Olimpiyat ¸ Calı¸sma Soruları
Bu ¸calı¸sma ka˘gıdında uluslararası sınavlardan derlenmi¸s toplam 5 soru bulun- maktadır. ˙Istenilen cevapların tamamı klasik ¸c¨oz¨umlerdir. Soruların ¸c¨oz¨um- lerine yine sbelian.wordpress.com adresinden ula¸sabilirsiniz. Kolay gelsin.
SORULAR
Soru 1. Toplamları 2310 olarak verilen iki pozitif tamsayının ¸carpımlarının 2310 ile b¨ol¨unemeyece˘gini g¨osteriniz.
Soru 2. N tane nesne ve B tane (B ≥ 2) kutu veriliyor. Buna g¨ore N ve B de˘gerlerine ba˘glı ¨oyle bir e¸sitsizlik bulunuz ki, e˘ger bu e¸sitsilik sa˘glanıyorsa, en az iki kutudaki nesne sayısı birbirine e¸sit olsun.
Soru 3. P ve Q birer polinom olmak ¨uzere (P (x))
2− 1 = ¡
x
2− 1 ¢
(Q (x))
2olarak verilen e¸sitli˘gi sa˘glayan her n de˘geri i¸cin derecesi n olan bir P (x) polinomu ve derececesi (n − 1) olan bir Q(x) polinomunun bulunabilece˘gini kanıtlayınız.
Soru 4. E˘ger bir d¨ortgenin k¨o¸segenleri birbirine dikse, kenarlarının orta noktaları ve bu noktalardan kar¸sı kenarlara indirilen dikmelerin ayaklarının aynı ¸cember ¨uzerinde oldu˘gunu g¨osteriniz.
Soru 5. a
1, a
2, a
3, · · · , a
nsayıları biribirinden farklı pozitif tek tamsayılar olarak ver- iliyor. Bu sayılar arasından se¸cilecek t¨um ikililerin farklarının mutlak de˘gerleri birbirinden farklı
1oldu˘guna g¨ore,
a
1+ a
2+ a
3+ · · · + a
n≥ n (n
2+ 2) 3 e¸sitsizli˘gini kanıtlayınız.
1|aj− ak| de˘gerlerinin hepsi birbirinden farklı.
