an’ye serinin genel terimi denir

SERİLER

A. Seriler Tanım

n) a

( reel terimli bir dizi olmak üzere,



      

1

n ...

an 3 ...

2 a 1 a n a

a toplamına seri denir.

an’ye serinin genel terimi denir.

Örnek:

,...) 1 3n ,..., 34 3, 3 2, 3 , 3 , 1 ( 1) 3n ( n) a

(     reel sayı dizisi

olduğu için,



           1

n 3n 1 1 3 32 33 34 ... 3n 1 ...

sonsuz toplamı bir seridir.

Serinin genel terimi, 3ⁿ¹ dir

Örnek:

,...) n3 ,..., 53 3, 4 3, 3 3, 2 3, 1 ( 3) n ( n) a

(   reel sayı dizisi

olduğu için,



        

1

n n3 13 23 33 43 53 ... n3 ...

sonsuz toplamı bir seridir.

Serinin genel terimi, n³ tür.

Tanım

Serinin ilk n teriminin toplamı olan,

an 3 ...

2 a 1 a n a

S     

ifadesine serinin n. kısmi toplamı denir.

,...) Sn ,..., S3 2, S 1, S ( n) S

( 

dizisine serinin kısmi toplamlar dizisi denir

Örnek:

,...) 1 n ,..., 6 , 5 , 4 ,, 3 , 2 ( ) 1 n ( n) a

(     dizisi reel sayı

dizisidir. Buna göre,



           1

n (n 1) 2 3 4 5 6 ... n 1 ...

sonsuz toplamı, genel terimi n +1 olan seridir. Bu serinin n.

kısmi toplamı:

1 n ...

3 n 2 a 3 ...

2 a 1 a n a

S          

2 n 2 3 1 n 2

) 2 n ).(

1 n

( 



 

  dir.

Serinin kısmi toplamlar dizisi ,...) Sn ,..., S3 2, S 1, S ( n) S

( 

,...)

an 2 ...

1 a a ,..., a3 a2 a1 2, 1 a a 1, a

(      



(2,23,234,...,23...n1,...) dir.

Uyarı

Serinin genel terimi ile kısmi toplamlar dizisinin genel terimi aynı ifadedir

Örnek:



        

1

n n2 12 22 32 42 52 ... n2 ...

 Serisinin genel terimi an n² dir.

 n. kısmi toplamı,

n2 2 ...

2 5 2 4 2 3 2 2 n 1

S       

6 ) 1 n 2 ).(

1 n .(

n  

 dır.

 Kısmi toplamlar dizisi,



 



 ^{ }

 6

) 1 n 2 ).(

1 n .(

) n Sn

( dır.

Kural

Bir serinin değeri (toplamı), kısmi toplamlar dizisinin limitine eşittir.



 

1

n )

Sn ( n lim a

Örnek:



1  

n 2 3k 2

k

1 serisinin kısmi toplamlar dizisinin

genel terimi,



  



  

 n

1

k (k 1).(k 2) n 1

1

k k2 3k 2 1 Sn

2 . 1

1 2 n

1 n ) 2 n ).(

1 n ( ... 1 5 . 4

1 4 . 3

1 3 . 2

1 



 



 









2 1 2 n

1

n 



  dir.

Buna göre, serinin değeri

2 1 2 1 1 2 1 2 n

1 n lim n) S (

lim    



    _dir.

Tanım

Kısmi toplamlar dizisi yakınsak olan seriye yakınsak seri, kısmi toplamlar dizisi ıraksak olan seriye ıraksak seri denir.



1

n an serisinin kısmi toplamlar serisi (Sn) olsun.

1. (Sn) dizisi ıraksak ise 

1

n an serisi de ıraksaktır.

2. (Sn) dizisi yakınsak ise 

1

n an serisi de yakınsaktır.

Örnek:



1

k k serisinin yakınsak olup olmadığını inceleyelim.

Çözüm:

2 ) 1 n .(

n n ...

3 2 n 1

1 k k

Sn 















 olduğuna göre,



 

 

 









 



 





2 2 n lim n 2

) 1 n .(

n lim n) S (

lim

olduğu için, kısmi toplamlar dizisi ıraksaktır. Buna göre,



1

k k serisi ıraksaktır.

Örnek:



 



 





1 k

k 3

1 serisinin yakınsak olup olmadığını inceleyelim.

Çözüm:

n 3 ... 1 3 3 2 1 3 1 1 3 n 1

1 k

k 3 1

Sn 



 



 



 



 



 



 



 



 



 



 _{    }





2.3n

n 1 3 2 3n n 1 3

3 .1 3 3

3n n 1 3

3 1 1

n 3 1 1 3.

1 



























 olur.

2 1 3n . 2 n 1 lim 3 n) S (

lim  

 









 olur. Buna kısmi toplamlar dizisi yakınsaktır.

Bu durumda 

  

1 k

k 3

1 serisi de yakınsaktır.

Dolayısıyla serinin değeri (toplamı);

2 ) 1 (Sn 1 lim

k k 3

1  



 



 



 _dir.

Kural 1. 

1

n an serisi yakınsak ise ) 0 an (

lim  dır.

2. ) 0

an (

lim  ise 

1

n an serisi yakınsak olmayabilir.

3. ) 0

an (

lim  iken 

1

n an serisi ıraksaktır.

Örnek:



 







 



 n 1 2 n 1

k ln serisinin ıraksak olduğunu gösterelim.

Çözüm:

0 1 ln 1) n

2 ( n lim ln 1) n

2 ( n ln

lim  



 



 



 



 



 



 olduğu halde,

1) n

2 ( n ln ...

3) ( 4 ln 2) ( 3 1 ln n

2 n n

1 k ln Sn



 





 

 

   

)

2 2 ( n ln 1) n

2 .n n

1 ...n 4 .5 3 .4 2 ( 3

ln 

 



 



 

  ₎

2 2 ( n ln lim n) S (

lim olup  



 



 n 1 2 n 1

k ln serisi

ıraksaktır.

Örnek:



 

 1 k 2k2 2

2 1

3k serisinin yakınsak olup olmadığını gösterelim.

Çözüm:

2 2 n 2

2 1 n 3 an



  iken 0

2 3 2 2 n 2

2 1 n lim3 an

lim  



 

olduğundan 

 

 1 k 2k2 2

2 1

3k serisi ıraksaktır.

B. Aritmetik Seriler n)

a

( dizisi bir aritmetik dizi ise, 

1

n an serisine aritmetik seri denir.

Aritmetik serinin n. kısmi toplamı:

^2.a₁ ^{(n 1).d}

2. ) n an a1 2.(

n

Sn      dir.

Örnek:

^{3n 1}

1 k 

 serisini inceleyelim.

Çözüm:

^{3n 1}

1 k 

 serisinde an 3n1 dir.

3 1 n 3 1 ) 1 n ( n 3 1 a

an        tür.

Serinin genel terimi, aritmetik dizi koşulunu sağladığına göre, verilen seri aritmetik seridir.







lim( 3n 1) an

lim dur. liman 0 olduğundan seri

ıraksaktır.

Uyarı ) 0

( sabit dizisi hariç tüm aritmetik seriler ıraksaktır.

C. Geometrik Seriler n)

a

( dizisi bir geometrik dizi ise, 

1

n an serisine geometrik seri denir.





 







1 n

1 r.n

a1 geometrik serisinin n. kısmi toplamı:

r 1

rn .1 a1 Sn



  dir.

Uyarı





 







1 n

1 r.n

a1 geometrik serisinde;

 r 1 ise seri ıraksaktır.

 r 1 ise seri yakınsaktır.

 Yakınsak ise, serinin toplamı(değeri)

r 1 . 1 a1 1

n

1 r.n a1

 





 



 _dir.

Örnek:





 1

n 4n

1

3n serisini inceleyelim.

Çözüm:





 1

n 4n

1

3n serisinde 4n

1 3n

an 

 dir.

4 3

4n 1 3n

4n . 4

1 3n . 3

4n 1 3n

1 4n

2 3n

an 1 an

 



 





  tür.

Serinin genel terimi, geometrik dizi koşulunu sağladığı için, verilen seri geometrik seridir.

0 0 . 3 n 4 3. 3 lim n ) 4

1 3n ( lim n) a (

lim    

 









 



 



 _olduğu

için, seri yakınsak olabilir. Buna göre, serinin kısmi toplamlar dizisinin limitine bakalım.

Serinin kısmi toplamı:

4 9 a1 ve

4

r 3 olduğuna göre,











 



 



 



 















 

 

n 4 1 3 . 9 4 1 3

n 4 1 3 4. 9 Sn r 1

rn .1 a1 Sn

Kısmi toplamlar dizisinin limiti:

 ^S_n ^{lim 9. 1} ₄^{3 n 9.(1 0) 9}

lim   





























 











olur.

Kısmi toplamlar dizisinin limiti bir reel sayı olduğuna göre, verilen seri yakınsaktır.

Buna göre, ) 9

(Sn 1 lim

n 4n

1 3n



 





 olur.

Örnek:





 1 n

1

5n serisini inceleyelim.

Çözüm:





 1 n

1

5n serisinde 5^{n 1} an   dir.

1 5 5n

2 5n an

1 an

 

 

 tir. Serinin genel terimi, geometrik dizi

koşulunu sağladığı için, verilen seri geometrik seridir.

0 1)

(5n lim n) a (

lim    olduğundan seri

ıraksaktır. Buna göre serinin değeri (toplamı)  dur.

Örnek:

...

3333 , 0 3 ,

0  devirli ondalık açılımının değeri kaçtır?

Çözüm:



 













1 n 10n ... 3

10n ... 3 100

3 100

3 10 ... 3 3 ...

333 , 0

Bu serinin ortak çarpanını ve ilk terimini belirleyip, değerini bulalım:

10 1 3 10n n. 10 . 10

3

10n 3

1 10n

3

an 1 an

r   

 

 olduğuna

göre verilen seri geometrik seridir. r 1 olduğundan seri yakınsaktır. Bu durumda serinin değeri;

r 1 . 1 a1 1

n

1 r.n a1

 





 





 _ise,

3 1

10 1 1 . 1 10

3 1

n 10n

3 







 olur.

Örnek:







 





1 n

1 n 2

1 serisinin değeri kaçtır?

Çözüm:

...

1 n 2 ... 1 23

1 22

1 2 1 1 1

n

1 n 2

1 























 



 



 



 





Serinin genel terimi, geometrik dizi koşulunu sağladığı için verilen seri geometrik seridir. Ortak çarpanı

2 r 1 dir.

Buna göre,

3 2 2) ( 1 1 . 1 r 1 1 . 1 a1 1

n

1 n 2

1 





 









 



 



 _olur.

Örnek:

1 6 n 3n 2

a 



  olduğuna göre a kaçtır?

Çözüm:

2 ...

3n ... a 35

a 34

a 33

a 1

n 3n 2

a 

 







 



 

Serinin genel terimi, geometrik dizi koşulunu sağladığı için verilen seri geometrik seridir. Ortak çarpanı

3

r 1 tür. Buna göre,

6 3 1 1 . 1 27 6 a r 1 . 1 a1 1 6

n 3n 2

a 





 







 

6 a 108

18 6 a 2 .3 27

a     

 dir.

Örnek:

1

a  olmak üzere

6 5 0 n

an 



 olduğuna göre a kaçtır?

Çözüm:

n ...

a 3 ...

2 a a a 0 1

n an

      





6 5 0 n

an 



 ise

5 a 1 6 a 5 6 5 5 a 1 . 1

1      

 tir.

Örnek:

4 n ...

3 x ln 27 x ...

9 x ln 3 x ln

ln       olduğuna göre

x in değeri kaçtır?

Çözüm:

4 n ...

ln3 x 27 x ...

9 x ln 3 x ln

ln       ise

4 ...

x ln n. 3 ... 1 x 27ln x 1 ln 9. x 1 ln 3.

1      



4 ...

x ln n. 3 ... 1 x 27ln x 1 ln 9. x 1 ln 3.

1      



8 x ln 4 x ln 2. 4 1 x ln . 3 1 1 . 1 3

1     





e8 x

 olur.

Örnek:

90o o x

0   olmak üzere, ^  

 

0

n sinx n 2 olduğuna göre x kaç derecedir?

Çözüm:

 



      

0

n sinx n 1 sinx sin2x ... sinnx ...

 



 

0

n sinx n 2 ise, 2

x sin 1 . 1

1 

 olur.

2 x 1 sin 1 x sin . 2

2   

 olur. 0o x90^o

olduğundan, 30o 2 x

x 1

sin    dir.

Örnek:









 





1 n

1 n 2 1 4

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

...

3 2 1 4 . 2 2 1 4 . 1 2 1 4 . 0 2 1 4 1

n

1 n 2 1 4



 



 



 



 



 



 



 



 



 













3 ...

2 1 22

1 2 1 1 4











2 16 2 4 1 1 . 1 1

4  



 olur.

Örnek:

Yarıçapı 10 birim olan çemberin içine, her birinin yarıçapı bir öncekinin yarısı olacak şekilde sonsuz çoklukta çemberler çiziliyor. Çizilen çemberlerin alanları toplamı kaç birim karedir?

Çözüm:

Çemberlerin alanları dışarıdan içeriye doğru sırasıyla,

...

, 2 16 . 5 , 2 4 . 5 , 2 2 . 5 2 , .5 2 , 10

. _{ }  _  _ 

 olur.

Buna göre çizilen çemberlerin alanları toplamı,

...

2 16 . 5 2 4 . 5 2 2 . 5 .52 102

.     

      

4 1 1 . 1 1 . 100 6 ...

2 1 24

1 22 1 1 102 .

















 



 





3 400 3 .4

100 





 olur.

Örnek:





 1 n

n n.31

serisinin değerini bulalım.

Çözüm:





 1 n

1 n.3n

serisinin değeri S olsun. Buna göre,

5 ...

3 6 34

5 33

4 32

3 3 1 2

S      

6 ...

3 6 35

5 34

4 33

3 32

2 3 S 1 3.

1       

İlk eşitlikten ikincisi taraf tarafa çıkarılırsa,

5 ...

3 1 34

1 33

1 32

1 3 1 1 S 3.

S1       

4 S 9 2 3 3

S . 2

3 1 1 . 1 3 1

S

2    





 olur.

Sonuç 1 r 1 

 olmak üzere   ₂

) r 1 (

1 1

n

1 n.rn









 dir.

Çözümlü Sorular

1. ...

4 3 2 1

45 3

2 1

34 2 1

23

1 





 



 

  serisinin

genel terimini bulunuz.

Çözüm:



    

 

 

 

 

1

n 1 2 3 ... n

1 nn 3 ...

2 1

34 2 1

23 1



 

 1 n

2 ) 1 n .(

n nn . n



 

 1

n n 1

nn .

2 olduğu için serinin

genel terimi

1 n

nn . 2 an

  dir.

2. 

1  

k k2 6k 8

1 serisinin değeri kaçtır?

Çözüm:

2 k

B 4 k

A ) 2 k ).(

4 k (

1 8

k 2 6 k

1

 

 



 



 ise,

) 2 k ).(

4 k (

) 4 k .(

B ) 2 k .(

A ) 2 k ).(

4 k (

1









 



 

1 ) 4 k .(

B ) 2 k .(

A    



1 ) B 4 A 2 ( k ).

B A

(    



2 B 1 ve 2 A 1 1 B 4 A 2

0 B

A   







 



 olur.

Buna göre,



 





 

 

 

 







 k 2

1 4 k . 1 2 1 2 k

2 1

4 k

2 1

8 k 2 6 k

1 dir.



  

 





   



 





1

k k 2

1 4 k . 1 2 1 1

k k2 6k 8

1 olur.

Bu durumda,

  

 



  

 



 





n 1

k k 2

1 4 k . 1 2 n 1

1

k k2 6k 8

1 Sn







 



 



 



 



 





 

 











 n 2

1 4 n ... 1 4 1 6 1 3 1 5 . 1 2 1



 _{ }

 

 

 4

1 3 1 3 n

1 4 n . 1 2

1 olur.

n) (S lim 1

k k2 6k 8

1 



  



 



 _{ }

 

  )

4 1 3 1 3 n

1 4 n .( 1 2 -1 lim

24 7 12 . 7 2

1  



 



 



 _tür.

3. 0,454545...45... devirli ondalık açılımının değeri kaçtır?

Çözüm:

n ...

102 ... 45 10000

45 100 ... 45 45 ...

454545 ,

0     



  1 n 102n

45