ÜNİTE MATEMATİK I. Prof. Dr. Nejmi CENGİZ İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER VE DENKLEMLER

ÖZDEŞLİKLER VE DENKLEMLER

MATEMATİK I

Prof. Dr.

Nejmi CENGİZ

ÜNİTE

3

HEDEF LER • Bu üniteyi çalıştıktan sonra;

• Özdeşlikleri öğrenebilecek,

• Çarpanlara ayırmayı öğrenebilecek,

• Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözebilecek,

• İkinci dereceden denklemleri çözebileceksiniz.

İÇİNDEKİLER

• Özdeşlikler

• Çarpanlara Ayırma

• Denklemler

• Birinci Dereceden Denklemler

• İkinci Dereceden Denklemler

Özdeşlikle

r

• Özdeşlik Tanımı ve sık kullanılan özdeşlikler

• (x + y)

²

= x

²

+ 2xy + y

²

Çarpanlara Ayırma

•Ortak Çarpan Parantez Yöntemi

•Gruplandırma Yöntemi

•Özdeşliklerden Faydalanma Yöntemi

Denklemler

• Bir Bilinmeyenli Denklem Tanımı

• 𝑎

_𝑛

𝑥

^𝑛

+ ⋯ + 𝑎

₁

𝑥 + 𝑎

₀

= 0 (𝑎

_𝑛

≠ 0)

1. Dereceden Denklemler

• 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, 𝑎 ≠ 0

2. Dereceden Denklemler

• 𝑎𝑥

²

+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, 𝑎 ≠ 0

GİRİŞ

Bu bölümde matematiğin temel konularından olan ve birçok konuda karşılaşacağımız özdeşlikler, çarpanlarına ayırma, birinci dereceden ve ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler ele alınacaktır.

Birçok alanda hesaplama işlemi yapılırken muhakkak bir denklemle karşılaşırız. Bu tür denklemleri çözebilmek için elementer seviyede olan bir bilinmeyenli birinci ve ikinci dereceden denklemlerin çözüm mantığını bilmek gerekir. Bu iki bilinmeyenli denklemlerin çözümü için de temel teşkil eder. Bu tür denklemleri çözerken daha çok özdeşlikler ve çarpanlara ayırma işlemi kullanılır. O hâlde, temel çarpanlara ayırma ve özdeşlik kurallarını bilmek gerekir.

Yukarıda belirtilen sebeplerden dolayı öncelikle çarpanlara ayırma ve bilinmesi gereken özdeşlikleri ele alarak birinci ve ikinci dereceden denklemlerin çözüm yöntemleri üzerinde durulacaktır.

ÖZDEŞLİKLER

Bu bölümde matematik için temel olan özdeşlikler ve denklemler üzerinde durulacaktır.

İçinde bilinmeyenler bulunduran ve bilinmeyenlere uygulanan bazı işlemler sonucu elde edilen ifadelere cebirsel ifadeler denir. Örneğin 𝟓𝐱 − 𝟒, 𝟐𝐱^𝟐+ 𝟑, 𝐱^𝟐+ 𝐲 + 𝟏 ifadelerinin herbiri cebirsel ifade olarak adlandırılır. Bir cebirsel ifade içindeki bilinmeyenlere değişken denir. Cebirsel ifadeler içinde bulundurdukları değişkenlerin sayısına göre bir değişkenli, iki değişkenli veya n değişkenli cebirsel ifade olarak adlandırılır [3].

Aynı değişkenlere sahip iki cebirsel ifade verilmiş olsun. Değişkenlere verilen her değer için eşit olan cebirsel ifadelere özdeşlik adı verilir. Örnek olarak;

𝑥²− 𝑦²= (𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦)

eşitliği bir özdeşliktir. Burada 𝒙 ve 𝒚 değişkenleri yerine hangi değer verilirse verilsin eşitlik sağlanacaktır. Bunun gibi birçok özdeşlik yazılabilir. Bu özdeşliklerden bazıları,

 x²− y² = (x − y)(x + y)

 (x + y)²= x²+ 2xy + y²

 (x − y)²= x²− 2xy + y²

 (x + y)³= x³+ 3x²y + 3xy²+ y³= x³+ y³+ 3xy(x + y)

 (x − y)³= x³− 3x²y + 3xy²− y³= x³− y³− 3xy(x − y)

 x³+ y³ = (x + y)(x²− xy + y²)

 x³− y³ = (x − y)(x²+ xy + y²) biçimindedir.

Bu özdeşliklerle ilgili örnek olarak

2016²− 2015²= (2016 − 2015)(2016 + 2015) = 4031, Sağda verilen

özdeşliklerden x³+ y³ ve x³− y³ ile ilgili olanlar

(x + y)³ ve (x − y)³ özdeşliklerinin

bir sonucudur.

Çözüm:

Bu Sayılar 𝑥 ve 𝑦 olsun. 𝑥 + 𝑦 = 7, 𝑥𝑦 = 12 olarak verilmiştir.

(𝑥 + 𝑦)³= 𝑥³+ 𝑦³+ 3𝑥𝑦(𝑥 + 𝑦) Özdeşliğinde kullanılırsa,

(7)³= 𝑥³+ 𝑦³+ 3.12(7) 343 = 𝑥³+ 𝑦³+ 252

⟹ 𝑥³+ 𝑦³= 91 olur.

Çözüm:

Verilen ifade 𝑥³− 2³ olarak yazılır. Bu da,

𝑥³− 2³= (𝑥 − 2)(𝑥²+ 2𝑥 + 4) olur.

Çözüm:

Verilen ifade ^𝑥3−8

𝑥²+2𝑥+4

=

^{(𝑥−2)(𝑥2+2𝑥+4)}

𝑥²+2𝑥+4

= 𝑥 − 2

olarak bulunur.

Çözüm:

(𝑥 +1 𝑥)

2

= 𝑥²+ 2 + 1 𝑥²

⟹ (5)²= 𝑥²+ 2 + 1 𝑥²

⟹ 25 − 2 = 𝑥²+ 1 𝑥²

Örn ek

^{• 𝑥3}− 8 ifadesinin eşitini bulunuz ?

Örn ek

^{• 𝑥}

3−8

𝑥²+2𝑥+4 ifadesini en sade şekilde yazınız.

Örn ek

^{•𝑥 +1}_𝑥^{= 5 ise 𝑥2+ 1}_𝑥²ifadesinin değeri kaçtır?

𝑥³− 𝑦³

= (𝑥 − 𝑦)(𝑥²+ 𝑥𝑦 + 𝑦²)

Örn ek

• İki sayının toplamı 7 ve çarpımı 12 olduğuna göre bu sayıların küpleri toplamı kaçtır?

⟹ 𝑥²+ 1 𝑥²= 23 olur.

Çözüm:

1 𝑥+1

𝑦=𝑥 + 𝑦 𝑥. 𝑦 =7

5

⟹ 𝑥 + 𝑦 10 =7

5 ⟹ 𝑥 + 𝑦 = 14 olur. Diğer taraftan,

(𝑥 + 𝑦)²= 𝑥²+ 2𝑥𝑦 + 𝑦²⟹ 14² = 𝑥²+ 20 + 𝑦²

⟹ 𝑥²+ 𝑦²= 176 bulunur.

ÇARPANLARA AYIRMA

Verilen çok terimli cebirsel ifadeleri çarpanlara ayırmada genel bir yöntem yoktur. Aşağıda verilen yöntemler, özel yöntemlerdir. Problemin verilişine göre uygun yöntem kullanılır.

Ortak Çarpan Parantez Yöntemi

Verilen cebirsel ifadede bütün terimlerin ortak bir çarpanı varsa o ifadeyi ortak çarpan parantezine alarak çarpanlarına ayırabiliriz.

Aşağıdaki örnekleri inceleyelim.

𝑥²+ 5𝑥 = 𝑥(𝑥 + 5), 𝑥²𝑦 + 𝑥𝑦²+ 𝑥𝑦 = 𝑥𝑦(𝑥 + 𝑦 + 1), 𝑥(𝑥 + 1) + 𝑦(𝑥 + 1) = (𝑥 + 1)(𝑥 + 𝑦), 2(𝑥 − 1) + 𝑦(1 − 𝑥) = (𝑥 − 1)(2 − 𝑦).

Gruplandırma Yöntemi

Bazen verilen cebirsel ifadenin bütün terimlerinde bir ortak çarpan

bulunmayabilir. Ancak, cebirsel ifadenin terimlerini belirli gruplara ayırarak ortak çarpanlar oluşturulabilir.

Örn ek

^•𝑥2+ 𝑥𝑦 − 𝑥𝑧 − 𝑦𝑧 ifadesini çarpanlarına ayırınız?

Örn ek

•¹

𝑥+¹

𝑦=⁷

5 ve 𝑥. 𝑦 = 10 olduğuna göre, 𝑥²+ 𝑦²nin değeri kaçtır?

Çarpanlarına ayırma işleminde sıklıkla

ortak çarpan parantezine alma

işlemi kullanılır.

Çözüm:

Verilen cebirsel ifadeyi ikişer ikişer gruplandırarak ortak çarpan parantezine alalım.

𝑥²+ 𝑥𝑦 − 𝑥𝑧 − 𝑦𝑧 = (𝑥²+ 𝑥𝑦) − (𝑥𝑧 + 𝑦𝑧)

= 𝑥(𝑥 + 𝑦) − 𝑧(𝑥 + 𝑦)

= (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑧) biçiminde çarpanlarına ayrılmış olur.

Çözüm:

𝑥³− 𝑥²+ 𝑥 − 1 = (𝑥³− 𝑥²) + (𝑥 − 1)

= 𝑥²(𝑥 − 1) + (𝑥 − 1)

= (𝑥 − 1)(𝑥²+ 1) biçiminde bulunur.

Çözüm:

Örnekte verilen cebirsel ifade gruplandırılmış olarak verilmiştir. Bu

gruplandırmadan ortak çarpan parantezine almak mümkün değildir. Bu nedenle, önce çarpma işlemi yapılır sonra tekrar gruplandırılır. Buna göre,

𝑦(𝑥²+ 1) − 𝑥(𝑦²+ 1) = 𝑦𝑥²+ 𝑦 − 𝑥𝑦²− 𝑥

= (𝑦𝑥²− 𝑥𝑦²) − (𝑥 − 𝑦)

= 𝑥𝑦(𝑥 − 𝑦) − (𝑥 − 𝑦)

= (𝑥 − 𝑦)(𝑥𝑦 − 1) olur.

Örn ek

^{•𝑦 𝑥2+ 1 − 𝑥 𝑦2}+ 1 ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Örn ek

^{•𝑥3− 𝑥2}+ 𝑥 − 1 ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Özdeşliklerden Faydalanma Yöntemi

Verilen cebirsel ifadeyi çarpanlara ayırmak için özdeşliklerden yararlanılabilir. Aşağıdaki örnekleri inceleyelim.

𝑥²− 4𝑥 + 4 = (𝑥 − 2)², 𝑥²+ 6𝑥 + 9 = (𝑥 + 3)², 𝑥²− 𝑥𝑦 +𝑦²

4 = (𝑥 −𝑦 2)

2

.

Aşağıdaki örneklerde ise toplam ve fark özdeşliği kullanılarak çarpanlara ayırma verilmiştir.

Çözüm:

Verilen cebirsel ifade küp farkı özdeşliği kullanılarak çarpanlarına ayrılır.

𝒙^𝟑− 𝟖 = 𝒙^𝟑− 𝟐^𝟑

= (𝑥 − 2)(𝑥²+ 2𝑥 + 4) biçiminde çarpanlarına ayrılmış olur.

Çözüm:

Verilen cebirsel ifade iki kare farkı özdeşliği kullanılarak 𝒙^𝟒− 𝟏 = (𝒙^𝟐)^𝟐− 𝟏^𝟐

= (𝑥²+ 1)(𝑥²− 1)

= (𝑥²+ 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) biçiminde çarpanlarına ayrılmış olur.

Çözüm:

Yukarıdaki örnekte olduğu gibi,

Örn ek

^•𝑥3− 8 ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Örn ek

^{• 𝑥4}− 1 ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Örn ek

^{• 𝑥2− (𝑦 − 1)2} ifadesini çarpanlarına ayırınız.

x²+ y² ifadesi çarpanlarına

ayrılamaz.

𝑥²− (𝑦 − 1)²= [𝑥 + (𝑦 − 1)][𝑥 − (𝑦 − 1)]

= [𝑥 + 𝑦 − 1][𝑥 − 𝑦 + 1]

bulunur.

DENKLEMLER

İki cebirsel ifade sonlu sayıda reel sayı için eşit oluyor ise bu eşitliğe denklem denir. Yani bilinmeyen içeren ve bilinmeyenlerin özel değerleri için sağlanan eşitliklerdir. Denklemi sağlayan bu özel değerlere denklemin kökleri veya çözümleri adı verilir. Kökleri bulma işlemine ise denklemi çözme denir. Bazı eşitlikler bilinmeyenlerin hiçbir değeri için sağlanmayabilir. Bu durumda denklemin çözüm kümesi yoktur veya boş kümedir denir. Bu bölümde bir bilinmeyenli denklemler incelenecektir.

𝑛 ∈ ℕ ve 𝑎₀, 𝑎₁, … , 𝑎_𝑛 ∈ ℝ olmak üzere;

𝑎_𝑛𝑥^𝑛+ ⋯ + 𝑎₁𝑥 + 𝑎₀ = 0 (𝑎_𝑛≠ 0) (1)

şeklindeki ifadeye 𝑛. dereceden bir bilinmeyenli polinom denklem denir [3]. Bu bölümde 𝑛 = 1 ve 𝑛 = 2 alınarak birinci ve ikinci dereceden denklemlerin çözümleri üzerinde durulacaktır.

Birinci Dereceden Denklemler

𝑎 ≠ 0, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ olmak üzere

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0

biçiminde olan denklemlere 1. dereceden denklem (lineer veya doğrusal denklem) denir. Bu denklemin çözümü;

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 ⟹ 𝑎𝑥 = −𝑏 ⟹ 𝑥 = −𝑏 𝑎 olur. Buna göre aşağıdaki örnekleri inceleyelim.

Çözüm:

3𝑥 − 9 = 0 ⟹ 3𝑥 = 9 ⟹ 𝑥 =9 3= 3 olur.

Örn ek

•3𝑥 − 9 = 0 denkleminin çözümünü bulunuz.

Örn ek

^• 7𝑥 − 5 3𝑥 − 2 = 2(3 − 2𝑥) denklemini sağlayan 𝑥 kaçtır?

Boş küme

∅

sembolü ile gösterilir.

Çözüm:

7𝑥 − 5(3𝑥 − 2) = 2(3 − 2𝑥)

⟹ 7𝑥 − 15𝑥 + 10 = 6 − 4𝑥

⟹ −8𝑥 + 4𝑥 = 6 − 10

⟹ −4𝑥 = −4

⟹ 𝑥 = 1 bulunur.

Çözüm:

Verilen denklemin pay kısımları eşit olduğundan paydalarının eşit olması gerekir. O hâlde;

𝑥 + 2 = 2𝑥 − 4 ⟹ 𝑥 = 6 sonucu elde edilir.

Çözüm:

Verilen denklemde paydalar eşit olacak şekilde kesirler genişletilirse 2𝑥 − 4

6 +3𝑥 + 6

6 =𝑥 − 4 6 +18

6 ⟹ 2𝑥 − 4 + 3𝑥 + 6

6 =𝑥 − 4 + 18

6 yazılır. Payların eşitliğinden;

5𝑥 + 2 = 𝑥 + 18 ⟹ 𝑥 = 4 bulunur.

İkinci Dereceden Denklemler

𝑎, 𝑏, 𝑐 sabit reel sayılar, 𝑎 ≠ 0 ve 𝑥 bilinmeyen olmak üzere, 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

Biçiminde ki denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu denklemin kökleri (çözüm kümesi), diskriminantı

∆= 𝑏²− 4𝑎𝑐

Örn ek

^•

3 𝑥+2= ³

2𝑥−4 denklemini sağlayan 𝑥 kaçtır?

Örn ek

^•𝑥−2₃ ^+𝑥+2₂ ^=𝑥−4₆ + 3 olduğuna göre, 𝑥 kaçtır?

olmak üzere,

𝑥₁ =−𝑏 + √∆

2𝑎 , 𝑥₂=−𝑏 − √∆

2𝑎 sayıları olur. Buna göre,

1) ∆> 0 ise, kökler iki farklı reel sayıdır, 2) ∆= 0 ise, kökler eşittir (çakışıktır), 3) ∆< 0 ise, reel kök yoktur.

olur [3].

Çözüm:

İkinci derecen bir denklem olması için 3𝑎 − 10 = 2 olmalıdır.

3𝑎 − 10 = 2 ⟹ 3𝑎 = 12 ⟹ 𝑎 = 4 olur.

Çözüm:

Verilen denklemde 𝑎 = 1, 𝑏 = −2, 𝑐 = −3 olduğundan

∆= 𝑏²− 4𝑎𝑐 = 4 − 4.1. (−3) = 16 > 0 olarak bulunur. o hâlde denklemin iki farklı reel kökü vardır. Bu kökler

𝑥₁=2 + √16

2.1 = 3, 𝑥₂=2 − √16 2.1 = −1 sayıları olur. O hâlde çözüm kümesi,

Ç = {−1, 3}

olacaktır.

Çözüm:

Verilen denklemde 𝒂 = 𝟏, 𝒃 = 𝟏, 𝒄 = 𝟏 olup;

Örn ek

^{•𝑥3𝑎−10}− 2𝑥 − 1 = 0 denkleminin ikinci dereceden bir denklem olması için 𝑎 kaç olmalıdır?

Ör ne k

_•𝑥²− 2𝑥 − 3 = 0 denkleminin köklerini (çözüm kümesini) bulunuz.

Örn ek

^•𝑥2+ 𝑥 + 1 = 0 denkleminin reel köklerini (çözüm kümesini) bulunuz.

𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Denkleminin kökleri,

𝑥₁=−𝑏 + √∆

2𝑎 𝑥₂=−𝑏 − √∆

2𝑎

∆= 𝒃^𝟐− 𝟒𝒂𝒄 = 𝟏 − 𝟒. 𝟏. 𝟏 = −𝟑 < 𝟎 olduğundan dolayı denklemin Reel kökü yoktur.

Çözüm:

Verilen denklemde 𝑎 = 1, 𝑏 = 2, 𝑐 = 1 olduğundan

∆= 𝑏²− 4𝑎𝑐 = 4 − 4.1.1 = 0

olarak bulunur. O hâlde denklemin çakışık kökü yani tek kökü vardır. Bu çakışık kökler

𝑥₁= 𝑥₂=−2 2.1= −1 sayısı olur.

İkinci dereceden bazı denklemleri çarpanlarına ayırarak çözüm kümesini (köklerini) bulabiliriz.

Çözüm:

Verilen denklemi çözmek için iki kare farkından yararlanabiliriz.

𝑥²− 4 = 0 ⟹ (𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 0

eşitliğinin sağlanması için çarpanlarının sıfır olması gerekir bu sebeple, 𝑥 − 2 = 0 ⟹ 𝑥 = 2

𝑥 + 2 = 0 ⟹ 𝑥 = −2 bulunur.

Çözüm:

Denklemin köklerinin eşit olması için ∆= 𝒃^𝟐− 𝟒𝒂𝒄 = 𝟎 olmalıdır. Buna göre;

∆= 𝑏²− 4𝑎𝑐 = [−(2𝑚 + 1)]²− 4. 𝑚(𝑚 + 2) = 0

⟹ 4𝑚²+ 4𝑚 + 1 − 4𝑚²− 8𝑚 = 0

Örn ek

^•𝑥2+ 2𝑥 + 1 = 0 denkleminin reel köklerini bulunuz.

Örn ek

^•𝑥2− 4 = 0 denkleminin reel köklerini bulunuz.

Örn ek

^•𝑚𝑥2− 2𝑚 + 1 𝑥 + 𝑚 + 2 = 0 denkleminin köklerinin birbirine eşit olması için 𝑚 kaç olmalıdır?

𝑚 =1 4 olur.

𝒂𝒙^𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 denkleminin kökleri;

𝑥₁=−𝑏 + √∆

2𝑎 , 𝑥₂=−𝑏 − √∆

2𝑎 olduğu bilindiğine göre, bu köklerin toplamı;

𝑥₁+ 𝑥₂=−𝑏 + √∆

2𝑎 +−𝑏 − √∆

2𝑎 = −𝑏 𝑎 , ve köklerin çarpımı;

𝑥₁. 𝑥₂= (−𝑏 + √∆

2𝑎 ) (−𝑏 − √∆

2𝑎 ) = 𝑐 𝑎

olur. Özel durumda, verilen denklemde 𝑎 = 1 olması durumunda yani, 𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 biçiminde ise kökler çarpımı c ve kökler toplamı –b olduğu görülür. Yani,

𝑇 = 𝑥₁+ 𝑥₂ = −𝑏 , Ç = 𝑥₁. 𝑥₂ = 𝑐

olur. Bu sonuca göre eğer kökler tam sayıysa sezgisel olarak çarpımları c ve toplamları b olan iki sayı bulmak kolay olacaktır. Bulunan bu sayıların ters işaretlileri verilen denklemin kökleridir [1,2]

Çözüm:

Verilen denklemin köklerini bulmak için çarpımları 15 ve toplamları 8 olan iki sayı bulalım. Bunlar 3 ile 5 sayısıdır. O hâlde kökler;

𝑥₁= −3, 𝑥₂ = −5 olarak bulunur.

Çözüm:

Çarpımları −3 ve toplamları −2 olan iki sayı −3 ile 1 tam sayılarıdır. O hâlde denklemin kökleri;

𝑥₁= 3, 𝑥₂= −1 olarak bulunur.

Örn ek

^•𝑥2+ 8𝑥 + 15 = 0 denkleminin köklerini bulunuz.

Ör ne k

•𝑥²− 2𝑥 − 3 = 0 denkleminin köklerini bulunuz.

𝑥₁+ 𝑥₂= −𝑏 𝑎 , 𝑥₁. 𝑥₂= 𝑐

𝑎

Çözüm:

Kökler toplamı 𝑇 = 1 + 5 = 6 kökler çarpımı Ç = 1.5 = 5 olup istenen ikinci derece denklem;

𝑥²− 𝑇𝑥 + Ç = 0 ⟹ 𝑥²− 6𝑥 + 5 = 0 olarak bulunur.

Bu tür soruları aşağıdaki gibi de çözebiliriz. Denklemin çözüm kümesi 1 ve 5 olduğuna göre;

(𝑥 − 1)(𝑥 − 5) = 0 ⟹ 𝑥²− 6𝑥 + 5 = 0 olur.

Çözüm:

Kökler toplamı 𝑇 =²

3+³

2=¹³

6 ,kökler çarpımı Ç =²

3∙³

2= 1 olup istenen ikinci derece denklem;

𝑥²−13

6 𝑥 + 1 = 0

⟹ 6𝑥²− 13𝑥 + 6 = 0 bulunur.

Çözüm:

Denklemin bir kökü 1 olduğuna göre verilen denklemi sağlar. Yani verilen denklemde 𝑥 = 1 yazılırsa

2.1²− 3𝑚. 1 + 2𝑚 = 0 ⟹ 𝑚 = 2 bulunur.

Örn ek

•Çözüm kümesi 1,5 olan ikinci dereceden bir denklem yazınız.

Örn ek

•Çözüm kümesi ²

3,³

2 olan ikinci dereceden bir denklem yazınız.

Örnek

•2𝑥²− 3𝑚𝑥 + 2𝑚 = 0 denkleminin köklerinden biri 𝑥₁= 1 ise 𝑚 değeri nedir?

Örn ek

^•𝑚𝑥2− 𝑚 + 1 𝑥 + 3 = 0 denkleminin kökler toplamı 4 olduğuna göre 𝑚 =?

Çözüm:

Kökler toplamı 𝑥₁+ 𝑥₂= −^𝑏

𝑎= 4 olarak verildiğine göre;

−𝑏

𝑎= −−(𝑚 + 1)

𝑚 = 4 ⟹ 𝑚 =1 3 bulunur.

Çözüm:

Verilen denklemlerin ortak kökü 𝑥₁ ise verilen iki denklemi de

sağlayacağından 𝑥₁²+ 𝑥₁+ 2𝑚 = 0 ve 2𝑥₁²− 5𝑥₁+ 4𝑚 + 7 = 0 eşitlikleri yazılır.

Birinci denklemin iki katı alınıp ikici denkleme eşitlenirse, 2𝑥₁²+ 2𝑥₁+ 4𝑚 = 2𝑥₁²− 5𝑥₁+ 4𝑚 + 7

⟹ 7𝑥₁= 7 ⟹ 𝑥₁= 1

olur. Bulunan değer her iki denklemin kökü olduğuna göre her iki denklemi de sağlayacaktır. O hâlde birinci denklemden,

1²+ 1 + 2𝑚 = 0 ⟹ 𝑚 = −1 bulunur.

Örnek

•𝑥²+ 𝑥 + 2𝑚 = 0 ve 2𝑥²− 5𝑥 + 4𝑚 + 7 = 0 denklemlerinin birer köklü ortak olduğuna göre, 𝑚 kaçtır?

Bireysel Etkinlik

• 𝑥

²

+ 9𝑥 + 20 = 0

• 𝑥

²

− 𝑥 − 12 = 0

• 𝑥

²

− 3𝑥 + 2 = 0 denklemlerinin köklerini bulunuz.

Ö ze t

•Matematiğin temel konularında biri olan özdeşlikler verilmiştir.

Kesirli problemlerde sadeleştirme yapabilmek için veya bir çok matematik problemini çözebilmek için temel özdeşlikler örneklerle tanıtılmıştır.

•Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözebilmek için bilinmeyen değer eşitliğin bir tarafında, bilinen değerler diğer tarafına alınarak dört işlem yardımıyla birinci dereceden denkelmler çözülür.

•ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözermek için ∆=

𝑏²− 4𝑎𝑐 değerine bakılarak denklemin çözüm kümesi (kökleri) 𝑥₁=^{−𝑏+ ∆}_2𝑎 , 𝑥₂=^{−𝑏− ∆}_2𝑎 eşitlikleri yardımıyla bulunur.

•İkinci dereceden denklemlerin çözüm kümesini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemleri veya köklerle katsayılar arasındaki ilişkiden faydalanılır.

DEĞERLENDİRME SORULARI

1) (𝑥 − 1)²− (𝑥 + 1)² ifadesinin özdeşi aşağıdakilerden hangisidir?

a) 2𝑥²− 2 b) −4𝑥 c) 4𝑥 d) −4 e) 0

2) 𝑥 + 𝑦 = 3 ve 𝑥 ∙ 𝑦 = 2 olduğuna göre, 𝑥³+ 𝑦³ ifadesinin değeri kaçtır?

a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12

3) 𝑥²− 13𝑥 + 40 ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?

a) 𝑥 + 8 b) 𝑥 − 10 c) 𝑥 + 5 d) 𝑥 − 4 e) 𝑥 − 5

4) ^𝑥2−4

𝑥²−1∙^𝑥+1

𝑥+2 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

a) ^𝑥

𝑥−1

b) 2𝑥 c) ^𝑥−2

𝑥+1

d) ^𝑥−2

𝑥−1

e) 𝑥 − 2

5) ¹

𝑥−3− ¹

𝑥+3= ¹

12 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

a) {9}

b) {−9}

c) {−9,9}

d) {3}

e) {−3,3}

6) 3𝑥 − 2(4𝑥 − 3) = 9 + 2(3 − 𝑥) denklemini sağlayan 𝑥 değeri aşağıdakilerden hangisidir?

a) −4 b) −3 c) 1 d) 2 e) 5

7) ^{(𝑥2−4)(4−𝑥)}

(𝑥+2)(𝑥+4) = 0 denkleminin çözüm kümesindeki elamanların toplamı kaçtır?

a) 6 b) 5 c) −5 d) 0 e) 2

8) 𝑥^𝑚−3𝑚 + 4𝑥 − 2 = 0 denkleminin ikinci dereceden olması için 𝑚 kaç olmalıdır?

a) 3 b) −3 c) 5 d) 1 e) −1

9) 𝑚𝑥²− (2𝑚 + 1)𝑥 + 𝑚 + 2 = 0 denkleminin çakışık iki kökü oluğuna göre kökler toplamı kaçtır?

a) 4 b) 9 c) 16 d) 20 e) 24

10) 2𝑥²− 3𝑚𝑥 + 2𝑚 = 0 denkleminin köklerinden biri 𝑥₁ = 1 ise diğer kök kaçtır?

a) −1 b) −2 c) 3 d) 2 e) 1

Cevap Anahtarı 1.b, 2.c, 3.e, 4.d, 5.c, 6.b, 7.a, 8.b, 9.b, 10.d

YARARLANILAN KAYNAKLAR

[1]. Balcı, M. (1999). Matematik Analiz (1. Cilt). ISBN: 975-6683-02-03. Ankara:

Balcı Yayınları.

[2]. Sağel, M.K. ve Aktaş, M. (2010). Genel Matematik 1, ISBN: 975-8792-03-2, Ankara, Pegem Akademi.

[3]. Kadıoğlu, E. ve Kamali, M. (2009). Genel Matematik. ISBN: 978-975-8151-57-8.

Erzurum: Kültür Eğitim Vakfı Yayınevi,