐𝑜𝑠𝐴. 𝑐𝑜𝑠𝐶 + 𝑠𝑖𝑛𝐴. 𝑠𝑖𝑛𝐶. 𝑐𝑜𝑠𝑏 𝑐𝑜𝑠𝐶 = −𝑐𝑜𝑠𝐴. 𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑠𝑖𝑛𝐴. 𝑠𝑖𝑛𝐵. 𝑐𝑜𝑠𝑐

C B

A c

a b

Sinüs Kosinüs Teoremi

Küresel üçgen kenarlarından başlanarak saat ibresi yönünde numaralanırsa

𝑠𝑖𝑛𝐼. 𝑐𝑜𝑠𝐼𝐼 = 𝑐𝑜𝑠𝑉. 𝑠𝑖𝑛𝐼𝐼𝐼 − 𝑠𝑖𝑛𝑉. 𝑐𝑜𝑠𝐼𝐼𝐼. 𝑐𝑜𝑠𝐼𝑉 𝑠𝑖𝑛𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝐴 = 𝑐𝑜𝑠𝑎. 𝑠𝑖𝑛𝑐 − 𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐵

C B

A c

a

I b II III

IV V

Numaralandırma yöntemi küresel üçgen elemanları ard arda gelecek şekilde açıdan veya kenardan başlayarak saat ibresi yönünde veya tersi yönde geçerlidir.

Dört Parça (Kotanjant) Teoremi

𝑐𝑜𝑠𝐼𝐼𝐼. 𝑐𝑜𝑠𝐼𝐼 = 𝑠𝑖𝑛𝐼𝐼𝐼. 𝑐𝑜𝑡𝐼 − 𝑠𝑖𝑛𝐼𝐼. 𝑐𝑜𝑡𝐼𝑉 𝑐𝑜𝑠𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴 = 𝑠𝑖𝑛𝑐. 𝑐𝑜𝑡𝑏 − 𝑠𝑖𝑛𝐴. 𝑐𝑜𝑡𝐵

C B

A c

a

I b II III

IV

Neper Kuralı

𝑐𝑜𝑠𝑐 = 𝑐𝑜𝑡𝐴. 𝑐𝑜𝑡𝐵

𝑐𝑜𝑠𝑐 = sin 90 − 𝑏 . sin(90 − 𝑎) 𝑐𝑜𝑠𝑐 = 𝑐𝑜𝑠𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝑎

B

A c

a b

Düzlem projeksiyonlar

Düzlem projeksiyonlarda, projeksiyon yüzeyi bir düzlemdir ve normal konumda kutup noktasında küreye teğet kabul edilir. Düzlem projeksiyonlarda meridyen yayları projeksiyon düzleminde kesişen doğrular şeklinde gösterilir. Meridyenlerin boylam farkları küre üzerindeki büyüklükleri kadardır.

λ’=n.λ Düzlem projeksiyonda n=1 λ’=λ (distorsiyon yok)

Paralel dairelerin yarıçapları (m) projeksiyonun özelliğine göre d kutup uzaklığının (d=90-j) fonksiyonu olarak belirlenir. Bir paralel dairesinin projeksiyon

düzlemindeki m yarıçapı m=f(d)=f(ϕ)

Projeksiyon düzlemindeki noktaların dik koordinatları Y=msinl, X=mcosl eşitlikleri ile belirlenir. (l açısı, noktanın meridyeni ile başlangıç meridyeni arasındaki boylam farkıdır.)

X

K Y

P

x

Q Y

P¢

m

Paralel ve meridyenleri nasıl çizeriz?

• l boylam farkına göre kutup noktasında kesişen meridyen doğrultuları çizilir.

• Meridyen doğrultuları çizildikten sonra

projeksiyonun özelliğine göre her paralel daire için hesaplanacak m yarıçapı ile o paralel daire çizilir. Paralel dairelerin merkezi meridyenlerin kesim noktasıdır.

Düzlem projeksiyonlar

Normal/Kutupsal/Azimutal Eğik Transversal/Ekvatoral

Uzunluk koruyan düzlem projeksiyon

Uzunluk koruyan düzlem projeksiyonda meridyen doğrultusundaki uzunluklar küredeki uzunluklarına eşit alınır. Projeksiyon koşulu b=1

𝑚 = 𝑅 𝛿

𝜌 𝑎 = 𝑚

𝑅𝑠𝑖𝑛𝛿 𝑏 = 𝑑𝑚

𝑅𝑑𝛿

Coğrafi koordinatları bilinen bir P noktasının dik koordinat sistemindeki koordinatları

𝑌 = 𝑅𝛿

𝜌 𝑠𝑖𝑛λ X=R𝛿

𝜌𝑐𝑜𝑠λ bağıntısıyla hesaplanır.

j

P

Ekvator

Projeksiyon Düzlemi K P’

O d

R’=R sind m

R

Alan koruyan düzlem projeksiyon

Projeksiyon koşulu a.b=1

𝑎 = 𝑚

𝑅𝑠𝑖𝑛𝛿, 𝑏 = 1

𝑅.𝑑𝑚 𝑚 𝑑𝛿

𝑅𝑠𝑖𝑛𝛿. 1

𝑅 .𝑑𝑚

𝑑𝛿 = 1 𝑚𝑑𝑚 = 𝑅^I𝑠𝑖𝑛𝛿𝑑𝛿

eşitliği elde edilir. eşitliğin integrali alınırsa 1

2𝑚^I = −𝑅^I𝑐𝑜𝑠𝛿 + 𝐶 𝑚^I = −2𝑅^I𝑐𝑜𝑠𝛿 + 𝐶 elde edilir. 𝛿 = 0° için m=0 dır. Buna göre C integral sabi` C=2R² dir.

𝑚^I = 2𝑅^I 1 − 𝑐𝑜𝑠𝛿 𝑚^I = 2𝑅^I2𝑠𝑖𝑛^I 𝛿

2 𝑚 = 2𝑅𝑠𝑖𝑛 𝛿 2

𝑎 = 𝑚

𝑅𝑠𝑖𝑛𝛿 = 2𝑅𝑠𝑖𝑛𝛿

𝑅𝑠𝑖𝑛𝛿2 𝑎 = 1

𝑐𝑜𝑠 𝛿 2 𝑏 = 1

𝑅.𝑑𝑚

𝑑𝛿 = 1

𝑅 . 2𝑅.1

2𝑐𝑜𝑠𝛿

2 𝑏 = 𝑐𝑜𝑠𝛿

Coğrafi koordinatları bilinen bir noktanın dik koordinatları, 2

𝑌 = 2𝑅𝑠𝑖𝑛𝛿

2 𝑠𝑖𝑛λ 𝑋 = 2𝑅𝑠𝑖𝑛𝛿

2 𝑐𝑜𝑠λ

Paralel daireleri nasıl çizeriz?

• Paralel dairelerin m projeksiyon yarıçapları KA kiriş uzunluklarına eşittir.

• KA kiriş uzunluğu projeksiyon düzlemine taşınarak A noktasından geçen paralel dairenin projeksiyon

düzlemindeki karşılığı olan m yarıçaplı çember çizilebilir.

• Projeksiyonda gösterilmesi istenen bütün paralel daireler için aynı yol izlenir.

Açı koruyan düzlem projeksiyon

Projeksiyon koşulu a=b

𝑚

𝑅𝑠𝑖𝑛𝛿 = 1 𝑅

𝑑𝑚 𝑑𝛿

𝑑𝑚

𝑚 = 1

𝑠𝑖𝑛𝛿𝑑𝛿 İntegralini alırsak

ln 𝑚 = ln 𝑡𝑎𝑛𝛿

2 + ln 𝐶 ln 𝑚 = ln(𝐶𝑡𝑎𝑛𝛿 2) 𝑚 = 𝐶. 𝑡𝑎𝑛𝛿

elde edilir. C sabitinin değişik değerlerde seçilmesi halinde birbirinin benzeri olan değişik büyüklükte 2

projeksiyonlar elde edilir. C nin uygun bir biçimde belirtilmesi için düzlemin küreye teğet olduğu noktada ana yön uzunluk distorsiyon oranlarının 1 olacağı yani bu noktada distorsiyonların olmayacağı koşulu yazılır ve çözüm yapılırsa;

𝑚

𝑅𝑠𝑖𝑛𝛿 = 1 𝐶𝑡𝑎𝑛𝛿

𝑅𝑠𝑖𝑛𝛿2 = 1 … . 𝐶 = 2𝑅 bu değer yarıçap formülünde yerine konursa;

𝑚 = 2𝑅𝑡𝑎𝑛𝛿 2

𝑎 = 𝑚

𝑅𝑠𝑖𝑛𝛿 = 2𝑅𝑡𝑎𝑛 𝛿2

𝑅𝑠𝑖𝑛𝛿 𝑎 = 1

𝑐𝑜𝑠^I𝛿 𝑌 = 2

2𝑅𝑡𝑎𝑛𝛿

2 𝑠𝑖𝑛λ 𝑋 = 2𝑅𝑡𝑎𝑛𝛿

2 𝑐𝑜𝑠λ

Meridyen ve paralel daireleri nasıl çizeriz?

• Küçük ölçekli haritalarda meridyenler ve paralel daireler geometrik olarak çizilebilir.

• Meridyen yayları projeksiyon düzleminde kesişen doğrular şeklinde paralel daireler ise eşmerkezli

daireler şeklinde gösterilmektedir. Paralel dairelerin m yarıçapları K noktasında teğet olan düzleme karşı kutup merkez olmak üzere izdüşüm alınarak elde edilir.

• Coğrafi koordinat ağı projeksiyon yüzeyine çizilmiş olur.

Eğik konumlu düzlem projeksiyon

Eğik konumlu düzlem projeksiyonda, projeksiyon

düzlemi küreye herhangi bir noktada teğet alınır. H ile

gösterilen ve coğrafi koordinatları bilinen bu nokta genel olarak haritası yapılacak bölgenin ortasına gelecek

biçimde seçilir. Küre üzerinde coğrafi koordinatlarıyla bilinen bir P noktasının bu projeksiyon düzlemine

aktarılması için önce o noktanın H asal noktasına göre küresel kutupsal koordinatlarının hesaplanması gerekir.

Böylece projeksiyon düzlemine aktarılması düşünülen bütün noktaların (δ) küresel uzaklığı ve (α) azimutu bulunur.

Eğik konumlu düzlem projeksiyon

Küre üzerinde azimutal koordinatları bulunmuş olan noktaların projeksiyon düzlemine aktarılması, kutup noktası H asal nokta olan normal konumlu düzlem projeksiyon gibidir. Bu

projeksiyonda meridyen yaylarının yerini düşey daireler, paralel dairelerin yerini de yatay daireler almıştır. Düşey daireler

aralarındaki azimut farkları küredeki değerinde olmak üzere ve H asal noktasında kesişen doğrular şeklinde projeksiyon düzlemine aktarılır. Yatay daireler ise H merkezli ve m yarıçaplı daireler

şeklinde projeksiyona geçirilirler. m yarıçapları, küresel uzaklığın fonksiyonudur. m=f(δ) fonksiyonunun değeri projeksiyonun

uzunluk, alan yada açı koruma özelliklerine göre belirlenir.

Eğik konumlu düzlem projeksiyonda yarıçap bağınrlarını elde etmek için normal konum için bulunan bağınrlarda kutup uzaklığı yerine küresel uzaklık değerinin kullanılacağını düşünmek yeterlidir.

Ayrıca normal konumlar için elde edilen bağınrlardan λ boylamı yerine bu projeksiyonda α azimutunu

koymak yeterlidir.

• Gnomonik projeksiyonlarda, ortodrom eğrileri düz çizgilerle gösterilir. En büyük daire yayları demek olan ortodrom eğrilerini içine alan düzlemler

kürenin merkezinden geçtiğinden, bu merkeze göre izdüşürüldüklerinde birer doğru ile gösterilirler.

Düzleme genel izdüşüm

Düzleme genel izdüşümde meridyen yayları yine kutup noktasında kesişen doğrular şeklinde gösterilir. Paralel daire yaylarını projeksiyon düzleminde çizen m yarıçapları ise izdüşüm kurallarından yararlanarak elde edilir. İzdüşüm düzlemi kutup

noktasında küreye teğet alınmıştır. İzdüşüm merkezi ise KG ekseni üzerinde ve küre merkezine d uzaklığındadır. Buna göre izdüşüm merkezinin uzaklığı (R+d) kadardır.

Bu projeksiyonda δ kutup uzaklığı P den geçen paralel dairenin projeksiyon düzlemindeki yarıçap uzunluğu m olur.

𝑚

𝑄𝑃 = 𝑅 + 𝑑

𝑄𝑀 𝑄𝑃 = 𝑅𝑠𝑖𝑛𝛿 𝑄𝑀 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝛿 𝑚 = 𝑅 + 𝑑 𝑅𝑠𝑖𝑛𝛿

𝑑 + 𝑅𝑐𝑜𝑠𝛿 Düzleme genel izdüşüm için elde edilen bağınrlarda d uzaklığının

0 ve ∞ değerleri izdüşümün özel hallerini oluşturur.

• d=0 ise izdüşüm merkezi kürenin merkezi ile çakışır. Böylece oluşan projeksiyona Düzleme merkezi izdüşüm ya da

Gnomonik projeksiyon denir.

• d=R ise izdüşüm merkezi güney kutuptadır. Bu şekilde elde edilen projeksiyona Stereografik projeksiyon denir.

• d= ∞ ise izdüşüm merkezi sonsuza arlmışrr. Bu halde elde edilen projeksiyona Düzleme paralel izdüşüm ya da Ortografik projeksiyon denir.

• Genel izdüşümle elde edilen projeksiyonlarda projeksiyon düzleminde ancak dünyanın yarısını gösterme olanağı vardır.

Diğer yarısı için ayrı bir izdüşüm yüzeyi kullanmak gerekir.

Normal konumlu Azimutal projeksiyonda projeksiyon merkezinin (Q) küre merkezine olan uzaklığına (d) göre genel izdüşüm projeksiyonları

Q

d=0 d=R Q d=¥

Dünya üzerinde özel eğriler

Dünya üzerinde coğrafi koordinatlarıyla bilinen iki nokta arasını birleş`ren iki özel eğri vardır.

• Ortodrom eğrisi

• Loksodrom eğrisi

Ortodrom eğrisi

• Dünyanın merkezinden geçen ve verilen noktaları içine alan düzlemin dünya ile ara kesit eğrisidir. Bu eğri küresel trigonometride en büyük daire yayı olarak isimlendirilen ortodrom eğrisidir.

• Coğrafi koordinatlarıyla bilinen noktalar P₁(ϕ₁,λ₁) P₂(ϕ₂,λ₂) dir.

• Dünyanın merkezinden geçen ve P₁ve P₂noktalarını içine alan düzlemin arakesi` ve P₁P₂yayı olup bu yay P₁P₂ noktaları arasındaki ortodrom eğrisini belirler.

• Ortodrom eğrisinin S uzunluğu (P₁ - P₂) en kısa uzunluktur.

S uzunluğu KP₁P₂ küresel üçgeni

𝐾𝑃₁ = 90° −ϕ1 𝐾𝑃₂ = 90° − ϕ2

λ= λ₂- λ₁

Kenar kosinüs teoremi

𝑐𝑜𝑠𝑆 = 𝑠𝑖𝑛ϕ_]𝑠𝑖𝑛ϕ_I + 𝑐𝑜𝑠ϕ_]𝑐𝑜𝑠ϕ_I𝑐𝑜𝑠λ 𝑆_^ Neper formüllerinden yararlanarak

𝑡𝑎𝑛𝛼_] + 𝛼_I

2 = 𝑐𝑜𝑠𝜑_] − 𝜑_I 2 𝑠𝑖𝑛𝜑_] + 𝜑_I

2

𝑐𝑜𝑡 λ 2

𝑡𝑎𝑛𝛼_] − 𝛼_I

2 = 𝑠𝑖𝑛𝜑_] − 𝜑_I 2 𝑐𝑜𝑠𝜑_] + 𝜑_I

2

𝑐𝑜𝑡 λ 2

𝛼_], 𝛼_I hesaplandıktan sonra sinüs teoremi uygulanarak S kenarı

𝑠𝑖𝑛𝑆 = ^_`ab_adef^c

g 𝑠𝑖𝑛λ 𝑠𝑖𝑛𝑆 = ^_`ab_adef^g

c 𝑠𝑖𝑛λ kontrollü olarak bulunur.

𝑆_h = 𝑆_^ 𝜌 . 𝑅

𝛼_i

𝛼_i

Eğriyi haritaya nasıl çizeriz?

Bir eğrinin harita üzerine çizilebilmesi için eğri üzerinde bulunan yeterli sayıda ara nokta kullanılarak nokta nokta çizilir.

1) Ara noktaların (P₁,P₂,P₃,…P_n) coğrafi koordinatları (ϕ₁λ_{1 ,}ϕ₂λ_{2 ,}ϕ₃λ_{3 ,}….ϕ_nλ_n) belirlenir.

2) Ara noktaların projeksiyon koordinatları (X=f(ϕ_n,λ_n) Y=g(ϕ_n,λ_n)hesaplanır.

3) Harita üzerinde ara noktalar işaretlenir.

4) Harita üzerinde ara noktalar birleş`rilir.

Ortodrom eğrisi ekvatoru bir T noktasında keser. T noktasının boylamı λ_tolsun. Aynı eğriye K kutup noktasından dik olarak geçirilen düzlemin ara kesit eğrisi ortodrom eğrisini H noktasında keser. KT ve HT yayları 90° olduğu için bu yaylar arasında kalan KTH açısı α_tKH yayına eşi~r. Buna göre:

ϕ_h=90°-α_t λ_h=90°+λ_t Kotanjant formülleri kullanılarak gerekli işlemler yapılırsa;

𝑡𝑎𝑛λ_i = 𝑡𝑎𝑛𝜑_]𝑠𝑖𝑛λ_I− 𝑡𝑎𝑛𝜑_I𝑠𝑖𝑛λ_] 𝑡𝑎𝑛𝜑_]𝑐𝑜𝑠λ_I− 𝑡𝑎𝑛𝜑_I𝑐𝑜𝑠λ_] Formülü ile λ_i hesaplanır.

𝑡𝑎𝑛𝛼_i = 𝑐𝑜𝑡𝜑_]sin λ_] − λ_i 𝑡𝑎𝑛𝛼_i = 𝑐𝑜𝑡𝜑_Isin λ_I− λ_i

Formülleri ile 𝛼_i kontrollü olarak hesaplanır. Bu eşitlik ortodrom eğrisi üzerindeki P_i(ϕ_i,λ_i) noktaları içinde doğru olmalıdır.

𝑡𝑎𝑛𝛼_i = 𝑐𝑜𝑡𝜑_dsin λ_d − λ_i Bu eşitlik ϕ_ive λ_ilere göre düzenlenirse

tan𝜑_d = cot𝛼_i𝑠𝑖𝑛(𝜆_d − 𝜆_i ) sin λ_d − λ_i = 𝑡𝑎𝑛𝛼_i𝑡𝑎𝑛𝜑_d

Bağınrları elde edilir. İlk bağınr ile ortodrom yolu üzerinde sabit λ_d boylam değerine karşılık gelen 𝜑_d enlemini hesaplamaya yarar. İkinci bağınryla da sabit 𝜑_d enlemine karşılık gelen λ_d boylam değerleri hesaplanır. Böylece ortodrom yolu üzerinde bulunan istenilen sayıdaki P_i noktalarının koordinatları bulunmuş olur.

Loksodrom eğrisi

Coğrafi koordinatlarıyla bilinen P₁(ϕ₁,λ₁) P₂(ϕ₂,λ₂) noktalarını birleş`ren eğri meridyenlerle sabit bir α açısı (kuzey açısı)

yapıyorsa bu eğriye loksodrom eğrisi denir. Eğri üzerindeki her noktanın kuzeyle yaprğı açı değişmediği için eğriye sabit pusula açısı alrnda gidilen yol denir. Loksodrom eğrisi özellikle deniz trafiğinde önemlidir.

Burada küresel üçgen çözümü uygulanamaz. Çünkü KP₁P₂ üçgeni küresel üçgen değildir. Bu üçgenin küresel üçgen olması yalnızca loksodrom eğrisinin ekvator üzerinde olması ile mümkündür.

Dünya üzerinde birbirine diferansiyel anlamda yakın P ve P’ noktaları alınsın. Noktaların coğrafi koordinatları ϕ,λ ve ϕ’,λ’ bilinmektedir. P

noktasından geçen paralel daire P’ noktasının meridyenini Ponoktasında keser. P P’ noktalarını birleştiren yay loksodrom eğrisi olup kuzey açısı α dır. PP_oP’ diferansiyel üçgeninin PP’ kenarı ds, P’P_okenarı dϕ kadardır. Üçgenin P noktasındaki açısı (90°-α) dır. Kürenin yarıçapı R olduğuna göre dϕ açısının uzunluk cinsinden değeri 𝑃^m𝑃_` = ^nb

o 𝑅 PP_oparalel daire yayının uzunluğu da 𝑃𝑃_` =ⁿλ

o 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑 Formüldeki 𝑑λ, P’ ve P noktalarının boylam farkı, yani (𝑑λ= λʹ−λ)

PP_oP’ diferansiyel üçgeni dik bir düzlem üçgen kabul edilebilir.

cot 90°−α = 𝑃𝑃_{`</sub> 𝑃′𝑃<sub>`} Yazılır ve değerler yerine konursa

𝑡𝑎𝑛𝛼 =

𝑑λ𝜌 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑑𝜑𝜌 𝑅

, 𝑡𝑎𝑛α =𝑑λ𝑐𝑜𝑠φ

𝑑𝜑 , 𝑑λ=𝑡𝑎𝑛α 𝑑𝜑

𝑐𝑜𝑠𝜑 Diferansiyel bağıntısı elde edilir. Bu son bağıntının integrali alınırsa

s 𝑑λ = 𝑡𝑎𝑛𝛼 s 𝑑𝜑

𝑐𝑜𝑠𝜑, λ=𝑡𝑎𝑛α 𝑙𝑛𝑡𝑎𝑛 45° +𝜑 2 + 𝑐 PP’ loksodrom eğrisi üzerinde bulunan P₁ve P₂noktaları için son eşitlik yazılırsa

λ_]=𝑡𝑎𝑛α 𝑙𝑛𝑡𝑎𝑛 45° +𝜑_] 2 + 𝑐 λ_I=𝑡𝑎𝑛α 𝑙𝑛𝑡𝑎𝑛 45° +𝜑_I

2 + 𝑐 λ_I− λ_]= 𝑡𝑎𝑛α 𝑙𝑛𝑡𝑎𝑛 45° +𝜑_I

2 − 𝑙𝑛𝑡𝑎𝑛 45° +𝜑_] Bağıntıdan 𝑡𝑎𝑛α yazılabilir. 2

𝑡𝑎𝑛𝛼 = λ_I− λ_]

𝑙𝑛𝑡𝑎𝑛 45° +𝜑_I

2 − 𝑙𝑛𝑡𝑎𝑛 45° +𝜑_] 2

P1,P2 noktaları arasındaki loksodrom eğrisi için bulunan bu bağıntı aynı eğri üzerinde bulunan P_i(ϕ_i, λ_i) noktaları için de düzenlenebilir.

𝑙𝑛𝑡𝑎𝑛 45° +𝜑_d

2 = (𝜆_d−𝜆_])𝑐𝑜𝑡𝛼 + 𝑙𝑛𝑡𝑎𝑛 45° +𝜑_] 2 𝜆_d = 𝜆_]+ 𝑡𝑎𝑛𝛼 𝑙𝑛𝑡𝑎𝑛 45° +𝜑_d

2 − 𝑙𝑛𝑡𝑎𝑛 45° +𝜑_] 2

Birinci bağıntı herhangi bir 𝜆_dboylamına karşılık gelen 𝜑_ddeğerini, ikinci bağıntı da bir 𝜑_ddeğerine karşılık gelen 𝜆_ddeğerini hesaplamayı sağlar.

• Ortodrom eğrisi Gnomonik projeksiyonda doğru olarak gösterilir.

• Loksodrom eğrisi Mercator projeksiyonunda bir doğru olarak gösterilir.

Ortodrom eğrisi

Loksodrom eğrisi Ortodrom eğrisi Ortodrom eğrisi

Ortodrom eğrisi Loksodrom eğrisi