CS-modüller üzerine bazı genellemeler

T.C.

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

CS-MODÜLLER ÜZERİNE BAZI GENELLEMELER

YÜKSEK LİSANS TEZİ

SEVGİ KARATAŞ

T.C.

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

CS-MODÜLLER ÜZERİNE BAZI GENELLEMELER

YÜKSEK LİSANS TEZİ

SEVGİ KARATAŞ

i

ÖZET

CS-MODÜLLER ÜZERİNE BAZI GENELLEMELER YÜKSEK LİSANS TEZİ

SEVGİ KARATAŞ

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

(TEZ DANIŞMANI: DOÇ. DR. CANAN CELEP YÜCEL)

DENİZLİ, 2017

Bu çalışmada komplement alt modülleri dik toplanan olan modüllerin, yani CS-modüllerin temel özellikleri incelenmiş, bunlarla ilgili elde edilen sonuçlar verilmiştir. CS-modül ailesinin farklı genellemeleri vardır. Bunlardan ikisi olan C11 modüller ve FI-extending modüller ayrıntılı olarak ele alınmıştır. Ayrıca CS,

C11 ve FI-extending modüllerin birbiri arasındaki ilişkiler incelenmiştir.

ANAHTAR KELİMELER: Geniş (essential) alt modül, komplement alt modül,

ii

ABSTRACT

SOME GENERALİZATIONS ON CS-MODULES MASTER OF SCİENS THESİS

SEVGİ KARATAŞ

PAMUKKALE UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE

MATHEMATICS PROGRAM

(SUPERVISOR: ASSOC. DR. CANAN CELEP YÜCEL)

DENİZLİ, 2017

In this, work basic properties of modules whose complement submodules are direct summand, namely CS-Modules, are investigated and the results related to these modules are given. There are different generalizations of the families of CS-modules. C11- modules and FI- extending modules, which are consiolered in

details, are two of them. In addition, the relations between CS, C11 and

FI-extending modules are inveshigated.

KEYWORDS: Essential submodule, Complement submodule, CS-module, C11

iii

İÇİNDEKİLER

Sayfa ÖZET ... i ABSTRACT ... ii İÇİNDEKİLER ... iii SEMBOL LİSTESİ ... iv ÖNSÖZ ... v 1. GİRİŞ ... 1 2. TEMEL BİLGİLER ... 2 2.1 Modüller ... 2

2.2 Essential ve Komlement Altmodüller ... 4

3. CS-MODÜLLER ... 17

4. SÜREKLİ VE YARI-SÜREKLİ MODÜLER ... 23

4.1 Tanımlar ve Özellikler ... 23

5. CS- MODÜLLER ÜZERİNE BAZI GENELLEMELER ... 27

5.1 (C11)-Modüller ... 27

5.2 FI-extending Modüller ... 36

iv

SEMBOL LİSTESİ

X M : X, M nin altmodülü

e

X  M : X, M nin essential altmodülü

d

X  M : X, M nin dik toplananıdır. SocM : M nin socle kümesi

c

X  M : X, M nin komplement altmodülü

 

Z M : M nin singüler(tekil) altmodülü

 

2

Z M : M nin ikinci singüler(tekil) altmodülü

 

R

End M : MR modülünün endomorfizmalar halkası



,



Hom N M :N den M ye olan homomorfizmalar kümesi

 

E M : M nin injektif hull ı

 

l

S R : R nin sol merkezil idempotentlerinin kümesi

kerf : f fonkiyonunun çekirdeği

I mf : f fonksiyonunun görüntüsü

i i I

M





: M_i lerin dik toplamı

i i I

M





: M_i lerin dik çarpımı

1

m N : R nin



rR mr: N



sağ ideali N M : N, M nin fully invariant alt modülü

v

ÖNSÖZ

Bu çalışmamın her safhasında yardımlarını desteklerini esirgemeyen ve bilgilerinde deneyimlerinden yararlandığım değerli hocam Doç. Dr. Canan CELEP YÜCEL e sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

Ayrıca bu süreç boyunca benden desteklerini hiç bir zaman esirgemeyen aileme sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

1

1. GİRİŞ

Bu çalışmada R değişmeli olması gerekmeyen, birimli bir halka ve M de sağ R-modül olarak alınacaktır.

CS (extending)-modül kavramının temeli 1930’lu yıllarda Joh Von Neumann’nın çalışmalarına uzanır. Von Neumann’nın Kuantum Mekaniği’ndeki çalışmaları onun “Sürekli Geometri” yi tanımlamasına ve geliştirmesine yöneltmiştir.

Von Neumann sürekli geometrilerin teorisini Von Neumann, (1936) çalışmalarında geliştirmiştir. Bu anlamda çalışmayı Utumi (Utumi,1965) devam ettirmiştir. Bu kavramları Jeremy (Jeremy,1971) modüllere taşıdı. Chatters ve Hajarnavis “CS” kısaltmasını “complement are summands” için kullandılar (Chatters, Hajarnavis, 1977). Bir çok araştırmacı CS yerine extending veya C1

göterimini kullanarak araştırmalara devam etmektedir.

Bu tezde, CS-modüller ve CS-modüllerin baz genellemeleri olan C11 ve FI-

extending modüllerin yapısal özellikleri incelenmiştir.

Bölüm 2’ de, çalışmamız boyunca kullandığımız bazı temel tanım ve sonuçlar ispatları ile birlikte verilmiştir.

Bölüm 3’de CS-modüller ayrıntılı olarak incelenmiştir.

Bölüm 4’de, sürekli ve yarı sürekli modüllerin belirli alt modüllerinden M’ye olan dönüşümlerin, M’den M’ye olan dönüşümlere genelleştirilmeleri anlatılmıştır.

Bölüm 5’de, C11-modüllerin tanımı ve bu tanıma denk koşullar verilmiştir.

C11-modüllerin dik toplamlarının bir C11-modül olduğu gösterilmiş, aksine C11

-modüllerin dik toplananlarının bir C11-modül olmadığına ilişkin örnek verilmiştir.

Ayrıca, FI-extending modüllerin tanımı ve bu anlamda elde edilen sonuçlar verilmiştir. FI-extending modüllerin dik toplamında FI-extending modül olduğunu gösteren teoreme değinilmiştir.

2

2. TEMEL BİLGİLER

Bu bölümde tezin anlaşılırlığını kolaylaştırmak ve tez boyunca ihtiyaç duyulan cebirsel yapılar ile ilgili tanım, teorem ve kavramlar verilecektir. Bu kesimdeki sonuçlar için (Anderson ve Fuller, 1992), (Dung ve diğ., 1994) ve (Goodearl, 1976) önerilir.

2.1 Modüller

Tanım 2.1.1. R bir halka olsun.



M,



değişmeli bir grup olmak üzere

 

: : .

f R M M rR ve mM için f r m rm şeklinde tanımlanan f fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa M ye bir sol R modül denir.

M1) Her m M için 1Rmm

M2) Her rR ve her m n, M için r m n







rm rn

M3) Her r s, R ve her m M için



rs m



rm sm

M4) Her r s, R ve her m M için

 

rs mr sm

 

M sol R-modülü RM yazımı ile gösterilir. Benzer şekilde sağ R-modül tanımı

da yapılır. Eğer R birimli bir halka olmak üzere m M  için 1 ._Rmm koşulu sağlanıyorsa M modülüne birimsel sol R-modül denir.

Tanım 2.1.2. R bir halka, M bir sol R-modül ve N de M nin boştan farklı bir alt

kümesi olsun. Eğer N, M nin toplamsal alt grubu ve her r R ve nN için,rnN ise N ye M nin alt modülü denir. NM ile gösterilir.

3

Tanım 2.1.3. Eğer M sıfırdan farklı bir modül ve M nin 0 ve kendisinden başka alt

modülü yok ise M modülüne basit (simple) modül denir.

Tanım 2.1.4. R bir halka ve M de bir modül olmak üzere M’nin tüm sıfır olmayan

basit altmodüllerinin toplamına M nın socle’ı denir ve Soc(M) şeklinde gösterilir.





(M) , '

Soc 



X X M nin basit alt modülü Örnek olarak; Soc



4



2 4 dir.

Tanım 2.1.5. M bir modül olmak üzere Soc(M)=M oluyorsa M ‘ye yarı basit

(semisimple) denir.

Bu duruma göre 0 bir semisimple modüldür ve Soc



2 4



2 4 olduğundan



2 4



-modülü bir semisimple modüldür.

Tanım 2.1.6. M bir R-modül ve N, K da M nin alt modülleri olsunlar. Eğer

N K M iken NK veya K M oluyorsa N ye M nin maksimal alt modülü denir.

Tanım 2.1.7. M ve N bir R halkası üzerinde tanımlı iki modül ve f M: N bir

dönüşüm olsun. Eğer m m, M ve  r R için,

1) f m m



 



 f m

 

 f m

 

 2) f rm

 

rf m

 

koşulları sağlanıyorsa f’ye bir R modül homomorfizması denir.

Ayrıca f M: N R-modül homomorfizması olmak üzere f, birebir ise f’ye monomorfizma, f örten ise f’ye epimorfizma, f birebir ve örten ise f’ye R-izomorfizma denir.

Tanım 2.1.8. M bir R modül ve K M olsun. Eğer N M için K N 0 ve M  K N koşulları sağlanırsa M ye K ile N nin dik toplamı denir ve M K N

4

ile gösterilir. K ve N alt modüllerine de M nin dik toplananları denir. ,K N _d M şeklinde gösterilir.

Tanım 2.1.9. M bir R modül olsun. Sıfırdan ve kendinden başka dik toplananı yoksa

M, R-modülüne ayrıştırılamaz (indecomposable) modül denir.

Şimdi ise bir çok noktada kolaylık sağlayan Modüler Kuramını verelim.

Önteorem 2.1.1.(Modüler Kuralı) M bir R-modül, N M ve L K M olsun.

Bu durumda





( ) K N L  L NK dir. İspat: L K ve N   K N N K olduğundan









L NK  K NL

dir. Tersine k K



NL



alalım. Bu durumda k n l olacak şekilde nN ve lL vardır. k n l ise n   k l N K olur. Buradan, k    n l L



NK



elde edilir. Dolayısıyla, K



NL



 L



NK



dir. Böylece





(N )

K L  L NK olduğu görülür.

2.2 Essential ve Komlement Altmodüller

Bu bölümde çalışmamıza temel oluşturan bazı özel tanım ve özellikleri ayrıntılı olarak vereceğiz.

Tanım 2.2.1. M bir R-modül ve N≤M olsun. Eğer her 0≠K≤M için 𝑁 ∩ 𝐾 ≠ 0

oluyorsa veya buna denk olan bir L≤M için 𝑁 ∩ 𝐿 = 0 olduğunda L=0 olmasını gerektiriyorsa N ye M nin geniş (essential) alt modülü (veya M ye N nin essential genişlemesi) denir ve N≤eM ile gösterilir.

5

Önerme 2.2.1. M bir R modül olsun. Bu durumda;

1. N≤M olsun. N  _eM olması için gerek ve yeter koşul her 0 m M  için 0

NmR olmasıdır.

2. K≤ 𝑁 ≤ 𝑀 olmak üzere K  _eM olması için gerek ve yeter koşul K _e N ve N _e M olmasıdır.

3. N _e M ve K M ise N K _e K dir.

4. 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡 olmak üzere her 𝑡 ≥ 1 için N_i _e K_i ise



N1N2 Nt

 

e K1K2 Kt



dir.

5. K N M olmak üzere N K/ _e M K/ ise N_e M dir.

6. A B, , CM olmak üzere f B: C bir homomorfizma ve A_eC ise

 

1

e

f A  B dir.

7. Her sıfırdan farklı indis kümesi I için, 𝑖 ∈ 𝐼 olmak üzere N_i _e M_i olması için gerek ve yeter koşul _{i I} N_i _{e i I} M_i olmasıdır. (Dung et al., 1994)

İspat: (1)

 

 N _e M ve 0 m M olsun. O halde mR0 olur. N _e M olduğundan NmR0 elde edilir.

 

 Tersine her 0 m M için NmR0 olsun. O halde 0 m L olacak şekilde L M vardır. Böylece mRL olduğundan N L 0 elde edilir. Böylece N _e M olduğu görülür.

(2)

 

 K N M ve K _eM olsun. 0X N alalım. Bu durumda X M olacağından K X 0 olur. O halde K _e N elde edilir. Şimdi 0 Y M alalım. O halde K Y N Y   olduğundan N Y 0 olur. Bu durumda N _e M elde edilir.

 

 Tersine K N M, K _e N ve N _e M olsun. 0 T M için 0 N T dir. K _e N olduğundan 0 K



NT



 K T olur. O halde,

e

6

(3)N _e M ve KM olsun. 0X K için,



NK



  X N



KX



  N X 0 elde edilir. O halde



NK



_e K elde edilir.

(4) İlk olarak t2 için gösterelim. N₁_e K₁ ve N₂ _e K₂ iken



N1N2

 

e K1K2



olduğunu gösterelim. Bunun için bir 0 X K1K2 ve



N1N2



 X 0 olduğunu kabul edelim. Bu durumda



N1N2



 X N1



N2X



0 olur. Buradan N2 X 0 elde edilir.

2 e 2

N  K olduğundan X 0 bulunur. Bu durum kabulümüz ile çelişir. O halde



N1N2



 X 0 dır. Yani,



N1N2

 

e K1K2



dir. Tümevarım yöntemi ile

genel durum elde edilir.

(5) K N M ve N K_e M K olsun. 0 X M ve N X 0 olduğunu kabul edelim. Eğer X K ise X N X 0 olur. Eğer K X ise

0X K M K olur. X KN K



XN



K 0 olur. N K _e M K olduğundan X K 0 olup X K elde edilir. O halde N _e M olur.

(6) A B C, , M olmak üzere f B: C bir homomorfizma ve AeC olsun.

0 U B için f1

 

A  U 0 alalım. x f U

 

A ise xA ve x f U

 

olur. O halde x f u

 

olacak şekilde  u U vardır. x f u

 

A ise

 

1

u f A olur. Buradan f1

 

A  U 0 olduğundan U0 olur.

 

 

0 0

x f u  f  ise A f U

 

0 olur. A_eC olduğundan A0 ise

 

0

f U  olur. O halde U kerf  f1

 

0  f1

 

A ise f1

 

A   U U 0 elde edilir. Böylece 1

 

e

f A  B olur.

(7) i

 

1, 2 olsun. N₁ _e M₁ ve N₂ _e M₂ ise N₁N₂ _e M₁M₂ olduğunu gösterelim. (4) den N₁N₂ _e M₁M₂ olur. N ler R’nin bağımsız alt modülleri _i olduğundan 0_e M₁M₂ elde edilir. Böylece M₁M₂ 0 dır. O halde

7

örten homomorfizmaları vardır. N₁_e M₁ ve N₂ _e M₂ olduğundan (6) dan

 

1

1 e 1 2

f N  M M ve olur. N₁_e M₁ ve



M M₁, ₂



bağımsız olduğundan

1 2 1

:

f N M N ve N₂ _e M₂ ve



M M₁, ₂



bağımsız olduğundan

1 2 2

: M

f N N örten homomorfizmaları vardır. Yani, f N



₁M₂



N₁ dir.

Böylece 1

 

1 2 1

N M  f N olur. Ayrıca f M



₁N₂



N₂ olduğundan

 

1

1 2 2

M N  f N elde edilir. Böylece N₁M₂ _e M₁M₂ ve

1 2 e 1 2

M N  M M bulunur. Yine



N₁M₂

 

 M₁N₂



N₁N₂ olduğundan (4) den N₁N₂ _e M₁M₂ bulunur. i üzerinden tümevarım uygularsak i

 

1, 2 için sağlanmış olur.

1

i n için doğru olduğunu kabul edelim. Yani,

1 2 n 1 e 1 2 n 1

N N  N   M M  M  olsun. in için bakarsak Ni e Mi

ve

 

N _i bağımsız alt modül olduğundan baştaki yöntem ile



M1M2 Mn1



Mn 0 olduğu görülür. Buradan



M M1, 2, Mn1,Mn



nin bağımsız olduğu görülür. Böylece

1 2 1 1 2 1

(N N  N_n )N_n _e(M M  M_n )M_n elde edilir.

Örnek 2.2.1.







modülünün tüm essential alt modüllerini bulunuz.

Çözüm: n  için n _e ve  m için m _e olduğunu biliyoruz. O halde Önerme 2.2.1.(7) den n m _e  olur. Aynı zamanda  deki tüm alt modüller bu formdadır. Yani,







deki her alt modül essential alt modüldür.

Önteorem 2.2.1. M bir sağ R- modül ve K _e M olsun. Bu durumda aL0 ve aLK olacak şekilde R nin bir essential sağ L ideali vardır.

İspat: L 



r R ar: K



olsun. Buradan, L, R nin bir sağ idealidir ve aLK dir. Böylece aR K 0 olur. Bazı rR için ar, K nın sıfırdan farklı elemanıdır. Yani, rL için aL0 dır. I, R nin sıfırdan farklı sağ ideali olsun. Şimdi I L 0

8

olduğunu görelim. Eğer aI 0 ise IL olduğundan I L 0 olur. Farzedelim ki,

0

aI  olsun. Bu durumda aI K 0 dır. Böylece bazı xI için ax, K nın sıfırdan farklı elemanıdır. Buradan xL dır. Dolayısıyla I L 0 dır. Böylece

e

L R dır.

Tanım 2.2.2. M bir R modül ve L, M nin bir alt modülü olsun. K L 0 özelliğine

göre maksimal olan bir K altmodülüne L nin (M deki) komplementi denir.

Tanım 2.2.2. de verilen K alt modülü tek olmak zorunda değildir. Şimdi vereceğimiz önermeden, bir M modülündeki her alt modülün bir komplement alt modülünün (M de) varlığı elde edilir ki, bu komplement alt modülleri oldukça kullanışlı yapmaktadır.

Önerme 2.2.2. M bir modül ve L N, M alt modülleri için N L 0 olsun. Bu durumda L nin M de bir K komplementi vardır öyle ki N K dır.

İspat: S 



X M : NX ve X L 0



kümesini tanımlayalım. NS olduğundan

S  dir.



X i_i: I



, S de bir zincir olsun. S tam sıralıdır. U  _{i I} X_i alalım. Herhangi iki X X_i, _jS için X_i  X_j ya da X_j  X_i olduğundan U bir altmodüldür. Her iI için N X_i olduğundan N _{i I} X_i dir. Her iI için

0

i

X  L olduğundan _{i I} X_i L 0 olup US olur. Yani U,



X_i:iI



zincirinin bir üst sınırıdır. Böylece Zorn’s Lemma ile S nin bir maksimal elemanı vardır. K ile gösterilirse, K L 0 olduğundan K, L nin M deki komplementidir. Ayrıca S nin tanımından NK dir.

Şimdi ispatlayacağımız önerme, bir modülde essential alt modüller üretmek anlamında bir teknik sağlamaktadır.

Önerme 2.2.3. M bir modül, L M ve K, L nin M içinde komplementi olsun. Bu durumda K L _e M dir. (Goodearl, 1976)

İspat: NM ve



KL



 N 0 alalım. K  K N olduğu açıktır. Bu durumda

9

Buradan nN ve 0 x L için x k n olacak şekilde bir kK vardır. Böylece





0

n  x k KL  N olduğundan n0 elde edilir. x  k K L ise x0

olur. Bu ise çelişkidir. O halde K K N dir. Böylece NK ise N K L olur.



KL



 N N 0 olduğundan N0 dır. Dolayısıyla K L _e M elde edilir.

Tanım 2.2.3. M bir modül ve K, M nin bir alt modülü olsun. Eğer K, M de herhangi

bir alt modülün komplementi ise K ya (M de) bir komplementtir denir ve K _c M şeklinde gösterilir.

Bir M modülü için 0,M _c M dir. Daha genel olarak,

Sonuç 2.2.1. Bir M modülünün her dik toplananı M de bir komplementtir.

İspat: A_d M ise A_c M dir. Gerçekten, M  A B olacak şekilde  B M

vardır. A N M ve N B 0 olan NM olsun.









N  N M  N AB  A NB A olur. Yani, AM , A B 0 şartını sağlayan maksimal alt modül olduğundan A_c M dir .

Sonuç 2.2.1. de verilen ifadenin tersi genel olarak doğru olmayabilir. Örneğin; F de bir cisim ve V de 2 boyutlu bir vektör uzayı olmak üzere



1 2



: , 0 R f v R f F v V v F v F f    _{ }     _     ve 1 0 : , 0 0 v f I __ _ f F_     ve 2 0 : 0 0 v f J __ _ f F_  

  olarak alalım. Bu durumda I,J nin R deki (benzer olarak J,I)

komplementidir. Yani I, R de komplementtir. Ancak, I, R nin bir dik toplananı değildir.

Önerme 2.2.4. M bir modül ve NM olsun. Bu durumda N _e K olacak şekilde

10

İspat: N, M de N nin komplementi olsun. Böylece N N 0 dir ve N nün bi K

komlementi vardır ve Önerme 2.2.2. den N K dır. 0 L K olsun. N L N olduğundan



LN



 N 0 olur. Böylece 0 n



LN



N ise



'



n LN ve nN olur. xL, nN olmak üzere n x n dir. Buradan

0

n  n x N K olduğundan n 0 dır. Böylece n  x N L olup

0

N L olur. Yani N _e K elde edilir.

Tanım 2.2.4. Önerme 2.2.4. de varlığı ispatlanan K alt modülüne N nin M deki

kapanışı (closure) denir.

Önerme 2.2.5. M modül ve K, M nin alt modülü olsun. Bu durumda K _c M olması

için gerek ve yeter şart K _e LM ise K L olmasıdır.

İspat: Farzedelim ki K_c M ve K _e LM olsun. Bu durumda K bir X in M de komplementi olacak şekilde X M vardır. Böylece K X 0 olur. 0  K X _e LX olduğundan L X 0 dır. K, K X 0 koşulu altında maksimal olduğundan K L dir. Tersine KM olduğundan Önerme 2.2.4 den K nın M de bir L kapanışı vardır. Yani K _e L_c M dir. K L olduğundan K _c M dir.

Önerme 2.2.6. M bir modül ve K N, M olsun. Eğer K _c N ve N_c M ise

c

K  M dir. (Goodearl, 1976)

İspat: K _c N ve N_c M olduğunu kabul edelim. Buradan bir K N için K, K nün N deki komplementi ve bir N M için de N, N nün M deki komplementi olur. x K (KN ) alalım. kK , n N için x k n dür.

k 0

x   n NN  olur. Böylece x k K K 0olduğundan





0

K KN  elde edilir. Farzedelim ki K_e LM olsun. O halde









0 K KN _e L KN olup L



KN



0 dır. Buradan







 







0 N LN K NK  LN K LN      olur. Fakat K N ve K  L N olduğundan K N



LN



dır. K, K nün N deki

11

komplementi olduğundan KK0 koşulu altında K maksimal alt modüldür.





K  N LN ve _N



LN



_K0 olduğundan K  N



LN



olur. Böylece



NL



N0dır. N, N nün M deki komplementi olduğundan

0

NN koşulu altında N maksimal alt modüldür ve N N L olduğundan N N L dir. Buradan LN olur. L L



LN



 N



LN



K olduğundan K L dir. Önerme 2.2.5 den K _c M elde edilir.

Önteorem 2.2.2. N M ve K_d M olsun. Bu durumda, K nın N nin

komplementi olması için gerek ve yeter koşul K N 0 ve K N e M

olmasıdır.

İspat: () : Varsayalım ki K, N nin komplementi olsun. Buradan, K N 0 dır.

0 x M alalım. Eğer xK ise 0xRxR K xR



KN



dir. Eğer xK ise N



xRK



0 ve böylece xR



KN



0 dır. Her iki durumda da her 0 x M için xR



KN



0 dır. Böylece K N _e M dir.

 

 : Tersine, K N 0 ve K N _e M olsun. K _d Molduğundan bir K M vardır öyle ki M K K dür. Kabul edelim ki K K₁ ve K₁ N 0 koşulunu sağlayan bir K₁M vardır. Bu durumda









1 1 1 1

K K M K  KK  K K K

dür. 0 y



K₁K



alalım. Bu durumda bazı nN k, K ve rR için

0 yr n k dır (çünkü N K _e M ). Buradan yr  k n K₁ N 0 dır. Böylece yr k KK 0 dır ki bu da yr0 olmasıyla çelişir. O halde

1 0

K K ve K K₁ dir. yani K, N nin komplementidir.

Teorem 2.2.1. M bir modül, K _c Mve K N M olsun. Bu durumda N _e M olması için gerek ve yeter şart N K_e M K olmasıdır.

12

İspat: İlk olarak N K_e M K olduğunu kabul edelim. N _e M olduğu Önerme

2.2.1.(5) den açıktır. Tersine N _e M olsun. M M K , N N K ve N L 0 olacak şekilde LM alalım. Bu durumda bir LM için KM olmak üzere

L L K ve N L K dır. K, K nün M deki komplementi olsun. Böylece 0

KK olduğundan N L K0 dır. N _e M olduğundan LK0 olur. Buradan KLve K, K nün M deki komplementi olduğundan K L dir. L 0 olup N_e M olur. Yani N K _e M K dir.

Tanım 2.2.5. M sıfırdan farklı bir R modül olsun. M nin sıfırdan farklı her alt modülü

essential altmodül ise M ye düzgün (uniform) modül denir. Örneğin; ve birer uniform modüldür.

Önerme 2.2.7. M bir R modül ve U, M nin düzgün alt modülü olsun. Bu durumda

c

U  M olması için gerek ve yeter koşul U, M nin maksimal düzgün alt modülü olmasıdır.

İspat: İlk olarak U _c M olduğunu kabul edelim. U N M olacak şekilde N M nin düzgün bir alt modülü olsun. Bu durumda U _e N dir ve U _c M olduğundan Önerme 2.2.5 den U N elde edilir. O halde U maksimal düzgün alt modüldür. Tersine U, M nin maksimal düzgün alt modülü olsun. Önerme 2.2.4 dan

e c

U  K M olacak biçimde bir K M vardır. Şimdi K nın düzgün alt modül olduğunu görelim. 0 X K alalım. Y K için X Y 0 olsun. Bu durumda



UX

 

 UY



0 dır. U düzgün olduğundan U Y 0 ve U _e K olduğundan Y0 bulunur. BöyleceX e K elde edilir. Yani K düzgün alt

modüldür. Varsayımımız olan U nun M de maksimal düzgün alt modül olmasından dolayı U K elde edilir. Sonuç olarak U _c M dir.

Tanım 2.2.6. M bir R modül olsun. Bu durumda

 



_{e R} 0



Z M  mM bir E R için mE kümesi M nin bir altmodülüdür ki, buna M’nin tekil (singüler) alt modülü denir. Eğer Z M

 

M ise M ye singüler,

13

 

0

Z M  ise M ye nonsingüler modül denir. Örneğin U bir düzgün modül olmak üzere, Z

 

Z

 

Z U

 

_R 0 dır.

Yine bir M modülü için Z₂

 

M 



mM bir E_e R için mE_R Z M

 



kümesi M ninbir alt modülüdür ki, buna M nin ikinci tekil (singüler) alt modülü denir. Z M

 

Z2

 

M ve Z2

 

M c M olduğu açıktır. (Goodearl, 1976)

Teorem 2.2.2. M bir modül olsun. B, A nın M de komplementi, A de AA olmak

üzere B nin M de komplementi ise

e

A A

ve A , M nin A yı essential alt modül olarak içeren alt modüller kümesinde maksimal elemandır. (yani A_e K ve A K M  A K dır).

Önerme 2.2.8. M ve A R-modüller olsun.

i. M nonsingüler’dir. (Yani Z(M)=0 ) Tüm singüler A_R modülleri için



_R, _R



0 Hom A M  dır.

ii. A_e M M A singülerdir. (Z M A





M A )

iii. M singüler ve AM olsun. M A singülerdir.  A_e M dir.

Tanım 2.2.7. F bir R modül, 0 X F küme ve i X: F bir dönüşüm olsun. Eğer bir A, R-modülü için f :X A dönüşümü için tek f :X A , f i f olacak şekilde bir homomorfizma varsa F, X de serbest modül denir.

Tanım 2.2.8. R bir halka J, R modül, g A: B ve f :AJ homomorfizmalar olmak üzere 0 A B kısa tam dizisi olsun.

0 A B

J  

14

diyagramı değişmeli yani h g f olacak şekilde h B: J , R modül homomorfizması varsa J ye injektif modül denir.

Sonuç 2.2.2. N bir R modül olsun. Bu durumda aşağıdaki koşullar denktir.

1) N injektif modüldür.

2) N M_R ise N, M de dik toplanandır.

İspat: 12) NM ve N injektif bir modül olsun.

0 N M

N

 



diyagramında N injektif modül olduğundan Q : M N ye bir homomorfizması vardır. m M alalım. Q m

 

N olur. Buradan Q m

 

Q Q m



 



dir. O halde

 





0

Q m Q m  olup



m Q m

 



kerQ dır. Yani mkerQ Q m

 

dir. Böylece M kerQN elde edilir. Ayrıca Q m

 

N M ve ker QM olduğundan ker QN M olur. Dolayısıyla M kerQN dir. xkerQN alalım. O halde Q x

 

0 ve xN olur. xN olduğundan Q x

 

x dir. Böylece

0

x olup kerQN 0 olduğundan M NkerQ dir. Yani N, M nin dik toplananıdır.

21) Tersine N M_R ise N, M de dik toplanan olsun. (Sharpe ve Vaimos,1972) de Teorem 2.11. den her modülün injektif genişlemesi olduğundan I injektif modül _R olmak üzere N I_R dir. Kabulümüzden dolayı I  N N olacak şekilde N I_R vardır. (Sharpe ve Vaimos,1972) de Önerme 2.3. den I injektif olduğu için N de _R injektiftir.

Tanım 2.2.9. R bir halka P, R-modül , g A: B ve f P: B homomorfizmalar

15 0 P A B   

diyagramı değişmeli yani g h f olacak şekilde h P: A , R-modül homomorfizması varsa P ye projektif modül denir.

Sonuç 2.2.3. R bir halka ve P bir R-modül olsun. O halde, aşağıdakiler denktir.

1) P projektiftir. 2) Her

0 A f B g P 0 kısa tam dizisi split dizidir.

3) F bir serbest modül ve K, R –modül olmak üzere F K P dir.

İspat: 12) 1 0 P P B P   

diyagramını göz önüne alalım. P projektif olduğundan g h1_P olacak şekilde bir R-modül homomorfizması vardır. Böylece kısa tam dizi

0 f g 0

h

A BP

  _ 

olduğundan split dizidir. Buradan B A P  dir.

23) R halkası üzerindeki her A modülü serbest F modülünün homomorfik görüntüsüdür. O halde, P de bir R-modül olduğundan g F: P epimorfizması vardır. Eğer K kerg alırsak,

16

dizisi tamdır. Hipotezden dizi split tam dizidir. Dolayısıyla F K P dir.

31) :FK P P kanonik epimorfizma ve i P: F KP kanonik monomorfizması olsun. Alt sınır tam olmak üzere

0 f g P A B   

R –modül homomorfizması diyagramı verilsin. Bu durumda,

0 i f F P A B     

diyagramını ele alalım. F serbest modül olduğundan projektif modüldür. Böylece

1

g h  f  olacak şekilde h F₁:  A bir R modül homomorfizması vardır.

1 :

hh i PA , R-modül homomorfizması olsun. O halde









1 1P

ghgh i f  i f  i  f  f olduğundan diyagram değişmelidir ve P projektiftir.

17

3. CS-MODÜLLER

3.1 Tanım ve Özellikler

Önceki kesimde gerekli özel alt modüller ve özellikleri verilmiştir. 1930 lu yıllarda Von Neumann’ın sürekli geometrisinde kullanması ile ilk olarak tanımlamış olup daha sonra Utumi (1965) ve öğrencisi tarafından CS kavramı halka ve modüllere taşınmıştır. Bu bölümde CS-modüller ile ilgili teorem ve sonuçlar ispatları ile verilecektir. Bu bölümde (Dung ve diğ., 1994) den yararlanılmıştır.

Tanım 3.1.1. M bir R modül olsun. Eğer M nin her K komplement alt modülü M de

bir dik toplanan oluyorsa M ye CS-modül (extending modül) denir.

Bu duruma denk koşullardan biri M nin her N alt modülünün M nin bir dik toplananında essential olarak kapsanmasıdır.

Tanım 3.1.2. Yine bir R halkası için R CS-modül ise R ye sağ CS-halka denir. _R CS-modüllere yarıbasit modüller, düzgün modüller, injektif modüller ve sonlu ranklı serbest abel grupları örnek verilebilir.

Tanım 3.1.3. M bir R modül olsun. Bu durumda M yi kapsayan essential injekif

genişlemesi, maksimal essential genişlemesi veya minimal injektif genişlemesi koşullarından birini sağlayan modüle M nin injektif hull ı denir. E(M) ile gösterilir.

CS bir modülünün her alt modülü CS olmayabilir. Örneğin; M, CS olmayan bir R modül ve E(M) de M nin injektif hull’ı olsun. Bu durumda M E M

 

ve E(M), CS-modüldür.

Önteorem 3.1.1. M, CS-modül ve N, M nin bir dik toplanan alt modülü olsun. Bu

durumda N, CS-modüldür.

İspat: N, M de dik toplanan olduğundan M N K olacak şekide K M

vardır. X _c N alalım. N, M de dik toplanan olduğundan X _c N _c M olur. Komplementlerde geçişme özelliğinden X _c M dir ve M, CS-modül olduğundan

18

X, M de dik toplanandır. Buradan M  X Y olacak şekilde Y M vardır.









N  N M  N X Y  X NY olduğundan X, N nin bir dik toplananıdır. Böylece N, CS-modüldür.

Sonuç 3.1.1. M, CS-modül ve N _c M ise N, CS-modüldür.

İspat: Önteorem3.1.1. den açıktır.

Önteorem 3.1.1. in tersine CS-modüllerin bir dik toplamı CS-modül olmayabilir. Örneğin , p pozitif asal tamsayı olmak üzere M 



_p







_p3



modülünü alırsak p ve _p3 CS-modüldür ancak M CS-modül değildir.

Şimdi, CS-modüllerin dik toplamlarının CS-modül olduğu durumları inceleyelim.

Teorem 3.1.1. M1 ile M2, CS-modüller ve M M1M2 olsun. Bu durumda M nin

CS-modül olması için gerek ve yeter şart M nin KM₁0 ya da KM₂ 0 olacak şekilde her K komplementinin bir dik toplanan olmasıdır.

İspat: Gereklilik açıktır. Tersine KM₁ 0 ya da KM₂ 0 olan her K komplementi M de bir dik toplanan olsun. L_c M alalım. Bir H _c L vardır ki,

2 e

LM  H dir. Önerme 2.2.6. dan H _c M dir. HM₁ 0 olduğu açıktır. Varsayımdan M  H H olacak biçimde H M vardır. Böylece





LH LH dür. Önerme 2.2.6. dan LH_c M dir. Diğer yandan



LH



M2 0 olduğu açıktır. Varsayımdan LH , M nin bir dik toplananıdır.

LH , H nün de bir dik toplananı olur. O halde L, M nin bir dik toplananıdır. Yani M, CS-modüldür.

Tanım 3.1.4. R bir halka ve, M ve X de R-modüller olsun. Eğer her N M için,

0 N M X  

 



19

şeklinde verilen R-modül ve R-homomorfizmaların her diyagramında   olacak şekilde bir : M X , homomrfizması varsa X modülüne M-injektiftir, denir.

1 2 n

M M M  M olsun. Eğer i j için Mi modülü Mj -injektif modül ise



1



i

M  i n modülüne göreceli injektif modül denir. (Dung ve diğ., 1994) ve (Mohamed ve Müller, 1990)

Teorem 3.1.2. R bir halka olsun. Bu durumda bir R modül M nin CS modül olması

için gerek ve yeter koşul M ve Z₂

 

M , CS-modüller ve Z₂

 

M , M - injektif olacak biçimde M M vardır ki, M MZ₂

 

M dir.

İspat: M, CS-modül olsun. Z₂

 

M _cM olduğundan M MZ₂

 

M olacak biçimde M M vardır ki M nonsingülerdir. O halde Önteorem 3.1.1. den Z₂

 

M ve M CS-modüllerdür. Şimdi X M ve : XZ₂

 

M bir homomorfizma olsun. X  



x 

 

x :xX



kümesini oluşturalım. X M dir. Varsayımdan

e

X  L olcak biçimde M nin bir L dik toplananı vardır. Y M için M  L Y yazalım. XZ₂

 

M 0 ve X _e L olduğundan L nonsingülerdir ve

 

 

2 2

Z M Z Y dir. Böylece Z₂

 

M , Y nin bir dik toplananıdır. Y  Y Z2

 

M

olarak alalım. : L Y Z₂

 

M Z₂

 

M kanonik projeksiyon olsun.  x olduğu açıktır. O halde Z2

 

M , M-injektiftir.

Tersine M MZ₂

 

M , Z₂

 

M ile M, CS-modülle ve Z₂

 

M , M- injektif olsun. A_c M olarak alalım. Z₂

 

A _c A olduğundan Z₂

 

A _c M dir. O halde

 

 

2 c 2

Z A  Z M dir. Böylece Z2

 

A ,Z2

 

M nin bir dik toplananıdır ki, buradan

 

2

Z A , A nın bir dik toplananı olarak bulunur. AZ₂

 

A B olarak alalım. B nonsingülerdir. BZ₂

 

M 0 ve Z₂

 

M , M- injektif olduğundan bir

 

2

: M Z M

   homomrfizması vardır ki, ₁: M Z₂

 

M ve ₂: M M projeksiyon dönüşümleri olmak üzere 2 B1 B dir. O halde

 



:



20

CS-modüldür. Böylece B, N nün bir dik toplananıdır. M Z₂

 

M N olduğu açıktır. Buradan A, M nin bir dik toplananıdır.

Teorem 3.1.3. M _i



1 i n



ler göreceli injektif modüller olmak üzere

1 2 ... n

M M M  M olsun. Bu durumda M nin CS-modül olması için gerek ve yeter şart her bir 1 i n  için M modülünün CS-modül olmasıdır. _i

İspat: Gereklilik Önteorem 3.1.1. den açıktır. Tersine her bir 1 i n  için M bir _i CS-modül olsun. Tümevarımla ispatı tamamlayacağız. Bunun için n=2 durumunda M nin CS-modül olduğunu ispatlamak yetecektir. KM₁0 olacak biçimde bir

c

K  M alalım. (Dung ve diğ. , 1994) de Lemma 7.5 den, M M₁M ve K M olacak biçimde bir M M vardır. Açıktır ki M M₂ ve böylece de M bir CS-modüldür. K_c M olduğundan K, M nün bir dik toplananıdır. Buradan K, M nin bir dik toplananıdır. Benzer olarak XM₂ 0 olacak biçimde herhangi bir

c

X  M de bir dik toplanandır. Böylece Teorem 3.1.1. den , M bir CS-modüldür. Herhangi bir p asal tamsayı için -modül p p3 ün bir CS-modül olmadığını biliyoruz. 3

p modülü p injektiftir ancak p modülü p 3 injektif değildir. Diğer yandan, p modülü p injektif olmadığı halde 2

2

p p modülü CS- modüldür. (Dung ve diğ. , 1994)

Önteorem 3.1.2. M_R bir nonsingüler modül ve K M_R olsun. Bu durumda K nın

M de komplement olması için gerek ve yeter koşul M K nın nonsingüler modül olmasıdır.

İspat: M K nonsingüler modül ve Ke N M olsun. O halde









0

N K Z N K Z M K  olur. Buradan N K 0 dır. Yani N=K elde edilir. böylece K, M de komplementtir.

Tersine K, M de komplement olsun. M K nın nonsingüler modül olmadığını kabul edelim. O halde bir m M ve mK elemanı vardır ki mEK ve E_e R_R dir.

21

rR ve kK için mr+k elemanını ele alalım. F  



s R: rsE



kümesini düşünürsek, F _e R_R ve



mrk F



K dır. Eğer



mrk



0 alırsak



mrk F



0 olur ve burada K



mrk F



0 olur. Bu durumda K _e mRK olur. Bu ise K nın M de komplement olmasıyla çelişir. Dolayısıyla M K nonsingüler modüldür.

Şimdi dik toplananları CS-modül olsa bile kendisinin CS-modül olmadığı örnekleri vereceğiz.

Örnek 3.1.1.

0

R

R   _

  modülü CS-modül değildir.

İspat: RR nin nonsingüler olduğu açıktır. 1

0 0 M   _   ve 2 0 0 0 M   _   olarak alırsak RR M1M2 olur. M1 ve M2 düzgün modüller olduğundan

CS-modüllerdir. Fakat RR , CS-modül değildir. Gerçekten,

0 1 0 2 u_ _R   alalım. 0 1 0 : 0 2 0 0 2 x uR x x         _{   }_{ }  _

       olup uR,R nin düzgün alt modülüdür ve

böylece dim(uR)=1 dir. dimR=2 ve dim(uR)=1 olduğundan uR essential değildir. Diğer yandan, eğer R, CS-modül olsaydı uR_eeR olacak biçimde bir e2  e R olurdu. Buradan uR olduğundan ueR dir. O halde, rR için u er ise

eueru olur. Yani 0 1 0 0 2 a b c             0 2 0 1 0 2 0 2 a b c          

    elde edilir. Buradan c=1 ve a+2b=1 bulunur. Böylece

0 1 0 1 0 1 a b a b a b                    olur.





2 1 0 1 0 1 a b a a b            

  olup a=0,1 elde edilir. a=0 ise b1 2 dir. Eğer

a=1 ise 1 0

0 1

e  _

  olur. Buradan eR=R bulunur. Fakat uR essential olmadığından bu bir çelişkidir. O halde R_R , CS-modül değildir.

22

İspat: Öncelikle M_R ın nonsingüler modül olduğunu not edelim.

 

x _{ x} düzgün modül olduğundan CS-modüldür. Şimdi C





xr, 2r



:rR



M_R modülünü ele alalım. Bu durumda Z M C





0 dır. Gerçekten,



f g,



 C Z M C





olsun. O halde _



f g,



C E_ C olacak şekilde bir E_e R_R vardır. Yani



fE gE,



C dir. Böylece fExr ve gE2r dir. Buradan 2f=xg olur. f x g



2



R ve

2

g R dir. Bu durumda



f g,



 C



x g



2,g





 C



x g



2 , 2

 

g 2





 C C olur. Yani



f g,



C dir.



f g,



 C 0 elde edilir. Dolayısıyla Z M C





0 dır. Önteorem3.1.2. den C_c M_R dir. Farzedelim ki C, M de dik toplanan olsun. O halde M  C D olacak şekilde DM_R vardır. : MC kanonik projeksiyon olsun.

,

aC bD olmak üzere 

 

a b, a olarak tanımlansın. 

  

1, 0  xr, 2r



ve

  

0,1 xs, 2s



  olsun. Böylece

 

x, 2 C için

 

x, 2 

 

x, 2 

   

x, 0  0, 2 x

 

1, 0 2

  

0,1 x xr, 2r

 

2 xs, 2s







2



2 , 2 4

x r xs xr s olur. Buradan 1xr2s dir. Yani RxR2R dir. Bu ise çelişkidir. Dolayısıyla M_R , CS-modül değildir.

23

4. SÜREKLİ VE YARI-SÜREKLİ MODÜLER

Bu bölümde, sürekli ve yarı-sürekli modüllerin belirli altmodüllerden M ye olan dönüşümleri, M den M ye olan genişletilmesi karakterizasyonları verilecektir. Bu bölüm için (Mohamed, Müller, 1990), (Smith ve Tercan,1992) kaynaklarından yaralanılmıştır.

4.1 Tanımlar ve Özellikler

(C2) M nin herhangi alt modülü bir dik toplanana izomorf iken M nin bir dik

toplananıdır.

(C3) M1 ve M2, M nin M1M2 0 koşulunu sağlayan herhangi bir iki dik toplananı

ise M₁M₂ , M de dik toplanandır.

Tanım 4.1.1.

1) M bir CS modül olsun. Eğer M, (C2) ((C3)) koşulunu sağlarsa M ye sürekli

(yarı sürekli) modül denir.

2) M nin her N altmodülü için her : NM homomorfizması bir :M M homomorfizmasına genişleyebiliyorsa M ye yarı (quasi) injektif modül denir.

Önteorem 4.1.1. M bir modül olsun. Bu durumda aşağıdaki koşullar sağlanır.

1) M modülü sürekli ise yarı süreklidir. Genel olarak tersi doğru değildir. (Mohamed, Müller, 1990),

2) M modülü sürekli (yarı sürekli) ise, M nin her dik toplananıda sürekli (yarı sürekli) dir.

İspat: (1) M sürekli modül olsun. M nin (C3) koşulunu sağladığını gösterelim. K ve

L, M nin K L 0 koşulunu sağlayan dik toplananları olsun. M  K K M  K K olacak biçimde bir K M vardır.  :MK kanonik projeksiyonu

24

göstersin. K L 0 olduğundan 

 

L L ve böylece de 

 

L , M nin dik toplananıdır. O halde M 

 

L L olacak biçimde bir L M vardır. Buradan,

  



K L  KL ve M  K 

  

L  KL



dür. Böylece; K

 

L , M nin bir dik toplananıdır. K  L K 

 

L olduğundan M, (C3) koşulunu sağlar.

Tersinin doğru olmadığına ilişkin bir örnek olarak M  alınırsa M yarısürekli ancak sürekli değildir.

(2) bu şıkkın ispatını yarı-sürekli modüller için yapacağız. Benzer olarak, sürekli modüller içinde yapılabilir. M, yarı-sürekli modül ve N, M nin bir dik toplananı olsun Önteorem 3.1.1. den N, CS-modüldür.

Şimdi K1 ve K2 yi N nin K1K2 0 olacak şekilde iki dik toplananı olarak alalım.

O halde M K₁K₂L olacak biçimde LM vardır.



1 2



1





2





1 2





N  N M  N K K L K  N K L K K  NL olduğundan N, (C3) koşulunu sağlar. O halde N, yarı süreklidir.

Önteorem 4.1.2. M bir modül ve (C3) koşulunu sağlaması için gerek ve yeter şart M

nin her K altmodülü, M nin K1 ve K2 dik toplananları için K K1K2 ise , her

: K M

  homomorfizması bir : MM homomorfizmasına genişletilebilir.

İspat: Eğer M modülü (C3) koşulunu sağlarsa, M nin M1M2 0 koşulunu

sağlayan M₁ ve M₂ dik toplananları için M₁M₂ , M de dik toplanandır.

1 2

K K K dersek, K₁ ve K₂ , M nin dik toplananları olduğundan K, M nin bir dik toplananıdır. O halde M K K olacak biçimde bir K M vardır. Eğer

: K M

  bir homomorfizma ise, : MM yi kK k, K olmak üzere



k k



 

k

    olarak tanımlarsak,  K  dir.

Tersine, farzedelim ki M nin her K alt modülü M nin K₁ ve K₂ dik toplananları için

1 2

K K K ise, her : K M homomorfizması bir : MM homomorfizmasına genişletilsin. N1 ve N2, M nin N1N2 0 koşulunu sağlayan