Hibrit Newton Raphson yöntemi ile güç sistemlerinde frekans kestirimi

T.C.

SAKARYA ÜNøVERSøTESø

FEN B øLøMLERø ENSTøTÜSÜ

HøBRøT NEWTON RAPHSON YÖNTEMø øLE GÜÇ SøSTEMLERøNDE FREKANS KESTøRøMø

DOKTORA TEZ ø

Bekir ÇENGELCø

Enstitü Anabilim Dalı : ELEKTRONøK BøLGøSAYAR EöøTøMø Tez Danıúmanı : Prof. Dr. Abdullah FERøKOöLU

Aralık 2011

ii

ÖNSÖZ

Tez çalıúmalarım süresince yardımlarını benden esirgemeyen danıúman hocam, Prof. Dr. Abdullah FERøKOöLU ve tezime yapmıú oldukları katkılarından dolayı Yrd. Doç. Dr. Fahri VATANSEVER, hocama, yetiúmemde eme÷i geçen Prof. Dr.

Hasan ÇøMEN hocama ve maddi manevi deste÷ini benden hiç esirgemeyen eúim Sibel’e teúekkür ederim.

LLL

øÇøNDEKøLER

ÖNSÖZ... ii

øÇøNDEKøLER ... iii

SøMGELER VE KISALTMALAR LøSTESø... vi

ùEKøLLER LøSTESø ... ix

TABLOLAR LøSTESø... xii

ÖZET... xiii

SUMMARY... xiv

BÖLÜM 1. GøRøù... 1

1.1.Enerji sistemlerinde güç kalitesi……….……… . 2

1.2. Temel kavramlar…….……….………. 5

1.3.Güç Sistemlerinde oluúan iúaretin tanımı………….………. 12

BÖLÜM 2. FREKANS KESTøRøMø……... …..….. 14

2.1. Giriú... 14

2.2. Frekans kestirim yöntemleri... 15

2.2.1. Fourier analizi………. 15

2.2.1.1. Ayrık Fourier Dönüúümü………. 19

2.2.1.2. Hızlı Fourier Dönüúümü ………..………. … 22

2.2.1.3. Dalga analizi ……….….. 24

2.2.1.4. Trigonometrik Fourier Serilerinde Simetri ……….… 30

2.2.1.5. Fourier serilerinin trigonometrik dalga formu………. 32

2.2.2. Matlab e÷ri uydurma araç kutusu ………...….. 34

2.2.3. E÷ri uydurma yöntemleri……… 41

LY

2.2.3.1. Do÷rusal yaklaúım………... 42

2.2.3.2. Parabolik yaklaúım………... 42

2.2.3.3. Güç serisi ile yaklaúım………. 43

2.2.4. Sıfır geçiú yöntemi………. 43

2.2.5. Newton Rapson Yöntemi………..………. 47

2.2.6. Prony Yöntemi………... 52

2.2.7. Faz Kilitlemeli Döngü(PLL)……….. 54

2.2.7.1. Kullanım alanları………... 55

2.2.7.2. PLL giriú çıkıú iúaretleri arasındaki ba÷ıntılar……... 56

2.2.7.3. Temel PLL denklemlerinin zaman tanım alanında çözümü ………..………. 58

2.2.7.4. Frekans domeninde ki PLL eúitli÷inin temel çözümü 60 2.2.7.5. Faz kilitlemeli çevrimin blok yapısı ve çalıúması…... 62

2.2.8. Hibrit frekans kestirim yöntemi……… …. 67

BÖLÜM 3. GERÇEKLEùTøRøLEN FREKANS KESTøRøM UYGULAMALARI……… 71

3.1. Uygulama 1………... 71

3.1.1. Uygulama 1 için Faz Kilitlemeli Döngü (PLL) ile temel frekansın belirlenmesi……….………….. 72

3.1.2. Uygulama 1 için e÷ri uydurma yöntemi ile frekans kestirimi……… 77

3.1.3. Uygulama 1 için sıfır geçiú yöntemi ile frekans kestirimi… 79 3.1.4. Uygulama1 için Newton-Rapson Yöntemi ile frekans kestirimi……… 82

3.1.5. Uygulama 1 için Prony Yöntemi ile frekans kestirimi……... 83

3.2. Uygulama 2……….. 85

3.2.1. Uygulama 2 için Faz Kilitlemeli Döngü (PLL) ile temel frekansın belirlenmesi………... 86

3.2.2. Uygulama 2 için e÷ri uydurma yöntemi ile frekans kestirimi……….…… 90

3.2.3. Uygulama 2 için sıfır geçiú yöntemi ile frekans kestirimi……….….. 92

Y

3.2.4. Uygulama 2 için Hibrit Newton Rapson Yöntemi ile

frekans kestirimi……….………... 93 3.2.5. Uygulama 2 için Prony Yöntemi ile frekans kestirimi…….. 95

3.3. Uygulama 3……….. 97

3.3.1. Uygulama 3 için Faz Kilitlemeli Döngü (PLL) ile temel

frekansın belirlenmesi……….. 97 3.3.2. Faz Kilitlemeli Döngü ile frekans kestirimi……….. 100 3.3.3. Uygulama 3 için e÷ri uydurma yöntemi ile frekans

kestirimi……….. 102 3.3.4. Uygulama 3 için sıfır geçiú yöntemi ile frekans kestirimi…. 104 3.3.5. Uygulama 3 için Hibrit Newton-Rapson Yöntemi ile

frekans kestirimi……….. 106

BÖLÜM 4.

SONUÇLAR ve ÖNERøLER……….... 108

KAYNAKLAR……….. 111

ÖZGEÇMøù……….……….. 118

vi

SøMGELER ve KISALTMALAR LøSTESø

AC : Alternatif Akım (Alternating Current)

DC : Do÷ru Akım

THD : Toplam Harmonik Bozulması (Total Harmonic Distortion) THDV : Gerilim için Toplam Harmonik Bozulması

THDI : Akım için Toplam Harmonik Bozulması THB : Toplam Harmonik Bozulması

FFT : Hızlı Fourier Dönüúümü (Fast Fourier Transform) DFT : Ayrık Fourier Dönüúümü

HFD : Hızlı fourier dönüúümü

IEEE : Institute of Electrical and Electronics Engineers DFT : Ayrık Fourier Dönüúümü (Discrete Fourier Transform) EMI : Elektro Manyetik Giriúim

LPM : Do÷rusal Tahmin Modeli NRM : Newton-Rapson Metodu

Hz : Hertz

PLL : Faz Kilitlemeli Döngü FSK :Frekans Kaymalı Anahtarlama

PD :Faz Dedektörü

VCO :Voltaj Kontrol Osilatörü k0 :Orantısal Sabit

K :PLL Kazancı

Mhz : Mega Hertz

Ghz : Giga Hertz

TV : Televizyon

Vm : Gerilimin Genli÷i Vn : Kayıt Edilen Veriler

vii S(Ȧ) : øúaretin Fourier Dönüúümü Cos ij : Güç Katsayısı

ω : Açısal Frekans

x 0 : øterasyon Baúlangıç Noktası x1 : 1.øterasyon Noktası

x2 : 2. øterasyon Noktası

ε : øki Nokta Arasındaki Hata Miktarı f s : Örnekleme Frekansı

Ts : Örnekleme Periyodu

T : Periyot

(0)

f1 : Uygulama için Üretilen øúaretin Temel Frekansı

(0)

f2 : Uygulama için Üretilen øúaretin 3.Harmonik Frekansı

(0)

f3 : Uygulama için Üretilen øúaretin 5.Harmonik Frekansı

(1)

f1 : E÷ri Uydurma Yöntemi ile Kestirilen Temel Harmonik Frekansı

(1)

f2 : E÷ri Uydurma Yöntemi ile Kestirilen 3. Harmonik Frekansı

( 2)

f1 : Sıfır Geçiú Yöntemi ile Kestirilen Temel Harmonik Frekansı

(3)

f1 : Newton-Rapson Yöntemi ile Kestirilen Temel Harmonik Frekansı

( 4)

f1 : Prony Yöntemi ile Kestirilen Temel Harmonik Frekansı

( 4)

f2 : Prony Yöntemi ile Kestirilen 3. Harmonik Frekansı Ai : .i Bileúenin Genli÷i,

σ

ϕ

p : Sönümlü Üstel Bileúenlerin Sayısı a 0 : DC bileúen

ix

ùEKøLLER LøSTESø

ùekil 1.1. a)T_ö aralıklarıyla örneklenecek sürekli zamanlı iúaret

b) Örneklenmiú iúaret……… 6

ùekil 2.1. a)Sürekli zamanlı sinüs, b)Sinüs’ün ayrık zamanlı karúılı÷ı……. 7 ùekil 1.3. Güç sistemlerinde rastlanan bozuk sinyal, temel harmonik ve 3.,

5. harmonik……… 10

ùekil 1.4. i=10*sin(2*pi*f*t+pi/4) gerilimine ait sinyal……… 12 ùekil 1.5. Güç sistemlerinde oluúan iúaret örne÷i………... 12

ùekil 2.1.

2

0

(sinmt)(cos )nt dt 0

π

³

ùekil 2.2.

2

0

2 3 (sin )(sin ) 0

m ve n mt nt dt in grafiksel ispatı

π

= =

³

ùekil 2.3.

2

0

2 3 (cos )(cos ) 0

m ve n mt nt dt ingrafiksel ispatı

π

= =

³

ùekil 2.4.

2

2 0

(sinmt dt)

π

π

³

ùekil 2.5.

2

2 0

(cosmt dt)

π

π

³

ùekil 2.6. Kare dalga üzerinde yarım dalga simetri testi……….. 31 ùekil 2.7. Yarım dalga simetri testi için temel, ikinci ve üçüncü harmonikler 32 ùekil 2.8. E÷ri uydurma ara yüz programı………. 35 ùekil 2.9. Verilerin pencereye alınması ve veri da÷ılımı……… 36 ùekil 2.10. Verilerin veri numarasına göre penceredeki yerleúimi………….. 37 ùekil 2.11. E÷ri Uydurma Modelinin belirlenmesi ve denklemin ifadesi…… 38 ùekil 2.12. Verilerin yerleúiminden elde edilen e÷ri……… 40 ùekil 2.13. Verilere y=mx b+ do÷rusu ile yaklaúım……….. 41 ùekil 2.14. Verilere y=ax²+bx c+ ile parabolik yaklaúım………... 42

x

ùekil 2.15. Sıfır geçiú yöntemi ile yakalanan veriler……… 44

ùekil 2.16. Sıfır geçiúte oluúan hata……….. 45

ùekil 2.17. Sıfır geçiú noktaları ve oluúan hatalar……… 45

ùekil 2.18. Sıfır geçiú yöntemi için yazılan programın akıú úeması…………. 46

ùekil 2.19. 1.iterasyon için x baúlangıç noktası ve ₀ x 1. iterasyon noktası... ₁ 48 ùekil 2.20. x₁ 1.iterasyon noktası baúlangıç noktası kabul edilerek x₂ 2. iterasyon noktası bulunur………... 49 ùekil 2.21. Newton-Raphson yöntemi için yazılan programın akıú úeması…. 51 ùekil 2.22. PLL temel geri bildirim a÷ı……… 56

ùekil 2.23. ∆w K/ oranına göre (10) numaralı eúitli÷in faz düzlemi……….. 58

ùekil 2.24. Bir PLL’in döngü çalıúması blok diyagramı……….. 63

ùekil 2.25. Referans frekansdaki de÷iúim ile PLL’ nin geçiú cevabı……….. 66

ùekil 2.26. Frekans kestiriminde kullanılan hibrit frekans kestirim yönteminin akıúúeması……….. 69

ùekil 3.1. Uygulama 1’de e÷ri uydurma programından elde edilen grafik ve veri da÷ılımı……….. 73 ùekil 3.2. øúarete ait tespit edilen sıfır geçiú noktaları……… 74

ùekil 3.3. Sıfır geçiú olarak tespit edilen 62. veri ve aradaki hata miktarı…. 75 ùekil 3.4. Sıfır geçiú olarak tespit edilen 125. veri ve aradaki hata miktarı... 75

ùekil 3.5. øúarete ait Verilerin Ayrık Sistemde Gösterimi……….. 76

ùekil 3.6. Uygulama 1 iúareti ve Prony yöntemi elde edilen frekanslar……. 76

ùekil 3.7. Uygulama 2’de e÷ri uydurma programından elde edilen grafik ve veri da÷ılımı………... 77

ùekil 3.8. øúarete ait tespit edilen sıfır geçiú noktaları……… 78

ùekil 3.9. Sıfır geçiú olarak tespit edilen 61. veri ve aradaki hata miktarı…. 80 ùekil 3.10. Sıfır geçiú olarak tespit edilen 124. veri ve aradaki hata miktarı... 80

ùekil 3.11. øúarete ait denklemin ayrık sistemde gösterimi……….. 81

ùekil 3.12. Giriú sinyali ve Prony yöntemi elde edilen frekanslar…………... 84

ùekil 3.13. Faz Kilitlemeli Döngü simülasyon úeması………. 87

ùekil 3.14. PLL giriú iúareti ölçü aleti çıkıúı……… 87

ùekil 3.15. Faz kenetlenmesi ölçü aleti çıkıúı………... 88

ùekil 3.16. Faz kenetlenmesi……… 88

xi

ùekil 3.17. PLL çıkıú iúareti………... 89

ùekil 3.18. Temel bileúen………. 89

ùekil 3.19. Temel harmonik ve PLL çıkıú iúareti………. 91

ùekil 3.20. Verilerin arayüz programına aktarılması……… 91

ùekil 3.21. 1.Sıfır geçiú noktası ve hata miktarı……….…. 93

ùekil 3.22. 2. Sıfır geçiú noktası ve hata miktarı……….. 93

xii

TABLOLAR L øSTESø

Tablo 3.1. Uygulama 1’den elde edilen frekans de÷erleri………... 85

Tablo 3.2 Uygulama 1’den elde edilen frekans de÷erlerinin

Karúılaútırılması……… 85

Tablo 3.3. Uygulama 2’den elde edilen frekans de÷erleri……….. 96

Tablo 3.4. Uygulama 2’den elde edilen frekans de÷erlerinin

karúılaútırılması………. 97

Tablo 3.5. Uygulama 3’den elde edilen frekans de÷erleri……….. 107

Tablo 3.6. Uygulama 3’den elde edilen frekans de÷erlerinin

karúılaútırılması……… 108

xiii

ÖZET

Anahtar Kelimeler: Frekans Kestirimi, Harmonik Frekansı, hibrit model ile Frekans Kestirimi, Faz Kilitlemeli Döngü (PLL) ile Frekans Kestirimi

Bu çalıúmada, bozulmaya u÷ramıú, güç sistemi sinyallerinin temel frekanslarını tahmini için bir hibrit model geliútirilmiútir. Bu modelin geliútirilmesinde E÷ri Uydurma Yöntemi ve Sıfır Geçiú Yöntemi, Newton-Raphson yöntemi ile birlikte kullanılmıútır. Hibrit Newton-Raphson yöntemi ilk olarak sıfır geçiú yönteminden, sıfır geçiú noktalarını ve e÷ri uydurma yönteminden, e÷rinin fonksiyonunu alarak frekans tahmini yapmaktadır. Bu yeni oluúturulan model ile güç sistemlerinde oluúan bozulmaya u÷ramıú sinyallerin verilerini bilgisayar ortamında analizini yapmak hedeflenmiútir. Yeni geliútirilmiú olan bu modelin sonuçları sıfır geçiú ve e÷ri uydurma yöntemi ile karúılaútırıldı÷ında önemli ölçüde iyileútirmelerin gerçekleúti÷i görülmüútür.

Ayrıca úebekelerde rastlanan ve üstsel ifadeler ile ifade edilen iúaretlerin frekans kestirimi yapılmıútır. Üstsel ifadeler ile gösterilen iúaretlerin frekansının kestiriminde Prony yöntemi kullanılmıútır. Son olarak Faz kilitlemeli devresi ile verilerin direk analizi yapılmıú ve iúarete ait frekans kestirimi yapılmıútır. Bu uygulamalara ait frekans kestirim sonuçlarının tatmin edici düzeyde oldu÷u uygulamalar sonucunda gözlemlenmiútir.

xiv

POWER SYSTEM FREQUENCY ESTIMATION WITH HYBRIT NEWTON-RAPHSON METHOD

SUMMARY

Key words: Frequency Estimation, PLL with Harmonics Frequency, Harmonic Frequency, Frequency Estimate with Hybrid Model.

In this study, a new hybrid model is developed for estimation of fundamental and harmonic frequencies in distorted power system signals. The designed model utilizes primarily the Newton-Raphson method, but in combination with zero crossing and curve fitting techniques. The model takes the starting point for iterations from the zero crossing and make use of the signal function from the curve fitting. The new model is tested for a distorted signal commonly encountered in power systems in simulation environment on computer.

The results, which are provided in detail in the body of the text, show significant improvements in the accuracy of estimated frequencies when compared with both zero crossing and curve fitting methods if applied by themselves.

Also, found in networks and frequency estimation of signals were expressed by exponential expressions. Prony method was used to estimate the frequency of signals indicated by the exponential expressions. Finally, the PLL by performing , a direct analysis of the data was made and the mark of the frequency estimation. Satisfactory estimation results of the frequency of these applications has been observed as a result of the applications.

BÖLÜM 1. GøRøù

Geliúen teknoloji ile birlikte günlük yaúamda kullanılan elektrikli cihazların çeúitlili÷inde artmalar olmuútur. Eskiden çok az sayıda elektronik cihaz hayatımızda yer edinirken, günümüzde bu cihazlara ba÷lılı÷ımız çok ileri düzeydedir. Elektrik enerjisi ile çalıúan cihazlar hayatımızı kolaylaútırdı÷ı gibi yaúam kalitemizi de artırmaktadır. Kullandı÷ımız bu cihazların daha uzun süreli ve yüksek verimlilikle kullanılabilmesi için, tükettikleri enerjinin kalitesinin önemi çok büyüktür. Enerji üretim sistemleri içindeki üretecin çıkıúlarındaki sinyalin dalga úekli düzgün yani saf sinüs dalgası úeklinde olmasına ra÷men, enerjinin iletimi ve tüketimi aúamalarında sinüs dalgasının bozuldu÷u görülmektedir. Bu bozulmanın sonucunda tüketicilerin kullanmıú oldukları cihazların verimleri ve kullanım ömürlerinde azalma meydana gelmektedir. Enerji üreten ve da÷ıtan úirketlerin amacı tüketiciye kaliteli enerji sunabilmektir. Tüketicinin talebi de kaliteli bir enerji olmaktadır.

Enerjinin kalitesini belirleyen faktörler frekans, akım ve gerilimin genli÷indeki de÷iúimlerdir. Akım ve gerilimdeki bu bozulmalar uluslararası standartlara uygun olmalıdır. Tüketiciye ulaútırılan enerji, kesintisiz; gerilim ve akımın dalga úekli sinüs dalgası úeklinde olmalıdır. Aynı zamanda gerilim ve akımın genli÷i ve frekansı standartlara uygun olmalıdır.

Sistemden enerji çeken birçok alıcı bozucu etkilerden olumsuz olarak etkilenmekte ve hassas çalıúan cihazların hassasiyetleri bozulmakta ve verimleri düúmektedir.

Tüketiciler bu olumsuzluklardan etkilenmemek için úebekeden çektikleri akım veya gerilimin saf sinüs dalgası úeklinde olmasını beklenmektedirler. Bu nedenle güç kalitesini artıracak çalıúmaların yapılması gerekmektedir.

Frekans kestirimi için saydı÷ımız bu gereksinimlere dayanarak tezimiz úu içerik ve bölümler halinde oluúturulmuútur.



Tezin 1. bölümünde güç kalitesinin önemi ve temel kavramlardan bahsedilmiútir.

Güç sistemlerinde oluúan iúaret ve bu iúaretin analizinde kullanılan yöntemler ve bu yöntemlere ait matematiksel modeller sunulmuútur.

Tezin 2. bölümünde ise frekans kestirim yöntemi olarak sunulan E÷ri uydurma yöntemi, Sıfır Geçiú Yöntemi için gerekli olan teorik altyapı bilgileri sunulmuútur.

E÷ri uydurma yöntemi için Matlab programı kullanılması tasarlanmıú ve Matlab arayüz programının tanıtımı yapılmıútır. Sıfır geçiú yöntemi için gerekli olan Matlab programının algoritmasını oluúturan akıú úemaları sunulmuútur. Geliútirilmiú olan programın verileri yakalama yöntemi ve yöntemin uygulaması sırasında oluúan hata miktarları belirlenerek gösterilmiútir. Bu iki yöntemle Newton-Raphson yöntemi birleútirilerek Hybrit Newton-Raphson yöntemi adı verdi÷imiz yeni bir yöntemin veri iúleyiúindeki takip etti÷i algoritmalar tanıtılmıútır.

Tezin 3. bölümünde frekans kestirim yöntemi olarak Faz kenetlemeli döngü, sıfır geçiú yöntemi ve Newton-Raphson yöntemi birlikte kullanılarak hibrit bir yapı oluúturulmuú ve frekans kestirimi yapılmıútır.

1.1. Enerji sistemlerinde güç kalitesi

Elektrik enerjisi insan hayatına yaptı÷ı birçok katkıdan dolayı en çok kullanılan enerji çeúidi haline gelmiútir. Elektrik enerjisine olan talep gün geçtikçe artma göstermektedir. Elektrik tüketiminde ki talebin artması tüketilen güçte kaliteyi gündeme getirmiútir. Gün geçtikçe elektrik enerjisinin kalitesi tüketiciler için daha önemli hale gelmektedir. Günlük yaúamımızda kullandı÷ımız enerjinin kalitesi birçok cihazın çalıúmasını etkilemektedir [1]. Bu durum elektrik mühendisli÷i alanın da güç kalitesi konusunu gündeme getirmiútir.

Elektrik güç sistemlerinde enerji kalitesi tanımı, úebekenin gerilim ve frekansındaki de÷iúmeler ile úebekeden çekilen akımdaki dalga úekli bozukluklarının belirtilmesi amacıyla kullanılır. Elektrikli cihazların birço÷u úebekedeki gerilim ve frekans de÷iúmelerine karúı hassas de÷ildir. Bununla birlikte, son yıllarda yaygın olarak



kullanılmaya baúlayan elektronik devreler tarafından kontrol edilen cihazlar enerji kalitesine karúı son derece duyarlıdır.

Bu kontrol devrelerinden bazıları, alternatif akım ve do÷ru akım motor sürücüleri ve anahtarlamalı modda çalıúan güç kaynakları gibi enerji dönüútürmede kullanılan devreler ile yardımcı kontrol devreleri olarak kullanılan bilgisayarlar ile programlanabilir lojik denetleyicilerdir (PLC). Bu úekildeki karmaúık devreler úebekenin bozucu etkilerinden önemli ölçüde etkilenmektedirler [2].

Güç kalitesini artırma çalıúmaları genel olarak, úebekede yüklerin ba÷lı oldu÷u noktalardaki akım ve gerilimlerin genlik ve frekans de÷erlerinin standartlarda tanımlanan sınır de÷erlerine uyması akım ve gerilimin dalga úeklinin sinüs biçiminde olması úeklinde tanımlanmaktadır. Tüketiciye ulaútırılan enerji kesintisiz, akım ve gerilimin dalga úekli sinüs dalgası úeklinde olmalı, aynı zamanda akım ve gerilim genli÷i ile frekansı standartlara uygun olmalıdır.

Gerilimin dalga úeklinin bozulması úebekeye ba÷lanan yüklerin etkisiyle gerçekleúmektedir. ùebekeye ba÷lı olan do÷rusal yükler endüksiyon motorları, aydınlatma lambaları, rezistif türdeki alıcılar úebeke enerjisinin sinüs dalgası biçiminde bir de÷iúiklik oluúturmazlar. Ancak son yıllarda yarı iletken elemanların ve büyük güçlü do÷rusal olmayan elemanların kullanımının yaygınlaúmasından dolayı harmonik bileúenlerinin sayısında ve büyüklüklerinde artmalar meydana gelmiútir [4,5]. Gerilimdeki dalgalanmalara ait standart IEEE Standard P1159, IEEE Recommended Practice for Monitoring Power Quality, de sunulmuútur. Bu standartta uygun olan salınımlar dan, birçok elektronik cihaz etkilenmemektedir [6].

Harmonik bozulması, enerji sistemlerinde ve bu sistemlere ba÷lanan elemanlar üzerinde olumsuz etkiler oluúturmaktadır. Harmonikler motorlar, üreteçler, kondansatörler, transformatörler ve enerji iletim hatlarında ilave kayıplara neden olmaktadır.



Son kullanıcıya ulaútırılan gerilimin genli÷i ve frekans de÷erinin kontrolü ço÷unlukla üreticiler tarafından sa÷lanmasına ra÷men, gerilim dalga seklindeki bozukluklar úebekeye ba÷lanan yüklerin sonucunda oluúmaktadır. ùebekeye ba÷lı do÷rusal yükler olan endüksiyon motorları, aydınlatma lambaları ya da rezistif türdeki ısıtıcılar úebekeden sinüs dalga seklinde akım çekmektedirler. Ancak günümüzde De÷iúken Hızlı Motor Sürücüleri, UPS sistemleri, do÷rultucular, bilgisayarlar, ark ocakları gibi do÷rusal olmayan yüklerin yaygınlaúmasıyla birlikte çekilen akımların dalga úekli saf 50Hz sinüs olmamakta ve harmonikler içermektedir. Bu durum ise gerilim dalga úeklini de bozmakta ve úebekeyi olumsuz yönde etkilemektedir [7].

Genel olarak gözlemlenen güç kalitesi problemleri

Kesinti (outage): En az yarım dalga boyu süresince gerilimin sıfır de÷erini alması.

Örne÷in, 50 Hz. frekanslı Türkiye da÷ıtım úebekesi için bir periyot 20 ms. oldu÷una göre 10 ms. den büyük kesintiler bu kapsama girmekte.

Gerilim darbesi: Genlikleri 50 V. ile 5 KV. arasında de÷iúen ve 0,5 ms. ile 20 ms.

süreli gerilim darbeleridir Bu tür darbeler genelde yük ve úebeke açma/kapama, kontaklar arası arklar ve yıldırım kaynaklıdır.

Çentik: ùebeke geriliminin bir tam sinüs dalgasında (20 ms. süresince) do÷rultucu darbe sayısı kadar tekrarlanan çökmelere verilen ad. Genelde do÷rultucuları besleyen trafo ve hat endüktanslarının anahtar aktarımını geciktirmesiyle oluúur.

Gerilim düúmesi: Gerilimin bir tam dalgadan (20 ms. den) daha uzun sürelerde de÷erinde % 80 ‘den daha büyük düúmeler. ùebeke yetersiz kaldı÷ında, aúırı yüklenmede ve kısa devrelerde görülmektedir.

Gerilim yükselmesi: Gerilimin bir tam dalgadan (20 ms.’ den) daha uzun sürelerde de÷erinde % 110’dan daha büyük de÷erlere çıkması. ùebekede yük azalması ve ayar zayıflıkları neden olmaktadır.



Frekans de÷iúimi: ùebeke frekansının anma de÷erinden sapmasıdır. ùebeke ve üreteçlerde ayar düzensizliklerinden kaynaklanmaktadır.

Kırpıúma: Gerilimin periyodik olarak 6-7 tam dalga (8-9 Hz.) süresince azalması ya da artması. Nedeni ark fırını gibi dalgalı aúırı yüklerdir. ønsan gözü 8.2 Hz.

frekansına duyarlı ve bu frekanslardaki iúaretlerden (kırpıúmadan) rahatsız olmaktadır.

DC Gerilim bileúeni: AC gerilimin pozitif yarım dalga ve negatif yarım dalga alanlarının birbirine eúit olmamasıdır.

Elektromanyetik giriúim: Genli÷i 100 ȝv. ile 100 v. frekansı ise 10 KHz. ile 1 GHz.

arasında olan düúük enerjili bozucu dalgalar úeklinde sıralamak mümkündür [8-10].

Yukarıda sayılan güç kalitesi problemleri genel olarak úebekeler de sıklıkla rastlanan problemlerdir.

1.2. Temel kavramlar

øúaret tanımı

øúaret, bir fiziksel olayda mevcut olan ba÷ımsız de÷iúkenler ile bunların arasındaki iliúkinin matematiksel olarak biçimlendirilmiú úeklidir. Bir elektrik devresindeki bir elemanın uçlarındaki gerilimin úiddetinin zamana göre de÷iúimi, bir sesin úiddetinin zamana göre de÷iúimi, ortamda bulunan bir noktanın sıcaklı÷ının zamana göre de÷iúimi, akımın ve gerilimin zamana göre de÷iúimi iúaret örnekleri olarak verilebilir.

øúaret türleri

øúaretler aúa÷ıdaki gibi de÷iúik türlere ayrılabilir:

1. Sürekli (analog) iúaretler, ayrık iúaretler,



2. Periyodik iúaretler, periyodik olmayan iúaretler,

Sürekli iúaretler – Ayrık iúaretler

Süreklilik ve ayrıklık kavramları; zamanda süreklilik, konumda süreklilik gibi geniú anlamda anlaúılmalıdır. Elektriksel sistemlerde süreklilik kavramı daha çok zamanda süreklilik ya da zamanda ayrıklık anlamında kullanılır.

t ...

f (t )

− T_ö 0 T_ö 2T_ö 3T_ö 4T_ö 5T_ö

ùekil 1.1. a)T_ö aralıklarıyla örneklenecek sürekli zamanlı iúaret b) Örneklenmiú iúaret.

Sürekli zamanlı iúaretin dalga úekli zamanda sürekli olarak de÷iúir. Bir baúka deyiúle bu tür iúaretler her t anı için tanımlıdır. Bu tür iúaretler f(t), g(t), x(t) ve y(t), gibi nütasyonlarla gösterilir. ùekil 1.1 a) da böyle bir iúaret gösterilmektedir. ùekil 1.1 b) de ise ayrık zamanlı bir iúaretin úekli gösterilmektedir. ùekilden görülece÷i üzere, bu tür iúaretler, T_ö örnekleme periyodu ve n = …, -2, -1, 0, 1, 2,… úeklinde tamsayılar olmak üzere belirli t=nT_ö anlarında tanımlıdır. Bu tür iúaretler f(nT ), _ö g(nT )_ö , x(nT )ö ve y(nT )_ö gibi nütasyonlarla ya da daha sade bir úekilde f [n], g[n] , x[n] ve y[n] gibi nütasyonlarla gösterilmektedir.

Bu iúaretler sürekli iúaretlerden örneklemeyle elde edilebilecekleri gibi, do÷rudan fiziksel olarak ayrık yapıda da olabilirler. Ayrık iúaret, sürekli iúaretten örnekleme iúlemiyle elde edilmesi halinde örneklenmiú iúaretten tekrar sürekli iúaretin yaklaúık olarak elde edilebilmesi için bazı temel úartların sa÷lanmıú olması zorunludur.



Periyodik iúaretler, periyodik olmayan iúaretler

Periyodik davranıú gösteren birçok iúaret, sistem testi ve incelenmesi amacıyla sıkça kullanılırlar. Örne÷in sinüzoidal iúaretler bir sistemin frekans tepkesinin belirlenmesinde, dikdörtgen biçimli periyodik vuruú iúaretleri radarlarda, testere diúi iúaretler ise osiloskoplar da tetikleme amacıyla kullanılır.

Herhangi bir f(t) iúareti, T iúaret periyodu olmak üzere f(t)=f(t+T) úartını sa÷lıyorsa bu iúaret periyodik iúaret olarak adlandırılır. Bu tanıma göre periyodik bir iúaretin aldı÷ı de÷erler zamana ba÷lı olarak T zaman aralıklarıyla tekrarlanır. Ayrık periyodik iúaretler ise, N iúaretin periyodunu temsil eden pozitif bir tamsayı olmak üzere, f[n]=f[n+N]úartını sa÷lar. ùekil 1.2’ de periyodik test iúaretlerine örnekler gösterilmiútir.

T 2T

t

...

0 f (t )

ùekil 1.2. a) Sürekli zamanlı sinüs, b)Sinüs’ün ayrık zamanlı karúılı÷ı.

ùekil 1.2’de verilen matematiksel özelli÷i taúımayan iúaretler ise periyodik olmayan iúaretler olarak adlandırılır. Pek çok biyolojik ve fiziksel iúaret periyodik olmayan bir yapıya sahiptir. Örnek olarak EKG ve ses iúareti verilebilir. Periyodik olmayan iúaretlerin dalga úekli uygun bir gözleme aralı÷ında tekrar etmez ve gözleme aralı÷ı yeterince büyük olsa bile bazen bu aralık tüm iúareti incelemek için yeterli olmayabilir.

Harmonik

Elektrik úebekesinde lineer bir yük için sistemde kullanılan gerilim ve oluúan akımın dalga úekli sinüs úeklindedir. Günümüzde kullanılan makinelerdeki sistemlerin (hız



kontrol cihazları, kesintisiz güç kaynakları… vb.) yük karakteristi÷i lineer de÷ildir.

Bu sebeple sistemin kullandı÷ı akım ve gerilim úekli bozulmaktadır. Örne÷in birçok sanayi tesisinde kontrol sistemlerinde avantajları sebebiyle elektrik motorları motor sürücüler tarafından kontrol edilmektedir ve bu elektronik devre elemanları lineer çalıúmayan devre elemanlarıdır.

øúte bu lineer olmayan sistemdeki akım veya gerilim dalga úekli ele alındı÷ında;

Fourier teoremi gere÷i herhangi bir periyodik dalga úeklini temel bileúen frekansındaki bileúen ve temel bileúeninin katlarındaki frekanslardaki bileúenlerin toplamı olarak göstermek mümkündür. Bu sebeple bu bozuk dalga úekli farklı açısal frekanslardaki bileúenler olarak ifade edilebilir. Bu sebeple 50 Hz frekansındaki bir temel bileúen ve 50 Hz’in katları frekanslardaki çeúitli bileúenlerin toplamı olarak gösterebiliriz. Ana bileúen 50 Hz., 2. harmonik 100 Hz., 3. harmonik 150 Hz., 4.harmonik 200 Hz., 5. harmonik 250 Hz … Ana dalga úekli 1.,3.,5… harmonik dalga úekillerinin toplamıdır. Harmonik kaynakların etkisiyle dalga úekli de÷iúmektedir. Böyle bir sistemde harmonik ölçümü yapılarak, iúaret frekans domeninde incelenir ve baskın olan harmoniklere göre önlem alınır. Böylece toplam harmonik bozunum oranı düúülerek harmoniklerin sebep oldu÷u olumsuz durumlar önlenebilir.

Elektrik úebekelerindeki dalga úekillerinin simetri özelliklerinden dolayı, çift katsayılı harmonik (2., 4., 6. harmonik) bileúenler ile karúılaúılmaz. Tüketiciler úebekeden sa÷lanan akım veya gerilimin dalga seklinin 50 Hz. temel bileúenli saf sinüs olmasını istenmelerine ra÷men, lineer olmayan yüklerin úebekeye ba÷lanmasıyla 50 Hz temel bileúenle birlikte 50 Hz’in tam katları olan 2x50 Hz.

=100 Hz. (2. Harmonik bilesen), 3x50 Hz. =150 Hz. (3. Harmonik bilesen), 4x50 Hz.

= 200 Hz. (4. harmonik bilesen) gibi nx50 Hz. n = 1,2,3,..n úeklinde harmonikli sinyaller görülmektedir. Böylece saf sinüs dalgasının úekli sinüs yapısından uzaklaúmaktadır. ùebekedeki akım ve gerilimlerin ne kadar harmonik içerdi÷i Toplam Harmonik Bozulmasının (THB) yüzdesi ile tanımlanmaktadır.

IEEE 519–1992 standardı akım ve gerilime ait THD de÷erleri için sınırları önermektedir.



Toplam harmonik bozulması standartları akım ve gerilim için sırasıyla úu úekildedir.

2 2

1 n n V

V

THD V

∞

= =

¦

ve

2 2 1

n n I

I

THD I

∞

= =

¦

(1.1)

Formül 1.1’de ifade edildi÷i gibi THD bileúenlerin efektif de÷erlerinin temel bileúenin efektif de÷erine oranıdır ve yüzde olarak ifade edilir.

Harmonik üreten baúlıca yükler

1. Frekans dönüútürücüleri

2. Kesintisiz güç kaynakları (UPS’ler) 3. Ark ocakları

4. Bilgisayarlar ve ofis cihazları 5. Deúarj lambaları

6. Otomatik kontrol sistemleri 7. Redresörler

8. Elektrikli ulaúım sistemleri 9. Kaynak makineleri

10. Transformatörler

11. Motor sürücüler (Hız kontrol cihazları) 12. Elektronik balastlar

Bu baúlıca harmonik üreten elemanların oluúturdu÷u dalga úekilleri ùekil 1.3’ te gösterilmiútir.



ùekil 1.3. Güç sistemlerinde rastlanan Bozuk Sinyal, Temel Harmonik ve 3., 5. Harmonik .

ùekil 1.3’te 50 Hz.lik temel harmonik bileúeni, 3. ve 5. harmonik bileúen ve birçok harmonik içeren bozuk bir sinyal ile gösterilmiútir. Bozuk sinyal temel harmonik ve 3., 5. harmonikle birlikte daha birçok harmonik içermektedir. Bu durum harmonik üreten cihazlarda sıklıkla karúılaúılan bir durumdur.

Harmoniklerin oluúturdu÷u zararlar

Akım ve gerilim harmoniklerinin güç sistemi içindeki etkilerini dört ana grupta toplamak mümkündür.

1. Paralel ve seri rezonans dolayısı ile harmonik seviyelerinin yükselmesi

2. Elektrik üretim, iletim ve tüketiminde verimin azalması

3. Elektrik tesislerinde yalıtımı zayıflattı÷ı için tesis elemanlarının ömürleri azalması

4. Tesislerde arızalar meydana gelmesi

0 20 40 60 80 100 120 140

-150 -100 -50 0 50 100 150

Zaman Genlik

Bozuk sinyal 1.Harmonik 3.Harmonik 5.Harmonik



Tüketici cihazlarında harmonik etkileri

1. Harmonikler tv. alıcılarında tepe gerilim de÷erine etki ederek görüntü kalitesini etkilemektedir.

2. Floresan ve civa arklı lambalarda rezonans tan dolayı aúırı ısınmalar meydana getirir.

3. Bilgisayarların belirli bir harmonik distorsiyonun da çalıúmaları gerekir.

4. Tristörlerin tetikleme zamanlarını etkileyerek zamanından önce veya sonra tetiklemelerine sebep olmaktadır.

5. Bu sayılan problemler baralar vasıtası ile di÷er alıcılara ulaúabilir.

6. Mikro iúlemcilerin besleme devrelerine girerek, programların yanlıú iúletilmesine neden olabilir.

7. Güç ölçen cihazlar saf sinüs dalgasına göre kalibre edildikleri için, yanlıú ölçüm yapmalarına neden olabilirler.



1.3. Güç Sistemlerinde oluúan iúaretin tanımı

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-10 -5 0 5 10

Zaman

Genlik

L  VLQ SL  WSL

Sıfır Geçiúler

Aúım noktaları

Tepeden Tepeye=2*A

Periyot f=2*pi/w=1/p A sin(Q)

ùekil 1.4. i=10*sin(2*pi*f*t+pi/4) gerilimine ait sinyal.

ùekil 1.4’te güç sistemlerinde karúılaúılan bir iúarete ait de÷iúim grafi÷i verilmiútir.

ùekil 1.4’deki iúaret i=10*sin(2*pi*f*t+pi/4) denkleminden elde edilmiútir. øúaretin ifadesini oluúturan matematiksel model iúarete ait genlik, frekans ve faz de÷erlerini içermektedir. Güç sistemlerinde genel iúaret modeli aúa÷ıdaki yapıdadır.

ùekil 1.5. Güç sistemlerinde oluúan iúaret örne÷i.



ùekil 1.5‘deki iúaretin matematiksel olarak modeli ve parametreleri aúa÷ıdaki gibidir.

( ) _m ( )

v t =V Cosωt+ϕ (1.2)

V_m Genlik

2 f Açısal frekans

ω= π (1.3)

1 frekans

f =T (1.4)

1 periyod

T = f (1.5)

faz açısıϕ

Güç sistemlerinde iúaretler ya akıma ait ya da gerilime aittir. øúaretin genlik de÷eri yatay eksen ile iúaretin maksimum noktası arasındaki büyüklüktür. Frekans de÷eri 2*π ’nin katları úeklinde oluúmaktadır. Faz de÷eri ise iúaretin sıfır noktasından mı yoksa bu noktanın ilerisinden veya gerisinden mi geçti÷ini ifade etmektedir. Faz de÷eri sıfır olan iúaret sıfır noktasından, pozitif olan iúaret yatay eksenin üzerinden, negatif olan iúaret ise yatay eksenin altında ki bir de÷erden geçmektedir [9].

BÖLÜM 2. FREKANS KESTøRøMø

2.1. Giriú

Frekans kestirimi elektrik enerjisinin iletiminin ve tüketiminin yapıldı÷ı sistemlerde büyük önem arz etmektedir. Enerji üretim sistemlerinde alternatörlerin paralel çalıúma úartlarında biri olan frekans eúitli÷i, paralel ba÷lama úartı olarak takip edilme zorunlulu÷u olan bir parametredir. Ayrıca enerji iletim ve da÷ıtımında güç kalitesini belirleyen parametrelerden birisi de harmonikler ve bu harmoniklerin frekanslarıdır.

Güç sistemlerinde meydana gelen istenmeyen harmoniklerin yok edilme iúleminde ve kompanzasyon uygulamalarında harmoniklerin ve frekanslarının tespit edilmesi önemli hale gelmiútir. Frekans tahmininde meydana gelen kararsızlıklar ve bu kararsızlıkların yok edilmesi gibi konularda çalıúmalar uzun yıllar önce araútırılmaya baúlanmıútır [10]. 1962 yılında iúarete ait genlik ve zaman tahminlerinde iyileútirilme çalıúmaları yapılmıútır [11].

Frekans kestirimi; bir sinyale ait parametrelerden sinyale ait frekansın ölçülmesi iúlemidir[12]. Yaygın olarak kullanılan frekans kestirim yöntemlerinden sıfır geçiú tekni÷i kullanarak frekans kestirimi gerçekleútirilmiútir [13-15].

Newton yöntemini kullanarak frekans kestirimi ve iúarete ait parametre hesaplamaları yapılmıútır [16-18]. Taylor yöntemi kullanılarak iúaretin zaman veri analizi gerçekleútirilmiútir [19,20]. Fourier dönüúümü kullanılarak frekans analizi çalıúmaları yapılmıútır [21-23]. Dalgacık dönüúümü kullanılarak frekans kestirimi yapılmıútır [24-26]. Prony yöntemi kullanılarak iúarete ait frekans, faz, sönüm katsayılarının hesaplamaları gerçekleútirilmiútir [27,28]. Frekans kestiriminde çalıúılan sinyaller, sinüsoidal ve sinüsoidal olmayan sinyaller olmak üzere ikiye ayrılmaktadır. Bu sinyaller sayısal analiz yöntemleri kullanılarak parametrelerine ayrılabilmektedir.

Frekans kestiriminde birçok sayısal analiz yöntemi kullanılmıútır. Yöntemlerin



uygulamasında kullanılan algoritmaların karmaúıklı÷ı devamlı olarak frekans kestirimi yöntemleri üzerinde arayıúlara neden olmuútur [31-32].

Frekans iki sıfır geçiú noktası arasındaki zaman aralı÷ından hesaplanabilir. Ancak kullanılan zaman sayaçlarının performansı yüksek çözünürlükte olmadıklarından veya örnekleme frekansının düúük olmasından dolayı her zaman iyi de÷ildir [33].

Sıfır geçiú yöntemlerinden biride iúareti sinüs ve kosinüs bileúenlerine ayırdıktan sonra sıfır geçiú uygulamaktır [34].

øki sinyalin karakteristik noktaları arasındaki, zaman aralı÷ının ölçülerek faz kayması sıfır geçiú yöntemi ile hesaplanmıútır [35]. Bazı zaman alan uygulama algoritmaları vardır. Bunlar faz yöntemi, veri bulma yöntemi, sıfır geçiú yöntemi gibi [36,37].

Birçok uygulama da karmaúık iúlemler yerine, veri saymak daha kolay bir yöntemdir [38]. Newton-Raphson Yöntemi (NRM) verilere yüksek yakınsama hızı ve çeúitli de÷iúkenler do÷rusal olmayan fonksiyonlar çözme yetene÷i sayesinde çok popülerlik kazanmıútır [39].

Newton-Raphson yöntemi ile karmaúık üstel sinyal parametrelerinin analizi baúarıyla sa÷lanmıútır. Newton-Raphson iterasyon yöntemi ile hat úeklindeki bir iúarete yaklaúım çok küçük hata ile sa÷lanabilmektedir [40,41].

Yöntemlerin uygulamasında kullanılan algoritmaların karmaúıklı÷ı devamlı olarak frekans kestirimi yöntemleri üzerinde arayıúlara neden olmuútur. Bu yapılan frekans kestirim yöntemleri arasındaki sayısal iúlem olarak en sade olanı ve en az hata ile frekans kestirimi yapan yöntem baúarılı yöntem olarak tespit edilmiútir [42,43].

2.2. Frekans kestirim yöntemleri 2.2.1. Fourier analizi

Fransız matematikçi Fourier kendini belirli aralıklarla tekrar eden bir dalga úekli olan dönemli (periyodik) dalga úeklinin tanımı yapmıú ve harmoniklere sahip sinüsoidin, yani tüm frekansları temel frekansının (ilk harmonik) katları olarak bulunabilen, bir



serisi olarak açıklamıútır. Örne÷in, 1 MHz., 2 MHz., 3 MHz. ve devamı úeklinde bir sinüsoid serisinin 1 MHz. Temel frekansı, 2 MHz. økinci harmoni÷i ve devamı úeklinde frekansları içerir.

Zamanla de÷iúen iúaretler enerjilerini belirli frekanslarda taúırlar. Fourier analizi, ele alınan iúaretin frekans davranıúını irdeler. Frekans analizinde temel ba÷ıntı

Zaman × Band geniúli÷i = Sabit úeklindedir.

1. Zamanda sonsuz süreli iúaretin (sin Ȧt) enerjisi tek frekansta yo÷unlaúır.

2. Zamanda anlık iúaretlerin (dürtü ya da kısa darbe) enerjisi hemen tüm frekans eksenine yayılır.

3. Darbe úeklindeki iúaretler geniú bantlıdır ve darbe süresi kısaldıkça frekans bandı geniúler.

4. Darbesel bir iúaret sonsuz sayıda sinüs iúaretinin toplamından oluúmaktadır.

Fourier dönüúümü matematiksel olarak

1

( ) ( )

2

S ω s t e j t^ωdt π

∞

−

−∞

=

³

( ) 1 ( )

2

S t sω e j t^ωdω π

∞

−

−∞

=

³

úeklinde tanımlanır. Burada s(t) haberi taúıyan iúareti, w=2ʌf açısal frekansı, S(Ȧ) ise iúaretin Fourier dönüúümünü gösterir. Matematiksel olarak tanımlanan ve frekans analizinde kullanılan bu dönüúüm incelendi÷inde úu noktaların altını çizmek gerekir.

1. Fourier dönüúümü sürekli zaman iúaretleri için tanımlanmıútır.



2. Bir iúaretin frekans analizini yapabilmek için tüm zamanlarda gözlenmesi (sonsuz gözlem süresi) gerekir.

3. Bu koúullar altında verilen bir S(t) iúaretinin bütün frekans davranıúı, Fourier dönüúümü ile bire bir belirlenir.

4. Matematiksel olarak istenen her frekansta ve frekans sıklı÷ında çözüm elde edilebilir.

Fourier analizi, zaman iúaretlerinin enerji iúareti (zamanda sınırlı, örne÷in Gauss darbesi) ya da güç iúareti (zamanda sınırsız, örne÷in sinüs iúareti) olmasına, zamanda periyodik olup olmamasına göre de÷iúik úekillerde yapılır. Fourier dönüúümü, Periyodik iúaretlerde Fourier serilerine dönüúür.

Sonlu bir T₁≤ ≤t T₂ aralı÷ında bir v(t) fonksiyonu,

0

1 2 1 2 1

2 2

( ) cos sin

2 n ^{n n}

A nt nt

v t A B

T T T T

π π

∞

=

§ · § ·

= + ¨ ¸+ ¨ ¸

− −

© ¹ © ¹

¦

úeklinde Fourier serisine açılabilir. Burada An ve Bn Fourier katsayılarıdır ve

2

1

0

2 1

2 ( )

T

T

A f t dt

T T

= − ³

2

2 1 1 2 1

2 2

( ) cos

T

n

T

A v t nt dt

T T T T

§ π ·

= ¨ ¸

− ³ © − ¹

2

2 1 1 2 1

2 2

( )sin

T

n

T

B v t nt dt

T T T T

§

π

= ¨ ¸

−

³



denklemlerinden hesaplanabilir. Fourier seri açılımı sadece belirtilen aralıkta verilen fonksiyonu temsil etmektedir. Bu aralı÷ın dıúında fonksiyon tanımlanmamıú olabilece÷i gibi herhangi bir de÷iúime de sahip olabilir. Oysa Fourier seri açılımı bu aralık dıúında periyodik olarak tekrarlanmaktadır. Elektrik enerjisi sa÷layan úebeke gerilimi 20 ms. Aralıklar ile periyodik olarak tekrarlandı÷ına göre Fourier serisi açılımının tüm periyotlarda iúareti temsil edece÷i görülmektedir.

Fakat bilimsel ve teknolojik uygulamalarda elde edilen ölçüm de÷erleri bir fonksiyon de÷il, belirli bir eleman sayısı olan sayısal bir dizidir. Dolayısı ile bu tür sayısal verilerin dönüúümlerinin de sayısal olarak yapılması gerekir. Sayısal Fourier dönüúümü (Discrete Fourier Transform, DFT) analitik dönüúümlerin tüm özelliklerini sa÷lar. E÷er bir ölçüme iliúkin N adet data de÷eri mevcut ise (örne÷in bir elektriksel iúaretin çeúitli zamanlarda ki de÷iúimi ölçülmüú ise k=1,2,3,….. adet ölçüm sonucu fk = f1, f2, f3 ….. dizisi oluúturulmuú ise bu dizinin sayısal Fourier dönüúümü Fh Fourier seri ve Fourier dönüúüm formülünden hareketle;

1

2 /

0

1 ^N _{j kh N}

h k

k

F f e

N

π

−

−

=

=

¦

olarak tanımlanır.

Ters Fourier dönüúümün de yine aynı úekilde;

1 2 /

0 N

j kh N

k h

h

f f e ^π

−

−

=

=

¦

DFT için veri sayısında bir sınırlama yoktur. Mikro iúlemci hızları arttıkça, DFT algoritması büyük sayıdaki veri de÷erlerini de÷erlendirme açısından cazipli÷ini koruyabilir. Ancak düúük hızda bir iúlemci için büyük sayıda veriyi iúleme sokmak, DFT algoritması için oldukça zamana ihtiyaç gerektirece÷inden pek tercih edilmez.

Ölçüm sayısının çok sayıda oldu÷u iúlemlerde hızlı Fourier dönüúümü (Fast Fourier Transform, FFT) tercih edilmelidir. FFT algoritmasının uygulanabilmesi için veri sayısının 2ⁿ olması gerekir. Bu özellik FFT’nin, DFT’ye göre bir dezavantajıdır, zira DFT’ de data sayısında bir kısıtlama bulunmamaktadır. E÷er FFT’de veri sayısında eksiklik olursa ve veriler ‘0’ a do÷ru yakınsıyor ise ilk yol eksik verileri ‘0’ ile



doldurmaktır. Böyle bir durum söz konusu de÷il ise veriler içinden uygun olanları atarak veri sayısını 2ⁿ ye çekmektir. Di÷er bir yaklaúım interpolasyon yaparak yeni veriler üretmektir [44-47].

2.2.1.1. Ayrık Fourier dönüúümü

Ayrık Fourier dönüúümünü (DFT), bir iúaretin frekans spektrumunun sembolik olarak (ço÷unlukla kâ÷ıt-kalem) ile bulunmasında kullanılmaktadır. Sayısal iúaret iúlemenin temeli ise iúlem, yani hesaba dayandı÷ından ve iúlevlerin hesapsal yöntemlerle gerçekleútirilmesi esas alındı÷ından birçok durunda frekans spektrumunun da hesapsal yöntemlerle (iúlemci veya bilgisayarda) elde edilmesi gerekmektedir. Bir iúaretin frekans spektrumunun hesapsal yöntemlerle bulunaca÷ı durumlarda ise iki noktada ayrık zamanlı Fourier dönüúümünde sorun yaúanmaktadır.

1. Ayrık zamanlı Fourier dönüúümü sonsuz bir toplam olarak tanımlanmaktadır, fakat hesapsal yöntemlerin kullanılabilmesi için toplamın sonlu olması gerekmektedir.

2. Ayrık zamanlı Fourier dönüúümü ayrık zamanlı frekansa ba÷lı sürekli bir fonksiyon vermektedir. Hesapsal yöntemler için ayrık de÷erler ile çalıúan bilgisayar veya sayısal iúaret iúleyiciler kullanıldı÷ından sürekli bir fonksiyonun hesaplanması mümkün de÷ildir.

Pratikte kullanılan tüm iúaretler sınırlı sayıda örnek de÷erine sahip oldu÷undan Fourier hesabı iúaretin tanımlı oldu÷u aralık ile sınırlandırılmakta ve bu sayede hesapsal açıdan DFT tanımındaki birinci problemin üstesinden gelinebilmektedir. Bir ayrık zaman iúareti sadece n=n ile n=n_{1 2} arasında tanımlı ve bu aralık dıúında iúaret de÷erleri yok (veya sıfır) ise iúaretin Fourier dönüúümü;

2

1

( ) [ ]

n

j j n

n n

X e ^Ω x n e^{− Ω}

=

=

¦



úeklini almaktadır. Pratikte kullanılan bütün iúaretler sınırlı bir aralıkta tanımlı oldu÷undan Fourier dönüúümü de sonlu bir toplama dönüúmektedir. Bu ifade açılacak olursa;

X e (

) = x n e [ ]

+ x n [

+ 1] e

+ .... + x n e [ ]

elde edilmektedir. Burada n ...n_{1 2} de÷erleri belli olan ayrık zaman indisleri

1 2

x[n ]...x[n ] aynı úekilde de÷erleri bilinen iúaret örnekleri oldu÷undan bu toplamın hesaplanabilmesi için sadece ayrık zaman frekansını gösteren Ω de÷iúkeninin belirli bir de÷er alması gerekmektedir. Dolayısıyla Fourier dönüúümünün sonlu diziler için hesaplanabilmesi için ayrık zaman frekansına de÷er verilmesi, yani Fourier dönüúümünün hesapsal yöntemlerle elde edilmesi için istenen her bir frekans de÷eri için Fourier dönüúümünün hesaplanması gerekmektedir.

Örne÷in sınırlı sayıda örne÷e sahip bir iúaretin Fourier dönüúümü ȍ= ʌ /10 frekansı için;

2

1

/10 /10

( ) [ ]

n

j j

n n

X e

x n e

=

= ¦

ùeklini almakta ve bu ifade kolayca hesaplanabilmektedir. Bu nedenle Fourier dönüúümünün hesapsal yöntemler ile bulundu÷u durumlarda mutlaka hesaplamanın gerçekleútirilece÷i frekans de÷erlerinin belirlenmesi gerekmektedir.

Bir iúaretin frekans spektrumu hesaplanırken 2ʌ ile periyodik olan ayrık zamanlı frekansın bir periyodunun dikkate alınması yeterlidir. Frekans spektrumu hesabı sırasında N adet frekans de÷eri için hesaplama yapılacaksa e÷er bu frekans de÷erlerinin 2ʌ lik temel frekans bölgesinde eúit aralıklı seçilmesi mantıklıdır. Ayrık zamanlı frekans spektrumunun 2ʌ lik temel frekans bölgesinde N adet eúit aralıklı frekans de÷eri,



2

, 0,1,..., 1

k k N

N

Ω = π = − (2.10)

olarak bulunmaktadır.

Fourier dönüúümünün N adet ayrık frekans de÷eri için hesaplanması;

X k[ ]= X e( ^jΩ)_{Ω =2πk N/} =

¦

Formül 2.11’ deki úekil’de ifade edilmektedir. Burada k tamsayı 2ʌ lik temel frekans bandındaki ayrık frekans de÷erlerini ifade etmektedir ve frekans indisi olarak adlandırılmaktadır. Fourier dönüúümü N adet karmaúık Fourier dönüúüm de÷eri

X[k] elde edilmektedir.

Ters ayrık zamanlı Fourier dönüúümü ise;

2

0

[ ] 1 ( )

2

j j n

x n X e e d

π

π

Ω Ω

=

³

olarak tanımlandı÷ından 2ʌ

ȍ= k

N de÷iúimi için 2ʌ

dȍ= dk

N olarak bulunmakta, ayrık de÷erler ile iúlem yapıldı÷ından integral operatörü toplam operatörüne dönüúmekte ve bu durumda ters Fourier dönüúümü,

1 (2 / )

0

[ ] 1 [ ]

N

j N kn k

x n X k e

N

− π

=

=

¦

úeklini almaktadır.

Artık hesaplamalar ayrık frekans de÷erleri ile yapıldı÷ından Fourier dönüúümü ve ters Fourier dönüúümünde kullanılan karmaúık üstel iúaretler;



e

= e

e

= e

úeklinde N ile periyodik olmaktadır. Bu nedenle ayrık frekans de÷erlerinde hesaplanan Fourier dönüúümünde x[n] iúaretinin en fazla N adet de÷eri kullanılmaktadır. Pratikte kullanılan iúaretler sınırlı sayıda örne÷e sahip oldu÷undan ayrık frekans de÷erleri için Fourier dönüúümü hesaplanırken kullanılan N de÷eri temel olarak tüm iúaret de÷erlerini kapsayacak úekilde iúaretin toplam örnek sayısına eúit veya büyük alınmaktadır.

Fourier dönüúüm de÷erleri X[k], k de÷iúkenine ba÷lı ayrık bir iúaret yani bir dizi úeklini almaktadır. Bu nedenle ayrık frekans de÷erlerinde hesaplanan Fourier dönüúümü Ayrık Fourier Dönüúümü olarak adlandırılmaktadır.

1 ( 2 / )

0

( )

N

jk N n

k n

X x n e ^π

−

−

=

=

¦

Ters Ayrık Fourier dönüúümü ise

1 (2 / )

0

( ) 1

N

jk N n

k k

x n X e

N

π

−

−

=

=

¦

úekilde tanımlanır [48,49].

2.2.1.2. Hızlı Fourier dönüúümü

Ayrık Fourier dönüúümünün hızlı bir biçimde hesaplanmasına olanak tanıyan yöntemler, hızlı Fourier dönüúümü (fast Fourier transform, FFT) olarak adlandırılmaktadır. Hızlı Fourier dönüúümü, ayrık Fourier dönüúümünün iúaret iúleme uygulamalarında yaygın olarak kullanılabilmesini sa÷lamaktadır.



1

(2 / ) 0

[ ] [ ] , 0,1,...., 1

N

j N kn

n

X k x n e ^π k N

−

−

=

=

¦

tanımından hesaplanabilmektedir. Bu durumda dönüúümün her k de÷eri için N adet karmaúık çarpma ve N-1 adet karmaúık toplama iúlemi yapılması gerekmektedir. N- noktalı bir AFD için bu iúlem miktarı N² ile orantılı bir hesap yükü anlamına gelmektedir.

Ayrık Fourier dönüúümündeki faz faktörü,

W

= e

úeklinde tanımlanmaktadır. Faz faktörünün simetri ve periyodiklik özellikleri kullanılarak, ayrık Fourier dönüúümünün daha verimli hesaplanabilmesi mümkün olmaktadır.

Faz faktörünün simetri özelli÷i

W_N^{k N+ /2} = −W_N^k (2.19)

øliúkisini periyodiklik özelli÷i de

W_N^{k N+} =W_N^k (2.20)

øliúkisini vermektedir.

Hızlı Fourier dönüúümü, ayrık Fourier hesabı için faz faktörünün simetri ve periyodiklik özelli÷inden faydalanılarak hızlı bir hesaplama sa÷lamaktadır.

Hızlı Fourier dönüúümü (HFD) yöntemleri iki ana gurupta sınırlandırılmaktadır:

1. Zamanda örnek seyreltme yöntemleri



2. Frekansta örnek seyreltme yöntemleri [50].

2.2.1.3. Dalga analizi

Fourier analizi kendini belirli aralıklarla tekrar eden bir dalga úekli olan dönemli (periyodik) dalga úeklinin tanımı yapmıú ve harmoniklere sahip sinüsoidin, yani tüm frekansları temel frekansının (ilk harmonik) katları olarak bulunabilen, bir serisidir.

Genelde herhangi bir dönenli dalga úekli f(t);

0 1 2 3

1 2 3

( ) 1 cos cos 2 cos 3 ...

2

sin sin 2 sin 3 ....

f t a a wt a wt a wt

b wt b wt b wt

= + + + + +

+ + + +

(2.21)

veya;

0 1

( ) 1 ( cos sin )

2 n ^{n n}

f t a a nwt b nwt

∞

=

= +

¦

úeklinde gösterilir. Burada a /2 bir sabittir ve f(t)’nin DC (ortalama) bile₀ úenini verir.

Böylece, f(t) bir v(t) voltajı veya bir akım de÷eri i(t) ’yi gösteriyorsa a₀/ 2 terimi v(t) veya i(t)’nin ortalama de÷eridir. a ve ₁ b katsayıları ₁ Ȧ’nın temel frekans bileúenlerini gösterir. Benzer úekilde a ve ₂ b katsayıları ₂ Ȧ’nın ikinci harmonik bileúenlerini gösterir ve di÷er katsayılarda di÷erlerine benzerdir. Genelde, farklı frekansta birden fazla sinüzoidin toplamı bir dalga úeklini verir.

Eúitlik 2.22’deki a ve _n b katsayılarını hesaplamak zor de_n ÷ildir, çünkü sinüs ve kosinüs ortagonal iúlevlerdir. 0’dan 2ʌ’ye entegral altında sinüs ve kosinüs iúlevlerinin çarpımı sıfırdır. ùimdi bunun ispatını yapalım.



2

0

sinmtdt 0

π

³

2

0

cosmtdt 0

π

³

2

0

(sinmt)(cos )nt dt 0

π

³

Eúitlik 2.23 ve 2.24 sıfırdır, çünkü 0’dan 2ʌ’ye altında kalan alan sıfırdır.

Dolayısıyla, Eúitlik 2.25’te sıfırdır, çünkü;

1

sin .cos [sin( ) sin( )]

x y=2 x+y + x−y

Bu durum ùekil 2.1’de açıkça görülmektedir ve ùekil 2.1 incelendi÷inde zaman eksenin altında kalan alanın sıfır oldu÷u açıkça görülür.

ùekil 2.1.

2

0

(sinmt)(cos )nt dt 0

π

³

Buna ek olarak, m ve n farklı tamsayılar ise



2

0

(sinmt)(sin )nt dt 0

π

³

Çünkü

1

sin .sin [cos( ) cos( )]

x y= 2 x+y − x−y (2.27)

Eúitlik 2.27’deki integral, m=2 ve n=3 için ùekil 2.2’de gösterilmiútir. ùekil 2.1’den de görülece÷i gibi zaman eksenin altında kalan alan sıfırdır.

ùekil 2.2.

2ʌ

0

m=2 ve n=3 (sin mt)(sin nt)dt=0 ingrafiksel ispatı

³

Benzer úekilde, e÷er m ve n farklı tamsayılar ise

2

0

(cosmt)(cos )nt dt 0

π

³

Çünkü;

1

cos .cos [cos( ) cos( )]

x y= 2 x+y − x−y (2.29)



Eúitlik 2.29’deki integral, m=2 ve n=3 için ùekil 2.3’te gösterilmiútir. ùekil 2.2’den de görülece÷i gibi zaman eksenin altında kalan alan sıfırdır.

ùekil 2.3.

2ʌ

0

m=2 ve n=3 (cosmt)(cosnt)dt=0 in grafiksel ispatı

³

E÷er Eúitlik 2.28 ve 2.29’daki m= n ise

2

2 0

(sinmt dt)

π

π

³

ve

2

2 0

(cosmt dt)

π

π

³

úeklindedir.

Eúitlik 2.30 ve 2.31’in grafiksel olarak çizimi ùekil 2.2 ve 2.3’te gösterilmiútir. Daha önceden de belirtti÷im gibi, sinüs ve kosinüs iúlevleri birbirleri ile birim diktir. Bu basitleútirme, sinüs ve kosinüs iúlevlerinin birim diklik özelliklerinin uygulamalarından bulunur. Basitleútirmek için Eúitlik 1’de w=1 alınırsa;