TÜRKİYE CUMHURİYETİ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ EKONOMETRİ ANABİLİM DALI

SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ EKONOMETRİ ANABİLİM DALI

YAPISAL DEĞİŞİKLİK ALTINDA BİRİM KÖK TESTLERİ VE BAZI MAKRO İKTİSADİ DEĞİŞKENLER ÜZERİNE

UYGULAMALAR

Esra İĞDE

YÜKSEK LİSANS TEZİ

ADANA – 2010

SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ EKONOMETRİ ANABİLİM DALI

YAPISAL DEĞİŞİKLİK ALTINDA BİRİM KÖK TESTLERİ VE BAZI MAKRO İKTİSADİ DEĞİŞKENLER ÜZERİNE

UYGULAMALAR

Esra İĞDE

Danışman: Yrd. Doç. Dr. Mehmet ÖZMEN

YÜKSEK LİSANS TEZİ

ADANA - 2010

Bu çalışma, jürimiz tarafından Ekonometri Anabilim Dalında YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir.

Başkan : Yrd. Doç . Dr. Mehmet ÖZMEN (Danışman)

Üye : Prof. Dr . H. Altan ÇABUK

Üye : Prof. Dr. Murat DOĞANLAR

ONAY

Yukarıdaki imzaların, adı geçen öğretim elemanlarına ait olduklarını onaylarım.

.../..../....

Prof. Dr. Azmi YALÇIN Enstitü Müdürü

Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge, şekil ve fotoğrafların kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 Sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunu’ndaki hükümlere tabidir.

ÖZET

YAPISAL DEĞİŞİKLİK ALTINDA BİRİM KÖK TESTLERİ VE BAZI MAKRO İKTİSADİ DEĞİŞKENLER ÜZERİNE

UYGULAMALAR

Esra İĞDE

Yüksek Lisans Tezi, Ekonometri Anabilim Dalı Danışman: Yrd. Doç. Dr. Mehmet ÖZMEN

Ağustos 2010, 103 sayfa

Bir zaman serisi değişkeni, analiz dönemi içerisinde savaş, barış, politika değişimleri, ekonomik krizler gibi pek çok nedenden dolayı yapısal kırılmalar içerebilir.

Serilerde meydana gelen yapısal kırılmalar serilerin durağanlığının belirlenmesinde bir takım güçlüklere yol açar. Bu değişiklikler dikkate alınmadan birim kök testi uygulamak yanlış sonuçlar verebilir ve testin gücünü azaltır. Böyle bir durumda aslında birim köke sahip olmayan bir serinin yanlış olarak birim kök içerdiği şeklinde bir sonuç elde edilebilecektir. Güvenilir regresyon sonuçları elde etmek için serilerdeki yapısal değişikliğin dikkate alınması gerekmektedir.

Çalışmada Türkiye’ye ait bazı makro iktisadi zaman serilerinin yapısal değişiklik altında durağanlığın sınanması amaçlanmıştır. Bu bağlamda, serilerin birim kök süreci içerip içermedikleri ve serilerin trend fonksiyonunda meydana gelen yapısal kırılmaların birim kök süreci üzerindeki etkileri incelenmiştir. Serilerin 1987 ve 2009 dönemine ait 3 aylık frekansları kullanılmıştır. Ele alınan makro iktisadi değişkenler öncelikle yapısal kırılmanın dikkate alınmadığı ve uygulamalarda çok yaygın olarak kullanılan ADF, PP ve KPSS birim kök testleri ile analiz edilmişlerdir. Daha sonra, serilerin trend fonksiyonunda meydana gelen tek zamanlı bir kırılmanın birim kök testleri üzerindeki etkisini araştırmaya yönelik, Zivot ve Andrews (1992), BLS ve Perron (1997) tarafından geliştirilen test yöntemleri; serilerin trend fonksiyonunda meydana gelen birden çok kırılmanın test edilmesinde kullanılan Lee ve Strazicich (2003) testi incelenmiştir. Çalışmada GSMH, tüketim, üç ay vadeli mevduat faiz

oranları, İMKB 100 endeksi, reel döviz kuru, cumhuriyet altın fiyatları, tefe, tüfe, M1 ve M2 serilerine ait gözlemler kullanılmıştır.

Anahtar Kelimeler: Zaman serileri, Durağanlık, Birim Kök, Yapısal Kırılmalar

ABSTRACT

UNIT ROOT TEST UNDER THE STRUCTURAL CHANGE AND APPLICATIONS ON MACROECOOMIC VARIABLES

Esra İĞDE

Master Thesis, Department of Econometrics Supervisor: Asst. Prof. Dr. Mehmet ÖZMEN

August 2010, 103 pages

Time series variables can include structural breaks by some reason which can be wars, peace, change of policy implementations, economic crises. Structural changes that are accuring in the series cause diffucilties of determining their stationrity. If one apply unit root tests without taking notice of these structural changes the results can have errors and these affect the power of the tests. In that case, a time series can be specified to have even though the series do not actually have unit root. For obtainig reliable regression results one need to take structural changes into account.

In this study, testing the steadiness of particular Turkish macro economic data under structural break was intended. In this context, whether the series include unit root and the effects of structural breaks in the series' trend function on the unit root process were examined. The sample covered quarterly data for 1987-2009 period. Firstly we analyzed the series by using of standart unit root tests; ADF, PP and KPSS, which do not take precsence of structural change inot account. Then, relevant macro economic variables were analyzed with some particular unit root tests where the structural breaks are not taking into account. In order to analyze the effects of one time break in the series' trend function on the unit root tests, test methods powered by Perron (1989), Zivot and Andrews (1992), Perron (1997) were conducted. Moreover, tests used by Lumsdaine and Papell (1997) and Lee and Strazicich (2003) to test more more than one break in the series' trend function were examined. In this study, observation of GNP, consumption, interest rate, gold prices, ISE 100 index, Money supply (M1 and M2), wholesale price indeks, Costumer Price Index and Exchange rate were applied.

Keywords: Time Series, Stationarity, Unit Root, Structural Break

ÖNSÖZ

Tez çalışmam süresince yardım ve desteklerini esirgemeyen sayın hocam ve tez Danışmanım Yrd. Doç. Dr. Mehmet ÖZMEN’e sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

Uygulama aşamasında bana yol gösteren sayın hocam Okyay UÇAN’a da teşekkürü bir borç bilirim. Okul hayatım boyunca maddi ve manevi tüm olanakları ile yanımda duran ve beni destekleyen aileme sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca beni yüreklendiren ve bana inanan kardeşlerime de teşekkür ederim

Bu çalışma, hiçbir şekilde haklarını ödeyemeyeceğim annem Mediha İĞDE ve babam Selim İĞDE’ye armağanımdır.

Not: Bu araştırma Ç.Ü. Araştırma Fonu Saymanlığınca (İİBF2009YL5) desteklenmiştir.

İÇİNDEKİLER

Sayfa

ÖZET ...i

ABSTRACT ...iii

ÖNSÖZ ...v

TABLOLAR LİSTESİ ...vii

ŞEKİLLER LİSTESİ...ix

EKLER LİSTESİ……..………...…...x

GİRİŞ ...1

BİRİNCİ BÖLÜM ZAMAN SERİLERİNDE TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Zaman Serileri ve Stokastik Süreçler .…….………..…….…………...3

1.2. Zaman Serilerinin Stokastik ve Deterministik Özellikleri ………...3

1.3. Durağanlık Kavramı ……….….………..………..5

1.4. Durağanlığın Önemi ve Sahte Regresyon (Spurious Regression) ..….………...6

1.5. Saf Rastsal Süreç (White Noise Process) ……….……….….7

1.6. Rastsal Yürüyüş Süreci (Random Walk Process) ……….……….7

1.7. Zaman Serilerinde AR, MA ve ARMA Modelleri (Box-Jenkins Yöntemi) ...…… 7

1.8. Durağanlık Testleri ………..10

1.9. Otokorelasyon Fonksiyonu: ACF (k) ...………....………..………….……10

1.9.1. Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu: PACF(k)……….…..….11

1.9.2. Portmanteau Testleri: Q-İstatistikleri……….………....11

1.9.2.1. Box-Pierce İstatistiği (Q İstatistiği)………….…….…….….……...11

1.9.2.2. Ljung-Box Q İstatistiği (LB-Q İstatistiği)….………….….….…….12

1.9.2.3. Durağanlığın Birim Kökle Sınanması……….………..12

İKİNCİ BÖLÜM BİRİM KÖK KAVRAMI VE BİRİM KÖK TESTLERİ 2.1. Dickey ve Fuller (1979) Testi ...……….………...14

2.2. Genelleştirilmiş (Augmented) Dickey - Fuller (ADF) Test ………...16

2.3. Dickey ve Fuller (1981) Testi ……….…18

2.4. Phillips ve Perron (1988) Testi ...………..…………..19

2.5. KPSS (1992) Testi ...………...22

ÜÇÜNCÜ BÖLÜM YAPISAL DEĞİŞİKLİK VE BİRİM KÖK TESTLERİ 3.1. Perron (1989) Testi ………...22

3.2 Christiano (1992) Testi………...32

3.3. Zivot ve Andrews (1992) Testi……….…...38

3.4. Banerjee, Lumsdaine ve Stock (1992) Testi……….………...41

3.5. Perron ve Vogelsang (1992) Testi ………...45

3.6. Lumsdaine ve Papell (1997) Testi……….………...51

3.7. Perron (1997) Testi ……….…………...54

3.8. Vogelsang Ve Perron (1998) Testi …...63

3.9. Lee Ve Strazicich (2003, 2004) Testi ………..68

3.10. Yapısal Kırılmayı Dikkate Alan Birim Kök Testlerine Genel Bir Bakış………...74

DÖRDÜNCÜ BÖLÜM TÜKİYENİN BAZI MAKRO İKTİSADİ DEĞİŞKENLERİ ÜZERİNE UYGULAMA 4.1. Yapısal Kırılmaları Dikkate Almayan Testlerin Uygulaması ...76

4.2. Yapısal Kırılmalı Birim Kök Testlerinin Uygulaması...79

4.2.1. Zivot ve Andrews (1992) Test Sonuçları.….……….………79

4.2.2. Banerjee, Lumsdaine, Stock (1992) Test Sonuçları……….…..81

4.2.3. Perron (1997) Test Sonuçları….………82

4.2.4. Lee ve Strazicich (2004) Test Sonuçları ………...84

4.3. Yapısal Kırılmalı Birim Kök Testlerine İlişkin Genel Bir Değerlendirme ……….86

SONUÇ ...89

KAYNAKÇA ...91

EKLER …………...95

ÖZGEÇMİŞ ………103

TABLOLAR LİSTESİ

Sayfa

Tablo 1 : ADF, PP ve KPSS Birim Kök Test Sonuçları...77

Tablo 2: Birinci Farkı Alınmış Seriler İçin ADF, PP ve KPSS Test Sonuçları……...78

Tablo 3: Zivot ve Andrews (1992) Test Sonuçları...79

Tablo 4 : BLS (1992) Test Sonuçları………...81

Tablo 5 : Perron (1997) Test Sonuçları………...83

Tablo 6 : Lee ve Strazcich (1992) Test Sonuçları...84

Tablo 7 : Yapısal Değişikliği Dikkate Alan Testlerin Karşılaştırmalı Sonuçları...86

ŞEKİLLER LİSTESİ

Sayfa Şekil 1: Christiano (1992) Test Sonuç Grafiği………35 Şekil 2: Christiano (1992) GSMH Zaman Yolu Grafiği ………37

EKLER LİSTESİ

Sayfa

Ek 1 : Değişkenlere Ait Zaman Yolu Grafikleri ……...95

Ek 2: Christiano (1992) Tablo 1……….……...97

Ek 3: Z&A (1992) Kritik Değer Tabloları ……….……...98

Ek 4: BLS (1992) Kritik Değer Tabloları ...99

Ek 5: Perron (1997) Kritik Değer Tabloları ………...100

Ek 6: Lee ve Strazcich (1992) Kritik Değer Tabloları ………...102

Zaman serileri istatistik ve ekonometri bilim dallarının yanı sıra pek çok alanda oldukça geniş bir kullanım alanına sahiptir. Zaman serileri kullanılarak yapılan analizlerde zaman serilerinin özelliklerinin bilinmesi önemlidir. Zaman serileri sahip oldukları bileşenlere göre stokastik ya da deterministik bir yapıya sahip olabilmektedirler. Zaman serilerinin sahip oldukları stokastik bileşenler serilerin durağan olup olmadıkları ile ilgilidir. Durağanlık kavramı ekonometrik açıdan olduğu kadar iktisadi açıdan da oldukça önemli bir kavramdır. İktisadi açıdan durağanlık kavramı, bir denge durumunu ifade etmektedir. Ancak pek çok iktisadi zaman serisi değişkeni durağan olmayan bir yapıya sahiptir.

Durağanlık kavramı, analiz edilen serilerin doğru bir şekilde tanımlanabilmesi ve istatistiksel çıkarımlarda bulunulabilmesi açısından önemlidir. Durağanlık etkin ve tutarlı tahminler için gerekli bir koşuldur.

Durağanlığın araştırılmasında uygulamada en çok kullanılan yöntemler serilerin kolerogramlarının incelenmesi, Portmanteau testleri ve birim kök testleridir. Birim kök testleri, son yıllarda ampirik uygulamalarda çok fazla ilgi görmektedir ve yaygın olarak kullanılmaktadır.

Literatürde en çok kullanılan birim kök testi Dickey-Fuller (1979) tarafından geliştirilen ve parametrelerin en küçük kareler tahmin edicisinin dağılımına dayanan birim kök testidir. Dickey ve Fuller (1976) tarafından ilk kez 1976 yılında ileri sürülen asimptotik teoriye dayanan bu testi daha sonra pek çok çalışma izlemiştir.

Nelson ve Plosser’in 1982 yılında yayımlanan çalışmalarında ABD’ye ait 14 makro ekonomik zaman serisinde birim kökün varlığını, ADF birim kök testi ile sınamışlardır. NP (1982)¹ çalışmalarında bir seri hariç, diğer tüm seriler için birim kök boş hipotezini reddedememişlerdir. Nelson ve Plosser (1982) çalışmasını izleyen birçok çalışmada geliştirilen analiz yöntemleriyle Nelson ve Plosser (1982) bulgularını destekleyen sonuçlar elde edilmiştir. Birim kök varlığını test etmek için geliştirilen

1Nelson, C. R., C. Plosser (1982), “Trends and Random Walks in Macroeconomic Time Series”, Journal of Monetary Economics, 10:139-67.

alternatif yaklaşımların ampirik uygulamaları, çoğu makroekonomik zaman serisinin birim köke sahip olduğunu yeniden tasdik etmiştir (Perron, 1989).

Makroekonomik teori birim kök sürecinin sistem üzerindeki etkileri ile ilgilenmektedir. Nelson ve Plosser (1982) elde ettikleri sonuçlarla boş hipotez altında makroekonomik zaman serilerine uygulanan şokların kalıcı bir etkiye sahip olduğunu, yani dalgalanmaların geçici olmadığını ileri sürmüşlerdir. Ancak savaş, barış, ekonomik krizler, uygulanan politikaların değişmesi gibi pek çok nedenden dolayı makroekonomik seriler yapısal değişimler içermektedir. Serilerde meydana gelen yapısal değişmeler dikkate alınmadan birim kök testlerinin uygulanması doğal olarak yanıltıcı sonuçlara neden olacak ve aslında deterministik bir trend etrafında durağan olan pek çok serinin yanlış olarak stokastik bir trendle ifade edilmesine neden olacaktır.

Tezin temel amacı, yapısal kırılmaları dikkate alan testlerin kullanımı ile Türkiye’ye ait belli başlı makro iktisadi değişkenlerinin analiz edilmesidir. Bu bağlamda ilk bölümde zaman serileri ve bazı temel kavramlar açıklanmıştır. Tezin ikinci bölümünde ise yapısal kırılmaları dikkate almayan belli başlı birim kök testleri incelenmiştir. Bunlar, DF (1979), ADF (1981), DF (1981), PP (1988) ve KPSS (1992) tarafından önerilen birim kök testleridir. Çalışmamızın üçüncü bölümde, yapısal kırılmaları dikkate alan testler ayrıntılı bir şekilde incelenmiştir. Bu testler Perron (1989), Christiano (1992), Zivot ve Andrew (1992), Banerjee, Lumsdaine ve Stock (1992), Perron ve Vogelsang (1992), Lumsdaine ve Papel (1997), Perron (1997), Vogelsang ve Perron (1998), Lee ve Strazicich (2003,2004) testleridir. Çalışmanın dördüncü bölümünde ise, Türkiye’ye ait on makro iktisadi değişken öncelikle yapısal kırılmaları dikkate almayan standart birim kök testleri ile daha sonra serilerde meydana gelen yapısal kırılmalı dikkate alan testlerin kullanım ile analiz edilmiştir. sonuç bölümünde tez çalışması analiz sonuçları ile birlikte genel olarak değerlendirilmiştir.

Standart birim kök analizinde Ewies 5.1 paket programı, yapısal kırılmalı birim kök testlerinin analizinde WinRats 6.0 paket programı kullanılmıştır.

BİRİNCİ BÖLÜM

ZAMAN SERİLERİNDE TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Zaman Serileri ve Stokastik Süreçler

İstatistik ve ekonometri gibi bilim dallarında geniş bir uygulama alanı bulabilen zaman serileri, zaman içinde gözlemlenen ölçümlerin bir dizisi olarak tanımlanmaktadır (Akdi, 2003). Zaman serisi verileri, değişkenlerin bir dönemden diğerine ardışık bir şekilde gözlendiği sayısal değerler hakkında bilgi verirler. Gözlenen verilerin zaman içerisinde ardışık bir biçimde gerçekleşmesi bir koşul değildir fakat düzenli aralıklarla dizinin gelişimini görme açısından önemlidir. Zaman serisi verileri genellikle günlük, haftalık, aylık, üç aylık, yıllık ve daha uzun dönemli aralıklarla derlenir ve toplanır (Sevüktekin, Nargeleçekenler,2005). Makroekonomi ve finans verilerinin çoğu, milli gelir, tüketim gibi tek bir değişkene ait ardışık gözlemler seti olan, zaman serileri biçimde ifade edilir.

Stokastik süreç, olasılık kurallarına göre zaman içerisinde gelişen bir olgudur.

Zaman serileri analizinde, zaman serisi bir stokastik sürecin gerçekleşmesi olarak ifade edilir (Box&Jenkins, 1976).

Yt

Y

Y₁, ₂,..., ya da Y (_t t=1,2,...,t) şeklinde ifade edilebilen zaman serisinde Y _t rastsal bir değişken olarak alınır. Y gibi bir kesikli rastsal değişken dizisinin olasılık _t yapısı, stokastik sürecin bileşik dağılımı tarafından belirlenir. Stokastik sürecin dağılımı ise, ikisi de zamanın bir fonksiyonu olan, değişkenin birinci ve ikinci momentleri ile tanımlanır. (Madalla&Kim,1998).

Zaman serileri analizi, bir zaman serisinin kendi olasılık yapısının belilrlenmesi ve gelecekteki durumunun öngörülmesi veya birden fazla zaman serisi arasındaki ilişkilerin belirlenerek ortaya çıkarılması işlemi olarak özetlenebilir.

1.2. Zaman Serilerinin Stokastik ve Deterministik Özellikleri

Ekonomik, sosyal, psikolojik vb. çeşitli nedenlerin, zamanla ilişkili değişkenler üzerindeki etkisi, yön ve şiddetinin farklı olması nedeniyle, zaman serisi gözlem

değerlerinde bazı değişmeler gözlenir. Bu değişmeler zaman serilerini etkileyen faktörler ya da bileşenler olarak ifade edilirler.

İktisadi zaman serileri genel olarak trend, mevsimsel, konjonktürel ve düzensiz (rastsal) hareketlerin bileşiminden oluşur. Bir zaman serisi, frekansına bağlı olarak sözü edilen bu dört bileşenden birini veya birkaçını bünyesinde bulundurabilir. Zaman serisi verilerine dayalı ekonometrik modellerde serilerin zaman serisi özelliklerinin bilinmesi önemlidir. Serinin hangi bileşenlerden oluştuğunun belirlenmesi başka bir ifade ile serinin bileşenlerine ayrıştırılması ve bu bileşenler seri üzerinde bir etkiye sahip ise serinin bu bileşenlerden arındırılması gerekir. Sözü edilen bu bileşenler serilerin stokastik ve deterministik özelliklerini belirler (Bozkurt, 2007).

Trend, zaman serisinin uzun dönem sistematik hareketini gösterir. Zaman serisinin uzun dönemde sergilediği kararlı azalış ya da yükseliş şeklindeki genel eğilimidir.

Mevsimsel dalgalanmalar, zaman serilerinin mevsimlere göre değişimi ifade eder. Mevsimsel dalgalanmalar belirli ve sistematik bir hareket sergilerler.

Çevrimsel bileşen olarak da ifade edilebilen konjonktürel hareketler, mevsimsellikten farklı olarak düzensiz dönemsel değişmeleri içerir. Konjonktürel dalgalanmalar toplam ekonomik faaliyetlerde meydana gelen ve yenilenen fakat periyodik olmayan yani düzensiz genişleme ve daralma hareketleridir. Bu hareketler istihdam, fiyatlar, GSMH gibi tüm makro ekonomik değişkenlerde meydana gelirler ve hemen hemen aynı yönde ve aynı zamanda, fakat farklı oranlarda hareket ederler.

Ekonomideki kısa süreli durgunluk dönemleri, ekonomik gelişme dönemleri bu bağlamda değerlendirilir.

Düzensiz hareketler, belirli olmayan ve önceden tahmini mümkün olmayan hareketlerdir. Hata terimi ile ifade edilen değişimlerdir.

Serilerde sabit, trend ve mevsimsellik bileşenlerinin bulunup bulunmaması serilerin deterministik özelliklerini oluşturur. Serilerin stokastik özellikleri ise daha çok serilerin durağan olup olmadıkları ile ilgilenir (Tarı, 2006).

1.3. Durağanlık Kavramı

Bir zaman serisinin istatistiksel analizi yapılmadan önce, o seriyi yaratan sürecin zaman içinde sabit olup olmadığı yani serinin durağanlığının araştırılması gerekir.

Durağanlık bir takım istatistiksel çıkarımlar yapılabilmesi ve değişkenin daha başarılı tanımlanabilmesi için önemlidir. Stokastik süreç izleyen zaman serilerinde durağanlık önemli bir kavramdır. Güçlü durağanlık ve zayıf (kovaryans) durağanlık olmak üzere iki tür durağanlık söz konusudur. Zaman serileri ile yapılan çalışmalarda serilerin zayıf durağanlık koşulunu sağlaması yeterlidir.

Yt

Y

Y₁, ₂,..., gibi bir zaman serisinin bileşik olasılık dağılımı, Y_1+k,Y_2+k,...,Y_t+k serisinin bileşik olasılık dağılımı ile aynı ise, diğer bir deyişle herhangi bir gözlem setinin bileşik olasılık dağılımı gözlemlerin yapıldığı zamandan ileriye ya da geriye doğru kaydırıldığında herhangi bir değişikliğe uğramıyorsa güçlü durağanlıktan söz edilir (Maddala ve Kim, 1998).

Ortalaması ile varyansı zaman içinde değişmeyen ve iki dönem arasındaki ortak varyansı bu ortak varyansın hesaplandığı döneme değil de yalnızca iki dönem arasındaki uzaklığa bağlı olan olasılıklı bir süreç durağan bir süreç olarak tanımlanır.

(Gujarati, 2005)

s s

j t j

t s

t t

y s

t t

s t t

y E y

E y

y E

y E y

E

y E y E

g m m

m m

s m m

m

= - -

= - -

= -

= -

=

=

- - -

- - -

) (

) (

) )(

(

) (

) (

) ( ) (

2 2

2 (1.1)

Böyle bir stokastik süreç zayıf durağan ya da kovaryans durağan olarak da bilinir. Bu yöndeki durağanlıkta serinin ortalaması zamandan bağımsızdır, yani serinin ortalaması zaman içinde sabittir. Varyansı ise sonlu bir sayı ile ifade edilir ve zaman içinde sistematik olarak değişmediği kabul edilir (Bozkurt,28).

y ile t y_t-s arasındaki kovaryans gözlemlerin t ’yi belirten tarihe göre değil, gözlemlerin zaman ayrımı uzunluğuna, yani s gecikme uzunluğuna bağlıdır.

(Sevüktekin ve Nargeleçekenler, 2005)

Güçlü durağan bir zaman serisi aynı zamanda zayıf durağan bir seridir, ancak zayıf durağanlık zaman serisinin güçlü durağan olmasını gerektirmemektedir.

Çok değişkenli normal dağılım, birinci ve ikinci momentlerle tamamen tanımlanabildiği için, normal durağan süreç için zayıf durağanlık ile güçlü durağanlık eşdeğerdir. (Madalla ve Kim, 1998)

Serilerde durağan dışılığın nedenlerinden biri seride trend etkisinin bulunmasıdır. Serideki trend deterministik ya da stokastik olabilir. Serinin sadece ortalaması zamana bağlı ise seri deterministik trend, sadece otokovaryansı zamana bağlı ise seri stokastik trend içeriyor demektir. (Yalçın, 2003). Birçok makro iktisadi zaman serisi hem deterministik hem de stokastik trend ile modellenmektedir. Deterministik trend içeren bir zaman serisindeki değişim önceden öngörülebilir ve seride meydana gelen bir şokun etkisi geçici bir niteliğe sahiptir. Stokastik trend içeren seride değişim tamamen öngörülemez ve seride meydana gelen şokun etkisi gelecek dönemlerde de devam eder. Durağan olmayan bir seri, çeşitli işlemler kullanılarak durağan hale getirilmelidir. Eğer seri stokastik bir trende sahip ise zaman serinin farkının alınması gerekir. Deterministik trende sahip zaman serilerinde ise serinin trendden arındırılması için seri ortalamasından çıkarılır.

Deterministik trend etrafındaki dalgalanmalar, trend durağan süreç ve stokastik trend etrafındaki dalgalanmalar ise fark durağan süreç olarak adlandırılır. Serinin trendden arındırılması için kullanılacak yöntem serinin trend durağan ya da fark durağan bir süreç olmasına dayanır. (Kim&Madalla, 1998)

1.4. Durağanlığın Önemi ve Sahte Regresyon (Spurious Regression)

Klasik regresyon modelinin varsayımları hem y ve _t y_t-s dizilerinin durağan olmasını, hem de hataların sıfır ortalamaya ve sonlu sabit bir varyansa sahip olmasını gerektirmektedir. Regresyon modelinin standart varsayımlarından durağanlık etkin ve tutarlı tahmin için gerekli koşuldur. Ancak iktisadi zaman serilerinin önemli bir kısmı durağan olmayan bir yapıya sahiptir. Durağan olmayan bir değişkenin olasılık dağılımı zamana göre değişmediği için, böyle bir değişkeni durağan kabul ederek yapılan analiz yanıltıcı sonuçlar verebilmektedir. Granger ve Newbold (1974) simülasyon çalışmaları sonucunda bu durumla ilgili önemli bulgular elde etmişlerdir. Bu bulgular yüksek determinasyon katsayı (R ), çok yüksek t istatistik değerleri ve düşük Durbin-Watson ² değerleri şeklindedir. Bunun doğal sonucu olarak test istatistiklerine

güvenilemeyecektir. Bu istatistikler yanıltıcı olacaktır. Bu sonuçlar, Granger ve Newbold (1974)’ün ifadesiyle sahte regresyonlar ortaya çıkarabilir.

1.5. Saf Rastsal Süreç (White Noise Process)

e sıfır ortalamalı, sabit varyanslı ve serisel olarak korelasyonsuz bir dizi ise saf t

rastsal bir süreç olarak adlandırılır.

2 2

1 2

1

...

) ( ) (

0 ...

) ( ) (

s e

e

e e

=

=

=

=

=

=

- -

t t

t t

E E

E

E (1.2)

Ve bütün j ’ler için

0 ) (

)

( _{t t-s} =E _{t-j t-j-s} =

E ee e e ’dır.

e ~t IID(0,s²), t=1,2,...,T, şeklinde gösterilir ve bu serinin tanımsal olarak durağan olduğu kabul edilir. Saf rastsal süreç bu hali ile kovaryans durağandır.

1.6. Rastsal Yürüyüş Süreci (Random Walk Process)

Rastsal yürüyüş süreci durağan olmayan serilerin en basit örneğidir. Y serisinin t zamandaki değeri, saf rastsallık özelliğine sahip hata terimie ile ifade edilirse rastsal _t yürüyüş süreci aşağıdaki gibi gösterilebilir.

t t

t Y

Y = _-1+e (1.3)

Rastsal yürüyüş modelinde, (1.3) ile gösterdiği gibi, t dönemindeki Y değeri, )

1

(t- dönemindeki kendi değeri artı rastsal bir etkiye sahiptir. Eğer rastsal yürüyüş modeli AR(1) modelinin özel bir hali olarak düşünülürse, Y ’nin katsayısı, kovaryans _t-1 durağanlık koşulunu sağlamayan bir AR(1) modeli olacaktır (Ruey S. Tsay,2002).

1.7. Zaman Serisi Verilerinin AR, MA ve ARMA Modelleri (Box-Jenkins Yöntemi) Zaman serilerinin tanımlanmasında, sürecin sabit bir ortalama etrafından dengede kaldığını varsayan ve yoğun bir ilgi gören durağan modeller, stokastik modellerin önemli bir bölümünü oluşturur.( Box ve Jenkins, 1976 )

Durağan zaman serilerini modellemenin en yaygın yolu ARIMA yöntemi, en yaygın adı ile Box-Jenkins (B-J) yöntemidir. B-J türü zaman serileri modellerinde Y , _t Y ’nin kendi gecikmeli değerleri ve olasılıklı hata terimleri ile açıklanmaktadır.

(Gujarati, 2005).

Box-Jenkins yönteminde üç modelleme söz konusudur. Bunlar otoregresif (AR) süreç, hareketli ortalama (MA) süreci ve hareketli otoregresif (ARMA) süreçleridir.

Durağan olmayan bir seri için fark alınması gerektiğinde ARMA süreci, bütünleşik hareketli otoregresif (ARIMA) süreci haline dönüşür (Bozkurt, 2007).

Otoregresif (AR) süreçte Y ’nin t dönemindeki değeri, bir önceki dönemde aldığı değer ile bir rastsal terime bağlıdır. Bu denklemde birinci mertebeden otoregresif süreç söz konusu olup AR(1) şeklinde gösterilmektedir. Bu sürecin durağan olması a < 1 koşuluna bağlıdır. Aksi halde durağan olmamakta ve Y değeri geçmişteki şokların etkisi nedeniyle zaman boyunca mutlak değerce büyüme eğilimi göstermektedir.

t t

t Y

Y =a _-1 +e (1.4)

p. dereceden otoregresif bir sürece ait denklem aşağıdaki gibi yazılabilir;

t p t p t

t t

t Y Y Y Y

Y =a_{1 -1}+a_{2 -2} +a_{3 -3} +...+a _- +e (1.5) Y ’nin t dönemindeki değeri bir sabit terim ile şimdiki ve geçmiş hata terimlerinin hareketli ortalamasının toplamına eşit olduğu zaman böyle bir süreç hareketli ortalama (MA) süreci olarak adlandırılır (Gujarati,2005).

Birinci mertebeden bir hareketli ortalama süreci, MA(1), (1.6) ile gösterilir.

1 2

1 + -

+

= _{t t}

Yt m q e q e (1.6)

q mertebeden bir hareketli ortamla sürecine ait denklem ise aşağıdaki gibi yazılabilir.

q t q t

t

Yt =m+q₁e +q₂e _-1+...+q e _- (1.7) Hareketli ortalama modelleri, saf rastsal (white noise) dizisinin zaman içinde değişmeyen ilk iki momentinin sonlu doğrusal kombinasyonudurlar. Bu nedenle hareketli ortalama modelleri her zaman durağan olan modellerdir. (Ruey S. Tsay, 2002)

Çoğu durumda seriler tek başına AR( p) veya MA(q)süreçleri tarafından ifade edilemezler. Y serisinin hem AR süreci hem de MA süreci özellikleri taşıdığı durumda, seri ARMA modeli ile ifade edilir.

q t q t

t t p t p t

t t

t Y Y Y Y

Y =m+a_{1 -1}+a_{2 -2} +a_{3 -3} +...+a _- +e +qe +qe _-1+...+q e _- (1.8)

Genel bir ARMA modeli şu şekilde yazılabilir,

å å

= - + = -

+

= ^p

i

q

i

i t i i

t i

t Y

Y

1 0

0 a q e

a (1.9)

Genel bir ARMA(p,q) modelini gecikme işlemcisi (L kullanılarak tekrar ) yazarsak,

å

å

=

+

÷÷ = ø çç ö

è

æ - ^q

i t i t

p

i i

iL Y

0 1 0

1

1 a a q e (1.10)

ve Y için çözüm, _t

÷÷ø çç ö

è æ -

+

=

å å

=

= -

p

i i i q

i t i t

L Y

1 0

1 0

1 a

e q a

(1.11)

olacaktır. Burada durağanlık koşulu

(

_å

)

Durağan olmayan bir Y serisi _t d defa farkı alındığında durağan hale geliyor ise, bu tür serilere d.’inci dereceden bütünleşiktir denir. Bu durumda, Y ~I(_t d) ile gösterilir.

Serinin d.’inci dereceden farkı durağan bir ARMA (p,q) serisi ise, bu seriler ARIMA olarak adlandırılır ve ARIMA(p,d,q) olarak ifade edilir. (Akdi, 2003)

1.8. Durağanlık Testleri

Durağanlığın test edilmesinde uygulamada en çok kullanılan yöntemler otokorelasyon fonksiyonlarının incelenmesi, Portmanteau testleri ve birim kök testleridir.

Pormanteau testleri izleyen alt başlıkta incelenmiştir. Birim kök test stratejisi ise, bu bölümde özet şeklinde verilmiştir. İkinci bölümde ise birim kök testleri daha geniş bir şekilde inceleneceğinden, bu bölümde birim kök test stratejisine kısaca değinilmiştir.

1.9. Otokorelasyon Fonksiyonu: ACF(k)

Bir stokastik süreci tamamen tanımlamak mümkün değildir. Bu nedenle süreci kısmen tanımlayan otokorelasyon fonksiyonu model oluşturmada önemli bir yere sahiptir. (Kutlar, 2006). Durağanlık konusunda bilgi veren ve stokastik süreci kısmen tanımlamamızı sağlayan otokorelasyon fonksiyonu, serinin hata terimleri arasındaki otokorelasyonu şu şekilde tanımlar:

g0

r_k = g^k (1.12)

Burada ,

g ; k gecikme için kovaryansı k

g ; varyansı göstermektedir. 0

Uygulamada otokorelasyon fonksiyonunun bir tahmini hesaplanır ve bu örneklem otokorelasyonu olarak adlandırılır.

Örneklem kovaryansı,

( )( )

n

Y Y Y Y_{t t k}

k

+

=

å

gˆ (1.13)

Örneklem varyansı,

( )

n Y Y_t ² ˆ0 ₌

å

g (1.14)

ˆ0

ˆ ˆ g

r_k = g^k = ACF(k) (1.15)

şeklinde ifade edilmektedir.

1.9.1. Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu: PACF(k)

Zaman serileri analizlerinde, özellikle otoregresif zaman serilerinde, serinin model derecesinin belirlenmesinde, otokorelasyon fonksiyonu pek açıklayıcı değildir². Otokorelasyon fonksiyonu bir zaman serisinde iki nokta arasındaki ilişkinin açıklanmasında yararlıdır. Ancak bu iki nokta arasındaki ilişki araştırılırken bu noktalar arasında kalan gözlemlerin etkisinin arındırılması zaman serisi hakkında daha fazla bilgi sahibi olmamızı sağlar. Burada açıklanan ilişki iki nokta arasındaki kısmi otokorelasyondur.

) ,..., , / ,

( _{- -1 -2 - +1}

=

F_kk r Y_t Y_{t k} Y_t Y_t Y_{t k} (1.16)

Kısmi otokorelasyonlar, otokorelasyon fonksiyonunun değerinden yararlanılarak aşağıdaki formülle hesaplanır.

å å

-

= -

-

= - -

F -

F -

=

F ₁

1 , 1 1

1 , 1

, 1

,

k

j

j j k k

j

j k j k k

kk

r r r

, k =3,4,5,... (1.17)

j k k kk j k

kj =F - -F F - -

F _{1, 1,} j=1,2,...,k-1 için

1.9.2. Portmanteau Testleri: Q-İstatistikleri 1.9.2.1. Box-Pierce İstatistiği (Q İstatistiği)

Box ve Pierce örneklem otokorelasyonlarını kullanarak Q istatistiğini geliştirmişlerdir.

å å

=

= ^k

j j k

j

j T r

T Q

1 2 1

r)2 (1.18)

2Akdi, Yılmaz (2003), Zaman Serileri Analizi, Bıçaklar Kitabevi, No:2, Ankara

veya

[ ]

1

)

å

=

= ^k

j

j ACF T

Q (1.19)

Bu istatistik ile otokorelasyon katsayılarının anlamlı bir şekilde sıfırdan faklı olup olmadığı test edilmektedir. H₀: r_j =0 boş hipotezi otokorelasyon katsayılarının sıfır olduğunu başka bir ifade ile otokorelasyonun olmadığı durumu ifade eder.

Hesaplanan test istatistiği k serbestlik dereceli c tablo değerini aşarsa boş hipotez ² reddedilir.

1.9.2.2. Ljung-Box Q İstatistiği (LB-Q İstatistiği)

Q istatistiği büyük örneklemlerde bile zayıf bir test olarak eleştirilmiştir. Bu eleştiri üzerine Ljung-Box tarafından LB-Q istatistiği geliştirilmiştir. Bu istatistiğin küçük örneklemlerde, Q istatistiğine göre daha iyi sonuç verdiği gözlenmiştir.

( ) å ( ) å [ ]

=

= = + -

+ -

= ^k

j k

j j

j T

j T ACF

j T T T r

T LB

1

2

1

2 ( )

2

2 (1.20)

İstatistiksel olarak anlamlı otokorelasyon ve kısmi otokorelasyonların varlığı serinin durağan dışılığını ima eder.

Örneklem otokorelasyonlarının, kısmı korelasyonların ve Q istatistiklerinin serinin özelliğine göre yaklaşık olarak seçilen k sayıda gecikmeye göre işaretlenerek çizilen seri grafiği korelogram olarak adlandırılır. Korelogram, serinin durağanlığı ile ilgili önsel bir bilgi verir.

1.9.2.3. Durağanlığın Birim Kökle Sınanması

Birim kök testleri, gözlenen seride birim kökün varlığını incelenmesinde diğer bir ifade ile serinin durağanlığının araştırılmasında yaygın olarak kullanılmaktadırlar.

Bir serinin birim kök içermesi, söz konusu serinin durağan olmadığını ifade eder.

Birinci dereceden otoregresif bir model aşağıdaki gibi yazılırsa;

t t

t y

y =a _-1+e (1.21)

Burada e saf rastsal bir hata terimini göstermektedir. Bu veri üretme sürecinin _t durağan olması için, a <1 olması gerekir. Eğer a =1 bulunursa birim kök sorunu ortaya çıkmaktadır. Bu durumda denklemdeki ilişki rastsal yürüyüş sürecine dönüşecektir.

t t

t y

y = _-1+e (1.22)

Bu ilişki, bir önceki dönem değişkenin değerinin ve maruz kaldığı şokun sistemde kalıcı olduğunu ifade etmektedir. Bu sonuç bütün dönemler için geçerli olduğundan, daha önceki şokların da değişkenin bu dönemdeki değeri üzerinde etkisinin sürdüğünü gösterir. Bu şokların kalıcı niteliğe sahip olması, serinin durağan olmadığı ve serideki trendin stokastik olduğu anlamına gelmektedir. (Tarı, 2006).

Durağan ve durağan olmayan zaman serileri tartışıldığında, sahte regresyon probleminden kaçınmak için, birim kökün varlığının test edilmesi gerekir (Harris, 1995).

İKİNCİ BÖLÜM

BİRİM KÖK KAVRAMI VE BİRİM KÖK TESTLERİ

Bir iktisadi zaman serisini tanımlayan stokastik sürecin, birim kök süreci olup olmadığı, ekonomistler için ekonometrik bir sorundan fazlasını ifade eder. İktisadi teori açısından birim kök varlığının testi, iktisadi denge analizi ile yakından ilişkilidir. Denge, değişme eğiliminin olmadığı bir durumu ifade ettiğinden, denge ilişkisinin istatistiksel tanımı durağanlık anlamına gelmektedir. Birim kök kavramı ve testleri durağanlığı sınanmasında yaygın olarak kullanılan bir yöntemdir. Zaman serisinin birim kök içerip içermediğine bakılarak serinin durağanlığı test edilir (Çabuk ve Balcılar, 1998).

Uygulama da pek çok birim kök testi mevcuttur. Birim kök sınamasına yönelik ilk formel test Dickey ve Fuller (1979, 1981) tarafından geliştirilmiştir.

2.1. Dickey ve Fuller (1979) Testi

Literatürde en çok kullanılan birim kök testi Dickey-Fuller (1979) tarafından geliştirilen ve parametrelerin en küçük kareler tahmin edicisinin dağılımına dayanan birim kök testidir.

t t

t Y e

Y =r _-1 + (2.1) (2.1) ile verilen otoregresif süreçte, e sıfır ortalama ve _t s varyanslı, bağımsız ² normal rastsal değişkenlerin bir dizisidir (e_t ̴NID(0,s²)). Aşağıda ifade edilen r ’nun regresyon tahmin edicisinin özellikleri r = 1± varsayımı altında elde edilmiştir (Dickey ve Fuller,1979)

$ .

r=æ

èç ö

ø÷æ

èç ö

ø÷

-

= -

= -

å

å

t T

t t

T 1 1

1 2 1

1

Standart Dickey-Fuller (DF) testi hata terimlerinin bağımsız ve aynı dağılıma sahip oldukları varsayıma dayanır. DF testi, AR(1) sürecinin (sabit terim varken ya da yokken) birim köke sahip olup olmadığını test etmektedir.

Y ’nin durağanlığının araştırılmasında kurulacak hipotez testleri aşağıdaki gibi t

olacaktır;

1

0 : r ³

H (durağan dışılık için) 1

0:r <

H (durağanlık için)

<1

r ise, zaman serisi Y ; _t t®¥ iken, durağan bir zaman serisine yakınsar.

Eğer r =1 ise zaman serisi durağan değildir ve Y ’nin varyansı _t t.s²’dir. Böyle bir durumda seriye rastsal yürüyüş süreci denir. r >1 olduğunda ise zaman serisi yine durağan olmayacaktır ve serinin varyansı zamanla üstsel olarak artacaktır. (DF, 1979)

Dickey ve Fuller 1979 çalışmalarında aşağıda verilen üç genel model için kritik t değerlerini hesaplayarak tablolaştırmışlardır.

t t

t Y e

Y =r _-1 + (2.2)

t t

t Y e

Y =m+r _-1+ (2.3)

t t

t t Y e

Y =m+b +r _-1+ (2.4)

Üç modelde de başlangıç değeri, Y₀ =0 olarak alınmıştır.

Verilen bu eşitliklerin iki tarafından da Y çıkartıldığında, bu modellere eşdeğer _t-1 olan fark denklemleri elde edilecektir.

t t

t Y e

Y = +

D d _-1 (2.5)

t t

t Y e

Y = + +

D a d _-1 (2.6)

t t

t t Y e

Y = + + +

D a b d _-1 (2.7)

Burada D fark alma operatörüdür. d =r-1’ dir ve r =1 hipotezinin test edilmesi d =0 hipotezinin test edilmesi ile aynıdır.

Hipotez sınaması için kullanılan t testi, t testidir. t istatistiğinin kritik değerleri t’den daha büyük varyanslı olup, Monte Carlo simülasyonları ile ile Dickey ve Fuller (1979) tarafından tablolaştırılmıştır. Bu kritik değerler daha sonra MacKinnon (1991) tarafından genişletilmiştir.

Seride kaymanın ya da trendin varlığı test istatistiğinin dağılımını etkilediğinden, her bir model için farklı kritik değerler hesaplanmıştır.

Model (2.5) saf rastsal yürüyüş sürecidir. r =1 olduğunda model saf rastsal e _t dizisine eşit durağan bir model olacaktır. Kesme terimi ve trendin olmadığı bu modelin sınanması için kullanılan test istatistiği t istatistiğidir. Model (2.6) ise seride kayma teriminin olduğu fakat deterministik trendin olmadığı modeldir. Bu model için t test _m istatistiği kullanılır. Model (2.7) seride hem kayma teriminin hem de trendin olduğu modeldir. Bu model için t istatistiği kullanılır. _t t , t_m ve t istatistiklerinin hepsi _t

=0

d hipotezini test etmek için kullanılmaktadır.

0

0 :d ³

H (durağan dışılık için) 0

0 :d <

H (durağanlık için)

Hesaplanan t istatistikleri Dickey ve Fuller tarafından hesaplanan kritik değerlerle karşılaştırılarak serinin birim kök içerip içermediğine karar verilir.

Hesaplanan değerler DF kritik değerlerinden mutlak değerce küçük ise H hipotezi ₀ reddedilemeyecektir ve seride birim kökün varlığı kabul edilecektir.

Dickey-Fuller (1979) çalışmalarında tau (t ) istatistiğini Box-Pierce Q istatistiği ile karşılaştırmışlardır ve geliştirdikleri testin Q testine göre daha güçlü olduğunu göstermişlerdir. (Dickey ve Fuller, 1979)

2.2. Genelleştirilmiş (Augmented) Dickey - Fuller (ADF) Testi

DF (1979) testinde bütün zaman serileri birinci dereceden otoregresif süreçlerle ifade edilmiştir; ancak daha yüksek dereceden otoregresif süreçlerin test edilmesinde de DF testlerinin kullanılması mümkündür (Enders,1995).

Y gibi bir zaman serisi AR(p) süreci izlerken, AR(1) süreci olarak ele t

alındığında, Y ’nin dinamik yapısının yanlış tanımlanmasından dolayı hata terimi _t otokorelasyonlu olacaktır. Otokorelasyonlu hata terimi, hata teriminin saf rastsal olduğu varsayımına dayanan DF dağılımının kullanımını geçersiz kılar. (Harris,32).

Dickey ve Fuller (1981), bu sorunu aşmak için bağımlı değişkenin hata terimlerinin eşitliğin sağ tarafında yer alacağı bir test önermişlerdir.

DF testinde dikkate alınan üç model kalıbı, bağımlı değişkenin gecikmeli değerleri modele dâhil edilerek, genelleştirilmiş Dickey Fuller (ADF) regresyonları aşağıda verilen denklemlerdeki gibi yazılır.

t k

j

j t j t

t Y Y e

Y

å

= - +

- + D +

= D

2

1

1 d

d (2.8)

t k

j

j t j t

t Y Y e

Y

å

= - +

- + D +

+

= D

2

1

1 d

d

a (2.9)

t k

j

j t j t

t t Y Y e

Y

å

= - +

- + D +

+ +

= D

2

1

1 d

d b

a (2.10)

Ele alınan regresyonlarda d =0 olup olmadığı sınanır. ADF regresyonlarında birim kökün varlığı, DF testi için hesaplanan kritik değerlerle test edilir. Yine DF testinde olduğu gibi uygun test istatistiği, regresyon denkleminin içerdiği deterministik bileşenlere dayanır. (Enders, 1995).

ADF testinin kullanımındaki temel sorun gecikme uzunluğunun seçimidir. ADF testinin gücü ve boyut özellikleri modele dahil edilen gecikme sayısına oldukça duyarlıdır. Burada amaç otokorelasyonu ortadan kaldıracak kadar hata terimini modele dâhil etmektir. Otoregresif süreçlerde uygun gecikme sayısının belirlenmesinde kullanılan pek çok yöntem bulunmaktadır. Akaike Bilgi Kriteri (AIC), Schwart Kriteri (SC), Hannan Quin (HQ) ve bu üç kriterin düzeltilmiş formları bu kriterlerden bazılarıdır. Uygulamada yaygın olarak, AIC ve SC bilgi kriterleri kullanılmaktadır.

Uygun gecikmenin belirlenmesi için, AIC ve SC bilgi kriterlerinin minimum değere sahip olması gerekmektedir. Seçilen gecikmenin gereğinden büyük olması tahminlerin eğimli olmasına yol açacaktır. Uygun gecikmenin belirlenmesi oldukça önemlidir.

AIC ve SC yöntemleri genelde k gecikme sayısını çok küçük seçmeye meyillidirler bu da birim kök testlerinin iyi boyut özelliklerine sahip olmasını engellemektedir. Diğer bir ifade ile bu durum testlerde boyut çarpıklığına yol açmaktadır.

2.3. Dickey ve Fuller 1981 Testi

Dickey ve Fuller (1981) test yaklaşımı, seriye hakim sürecin trend durağan mı, fark durağan mı olduğu konusunda bilgi verir. Böyle bir bilgi iktisadi şokların etkisini belirlemek açısından önemlidir. Trend durağan süreçlerde şokların etkisi geçici bir özelliğe sahipken, fark durağan bir süreçte şokların etkisi sürekli bir etkiye sahip olmakta ve ortalamaya dönme eğilimi olmamaktadır. (Aktan, 2007)

Dickey ve Fuller (1981), a,b ve d parametrelerinin birleşik hipotezlerini test etmek için f₁,f₂ ve f₃ olarak adlandırılan üç F istatistiği önermişlerdir. (2.8) veya (2.9)’de d =a =0 boş hipotezi f istatistiği kullanılarak test edilir. (2.7) veya ₁ (2.10)’nun tahmininde, a =b =d =0 ‘nin birleşik hipotezi için f istatistiği kullanılır. ₂ (2.7) ve (2.10)’da b =d =0 boş hipotezi için f istatistiği kullanılır. (Enders, 1995). ₃

[ ] [ ]

[ ]

[ ]/( )

/ k T RSS

r RSS

RSS

ed unrestrict

ed unrestrict restricted

i -

= -

f ³

Hesaplanan test istatistiği Dickey ve Fuller(1981) tarafından hesaplanan kritik değerlerle karşılaştırılır. (2.7) ve (2.10) numaralı denklemlerde, boş hipotezin reddedilmesi durumunda, serinin trend durağan süreç izlediği, boş hipotezin reddedilememesi durumunda ise kısıtın geçerli olduğu ve serinin fark durağan süreç izlediği söylenecektir. Serinin bu şekilde fark durağan ya da trend durağan süreç izlediği tespit edildikten sonra trendden arındırma ya da fark alma işlemlerine başvurulacaktır.

Bu bölümde, bu aşamaya kadar DF test stratejisi üzerinde durulmuştur. Ancak DF testleri, hata terimlerinin bağımsız sabit bir varyansa sahip olduğunu varsayar.

Bundan dolayı gerçek veri üretme süreci bilinmediğinden bu durum dört önemli probleme yol açar. Bunlar:

3 RSS[restricted] ve RSS[unrestricted]; kısıtlı ve kısıtsız modellerden elde edilen hata kareleri toplamıdır. r;

kısıt sayısı, T; kullanılabilir gözlem sayısı, k; kısıtsız modelde tahmin edilen parametre sayısını ifade etmektedir. (T-k kısıtsız modelin serbestlik derecesidir).

i) Gerçek veri süreci otoregresif ve hareketli ortalama bileşenlerinin her ikisini bünyesinde bulunduruyor olabilir. Hareketli ortalama teriminin derecesi bilinmiyorsa testin nasıl yürütüleceğine dair sorunlar ortaya çıkar.

ii) Tahmin edilen eşitlikte AR mertebesi bilinmiyorsa d ’nin değeri ve standart hatası tam olarak tahmin edilemez. Bu durumda gecikme uzunluğunun seçimi önemlidir.

iii) Diğer bir sorun ise DF testlerinin sadece tek bir birim kökü ele almalarıdır.

Ancak p. derece bir otoregresyon modeli p tane karakteristik kök içerir.

p

m£ birim kök varsa, durağanlığı sağlamak için m defa fark alınması gerekecektir.

iv) Dördüncü problem ise modelin bir sabit ve / veya zaman trendini içerip içermediğidir. (Enders,226)

2.4. Phillips & Perron (1988) Testi

DF testlerinin dağılım teorisi hataların istatistiksel olarak bağımsız ve sabit varyansa sahip olduklarını varsaymaktadır. Bu nedenle bu testler kullanıldığında hataların korelasyonsuz ve sabit varyansa sahip olunduğundan emin olunmalıdır.

Ampirik ekonometrik çalışmaların çoğunda bağımsızlık ve sabit varyans varsayımları hatalarla ilgili oldukça güçlü varsayımlar olarak nitelenir. Nitekim rastsal yürüyüş süreci olarak karakterize edilebilen zaman serilerinde bu varsayımların yanlış olduğuna inanılması için iktisadi teoriden gelen oldukça iyi nedenler vardır. (Phillips, 1987)

Phillips ve Perron (1988) , birim kökün varlığını test etmek için, bu varsayımlara dayanmayan alternatif bir birim kök testi geliştirmişlerdir. Phillips ve Perron geliştirdikleri bu testle oldukça genel, zayıf bağımlı ve benzer dağılmayan kalıntılara (innovation) izin veren birleşik t istatistik regresyonu ve EKK tahmin edicileri için asimptotik bir teori sağlamışlardır (Phillips 1987).

Phillips-Perron testi ADF testinin bir dönüşümüdür ve bu dönüşüm sorunlu parametrenin bağımlılığını asimptotik olarak ortadan kaldırır. Bunu yaparken parametrik olmayan bir yöntem kullanır. Phillips-Perron yaklaşımında Dickey-Fuller prosedüründeki regresyon eşitliklerine değil, sadece test istatistiğine bir dönüşüm yapılmıştır (Çabuk, Balcılar, 1998).

u bazı koşulları sağladığında, geçici bağımlı ve otokorelasyonlu bir t u _t sürecine izin verecektir. Bu koşullar altında u , sonlu dereceden ARIMA modelleri gibi _t olası veri yaratma mekanizmalarının çok geniş bir çeşidini içerir. (Pihillips ve Perron, 1988)

Phillips (1987a) ve Phillips ve Perron (1998), Dickey-Fuller EKK regresyon denklemlerini ele almışlardır;

1 t,

t

t y u

y =a _- + (2.11)

ˆ , ˆ

ˆ _{t 1 t}

t y u

y =m+a _- + (2.12)

~, ) ~

2 ( 1

~ ~

1 t

t

t t T y u

y =m+b - +a _- + (2.13)

Denklem (2.11) için veri yaratma süreci ,...) 2 , 1

1 + ( =

= y_- u t

y_t a _{t t} (2.14)

.

=1

a (2.15)

Denklem (2.14) ile verilen veri yaratma sürecini dikkate alarak denklem (2.15) ile verilen boş hipotez altında, regresyon katsayılarının sınırlayıcı dağılımları ve bunların t istatistikleri ile ilgilenilmiştir. Denklem (2.12) ve (2.13)’de sıfır olmayan bir kayma terimi (m ¹0)modele dahil edildiğinde, a^~, aˆ katsayıları ve t istatistiği değişmediğinden, (2.14) ile verilen veri yaratma süreci denklem (2.16) ile gösterilebilir (Phillips ve Perron,1988).

Böylece denklem (2.12) ve denklem (2.13) için veri yaratma süreci aşağıdaki gibidir,

,...) 2 , 1

1+ ( =

+

= y_- u t

y_t m a _{t t} (2.16)

Yenileşim süreci u bağımsız ve benzer dağıldığında _t s =² s_u² sağlanır. u bu _t şekilde bir dağılıma sahip değilse, bu eşitlik sağlanamayacaktır. Yukarıda verilen regresyon katsayıları ve bunların birleşik t istatistiğinin dağılımı s ve _u² s sorunlu ² parametrelerine dayanır. Bu parametreler genelde bilinmeyen parametrelerdir, ancak