X-IŞINLARI KRİSTALOGRAFİSİ

X-IŞINLARI

KRİSTALOGRAFİSİ

“Ters Örgü”

Prof. Dr. Ayhan ELMALI



Bir kristaldeki düzlem takımları göz önüne alındığında iki boyutlu düzlemler yerine

bunların tek boyutlu normallerini düşünmek çok daha kolaydır. Ters örgüde normal

doğrultuları ile birlikte düzlemler arası d

uzaklıklarını da belirlemek gerekir. Bir (hkl)

düzleminin normali üzerinde d

nin tersi ile

orantılı uzunlukta bir nokta elde edilirse bu

nokta düz örgüdeki (hkl) düzleminin ters

örgüdeki temsilcisi olur.



Birim hücrenin başlangıcı 0 ortak başlangıç olarak seçildi.



Bu noktada her (hkl) düzlemine bir dik indirildi.



Bu normal üzerinde başlangıçtan itibaren



1/ d ile orantılı bir uzunluk alındı.

520 420 320 h00 220 120 200 510 410 310

210 110

0k0 100 050 040

030 020 000 (030) (020) (010) 010 d010

ters örgü ve d₀₂₀ örgü a d010



Orantı katsayısının ve orantılı uzunluğun hangi yönde alındığının bir önemi yoktur. Her hkl

ters örgü noktası (hkl) düzleminin bütün özelliklerini taşır. Noktanın başlangıca göre

doğrultusu düzlemin doğrultusunu, başlangıca uzaklığı da düzlemler yığınının d

düzlemler arası uzaklığını belirtir.



Normalin uzunluğu, 

=K.1/d

ile tanımlanır.

K ters örgü tanımı için verilen katsayıdır.



(010), (020), (030) vb. düzlemler

paralel olduklarından normalleri ortaktır.

Bunların düzlemler arası uzunlukları d

=2d

=3d

...dır. Dolayısı ile



=1/2

=1/3

...dır. Buradan yukarıdaki düzlemlerin ters örgü

noktalarının aynı doğru üzerinde eşit

aralıklı olarak dizildiğini anlarız.

Vektörel İnceleme



Yukarıda verilen üç koşula uyan noktaların üç boyutlu bir örgü

oluşturduğunu görelim. Önce bir birim hücredeki normallerle a, b, c

kristalografik eksenler arasındaki ilişkiyi

görelim.



Bir birim hücrenin hacmi taban alanı ile o tabanına ait yüksekliğin çarpımıdır.

V=S. d

 

= 1 = S c d

S d

V

S=bxc

V=a.(bxc)  b



= 1 n = b x c a d

d

a.(bxc) n d





ve 

içinde benzer ifadeler

bulunur. Bu vektörler a*, b*, c* ile gösterilir.

a*= bxc ,b*= cxa ,c*= axb V V V

a*.b=b*.c=c*.a=a*.c=b*a=c*.b=0

a*.a=b*.b=c*.c=1



Ters örgü vektörleri kullanılarak bir örgü kurulduğu zaman a* doğrultusundaki

art arda noktalar d

düzlemler arası uzaklığın tersinin h katlarını, b*

doğrultusundaki art arda noktalar d

‘ın k katları c* doğrultusundaki art arda

noktalar da d

‘ın terslerinin katlarını

gösterir.



a*= 

= 1 n d

2a*=2 

= ^{2 n = }

^{= 1 n}

d

d

3a*=3 

= 3 n = 

= 1 n

d

d



Herhangi bir ters örgü noktasını bulmak için a*, b* ve c* ters örgü vektörlerinin sırası ile h, k ve l katlarını toplamamız gerekir. Yani (hkl) düzleminin ters örgü vektörü;



= ha*+kb*+lc*

Bragg Yasasının Yorumu



Kristalin bir (hkl) rasyonel düzlemini

düşünelim. Bunun art arda gelen dizisinde düzlemler arası uzaklık d

olsun.



Ancak optik yansıma kanununa uyan doğrusal girişim olabilir.



Art arda iki tabakadan gelen saçılmış ışınların maksimum genlikli bir girişim meydana

getirebilmesi için bunların yol farklarının

demetin dalga boyunun tam katı olması

x gelen y saçılan x-ışını ışınlar

 hkl

C hkl

O B hkl

A d hkl

2 hkl

d + d - OBcos=n

sin sin

2d - 2d cos =n

sin tan

2d 1 - cos

 =n

sin sin

OA+AB - OC=n

2dsin=n

Bragg yasası



Bu formül,

şeklinde düşünülerek, geometrik çizimde ters örgü dalga boyuna bağlanır.

2d

sin

=

sin

=  = 1/d

= 

2d

2/ 2 1





Ters örgünün kullanılışı x-ışınlarının kristallerdeki çeşitli kırınım yöntemlerinin yorumlanmasını kolaylaştırır .

P P

1/d  x-ışını

A O A O 1/



1/  2

O M (hkl)



OA x-ışını MP doğrultusunda (hkl)

düzleminden bir yansıma vermiş olsun.

Ya da O noktasından  uzaklığında bir P noktası olsun.



sin= OP =  AO 2/

Yani Bragg koşulu sağlanır.



Özel olarak;

1.

Kristal, yarıçapı 1/ olan bir çemberin (üç boyutta bir kürenin) M merkezine konmuş gibi düşünülür.

2.

x-ışını demetinin kristal içinden geçtikten sonra küreyi terkettiği O noktası kristalin ters örgüsünün başlangıç noktası olarak alınır.

3.



ters örgü vektörünün son noktası P küre üzerinde ise M kristal merkezi ve P ters örgü noktasından

geçen MP doğrultusu (hkl) düzleminden yansıyan

girişim saçağının doğrultusudur. Geometrik çizimdeki

Düz ve Ters Örgü Parametreleri Bağıntıları

Çizgisel parametreler Açısal Parametreler a*= b c sin cos  *= coscos  -cos

V sin sin 

b*= c a sin cos  *= coscos  -cos

V sin  sin 

c*= a b sin cos  *= coscos  -cos  V sinsin 

a=b*c*sin* cos  = cos  *cos  *-cos*

V sin  *sin  *

b=c*a*sin* cos  = cos*cos  *-cos  * V sin*sin  *

c=a*b*sin  * cos  = cos*cos  *-cos  * V sin*sin  *

V*=a*b*c*[1-cos

*-cos

*-cos

*+2cos* cos* cos*]

V =a b c [1-cos

 -cos

 -cos

 +2cos cos cos]



Kristal eksenlerini ters örgü eksenleri cinsinden veren

ifadelerin bu çizelgedeki gibi olduğunu göstermek zor

değildir. Ters örgü vektörünün tersini düşünelim:



(a*)*= b* x c*

a*.b*xc*

eşitliğinin sağ tarafını a.a*=1 ile çarpalım ve sadeleştirelim.

(a*)*=a.a*. b* x c* = a. a*.b* x c* = a a*.b*xc* a*.b* x c*

buluruz. Buradan a= b* x c*

a*.b*xc*

elde ederiz.



= 1 =h

a*

+k

b*

+l

c*

+2hka*b*cos*+2hla*c*cos*+2klb*c*cos*

d



. 

=(ha*+kb*+lc*).(ha*+kb*+lc*)

Ortorombik sistemde;

a*=1/a, b*=1/b, c*=1/c

===*=*=*=90

1 = h +k + l