TEKNOLOJİK ARAŞTIRMALAR

ISSN:1304-4141

Makine Teknolojileri Elektronik Dergisi 2004 (4) 9-16

TEKNOLOJİK

ARAŞTIRMALAR

Kısa Makale

Mermer Kesme Diskinin Sonlu Elemanlar Metodu İle Doğal Frekansların Belirlenmesi

Süleyman TAŞGETİREN, İsmail UCUN

Afyon Kocatepe Üniversitesi, Teknik Eğitim Fakültesi, Makine Eğitimi Bölümü/AFYON

ÖZET

Titreşim hareketi yapan bir sistemde istenmeyen salınımlar meydana gelebilmektedir. Bu salınımların büyük olması sistemin genliğinin artmasına sebep olmaktadır. Sönümlü bir sistemin genliği zaman ile azalmakta ve küçük salınımlar ile titreşim hareketi yapmaktadır. Sönümün olmaması durumda ise, sistemin genliği zaman ile artmakta ve bunun sonucu olarak rezonans meydana gelmektedir. Rezonans ile istenmeyen hasarlar oluşmaktadır. Bu sebeple sistemin serbest titreşim durumundaki doğal frekans değerleri ve mod şekillerinin bilinmesi ile rezonans durumu engellenmiş olur. Doğal frekans değerleri ve mod şekilleri bir sistemin tasarımı için önemli parametrelerdir.

Bu çalışmada, mermer kesme diskinin sonlu elemanlar metodu ile serbest titreşim durumundaki doğal frekans değerleri ve mod şekilleri bulunmuştur. Bu değerlerin bulunmasında modal analiz yaklaşımı uygulanmıştır.

Diskin hareketsiz durumunda bulunan doğal frekans değerlerinin yanından diskin dönme etkisinden dolayı meydana gelen gerilmeler göz önüne alınarak farklı hızlarda modal analiz yapılmış ve farklı doğal frekans değerleri elde edilmiştir. Bu değerler farklı flanş çaplarına bağlı olarak elde edilmiştir. Aynı zamanda bulunan bu değerler ile birlikte diskin rezonans durumu incelenmiştir.

Anahtar kelimeler: Kesici Diskler, Modal Analiz, Titreşim, Sonlu Elemanlar Metodu

1. Giriş

Mermer endüstrisinde önemli bir yere sahip olan kesici diskler yüksek kesme hızlarında kesme yapmaktadır. Bu sebeple kesici diskler statik ve dinamik olmak üzere çeşitli zorlanmalara maruz kalmaktadır. Diskin dinamik tepkisini bulmak için çeşitli metotlar ile analiz yapılarak doğal frekans değerleri ve mod şekilleri bulunur.

Disklerdeki doğal frekans değerleri açısal hızın artmasıyla artmaktadır[1]. Kritik hız olarak tanımlanan doğal frekansların açısal hıza eşit olması durumunda ise rezonans meydana gelmektedir. Diskin rezonansa gelmesi sonucu titreşim genliği büyümekte ve istenmeyen salınımlara sebep olabilmektedir. Disklerin özellikle dönme etkisi göz önüne alındığında önemli frekans değişimleri meydana gelebilmektedir [2].

Disk ve çember gibi dairesel elemanların titreşim analizinde genellikle model çok serbestlik dereceli sistem olarak ele alınmaktadır [3,4]. Bunun yanında sabit bir açısal hız ile dönen diskler tek serbestlik dereceli olarak ele alınarak da çeşitli çalışmalar yapılmıştır [5].

Diskte serbest titreşimden dolayı meydana gelen titreşim modları disk kalınlığına bağlı olmaktadır [6].

Hongxing ve Sol [7] yaptığı çalışmada kompozit malzemeden yapılmış dairesel bir plağın plak rijitliğinin doğrulanması için bir metot geliştirmiştir. Nümerik çalışmada sonlu elemanlar metodu referans alınıp

izoparametrik yaklaşım tercih edilmiştir. Elde edilen denklemler yardımı ile incelenen diskin ilk on moda ait doğal frekans değerleri bulunmuştur.

Büyük diskler, titreşim enerjisinin çoğunu aldığı için, şaftın titreşim genlikleri ihmal edilebilecek derecede küçük olmalıdır. Esnek disklerde özellikle doğal frekans değerleri normal disklere nazaran daha yüksek çıkmaktadır[8,9]. Jiang ve Miles [10] serbest titreşim yapan bir hardisk içindeki diskin kritik titreşim modlarını bularak, disk okuyucu başlığının sönümleme etkisini araştırmışlardır. Disklerin titreşimi ile ilgili genellikle nümerik ve analitik çözümler yapılmaktadır. Nümerik çözümlerde en çok kullanılan yöntem sonlu elemanlar (SEM) dır.

Bu çalışmada, mermer kesme diskinin sonlu elemanlar metodu ile serbest titreşim durumundaki doğal frekans değerleri modal analiz yöntemi ile bulunmuştur. Diskin dönme hızından dolayı meydana gelen gerilmeler göz önüne alınarak farklı hızlarda modal analiz yapılmış ve doğal frekans değerleri elde edilmiştir. Bulunan bu değerler ile birlikte diskin rezonans durumu incelenerek kritik hızlar tespit edilmeye çalışılmıştır.

2. Matematiksel Model

Bütün sistemler sönümlenebilen sistemler olarak tarif edilir. Sönümleme, sistemin özelliğine göre farklılık gösterebilir. Eğer sönüm varsa, yapılacak olan modal analiz ile bulunacak olan doğal frekans ve modlar, sönümlenmiş parametreler olarak ifade edilir. Sönümlü bir sistemin modal analizinden çıkarılacak olan genel çözüm için hareket denklemini tanımlayacak olursak,

=0 + +Cx Kx x

M&& & (1)

olur. Burada (M) kütle, (K) rijitlik matrisi, (x&&) ivme, (x&) hız, (x) yer değiştirme olarak tanımlanmıştır.

Çözüm için modal matrisi,

[

]

TCΦ = D c₁,c₂...c

Φ (2)

ile ifade edilir. Burada C sönümleme matrisi, D ise

[

]

K M

C =α +β (3) ile gösterilir. Burada sırasıyla α ve β Ragleigh sönümleme parametreleri olarak adlandırılır [11] (2)

eşitliğindeki diagonal matrisi ihmal edilerek eşitliğimiz,

[

]

TCΦ = D 2ς w

Φ (4)

ile ifade edilir. Burada ς i modundaki modal sönümleme faktörü, _i w_i ise, i modundaki doğal frekans değerini göstermektedir. Sönümleme faktörü,

2 2

i i i

w w α β

ς = + (5)

ile belirtilir. Eşitlik (1)’deki ifadeden lineer bir dönüşümle çözüm, q

x=Φ (6)

0

2 + ² =

+ _{i i i i i}

i w q w q

q&& ς & (7) şeklinde yazılır. Buradan genel çözüm,

[

]

e

q_i = ^−ςiwit α_icos _di +β_isin _di (8)

olarak ifade edilir. Burada qi i, modundaki düğüm noktasını göstermektedir. w ise başlangıç durumuna _di bağlı olarak i modundaki doğal frekans değerini gösterir ve

12 2) 1

( _i

i

di w

w = −ς (9) şeklinde ifade edilir.

3. Materyal ve Metot 3.1. Geometrik Model

Çözümü yapılacak olan mermer kesme diskine ait model AutoCAD programı yardımıyla oluşturulmuştur.

Bu programda iki boyutlu olarak çizimi yapılan mermer kesme diski .igs olarak kaydedilmiştir. Daha sonra .igs uzantılı model ANSYS programına aktarılmıştır. Şekil 1’de çözümü yapılan mermer kesme diskinin geometrik yapısı gösterilmiştir. Aynı zamanda bu modele bağlı olarak geometrik özellikleri Tablo 1’de belirtilmiştir. Şekil 1’de gösterilen rf değeri flanş yarı çapını göstermekte olup hesaplamalarda değişken alınmıştır.

Şekil 1. Mermer Kesme Diskinin Geometrik Modeli Tablo 1. Diskin Geometrik Özellikleri Delik yarıçapı rd

(mm) Disk yarıçapı R

(mm) Kalınlık t (mm)

20 200 Soket 4 Disk 2.5

Mermer kesme diski gövde ve soketler olmak üzere iki parçalı olarak modellenmiştir. Modellemede disk gövdesi ve soketler olmak üzere ayrı ayrı mekanik özellikler tanımlanmıştır. Disk ve soketler için mekanik özellikleri Tablo 2’de gösterilmiştir.

R

rf rd flanş

kesici uç

kesme diski

Tablo 2. Disk ve Soketlerin Mekanik Özellikleri [12,13]

Elastisite

Modülü (E) Yoğunluk (ρ) Poisson oranı (ν) Disk Gövdesi 210 GPa 7600 kg/m³ 0.29

Soketler 120 GPa 8500 kg/m³ 0.25

3.2. Sonlu Elemanlar Modeli

Mermer kesme diskinin sonlu elemanlar modelini oluşturmak için AutoCAD ve ANSYS programları birlikte kullanılmıştır. ANSYS’e aktarılan iki boyutlu model disk gövdesi ve soketler olmak üzere iki farklı alanda tanımlanmıştır. Tanımlanan bu alanlarda 8 düğümlü izoparametrik elemanlı sonlu elemanlar modeli oluşturulmuştur. Şekil 2’de mermer kesme diskinin sonlu elemanlar modeli gösterilmiştir.

Çözümde diskin tamamı kullanılmış olup burada yalnızca ¼ lük kısım verilmiştir.

Çözümün gerçekleştirilmesi için ele alınan sınır şartları delik çevresi boyunca x, y ve z ekseninde tutulurken, delik çevresinden flanş çapına kadar olan bölge z ekseninde tutulu olarak tanımlanmıştır.

Çalışmada tek tip disk kullanılmış olup farklı flanş çapları ele alınmıştır. Ayrıca flanş çapı z eksenindeki sınır şartlarını göstermektedir. Disk için ele alınan sınır şartları şekil 2’de gösterilmiştir.

Şekil 2. Mermer Kesme Diskinin ¼ lük Kısmının Sonlu Elemanlar Modeli

Ansys’de tanımlanan sonlu elemanlar modelinde shell eleman tipi kullanılmıştır. Yapılan modal analizde Block Lanczos yöntemi kullanılarak doğal frekanslar belirlenmiştir [11]. Bu yöntem, modal analiz de shell eleman tipli modellerde kullanılmaktadır.

4. Sonuçlar ve Tartışma

ANSYS’de sonlu elemanlar metodu ile yapılan analizlerde doğal frekans değerleri ve titreşim modları farklı flanş çapları esas alınarak bulunmuştur. Analiz sonucunda elde edilen doğal frekans değerleri flanş çapına bağlı olarak değişimi şekil 3’de gösterilmiştir.

Düğüm sayısı: 43146 Eleman sayısı: 14004

y

z x flanş

bölgesi

soket

0 100 200 300 400 500

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

rf / R

Frekans (Hz)

f1 f2 f3 f4 f5 f6

Şekil 3. Flanş Çapına Bağlı Doğal Frekans Değerleri

Flanş çapına bağlı olarak bulunan doğal frekans değerlerinde flanş çapının artmasıyla doğal frekans değerlerinin arttığı görülmektedir. 2. ve 3. frekans değerleri ile, 4.ve 5. Frekans değerleri eşit çıkmıştır fakat titreşim yönleri farklıdır. Birisi teğetsel yönde salınım yaparken diğer frekansta ise radyal yönde salınım yapmaktadır. Doğal frekans değerlerinin yüksek olması diski rezonans durumundan uzak tutmaktadır. Flanş çapının küçülmesi ile disk düşük devirlerde rezonansa gelebilmektedir. Flanş çapının büyümesi ise talaş derinliğini düşürmektedir. Mermer kesme işleminde talaş derinliğinin azalması istenmeyen bir durumdur. Bu durumda disk optimum flanş çapı seçilerek bağlanılması gerekir. Küçük flanş çaplarında Titreşim hareketi yapan sistemlerde genellikle rezonans durumundan kaçmak için sistemde büyük kütle değişimi yapılmaktadır. Bu amaçla özellikle büyük çaplı mermer kesme diskleri rezonans durumundan kaçmak için disk üzerine özel delikler açılmaktadır. Bu delikler diskte önemli kütle değişimi sağlamadığı için çok büyük frekans değişimleri gerçekleşmektedir. Doğal frekans değerlerine karşın diskin titreşim modları şekil 4’de gösterilmiştir.

Bulunan altı doğal frekans değerine karşın sırasıyla on iki farklı titreşim mod şekilleri ele alınmıştır.

Bulunan titreşim modları enine titreşim durumunu göstermektedir. Boyuna titreşim durumlarını bulmak için farklı sınır şartları tanımlanması gerekir.

Şekil 4’de gösterilen titreşim modlarında ilk sayı nodal daire sayısı, ikinci sayı ise nodal çapı göstermektedir. Şekil 4 a’da nodal daire sayısı bir olup, nodal çap sayısı sıfırdır. Yani disk bu mod şeklinde titreşim yaparken üzerinde daire boyunca sıfırdan geçen bir bölge bulunmaktadır. Şekil 4 b ve c’de nodal daire ve nodal çap birer defa oluşmaktadır. Bu mod şekilleri birbiri ile aynı olmasına rağmen yönleri ve konumları farklıdır. Şekil 4 d ve e’de nodal daire oluşmamakta, iki nodal çap meydana gelmektedir. Elde edilen diğer mod şekillerinde bazı modlar aynı fakat yönleri farklı çıkmıştır. Aynı zamanda mod şekillerinden sadece I. II. ve III. mod şekillerinde nodal daire oluşmakta, diğer bütün modlarda ise nodal daireler oluşmayıp nodal çap oluşmaktadır. Diskte görülen (1,0), (1,1) ve (1,1) modları rezonans açısından tehlikeli mod şekilleridir. Çünkü bulunan doğal frekanslar ile diske verilen kesme hızları çakışabilmektedir. Diğer mod şekillerindeki doğal frekans değerleri çok yüksek olduğundan bu hızlarda rezonansı yakalaması zordur. Rezonans açısından en tehlikeli durum flanş çapının 40 ve 80 mm olmasıdır. Bu durumda disk rezonansı yakalayarak istenmeyen salınımlara sebep olacaktır. En tehlikesiz durum flanş çapının 250 mm olmasıdır. Bu durumda rezonansı yakalaması imkansızdır fakat falanş çapının artması talaş derinliğini düşürdüğünden tercih edilmez.

a) 1,0 b) 1,1 c) 1,1

d) 0,2 e) 0,2 f) 0,3

g) 0,3 h) 0,4 i) 0,4

j) 0,5 k) 0,5 l) 0,6

Şekil 4. Modal Analiz İle Elde Edilen Titreşim Modları

Şekil 4’de gösterilen titreşim modlarında ilk sayı nodal daire sayısı, ikinci sayı ise nodal çapı göstermektedir. Şekil 4 a’da nodal daire sayısı bir olup, nodal çap sayısı sıfırdır. Yani disk bu mod şeklinde titreşim yaparken üzerinde daire boyunca sıfırdan geçen bir bölge bulunmaktadır. Şekil 4 b ve c’de nodal daire ve nodal çap birer defa oluşmaktadır. Bu mod şekilleri birbiri ile aynı olmasına rağmen yönleri ve konumları farklıdır. Şekil 4 d ve e’de nodal daire oluşmamakta, iki nodal çap meydana gelmektedir. Elde edilen diğer mod şekillerinde bazı modlar aynı fakat yönleri farklı çıkmıştır. Aynı zamanda mod şekillerinden sadece I. II. ve III. mod şekillerinde nodal daire oluşmakta, diğer bütün modlarda ise nodal daireler oluşmayıp nodal çap oluşmaktadır. Diskte görülen (1,0), (1,1) ve (1,1) modları rezonans açısından tehlikeli mod şekilleridir. Çünkü bulunan doğal frekanslar ile diske verilen kesme hızları çakışabilmektedir. Diğer mod şekillerindeki doğal frekans değerleri çok yüksek olduğundan bu hızlarda rezonansı yakalaması zordur. Rezonans açısından en tehlikeli durum flanş çapının 40 ve 80 mm olmasıdır. Bu durumda disk rezonansı yakalayarak istenmeyen salınımlara sebep olacaktır. En tehlikesiz durum flanş çapının 250 mm olmasıdır. Bu durumda rezonansı yakalaması imkansızdır fakat falanş çapının artması talaş derinliğini düşürdüğünden tercih edilmez.

Dönen disklerde genel olarak dönme etkisinden kaynaklanan çeşitli gerilmeler meydana gelmektedir. Bu durum göz önüne alınarak dönme hızına bağlı modal analizler yapılmıştır. Mermer kesme diskinin çeşitli dönme hızlarında yaptığımız modal analiz sonuçları Tablo 3, 4, 5 ve 6’da verilmiştir.

Tablo 3. Dönme Hızına Bağlı Doğal Frekans Değerleri (v=1000dev/dk) Flanş Yarıçapı rf (mm)

Mod

20 40 60 75 100 125 1 42,04 76,42 102,54 128,23 198,33 350,08

2 42,11 76,46 102,55 129,61 202,45 355,74

3 55,57 81,04 103,35 129,63 202,49 355,85

4 85,27 99,94 122,32 148,31 221,28 375,01

5 85,31 99,98 122,36 148,36 221,29 375,07

6 181,33 183,61 192,82 208,92 268,32 412,91

Tablo 4. Dönme Hızına Bağlı Doğal Frekans Değerleri (v=1500dev/dk) Flanş Yarıçapı rf (mm)

Mod

20 40 60 75 100 125 1 46,19 79,23 105,01 130,21 200,14 351,61

2 46,24 79,27 105,03 131,86 204,36 357,29

3 57,42 83,05 105,37 131,91 204,41 357,41

4 89,57 103,61 125,48 151,11 223,41 376,64

5 89,59 103,71 125,52 151,12 223,51 376,71

6 184,61 186,82 195,87 211,75 270,62 414,62

Tablo 5. Dönme Hızına Bağlı Doğal Frekans Değerleri (v=2000dev/dk) Flanş Yarıçapı rf (mm)

Mod

20 40 60 75 100 125 1 51,42 82,99 108,11 132,91 202,62 353,72

2 51,45 83,02 108,35 134,93 206,99 359,44

3 59,88 85,75 108,36 134,96 207,03 359,56

4 95,22 108,61 129,75 154,85 226,37 378,89

5 95,23 108,64 129,79 154,91 226,39 379,01

6 189,05 191,21 200,04 215,63 273,81 417,02

Tablo 6. Dönme Hızına Bağlı Doğal Frekans Değerleri (v=2500dev/dk) Flanş Yarıçapı rf (mm)

Mod

20 40 60 75 100 125 1 57,49 87,62 111,56 136,33 205,8 356,44

2 57,53 87,65 112,54 138,82 210,36 362,22

3 62,92 89,11 112,55 138,91 210,41 362,33

4 102,01 114,75 135,09 159,58 230,15 381,81

5 102,11 114,77 135,13 159,61 230,16 381,86

6 194,68 196,76 205,34 220,56 277,86 420,05

Bu diskte genellikle 150 mm çaplı flanş kullanıldığından, frekansların değerlendirilmesinde bu flanş çapı göz önüne alınmıştır. Dönme hızı dikkate alınmadan yapılan modal analiz ile elde edilen doğal frekans değerleri ile dikkate alınarak yapılan analiz sonuçlarındaki doğal frekans değerleri arasında farklılık bulunmaktadır. İkinci durumda doğal frekans değerlerinin hızın artmasıyla arttığı gözlenmiştir. Bu artış çok yüksek olmamakla birlikte ihmal edilemeyecek düzeydedir. Bu artış özellikle 1. ve 2. doğal frekans değerlerinde düşük olup, daha büyük frekans değerlerinde yüksektir. 1. Frekans değerlerini ele aldığımızda 1000 d/dk hızda 128,23 Hz çıkarken, 2500d/dk ise 136,33 Hz çıkmaktadır. 1. frekanslarda her 500d/dk’lık hız artışında yaklaşık 2 Hz artmaktadır. Farklı hızlarda yaptığımız modal analizlerde hız değerlerinin etkisi göz ardı edilemeyecek düzeydedir. Dönme etkisini göz önüne aldığımızda düşük flanş

Eğer sistemde küçük çaplı flanş kullanılacaksa diski rezonansa getirecek olan kritik hızlardan uzak tutulması gerekir.

5. Sonuç

Yapılan farklı modal analizlerde flanş çapına bağlı olarak doğal frekans değerleri bulunmuştur. Doğal frekanslar, büyük flanş çaplarında yüksek değerlerde elde edilmiştir. Küçük flanş çaplarında ise küçük doğal frekans değerleri bulunmuştur. Doğal frekansların düşük çıkması rezonans açısından tehlikeli olmaktadır. Çünkü disk düşük hızlarda bu frekans değerlerini yakalayabilmektedir. Optimum olarak flanş çapının 150mm kullanılması gerekir. Disk açısından en tehlikeli modlar 1. ve 2. mod şekilleri olup küçük tahrik kuvvetlerinde rezonansı yakalayabilir.

Farklı hızlarda yapılan modal analizde bulunan doğal frekans değerleri hızın artması ile artış gösterdiği görülmüştür. Bu artış ihmal edilmeyecek düzeydedir. Bazı frekansların eşit çıkması diskin malzemesine bağlı olduğu görülmüştür. Aynı zamanda, nodal daire sayısı sadece ilk titreşim modlarında oluşurken diğer bütün modlarda nodal çap meydana gelmiştir.

Kaynaklar

1. Parker R.G. and Sahte P.J., 1998, “Exact Solutions for the Free and Forced Vibration of a Rotating Disk-Spindle System”, Journal of Sound and Vibration, Vol.223 (3), pp.445-465.

2. Ucun İ., “Mermer Kesme Disklerinin Sonlu Elemanlar Metodu İle Gerilme ve Titreşim Analizi”, A.

Kocatepe Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Yüksek Lisans Tezi, 2004.

3. Smith R.G.and Nurick G.N., 1991, “The Deformation and Tearing of Thin Circular Plates Subjected to Impulsive Loads”, International Journal Impact Engineering, Vol.11(1), pp.77-91.

4.Weinsensel G.N. and Schlack A.L., 1993, “Response of Annular Plates to Circumferentially And Radially Moving Loads”, Journal of Applied Mechanics, Vol.63, pp.649-661.

5. Hernried A.G. and Gustafson G.B., 1988, “On the Dynamic Response of a Single-Degree-Of-Freedom Structure Attached to the Interior of a Rotating Rigid Ring”, Journal of Applied Mechanics, Vol.55, pp.201-205.

6. Cote A., Atalla N., Nicolas J., 1997, ”Effects of Shear Deformation and Rotary Inertia on the Free Vibration of a Rotating Annular Plate”, Journal Vibration and Acoustics, Oct, Vol.119, pp.641-643.

7. Hongxing H., Sol H., Wilde W.P., 2000, “Identification of Plate Rigidities of a Circular Plate with Cylindrical Orthotropy Using Vibration Data”, Computers and Structures, Vol. 77, pp.83-89.

8. Wu.F. and Flowers A., 1992, “Transfer Matrix Technique for Evaluating the Natural Frequencies and Critical Speeds of a Rotor with Multiple Flexible Disks”, Journal of Vibration and Acoustics”, APR., Vol.114, pp. 242-247.

9. Cole K.A. and Benson R.C., 1988, “A Fast Eigenfunction Approach for Computing Spinning Disk Deflections”, Journal of Applied Mechanics, JUNE, Vol.55, pp.453-457.

10. Jiang L. and Miles R.N.,1999, “A Passive Damper for the Vibration Modes of the Head Actuator in Hard Disk Drives”, Journal of Sound and Vibration, Vol.220(4), pp.683-694.

11. Petyt M., 1990, “Introduction to Finite Element Vibration Analysis”, Cambridge University Pres, 1.

Edition, Britain.

12. Kristiansen U.R., 1980, “A Coincidence Criterion for Effective Sound Radiation From a Resonant Free Running Circular Saw Blade”, Applied Acoustics, Oct.,Vol.14, pp.267-280.

13. Sung C., 1999, “Brazed Diamond Grid: a Revolutionary Design for Diamond Saws”, Diamond and Related Materials, Vol.8, pp.1540-1543.