Harita projeksiyonlarında distorsiyon

Harita projeksiyonlarında distorsiyon

• X= f (φ, λ) ve Y= g (φ, λ) ile yapılacak bir projeksiyon yer üzerinde konumsal varlıklar arasındaki bütün geometrik özellikleri koruyamaz.

Geometrik özellikler:

1) Metrik Özellikler 2) Topolojik özellikler

Metrik özellikler ile, detayların konum, boyut ve şekilleri kastedilir.

Topolojik özellikler ise detaylar arasındaki konumsal ilişkiler ile ilgilenir. Örneğin iki parselin komşu olması, iki karayolunun bir noktada kesişmesi gibi özellikler topolojik özelliklerdir.

• Metrik özellikler koordinat dönüşümlerinden etkilenir.

• Topolojik özellikler koordinat

dönüşümlerinden etkilenmez. Topolojik distorsiyon sonucunda her zaman metrik

distorsiyon oluşur. Ancak tersi doğru değildir.

•

Geliştirilebilir yüzeyler

• Geliştirilebilir yüzey (developable surface),

distorsiyon olmaksızın düzleme dönüştürülebilen (açılabilen) bir yüzeydir.

• Silindir geliştirilebilir bir yüzeydir. Çünkü boyuna kesilerek düzleme yayılabilir. Küre geliştirilebilir bir yüzey değildir. Çünkü kürenin deforme

olmadan bir düzleme yayılması olanaksızdır.

• Bir yüzeyin geliştirilebilirliği, Gauss eğriliği ile test edilir. Bir yüzeyin Gauss eğriliği sıfır ise

geliştirilebilir bir yüzeydir.

Bir yüzeyin geliştirilebilir olup olmadığını nasıl belirleriz?

• Gauss eğriliği K= 1 / (R1.R2)

• R1, R2: ana eğrilik yarıçapları

• K=0 ise yüzey geliştirilebilirdir.

• Eğri kavramı

• y=f(x) eğrisi üzerindeki bir noktada (P) eğrilik, o noktadan diferansiyel anlamda uzaklaşıldığında

tanjantında olan değişikliğin birbirine oranı olarak ifade edilir. Buradan eğrilik için

• 𝜅 = _(('(#(%)^#(%)_)))*/) elde edilebilir.

• Eğrilik yarıçapı 𝜅 nın tersidir. Eğrilik yarıçapı eğriliğin tersidir. Eğrilik yarıçapı R ise eğrilik 1/R dir. P noktası civarında eğriye en iyi uyumu sağlayan, eğrilik

yarıçapına sahip bir dairedir.

• Daire ve doğru parçası sabit bir eğriliğe sahiptir. Daire için eğrilik yarıçapı R, eğrilik 1/R dir.

• Doğru parçasında eğrilik sıfır, eğrilik yarıçapı da sonsuzdur.

κ

• Sürekli bir yüzey üzerinde bir noktada enine kesit bir eğridir.

• Silindir üzerinde boyuna kesit bir doğrudur. Buna dik yöndeki enine kesit ise eğrilik yarıçapı,

yarıçapına eşit olan bir dairedir. Bu noktadaki diğer bütün enine kesitler ise eğrilikleri daireden büyük olan elipslerdir. Bu nedenle bu iki kesit yönü

yalnızca birbirine dik olmayıp aynı zamanda

eğriliklerin ekstrem değerlere ulaştığı yönlerdir.

Bunlar ana yönler, ekstrem eğrilikler ana eğrilikler, ilgili eğrilik yarıçapları da ana eğrilik yarıçapları

olarak anılır. Bu durum küre, düzlem ve diğer pek çok yüzeyde de geçerlidir.

• Silindir üzerinde herhangi bir noktada Gauss eğriliği sıfırdır. K=1 / ∞.R = 0 Bu nedenle

silindir geliştirilebilir bir yüzeydir.

• Konide K=0 olduğu için koni geliştirilebilir bir yüzeydir.

• Kürede ise K=1/R

(R yarıçap) Dolayısıyla küre

Oloid Sphericon

Düzlem Silindir Koni

Uzay eğrilerinin teğet çizgileriyle şekillenen yüzeyler

Metrik distorsiyonlar

• Kürenin düzleme distorsiyonsuz aktarılabilmesi olanaksızdır.

Bunun anlamı şudur: bütün düzlem modeller, yani haritalar metrik distorsiyon içerir. Kartografik olarak uzunluk, şekil ve alan distorsiyonları önemlidir.

• Uzunluk distorsiyonu: Pratikte projeksiyon tek aşamalı bir işlemdir: Enlem boylam olarak tanımlı bir konum düzleme dönüştürülür. Uzunluk distorsiyonu kavramını açıklamak için projeksiyonu 2 aşamalı bir işlem olarak düşünelim.

- 1. adımda yer belirli bir küçültme ile küreye aktarılır.

Küçültme kürenin ölçeğidir.

- 2. adımda küre harita olması için düzleştirilir. İşte 2.

adımdaki kaçınılmaz distorsiyonlar nedeniyle kürenin orijinal ölçeği haritanın tümünde korunamaz.

Bunun anlamı şudur:

Bir haritanın ölçeği hiçbir zaman düzenli (uniform) değildir.

• Bazı projeksiyonlarda ölçek yalnızca seçilmiş bir yada 2 paralel yada meridyen üzerinde korunur.

• Bazı projeksiyonlarda da yalnızca belirli bir yönde, çoğunlukla da paralel ve meridyenler boyunca korunur. Bu 2. tip projeksiyonlar

uzunluk koruyan projeksiyonlar olarak

adlandırılır. Ancak uzunluk koruyan nitelemesi ölçeğin tüm haritada düzenli olduğu anlamına gelmemelidir. Yalnızca tek bir yönde ölçek

korunur.

• Şekil distorsiyonu (açı): Küre üzerinde şekilleri canlandırmak oldukça güçtür. O nedenle daha kullanışlı bir kavram açıdır. Küre üzerinde bir

poligon ve içinde bir nokta alınsın. Bu noktadan poligon köşelerine açılar ölçülsün. Bu açılar daha sonra projeksiyonda ölçülsün. Eğer poligonlar

benzer ise bu açılarda eşittir. Böyle bir projeksiyon açı koruyan (konform, şekil koruyan) bir

projeksiyondur. Ancak tersi ifade doğru değildir.

Çünkü karşı açılar eşit olsa bile poligonlar benzer olmayabilir. Bu durum, ölçeğin bütün

doğrultularda korunamaması sonucunda olabilir ki buda anlamlı büyüklükteki alanlar için her zaman yaşanan durumdur. O nedenle konformluk,

yalnızca bir nokta etrafında çok küçük (diferansiyel) bir bölgede geçerli olabilir.

• Alan distorsiyonu: Küre üzerinde alanlar, yüzey alanı olarak ifade edilir. İdeal olarak,

haritadaki alan ile gerçek alan arasında, sabit bir katsayı ile ifade edilebilen bir ilişki olması istenir. Bu da ancak uzunluk koruma ve açı koruma koşullarından vazgeçerek

sağlanabilir. Böyle bir projeksiyon alan

koruyan projeksiyon olarak adlandırılır.

Distorsiyon kavramı

Dünya üzerinde bulunan ve harita yapımına

konu olan bilgiler arasında uzunluk, alan ve şekil bakımından daima bir ilişki vardır. Bu bilgiler bir projeksiyon yüzeyine geçirildiğinde aralarında bulunan ilişkiler orijinal yüzeydeki gibi kalmaz, bazı değişmeler olur. Projeksiyonda ortaya çıkan değişme ve bozulmalara distorsiyon

(deformasyon) denir.

Harita projeksiyonlarında distorsiyon

• Harita yapımına konu olan yeryüzü elipsoid ya da büyük bir yaklaşıklıkla küre kabul

edildiğinden üzerindeki bilgilerin bozulmadan,

distorsiyona uğramadan projeksiyon yüzeyine

aktarılabilmesi olanaksızdır.

Küresel yüzey tüm doğrultularda süreklidir ve hiç kenarı yoktur. Bir harita

projeksiyonu, aynı paralel yada aynı meridyenin haritanın birden fazla yerinde gösteriminden kaynaklanan ilave kenarlara sahip olabilir. 15°,45° ve 75° kuzey ve güney paralelleri ikişer kez görünüyor ve 180° meridyen parçaları on farklı yerde görünüyor.

Eğer yeryüzünü bir meyvenin kabuğu gibi varsayarsak ve bu haritada gösterilen

yerlerinden kesersek, kabuğun eğri yüzeyi bir düzlem üzerine oldukça iyi bir biçimde serilebilir. Böylece, bu tür bir harita projeksiyonu, şeritlerde az miktarda

deformasyona sahip olur. Bununla birlikte, sürekli olan küresel yüzeyi birçok boşlukla göstermek uygun değildir. Bunu sürekli bir gösterim haline getirmek için her bir

parçayı kuzey-güney yönünde birbirlerine kavuşana dek çekmek gerekir. Bu işlem yapılabilir ancak çekme işlemi kuzey-güney yönünde haritanın ölçeğini değiştirir ve ölçeğin değişme miktarı, haritanın merkezinden itibaren doğu ve batı kenarlarına doğru giderek artan bir biçimde değişir. Başka bir deyişle, uzatma işlemi ölçeğin değişmesi sonucunu doğurur.

Ancak geoid nedeniyle bir bir

portakal misali bozulmalar meydana gelmektedir.

Polikonik projeksiyonda dünya haritası.

Küçük dairelerin nasıl elipslere dönüştüğüne dikkat edilmelidir.

Harita projeksiyonlarında distorsiyon

• Harita projeksiyonunun yapımı sırasında, - Uzunluk Distorsiyonu

- Alan Distorsiyonu - Açı Distorsiyonu

ds - dS

df – dF

α – α’

• Harita projeksiyonu yapılacak orijinal yüzeyin genel olarak parametre eğrileri denilen eğriler

ailesi tarafından kaplanmış olduğu kabul edilir. Bu eğriler yerküresi için ya coğrafi koordinat ağını

oluşturan paralel ve meridyen yaylarıdır, ya da küresel kutupsal koordinat ağını oluşturan yatay ve düşey daire yaylarıdır. Her iki aileyi oluşturan eğrilerin elemanları yerküresi üzerinde birbirlerini dik keserler.

• Yerküre üzerinde parametre eğrileriyle sınırlandırılmış küçük bir alanın projeksiyon düzlemine aktarıldığı

düşünülsün. Orjinal yüzeyde ds uzunluk elemanının

eğriler üzerindeki bileşenleri sırayla ds₁ ve ds₂, ds’in ds₁ ile yaptığı açı α dır. Projeksiyon yüzeyinde ise aynı

değerlerin karşılıkları sırayla dS, dS₁, dS₂, α’ olsun.

Projeksiyon yüzeyinde dS₁ ve dS₂ yaylarının kesişme açısı θ dır. Bu açı bazı projeksiyonlarda, orijinal

yüzeydeki gibi 90° olur.

Orijinal yüzey/Referans yüzeyi Projeksiyon yüzeyi

• Referans yüzeyinde ve projeksiyon yüzeyinde uzunluk distorsiyonlarının ekstrem değerlere eriştikleri birbirine dik iki yön vardır. Uzunluk distorsiyonlarının maksimum ve minimum

olduğu bu iki yön çiftine “ Ana distorsiyon yönleri” adı verilir. Ana distorsiyon

değerlerinden maksimum olanı “a ” ile,

minimum olanı da “b ” ile gösterilir.

,-₎

,.₎ = 𝑘 k paralel daire yönündeki uzunluk distorsiyon oranı ,-₀

,.₀ = ℎ h meridyen yönündeki uzunluk distorsiyon oranı ,-

,. = λ ds kenarının uzunluk distorsiyon oranı

Distorsiyon haritaya aktarım sırasında değil haritayı kullanırken hesaplanır.

𝐺𝑒𝑟ç𝑒𝑘 𝑚𝑒𝑠𝑎𝑓𝑒 = 𝑃𝑟𝑜𝑗𝑒𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛 ü𝑧𝑒𝑟𝑖𝑛𝑑𝑒𝑘𝑖 𝑚𝑒𝑠𝑎𝑓𝑒

λ . Ölçek paydas𝚤

• Referans yüzeyinde coğrafi koordinat veya

küresel kutupsal koordinat ağlarını oluşturan yaylar dik kesişmektedir. Bu eğrilerin

projeksiyon yüzeyinde de dik kesişmeleri halinde, yukarıda tanımı yapılan ana

distorsiyon yönleri parametre eğrilerinin

distorsiyonlarıyla çakışırlar. Yani bu durumda,

a=k , b=h olur.

• Noktanın enlemindeki 𝑑Φ artışı aynı noktanın meridyen yönünde (𝑹. 𝒅𝚽) kadar değişimini gerektirir. Projeksiyon düzleminde ise, aynı paralel dairesini çizen ve ileride görüleceği gibi Φ enleminin bir fonksiyonu olan m yarıçapı 𝑑𝑚 = 𝑓’(Φ) değişimine uğrar.

Diferansiyel anlamdaki bu değişimlerin oranı meridyen yönündeki uzunluk distorsiyonunu gösterir. Orijinal yüzey ve projeksiyonda diferansiyel mesafelere bakarak distorsiyon miktarı hesaplanır.

• 𝒉 = ^𝟏

𝑹 . ^𝒅𝒎

𝒅𝚽

• Yerküresi üzerinde coğrafi koordinatları bilinen 𝑃(Φ, 𝜆) noktasından geçen paralel dairesinin yarıçapı 𝑹’ = 𝑹. 𝒄𝒐𝒔𝚽 eşitliği ile hesaplanır.

Küre üzerindeki birim daire

Projeksiyondaki karşılığı elips

• Aynı şekilde noktanın boylamındaki 𝑑𝜆 artışı bu kez paralel daire yönünde

(𝑑𝜆. 𝑅𝑐𝑜𝑠Φ) kadar bir değişim oluşturur. Bu değişimin projeksiyon düzlemindeki karşılığı ise, paralel daire yarıçapı m olduğuna göre

paralel daire yönündeki uzunluk distorsiyonu

• 𝑘 =

=

• Parametre eğrilerinin projeksiyon düzleminde birbirlerini dik kesmeleri halinde ana yön

uzunluk distorsiyonları yukarıdaki distorsiyon oranlarıyla çakışacaktır. Göz önünde

bulundurulan kürenin yarıçapı da “1” alınacak olursa ana distorsiyon oranları

• 𝑎 =

ab.c

𝑏 =

,c

Distorsiyonun hesaplanması

• Yeryüzündeki bilgilerin projeksiyon düzlemine aktarılmasında ortaya çıkan uzunluk, alan ve açı distorsiyonunun her projeksiyon türü için

hesaplanması mümkündür. Distorsiyon-M.A. Tissot 1881.

• Küre üzerinde merkezi P noktası olan ds yarıçaplı sonsuz küçük bir daire düşünülsün. Bu küçük

dairenin bulunduğu eğri yüzey düzlem kabul

edilebilir. Dairenin merkezinden geçen dik koordinat sistemi y,x dir. Herhangi bir düzlem üzerindeki

dairenin bir başka düzlem üzerindeki izdüşümü

genel olarak bir elipstir. Ancak düzlemler paralel ise dairenin düzlem üzerindeki izdüşümü farklı ölçekte bir daire olur.

• Buna göre küre üzerinde alınan ds yarıçaplı küçük dairenin projeksiyon düzlemindeki izdüşümü de bir elips olacaktır.

Elipsin büyük ve küçük eksenlerinden geçen dik koordinat sistemi Y,X dir. Referans yüzeyinde x ekseni ile α açısı

yapan ds yarıçapı projeksiyon yüzeyindeki elipste X ekseni ile α’ açısı yapan dS uzunluğuna dönüşmüştür. Referans yüzeyinde ds yarıçaplı dairenin y ekseni maksimum, x ekseni minimum distorsiyona uğramıştır. Bu yönlerin

distorsiyon katsayıları sırasıyla a ve b olup ana distorsiyon değerleridir.

Referans yüzeyi Projeksiyon yüzeyi

• ds ve dS uzunluklarının kendi dik koordinat sistemindeki bileşenleri sırasıyla dy,dx ve dY,dX olduğuna göre, yukarıdaki kabul göz önünde bulundurularak,

• 𝑑𝑌 = 𝑎. 𝑑𝑦 𝑑𝑋 = 𝑏. 𝑑𝑥 yazılır. Diğer yandan

• 𝑑𝑦 = 𝑑𝑠. sin𝛼, 𝑑𝑥 = 𝑑𝑠. cos𝛼

• 𝒅𝒀 = 𝒂. 𝒅𝒔. sin𝜶, 𝒅𝑿 = 𝒃. 𝒅𝒔. cos𝜶

• 𝑑𝑌/𝑎 = 𝑑𝑠. sin𝛼, 𝑑𝑋/𝑏 = 𝑑𝑠. cos𝛼

• 𝑑𝑌²/𝑎² = 𝑑𝑠². sin²𝛼, 𝑑𝑋²/𝑏² = 𝑑𝑠². cos²𝛼

• 𝑑𝑌²/𝑎² + 𝑑𝑋²/𝑏² = 𝑑𝑠² eşitlik yarı eksenleri a.ds ve b.ds olan elips denklemidir.

• Dairenin yarıçapı 1 olarak seçilirse,

• 𝑑𝑌²/𝑎² + 𝑑𝑋²/𝑏² = 1

• Çok küçük alanlar için yeryüzü bir düzlem kabul edilebileceğinden

diferansiyel gösterim yerine normal koordinat sisteminin gerçek değerleri kullanılabilir.

Y²/a² + X²/b² = 1

Tissot endikatrisi (distorsiyon elipsi)

• İncelemenin yapılabilmesi için birim daire ve distorsiyon elipsi, dik koordinat eksenleri çakışacak şekilde birbiri üzerine yerleştirilir.

• Birim yarıçaplı daire üzerindeki A noktasının distorsiyon elipsi üzerindeki karşıtı A’ noktasıdır. P’A’ uzunluğu PA ya eşit olmayıp P’A’=r dir.

• r meridyen doğrultusunda h oranında deforme olmuş ve b uzunluğuna dönüşmüştür (b=hr)

• r paralel dairesi boyunca k oranın da deforme olmuş ve a uzunluğuna dönüşmüştür (a=kr)

• Birim yarıçaplardan max. distorsiyon yönünde olanının uzunluk distorsiyon katsayısı a, min. distorsiyon

yönünde olanının uzunluk distorsiyon katsayısı da b dir.

Şekilden de görüleceği gibi birim dairenin dik kesişen iki yönü, yine birbirleriyle dik kesişen ana distorsiyon yönleriyle çakışmıştır.

• A’ noktasının dik koordinatları Y,X olduğuna göre 𝒓^𝟐 = 𝒀^𝟐 + 𝑿^𝟐 dir. Diğer yandan A noktasının birim dairedeki dik koordinatları y,x olarak bilinmektedir. Bu yönlerdeki distorsiyon katsayıları a ve b olduğuna göre,

• 𝑌 = 𝑎. 𝑦 𝑋 = 𝑏. 𝑥 yazılabilir ve

• 𝑟^w = 𝑎^w𝑦^w + 𝑏^w𝑥^w

• 𝑦 = 1. 𝑠𝑖𝑛𝛼 x = 1. cos𝛼

• 𝒓^𝟐 = 𝒂^𝟐𝒔𝒊𝒏^𝟐𝜶 + 𝒃^𝟐𝒄𝒐𝒔^𝟐𝜶 Kenarın uzunluk distorsiyonu

• Birim daire projeksiyon yüzeyine aktarılırken elips şekline dönüşmüş olduğu için iki şeklin f ve F alanları eşit değildir.

𝑓 = 𝜋. 1

𝐹 = 𝜋. 𝑎. 𝑏 Birim dairenin alan distorsiyonu

}

#

= 𝑎. 𝑏

ana distorsiyon oranlarının çarpımına eşit olur.

• Herhangi bir α doğrultusu projeksiyon düzlemine α’

olarak taşınabilmektedir.

• (α’-α)=ω doğrultu distorsiyonu 𝑡𝑎𝑛𝛼^• = 𝑌

𝑋 𝑡𝑎𝑛𝛼 = 𝑦

𝑌 = 𝑎. 𝑦 𝑋 = 𝑏. 𝑥 𝑥 𝑡𝑎𝑛𝛼^•

𝑡𝑎𝑛𝛼 = 𝑎 𝑡𝑎𝑛𝛼^• − 𝑡𝑎𝑛𝛼 𝑏

𝑡𝑎𝑛𝛼^• + 𝑡𝑎𝑛𝛼 = 𝑎 − 𝑏 𝑎 + 𝑏 sin(𝛼^• − 𝛼)

sin(𝛼^• + 𝛼) = 𝑎 − 𝑏 𝑎 + 𝑏

𝒔𝒊𝒏𝝎 = ^𝒂‚𝒃_𝒂(𝒃 𝐬𝐢𝐧 𝜶^• + 𝜶 doğrultu distorsiyonu

• sin 𝛼^• + 𝛼 nın ekstrem değerleri için 𝑠𝑖𝑛ω da ekstrem değerler alır. 𝛼 ≅ 𝛼^• kabul edilerek

𝛼= ⁄^‰ _Š için doğrultu deformasyonu max. değerine erişir.

• 𝑠𝑖𝑛ω_^'% = ^'‚‹_'(‹

4

• 𝛼 =0 için 𝛼= ⁄

𝛼 =𝜋 için doğrultu distorsiyonu yoktur.

• 𝛼 = ⁄

için doğrultu distorsiyonu mak.

• 𝛼 = ⁄

için doğrultu distorsiyonu min.

• Distorsiyonu gidermek için eklemek veya çıkarmak gerekir.

• Meridyen doğrultusunda ve meridyene dik

yönde doğrultu distorsiyonu sıfırdır.

• Aralarındaki açı β olan D1 ve D2 doğrultuları projeksiyon düzleminde

distorsiyona uğrayarak D1’ ve D2’ durumuna girerler. Aralarındaki açı da bu kez β’ değerini alır. Her doğrultunun doğrultu distorsiyonu sırayla ω₁, ω₂ dir. Buna göre,

• 𝛽^• = 𝐷_w ^• − 𝐷_•^•

• 𝛽^• = 𝐷_w + 𝜔_w − (𝐷_• + 𝜔_•)

• 𝛽^• = 𝐷_w − 𝐷_• + (𝜔_w − 𝜔_•)

• 𝛽^• = 𝛽 + (𝜔_w − 𝜔_•) elde edilir.

• β açısında ortaya çıkan distorsiyon (β’-β) şeklinde gösterildiğine göre,

• 𝜷^• − 𝜷 = 𝝎_𝟐 − 𝝎_𝟏 bulunur. O halde bir açıda meydana gelen distorsiyon o açıyı oluşturan doğrultuların distorsiyonları farkına eşittir.

• Bir açıda meydana gelebilecek maksimum distorsiyon ise o açıyı oluşturan doğrultularda maksimum distorsiyon olmasını gerektirir.

• Herhangi bir projeksiyon için hesaplanabilen distorsiyon elipsinin a ve b elemanlarından

yararlanarak, yukarıda sırayla belirtilen uzunluk, alan, doğrultu ve açı distorsiyonlarının büyüklükleri kolayca bulunabilir.

• Uzunluk koruyan bir projeksiyonda küre üzerinde meridyen yada düşey daire yönündeki uzunlukların

korunduğu, bu uzunlukların projeksiyon yüzeyine kendi değerinde aktarıldığı kabul edilir. Bu koşul distorsiyon elipsinde, meridyen yada düşey daire yönündeki

distorsiyon oranının, yani b nin 1 olmasını gerektirir. O halde uzunluk koruyan projeksiyonda daima b=1 olur.

Böyle bir projeksiyonda alan distorsiyonu ve maksimum doğrultu distorsiyonu,

• ^,}

,# = 𝑎 𝑠𝑖𝑛𝜔_^'% = ^'‚•_'(•

• Alan koruyan bir projeksiyonda, küre üzerinde göz önünde bulundurulan bölgenin harita

projeksiyonunda karşılığı olan alanın oranlarının 1 olması yani bu alanların değişmemesi gerekir.

• ^,}

,# = 1 ^}_# = 𝑎. 𝑏

• Alan koruyan projeksiyonda a.b=1 olmalıdır. Böyle bir projeksiyonda maksimum doğrultu

distorsiyonu a=1/b olduğuna göre,

• 𝑠𝑖𝑛𝜔_^'% = ^'_'⁾₎^‚•_(•

• Açı koruyan bir projeksiyonda, küre üzerindeki açılar projeksiyon yüzeyinde bir değişime

uğramaz. Başka bir söyleyişle, küre üzerindeki şekiller ile bunların projeksiyon yüzeyindeki karşılıkları arasında şekil benzerliği vardır. İleri sürülen bu koşula göre hangi doğrultu olursa

olsun, doğrultu distorsiyonu yoktur. Yani sinω=0 olmalıdır. sinω değerinin sıfır olabilmesi için a-b=0 yani a=b olmalıdır. Böyle bir projeksiyon

düzlemine, farklı ölçekte bir daire olarak aktarılmaktadır. bu projeksiyona “Konform Projeksiyon” da denir.

• Sonuçlardan görüleceği gibi, bir harita

projeksiyonunda üç özellikten ancak bir tanesi gerçekleştirilebilir. Birden fazla özelliğin

gerçekleştirildiği bir harita projeksiyonu olamaz.

• Yeryüzünde belli yönlerdeki uzunluklar

projeksiyon yüzeyinde de değişmeyip aynen kalıyorsa bu projeksiyona Uzunluk Koruyan Projeksiyon denir. Aynı şekilde alan

değişmiyorsa Alan Koruyan Projeksiyon,

şekiller benzer ise Konform ya da Açı Koruyan Projeksiyon denir.

Harita projeksiyonları bu üç özellikten

sadece birini taşırlar. Üç özelliği de gösteren

bir harita projeksiyonu yoktur.

• Harita üretiminde ilk önce coğrafi koordinat ağını oluşturan meridyen ve paralellerin

projeksiyon yüzeyinde gösterilmesi söz

konusudur. Daha sonra yeryüzüne ait bilgiler projeksiyon yüzeyine aktarılır. Yeryüzüne ait bilgiler arasında uzunluk, alan ve şekil yönüyle olan ilişkilerden sadece bir tanesinin

projeksiyon yüzeyine aktarıldığında

değişmemesi istenir ve matematik bağıntılar

buna göre kurulur.