Kantorovich tipli bazı lineer pozitif operatörlerin yaklaşım özellikleri

KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI DOKTORA TEZİ

KANTOROVİCH TİPLİ BAZI LİNEER POZİTİF OPERATÖRLERİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ

Müzeyyen ÖZHAVZALI

Ekim, 2014

ONAY SAYFASI

Matematik Anabilim Dalında Müzeyyen ÖZHAVZALI tarafından hazırlanan KANTOROVİCH TİPLİ BAZI LİNEER POZİTİF OPERATÖRLERİN

YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ adlı Doktora Tezinin Anabilim Dalı standartlarına uygun olduğunu onaylarım.

Porf. Dr. Kerim KOCA Anabilim Dalı Başkanı

Bu tezi okuduğumu ve tezin Doktora Tezi olarak bütün gereklilikleri yerine getirdiğini onaylarım.

Doç.Dr. Ali OLGUN Danışman

Jüri Üyeleri

Başkan : Prof. Dr. Kerim KOCA _______________

Üye (Danışman) : Doç.Dr. Ali OLGUN ________________

Üye :Prof. Dr. Fatma Taşdelen YEŞİLDAL ________________

Üye :Prof. Dr. Oktay DUMAN ________________

Üye :Prof.Dr. Ali ARAL _________________

…/…/2014

Bu tez ile Kırıkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Doktora derecesini onaylamıştır.

Doç. Dr. E. Kamil YILDIRIM Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü

Sevgili Eşim Fatih’e, Oğlum Burak Can’a, Kızım İlayda’ya….

i ÖZET

KANTOROVİCH TİPLİ BAZI LİNEER POZİTİF OPERATÖRLERİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ

ÖZHAVZALI, Müzeyyen Kırıkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Matematik Anabilim Dalı, Doktora tezi Danışman: Doç.Dr. Ali OLGUN

Ekim,2014,80 sayfa

Bu tez çalışması, modifiye Kantorovich tipli bir operatörün yaklaşım özelliklerini incelemek için dört bölümden oluşturulmuştur. Birinci bölümünde çalışmaya temel olan konu ile ilgili yapılanlar hakkında bilgi verildi ve çalışmanın amacından bahsedildi. İkinci bölümde tezde kullanılacak temel tanımlar, teoremler ve ağırlıklı uzaylarda yaklaşım özellikleri ile ilgili ihtiyaç duyulan teoremler açıklandı. Tezin üçüncü bölüm orijinal olup bu bölümde modifiye Kantorovich tipli bir operatör tanımlandı ve bu operatörün ağırlıklı uzaydaki yakınsaklık özellikleri incelendi. Son bölümde ise sonuçlar ve öneriler verildi.

Anahtar kelimeler: : Pozitif Lineer Operatörler, Korovkin Teoremi, Ağırlıklı Uzaylar, Süreklilik Modülü, Kantorovich Tipli Operatörler, Yaklaşım Özellikleri, Voronovskaya Teorem.

ii ABSTRACT

APPROXIMATION PROPERTIES FOR SOME LINEAR POSITIVE OPERATORS OF KANTOROVICH TYPE

ÖZHAVZALI, Müzeyyen Kırıkkale University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics, Ph. D. Thesis

Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Ali OLGUN October, 2014, 80 pages

This thesis consists of four chapters in order to investigate the approximation properties of a modified Kantorovich-type operators in polynomial weighted space.

In the first chapter, information which is what kind of studies were done about fundamental of the subject for this study were given and the purpose of the study was mentioned. In the second chapter, the fundamental definitions, theorems which will be used in this thesis and theorems which are needed about the approximation properties in weighted spaces on were explained. The third chapter of the thesis is original and in this chapter, a modified Kantorovich-type operators in weighted spaces were defined and the approximation properties of these operators were investigated. In the last chapter, conclusions and recommendations were given.

Key Words: Linear Positive Operators, Korovkin Theorem, Weighted Spaces, Modulus of Continuity, Kantorovich-type operators, Approximation Properties, Voronovskaya Theorem.

iii TEŞEKKÜR

Tezimin hazırlanması esnasında hiçbir yardımı esirgemeyen ve biz genç araştırmacılara büyük destek olan, tez çalışmalarım esnasında, bilimsel konularda daima yardımını gördüğüm, tez yöneticisi Hocam, Sayın Doç. Dr. Ali OLGUN’a, başta Bölüm Başkanımız Prof. Dr. Kerim KOCA ve Prof. Dr. Ali ARAL olmak üzere, Matematik bölümü Hocalarıma tüm destekleri için çok teşekkür ederim.

iv

İÇİNDEKİLER DİZİNİ

Sayfa

ÖZET ... i

ABSTRACT ... ii

TEŞEKKÜR ... iii

İÇİNDEKİLER DİZİNİ ... iv

SİMGELER DİZİNİ ... v

ŞEKİLLER DİZİNİ ... vii

1. GİRİŞ ... 1

1.1. Kaynak özetleri ... 3

1.2. Çalışmanın amacı ... 3

2. MATERYAL VE YÖNTEM ... 4

2.1. Sonlu Aralıkta Sürekli Fonksiyonlar Uzayı ... 4

2.2. Lineer Pozitif Operatörler ... 7

2.3. Korovkin Teoremi ... 9

2.4. Ağırlıklı Uzaylarda Yaklaşım ... 12

2.5. Baskokov Teoremi ... 18

2.6. Süreklilik Modülü ... 21

2.7. Doğurucu Fonksiyonlar ... 29

3. ARAŞTIRMA BULGULARI ... 32

4. SONUÇLAR VE ÖNERİLER ... 64

KAYNAKLAR ... 66

ÖZGEÇMİŞ ... 69

v

SİMGELER DİZİNİ

 

^{a b}

C ,

 

^a,b aralığında sürekli fonksiyonların uzayı.

] ,

) [

(x Cab

f ^{C ,}

 

^{a b} uzayında norm.

f

f_n ^_ f fonksiyon dizisinin f fonksiyonuna _n düzgün yakınsaması.

)

; (f x

L L lineer pozitif operatörlerinin f

fonksiyonuna uygulanması.

)

; ( 

 f f fonksiyonunun süreklilik modülü.

)

; (f x

L_n Genelleştirilmiş fonksiyonlarla ilgili

olarak lineer pozitif operatörler dizisi.

1

C p f C_p olmak üzere fC_pşartını sağlayan fonksiyonların uzayı.

 

x 1

 



 

x ²

    reel eksende sürekli monoton artan

bir fonksiyon olmak üzere ağırlık fonksiyonu.

) (R

B_ f(x) M_f(x),M_f 0 eşitsizliğini sağlayan reel değişkenli ve reel değerli fonksiyonların kümesi.



0,



C B_uzayındaki tüm sürekli fonksiyonlar

uzayı.



0,



0

C

) (

) lim (

x x f

 sonlu değeri var olan C nin _ elemanı olan f fonksiyonlarının alt uzayı

) (

) sup (

0 x

x f f

x 

  _ ⁰



0,



C uzayında norm.

vi

   

 

²

,

0 1

sup )

; (

h x

x f h x f f

h

x  



 







 f fonksiyonunun C_^k



0,



uzayındaki Ağırlıklı süreklilik modülü.

vii

ŞEKİLLER DİZİNİ

ŞEKİL Sayfa

2.1. Cauchy Çarpım Formülü Şekli... 30 2.2. Cauchy Çarpım Formülü Dönüşüm Sonrası Şekli ... 30

1 1. GİRİŞ

Yaklaşım, Matematiğin birçok dalında önemli bir kavramlardan birisidir.

Matematiksel olarak anlamlı iki ifadeden birinin diğerine hangi şartlar altında nasıl yaklaştığının belirlenmesi önemli problemlerden birisidir. Öyle ki bu problem Yaklaşımlar teorisi olarak bilinen teoriye temel teşkil etmektedir. Bir fonksiyon dizisinin bir fonksiyona yakınsaması, fonksiyon dizisinin ve fonksiyonun tanım kümesine bağlı olduğu kadar, fonksiyon dizisinin ve fonksiyonun özelliklerine de bağlıdır. Bununla beraber yakınsamanın noktasal ya da düzgün olması da oldukça önemlidir.

Yaklaşımlar teorisi halen aktif çalışmaların yoğun olarak devam ettiği bir çalışma alanı olup, bu teorideki esas amaç verilen keyfi bir fonksiyonu bu fonksiyona göre daha basit ve daha kullanışlı olan bir başka fonksiyon cinsinden gösterimini elde ederek bu basit fonksiyonun özelliklerinden yararlanıp karmaşık fonksiyonun özelliklerini elde etmektir. Burada amaç bir fonksiyon uzayının elemanlarını belirli bir noktada ya da normda, bu uzayın bir alt uzayının veya daha iyi özelliklere sahip bir uzayın elemanlarından oluşturulmuş dizilerin limiti şeklindeki bir gösterimi elde etmektir. Çünkü amaç, kötü özellikli elemanları iyi özellikli elemanlara yaklaştırmaktır. Bu tip kullanışlı özelliklere sahip elemanlar cebirsel polinomlar, trigonometrik polinomlar, tam fonksiyonlar vb. şeklinde sıralanabilirler. Burada basit fonksiyon olarak polinomlar dizisi kullanmak işleri hep kolaylaştırmıştır. Çünkü polinomlar matematikte en kullanışlı fonksiyonlardan biridir. Ayrıca Weierstrass, 1885’de kapalı bir

 

^a,b aralığında sürekli olan her f fonksiyonu için bu fonksiyona yakınsayan bir



P_n

 

x



polinomlar dizisinin varlığını göstermiştir. Bu teoremin geliştirilmesi Lineer pozitif operatörler için Yaklaşımlar teorisinin temelini oluşturmuştur.

Bu amaçla ilk olarak 1912 yılında Bernstein, nN olmak üzere

 

;



1



, 0 1

0





 



 







 











 x

x k x

n k f n x

f B

n

k

k k n

n

2

operatörünü tanımlamıştır ve bu operatörün

 

^0,1 aralığında f

 

x fonksiyonuna düzgün yakınsadığını göstermiştir.

Daha sonraları ise P.P. Korovkin sınırlı aralıklarda tanımlı lineer pozitif operatörlerin yaklaşım özellikleri ile ilgilenmiş ve Yaklaşımlar teorisinde temel teoremlerden biri olan Korovkin teoremini vermiş ve ispatını yapmıştır.

Yaklaşımlar teorisi yaygın olarak çalışılmakta olup bilinen bazı temel operatörlerin değişik şekilleri oluşturularak çeşitli fonksiyon uzaylarının yaklaşım özellikleri incelenmeye halen devam edilmektedir.

1930 yılında L.V. Kantorovich klasik Bernstein operatörlerinden yararlanarak

 

^0,1

 

^0,1, 1

 

^0,1

1 C f L

L

K_n    ve n negatif olmayan bir tamsayı olmak üzere

   

^x



^x



^f

 

^{s ds}

k n n

x f K

k

n k

n k k k n

n



^_



^





 



 



 



0

1 1

1

1 1

;

operatörünü inşa etti ve çeşitli çalışmalar yaptı [1]. Daha sonra bu operatörün modifiye şekilleri üzerine çeşitli çalışmalar yapıldı [2-6] .

Bu temel operatörler içerisinde en bilinenlerinden bir tanesi de Szász-Mirakyan operatörüdür. 1941 de G.M. Mirakyan ve 1950 de Otto Szász, x



0,



ve



1,2,3,...



:





n olmak üzere

   



 







^ 





n f k k e nx

x f S

k

k nx

n

0 !

;

şeklinde operatörü tanımladılar ve çalışmalar yaptılar[7,8].

Daha sonra Szász-Mirakyan Kantorovich operatörü xR0^:



^0,



^, n ve



  

 n

b k n

a C k

f , olmak üzere

   

f

 

t dt

k x nx k ne n

x f T

k

n k

n k k k nx

n



^







 



 



 

0

1

; !

3

şeklinde tanımlanmıştır[9]. Sonra birçok araştırmacı Szász-Mirakyan operatörünün Kantorovich operatörünü kullanarak değişik şekillerini oluşturmuş ve bu tip operatörlerin çok çeşitli özellikleri incelemişlerdir [10-12]. Halen de bu tip incelemeler devam etmektedir.

1.1. Çalışmanın Amacı

İntegrallenebilen fonksiyonlar için yaklaşım özelliklerinin incelenmesi teorideki ana çalışma konularından birisidir. Bu tezde daha önce Walczak[13] tarafından ağırlıklı uzaylarda incelenmiş bir operatörü kullanarak, Kantorovich operatörüne benzeyen halini tanımlayıp böyle bir operatör için yakınsaklık özellikleri incelenecektir.

1.2. Kaynak Özetleri

Bu çalışmadaki temel kaynak Walczak tarafından 2003 yılında yapılan [13] nolu çalışmadır. Bu kaynaktaki temel operatör göz önüne alınıp, bu operatörün Kantorovich tipine benzer bir şekli oluşturulduktan sonra, bu konuda daha önceden yapılmış diğer çalışmalardan temel olanlardan [12,14-17] faydalanarak çalışmayı orijinal olacak şekilde ortaya koymaya çalışacağız. Tezdeki Materyal ve Yöntem bölümünde verilen tanımlar [18-23] nolu kaynaklardan alınmıştır.

4

2. MATERYAL VE YÖNTEM

2.1. Lineer Pozitif Operatörler ile ilgili temel kavramlar

Bu bölümde lineer pozitif operatörlerle ilgili bazı temel kavramlar verilip daha sonra yaklaşım özelliklerine bakılacaktır.

2.1.1.Sonlu Aralıkta Sürekli Fonksiyonlar Uzayı

Tanım 2.1.1.  boş olmayan bir cümle ve R, reel sayılar cismi olsun. Eğer aşağıdaki şartlar sağlanıyorsa ye R üzerinde lineer uzay veya vektör uzayı denir.

i) ,  işlemine göre değişmeli gruptur.

ii) x,y ve ,R olmak üzere aşağıdaki şartlar sağlanır:

a) x,

b) ^



^x ^y



^x^y, c) ^x



^^



^x^y, d)

 

 x

 

x ,

e) 1xx. Burada R1, nin birim elemanıdır.

Yukarıdaki c) şartındaki  sembolü birinci tarafta Rdeki toplamayı; ikinci tarafta ise deki toplamayı belirtmektedir. d)deki çarpma işlemleri de sırasıyla aynı kümelerdeki çarpma işlemleri ile aynıdır.

Tanıma dikkat edildiğinde lineer uzay,  cümlesi ve sırasıyla i) ve ii) şartlarını sağlayan toplama ve skalerle çarpma dönüşümlerinden ibarettir.

Tanım 2.1.2.  bir lineer uzay olsun. :R fonksiyonun x deki değerini x ile gösterelim. Bu fonksiyon için;

i) x 0,

5 ii) x 0 x0,

iii) x   x, iv) x y  x  y

şartlarını sağlıyorsa fonksiyonu  üzerinde norm denir. Eğer bir Lineer uzay üzerinde norm tanımlanmışsa bu uzaya Normlu uzay denir.

Tanım 2.1.3.(Noktasal süreklilik) AR ve f :AR bir fonksiyon ve aA olsun. f fonksiyonu a noktasında süreklidir   0 için en az bir  0 vardır öyle ki xa   f

   

x  f a dır.

Tanım 2.1.4. (Düzgün süreklilik) AR ve f :AR bir fonksiyon olsun. f fonksiyonu A üzerinde düzgün süreklidir   0 için  0 öyle ki xt  eşitsizliğini sağlayan x,tA için f

   

x  f t  dır.

Tanım 2.1.5.

 

a,b aralığı üzerinde tanımlı ve aralığın tüm noktalarında sürekli olan fonksiyonlar uzayı C ,

 

a b ile gösterilmektedir.

Teorem 2.1.1(Weierstrass):  0 ve f

 

x C

 

a,b için öyle bir P

 

x polinomu vardır ki, x

 

a,b için P

   

x  f x  eşitsizliği sağlanır.

Başka bir ifade ile

 

a,b aralığında sürekli her f fonksiyonu için f

 

x e,

 

a,b aralığında düzgün yakınsayan bir



P

 

x



polinom dizisi vardır.

Weierstrass teoremine göre C ,

 

a b uzayından olan her bir f fonksiyonu için sonlu bir f

 

x

b x a

max sayısı vardır. Bunun bir norm olduğu gösterebilir. Gerçekten

6 i)max

 

0,





x f

b x a

ii)Eğer f uzayın sıfırı ise yani

 

^a,b aralığında f 0 ise o zaman bu fonksiyonun maksimumu aynı aralıkta sıfırdır. Diğer yandan eğer max

 

0





x f

b x a

ise o zaman

0

f olur.

iii) a keyfi reel sayı olmak üzere

 

^max

 

^,

maxaf x a f x

b x a b

x

a 



iv) f ve ,g

 

^a,b de sürekli iki fonksiyon olmak üzere ^x

 

^a,b için

   

x g x f

 

x g

 

x

f   

olduğundan

         

 

x g

 

x f

x g x f x

g x f

b x a b

x a

b x a b

x a



























max max

max max

dir. Böylece norm aksiyomları sağlanır.

 

a b

C , uzayında norm;

 

^{x f}

 

^x

f

b x a

max

ile gösterilir. Bu uzayda yakınsaklığın düzgün yakınsaklık olduğu da gösterilebilir.

Kabul edilsin ki ^{C ,}

 

^{a b} de olan bir



^fn

 

^x



fonksiyonlar dizisi

 

^a,b aralığında

 

x

f e düzgün yakınsasın. Bu taktirde keyfi  0 verildiğinde öyle bir N N

 

 bulunur ki n N olduğunda x

 

a,b f_n

   

x  f x  eşitsizliği , f

 

x C

 

a,b olduğu ve dolayısı ile ^fn

   

^x  ^{f x} ^C

 

^a,^b dir. Weierstrass teoreminden dolayı öyle bir x*

 

a,b vardır ki f_n

   

x  f x fark fonksiyonunun x^*daki değeri

 

a,b nin diğer noktalarındaki değerinden büyüktür. Ayrıca ^x*

 

^a,b olduğundan









 ( ) max  ( ) ( ) )

(x^* f x^* f x f x

f _n

b x

n a sağlanır ve

)) ( (

] ,

,

[  n N 

f

fn  Cab   olur.

7

 

^{a b}

C , de olan



f_n(x)



dizisi ^{C ,}

 

^{a b} uzayının normuna göre yakınsak olsun. Bu durumda keyfi pozitif  sayısına göre öyle bir N bulunur ki n N olan tüm bir

n ler için





 

 ( ) ( )

max f_n x f x

b x

a sağlanır. Bundan dolayı

 

^a,b de tüm x ler için







 f x n

x

f_n( ^*) ( ^*) , eşitsizliği sağlanır. Sonuç olarak, C ,

 

a b uzayının normuna göre yakınsama, düzgün yakınsamadır.

Düzgün yakınsama ;





 f x n x

f_n( ) ( ), şeklinde gösterilir.

2.2. Lineer Pozitif Operatör

X ve Y boş olmayan iki fonksiyon uzayı olsun. Eğer X den alınan herhangi bir f fonksiyonuna Yde bir g fonksiyonuna karşılık getiren bir Lf g şeklinde L kuralı varsa bu durumda L ye

X

den Y ye bir operatör denir.

)

; ( )

(x L f x

g 

biçiminde gösterilir. X uzayı L operatörünün tanım bölgesidir ve X D(L) ile gösterilir. Bu durumda L(f;x) g(x), Y uzayının bir elemanı olur ve bu şekildeki g fonksiyonları kümesine L operatörünün değer kümesi denir. Bu küme de R(L) ile gösterilir. Yani operatörler fonksiyonu fonksiyona dönüşümlerdir.

Tanım 2.2.1. f ve ₁ f ₂,

X

uzayında herhangi iki fonksiyon,  ve  keyfi iki reel sayı olmak üzere L operatörü;

)

; ( )

; ( )

;

( f₁ f₂ x L f₁ x L f₂ x

L    koşulunu gerçekliyorsa L operatörüne lineer operatör denir.

8

Tanım 2.2.2. Negatif olmayan bir f fonksiyonu için X^ 



f X :f 0



,



 ^: ⁰



 

g Y g

Y fonksiyon sınıflarını göz önüne alalım. Eğer

X

uzayında tanımlanan L lineer operatörü

X

^ kümesindeki herhangi bir

f

fonksiyonunu Y ^ kümesindeki bir pozitif fonksiyona dönüştürüyorsa o taktirde bu lineer operatöre Lineer Pozitif Operatör denir. f 0 olması durumunda L(f;x)0dır.

Lemma 2.2.1: Lineer pozitif operatörler monotondur.

İspat:

x için g(x) f(x) ise g(x) f(x)0dır. L lineer pozitif operatör olduğundan ve operatörün pozitifliğinden L(g f;x)0dır. Yine operatörün lineerliğinden

0 )

; ( )

;

(g x L f x 

L olur. Dolayısı ile L(g;x)L(f;x) sağlanır. Bu eşitlikte L operatörünün monoton olduğunu gösterir.

Lemma 2.2.2: Eğer L lineer pozitif operatör ise

 

^{f x}

L x f

L( ; )  ; dir.

İspat:

a

x  ise axa olduğundan )

; ( )

; ( )

;

(f x  f x  f x



dir. L lineer pozitif bir operatör olduğundan yukarıdaki lemma (2.2.1) den dolayı monoton artandır. O halde

 

f x L x f L x f

L( ; )  ( ; ) ;

9 yazılabilir. L operatörünün lineerliğinden

 

^{f x}

L x f L x f

L( ; )  ( ; ) ;



eşitsizliği elde edilir. Bu ise,

 

^{f x}

L x f

L( ; )  ;

anlamına gelir. Böylece ispat tamamlanmış olur.

Yaklaşım teorileri ile ilgili en önemli teoremlerden Korovkin Teoremi aşağıda verilmiştir.

2.3. Korovkin Teoremi

Yaklaşımlar teorisinde önemli bir yer tutan aşağıdaki teorem 1953 yılında P.P.

Korovkin tarafından ispatlanmıştır.

Teorem 2.3.1 (P. P. Korovkin): Eğer L lineer pozitif operatörler dizisi _n

 

^a,b

aralığında;

i)^Ln

 

^{1;x }_ ^1,

ii)L_n

 

t;x ^_ x, iii)^Ln

 

^{t2;x x2}



 ……….………...…….……....(2.1) koşullarını gerçekliyorsa o taktirde C ,

 

a b uzayında olan ve tüm reel eksende sınırlı herhangi bir f fonksiyonu için n iken

 

f x f

 

x a x b

L_n ; ^_ ,   ……….………...(2.2) olur.

İspat:

f fonksiyonu reel eksende sınırlı olduğundan tüm x ler için

10 M

x

f( )  ……….………...……….(2.3)

olacak şekilde M pozitif sayısı vardır.

 

a b C

f  , olduğu için  0 sayısına karşılık öyle bir  0 vardır ki tR ve

 

a b

x , için tx  olduğunda





 ( ) )

(t f x

f ………..………...….(2.4) sağlanır.

 

^{a b}

t

x,  , olduğunda son eşitsizlik f fonksiyonunun

 

^a,b aralığında sürekli olmasından dolayı gerçeklenir. ^x

 

^{a,b , t}

 

^a,b olduğunda ise aynı eşitsizlik f fonksiyonu a noktasında soldan ve b noktasında sağdan sürekli bir fonksiyon olduğu için gerçeklenir. (2.3) ve (2.4) eşitsizliklerinden dolayı her tR ve x

 

a,b için

2

2 ( )

) 2 ( )

( M t x

x f t

f    

 

eşitsizliği gerçeklenir. Çünkü tx  olduğunda f(t) f(x) . Ayrıca 0

)

2 ( 2

2 tx 

M

 olduğundan 2 ₂ ( )²

) ( )

( M t x

x f t

f    

  sağlanır.





x

t olduğunda ise ( ) 1

2

2 



 x

t olacağından M t x M

2 )

2 ( 2

2  

 sağlanır. Bu

durumda  0 için (2.4) eşitsizliğinde )

( ) ( ) ( )

(t f x f t f x

f   

2M

 ^{ }

 2 ₂ ( )² x M t

………...………….……….(2.5) eşitsizliği gerçeklenir.

Şimdi L operatör dizisinin _n

 

^2.2 koşullarını sağladığını gösterelim. L in lineerliği _n ve üçgen eşitsizliğinden

) ( )

; 1 ( ) ( ) );

( ) ( ( )

( )

;

(f x f x L f t f x x f x L x f x

L_n   _n   _n 

11

( ( ) ( ); ) _{ } (1; ) 1

, 





 L f t f x x f L_n x

b a n C

^{ L}n



^{f(t) f(x);x}



^{ f} C_{ }a_,b ^Ln^(1;x)1

eşitsizliği mevcuttur. Bu eşitsizlikteki ikinci terim

 

2.1 den dolayı sıfıra yakınsar.

Yani,

  (1; ) 1 ( , 0)

, _n   _n  _n 

b a

C L x n

f  

eşitsizliğini sağlayan _n dizisi vardır. O halde

 

n

n

n f x f x L f t f x x

L ( ; ) ( )  ( ) ( );  ………..………..………....(2.6) eşitsizliği sağlanır.

Şimdi yukarıdaki

 

^2.6 ifadesindeki birinci terimi hesaplayalım.

 

^2.5 eşitsizliğinden ve lineer pozitif operatörün özelliklerinden dolayı

 





 



  



 M t x x

L x x f t f

L_{n n} 2 ( ) ;

; ) ( )

( ₂ ²

  )

; ) 2 ((

)

; 1

( M₂ L t x ² x

x

L_n  _n 

 



^{L t x xL t x x L}

 

^x



x M

L_n 2 _n( ; ) 2 _n( ; ) _n 1; )

; 1

(  ₂ ²   ²

 



^{(1; )1}



^{  2} ₂

 

^{( 2; ) 2}



^2



^{( ; )}



^{ 2}



^{(1; )1}

 

 M L t x x xL t x x x L x

x

L_{n n n n}

 





^{L x}



^M



^{L t x x}



^{M x}



^{L t x x}



M x

n n

n     



 

 



 4 ( ; )

)

; 2 (

1 )

; 1 2 (

2 2 2

2 2

2  

 



elde edilir.

 

a b

x , olduğundan

M b M x

M b M x

2 2

2 2 2

2

4 ,4

2 2





 

    



 

  dir.

12

O halde ₁ 2 ₂ , ₂ 2 ₁, _{3 1} ²

b C C

bC M C

C    

 ^dersek

1 )

; 1 ( )

; ( )

; ( )

; ) ( ) (

(f t  f x x  C₁ L t² x x² C₂ L t x x C₃ L x 

L_n  _{n n n}

yazılabilir ve burada  0 istenilen kadar küçük sayıdır. Tanım



^2.2.1



^,

 

^{2.5 ve}

 

2.6 eşitsizliklerinden dolayı n için

  0

)

; ) ( ) (

(  , 

b a

n f t f x x c

L

olur ve operatörün monotonluk özelliği kullanılarak 0

) ( )

;

(f x  f x  L_n

elde edilir. Böylece istenen sonuç elde edilir.

2.4. Ağırlıklı Uzaylarda Yaklaşım

Korovkin Teoremi reel eksenin sonlu ve kapalı aralıklarında verilmiştir. Reel eksenin tamamında veya sınırsız alt aralıklarında yaklaşım koşullarını Gadjiev [8,9]

araştırmıştır. Ağırlıklı uzaylar için Korovkin yeterli olmamaktır. Bu sebeple ağırlıklı uzaylarda Korovkin teoreminin karşılığı olarak Baskakov teoremi verilmiştir.

Tanım 2.4.1. 

 

x reel eksende sürekli monoton artan bir fonksiyon olmak üzere

 

^{x 1}





 

^x



²

   ……….………..….……….(2.7) şeklinde  fonksiyonu tanımlansın:

0 )

( )

(x M_f x M_f 

f  ………...…… …(2.8) eşitsizliğini sağlayan reel değişkenli ve reel değerli fonksiyonların kümesi B_(R) ile bu uzaydaki sürekli fonksiyonların kümesi ise C_(R) ile gösterilmektedir.

Yani

   



^{: .}



^,

)

(R f f x M x

B_   _f 



^{( ): sürekli}



)

(R f B R f

C_   _

13

şeklinde ifade edilmektedir.B_(R) uzayında, toplama ve skalerle çarpma işlemleri aşağıdaki gibi tanımlansın.



^,



^.

) ( ) ( :

g f g f

R B R B







 _{ }

Bu durumda xR için



f g

 

x  f

   

x g x

   

 

x M

 

x M

x g x f

g

f  







olur ve bu eşitsizlikte (2.4.2)den dolayı



^f ^g

 

^x 



^Mf ^Mg





 

^x

elde edilir. Buna göre her f,gB_(R) için f gB_(R)dir.

F herhangi bir cisim olmak üzere



^f



^f

R B R B F













 ,

) ( )

(

R x

 için

  

.f x .f

 

x şeklinde tanımlansın.

) (R B

f  _ ise

  

f x f

dır. (2.4.2) ve

  

^{f x} ^f .^Mf.

 

^x ^M'f

 

^x olduğundan f B_(R) için

F

 olmak üzere

 

f B_(R)dir.

) (R

B_ yukarıda tanımlanan toplama ve skalerle çarpma işlemlerine göre bir lineer uzaydır. Bu uzayda norm

   

x x f f

R

x 

 sup_ ………...….…...……..(2.9) şeklinde tanımlanır. Bu norm ile B_(R)ve C_(R) lineer normlu uzaylardır. Burada

 fonksiyonuna Ağırlık fonksiyonu, B_(R) ve C_(R) uzaylarına ise Ağırlıklı uzaylar denir.

) (R

C_ uzayında

14

   

^{ }



 f

x k

x x f

lim  ……….………….(2.10) koşulunu sağlayan fonksiyonların kümesi C_^k(R) ile gösterilir. C_^k(R) ve C_(R),

) (R

B_ nin alt uzayıdır.

Lemma 2.4.1: C_(R)de tanımlı bir lineer pozitif operatörün C_(R)den B_(R)ye dönüşüm yapması için gerek ve yeter koşul

 

x M

L ; _  ………..…..…….(2.11)

olacak şekilde M 0 sayısının bulunmasıdır.

İspat:

Önce f C_(R) olsun ve L:C_(R)B_(R) dönüşümünün var olduğu kabul edilsin. Buna göre f C_(R) için ^L

 

^{f;x B}_^(R)olur.

Özel olarak M₁ 0 olmak üzere 

 

x M₁.

 

x olduğu için 

 

x C_

 

x ve

 

^{x B}

 

^x

L ;  _ olur. Bu ise (2.8) kullanılarak

 

x M

 

x L ;  .

olacak şekilde M 0 sayısının bulunması demektir. Buradan

 

 

x ^M x

L 



;

eşitsizliği elde edilir. Böylece son eşitsizlik,

   

x ^M x f

R x



 

sup olur. (2.8) kullanılarak, buradan L

 

;x _ M sonucu elde edilmiş olur.

 

x M

L ; _  olacak şekilde M 0 sayısının var olduğu kabul edildiğinde

   

 

x ^M x x f

L

R x





 

; _ sup olduğuna göre

15

   

x ^M x

L 



;

elde edilir. Bu ise

 

x M

 

x

L ;  . ………..……....……….….(2.12)

anlamına gelir.

) (R C

f  _ olduğu için (2.8)den dolayı ^f

 

^x ^Mf.

 

^x olacak şekilde M_f 0 vardır. Lineer pozitif operatörlerin monotonluk özelliği ve Lnin lineerliği kullanılarak

     

 

 

x M M

x L M

x f L f x

L x f L x f L

f f





 

 

.

;

;

;

;

;













 



elde edilir. (2.12) özelliği kullanılarak M_fM M₂ seçilirse

 

x M

 

x L ;  ₂.

eşitsizliği elde edilir ki bu da ^L

 

^f;^x ^B_

 

^R olduğunu ispatlar.

Lemma 2.4.2:L:C_(R)B_(R) lineer pozitif operatörü tanımlansın. Bu durumda

 

_



 L  x

L _{C B}  ; ………....………..…………..………….(2.13) dir.

İspat:

Operatör normu tanımından

 









 f

x f L L

B f C

; sup

0

 

 

 _



x L

f

; sup

1



 

 

_^







 



 

x x f L L

R x B f

C 









; sup sup

1

16

olur. Lineer pozitif operatörlerin monotonluk özelliğinden

 

 

_^



 



 

x x f L L

R x B f

C^{ } _ 

sup ; sup

1

 























 









 x

f x L

R x

f 

 



; . sup sup

1

   

   























 





 ^



 x

t x t t f

L

R x

R x

f 

 



; sup sup

sup

1

 

 

 

^







x f x t L

R x

f 



 





sup ; sup

1

 L

 

;x _ ………..…...………..……….(2.14) eşitsizliği elde edilir.

Diğer taraftan  _ 1 olduğundan

 

_

 

_



 



x L x

f L L

B f

C sup ; ;

1





  …….………..………….(2.15) eşitsizliği bulunur. (2.14) ve (2.15)den (2.12) elde edilir.

Teorem 2.4.2: 

 

x reel eksende sürekli monoton artan bir fonksiyon olmak üzere

 

x 1

 



 

x ²

   ağırlık fonksiyonu olsun. Bu durumda C_(R) uzayından B_(R) uzayına öyle bir

 

A lineer pozitif operatörler dizisi tanımlanabilir ki, bu operatörler n

dizisi için



;

  

0 0,1,2

lim   



   





 x x

A_n

n

şeklindeki üç şart sağlanmasına rağmen öyle bir f^*C_(R) fonksiyonu bulunabilir ki;



;

  

1

lim ^*  ^* 



 A_n f x f x  n

17

olur. Bu Teorem Korovkin Teoremin’nin sonsuz bölgelerde geçerli olmadığını gösterir.

Örnek 2.4.1. f C



0,



olmak üzere

           

   





















 

n x x

f

n x x

f x f x

n f x x f

f A_n

, 0

, 0

1 2

2 1 1

;

şeklinde tanımlansın.

 

x  x

 ve 

 

x 1 x ² olsun. A lineer pozitif operatördür. _n

           

   





















 

n x x

n x x

x n x

x x A_n

, 0

, 0

1 2

2 1 1

;









 

 

x

 

x

A_n ; 2 olduğundan (2.12) ya göre A ,_n C_sınıfından B_ya bir dönüşüm tanımlar.

Şimdi Korovkin şartlarının sağladığını gösterelim. A_nnin tanımı gereğince

 

1;x 1

A_n ve A_n

 

t;x x olduğu açıktır.

   ^{   } 



 



















 

n x x

n x x

x n x

x x t A_n

, 0

, 0

1 2

2 1 1

;

2

2 2 2 2

2

olduğundan n için ^An

 

^{t2;x x2}



 dir. Buradan Korovkin Teoreminin şartları sağlandığı gösterilmiş oldu.

Şimdi ise C dan _ f^*

 

x  x²cosx fonksiyonu göz önüne alındığında,

  ^{ }  ^{     } 

   





















 

n x x

f

n x x

f x f x

n f x x f

f A_n

, 0

, 0

1 2

2 1 1

;

*

*

*

*

*

*

     



 











 



n x

n x x

n x x

f x f A_n

, 0 0

, 0

2 4 2 cos

1

;

2

*

* 

olur. Buradan

18

       

 

 

 

n n

x n x

x x f x f A x

f x f A

n x

n

R x n

1 2

2 4 cos 2 sup

1

; sup

;

2

2 ,

0

*

*

*

*

 





 













elde edilir ve buradan



^*;



 ^*

 

1 x 

f x f

A_n dir. Bu ise Ağırlıklı uzaylarda Korovkin teoreminin şartları sağlanmasına rağmen yakınsamanın sağlanmadığını göstermektedir.

2.5 Baskakov Teoremi

1962 yılında Baskakov, Korovkin teoremindeki f nin tüm reel eksende sınırlı olması koşulu yerine 1x² fonksiyonuyla sınırlı olması halinde de yine düzgün yakınsamasının olduğunu ispatlamıştır. Baskakov’un bu teoremi ve ispatı aşağıdaki gibidir:

Teorem 2.5.1 (Baskakov): f C

 

a,b ve tüm reel eksende f(x) M_f (1x²) olsun. L_n

 

f;x lineer pozitif operatörler dizisi olmak üzere x

 

a,b için

i)L_n

 

1;x ^_ 1, ii)L_n

 

t;x ^_ x, iii)^Ln

 

^{t2;x x2}



 ……….………..…….(2.16) koşullarının sağlanması için gerek ve yeter koşul

 

f x f

 

x

L_n ; ^_ ………..………..(2.17) olmasıdır.

19 İspat:

 

a b x

x, ,

,

1 ²  ve

) 1 ( )

(x M x²

f  _f  ………...…….………..(2.18) koşulunu sağladıklarından dolayı ^Ln

 

^{f x f}

 

^x



;  olması durumunda



^2.16



koşulları sağlanır.



2.16



deki koşulların sağlanması halinde ^Ln

 

^{f x f}

 

^x



; olduğunu göstermek ispat için yeterlidir.

 

a b C

f  , olsun. f fonksiyonu sürekli olduğundan  0 için  vardır öyle ki )

, (



t ve ^x

 

^{a,b için tx } olduğunda





 ( ) )

(t f x

f ………..……….………(2.19)

sağlanır. Eğer tx  ise  1

 x

t olacağından ( ) 1

2 2 



 x

t eşitsizliği geçerlidir.

(2.18)den ve üçgen eşitsizliğinden ) 1 1

( )

( )

(t f x M t² x²

f   _f   

M_f(2



txx



² x²)

M_f(2(tx)² 2x(tx)x² x²) M_f(2(tx)² 2xtx 2x²)

_







   





2

2 2

2 2

2 2 1

)

(   

x x x

t

M_f ……..……….…...(2.20)

olarak elde edilir. Burada

 

_







   

 ₂ 2₂²

2 2 1

 



x x x

K dir. ^x

 

^{a,b için}

yukarıdaki K

 

x in sınırlı olduğu açıktır.  0 için



2.19



ve



2.20



den

 

^x

K x t M x

f t

f( ) ( )  _f(  )² ………..………...(2.21) yazılabilir. L_noperatörü (2.21) eşitsizliğine uygulanır, basit düzenlemeler yapılırsa