• Sonuç bulunamadı

DİK DAİRESEL SİLİNDİR, DİK DAİRESEL KONİ VE KÜRE

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "DİK DAİRESEL SİLİNDİR, DİK DAİRESEL KONİ VE KÜRE"

Copied!
30
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

DİK DAiRESEL SİLİNDİRİN YÜZEY ALANI VE HACMİ

Yukarıdaki resimleri inceleyiniz.

Resimlerdeki üç boyutlu cisimlerin benzer yanlarını söyleyiniz.

İlköğretim bilgilerinizden salça kutusunun, zeytinyağı tenekesinin ve süt tanklarının hangi geometrik yapıyı hatırlattığını söyleyiniz.

1

Yandaki konserve kutusunu inceleyiniz.

Tabandaki ve kapaktaki daireleri karşılaş- tırınız. Bu dairelerin birbirine göre durumlarını tartışınız.

Konserve kutusunun şekli hangi geometrik cisme modeldir?

E

l d

s

E

l d

s

Uzayda herhangi bir E düzleminde bu- lunan bir s kapalı eğrisi ile E düzleminde bu- lunmayan ve E düzlemini kesen bir l doğrusu alalım.

l doğrusuna paralel olan ve s eğrisini kesen bir d doğrusu çizelim. d doğrusunu ilk konumuna paralel olarak s eğrisi üzerinde kaydıralım. Bu biçimde oluşan yüzeye silindi- rik yüzey, s eğrisine bu yüzeyin dayanak eğrisi, yüzeyi oluşturan d doğrusuna bu yüzeyin ana doğrusu denir.

(2)

Şimdi de E düzlemine paralel bir P düzlemi ile yukarıdaki silindirik yüzeyi kesiştirelim.

E ve P düzlemleri ile alttan ve üstten sınırlanan kapalı silindirik yüzey parçasına silindir yüzeyi adı verilir.

Belli bir alanı sınırlandıran kendini kesmeyen dayanak eğrisine (s) sahip olan si- lindir yüzeyinin sınırladığı bölgeye silindirik bölge, silindirik bölgenin E ve P düzlemleri ile sınırlı kesitine silindir, E ve P düzlemlerinin sınırladığı ana doğrudan elde edilen [AB] na silindirin elemanı, iki düzlem arasındai uzaklığı veren [CD] na silindirin yüksekliği, K ve L kesitlerine alt ve üst taban yüzeyleri, silindirik yüzey parçasına (M) silindirin yanal yüzeyi ve taban yüzeylerinin merkezlerini birleştiren doğruya da silindirin ekseni denir.

Ana doğrusu, dayanak eğrisinin bulunduğu düzleme dik olan silindire dik silindir, alt ve üst tabanları daire olan dik silindire de dik dairesel silindir adı verilir. Şimdi de bu söylediklerimizi silindir biçimindeki konserve kutusu üzerinde gösterelim.

E s

P

D

C L

M K

A

B

Silindir Silindir yüzeyi

E P

D C

M

O2 K A

B

O1 L

Silindir yüksekliği

d

Dayanak eğrisi Silindir

elemanı

Silindir ekseni

Silindirik bölge

S

Yanal yüz

üst taban

alt taban

K L

M

(3)

2

Su deposu

Ahmet Bey, köydeki evinin çatısına metal su deposu yaptıracaktır.

Su deposu imal eden işletmeye taban yarıçapı r=60cm, yüksekliği 150cm olan dik dairesel silindir biçi- minde su deposu siparişi verir.

Deponun imalatında kullanılacak metalin kaç cm2 olacağını kat yerleri ve çıkıntılar ihmal edilerek aşağıdaki açınım yardımıyla hesaplayınız.

O

r=60

A

B

O

r=60

B/ B

A/

B/ B

A/ A

r=60

r=60 150

A

Açınımdaki |AA/| uzunluğunu bulunuz.

Dairenin alanı ve dik dairesel bölgenin alanıyla ilgili bilgilerinizi kullanarak dik dairesel silindir biçimindeki deponun yüzey alanını hesaplayınız ve kaç cm2 metal kullanılacağını bu- lunuz.

Dik dairesel silindirin yüzey alanı ile ilgili bağıntı oluşturmaya çalışınız.

Taban yarıçapı r br ve yüksekliği h br olan dik dairesel silindirde alan, bir yanal yüz (dikdörtgensel bölge) alanı ile iki tane birbirine eş daire alanının toplamından oluşur.

Yanal yüzdeki dikdörtgensel bölgenin bir kenarı h br, diğer kenar uzunluğu ise tabandaki dairenin çevresi olan 2πr br dir.

(4)

Bu durumda dik dairesel silindirin alanı, 2πr.h + 2πr2

bağıntısı ile hesaplanır.

B/ B

A/ A

r

r h

2πr h

r

O

O

O B

A 25m C

300

Yandaki resimde

|OA|=|OB|=10m,

|AC|=25m ve

m(BOA)=300 dir. Binanın çatısının kaç m2 olduğunu bulalım.

ÇÖZÜM:

Binanın çatısı silindir yanal yüzeyinin 300 lik kısmıdır.

Silindirin yanal alanı : A = 2πr.h = 2π.10.25 = 500π m2 3600 silindirin yanal alanı 500π m2 ise 300 silindirin yanal alanı x m2 ---

x =500π

12 =125π

3 m2 bulunur.

Taban yarıçapı r=3m olan dik dairesel silindir biçimindeki bir tankın yüzey alanı 60π m2 ise yükseklik uzunluğunun kaç m olduğunu bulalım.

ÇÖZÜM:

60π = 2π.r.h + 2π.r2 ⇒ 60π = 2π.3.h + 2π.32 ⇒ h = 7m bulunur.

(5)

150cm 40cm

Yandaki resimde görülen bir asfalt silindirinin yarıçap uzunluğu 40cm dir. Silindir her seferinde 150cm genişliğindeki alanı düzleştiriyor. Bu silindirin 3 tam tur sonunda kaç m2 alanı düzleştireceğini hesaplayalım.

ÇÖZÜM :

Silindir tek bir tam tur attığında yanal alanıyla eşit alana sahip bir bölgeyi düzleştirir.

Silindirin yanal alanı:

A = 2π.r.h = 2π.40.150 = 12000 cm2 bulunur.

3 tam tur atıldığında 12000.3 = 36000 cm2 = 3,6m2 alan düzleştirilir.

Taban yarıçapı r=2m, uzunluğu 8m olan dik dairesel silindir biçimindeki akaryakıt tankının yüzeyi boyanacaktır. Boyanacak yüzeyin kaç m2 olduğunu bulalım.

ÇÖZÜM:

Yanal yüz alanı: 2πr. h = 2π.2.8 = 32π m2 2 adet taban yüzeyi alanı: 2πr2= 2π.22 = 8π m2

Dik dairesel silindir yüzey alanı : 32π + 8π = 40π m2 bulunur.

(6)

3

Beril yaş gününde konuklarına ikram etmek için dik dairesel silindir biçiminde pasta almıştır. Bu pastayı aşağıdaki gibi eş dilimlere ayıralım.

Pastanın her bir yarısından kesilerek şeklinde dilimler sıralandıkça oluşan

D D/

C

r B A

A/ B/

C/

H K

h

h h

şekildeki ABCD ve A/B/C/D/ yüzeyleri paralelkenarsal bölgeye dönüşür. Bu bölgelerden birinin alanını bulunuz.

Tabanları paralelkenarsal bölge ve yükseklik uzunluğu h olan bu cismin hangi ge- ometrik cisme dönüştüğünü söyleyiniz ve hacmini bulunuz.

Bu adımlardan yararlanarak dik dairesel silindirin hacmini veren bağıntıyı yazmaya çalışınız.

(7)

Yandaki şekilde verildiği gibi taban yarıçapının uzun- luğu r br ve yükseklik uzunluğu h br olan dik dairesel silindi- rin hacmi, taban dairesinin alanı ile yükseklik uzunluğunun çarpımına eşittir.

Bu durumda, dik dairesel silindirin hacmi, V = πr2.h br3

bağıntısıyla hesaplanır.

h

O/ r

r

A/

O A

h

O/ r

r

A/

O A

Yandaki şekilde verilen dik dairesel silindirin taban yarıçapı |OA|=4cm ve yükseklik uzunluğu |AA/|=h=5cm ise hacminin kaç cm3 olduğunu bulalım.

ÇÖZÜM : V = π r2.h = π .42.5

= 80 π cm3 bulunur.

Yandaki dik dairesel silindir biçimindeki su tankının taban yarıçapı r=0,8m ve hacmi V = 3,2π m3 ise yükseklik uzunluğunu hesaplayalım.

ÇÖZÜM :

V = π r2.h

3,2 π = π (0,8)2.h h= 5m bulunur.

(8)

Sivas Lisesi’nde Geometri Dersi

Atatürk, Sivas Kongresi’nin toplandığı Sivas Lisesi’ne, Lise Müdürü ve matematik öğretmeni Ömer Beygo ve baş yardımcısı felsefe öğretmeni Faik Dranaz ve öteki ilgililer- le kongre salonuna geldiler.

Burada önce, 4 Eylül 1919’da tarihi kongrenin toplandığı kongre salonunu ve özel odasını gezdi ve o günkü de- koru aynen korunan bu oda ve salonda o güne ait hatıralarını anlattı. Sonra topluluk halinde lisenin 9-A sınıfında programdaki Hendese (Geometri) dersine girdi. Bu derste bir kız öğrenciyi tahtaya kaldırdı. Öğrenci tahtada çizdiği koşut iki çizginin başka iki koşut çizginin kesişmesinden oluşan açıların Arapça adlarını söyle- mekte zorluk çekiyor ve yanlışlıklar yapıyordu. Bu durumdan etkilenen Atatürk, tepkisini

“Bu anlaşılmaz Arapça terimlerle, öğrencilere bilgi verilemez. Dersler Türkçe yeni te- rimlerle anlatılmalıdır.” dedi ve tebeşiri eline alıp tahtada çizimlerle “zaviye”nin karşılığı olarak “açı”, “dılı” nın karşılığı olarak “kenar”, “müselles” in karşılığı olarak da “üçgen”

gibi Türkçe yeni terimler kullanarak bir takım geometri konularını ve bu arada Pythagoras (Pisagor) teoremini anlattı.

Atatürk, dilimize karşılığı “koşut” olan “muvazi” kelimesinin yerine kullandığı

“paralel” teriminin kökenini açıklarken Orta Asyadaki Türklerin, kağnının iki tekerleğinin bir dingile bağlı olarak duruş biçimine “para” adını verdiklerini anlattı.

Atatürk, bu derste aynı zamanda ders kitaplarının birkaç ay içinde Türkçe terim- lerle yazdırılıp bütün okullara ulaştırılmasını emir buyurdu.

Önerkol: “Tarihsel Bir Anı”, Bilim ve Teknik: Kasım 1981, Sayı:180, s.16 Bu kitabı Atatürk, ölümünden bir buçuk yıl kadar önce, III. Türk Dil Kurultayı’ndan hemen sonra 1936- 1937 yılı kış aylarında Dolmabahçe Sarayı’nda kendi eliyle yazmıştır.

1936 sonbaharında bir gün Atatürk beni, Özel Ka- lem Müdürü Süreyya Anderiman’ın yanına katarak Beyoğlu’ndaki Haşet Kitabevi’ne gönderip uygun gördüğümüz Fransızca geometri kitaplarından birer tane aldırttı. Bunlar Atatürk’le birlikte gözden geçirildik- ten sonra, yazılacak geometri kitabının genel tasarısı çizildi. Bir süre sonra ben ayrıldım ve kış aylarında bu yapıt üzerinde çalıştı. Bu kitapçık bu emeğin ürünüdür.

Ön sözden: Türk Dil Kurumu Baş uzmanı A. Dilaçar

(9)

55cm Yandaki resimde görülen dolabın kapağının eni 55cm ve boyu 120cm dir. Kapak 900 açıldığında, kapağın taradığı bölgenin hacmini hesaplayalım.

ÇÖZÜM:

Kapağın 3600 döndürülmesiyle oluşan bölge si- lindirdir. 900 döndürüldüğünde oluşan şeklin hacmi ise bu silindirin hacminin dörtte biri kadardır.

Cismin hacmi : V =πr2.h

4 =π552.120

4 = 1650π cm3 bulunur.

,

1. Aşağıdaki cisimlerde verilenlere göre yüzey alanlarını ve hacimlerini bulunuz.

12br

5br

15br

4br

10br 1200 8br

18br r=6br

1800 1800

r=6br 15br

1800 1800

12br r=3br

r=3br 3br 3br

3br 3br

1br 1br

1br 1br

3br 3br

3br 3br

3br 3br 10br

6br 3br

5br 4br

(10)

2. Tabanının bir kenar uzunluğu 10cm ve yükseklik uzunluğu 12cm olan kare prizmanın içine çizilebilecek en büyük silindirin yüzey alanını ve hacmini bulunuz.

3. Taban yarıçapı uzunluğu 8cm ve yükseklik uzunluğu 15cm olan silindirin içine çizilebilecek en büyük kare prizmanın yüzey alanını ve hacmini bulunuz.

4.

D

A B

C

5br

2br

Yandaki şekilde verilenlere göre ABCD dikdörtge- ni;

a) AB kenarı boyunca, b) BC kenarı boyunca

3600 döndürüldüğünde oluşan cisimlerin yüzey alanlarını ve hacimlerini bulunuz.

5.

5br

5br 8br

20br

8br 600 10br

Yukarıdaki verilenlere göre rampanın boyalı yüzey alanını bulunuz.

6.

20br

A 9br P

B

D C Yarıçap uzunluğu 9br ve yükseklik uzunluğu 20br olan silindir yukarıda verilmiştir. P noktası [AD] nın orta noktasıdır.

a) A noktasından hareket eden bir karınca silindirin yüzeyi üzerinde C noktasına uğradıktan sonra A noktasına, en kısa yolu alarak gelmiştir.

b) B noktasından hareket eden başka bir karınca silindirin yüzeyi üzerinde P noktasına uğradıktan sonra B noktasına, en kısa yolu alarak gelmiştir.

Her bir karıncanın aldığı yol ile silindirin alt tabanının sınırladığı çokgen- sel bölgenin alanını bulunuz.

(11)

7. Pasta yapmak isteyen Derin, taban ayrıt uzunlukları 24 ve 36cm olan dikdörtgen dik prizma biçimindeki tepside bulunan kekin üzerine muhallebi ekleyecektir. Yarıçap uzunluğu 3cm olan dik silindir kap içindeki muhallebinin yükseklik uzunluğu kaç cm olmalıdır ki kekin üzerine 2cm kalınlığında muhallebi ekleyebilsin?

8.

18br

12br

Yandaki silindirin yarıçap uzunluğu 12br yükseklik uzunluğu 18br dir. İçinde su bulunan silindirin içine bir kenarı 4br olan bir küp atıldığında suyun yük- seklik uzunluğu kaç br artar?

9.

450

6br 18br

Yarıçap uzunluğu 6br ve yükseklik uzunluğu 18br olan silindir üst kısmından şekildeki gibi kesilmiştir. Kalan cismin hacmini bulunuz.

10. Yarıçap uzunluğu 5 br olan bir silindirin içi, kenar uzunluğu 1br olan küp şekerlerle dol- durulmak isteniyor. Yükseklik uzunluğu 12br olan bu silindirin içine en fazla kaç tane küp şeker sığar?

11.

1. Şekil 2. Şekil

r

A B O

1. şekilde içinde su bulunan 16br yükseklik uzunluğu olan silindirde m(AOB)=900 dir. Silindir 1. şekilden 2. şekildeki konuma getirildiğinde suyun yükseklik uzunluğu kaç br olur?

(12)

12.

10cm 12cm

Şekilde iç yarıçap uzunluğu 10cm, dış yarıçap uzunluğu 12cm ve yükseklik uzunluğu 16cm olan borunun yüzey alanını ve hac- mini bulunuz.

DİK DAiRESEL KONİNİN YÜZEY ALANI VE HACMİ

1. Resim 2. Resim 3. Resim

Yukarıdaki resimleri inceleyiniz.

1. resimdeki şakül, 2. resimdeki ada ve 3. resimdeki abajurun hangi geometrik yapıyı hatırlattığını söyleyiniz.

4

Yandaki dondurma külahının içini dondurma ile tamamen dol- durup üzerini bir karton ile kapatalım.

A noktasının karton üzerindeki iz düşümünün nerede olacağını tartışınız.

Şekildeki dondurma külahı hangi geometrik yapıya modeldir.

(13)

Herhangi bir E düzlemindeki kapalı bir s eğrisini kesen ve E düzlemi dışındaki sabit bir T noktasından geçen doğruların oluşturduğu yüzeye konisel yüzey, s eğrisine de bu yüzeyin dayanak eğrisi denir.

Bu konisel yüzeyi oluştururken çi- zilen ilk doğruya (d) konisel yüzeyin ürete- ci, her bir doğruya (l1, l2, ..., ln) da konisel yüzeyin elemanları adı verilir.

E

A T

d

(s) l1 ln l2 l3

Seçilen sabit T noktasına konisel yüzeyin tepe noktası ve tepe noktasının altında ve üstünde oluşan konisel yüzey parçalarına da konisel yüzeyin kanatları denir.

Dayanak eğrisi s olan konisel yüzeyin tepe noktası T den ve s nin merkezinden geçen doğru, konisel yüzeyin ekseni olarak isimlendirilir.

Konisel yüzeyin bir kanadının sınırladığı bölgeyi, s dayanak eğrisinin düzlemine paralel ve tepe noktasından geçmeyen bir P düzlemi ile 2. şekilde görüldüğü gibi keselim.

P düzlemi ile sınırlı bu konisel yüzey parçasına koni yüzeyi, P düzlemi ile konisel yüzeyin kesişiminden elde edilen kesite koni yüzeyinin tabanı, diğer kısmına da koni yüzeyinin yanal yüzeyi denir.

E

s O O O

T

Konisel yüzey ekseni

E

s

P s/

T

1. Şekil 2. Şekil

(14)

s

T

Koni yanal yüzeyi

s

T

Koni yüzeyinin tabanı

E

s O O O

T

B A

Koni yüzeyi ile sınırlı bölgeye koni adı verilir.

Koninin tabanının merkezi ve tepe noktası T den geçen doğruya koninin ekseni denir. Eğer koninin ekseni taban düzlemine dik ise bu koniye dik koni, dik koninin tepe noktası ile taban düzlemi arasındaki [TO] dikme parçasına dik koninin yüksekliği ve tabanı daire olan dik koniye de dik dairesel koni denir.

Dik dairesel konide T tepe noktasını, tabandaki dairenin çevresi üzerindeki bir A noktasına birleştiren [TA] na da koninin ana doğru parçası adı verilir.

Koninin ekseni

5

A

C B

Tuzluk imalatı yapan bir atölyede metal malzeme kullanılarak şekildeki gibi dik dairesel koni biçiminde tuzluk üreti- lecektir.

|BC|=12cm ve |AB|=8cm olacak biçimde üretilen her bir tuzlukta, üst üste gelen yerler ihmal edilerek kaç cm2 metal kullanılacağını bulalım.

(15)

C B C A

C D

F F

Dik dairesel koninin açınımı

1. Şekil 2. Şekil 3. Şekil

A

C

D

C C C

E

C A

D E

B

C

l l l

l l l

r=12

B

α

Dik dairesel koninin açınımında yanal yüz ve taban hangi geometrik şekillerden oluşmaktadır?

Yanal yüzdeki |DE| nu bulunuz ve yarıçap uzunluğu r ile ilişkilendiriniz.

Bu ilişkideki α

360 oranını r ve l cinsinden yazınız. Bu orandan faydalanarak dik dairesel koninin yanal yüzey alanını veren bağıntıyı r ve l cinsinden yazınız.

Verilen ölçülerden, bu tuzlukta kullanılacak metalin kaç cm2 olduğunu söyleyiniz.

Dik dairesel koninin yüzey alanı için bir bağıntı yazınız.

Bir dik dairesel koninin yanal yüzey alanı, taban çevresinin yarısı ile ana doğru parçasının uzunluğunun çarpımına eşittir.

Bu dik dairesel koninin tüm yüzey alanı ise taban alanı ile yanal yüzey alanının toplamıdır.

Bu durum, yandaki gibi yüksekliği h br, taban yarıçapı r br ve ana doğru parçası l br olan dik daire- sel konide;

B A

D h l

r

Yanal yüzey alanı : πrl

Taban alanı : πr2

Tüm yüzey alanı : πrl + πr2 biçiminde ifade edilir.

A

l

α

l

2πr

Ayrıca, bu koninin açınımındaki yanal yüzeyi oluşturan aşağıdaki daire diliminde merkez açının ölçüsü α0 kullanılarak r ile l arasında,

α 360=r

l bağıntısı kurulur.

Bunun için dik dairesel koninin aşağıdaki açınımını inceleyelim.

(16)

10cm

Yandaki dik dairesel koni biçimindeki karton şapkanın tabanının çap uzunluğu 16cm, ana doğru parçasının uzunluğu 10cm dir. Şapkayı yap- mak için kaç cm2 karton gerekli olduğunu bulalım.

ÇÖZÜM:

r = 16 2 = 8cm

İstenilen bölge, dik dairesel koninin yanal yüzeyine karşılık gelmektedir.

Yanal yüzey alanı: π rl = π . 8. 10 = 80 π cm2 bulunur.

D A

B C

O r=6

α

Yanda açınımı verilen konide m(BAC)=600 ve taban dairesinin yarıçapı |OD|=r=6cm alındığında koninin alanının kaç cm2 olduğunu bulalım.

ÇÖZÜM:

|AC|=l alalım.

α 360=r

l bağıntısından 60 360=6

l ise l=36cm olur.

Yanal yüzey alanı : πrl = π6.36 = 216π cm2 Taban dairesnini alanı : πr2 = π62 = 36π cm2

Koni yüzey alanı : 216π + 36π = 252π cm2 bulunur.

(17)

6

T

h

r

A O r

h h

T B

D C

A O r

h

B

1. Şekil 2. Şekil

Yandaki şekilde plastik koni ve si- lindirin her ikisinin taban yarıçap uzunluğu r br ve yükseklik uzunluğu h br dir. Koni biçi- mindeki kap kullanılarak silindir biçimindeki kap su ile doldurulacaktır.

Bu silindir biçimindeki kabın, koni biçimindeki kaç kap ile dolacağını uygulayarak bulunuz.

Dik dairesel silindirin hacmi ile ilişkilendirerek dik dairesel koninin hacminin ne olabileceğini tartışınız.

Dik dairesel koninin hacim bağıntısını bulmaya çalışınız.

Herhangi bir dik dairesel koninin hacmi, taban daire- sinin alanı ile yüksekliğinin çarpımının 1

3 üne eşittir.

Bu durum yandaki şekilde verilen merkezi O noktası, yarıçapı r br ve yükseklik uzunluğu h br olan dik dairesel koni- nin hacmi,

V =1

3.πr2.h br3 bağıntısı ile verilir.

B A

C

h l

r

Yandaki resimde görülen bir deorantın püskürtme düğmesine basıldığı anda havada oluşan cismin ve bir yüzeye sıkıldığında yüzeyde oluşan cis- min ne olduğunu bulalım.

ÇÖZÜM:

Havada oluşan cisim koni, yüzeyde oluşan şekil ise bir koninin tabanı olan dairedir.

(18)

T

O A

4cm 6cm

Yandaki dik dairesel koni biçimindeki bardağın ağzının yarıçap uzunluğu 4cm ve yükseklik uzunluğu 6cm olduğuna göre bardağın kaç cm3 sıvı alacağını bulalım.

ÇÖZÜM :

V =1

3πr2h =1

3π42.6 = 32π cm3 bulunur.

2160 A

B C

r = 6

Yanda açınımı verilen dik dairesel konide r = 6cm ve merkez açının ölçüsü 2160 ise bu koninin hacmini hesaplayalım.

ÇÖZÜM :

|AC| = l diyelim.

2160 3600 =r

l ise 2160 3600 =6

l ise l = 10cm dir.

Bu koninin kapalı biçimi yandaki gibidir.

B A

C

h l=10

r=6

Pisagor bağıntısından,

h2 + r2 = l2 ise h = 8cm bulunur.

Bu durumda koninin hacmi:

V =1 3πr2h V =1

3π628

V = 96π cm3 olur.

(19)

1. Aşağıdaki elemanları verilen konilerin alanlarını ve hacimlerini bulunuz.

17br

5br

17br

8br 2 3br

600

4br 1200

2br 4br

15br

5br

2. Aşağıda uzunlukları verilen cisimlerin yüzey alanlarını ve hacimlerini bulunuz.

8br

8br içi boş

koni içi boş

koni

9br

r=15br 720

4br

6br 14br

3. Aşağıda bulunan 1. şekildeki koninin açınımı 2. şekilde verilmiştir. 2. şekil yan yüzeyi birbi- rine eş dilimlere ayrılarak daha önce dairenin alanını bulmaya çalışırken kullandığımız yön- temle 3. şekil elde ediliyor.

r

a

b l

1. Şekil 2. Şekil 3. Şekil

(20)

Buna göre;

a) 3. şeklin hangi çokgene benzediğini söyleyiniz.

b) a ve b yi r ve l cinsinden bulunuz.

c) 3. şekildeki alanı r ve l cinsinden bulunuz.

4. Yanal yüzey alanı 65π br2 ve yarıçap uzunluğu 5br olan silindirin hacmini bulunuz.

5.

5br

18br

13br

Günde 50π br3 kedi maması yiyen bir kedinin, koni ve si- lindirden oluşan yemek makinesinin uzunlukları yanda ve- rilmiştir. Kedi, tamamı doldurulmuş makinedeki mamayı kaç günde bitirir?

6.

a) b) c)

a seçeneğinde cismin, üç düzlem üzerine düşen gölgeleri çizilmiştir. Sizler de b ve c seçeneğindeki cisimlerin düzlemler üzerine düşen gölgelerini çiziniz.

7.

a) b) c)

Üç düzlem üzerinde gölgeleri verilen cisimleri çizmeye çalışınız.

(21)

8. Aşağıdaki çokgenler şekilde belirtilen kırmızı renkli eksenler etrafında verilen ölçülerde döndürülünce oluşan cisimleri çizmeye çalışınız.

3600 3600

3600

1800 1800 1800

1800 9.

Yandaki koni şeklindeki tepenin

eğim açısının ölçüsü 300 ve yükseklik uzunluğu 500m dir. Buna göre bu dağın hacmi kaç m3 tür?

KÜRENİN YÜZEY ALANI VE HACMİ

Yukarıdaki resimleri inceleyiniz.

Cisimleri hangi geometrik yapı ile ilişkilendirilebilirsiniz?

7

Bir karpuzu tam ortadan yatay olarak keselim. Kesik parçaların üzerinde hangi geometrik yapıların olduğunu tartışınız.

Kabuk üzerindeki her noktanın karpuzun merkezine olan uzaklığı için ne söyleyebilirsiniz?

(22)

Yandaki şekilde görüldüğü gibi karpuzda, dilim sayıları çoğaltıldığında oluşan kesitlerin büyüklüklerini inceleyiniz.

En büyük alan ve çevreye sahip daire hangi kesittedir?

Yandaki karpuzun hangi geometrik şekle model olduğunu söy- leyiniz.

Uzayda sabit bir O noktasından eşit uzaklıktaki noktaların belirttiği yüzeye küre yüzeyi, sabit olan o noktasına küre yüzeyinin merkezi, merkezden küre yüzeyine olan eşit uzaklığa da küre yüzeyinin yarıçapı ve küre yüzeyinin sınırladığı bölgeye de küre denir.

r

O r A

B

8

r r

r

r O1

O2 2r

r r

r O1 O2

r r

r r O2

1. Şekil 2. Şekil

Yarıçap uzunluğu r br olan küre biçi- mindeki bir kap tam ortadan kesilerek eş yarım kürelere ayrılıyor. Yarım küreler- den birinin içi kızılcık şerbeti ile dolduru- larak 1. şekildeki r yarıçaplı yükseklik uzunluğu 2r br olan silindir kaba akta- rılıyor.

Silindirin hacmini bulunuz.

Silindir biçimindeki kabın yarım küre biçi- mindeki kaç kap ile dolacağını uygulayarak bulunuz.

Silindirin hacminden yararlanarak kürenin hacmini bulunuz.

Kürenin hacmini veren bir bağıntı yazmaya

(23)

Şekilde verilen O merkezli r br yarıçaplı kürenin hacmi,

V =4 3πr3 eşitliği ile elde edilir.

r

O r A

B

Yarıçapı r = 30cm olan küre biçimindeki bir deniz topunun içinde kaç cm3 hava olduğunu bulalım.

ÇÖZÜM : V =4

3πr3 =4

3π303= 36000π cm3 hava bulunur.

Hacmi 288π cm3 olan küre biçimindeki bir güllenin yarıçap uzunluğunun kaç cm olduğunu bulalım.

ÇÖZÜM : V =4

3πr3 288π =4

3πr3 ise r3=216 ise r=6cm bulunur.

(24)

S

Yandaki resimde görülen küre biçimindeki yün çileden 2cm kalınlığında dikdörtgen biçiminde bir örtü yapılacaktır. Kürenin yarıçap uzunluğu 12cm ise örtünün yüzünün kaç cm2 yer kaplayacağını bulalım.

ÇÖZÜM :

Yumağın hacmi ile örülen dikdörtgen dik prizmanın hac- mi eşittir. S, dikdörtgen dik prizma biçimindeki örtünün taban alanı olmak üzere;

Vyum ak =4 3πr3=4

3π123 = 2304π cm3 tür.

Vörtü= 2.S

Vörtü= Vyum ak ⇒ 2.S = 2304π ⇒ S = 1152π cm2 bulunur.

9

O O

B D C

r A

r

1. Şekil 2. Şekil

Yukarıdaki 1. şekilde verilen O merkezli r yarıçaplı bir küre 2. şekilde görüldüğü gibi tabanı ABCD yüzeyi, yüksekliği r olan küre dilimlerinden oluşur.

Küre dilimindeki ABCD yüzeyinin küçüldükçe hangi geometrik yapıya dönüştüğünü tartışınız. Bu durumda küre diliminin hangi geometrik cisme dönüştüğünü söyleyiniz.

(25)

Bu cisimlerin hacimleri toplamının kürenin hacmi ile ilişkisini tartışınız.

Bu ilişkiyi cisim sayısını n, cisimlerin taban alanını s alarak yazmaya çalışınız.

n tane s toplamını küre yüzeyinin alanı ile ilişkilendiriniz.

Yazdığınız eşitlikteki hacim bağıntısından küre yüzeyinin alanını veren bir genelle- meye ulaşmaya çalışınız.

r

O r A

B r r r r r

r r r O r O O

O A

B Yandaki şekilde verilen O merkezli r br yarıçaplı küre yüzeyinin alanı,

Alan = 4πr2 br2 eşitliği ile elde edilir.

Resimdeki gibi çap uzunluğu 46cm olan küre biçimindeki bir mangalın yapımında kaç cm2 sac kullanıldığını bulalım. (Mangalın tutacağı ve ayakları ihmal edilecektir)

ÇÖZÜM:

A = A = 4πr2 = 4π232 = 2116 cm2 bulunur.

Yarıçapı r =1

2 cm olan bir bilyenin yüzey alanının kaç cm2 olduğunu bulalım.

ÇÖZÜM : A = 4πr2 = 4π(1

2)2 = π cm2 bulunur.

(26)

Yüzey alanı 576π cm2 olan basketbol topunun yarıçapının kaç cm olduğunu bulalım.

ÇÖZÜM :

Alan = 4πr2 576π = 4πr2

ise r2 = 144 ⇒ r= 12cm bulunur.

r

r

r

r

Yanda dört tenis topu üst üste konarak kabın tüm yüzeylerine değecek şekilde yerleştiriliyor. Tenis toplarının kapladığı hacmin silindir biçimindeki kabın hacmine oranını bulalım.

ÇÖZÜM:

Tenis topunun yarıçap uzunluğu r olduğunda, Silindir kabın yarıçap uzunluğu r,

Silindirin yükseklik uzunluğu 4. 2r = 8r olur.

O hâlde, Vtop = 4.4

3π.r3 ve Vkap = π.r2.h = π.r2.8r olur.

Vtop

Vkap

= 4.4

3πr3 πr2.8r =2

3 bulunur.

(27)

1. Kürelerden kesilerek elde edilen aşağıdaki parçaların hacmini bulunuz.

12br 13br

6br

2. Aşağıdaki cisimlerin yüzey alanlarını bulunuz.

5br 14br

3br

20br

14br

4br

13br

4br

4br

3. Bir kenarının uzunluğu 8m olan bir küpün içine yüzeylere teğet olacak biçimde yerleştirilen kürenin hacmini bulunuz.

4. Yükseklik uzunluğu 8cm olan dik dairesel koninin içine yarıçap uzunluğu 3cm olan, tabana ve kenarlara teğet olacak biçimde bir küre çiziliyor. Kürenin hacmini bulunuz.

5. Bir kürenin içine merkezinden 4cm uzaklıkta yarıçap uzunluğu 3cm olacak şekilde çizilebi- lecek en büyük koninin hacmini bulunuz.

6.

14br

2br İç yarıçap uzunluğu 14br ve kalınlığı 2br olan şekildeki cismin yüzey alanını ve hacmini bulunuz.

(28)

ÜNİTE SONU ÖLÇME SORULARI

1. Kürenin en büyük dairesinin yarıçap uzunluğu ile kürenin yarıçap uzunluğu arasında nasıl bir ilişki vardır?

2. Yükseklik uzunluğu taban yarıçap uzunluğunun iki katına eşit olan silindir bir kap ile aynı yarıçap uzunluğuna sahip küre biçiminde bir kap veriliyor. Ayran dolu 12 adet küre kap ile kaç adet silindir kabı doldurabilirsiniz?

3. Dik dairesel konide koninin yükseklik uzunluğu, ana doğru uzunluğundan daima küçük müdür?

4. Dik silindirden kesitler alındığında kesit yüzeylerinde hangi geometrik şekiller oluşur?

5.

A

1. Şekil 2. Şekil

B

T1 T2

K L

Yandaki şekilde koniler kırmızı çizgiler boyunca kesilmektedir. Oluşan kesitleri çiziniz.

6. Bir dik üçgenin bir dik kenarı etrafında 3600 döndürülmesiyle ... oluşur.

7. Bir kareyi bir kenarı etrafında 1800 döndürülmesiyle ... oluşur.

8. Bir ikizkenar yamuğu alt tabanı etrafında 3600 döndürülmesiyle ... oluşur.

9. Yarıçap uzunluğu 3br olan kürenin hacmi ile aynı hacimli dik dairesel silindir, yükseklikleri ve yarıçap uzunlukları tam sayı olmak üzere kaç farklı biçimde çizilebilir?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8

10.

1 kat mesafesi

Yükseklik uzunluğu 6 π m olan beş katlı binanın yangın mer-

diveninden inmek isteyen Haydar’ın merdivenin direğine olan uzaklığı 80cm dir. Haydar’ın yürüyeceği yol uzunluğu kaç met- redir?

A) 4 π B) 6 π C) 8 π D)10 π E)12 π

(29)

11.

24br

12 br 18br

Yandaki koni şeklindeki cismin içinde yükseklik uzunluğu 12br olan bir miktar sıvı vardır. Verilenlere göre sıvının hacmini hesaplayınız. Koninin içine yarıçap uzunluğu 61 br ve yükseklik uzunluğu 16 br olan silindir biçimindeki bir cisim atıldığında sıvının yükseklik uzunluğu kaç br artar?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

12. Kurşundan yapılmış bir küre eritilerek 8 eş küre yapılıyor. Eritilen kürenin yarıçap uzunluğunun küçük kürelerden birinin yarıçap uzunluğuna oranı kaçtır?

A)1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 8

13.

O

r l

2160

60π

Açınımı yanda verilen dik dairesel koninin yanal yüz alanı 60π cm2 ve merkez açısının ölçüsü 2160 dir. Bu dik dairesel koninin hacmi kaç cm3 tür?

A) 48π B) 60π C) 72π D) 90π E) 96π

14.

O

D

O O

D D D

A 30

30

B F

C H G

E

Yandaki şekilde görüldüğü gibi bir kenar uzunluğu 30cm olan küpün içine kenarlarına teğet olacak biçimde bir küre konuyor. Daha sonra küpün içi sıvı ile dolduruluyor.

a) Küpün bir köşesinin küre yüzeyine olan en kısa uzaklığı kaç cm dir?

b) Küpün içine doldurulan sıvının hacmi kaç cm3 tür?

(30)

ÜNİTE 1:

1) a)İki nokta b)Çember c)Küre 2) B(−3,3) 3) C 4) a)m−n=7 b) n−m=3 5) B 6) C 7) C 8) a) Ordinatı b) Apsisi 9) C 10) A 11) E

12) a) y=2,3+0,002x b) Eğim her 100 metrede ödenen 0,2TL nin 0,01 idir. c)y=12,3TL 13) a) (x−2,y-1)=k.(3,−2) b) u=(3,−2) c) 2x+3y−7=0 14) D 15) D 16) B ÜNİTE 2:

1) Tüm iç açıları farklıdır. 2) Dikdörtgen, kare, ikizkenar yamuk

3) Eşkenar dörtgen, kare 4) Paralelkenar 5) Eşittir. 6) Dış 7) İç 8) 600 9) B 10) C 11) B 12) D 13) A 14)E 15) B 16) C 17) E 18) C 19) A 20) A 21) D 22) C 23) A 24)Yansıma, ötelemeli yansıma, dönme ÜNİTE 3:

1) a) 15 ayrıtı vardır. Tabanı beşgen olan prizmadır. b) 7 c) Altıgen ç) Çizilemez. d) Çizilemez.

2)

6 3) 64cm3 4) D 5) C 6) D 7) A ÜNİTE 4:

1) Sonsuz 2) Bir 3) 900 4) D 5) a) 64 −16π b) 50π − 96 c) 200π − 400 ç) 7π 6 6) 3 3

7) Eşittir. 8) 1 9) Eşittir.

ÜNİTE 5:

1) Eşittir. 2) 8 3) Evet 4) Daire, Dikdörtgen 5)

6) Koni 7) Yarım silindir 8) İki koni ve bir silindir 9) C 10) D 11) C 12) B 13) E 14) a) 15( 3 −1) cm b) (27000−4500 π )cm3

Referanslar

Benzer Belgeler

Belediye Başkanı Dilaver Bey’in 12 kişilik Belediye M eclisi’nde Ermeni, Rum, Musevi ve Bulgar azınlıktan 6 üyenin yer aldığı, yani azınlıklara yarı

Gazinin ve ona peyrev olan neslin gelecek nesle ilıda ettiği eserlerin belki en büyüğü olan harf iııkilâbı müsmir ve pay dar olmak için çok esaslı ve takipli

Bu kapsamla ele alınan çalışma, yeniden kullanılan kültür varlığının yeni işleve uyumunun sorgulanmasını, Ankara’nın kültür varlığı olan Salt Ulus ile

Harmonik üretimi, fark frekans üretimi, frekans toplanması, iki foton absorpsiyonu gibi çeşitli doğrusal olmayan optik etkilerin incelenebilmesinde gerekli olan

Once the winning cluster at the lowest layers (layer 1) is selected, the images inside the cluster is re-arranged based on their similarity to the query image using Self

Burada ilk aranan silindirik borunun sınırında ani patlama sonucu etkiyen i¸c basınca ba˘ glı olarak yine sınırda meydana gelen yer de˘ gi¸stirme.

Arsa da çok eski ve büyük çam ağaçları ile, çalışmakta olan bir hastahanenin çeşitli pavyonlarının varlığı yapının şekillenme- sini etkilemiştir.. Olabildiğince az

Memle- ketimizin sayısız güzel köşelerini lâyık olduğu ehemmiyette göze gösterebilmek gayesile binanın harici tesirine sevimli ve davetkâr bir ifade verilmiştir.