DİZİLER DİZİLER
Tanım kümesi pozitif Tam Sayılar kümesi, değer kümesi Reel Sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir.
Dizi genel olarak f : ℤ+→R olmak üzere, tanım kümesi; {1, 2, 3, . . ., n, . . .} ve görüntü kümesi;
f(ℤ+)= {f(1), f(2), f(3) f(n), . . .} dir.
Diziler de değişken için x yerine n seçilir ve genellikle, f(n) yerine (an ) ,(bn ) ,(xn ) biçiminde temsil edilirler .
Örneğin f : ℤ+→R, f(x)=x2 dizisini
(
an)
=(n2)biçiminde veya
(
an)
=(1,4 ,9,..., n2,...)olarak yazılabilir.Bu dizide bazı terimler a1=1, a3=9, a10=100
(an) = (a1, a2, a3, . . . , an, . . . ) şeklinde yazıldığında.
a1 dizinin birinci terimi a2 dizinin ikinci terimi a3 dizinin üçüncü terimi
an dizinin n inci terimi veya genel terimidir.
(kısaca f(n)= an düşünülür)
Örnek...1 : Örnek...1 :
Genel terimi; an= 1
n+1 olan dizi
(
an)
=(
12,13,14,... ,n1+1, ...)
şeklinde yazılabilir.Örnek...2 : Örnek...2 :
(
an)
=(
n−7811)
İfadesi bir dizi belirtmez çünkü bu ifadeyi tanım kümesi pozitif tamsayılar kümesi değildir.Örnek...3 : Örnek...3 :
Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terimi olabilir?
an= 1 n2−200
bn=tan(no)
cn= 1 n3−n
dn=log2(100−n)
en=
√
600−n n2+1fn=
√
3n−20Örnek...4 : Örnek...4 :
Genel terimi wn=n2+1 olan dizinin üçüncü terimi kaçtır?
Örnek...5 : Örnek...5 :
Genel terimi rn=n3−n+2 olan dizi için ilk üç terim toplamı nedir?
Örnek...6 : Örnek...6 :
Genel terimi un=n! olan dizide 10.terim 8.
terimin kaç katıdır?
www.matbaz.com
Örnek...7 : Örnek...7 :
Genel terimi an=
{
nn+2−2 nn⩾10<10 olan dizi için a9+a8−a10 kaçtır?Örnek...8 : Örnek...8 :
Genel terimi an=
{
2n−3n2+1 n çiftsen tekse olan diziiçin a9+a8−a10 kaçtır?
Örnek...9 : Örnek...9 :
Genel terimi an=2+4+6+...+2n olan dizi için a) a5=?
b)a10−a9=?
Örnek...10 : Örnek...10 :
Genel terimi an=1.2.3...n olan dizi için a25
teriminin sondan kaç basamağı 0 dır?
Örnek...11 : Örnek...11 :
Genel terimi xn=2n−3
n+1 dizisinin kaçıncı terimi 7
4 olur?
Örnek...12 : Örnek...12 :
(
an)
=(
19n−nn2+13n2)
dizisinin kaç terimi pozitiftir?Örnek...13 : Örnek...13 :
(
cn)
=(
n2+5n+10n+1)
dizisinin kaç terimi tamsayıdır?www.matbaz.com
Örnek...14 : Örnek...14 :
(
pn)
=(
n2−3n+1n+1)
dizisinin kaç terimi(
12)
denküçüktür?
Örnek...15 : Örnek...15 :
(
bn)
=(
n2−4n+13)
dizisinin en küçük terimi nedir?Örnek...16 : Örnek...16 :
(
bn)
=(
9−n2−7n)
dizisinin en büyük terimi nedir?Örnek...17 : Örnek...17 :
(
bn)
=(
13−n2)
dizisinin en çok kaç terimi (-20,20) arasındadır?Örnek...18 : Örnek...18 :
Genel terimi an=
{
2n2n−1 n çiftn tek olan dizi için ilk 4 terim çarpımı kaçtır?Örnek...19 : Örnek...19 :
Genel terimi dn=2n.(n+1)! olan dizide ardşık iki terimden biri diğerinin 12 katıdır. Bu
terimlerden küçük olanı kaçtır?
İNDİRGEMELİ DİZİ İNDİRGEMELİ DİZİ
Bir terimi kendinden önceki bir veya birkaç terim cinsinden tanımlannan dizilere indirgemeli dizi denir. Bu elemanlar arasındaki bağıntıya da indirgeme bağıntısı denir.
Örnek...20 : Örnek...20 :
Uygun şartlarda tanımlı (an) dizisinin elemanları arasında a2n+1−a2n−1=n bağıntısı var ve a1=9 ise a7 kaçtır?
Örnek...21 : Örnek...21 :
Uygun şartlarda tanımlı (an) dizisinin elemanları arasında an+1=4.an+5
4 bağıntısı var ve a1=1
4 ise a31 kaçtır?
www.matbaz.com
DİZİLERİN EŞİTLİĞİ DİZİLERİN EŞİTLİĞİ
İki dizinin eşıt olması için aynı sıradaki terimleri birbirine eşit olmalıdır.
(an) ve (bn) iki dizi olmak üzere her pozitif n tamsayısı için an= bn ise (an) ve (bn) dizilerine eşit diziler denir ve bu eşitlik (an) = (bn) olarak yazılır.
Örnek...22 : Örnek...22 :
(
pn)
=(
3nn+12+4)
dizisi ve(
kn)
=(
3.cos2nπ)
dizisi eşit dizilerdir çünkü bu dizilerin genel terimleri eşit ve 3 tür.DİZİLERDE İŞLEMLER DİZİLERDE İŞLEMLER
1. Toplama ve Çıkarma
İki diziyi toplamak veya çıkarmak için bu dizilerin genel terimlerinde toplama ve çıkarma yapılır.
(
an)
±(
bn)
=(
an± bn)
2. Çarpma – Bolme
Iki diziyi çarpmak için bu dizilerin genel terimleri çarpılır.
(
an)
.(
bn)
=(
an. bn)
Iki diziyi bölmek için de bu iki dizinin genel terimleri bölünür.
(
an)
:(
bn)
=(
abnn)
, bn≠0Bir diziyi sabitle çarpmak için de bu dizinin genel terimini sabitle çarpmak yeterlidir.
c
(
an)
=(
c.an)
Örnek...23 : Örnek...23 :
(
an)
=(n+2),(
bn)
=(
3−n2)
dizileri için istenen dizileri hesaplayınız.(
an)
+(
bn)
(
an)
.(
bn) (
bn)
:(
an)
SONLU DİZİ SONLU DİZİ
Ap=
{
1,2,3, ...p}
kümesi bir p elemanlı sonlu küme olmak üzere tanım kümesiAp=
{
1,2,3, ...p}
olan her diziye bir p terimli sonlu dizi denir.Örnek...24 : Örnek...24 :
Ap=
{
1,2 ,3,...100}
f : Ap→R, f (n)=an=n2 genel terimiyle verilen dizi,100 terimli sonlu bir dizidir.Örnek...25 : Örnek...25 :
(
bn)
=(
13−n2)
sonlu dizisinin tüm terimleri -100 den büyükse en küçük terimi kaçtır?Örnek...26 : Örnek...26 :
(
an)
=( √
16−n)
sonlu dizisinin en çok kaç elemanı vardır?Örnek...27 : Örnek...27 :
(
an)
=(tan(no))sonlu dizisinin en çok kaç elemanı vardır.
SABİT DİZİ SABİT DİZİ
Bütün terimleri birbirine eşit olan dizilere sabit diziler denir.
(an)= (-2,-2,-2 -2,...,-2,...)
dizisinin her terimi -2 olduğundan sabit dizidir.
www.matbaz.com
Uyarı Uyarı
(
an)
=(P(n)) yani polinom tipinde bir dizi sabitse dizide n içeren terimler varsa bu terimlerin katsayıları 0 olmalıdır.Örnek...28 : Örnek...28 :
(
sn)
=(
(3−k )n2+(2m+1)n−m.k+5)
dizisi sabit dizi ise s189 kaçtır?UyarıUyarı
(
an)
=(
QP(n)(n))
yani rasyonel ifade tipinde bir dizi sabitse dizide pay ve paydada n içeren terimlerin eşit dereceli olanlarının katsayıları orantılı olmalıdır.Örnek...29 : Örnek...29 :
(
pn)
=(
3 nn+15+5)
dizisi sabit dizidirÖrnek...30 : Örnek...30 :
(
xn)
=(
ann+7+3)
dizisi sabit dizi ise a kaçtır?Örnek...31 : Örnek...31 :
(
xn)
=(
(a−2)nbn+72−2n+4)
dizisi sabit dizi ise a +b kaçtır?Üçgensel sayılar: 1 den n ye kadar ardışık sayıların toplamını veren sayılara üçgensel sayılar denir.
1,3,6,10,,, sayıları üçgensel sayılardır
Karesel sayılar: Ardışık 2 üçgensel sayının toplamı bir kare sayıdır.
1+ 3= 4= 22 3+ 6= 9= 32
Fibonacci dizisi, her sayının kendinden öncekiyle toplanması sonucu oluşan bir sayı dizisidir.
Fn=
{
01F(n−1)+F(n−2) n>1nn=0=1 Fn=1,1,2,3,5,8,...Bu şekilde devam eden bu dizide sayılar birbirleriyle oranlandığında altın oran ortaya çıkar, yani bir sayı kendisinde n önceki sayıya bölündüğün de altın orana
( √
52+1)
gittikçe yaklaşan bir dizi elde edilir.Örnek...32 : Örnek...32 :
5 basamaklı bir merdiveni her seferinde
a) 1 ya da 2 adım atarak çıkan bir kişi en çok kaç farklı biçimde çıkabilir?
a) 1 ya da 2 ya da 3 adım atarak çıkan bir kişi en çok kaç farklı biçimde çıkabilir
www.matbaz.com
DEĞERLENDİRME DEĞERLENDİRME 1)
an−an+1=32 ve a6 =-12 ise a24 kaçtır?
2) (
cn)
=(
nn+53) dizisinin kaç terimi tamsayıdır?
3) (
an)
=(
n3−9n2n−72−18n) dizisinin kaç terimi negatiftir?
4) (
bn)
=(
sec(no)) sonlu dizisinin en çok kaç elemanı vardır?
5) k bir tamsayı olmak üzere , genel terimi
an={
3n3n+12+3n nn=3k +1n=3k+2=3kolan dizisinin ilk üç terimi toplamı kaçtır?
6) Genel terimi (
an)
=(
n2+3n+21) olan dizisinin ilk 10 terimi toplamı kaçtır?
7) (
an)
=(
(k+2)n3+(2m+1)n2−(k.m−p)n+5) dizisi sabit dizi ise
a3kaçtır?
8) (
kn)
=(
3n−2x9−2n) dizisi sabit dizi ise x kaçtır?
9) (
an)
=(3n−2),(
bn)
=(
1+n2) dizileri için
cn=(
an−4.bn) dizisinin ikinci terimi kaçtır?
10) (
un)
=(
24−n2−4n) dizisinin en büyük terimi nedir?
11) (
un)
=(
3n2−19n+7)
dizisinin en küçük terimi nedir?12) A= {-1,0,1,2,3,4} kümesinin en çok kaç alt kümesinde ardışık 2 terim bulunmaz ?
www.matbaz.com